高中数学必修五北师大版 3.2 基本不等式与最大(小)值教案

基本不等式与最大（小）值【教材分析】1.知识内容与结构分析本小节内容使学生在感性问题出发，利用基本不等式求最值；课后思考设置了应用题的解决，体现基本不等式在实际问题中的实用性，并同时锻炼学生理解题义并将实际问题转化为函数最值问题的能力。

2.知识学习意义分析熟练运用基本不等式求函数最值的技能，掌握一些代数式变形的方法。

3.教学建议与学法指导在“一正、二定、三相等”解决具体问题的思路指导下，引导学生对实际问题分析、讨论得出相应函数式，指导并解决问题.【学情分析】了解学生对基本不等式的掌握程度，明确运用基本不等式的要点“一正、二定、三相等”。

【教学目标】1.知识与技能2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题；2.过程与方法2a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值； 3.情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【重点难点】1.2a b +≤的应用 2.2a b +求最大值、最小值。

【教学环境】◆多媒体教室◆课件【教学过程】一、复习回顾1、基本不等式链2、若0a b ≥>，利用基本不等式的变形形式二、探究新知题型一 给定关系求最值 例1、若 且 ，求 的最大值。

例2、若 且 ，求的最小值。

和定积最大，积定和最小211a b ≤+2a b +≤22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a b +≥2a b +≥0,0x y >>xy 2+5=20x y 0,0a b >>8ab =2a b +题型二 利用基本不等式求函数的最值例3、已知 ，求 的最大值。

解 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，∴2－3x ＞0.∴y ＝x (2－3x )＝13·3x ·(2－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2－3x 22＝13， 当且仅当3x ＝2－3x ，即x ＝13时，等号成立． ∴当x ＝13时，函数y ＝x (2－3x )有最大值13. 规律方法：求两数积的最值时，一般需要知道这两数的和为定值，当条件不满足时，往往利用题目中的已知条件将两数进行适当的拆项和添项，通过变形使转化后的两数和为定值，再利用基本不等式求最值，变形后仍要求满足“一正二定三相等”．例4、已知 ，求 的最小值。

3．4基本不等式教案（第一课时）
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.了解基本不等式的代数及几何背景；
3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。

三、情感态度与价值观
通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；
2.基本不等式成立的条件及应用。

教学难点：基本不等式成立的条件及应用。

教具准备：投影仪
教学过程。

3.2基本不等式与最大(小)值 学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式及变形思考使用基本不等式证明：21a ＋1b ≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立． 梳理以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．当a >0，b >0时，有21a ＋1b ____ab ____a ＋b 2____a 2＋b 22；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．知识点二用基本不等式求最值思考因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？梳理基本不等式求最值的注意事项(1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；(3)等号成立的条件是否满足．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．类型一基本不等式与最值例1(1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； (3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 跟踪训练1(1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1几何问题的最值例2(1)用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？跟踪训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2生活中的最优化问题引申探究若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？跟踪训练3一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有() A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m3．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于()A ．0B ．4C ．－4D ．－24．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．1．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋p x(p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．答案精析问题导学知识点一思考∵a >0，b >0，∴1a ＋1b≥21ab >0， ∴11a ＋1b ≤ab 2， 即21a ＋1b ≤ab (a >0，b >0)，当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时，等号成立． 梳理≤≤≤a ＝b知识点二思考错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x ＝1时有公共点．梳理(1)正数(2)定值定值题型探究例1解(1)当x >0时，x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0<x <32，∴3－2x >0， ∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立． ∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2(x －2)·4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 由1x ＋9y＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.跟踪训练1解(1)∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x·3x ＝12， 当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12.(2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋3－x ＋3 ≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号． ∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2(x －8)×16x －8＋10＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.方法二由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y＝8y x ＋2x y ＋10≥28y x ·2x y＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.例2解(1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m.由x ＋y 2≥xy ，可得x ＋y ≥2100， 2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长，宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81， 当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长，宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积为81m 2.跟踪训练2解设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为48003xm. 又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×48003＋120×(2×3x ＋2×3×48003x) ＝240000＋720×⎝⎛⎭⎫x ＋1600x ≥240000＋720×2x ·1600x＝297600(元)， 当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，y 取得最小值297600. 所以水池底面为正方形且边长为40m 时总造价最低，最低总造价为297600元． 例3解设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元， 则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝9x ＋900x＋10809 ≥29x ·900x ＋10809＝10989(元)， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究解设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2.则(9x 1＋900x 1＋10809)－(9x 2＋900x 2＋10809) ＝9(x 1－x 2)＋900(1x 1－1x 2) ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9x 1x 2－900x 1x 2.∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225，∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10809在[15，＋∞)上为增函数． ∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少． 跟踪训练38解析设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立， 所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时． 当堂训练1．D2.C3.C4.2－25。

3.2 基本不等式与最大（小）值一、学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题3. 初步掌握不等式证明的方法二、学习重点会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题三、学习难点理解并掌握重要的基本不等式使用时注意的条件四、学习过程（一）、基础知识回顾：1、基本不等式的理解、证明及几何意义？2.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题？（二）、应用练习（1）试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a 2+b 2 ( ) （2）2b a + （ ） （3）a b ＋b a （ ） （4）x ＋x1 (x>0) （5）x ＋x 1 (x<0) （6）ab ≤ （ ）（2）⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)= x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－3x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。

（三）、例题讲解例1：已知x 、y 都是正数，求证：（1）222a b c ab bc ac ++≥++． （2）已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证： 2x y a b a b x y--+≥--.说明：在运用定理：ab b a ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.（四）、随堂练习1. 已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c 1≥9． 2.（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc例1：(1) 设.11120,0的最小值，求且y x y x y x +=+>>变式训练：已知x>0，y>0，且+x 1y9＝1，求x ＋y 的最小值。