(完整版)二次函数与几何综合压轴题题型归纳,推荐文档

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定课 题 函数的综合压轴题型归类教学目标 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、 掌握特殊图形面积的各种求法 重点、难点1、 利用图形的性质找点2、 分解图形求面积教学内容此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()mm x 213∆±-=，m x 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

一 基础构图：y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求出P 坐标★ 讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标二 综合题型 O xyA B C DO xyA B C DO xyA B C DO xyA B C D例1 (中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。

交Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。

若没有，请说明理由(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。

当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？例2 考点： 关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．例3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．例4考点：讨论直角三角⑴ 如图，已知点A （一1，0）和点B （1，2），在坐标轴上 D B C O A yx E B C O A 备用图y xyxBA FPx ＝1CO确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P 共有（ ）． (A ）2个 （B ）4个 （C ） 6个（D ）7个⑵ 已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例5 考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x 的抛物线y ＝ax 2＋x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－2，0），点B （6，0），与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．综合练习：1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴O A B yCxD E2 B A y O Cx交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB ＝OC ，抛物线的顶点为D 。

周日解答题压轴题二次函数与几何图形综合一模块一2022中考真题集训类型一二次函数中的最值问题(1)自变量范围与最值问题1.(2022•绍兴)已知函数y =-x 2+bx +c (b ，c 为常数)的图象经过点(0，-3)，(-6，-3)．(1)求b ，c 的值．(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值．(3)当m ≤x ≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．思路引领：(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；(2)根据x 的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y 的最大值即可；(3)根据对称轴为x =-3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m 的取值范围即可．解：(1)把(0，-3)，(-6，-3)代入y =-x 2+bx +c ，得b =-6，c =-3．(2)∵y =-x 2-6x -3=-(x +3)2+6，又∵-4≤x ≤0，∴当x =-3时，y 有最大值为6．(3)①当-3<m ≤0时，当x =0时，y 有最小值为-3，当x =m 时，y 有最大值为-m 2-6m -3，∴-m 2-6m -3+(-3)=2，∴m =-2或m =-4(舍去)．②当m ≤-3时，当x =-3时y 有最大值为6，∵y 的最大值与最小值之和为2，∴y 最小值为-4，∴-(m +3)2+6=-4，∴m =-3-10或m =-3+10(舍去)．综上所述，m =-2或-3-10．总结提升：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m 的取值范围是解题关键．2.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1，1)，12，12 ，(-2，-2)，⋯⋯都是和谐点．(1)判断函数y =2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点52，52．①求a ，c 的值；周日②若1≤x ≤m 时，函数y =ax 2+6x +c +14(a ≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范围．思路引领：(1)设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，可得2x +1=x ，求解即可；(2)将点52，52代入y =ax 2+6x +c ，再由ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，Δ=25-4ac =0，两个方程联立即可求a 、c 的值；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，则3≤m ≤5时满足题意．解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，∴2x +1=x ，解得x =-1，∴和谐点为(-1，-1)；(2)①∵点52，52是二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的和谐点，∴52=254a +15+c ，∴c =-254a -252，∵二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点，∴ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，∴Δ=25-4ac =0，∴a =-1，c =-254；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，∴抛物线的对称轴为直线x =3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，∵函数的最大值为3，最小值为-1；当3≤m ≤5时，函数的最大值为3，最小值为-1．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．(2)胡不归问题3.(2022•淮安)如图(1)，二次函数y =-x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，直线l 经过B 、C 两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P 为直线l 上的一点，过点P 作x 轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M ，再过点M 作y 轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N ，当PM =12MN 时，求点P 的横坐标；(3)如图(2)，点C 关于x 轴的对称点为点D ，点P 为线段BC 上的一个动点，连接AP ，点Q 为线段AP 上一点，且AQ =3PQ ，连接DQ ，当3AP +4DQ 的值最小时，直接写出DQ 的长．周日思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，则PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，由题意可得方程|t2-3t|=12|2-2t|，求解方程即可；(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4DQ+34AP=4 (DQ+AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A'(2，3)，求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q54，34，再求DQ=5104．解：(1)将点B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，∴-9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，∴y=-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点坐标(1，4)；(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0b=3，解得k=-1b=3，∴y=-x+3，设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，∴PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，∵PM=12MN，∴|t2-3t|=12|2-2t|，解得t=1+2或t=1-2或t=2+3或t=2-3，∴P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；(3)∵C(0，3)，D点与C点关于x轴对称，∴D(0，-3)，令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，周日∴A (-1，0)，∴AB =4，∵AQ =3PQ ，∴Q 点在平行于BC 的线段上，设此线段与x 轴的交点为G ，∴QG ∥BC ，∴AQ AP =AG BA ，∴34=AG 4，∴AG =3，∴G (2，0)，∵OB =OC ，∴∠OBC =45°，作A 点关于GQ 的对称点A '，连接A 'D 与AP 交于点Q ，∵AQ =A 'Q ，∴AQ +DQ =A 'Q +DQ ≥A 'D ，∴3AP +4DQ =4DQ +34AP =4(DQ +AQ )≥4A 'D ，∵∠QGA =∠CBO =45°，AA '⊥QG ，∴∠A 'AG =45°，∵AG =A 'G ，∴∠AA 'G =45°，∴∠AGA '=90°，∴A '(2，3)，设直线DA '的解析式为y =kx +b ，∴b =-32k +b =3，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，同理可求直线QG 的解析式为y =-x +2，联立方程组y =-x +2y =3x -3 ，解得x =54y =34，∴Q 54，34 ，∴DQ =5104．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．4.(2022•梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．周日(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C 的坐标是(0，6)，将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，点A 的对应点是点E ．①写出点E 的坐标，并判断点E 是否在此抛物线上；②若点P 是y 轴上的任一点，求35BP +EP 取最小值时，点P 的坐标．思路引领：(1)根据直线解析式可得点A 、B 的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；(2)①由旋转的性质可得E (6，3)，当x =6时，y =518×62-12×6-4=3，可知点E 在抛物线上；②过点E 作EH ⊥AB ，交y 轴于P ，垂足为H ，sin ∠ABO =AO AB=HP BP =35，则HP =35BP ，得35BP +EP =HP +PE ，可知HP +PE 的最小值为EH 的长，从而解决问题．解：(1)∵直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，∴当x =0时，y =-4；当y =0时，x =-3，∴A (-3，0)，B (0，-4)，∵抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．∴518×(-3)2-3b +c =0c =-4，解得b =-12c =-4，∴y =518x 2-12x -4；(2)①∵将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，∴∠OCF =90°，CF =CO =6，EF =AO =3，EF ∥y 轴，∴E (6，3)，当x =6时，y =518×62-12×6-4=3，∴点E 在抛物线上；②过点E 作EH ⊥AB ，交y 轴于P ，垂足为H ，周日∵A(-3，0)，B(0，-4)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵sin∠ABO=AOAB =HPBP=35，∴HP=35BP，∴35BP+EP=HP+PE，∴当E，P，H三点共线时，HP+PE有最小值，最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP=∠ABO，∴tan∠GEP=tan∠ABO，∴PG EG =AO BO，∴PG6=34，∴PG=92，∴OP=92-3=32，∴P0，-32．总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将35BP转化为HP的长是解题的关键．5.(2022•济南)抛物线y=ax2+114x-6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；周日(2)作PM ⊥x 轴交于M ，可求PM =14m 2-114m +6，AM =m -3，通过证明△COA ∽△AMP ，利用OA OC =PMAM，求m 的值即可求P 点坐标；(3)作PN ⊥x 轴交BC 于N ，过点N 作NE ⊥y 轴交于E ，通过证明△PQN ∽△BOC ，求出QN =35PN ，PQ =45PN ，再由△CNE ∽△CBO ，求出CN =54EN =54m ，则CQ +12PQ =CN +PN =-14m -132 2+16916，即可求解．解：(1)将B (8，0)代入y =ax 2+114x -6，∴64a +22-6=0，∴a =-14，∴y =-14x 2+114x -6，当y =0时，-14t 2+114t -6=0，解得t =3或t =8(舍)，∴t =3，∵B (8，0)在直线y =kx -6上，∴8k -6=0，解得k =34；(2)作PM ⊥x 轴交于M ，∵P 点横坐标为m ，∴P m ，-14m 2+114m -6 ，∴PM =14m 2-114m +6，AM =m -3，在Rt △COA 和Rt △AMP 中，∵∠OAC +∠PAM =90°，∠APM +∠PAM =90°，∴∠OAC =∠APM ，∴△COA ∽△AMP ，∴OA OC =PM AM，即OA •MA =CO •PM ，3(m -3)=614m 2-114m +6 ，解得m =3(舍)或m =10，∴P 10，-72；(3)作PN ⊥x 轴交BC 于N ，过点N 作NE ⊥y 轴交于E ，∴PN =-14m 2+114m -6-34m -6 =-14m 2+2m ，∵PN ⊥x 轴，∴PN ∥OC ，∴∠PNQ =∠OCB ，周日∴Rt△PQN∽Rt△BOC，∴PN BC =NQOC=PQOB，∵OB=8，OC=6，BC=10，∴QN=35PN，PQ=45PN，由△CNE∽△CBO，∴CN=54EN=54m，∴CQ+12PQ=CN+NQ+12PQ=CN+PN，∴CQ+12PQ=54m-14m2+2m=-14m2+134m=-14m-1322+16916，当m=132时，CQ+12PQ的最大值是16916．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．类型二二次函数中的面积问题1.(2022•内蒙古)如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3，0)，D-2，-52两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B，C不重合)，求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M m，-12m2+m+32，则N m，-12m+32，可得S△MBC=12•MN•OB=-34m-322+2716，再求解即可；(3)设Q(0，t)，P m，-12m2+m+32，分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．解：(1)将B(3，0)，D-2，-5 2代入y=ax2+x+c，周日∴9a +3+c =04a -2+c =-52，解得a =-12c =32 ，∴y =-12x 2+x +32，令x =0，则y =32，∴C 0，32；(2)作直线BC ，过M 点作MN ∥y 轴交BC 于点N ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴3k +b =0b =32，解得k =-12b =32 ，∴y =-12x +32设M m ，-12m 2+m +32 ，则N m ，-12m +32 ，∴MN =-12m 2+32m ，∴S △MBC =12•MN •OB =-34m -32 2+2716，当m =32时，△MBC 的面积有最大值2716，此时M 32，158；(3)令y =0，则-12x 2+x +32=0，解得x =3或x =-1，∴A (-1，0)，设Q (0，t )，P m ，-12m 2+m +32，①当AB 为平行四边形的对角线时，m =3-1=2，∴P 2，32；②当AQ 为平行四边形的对角线时，3+m =-1，解得m =-4，∴P -4，-212；③当AP 为平行四边形的对角线时，m -1=3，解得m =4，Y our Text07周日∴P 4，-52；综上所述：P 点坐标为2，32 或-4，-212 或4，-52．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．2.(2022•淄博)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，顶点D(1，4)在直线l ：y =43x +t 上，动点P (m ，n )在x 轴上方的抛物线上．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥l 于点N ，当1<m <3时，求PM +PN 的最大值；(3)设直线AP ，BP 与抛物线的对称轴分别相交于点E ，F ，请探索以A ，F ，B ，G (G 是点E 关于x 轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P 点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．思路引领：(1)利用顶点式求解，可得结论；(2)如图，设直线l 交x 轴于点T ，连接PT ，BD ，BD 交PM 于点J ．设P (m ，-m 2+2m +3)．四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12×DT ×PN +12×TB ×PM =52(PM +PN )，推出四边形DTBP 的面积最大时，PM +PN 的值最大，求出四边形DTBP 的面积的最大值，可得结论；(3)四边形AFBG 的面积不变．如图，设P (m ，-m 2+2m +3)，求出直线AP ，BP 的解析式，可得点E ，F 的坐标，求出FG 的长，可得结论．解：(1)∵抛物线的顶点D (1，4)，∴可以假设抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3；(2)如图，设直线l 交x 轴于点T ，连接PT ，BD ，BD 交PM 于点J ．设P (m ，-m 2+2m +3)．点D (1，4)在直线l ：y =43x +t 上，∴4=43+t ，∴t =83，周日∴直线DT 的解析式为y =43x +83，令y =0，得到x =-2，∴T (-2，0)，∴OT =2，∵B (3，0)，∴OB =3，∴BT =5，∵DT =32+42=5，∴TD =TB ，∵PM ⊥BT ，PN ⊥DT ，∴四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12×DT ×PN +12×TB ×PM =52(PM +PN )，∴四边形DTBP 的面积最大时，PM +PN 的值最大，∵D (1，4)，B (3，0)，∴直线BD 的解析式为y =-2x +6，∴J (m ，-2m +6)，∴PJ =-m 2+4m -3，∵四边形DTBP 的面积=△DTB 的面积+△BDP 的面积=12×5×4+12×(-m 2+4m -3)×2=-m 2+4m +7=-(m -2)2+11∵-1<0，∴m =2时，四边形DTBP 的面积最大，最大值为11，∴PM +PN 的最大值=25×11=225；解法二：延长MP 交直线l 与点H ，易得直线l ：y =43x +83，∴H m ，43m +83设直线l 交x 轴于点C ，交y 轴于点L ，∴C (-2，0)，L 0，83，∴CL =103，∴sin ∠CLO =35，由LO ∥HM ，∴∠NHM =∠CLO ，∴sin ∠NHM =35，∴PH =43m +83+m 2-2m -3=m 2-23m -13，∴PN =35PH ，周日∴PM +PN =-m 2+2m +3+35m 2-23m -13 =-25(m -2)2+225，∵-25<0，∴m =2时，PM +PN 的值最小，最小值为225；(3)四边形AFBG 的面积不变．理由：如图，设P (m ，-m 2+2m +3)，∵A (-1，0)，B (3，0)，∴直线AP 的解析式为y =-(m -3)x -m +3，∴E (1，-2m +6)，∵E ，G 关于x 轴对称，∴G (1，2m -6)，∴直线PB 的解析式y =-(m +1)x +3(m +1)，∴F (1，2m +2)，∴GF =2m +2-(2m -6)=8，∴四边形AFBG 的面积=12×AB ×FG =12×4×8=16．∴四边形AFBG 的面积是定值．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．类型三二次函数与角度问题1.(2022•菏泽)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A (-2，0)、B (8，0)两点，与y 轴交于点C (0，4)，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将△ABC 沿AC 所在直线折叠，得到△ADC ，点B 的对应点为D ，直接写出点D 的坐标，并求出四边形OADC 的面积；(3)点P 是抛物线上的一动点，当∠PCB =∠ABC 时，求点P 的坐标．思路引领：(1)利用待定系数法解答即可；(2)过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，利用轴对称的性质和三角形的中位线的性质定理求得线段OE ，DE ，则点D 坐标可得；利用四边形OADC 的面积=S △OAC +S △ACD ，S △ADC =S △ABC ，利用三角形的面积公式即可求得结论；周日(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x 轴于点H，设HB=HC=m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标；解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2，0)、B(8，0)两点，与y轴交于点C(0，4)，∴4a-2b+c=064a+8b+c=0c=4，解得：a=-14b=32c=4．∴抛物线的表达式为y=-14x2+32x+4；(2)点D的坐标为(-8，8)，理由：将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵A(-2，0)、B(8，0)，C(0，4)，∴OA=2，OB=8，OC=4．∵OA OC =12，OCOB=12，∴OA OC =OC OB．∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO．∵∠CBO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACB=90°，∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，∴点D，C，B三点在一条直线上．由轴对称的性质得：BC=CD，AB=AD．∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC，∴OC为△BDE的中位线，∴OE=OB=8，DE=2OC=8，∴D(-8，8)；由题意得：S△ACD=S△ABC，∴四边形OADC的面积=S△OAC+S△ADC=S△OAC+S△ABC=12×OC•OA+12×AB•OC=12×4×2+12×10×4=4+20 =24；周日(3)①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB=∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y=4，则-14x2+32x+4=4，解得：x=0或x=6，∴P(6，4)；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB=∠ABC，∴HC=HB．设HB=HC=m，∴OH=OB-HB=8-m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2=CH2，∴42+(8-m)2=m2，解得：m=5，∴OH=3，∴H(3，0)．设直线PC的解析式为y=kx+n，∴n=43k+n=0，解得：k=-43n=4．∴y=-43x+4．∴y=-43x+4y=-14x2+32x+4，解得：x1=0y1=4，x2=343y2=-1009．∴P343，-100 9．综上，点P的坐标为(6，4)或343，-1009．总结提升：本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．2.(2022•鞍山)如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接BC．(1)求抛物线的解析式．(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线周日EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为(0，-4)，再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；(3)当B'在第一象限时，由∠ODB=45°，可知EB'∥CD，求出直线BC的解析式，可设E t，-12t+2，在Rt△OHB'中，B'H=16-t2，则BE=16-t2+12t-2，在Rt△BHE中，由勾股定理得16-t2+12t-22=(4-t)2+-12t+22，求出t的值即可求B'坐标；当B'在第二象限时，B'G∥x轴，可得四边形B'OBE是平行四边形，则B't-4，-12t+2，由折叠的性质可判断平行四边形OBEB'是菱形，再由BE=OB，可得(4-t)2+-12t+22=4，求出t的值即可求B'坐标．解：(1)将A(-1，0)，C(0，2)代入y=-12x2+bx+c，∴c=2-12-b+c=0 ，解得b=32c=2 ，∴y=-12x2+32x+2；(2)令y=0，则-12x2+32x+2=0，解得x=-1或x=4，∴B(4，0)，∴OB=4，∴S△BCD=12×4×(2+OD)=12，∴OD=4，∴D(0，-4)，设直线BD的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0 ，周日解得k =1b =-4 ，∴y =x -4，联立方程组y =x -4y =-12x 2+32x +2，解得x =-3y =-7 或x =4y =0 ，∴P (-3，-7)；(3)如图1，当B '在第一象限时，设直线BC 的解析式为y =k 'x +b '，∴b '=24k '+b '=0，解得k '=-12b '=2，∴y =-12x +2，设E t ，-12t +2 ，∴OH =t ，EH =-12t +2，∵D (0，-4)，B (4，0)，∴OB =OD ，∴∠ODB =45°，∵直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45°，∴EB '∥CD ，由折叠可知，OB '=BO =4，BE =B 'E ，在Rt △OHB '中，B 'H =16-t 2，∴B 'E =16-t 2--12t +2 =16-t 2+12t -2，∴BE =16-t 2+12t -2，在Rt △BHE 中，16-t 2+12t -2 2=(4-t )2+-12t +2 2，解得t =±455，∵0≤t ≤4，∴t =455，∴B '455，855 ；如图2，当B '在第二象限，∠BGB '=45°时，∵∠ABP =45°，∴B 'G ∥x 轴，周日∵将△OEB 沿直线OE 翻折得到△OEB '，∴BE =B 'E ，OB =OB '，∠BOE =∠B 'OE ，∴∠BOE =∠B 'EO ，∴B 'E ∥B 'O ，∵B 'E =BO ，∴四边形B 'OBE 是平行四边形，∴B 'E =4，∴B 't -4，-12t +2 ，由折叠可知OB =OB '=4，∴平行四边形OBEB '是菱形，∴BE =OB ，∴(4-t )2+-12t +2 2=4，解得t =4+855或t =4-855，∵0≤t ≤4，∴t =4-855，∴B '-855，455；综上所述：B '的坐标为455，855 或-855，455．方法2：在Rt △BCO 中，BC =25，CO ：OB ：BC =1：2：5，∵BP 与x 轴和y 轴的夹角都是45°，BP 与B 'E 的夹角为45°，∴B 'E ∥x 轴或B 'E ∥y 轴，当B 'E ∥y 轴时，延长B 'E 交x 轴于F ，∴B 'F ⊥OB ，∵∠CBA =∠OB 'E ，∴△OB 'F ∽△CBO ，∴OF ：FB '：B 'O =1：2：5，∵OB =OB '=4，∴FO =455，B 'F =855，∴B '455，855 ；当B 'E ∥x 轴时，过B '作B 'F ⊥x 中交于F ，∴B 'F ⊥OF ，B 'E ∥OB ，∵B 'E 和BE 关于OE 对称，OB 和OB '关于OE 对称，∴BE ∥OB '，∵∠FOB '=∠OBC ，∴△OB 'F ∽△BCO ，∴B 'F ：FO ：OB '=1：2：5，∵OB =OB '=4，周日∴B 'F =455，OF =855，∴B '-855，455；综上所述：B '坐标为455，855 或-855，455．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键．类型四二次函数与圆综合1.(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且AB =8dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度OC =8dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 的圆，请说明理由．思路引领：(1)先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH =2OG 计算H 的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；(2)由(1)知：设H t ，-12t 2+8 (t >0)，表示矩形EFGH 的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；(3)解法一：设半径为3dm 的圆与AB 相切，并与抛物线相交，设交点为N ，求出点N 的坐标，并计算点N 是圆M 与抛物线在y 轴右侧的切点即可．解法二：计算MN 2，配方法可得结论．解法三：同解法二得MN 2，利用换元法可解答．解：(1)如图1，由题意得：A (-4，0)，B (4，0)，C (0，8)，设抛物线的解析式为：y =ax 2+8，把B (4，0)代入得：0=16a +8，∴a =-12，∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+8，∵四边形EFGH 是正方形，∴GH =FG =2OG ，设H t ，-12t 2+8 (t >0)，周日∴-12t2+8=2t，解得：t1=-2+25，t2=-2-25(舍)，∴此正方形的面积=FG2=(2t)2=4t2=4(-2+25)2=(96-325)dm2；(2)如图2，由(1)知：设H t，-12t2+8(t>0)，∴矩形EFGH的周长=2FG+2GH=4t+2-12t2+8=-t2+4t+16=-(t-2)2+20，∵-1<0，∴当t=2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；(3)解法一：若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，则MN=OM=3，NQ⊥MN，设N m，-12m2+8，由勾股定理得：PM2+PN2=MN2，∴m2+-12m2+8-32=32，解得：m1=22，m2=-22(舍)，∴N(22，4)，∴PM=4-3=1，∵cos∠NMP=PMMN =MNQM=13，∴MQ=3MN=9，∴Q(0，12)，设QN的解析式为：y=kx+b，∴b=1222k+b=4 ，∴k=-22 b=12，∴QN的解析式为：y=-22x+12，-1 2x2+8=-22x+12，12x2-22x+4=0，Δ=(-22)2-4×12×4=0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．解法二：如图3，取点M(0，3)，在抛物线上取点N m，-12m2+8，且0<m<4，周日则MN 2=m 2+-12m 2+8-3 2=14(m 2-8)2+9，∴当m =22时，MN 有最小值为3，此时抛物线上除了点N ，N '(点N ，N '关于y 轴对称)外，其余各点均在以点M (0，3)为圆心，3dm 为半径的圆外(铁皮底部边缘中点O 也在该圆上)，∴若切割成圆，能切得半径为3dm 的圆．解法三：如图3，取点M (0，m )，在抛物线上取点N a ，-12a 2+8 ，且0<a <4，则MN 2=a 2+-12a 2+8-m 2，令y =a 2，则MN 2=y +-12y +8-m 2=14(y +2m -14)2+15-2m ，∴MN 2的最小值是15-2m ，当MN 的最小值=OM =m 时，⊙O 与抛物线相切，此时⊙M 最大，∴15-2m =m ，∴m =-5(舍)或3，∴若切割成圆，能切得半径为3dm 的圆．总结提升：本题是二次函数与圆，四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，并与方程相结合解决问题是本题的关键．2.(2022•盐城)【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O 为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O 为原点，过点O 的横线所在直线为x 轴，过点O 且垂直于横线的直线为y 轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为(-3，4)或(3，4)．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P (0，m )，m 为正整数，以OP 为直径画⊙M ，是否存在所描的点在⊙M 上．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．周日思路引领：【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；【解决问题】设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n -1)，利用勾股定理可得出该点的坐标为(-2n -1，n -1)或(2n -1，n -1)，结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y =12x 2-12的图象上，进而可证出小明的猜想正确；【深度思考】设该点的坐标为(±2n -1，n -1)，结合⊙M 的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n 的代数式表示出m 的值，再结合m ，n 均为正整数，即可得出m ，n 的值．【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y =5-1=4，∵横坐标x =±52-42=±3，∴点的坐标为(-3，4)或(3，4)．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n -1)，∴该点的横坐标为±n 2-(n -1)2=±2n -1，∴该点的坐标为(-2n -1，n -1)或(2n -1，n -1)．∵(±2n -1)2=2n -1，n -1=2n -1-12，∴该点在二次函数y =12(x 2-1)=12x 2-12的图象上，∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为(±2n -1，n -1)，⊙M 的圆心坐标为0，12m ，∴(±2n -1-0)2+n -1-12m 2=12m ，∴m =n 2n -1=(n -1+1)2n -1=(n -1)2+2(n -1)+1n -1=n -1+2+1n -1．又∵m ，n 均为正整数，∴n -1=1，∴m =1+2+1=4，∴存在所描的点在⊙M 上，m 的值为4．总结提升：本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐标间的关系，找出点在二次函数y =12x 2-12的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n 的代数式表示出m 的值．周日类型五二次函数中的定值问题1.(2022•巴中)如图1，抛物线y =ax 2+2x +c ，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，F 为抛物线顶点，直线EF 垂直于x 轴于点E ，当y ≥0时，-1≤x ≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BE 上的动点(除B 、E 外)，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ．①当点P 的横坐标为2时，求四边形ACFD 的面积；②如图2，直线AD ，BD 分别与抛物线对称轴交于M 、N 两点．试问，EM +EN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．思路引领：(1)由当y ≥0时，-1≤x ≤3，可知x 1=-1，x 2=3是ax 2+2x +c =0的两根，代入方程可得a ，c ，从而得解；(2)①把x =2代入抛物线解析式可得D 点坐标，再将x =0代入抛物线解析式可得C 点坐标，从而得知线段CD ∥x 轴，利用配方法可知点F 坐标，从而利用S 四边形ACFD =S △FCD +S △ACD =12CD (y F -y A )求面积；②设D (m ，-m 2+2m +3)(1<m <3)，用待定系数法求出直线AD 与直线BD 的解析式，再令x =1得y M ，y N ，从而得出ME ，NE 的长，从而得到NE +ME 是定值8．解：(1)∵当y ≥0时，-1≤x ≤3，∴x 1=-1，x 2=3是ax 2+2x +c =0的两根，A (-1，0)，B (3，0)，∴a -2+c =09a +6+c =0，解得：a =-1c =3 ，∴抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3；(2)①把x =2代入y =-x 2+2x +3得：y =3，∴D (2，3)．又当x =0，y =3，∴C (0，3)，∴线段CD ∥x 轴．∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，∴F (1，4)，S 四边形ACFD =S △FCD +S △ACD =12CD (y F -y A )=4；②设D (m ，-m 2+2m +3)(1<m <3)，周日直线AD ：y =k 1x +b 1，BD ：y =k 2x +b 2，因此可得：0=-k 1+b 1-m 2+2m +3=k 1m +b 1或0=3k 2+b 2-m 2+2m +3=k 2m +b 2，解得：k 1=3-m b 1=3-m 或k 2=-1-mb 2=3m +3 ，∴直线AD ：y =(3-m )x +(3-m )，BD ：y =-(m +1)x +3(m +1)．令x =1得y M =6-2m ，y N =2m +2，∴ME =6-2m ，NE =2m +2，∴NE +ME =8．总结提升：本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．类型六二次函数中几何图形的存在性问题1.(2022•枣庄)如图①，已知抛物线L ：y =x 2+bx +c 经过点A (0，3)，B (1，0)，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当△OPE 面积最大时，求出P 点坐标；(3)将抛物线L 向上平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，求h 的取值范围；(4)如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．思路引领：(1)利用待定系数法可得抛物线的解析式；(2)过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，设P (m ，m 2-4m +3)，根据OE 的解析式表示点G 的坐标，表示PG 的长，根据面积和可得△OPE 的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；(3)求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE 的交点坐标、与AE 的交点坐标，用含h 的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h 的取值范围；(4)存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP ≌△PNF ，根据|OM |=|PN |，列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P 的坐标．解：(1)∵抛物线L ：y =x 2+bx +c 经过点A (0，3)，B (1，0)，∴1+b +c =0c =3，解得b =-4c =3 ，周日∴抛物线的解析式为：y =x 2-4x +3；(2)如图，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，设P (m ，m 2-4m +3)，∵OE 平分∠AOB ，∠AOB =90°，∴∠AOE =45°，∴△AOE 是等腰直角三角形，∴AE =OA =3，∴E (3，3)，∴直线OE 的解析式为：y =x ，∴G (m ，m )，∴PG =m -(m 2-4m +3)=-m 2+5m -3，∴S △OPE =S △OPG +S △EPG=12PG •AE =12×3×(-m 2+5m -3)=-32(m 2-5m +3)=-32m -52 2+398，∵-32<0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，此时，P 点坐标为52，-34；(3)由y =x 2-4x +3=(x -2)2-1，得抛物线l 的对称轴为直线x =2，顶点为(2，-1)，抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F (2，-1+h )．设直线x =2交OE 于点M ，交AE 于点N ，则E (3，3)，∵直线OE 的解析式为：y =x ，∴M (2，2)，∵点F 在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，∴2≤-1+h ≤3，解得3≤h ≤4；(4)设P (m ，m 2-4m +3)，分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP =∠PNF =90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP =PF ，∠OPF =90°，周日∴∠OPM +∠NPF =∠PFN +∠NPF =90°，∴∠OPM =∠PFN ，∴△OMP ≌△PNF (AAS )，∴OM =PN ，∵P (m ，m 2-4m +3)，则-m 2+4m -3=2-m ，解得：m =5+52(舍)或5-52，∴P 的坐标为5-52，1-52 ；②当P 在对称轴的左边，且在x 轴上方时，同理得：2-m =m 2-4m +3，解得：m 1=3+52(舍)或m 2=3-52，∴P 的坐标为3-52，5+12 ；③当P 在对称轴的右边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：m 1=3+52或m 2=3-52(舍)；P 的坐标为3+52，1-52 ；④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图，同理得m 2-4m +3=m -2，解得：m =5+52或5-52(舍)，P 的坐标为：5+52，5+12；综上所述，点P 的坐标是：5-52，1-52或3-52，5+12或3+52，1-52 或5+52，5+12 ．方法二：作直线DE ：y =x -2，E (1，-1)是D 点(2，0)绕O 点顺时针旋转45°并且OD 缩小2倍得到，易知直线DE 即为对称轴上的点绕O 点顺时针旋转45°，且到O 点距离缩小2倍的轨迹，联立直线DE 和抛物线解析式得x 2-4x +3=x -2，周日解得x 1=5+52，x 2=5-52，同理可得x 3=3+52或x 4=3-52；综上所述，点P 的坐标是：5-52，1-52 或3-52，5+12 或3+52，1-52 或5+52，5+12 ．总结提升：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．2.(2022•攀枝花)如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于O (O 为坐标原点)，A 两点，且二次函数的最小值为-1，点M (1，m )是其对称轴上一点，y 轴上一点B (0，1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连结PA ，PB ，设点P 的横坐标为t ，△PAB 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N 的坐标，若不存在，请说明理由．思路引领：(1)根据题意知，二次函数顶点为(1，-1)，设二次函数解析式为y =a (x -1)2-1，将点B (0，0)代入得，a -1=0，即可得出答案；(2)连接OP ，根据题意得点A 的坐标，则S =S △AOB +S △OAP -S △OBP ，代入化简即可；(3)设N (n ，n 2-2n )，分AB 或AN 或AM 分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n =的值，进而得出答案．解：(1)∵二次函数的最小值为-1，点M (1，m )是其对称轴上一点，∴二次函数顶点为(1，-1)，设二次函数解析式为y =a (x -1)2-1，将点O (0，0)代入得，a -1=0，∴a =1，∴y =(x -1)2-1=x 2-2x ；(2)连接OP ，。

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式22： ABy A y B x A x B2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：x A x B y A y B2 ，2直线 yk 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2 0 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k 1k 2 且 b 1 b 2（ 2）两直线相交k 1 k 2（ 3）两直线重合k 1 k 2 且 b 1 b 2（ 4）两直线垂直k 1k 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于 x 的一元二次方程x 2－2 m 1 x m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。

4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线213 与ymxmxx轴交于两个不同的整数点，且 m为正整数，试确定3此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于 x 的方程 mx 23(m 1)x 2m3 0（ m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当 m0 时， x 1；当 m0 时，m 3 20 ， x 3 m 1， x 1 23、 x 2 1 ；2mm综上所述：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 yx 2mx m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个解：把原解析式变形为关于m 的方程 yx 2 2 m 1x ；y x 22 0 y 1；∴x，解得：x11 0∴ 抛物线总经过一个固定的点（ 1，－ 1）。

（题目要求等价于：关于 m 的方程 y x 22 m 1 x 不论 m 为何值，方程恒成立） ．． x的方程 ax b 有无数解a 0小结 ：关于b7、路径最值问题 （待定的点所在的直线就是对称轴）（ 1）如图，直线 l 1 、 l 2 ，点 A 在 l 2 上，分别在 l 1 、 l 2 上确定两点 M 、 N ，使得 AM MN 之和最小。

“二次函数〞常考题型总结“二次函数〞综合题经常察看以下几类，面积，周长、最值，也许与四边形、圆等结合察看一些相关的性质等，题目编号灵便，难度有点大，今天整理了常考题型，希望对同学们能有所帮助！面积类1、如图,抛物线经过点A〔-1,0〕、B〔3,0〕、C〔0,3〕三点．〔1〕求抛物线的剖析式．〔2〕点M 是线段BC 上的点〔不与B,C 重合〕,过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N,假设点M 的横坐标为m,请用m 的代数式表示MN 的长．〔3〕在〔2〕的条件下,连接NB、NC,可否存在m,使△BNC 的面积最大?假设存在,求m 的值；假设不存在,说明原由．2、如图，抛物线y=ax2- 3/2 x-2(a ≠0)的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于 C 点， B 点坐标为〔4，0〕．〔1〕求抛物线的剖析式；〔2〕试试究△ABC 的外接圆的圆心地址，并求出圆心坐标；〔3〕假设点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．平行四边形类3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2 +mx+n 经过点A〔3，0〕、B〔0，-3〕，点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t。

〔1〕分别求出直线AB 和这条抛物线的剖析式；〔2〕假设点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；〔3〕可否存在这样的点P，使得以点P、M 、B、O 为极点的四边形为平行四边形？假设存在，请直接写出点P 的横坐标；假设不存在，请说明原由。

如图，在平面直角坐标系中放置素来角三角板，其极点为A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，获取△A'B'O ．〔1〕一抛物线经过点A'、B'、B，求该抛物线的剖析式；〔2〕设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，可否存在点P，使四边形PB'A'B 的面积是△A'B'O 面积 4 倍？假设存在，央求出P 的坐标；假设不存在，请说明原由．〔3〕在〔2〕的条件下，试指出四边形PB'A'B 是哪一种形状的四边形？并写出四边形PB'A'B 的两条性质．5、如图，抛物线y=x2-2x+c 的极点 A 在直线l ：y=x-5 上。

重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。

所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

中考数学二次函数和几何综合汇编经典和答案解析1一、二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于()()1, 0, 3, 0A B -两点，点C 为抛物线的顶点．点(0,)M m 为y 轴上的动点，将抛物线绕点M 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B C 、旋转后的对应点分别记为’'B C 、．（1）若1a =，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形''BCB C 的面积为40时，求m 的值；（3）探究a 满足什么条件时，存在点M ，使得四边形' 'BCB C 为菱形?请说明理由．2．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，()2,0A -，()4,0B ，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式：（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积；（3）在直线l 上有一点P ，连接AP ，CP ，则AP CP 的最小值为______；（4）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A （﹣12，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第一象限内抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P ，使△BPQ ∽△CAB ．若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．小明结合自己的学习经验，对新函数y ＝21b kx +的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝1．（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为： ． （2）函数图象探究：①根据解析式，补全如表，则m ＝ ，n ＝ ．②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象． x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣12 0121 2 n 4 ……y……21715 25m85285 12515 217…… （3）函数性质探究：请你结合函数的解析式及所画图象，写出该函数的一条性质： ．（4）综合应用：已知函数y ＝|715x ﹣815|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|715x ﹣815|≤21bkx +．6．如果抛物线C 1：2y ax bx c =++与抛物线C 2：2y ax dx e =-++的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线247y x x =-+形成两个交点M 、N ，记平移前后两抛物线的顶点分别为A 、B ，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN 的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，那么系数b 与d ，c 与e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．7．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数2||y x x =-的有关图象和性质”．探究过程如下：（1）列表：问m =______． x …3- 2- 1- 0 1 2 122…y (6)20 0 2 m…（2）请在平面直角坐标系中画出图象．（3）若方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根，则p =______．（4）试写出方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根时，p 的取值范围是______． 8．定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线()2n n n y x a b =--+（n 为正整数，且120n a a a ≤<<<）与x 轴的交点为(0,0)A 和()1,0,2n n nn A c c c -=+．当1n =时，第1条抛物线()2111=--+y x a b 与x 轴的交点为(0,0)A 和1(2,0)A ，其他以此类推． （1）求11,a b 的值及抛物 线2y 的解析式．（2）抛物线n y 的顶点n B 的坐标为（_______，_______）；以此类推，第(1)n +条抛物线1n y +的顶点1n B +的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标(,)x y 满足的函数关系式是_________． （3）探究以下结论：①是否存在抛物线n y ，使得△n n AA B 为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线n y 的解析式；若不存在，请说明理由．②若直线(0)=>x m m 与抛物线n y 分别交于点12,,,n C C C ，则线段12231,,,n n C C C C C C -的长有何规律？请用含有m 的代数式表示．10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y 轴交于点C ．直线BC 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1，请探究在平移的过程中是否存在点 O 1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O 1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连结AC ，请探究在抛物线上是否存在一点F ，使直线EF ∥AC ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由．二、中考几何压轴题11．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，,GE BC ⊥垂足为点,E GF CD ⊥，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断：AGBE的值为_ _； （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转a 角)045(a ︒<<︒，如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：若24AB EC ==，正方形CEGF 在绕点C 旋转过程中，当A E G 、、三点在一条直线上时，则BE = ．12．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明． 13．几何探究： （问题发现）（1）如图1所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等边三角形，BD 、CE 的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）（类比探究）（2）如图2所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的含有30角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由； （拓展延伸）（3）如图3所示，△ADE 和△ABC 是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE 绕点A 自由旋转，若22BC =，当B 、D 、E 三点共线时，直接写出BD 的长．14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（问题理解）(1)如图1，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD 、CD ． 求证：四边形ABCD 是等补四边形；（拓展探究）(2)如图2，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，连接AC ，AC 是否平分∠BCD ？请说明理由； （升华运用）(3)如图3，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，其外角∠EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ．若CD ＝6，DF ＝2，求AF 的长． 15．综合与实践 操作探究（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，AC 与EF 交于点G ．请回答下列问题：①与AEG △全等的三角形为______，与AEG △相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：②若连接AF 、CE ，请判断四边形AFCE 的形状：______．并证明你的结论； 拓展延伸（2）如图2，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点M 、N 分別在AB 、DC 边上，且AM NC =，将矩形折叠，使点M 与点N 重合，折痕为EF ，MN 与EF 交于点G ，连接ME ．①设22m AM AE =+，22n ED DN =+，则m 与n 的数量关系为______； ②设AE a =，AM b =，请用含a 的式子表示b ：______； ③ME 的最小值为______．16．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB 与△EFC 全等，∠ADB ＝∠EFC ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝6．将直角边AD 和EF 重合摆放．点P 、Q 分别为BE 、AF 的中点，连接PQ ，如图1．则△APQ 的形状为 ．操作探究（1）若将△EFC 绕点C 顺时针旋转45°，点P 恰好落在AD 上，BE 与AC 交于点G ，连接PF ，如图2． ①FG ：GA ＝ ；②PF 与DC 的位置关系为 ； ③求PQ 的长； 开放拓展（2）若△EFC 绕点C 旋转一周，当AC ⊥CF 时，∠AEC 为 ． 17．综合与实践动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰Rt AEF 的直角顶点A 与正方形ABCD 的顶点A 重合（AE AD >），按如图（1）所示重叠在一起，使点E 在CD 边上，连接BF ．则可证：ADE ≌△△______，______三点共线；发现问题：（1）如图（2），已知正方形ABCD ，E 为DC 边上一动点，DC nDE =，AF AE ⊥交CB 的延长线于F ，连结EF 交AB 于点G ．若2n =，则AG BG =______，AGE BGFS S =△△______； 尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若3n =，求证：5AG GB =；拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当n =______时，AG 为GB 的6倍（直接写结果，不要求证明）． 18．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE ．求证：AE ⊥CE ．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC ，BD ，EF ，AF ．设AC 与BD 相交于点O ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ，且AC =BD ． 又∵四边形BEDF 是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=1EF，且EF=BD．2∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF是矩形．（依据2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP=30°，AE=31，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．19．（1）问题发现如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP 长度的最小值及此时点N的坐标．20．如图，已知ABC和ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．B解析：（1）2 23;y x x =--（2）416m m ==-或；（3）3a ≥M ，使得四边形''BCB C 为菱形，理由见解析【分析】（1）因为1a =，所以2y x bx c =++，将()()1, 0, 3, 0A B -代入得关于b 和c 的二元一次方程组，解方程组得到b 和c 即可求得原抛物线的解析式；（2）连接','CC BB ，延长BC 与y 轴交于点E ，根据题（1）可求出点B 、C 的坐标，继而求出直线BC 的解析式及点E 的坐标，根据题意易知四边形''BCB C 是平行四边形，继而可知()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆=-=⨯-⨯=，由此可知ME ＝10，继而即可求解点M 的坐标；（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，继而可证MOB CDM ∆∆，根据相似三角形的性质可得MO MD BO CD •=•代入数据即可求解．【详解】解：（1）∵1a =，∴2y x bx c =++将()()1, 0, 3, 0A B -代入得：10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴原抛物线的函数表达式为：2 23y x x =--；（2）连接','CC BB ，并延长BC 与y 轴交于点E ，二次函数2 23y x x =--的项点为(1,4,)-()1,4,C ∴-()3, 0,B∴直线BC 的解析式为： 2 6.y x =--()0,6E ∴-抛物线绕点M 旋转180︒','MB MB MC MC ==∴四边形''BCB C 是平行四边形，()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆∴=-=⨯-⨯= 10ME416m m ∴==-或（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，当MB MC ⊥时，MOB CDM ∆∆，MO BO CD MD∴= 即MO MD BO CD •=•二次函数()()13y a x x =+-的顶点为()()()1,4,0,,3,0a M m B - 1,,4,3CD MO m MD m a ON ∴==-=+=，()43m m a ∴-+=，∴2430m am ，216120,0a a ∆-≥>a ∴≥所以a ≥M ，使得四边形''BCB C 为菱形．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、菱形的性质，难度较大，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质及二次函数的性质，注意挖掘题目中的隐藏条件．2．A解析：（1）233642y x x =--；（2）454；（3）134）存在，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入26y ax bx =+-可得关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可得答案；（2）过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，根据抛物线解析式可得点C 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据BC 解析式可表示出点H 坐标，即可表示出DH 的长，根据△BCD 的面积列方程可求出x 的值，即可得点D 坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）根据二次函数的对称性可得点A 与点B 关于直线l 对称，可得BC 为AP +CP 的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；（4）根据平行四边形的性质得到MB //ND ，MB =ND ，分MB 为边和MB 为对角线两种情况，结合点D 坐标即可得点N 的坐标．【详解】（1）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，()2,0A -，()4,0B ，∴426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为：233642y x x =--． （2）如图，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，当0x =时，6y =-，∴()0,6C -，设BC 的解析式为y kx b =+，则640b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴BC 的解析式为：362y x =-， 设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,62H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2233336632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∵BCD △的面积是92， ∴1922DH OB ⨯=， ∴213943242x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭， 解得：1x =或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上，∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ABD △的面积11154562244AB DG ⨯=⨯⨯=；（3）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于直线l 对称，∴BC 为AP +CP 的最小值，∵B （4，0），C （0，-6），∴AP +CP 的最小值=BC =2246+=213． 故答案为：213（4）①当MB 为对角线时，MN //BD ，MN =BD ，过点N 作NE ⊥x 轴于E ，过当D 作DF ⊥x 轴于F ，∵点D （3，154-）， ∴DF =154， 在△MNE 和△BDF 中，NEM DFB NMB DBF MN BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MNE ≌△BDF ，∴DF =NE =154， ∵点D 在x 轴下方，MB 为对角线，∴点N 在x 轴上方，∴点N 纵坐标为154， 把y =154代入抛物线解析式得：215336442x x =--， 解得：1114x =-，2114x =+， ∴1N （114-，154），2N （114+，154）如图，当BM 为边时，MB //ND ，MB =ND ，∵点D （3，154-）， ∴点N 纵坐标为154-， ∴233156424x x --=-， 解得：11x =-，23x =（与点D 重合，舍去），∴3N （1-，154-），综上所述：存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 3．A解析：（1）2312y x x =-++；（2）DE AE 的最大值为45；（3）914511924145(P -+-+或9177317()P --+ 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）构造出△AGE ∽△DEH ，可得DE DH AE AG=，而DE 和AG 都可以用含自变量的式子表示，最后用二次函数最大值的方法求值．（3）先发现△ABC 是两直角边比为2：1的直角三角形，由△BPQ ∽△CAB ，构造出△BPQ ，表示出Q 点的坐标，代入解析式求解即可．【详解】解：（1）分别将C （0，1）、A （﹣12，0）、B （2，0）代入y ＝ax 2+bx +c 中得110424201a b c a b c c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩， 解得：1321a b c =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为2312y x x =-++． （2）过A 作AG ∥y 轴交BC 的延长线于点G ，过点D 作DH ∥y 轴交BC 于点H ，∵B （2，0）C （0，1），∴直线BC ：y ＝12x +1，∵A （-12，0），∴G （-12，54）， 设D （23,12m m m -++），则H （1,12m m -+）， ∴DH ＝（2312m m -++）﹣（112m -+）， ＝﹣m 2+2m ，∴AG=54， ∵AG ∥DH ， ∴()2224415554DE DH m m m AE AG -+===--+，∴当m ＝1时，DE AE 的最大值为45． （3）符合条件的点P 914511924145-+-+9177317--+ ∵l ∥BC ， ∴直线l 的解析式为：y ＝-12x ，设P （n ，-12n ），∵A （-12，0），B （2，0），C （0，1），∴AC 2＝54，BC 2＝5，AB 2＝254．∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°．∵△BPQ ∽△CAB ， ∴12BP AC BQ BC ==， 分两种情况说明：①如图3，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵∠PNB ＝∠BMQ ＝90°， ∠NBP +∠MBQ ＝90°，∠MQB +∠MBQ ＝90°，∴∠NBP ＝∠MQB ．∴△NBP ∽△MQB ，∴12PN NB BM MQ ==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴1,2PN n ON n ==， ∴BN ＝2﹣n ，∴BM ＝2PN ＝n ，QM ＝2BN ＝4﹣2n ，∴OM ＝OB +BM ＝2+n ，∴Q （2+n ，2n ﹣4），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221242n n n -++++=-， 2n 2+9n ﹣8＝0， 解得：)1291459145n n -+--==舍∴P (914511924145,416-+-+)． ②如图4，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵△PNB ∽△BMQ ，又∵△BPQ ∽△CAB ，∴2BC QM AC BN==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴Q （2﹣n ，4﹣2n ），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221422n n n --+-+=-， 化简得：2n 2﹣9n +8＝0， 解得：)12917917n n -+==舍， ∴P 9177317--+． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．4．A 解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为124(85,858)55Q ，21722(,)77Q ． 【分析】(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ ＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标．【详解】(1)当0y =，2280x x --=，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ，x ＝0时，y ＝﹣8，∴(0,8)C -；(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：408k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为28y x =-，设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，解得，1m =2m =∴Q 8)， 当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128m 5=（舍去），m 2＝0（舍去）； 当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177m =， ∴Q 1722(,)77-．综上所述，满足条件的Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q -． 【点睛】 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．(1) y=221x +;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y 取得最大值2.(4)-1≤x≤2 【分析】(1)待定系数法求解函数解析式(2)分别将m,n 代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解(3)观察图像即可,答案不唯一(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.【详解】解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得20111b b k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得:12k b =⎧⎨=⎩ ∴函数的解析式为y =221x + (2) ①令x =-1, 则y=1, ∴m =1令y =15,则x =±3,∵2＜n ＜4, ∴n =3②(3)函数存在最大值,当x =0是,y 取得最大值2. (4)直接观察图象可知,当|715x ﹣815|≤时,-1≤x ≤2 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.6．C解析：（1）241y x x =-+-；（2）2；（3）b dc e =-⎧⎨=-⎩【分析】（1）先求出抛物线C 1的顶点坐标，进而得出抛物线C 2的顶点坐标，即可得出结论； （2）设正方形AMBN 的对角线长为2k ，得出B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），再用点M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，建立方程求出k 的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C 1，C 2的顶点相同，得出b ，d 的关系式，再由两抛物线的顶点在x 轴，求出c ，e 的关系，即可得出结论． 【详解】解：（1）解：（1）∵y ＝x 2−4x ＋7＝（x −2）2＋3， ∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y ＝−（x −2）2＋3， 即y ＝−x 2＋4x −1； （2）如图，由（1）知，A （2，3）， 设正方形AMBN 的对角线长为2k ，则点B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ）， ∵M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上， ∴3＋k ＝（2＋k −2）2＋3， 解得k ＝1或k ＝0（舍）；∴正方形AMBN 的面积为12×(2k )2＝2；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为（2b a-，244ac b a-），抛物线C 2：y ＝−ax 2＋dx ＋e 的顶点为（2d a ，244ae d a---），∵抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线， ∴22b d a a-=， ∴=-b d ，∵抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，∴224444ac b ae d a a ---=-， ∴c e =-，即b d c e =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键． 7．（1）154m =；（2）见解析；（3）0p =；（4）14p =-或0p >．【分析】（1）把x=122代入解析式，计算即可；（2）按照画图像的基本步骤画图即可；（3）一个方程有两个不同实数根，另一个方程有两个相等的实数根和两个方程都有两个不同的实数根，但是有一个公共根；（4）结合函数的图像，分直线经过顶点和在x 轴上方两种情形解答即可． 【详解】（1）当x=122时，2||y x x =-=25)2|(|52- =154， ∴154m =； （2）画图像如下；（3）当x≥0时，函数为2y x x ；当x ＜0时，函数为2y x x =+；∵方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根， ∴两个方程有一个公共根，设这个根为a ， 则22a a a a -=+， 解得a=0， 当a=0时，p=0， 故答案为：p=0；（4）∵方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根， ∴p ＞0； 或△=0 即1+4p=0， 解得14p =-．综上所述，p 的取值范围是14p =-或0p >． 【点睛】本题考查了二次函数图像，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系，灵活运用分类思想，数形结合思想是解题的关键． 8．（1）见解析；（2）①4m =，1(3,)2D -；②存在，76y x =或2y x =或110y x =-【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线； （2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,)24-，中分线解析式为110y x =-． 【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线， 直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得 143202m ⨯-⨯+=， 解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得 234201x x -+=， 解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ， 令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分， 所以平行四边形的中分线必过对角线的交点． Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,)22++，即(1,2)． 中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-， 中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-， 综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．9．C解析：（1）1111a b =⎧⎨=⎩ ；y 2 ＝−（x−2）2＋4；（2）（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2 ]；y ＝x 2；（3）①存在，理由见详解；②C 1n -C n ＝2m ． 【分析】（1）1(2,0)A ），则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：()2112110=-0(-2-)a b a b ⎧-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩ ，则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4，即可求解；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B +[（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ，即可求解； （3）①△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2＋4n ），即可求解；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n = y n c −y 1n c -，即可求解． 【详解】解：（1）1(2,0)A ，则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：2112110=()0(2)a b a b ⎧--+⎨=---+⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩， 则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4； 故y 2 ＝−（x−2a ）2＋2b ＝−（x−2）2＋4；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B + [（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ； 故答案为：（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2]；y ＝x 2； （3）①存在，理由：点A （0，0），点An （2n ，0）、点n B （n ，n 2 ），△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2 ＋n 4）， 解得：n ＝1（不合题意的值已舍去）， 抛物线的表达式为：y ＝−（x−1）2 ＋1； ②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2， y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n ＝y n c −y 1n c -＝−（m−n ）2＋n 2 ＋（m−n ＋1）2−（n−1）2＝2m ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．10．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1)3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可． 【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3 得：{309330a b a b ++=-+=解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+ ∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3） ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y x = 根据题意 得 223x x x --+= 整理得 2330x x +-=解得 1x =2x =∴O 1 )或)解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3 ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3 ∴23(23)3x x x +---+= 整理得 2330x x +-= 解得 13212x -+=23212x --= ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y=x ∴O 1(3212-+,3212-+ )或（3212--，3212--）(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴 根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3) ∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形 ∴EF ∥CA设直线EF 的解析式为y kx b =+ 得：{320k bk b =-+=-+ 解得：{33k b =-=-∴直线EF 解析式为 33y x =-- 根据题意 得 22333x x x --+=-- 解得12x =- 23x =满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题．二、中考几何压轴题11．（1）证明见解析；；（2）线段与之间的数量关系为；（3）或 【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF 是矩形，再由即可得证；②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得； （2解析：（1）①证明见解析；2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG =；（3【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CGCE=GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接CG ，只需证ACG BCE 即可得；（3）由（2）证出ACGBCE 就可得到BE AG =，再根据A E G 、、三点在同一直线上分在CD 左边和右边两种不同的情况求出AG 的长度，即可求出BE 的长度． 【详解】（1）①证明：四边形ABCD 是正方形，90,45BCD BCA ∴∠=︒∠=︒ ,,GE BC GF CD ⊥⊥90,CEG CFG ECF ∴∠=∠=∠=︒∴四边形CEGF 是矩形，45,CGE ECG ∠=∠=︒,EG EC ∴=∴四边形CEGF 是正方形；②解：由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴CGCE=，GE ∥AB ，∴AG CGBE CE==（2）如下图所示连接,CG 由旋转性质知,BCE ACG a ∠=∠=在Rt CEG △和Rt CBA 中，45CE cos CG =︒=45CB cos CA =︒=CG CACE CB∴== ,ACGBCE ∴AG CABE CB∴==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为2AG BE =；（3）解：①当正方形CEGF 在绕点C 旋转到如下图所示时： 当A E G 、、三点在一条直线上时， 由（2）可知ACG BCE ，2AG CABE CB∴==， 22BE AG ∴=∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，24AB EC ==，222224432AC AB BC ∴=+=+=42AC ∴=22222(42)228AE AC CE ∴=-=-=27AE ∴=272AG AE EG ∴=+=+22(272)14222BE AG ∴==⨯+=+②当正方形CEGF 在绕点C 旋转到如下图所示时：当A E G 、、三点在一条直线上时， 由（2）可知ACG BCE ，2AG CA BE CB∴==， 2BE AG ∴=∠CEA=∠ABC=90°，24AB EC ==，222224432AC AB BC ∴=+=+= 42AC ∴=22222(42)228AE AC CE ∴=-=-= 27AE ∴=272AG AE EG ∴=-=-22(272)14222BE AG ∴==⨯-=-142142【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（1）是，理由见解析；（2）或或；（3），证明见解析．【分析】（1）证明，可得，又点F 为CD 中点,即可得出结论；（2）当为点构成的四边形的准中位线．则M 、N 一定是中点，再分两种情况讨论：和，根解析：（1）是，理由见解析；（2）1211t =或2t =或4t =；（3）M CNF ∠=∠，证明见解析．【分析】（1）证明EDB ABD ∠=∠，可得DE BE AE ==，又点F 为CD 中点,即可得出结论； （2）当MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．则M 、N 一定是中点，再分两种情况讨论：BE AF 和EF AB ∥，根据平行线分线段成比例列方程即可求解；（3）连接BD ，取BD 的中点H ，连接EH ，FH 得两条中位线，根据中位线定理，得平行，可找到相等角和线段，从而可得EFH △是等腰三角形，进而可得M HEF HFE CNF ∠=∠=∠=∠．【详解】解：（1）EF 是四边形ABCD 的准中位线，理由如下：∵DE AE =，。

中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型类型1 探究图形面积数量关系及最值等问题1．如图甲，四边形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A ，D ，交y 轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；(2)设△AOC 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOC 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围；(3)当0＜t ≤32时，求S 的最大值．2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；(2)若点P在直线x＝2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d的值；(3)如图2，直线AC：y＝－x＋m经过点A，交y轴于点C.探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA＝2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA，OC的长(OA＜OC)是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A，B不重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．类型2 探究线段的数量关系及最值问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M(2，－1)，交x轴于A，B两点，交y 轴于点C，其中点B的坐标为(3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；(3)在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．2．已知点M 是二次函数y ＝ax 2(a ＞0)图象上的一点，点F 的坐标为(0，14a)，直角坐标系中的坐标原点O 与点M ，F 在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为18. (1)求a 的值；(2)当O ，Q ，M 三点在同一条直线上时，求点M 和点Q 的坐标；(3)当点M 在第一象限时，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为点N ，求证：MF ＝MN ＋OF.3．如图1，已知▱ABCD顶点A的坐标为(2，6)，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m，6)是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．类型3 探究特殊四边形的存在性问题1．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A(－2，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴为直线x ＝1.(1)直接写出抛物线的解析式y ＝－12x 2＋x ＋4； (2)把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A ，C 的对应点分别为A ′，C ′，当C`落在抛物线上时，求A ′，C ′的坐标；(3)除(2)中的点A ′，C ′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E ，F ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？3．(贵港模拟)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．2轴交于点E，B.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝3x＋2 3.(1)求b，c的值；(2)过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.(1)求a，c的值；(2)连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y 轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．2．如图1，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)．抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′＝∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．1．如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；(3)连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图1，在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；(3)如图2，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．中考数学压轴题：二次函数与几何图形综合题型参考答案类型1 探究图形面积数量关系及最值等问题1．(贵港模拟)如图甲，四边形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A ，D ，交y 轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；(2)设△AOC 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOC 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围； (3)当0＜t ≤32时，求S 的最大值．图1 图2解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)． ∵将C(0，3)代入，得－3a ＝3，解得a ＝－1. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴B(1，4)．(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b.∵将A(3，0)，B(1，4)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6，∴y ＝－2x ＋6.过点C 作射线CF ∥x 轴交AB 于点F.∵将y ＝3代入直线AB 的解析式得：－2x ＋6＝3，得x ＝32，∴F(32，3)．①当0＜t ≤32时，如图1所示．设△AOC 平移到△PNM 的位置，PM 交AB 于点H ，MN 交AC 于点G.则ON ＝AP ＝t ，过点H 作LK ⊥x 轴于点K ，交CF 于点L.由△AHP ∽△FHM ，得AP FM ＝HK HL ，即t 32－t ＝HK3－HK.解得HK ＝2t.∴S ＝S △MNP －S △G NA －S △HAP ＝12×3×3－12(3－t)2－12t ×2t ＝－32t 2＋3t.②当32＜t ≤3时，如图2所示：设△AOC 平移到△PQR 的位置，RQ 交AB 于点I ，交AC 于点V. ∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋6， ∴V(t ，t ＋3)，I(t ，－2t ＋6)．∴IV ＝－2t ＋6－(－t ＋3)＝－t ＋3，AQ ＝3－t.∴S ＝S △IVA＝12AQ ·IV ＝12(3－t)2＝12t 2－3t ＋92.综上所述，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32t 2＋3t （0<t ≤32），12t 2－3t ＋92（32<t ≤3）.(3)当0＜x ≤32时，S ＝－32t 2＋3t ＝－32(t －1)2＋32，当t ＝1时，S 最大＝32.2．(十堰模拟)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)． (1)求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；(2)若点P 在直线x ＝2上运动，当点P 到直线AD 的距离d 等于点P 到x 轴的距离时，求d 的值； (3)如图2，直线AC ：y ＝－x ＋m 经过点A ，交y 轴于点C.探究：在x 轴上方的抛物线上是否存在点M ，使得S △CDA ＝2S △ACM ？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4.∴D(1，4)．(2)设P(2，y P )，过P 作PE ⊥AD 于点E ，设直线AD 与直线x ＝2交于点G ， 则PE ＝d ＝|y P |，直线AD 的解析式为y ＝2x ＋2， ∴G(2，6)．∴PG ＝6－y P . ∵sin ∠AGP ＝AN AG ＝335，∴PE PG ＝15.∴PG ＝5|y P |＝5d. ①若点P 在第一象限，则PG ＝6－d ， ∴5d ＝6－d ，解得d ＝35－32.∴5d ＝6＋d ，解得d ＝35＋32.∴d 的值为35－32或35＋32.(3)∵直线AC 过点A ，所以可求得直线AC ： y ＝－x －1.过点D 作DE ∥AC ，交y 轴于点E ，可求得直线DE ：y ＝－x ＋5. ∴E(0，5)．∴EC 的中点F(0，2)． ∴过点F 平行于AC 的直线为y ＝－x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－x 2＋2x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－132，y 1＝1＋132.或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3＋132，y 2＝1－132.(舍去) ∴M(3－132，1＋132)．3．(玉林模拟)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA ，OC 的长(OA ＜OC)是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝1.(1)求A ，B ，C 三点的坐标； (2)求此抛物线的解析式；(3)若点D 是线段AB 上的一个动点(与点A ，B 不重合)，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵OA ，OC 的长是 x 2－5x ＋4＝0的根，OA ＜OC ， ∴OA ＝1，OC ＝4.∵点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的负半轴， ∴A(－1，0)，C(0，－4)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1， ∴由对称性可得B 点坐标为(3，0)．(2)∵点C(0，－4)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上，∴c ＝－4. 将A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －4，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，9a ＋3b －4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－83. ∴所求抛物线解析式为y ＝43x 2－83x －4.(3)根据题意，BD ＝m ，则AD ＝4－m. 在Rt △OBC 中，BC ＝OB 2＋OC 2＝5. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∴DE BC ＝ADAB .∴DE ＝AD ·BC AB ＝5（4－m ）4＝20－5m 4.过点E 作EF ⊥AB 于点F ，则sin ∠EDF ＝sin ∠CBA ＝OC BC ＝45.∴EF DE ＝45.∴EF ＝45DE ＝45×20－5m4＝4－m.∴S △CDE ＝S △ADC －S △ADE ＝12(4－m)×4－12(4－m)(4－m)＝－12m 2＋2m(0＜m ＜4)．∵S ＝－12(m －2)2＋2，a ＝－12＜0，∴当m ＝2时，S 有最大值2. ∴点D 的坐标为(1，0)．类型2 探究线段的数量关系及最值问题1．(贵港)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的顶点为M(2，－1)，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，其中点B 的坐标为(3，0)． (1)求该抛物线的解析式；(2)设经过点C 的直线与该抛物线的另一个交点为D ，且直线CD 和直线CA 关于直线BC 对称，求直线CD 的解析式；(3)在该抛物线的对称轴上存在点P ，满足PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，求点P 的坐标；并直接写出此时直线OP 与该抛物线交点的个数．解：(1)将M(2，－1)，B(3，0)代入抛物线的解析式中，得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋3＝－1，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)由抛物线的解析式知：B(3，0)，C(0，3)． ∴△OBC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°.过B 作BE ⊥x 轴，交直线CD 于E ，则∠EBC ＝∠ABC ＝45°. 由于直线CD 和直线CA 关于直线CB 对称，∴点A ，E 关于直线BC 对称，则BE ＝AB ＝2.∴E(3，2)．由于直线C D 经过点C(0，3)，可设该直线的解析式为y ＝kx ＋3，代入E(3，2)后，得：3k ＋3＝2，k ＝－13，∴直线CD 的解析式：y ＝－13x ＋3.(3)设P(2，m)，已知M(2，－1)，B(3，0)，C(0，3)，则PM 2＝(2－2)2＋(m ＋1)2＝m 2＋2m ＋1，PB 2＝(3－2)2＋(0－m)2＝m 2＋1，PC 2＝(0－2)2＋(3－m)2＝m 2－6m ＋13. 已知：PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，则m 2＋2m ＋1＋m 2＋1＋m 2－6m ＋13＝35，化简得：3m 2－4m －20＝0，解得m 1＝－2，m 2＝103.∴P 1(2，－2)，P 2(2，103)．当点P 坐标为(2，103)时，由图可知，直线OP 与抛物线必有两个交点；当点P 坐标为(2，－2)时，直线OP ：y ＝－x ，联立抛物线的解析式有：x 2－4x ＋3＝－x ，即x 2－3x ＋3＝0. Δ＝(－3)2－4×3＜0， ∴该直线与抛物线没有交点．综上，直线OP 与抛物线的解析式有两个交点．2．(淄博)已知点M 是二次函数y ＝ax 2(a ＞0)图象上的一点，点F 的坐标为(0，14a)，直角坐标系中的坐标原点O 与点M ，F 在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为18.(1)求a 的值；(2)当O ，Q ，M 三点在同一条直线上时，求点M 和点Q 的坐标；(3)当点M 在第一象限时，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为点N ，求证：MF ＝MN ＋OF.解：(1)∵圆心Q 的纵坐标为18，∴设Q(m ，18)，F(0，14a )．∵QO ＝QF ，∴m 2＋(18)2＝m 2＋(18－14a )2，即a ＝1.(2)∵M 在抛物线上，设M(t ，t 2)，Q(m ，18)，∵O ，Q ，M 在同一直线上，∴设直线QM 的方程为y ＝kx ＋b ，将点O ，点Q 以及点M 的坐标代入可得t 2t ＝18m ，即m ＝18t.∵QO ＝QM ，∴m 2＋(18)2＝(m －t)2＋(18－t 2)2.整理得－14t 2＋t 4＋t 2－2mt ＝0，∴4t 4＋3t 2－1＝0，解得t 1＝12，t 2＝－12.当t 1＝12时，m 1＝14；当t 2＝－12时，m 2＝－14.∴M 1(12，14)，Q 1(14，18)；M 2(－12，14)，Q 2(－14，18)．(3)设M(n ，n 2)(n ＞0)，∴N(n ，0)，F(0，14)．∴MF ＝n 2－（n 2－14）2＝（n 2＋14）2＝n 2＋14，MN ＋OF ＝n 2＋14.∴MF ＝MN ＋OF.3．(烟台)如图1，已知▱ABCD 顶点A 的坐标为(2，6)，点B 在y 轴上，且AD ∥BC ∥x 轴，过B ，C ，D 三点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m ，6)是线段AD 上一动点，直线OF 交BC 于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)设四边形ABEF 的面积为S ，请求出S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)如图2，过点F 作FM ⊥x 轴，垂足为M ，交直线AC 于P ，过点P 作PN ⊥y 轴，垂足为N ，连接MN ，直线AC 分别交x 轴，y 轴于点H ，G ，试求线段MN 的最小值，并直接写出此时m 的值．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标为(2，2)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －2)2＋2. ∴抛物线的对称轴方程为x ＝2. ∵BC ∥x 轴，∴BC ＝4.∵AD ∥x 轴，A(2，6)，∴D(6，6)．∵点D 在此抛物线上，∴6＝a(6－2)2＋2.∴a ＝14.∴抛物线解析式为y ＝14(x －2)2＋2＝14x 2－x ＋3.(2)当x ＝0时，则y ＝14(x －2)2＋2＝14(0－2)2＋2＝3，∴B(0，3)．∴OB ＝3.作FQ ⊥BC ，垂足为Q ，∴FQ ＝3. 设直线OF 为y ＝kx ，∵F(m ，6)，∴mk ＝6，k ＝6m .∴y ＝6m x.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6m x ，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m 2，y ＝3.∴E(m 2，3)，BE ＝m2.∵AF ＝m －2，∴S ＝12(AF ＋BE)·FQ ＝12(m －2＋m 2)×3＝94m －3.∵点F(m ，6)在线段AD 上，∴2≤m ≤6.即S ＝94m －3(2≤m ≤6)．(3)∵抛物线解析式为y ＝14x 2－x ＋3，∴B(0，3)，C(4，3)．∵A(2，6)，∴直线AC 解析式为y ＝－32x ＋9.∵FM ⊥x 轴，垂足为点M ，交直线AC 于点P ，∴P(m ，－32m ＋9)(2≤m ≤6)．∴PN ＝m ，PM ＝－32m ＋9.∵FM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∴∠MPN ＝90°. ∴MN ＝PN 2＋PM 2＝m 2＋（－32m ＋9）2＝134（m －5413）2＋32413. ∵2≤m ≤6，∴当m ＝5413时，MN 最大＝32413＝181313.类型3 探究特殊四边形的存在性问题1．(桂林)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A(－2，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴为直线x ＝1.(1)直接写出抛物线的解析式y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A ，C 的对应点分别为A ′，C ′，当C`落在抛物线上时，求A ′，C ′的坐标；(3)除(2)中的点A ′，C ′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E ，F ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2解：(2)由抛物线y ＝－12x 2＋x ＋4可知C(0，4)．∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，根据对称性， ∴C ′(2，4)，∴A ′(0，0)．(3)存在．设F(x ，－12x 2＋x ＋4)．以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形．①若AC 为平行四边形的边，如图1所示，则EF ∥AC 且EF ＝AC. 过点F 1作F 1D ⊥x 轴于点D ，则易证Rt △AOC ≌Rt △E 1DF 1， ∴DE 1＝2，DF 1＝4. ∴－12x 2＋x ＋4＝－4，解得x1＝1＋17，x2＝1－17.∴F1(1＋17，－4)，F2(1－17，－4)．∴E1(3＋17，0)，E2(3－17，0)．②若AC为平行四边形的对角线，如图2所示．∵点E3在x轴上，∴CF3∥x轴．∴点F3为点C关于x＝1的对称点，∴F3(2，4)，CF3＝2.∴AE3＝2.∴E3(－4，0)．综上所述，存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形；点E，F的坐标为：E1(3＋17，0)，F1(1＋17，－4)；E2(3－17，0)，F2(1－17，－4)；E3(－4，0)，F3(2，4)．(注：因点F3与点C′重合，故此处不确定E3，F3是否满足题意)2．(百色)抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴，y轴正方向运动，点E 的速度是每秒1个单位长度，点D 的速度是每秒2个单位长度．(1)求抛物线与x 轴的交点坐标；(2)若点C 为抛物线与x 轴的交点，是否存在点D ，使A ，B ，C ，D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由； (3)问几秒钟时，B ，D ，E 在同一条直线上？解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，9＋3b ＋c ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴y ＝x 2－3x ＋2.当y ＝0时，x 2－3x ＋2＝0.解得x 1＝1，x 2＝2. ∴抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(2，0)． (2)存在．当点C 为(1，0)时， ∵AB ＝3，AB ∥x 轴．∴平行四边形中，AB ＝CD ＝4－1＝3. ∴D 点为(4，0)．当C(2，0)时，同理可求D(5，0)．(3)设t 秒时，B ，D ，E 共线，则D ，E 点的坐标分别为(2t ，0)，(0，t)．设经过点B ，D ，E 的直线为y ＝kx ＋m(k ≠0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝m ，0＝2tk ＋m.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝t ，k ＝－12，或t ＝0.∵y ＝－12x ＋t 经过B(3，2)．∴2＝－12×3＋t.∴t ＝3.5.∴t ＝0或t ＝3.5秒时，B ，D ，E 共线．3．(贵港模拟)如图，直线y ＝－3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝a(x －2)2＋k 经过点A ，B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P.(1)求a ，k 的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q ，使△ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M ，N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 解：(1)∵直线y ＝－3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ， ∴A(1，0)，B(0，3)．又∵抛物线y ＝a(x －2)2＋k 经过点A(1，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－1. 故a ，k 的值分别为1，－1.图1 图2(2)设Q 点的坐标为(2，m)，对称轴x ＝2交x 轴于点F ，如图1，过点B 作BE 垂直于直线x ＝2于点E. 在Rt △AQF 中，AQ 2＝AF 2＋QF 2＝1＋m 2， 在Rt △BQE 中，BQ 2＝BE 2＋EQ 2＝4＋(3－m)2. ∵AQ ＝BQ ，∴1＋m 2＝4＋(3－m)2. ∴m ＝2.∴Q 点的坐标为(2，2)．(3)如图2，当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直，∴AC 应为正方形的对角线． 又∵对称轴x ＝2是AC 的中垂线，∴M 点与顶点P(2，－1)重合，N 点为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2，1)． 此时，MF ＝NF ＝AF ＝CF ＝1，且AC ⊥MN ， ∴四边形AMCN 为正方形．在Rt △AFN 中，AN ＝AF 2＋NF 2＝2，即正方形的边长为 2.4．(泰安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，9)，与y 轴交于点A(0，5)，与x 轴交于点E ，B.(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A ，E ，N ，M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M ，N 的坐标．解：(1)设抛物线解析式为y ＝a(x －2)2＋9， ∵抛物线与y 轴交于点A(0，5)，∴4a ＋9＝5. ∴a ＝－1.∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5. (2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝5. ∴E(－1，0)，B(5，0)． 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ， ∵A(0，5)，B(5，0)，∴m ＝－1，n ＝5. ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5. 设P(x ，－x 2＋4x ＋5)，∴D(x ，－x ＋5)． ∴PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x.∵AC ＝4，∴S 四边形APCD ＝12×AC ·PD ＝2(－x 2＋5x)＝－2x 2＋10x.∴当x ＝52时，S 四边形APCD 最大＝252.(3)如图，过M 作MH 垂直于对称轴，垂足为H. ∵MN ∥AE ，MN ＝AE ， ∴△HMN ≌△OEA.∴HM ＝OE ＝1.∴M 点的横坐标为x ＝3或x ＝1. 当x ＝1时，M 点纵坐标为8； 当x ＝3时，M 点纵坐标为8.∴M 点的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)． ∵A(0，5)，E(－1，0)， ∴直线AE 解析式为y ＝5x ＋5. ∵MN ∥AE ，∴MN 的解析式为y ＝5x ＋b.∵点N 在抛物线对称轴x ＝2上，∴N(2，10＋b)． ∵AE 2＝OA 2＋OE 2＝26， ∵MN ＝AE ，∴MN 2＝AE 2.∴MN 2＝(2－1)2＋[8－(10＋b)]2＝1＋(b ＋2)2. ∵点M 的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)， ∴点M 1，M 2关于抛物线的对称轴x ＝2对称． ∵点N 在抛物线对称轴上，∴M 1N ＝M 2N. ∴1＋(b ＋2)2＝26，解得b ＝3或b ＝－7. ∴10＋b ＝13或10＋b ＝3.∴当点M 的坐标为(1，8)时，点N 的坐标为(2，13)；当点M 的坐标为(3，8)时，点N 的坐标为(2，3)．类型4 探究全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D ，与y 轴交于点C ，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋2 3. (1)求b ，c 的值；(2)过C 作CE ∥x 轴交抛物线于点E ，直线DE 交x 轴于点F ，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M ，使得△CDM ≌△CEM ？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵直线CD 的解析式为y ＝3x ＋23， ∴C(0，23)． ∴c ＝2 3.设直线CD 交x 轴于点A ， ∴A(－2，0)． ∴OA OC ＝223＝33.∴∠OCA ＝30°. 过点D 作DM ⊥y 轴于点M ， ∴∠DCM ＝30°.∴MC ＝3DM.设抛物线的顶点横坐标为h ，则CM ＝3h. ∴D(h ，23＋3h)． ∴y ＝a(x －h)2＋23＋3h.代入C(0，23)， ∴23＝ah 2＋23＋3h. ∴h 1＝0(舍)，h 2＝－3a .∴y ＝a(x ＋3a )2＋23＋(－3a)＝ax 2＋23x ＋2 3. ∴b ＝2 3.(2)作抛物线的对称轴交x 轴于点B(如图)， ∵∠ACO ＝30°， ∴∠CDB ＝30°.由抛物线的对称性，可得△DCE 为等边三角形． ∵CE ∥x 轴，∴△DAF 为等边三角形． ∴B 为AF 中点，∵A(－2，0)，F(4，0)，∴B(1，0)．∵抛物线对称轴为直线x ＝1.∴－b 2a ＝1，∴－232a ＝1.∴a ＝－ 3.∴D(1，33)．∴y ＝－3(x －1)2＋33＝－3x 2＋23x ＋2 3. (3)存在．点M 的坐标为(53，2339)．2．(金华改编)如图，抛物线y ＝ax 2＋c(a ≠0)与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C 两点(点C 在x 轴正半轴上)，△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H.(1)求a ，c 的值；(2)连接OF ，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P ，是否存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴OA ＝12BC.又∵△ABC 的面积＝12BC ×OA ＝4，即OA 2＝4，∴OA ＝2.∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，4a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.图1(2)△OEF 是等腰三角形．理由如下：如图1， ∵A(0，2)，B(－2，0)，∴直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋2， 又∵平移后的抛物线顶点F 在射线BA 上， ∴设顶点F 的坐标为(m ，m ＋2)．∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －m)2＋m ＋2.∵抛物线过点C(2，0)， ∴－12(2－m)2＋m ＋2＝0，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝6.∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －6)2＋8，即y ＝－12x 2＋6x －10.当y ＝0时，－12x 2＋6x －10＝0，解得x 1＝2，x 2＝10. ∴E(10，0)，OE ＝10. 又∵F(6，8)，OH ＝6，FH ＝8.∴OF ＝OH 2＋FH 2＝62＋82＝10，EF ＝FH 2＋HE 2＝82＋42＝45， ∴OE ＝OF ，即△OEF 为等腰三角形．(3)存在．点Q 的坐标为(6，221)或(6，3)或(10，12)或(4＋14，6＋14)或(4－14，6－14)．类型5 探究角度数量关系的存在性问题1．(南宁)在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y ＝ax 2(a>0)上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限．(1)如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB ＝90°，且AB ＝2时，求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，A ，B 两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y ＝－2x －2分别交直线AB ，y 轴于点P ，C ，直线AB 交y 轴于点D ，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标．解：(1)设直线AB 与y 轴交于点E ，∵AB 与x 轴平行，根据抛物线的对称性有AE ＝BE ＝1. ∵∠AOB ＝90°，∴OE ＝12AB ＝1.∴A(－1，1)，B(1，1)．把x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2，得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝x 2，A ，B 两点的横坐标的乘积为x A ·x B ＝－1. (2)x A ·x B ＝－1为常数，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ， ∴∠AMO ＝∠BNO ＝90°.∴∠MAO ＋∠AOM ＝∠AOM ＋∠BON ＝90°. ∴∠MAO ＝∠BON.∴△AMO ∽△ONB. ∴AM ON ＝OMBN，即OM ·ON ＝AM ·BN. 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，∵A(x A ，y A )，B(x B ，y B )在y ＝x 2图象上， ∴y A ＝x 2A ，yB ＝x 2B .∴－x A ·x B ＝y A ·y B ＝x 2A ·x 2B . ∴x A ·x B ＝－1为常数．(3)设A(m ，m 2)，B(n ，n 2)，由(2)可知mn ＝－1.设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x 2，得x 2－kx －b ＝0. ∵m ，n 是方程的两个根，∴mn ＝－b.∴b ＝1. ∵直线AB 与y 轴交于点D ，则OD ＝1. 易知C(0，－2)，OC ＝2，∴CD ＝OC ＋OD ＝3. ∵∠BPC ＝∠OCP ，∴PD ＝CD ＝3.设P(a ，－2a －2)，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，则PG ＝－a ，GD ＝OG －OD ＝－2a －3.在Rt △PDG 中，由勾股定理得：PG 2＋GD 2＝PD 2，即(－a)2＋(－2a －3)2＝32，整理得5a 2＋12a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－125.当a ＝－125时，－2a －2＝145，∴P(－125，145)．2．(河南)如图1，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)．抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′＝∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．解：(1)由直线y ＝－43x ＋n 过点C(0，4)，得n ＝4，∴y ＝－43x ＋4.当y ＝0时，0＝－43x ＋4，解得x ＝3，∴A(3，0)．∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A(3，0)，B(0，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝23×32＋3b ＋c ，－2＝c.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－43，c ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2.(2)∵点P 的横坐标为m ，∴P (m ，23m 2－43m －2)，D(m ，－2)．若△BDP 为等腰直角三角形，则PD ＝BD.①当点P 在直线BD 上方时，PD ＝23m 2－43m.(ⅰ)若点P 在y 轴左侧，则m<0，BD ＝－m.∴23m 2－43m ＝－m ，∴m 1＝0(舍去)，m 2＝12(舍去)．(ⅱ)若点P 在y 轴右侧，则m>0，BD ＝m.∴23m 2－43m ＝m ，∴m 3＝0(舍去)，m 4＝72.②当点P 在直线BD 下方时，m>0，BD ＝m ，PD ＝－23m 2＋43m.∴－23m 2＋43m ＝m ，∴m 5＝0(舍去)，m 6＝12.综上，m ＝72或12.即当△BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为72或12.(3)P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)，P 3(258，1132)． 【提示】∵∠PB P ′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5，∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35.①当点P ′落在x 轴上时，过点D ′作D ′N ⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND ′P ′＝∠PBP ′.图1 图2 图3如图1，ND ′－MD ′＝2，即35(23m 2－43m)－(－45m)＝2.如图2，ND ′＋MD ′＝2，即35(23m 2－43m)＋45m ＝2.∴P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)；②当点P ′落在y 轴上时，如图3，过点D ′作D ′M ⊥x 轴，交BD 于点M ，过点P ′作P ′N ⊥y 轴，交MD ′的延长线于点N ，∠DBD ′＝∠ND ′P ′＝∠PBP ′. ∵P ′N ＝BM ，即45(23m 2－43m)＝35m. ∴P 3(258，1132)．拓展类型6 探究相似三角形的存在性问题1．(河池模拟)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B. (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；(3)连接OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，可设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋1， ∵抛物线过原点，∴a(0－2)2＋1＝0，a ＝－14.∴抛物线的解析式为y ＝－14(x －2)2＋1＝－14x 2＋x.(2)△AOB 和所求△MOB 同底不等高，且S △MOB ＝3S △AOB ， ∴△MOB 的高是△AOB 高的3倍，即M 点的纵坐标是－3. ∴－3＝－14x 2＋x ，即x 2－4x －12＝0.解得x 1＝6，x 2＝－2.∴满足条件的点有两个：M 1(6，－3)，M 2(－2，－3)． (3)不存在．由抛物线的对称性，知AO ＝AB ，∠AOB ＝∠ABO. 若△O BN 与△OAB 相似，必有∠B O N ＝∠BOA ＝∠BNO ， 即OB 平分∠AON.设ON 交抛物线的对称轴于点A ′，则A ，A ′关于x 轴对称， ∴A ′(2，－1)．∴直线ON 的解析式为y ＝－12x.由－12x ＝－14x 2＋x ，得x 1＝0，x 2＝6.∴N(6，－3)．过点N 作NE ⊥x 轴，垂足为点E. 在Rt △BEN 中，BE ＝2，NE ＝3， ∴NB ＝22＋32＝13.又∵OB ＝4，∴NB ≠OB ，∠BON ≠∠BNO ，△OBN 与△OAB 不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点． ∴在该抛物线上不存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似．拓展类型7 探究特殊三角形的存在性问题1．(河池)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D.(1)请直接写出点A ，C ，D 的坐标；(2)如图1，在x 轴上有一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；(3)如图2，F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)当x ＝0时，y ＝3，∴C(0，3)．当y ＝0时，－x 2－2x ＋3＝0，∴x 1＝1，x 2＝－3，又A 在B 的左边，∴A(－3，0)，B(1，0)． ∵y ＝－x 2－2x ＋3. ∴y ＝－(x ＋1)2＋4. ∴D(－1，4)．(2)如图，作C(0，3)关于x 轴的对称点C ′(0，－3)，连接DC ′与x 轴的交点即为所求点E ，此时△DCE 周长最小．设DC ′的解析式为y ＝kx ＋b.将D(－1，4)，C ′(0，－3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7，b ＝－3.∴y ＝－7x －3.令y ＝0，则－7x －3＝0.∴x ＝－37.∴E(－37，0)．(3)∵A(－3.0)，C(0，3)， ∴∠CAB ＝45°.①以A 为等腰直角三角形的顶点，则过A 作AP ⊥AC 交抛物线于点P ，过P 作PF ⊥x 轴交直线AC 于点F ，则△APF 为等腰直角三角形，可求得P(2，－5)． ②若以F 为直角顶点，则∠FAP ＝45°. 又∠FAO ＝45°，∴P 在抛物线与x 轴交点处． ∴P 可取(1，0)．③若以P 为直角顶点，则∠FAP ＝45°.又∵∠FAO ＝45°，∴P 在抛物线与x 轴交点处． ∴P 可取(1，0)． ∴P(1，0)或(2，－5)．2．(漳州)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B(3，0)，与y 轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值； (3)在(2)的条件下，当MN 取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)点B(3，0)，C(0，3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)令x 2－4x ＋3＝0，则x 1＝1，x 2＝3.∴A(1，0)． 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b.∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.设N(x ，－x ＋3)，则M(x ，x 2－4x ＋3)(1<x<3)． ∴MN ＝y N －y M＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.∴当x ＝32时，MN 的最大值为94.(3)存在，所有点P 的坐标分别是：P 1(2，3＋172)，P 2(2，3－172)，P 3(2，142)，P 4(2，－142)，P 5(2，12)．。

课题函数的综合压轴题型归类教学目标1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系2、掌握特殊图形面积的各种求法重点、难点1、利用图形的性质找点2、分解图形求面积教学内容一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总4、二次函数与X轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线y二mx2• 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：2已知关于x的方程mx -3（m-1）x • 2m-3 = 0（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。

解：当m = 0时，x =1；当m^O 时，A= （m—3f±0，x= _1）一中 '，捲=2—?、x? =1 ；2m m综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y =x2-mx • m-2 （m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m的方程y-x2，2=m1-x ；2y_x +2=0 的/曰7，解得：丿y = T；1 —x = 0.X =1学生：___________ 科目：数学教师:•••抛物线总经过一个固定的点（1, - 1 ）。

（题目要求等价于：关于m的方程y—x2二ml—x不论m为何值，方程恒成立）小结：关于x的方程ax = b有无数解u7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线h、丨2，点A在丨2上，分别在l i、丨2上确定两点M、N，使得AM MN之和最小。

（2）如图，直线、I2相交，两个固定点A、B，分别在h、J上确定两点M、N，使得BM MN AN之和最小。

（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线I上确定两点E、F （E在F的左侧），使得四边形AEFB的周长最小。

二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式以及一些关键点的坐标（如函数图像与坐标轴的交点、两函数图像的交点等）。

2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。

图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。

一些方法：如相似、三角函数、解方程。

一些转换：如轴对称、平移、旋转。

二、典型例题：（一）、求解析式可参考一下部分试题的第一问。

（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题. （2012•莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；练习：1. （2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．（2）构造相似三角形（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）构造平行四边形（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D 两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．造等腰三角形（2013•泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），（4）构与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．（5）构造直角三角形（2014•四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．（6）构造角相等（2014•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．（7）构造菱形（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．（8）构造对称点（11莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．AOByx（9）构造平行线：（2014•山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，△ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED△AC的理由．（10）构造垂直：（2014宜宾市）如图，已知抛物线y= x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交于A、B两点. (1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．（11）构造圆(2014年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使△APB=30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且△APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，△APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时△APB最大的理由；若没有，也请说明理由．参考答案：（一）、求解析式（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题（2012•莱芜）解：（1）y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．yxOMDCBA第24题图（2）S△ACD=AD•CD=××2=2．（3）（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．（2014兰州）解（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=﹣（x﹣）2+，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）9．第二类：.构造问题（1）构造线段（2014枣庄）（1）△OBC为等腰直角三角形∠OBC=45°．（2）P（2，﹣3）．（3）线段PF长度=﹣x P2+3x P=﹣（x P﹣）2+，（1＜x P≤3），当x P=时，线段PF长度最大为．（2）构造相似三角形（2013•莱芜）（1）y=．（2）DF的最大值为．此时D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．（3）构造平行四边形（2014•莱芜）解：（1）y=﹣x2+x．（2）存在．或或．（3）△S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG=（1+t）（+t）﹣•t•t=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最大值为．△S的最大值为．（4）构造等腰三角形PBE ABCS S=PBE S 12==-13x 2-232（5）构造直角三角形（2014•四川内江） （1）y=﹣x 2+x+4．（2）当t=1时，PQ 取到最大值，最大值为． （3）①当∠BAM=90°时，MH=11．M （，﹣11）． ②当∠ABM=90°时，M （，9）．综上所述：符合要求的点M 的坐标为（，9）和（，﹣11）．（6）构造角相等（2014•娄底）解（1）依题意：x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1，∵x 1+x 2+x 1x 2=7，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=7，∴（﹣m ）2﹣（m ﹣1）=7，即m 2﹣m ﹣6=0，解得m 1=﹣2，m 2=3，∵c=m ﹣1＜0，∴m=3不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3； （2）能如图，设p是抛物线上的一点，连接PO ，PC ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ．若∠POC=∠PCO 则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x 2﹣2x ﹣3=，解得，x 1=，x 2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（，﹣）（7）构造菱形（2013•枣庄） 解：（1）.（2）此时P 点的坐标为（，）. （3） S 四边形ABPC =++==.易知，当x=时，四边形ABPC 的面积最大．此时P 点坐标为（，），四边形ABPC 的最大面积为.（8）构造对称点（11莱芜）（1）212y x x =-+。

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式 ： ABy A y B2x A x B22、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：x A x B y A y B2 ，2直线 y k 1 x b 1 （ k 10 ）与 yk 2 x b 2 （ k 2 0 ）的地点关系：（ 1）两直线平行k 1 k 2 且 b 1 b 2 （ 2）两直线订交k 1 k 2（ 3）两直线重合 k 1k 2 且 b 1 b 2（ 4）两直线垂直k 1k 213、一元二次方程有整数根问题 ，解题步骤以下：① 用 和参数的其余要求确立参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 剖析求解：假如分式，分母是分子的因数；假如二次根式，被开方式是完整平方式。

例：对于的一元二次方程x 2－2 m 1 x m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。

4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线 ymx 23m 1 x 3 与 x 轴交于两个不一样的整数点，且 m 为正整数，试确立此抛物线的分析式。

5、方程总有固定根问题，能够经过解方程的方法求出该固定根。

举比以下：已知对于 x 的方程 mx 23(m 1)x 2m 3 0（ m 为实数），求证：不论 m 为什么值，方程总有一个固定的根。

解：当 m0 时， x 1；当 m0时，m323 m 1， x 1 23 1 ；0 ， x2m、 x 2m综上所述：不论 m 为什么值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举比以下：已知抛物线 yx 2mxm 2 （ m 是常数），求证：不论m 为什么值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原分析式变形为对于m 的方程 y x 22 m 1 x ；∴y x 22 0，解得：y1；1x0x 1∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－ 1）。

初中二次函数压轴题题型归纳及方法
初中二次函数压轴题主要包括以下几种题型：
1. 求解二次方程：给定一个二次方程，要求求出它的解。

解题方法包括配方法、公式法、图像法等。

2. 求二次函数的最值：给定一个二次函数，要求求出它的最值。

解题方法包括求导法、配方法、图像法等。

3. 求二次函数的零点：给定一个二次函数，要求求出它的零点。

解题方法包括配方法、公式法、图像法等。

4. 求二次函数的图像：给定一个二次函数，要求画出它的图像。

解题方法包括求顶点、对称轴、零点等关键点，然后画出图像。

5. 求二次函数的解析式：给定一个二次函数的图像或者关键点，要求求出它的解析式。

解题方法包括利用顶点式、一般式、描点法等。

6. 求二次函数与直线的交点：给定一个二次函数和一条直线，要求求出它们的交点。

解题方法包括联立方程、代入法等。

7. 求二次函数的定义域和值域：给定一个二次函数，要求求出它的定义域和值域。

解题方法包括利用二次函数的性质，如对称轴、最值等。

以上是初中二次函数压轴题的主要题型及解题方法，需要注意的是，不同的题型可能需要不同的解题方法，需要根据具体情况进行选择。

同时，需要掌握二次函数的基本概念和性质，如顶点、对称轴、最值等，才能更好地解决问题。

二次函数与几何图形综合题类型一 线段数量关系/最值问题1. (2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．第1题图2. 如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，c )．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，交x 轴于点M .①当点P 在线段AB 上运动时(点P 不与点A ，B 重合)，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；②点P 在直线AB 上自由移动，当点C 、P 、M 中恰有一点是其他两点所连线段的中点时，请直接写出n 的值．第2题图类型二面积数量关系/最值问题1. (2019成华区一诊)如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(－4，0)，且经过点B(4，8)．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，当1x2－1x1＝22时，求k的值；(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC、OP，当S△POC∶S△BOC＝1∶2时，求点P的坐标．第1题图2. (2019武侯区一诊)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx ＋3与抛物线交于点A (9，－6)，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D 是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD 的面积为812，求点D 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使∠APC ＝45°？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型三特殊三角形存在性问题1. (2019武侯区二诊)如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△P AB＝2S△ABC，求点P的坐标；(3)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．类型四特殊四边形存在性问题1. (2019高新区二诊)如图，在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx ＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，交y轴于点D.(1)求A、B两点的坐标；(2)过抛物线C2：y＝x2＋mx＋n在第三象限上的一点P，作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．类型五相似三角形问题1.(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．第1题图备用图参考答案类型一 线段数量关系/最值问题1. 解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4，令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)． 易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4， ∵OA ＝OB ， ∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来， ∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形， ∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形， ∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值， 设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)，则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92，∴当x ＝6时，PE 有最大值92，此时PF 有最大值924，∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52，∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924；②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524，则此时PE ＝2PF ＝52，将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中，解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)，当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172，∴sin ∠P AD ＝524172＝53434；当点P 的坐标为(10，－72)时，AP ＝102＋（－72－4）2＝252，∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210.综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.第1题解图②2. 解：(1)∵B (4，c )在直线y ＝x ＋2上， ∴c ＝6，则B (4，6)，∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝5216a ＋4b ＋6＝6.， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8，故抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6； (2)①存在．设点P 的坐标为(n ，n ＋2)(12<n <4)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵－2<0，12<n <4，∴当n ＝94时，线段PC 的长取得最大值498.② n 的值为5±212或17±1298.【解法提示】设P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，易知抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，直线与x 轴交点坐标为(－2，0)．(Ⅰ)若M 点为PC 的中点，此时n <－2或1<n <3，则PM ＝CM ，即n ＋2＝－(2n 2－8n ＋6)，整理得2n 2－7n ＋8＝0，此方程没有实数解；(Ⅱ)若P 点为CM 的中点，此时，n >4或－2<n <12，则PM ＝PC ，CM ＝2PM ，即2n 2－8n ＋6＝2(n ＋2)，整理得n 2－5n ＋1＝0，解得n 1＝5＋212，n 2＝5－212，n 1，n 2均满足条件；(Ⅲ)若C 点为PM 的中点，此时12<n <1或3<n <4，则PC＝CM ，PM ＝2CM ，即n ＋2＝2(2n 2－8n ＋6)，整理得4n 2－17n ＋10＝0，解得n 1＝17＋1298，n 2＝17－1298，n 1，n 2均满足条件．综上所述，n 的值为5±212或17±1298.类型二 面积数量关系/最值问题1. 解：(1)∵抛物线经过原点O ， ∴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，把点A (－4，0)，B (4，8)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝016a ＋4b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋x ；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2＋xy ＝kx ＋4，消去y ，得14x 2＋(1－k )x －4＝0，∴x 1＋x 2＝4(k －1)，x 1x 2＝－16，∵1x 2－1x 1＝22， ∴（x 1＋x 2）2－4x 1x 2（x 1x 2）2＝12， 即16（k －1）2＋64256＝12， 解得k ＝3或k ＝－1，经检验都符合题意，∴k 的值为3或－1；(3)∵OB ∥PC ，S △POC ∶S △BOC ＝1∶2，∴PC ∶OB ＝1∶2，∵B (4，8)，∴OB ＝45，直线OB 的解析式为y ＝2x ，∴PC ＝25，设点P 的坐标为(a ，14a 2＋a )(－4＜a ＜0)，直线PC 的解析式为y ＝2x ＋t ， 把P (a ，14a 2＋a )代入y ＝2x ＋t ，整理得t ＝14a 2－a ， ∴直线PC 的解析式为y ＝2x ＋14a 2－a ， 易得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝2x ＋14a 2－a ， 解得x ＝4＋a －14a 2， ∴PC ＝5(x C －x P )＝5×(4＋a －14a 2－a )＝25， 解得a ＝22(舍去)或a ＝－22，将a ＝－22代入抛物线的解析式，得y ＝14×(－22)2－22＝2－22， ∴点P 的坐标为(－22，2－22)．2. 解：(1)把点A (9，－6)代入y ＝mx ＋3中，得m ＝－1，∴直线的函数表达式为y ＝－x ＋3；∵抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)且过点A (9，－6)，设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －4)2－11，∴a (9－4)2－11＝－6，解得a ＝15，∴抛物线的函数表达式为y ＝15(x －4)2－11＝15x 2－85x －395； (2)设点D 的横坐标为n .∵抛物线对称轴为直线x ＝4，∴分两种情况讨论①当0＜n ＜4时，如解图①，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，则D (n ，15n 2－85n －395)，E (n ，－n ＋3)， ∴DE ＝－n ＋3－(15n 2－85n －395)＝－15n 2＋35n ＋545， ∴S △ABD ＝S △BDE ＋S △ADE ＝12DE ·(x E －x B )＋12DE ·(x A －x E ) ＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352(不合题意，舍去)，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)；第2题解图①②当n ＜0时，如解图②，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，S △ABD ＝S △ADE －S △BDE ＝12DE ·(x A －x E )－12DE ·(x B －x E )＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)． 当n ＝3－352时，y ＝15×(3－352)2－85×3－352－395＝35－152. ∴D (3－352，35－152)；第2题解图②(3)在y 轴上存在一点P ，使∠APC ＝45°，如解图③，分别过点C 、A 作y 轴、x 轴的平行线，两线交于点G ，则∠CGA ＝90°，∵A 、C 的坐标分别为(9，－6)，(4，－11)，∴点G 的坐标为(4，－6)．∴GA ＝GC ＝5.作以G 为圆心，GA 的长度为半径的圆，交y 轴于点P ，P ′，连接AP 、CP 、AP ′、P ′C ，此时∠APC ＝∠AP ′C ＝12∠CGA ＝45°， ∴GP ＝5.设点P 的坐标为(0，k )，过点G 作GH ⊥y 轴于点H ，则H (0，－6)．在Rt △PGH 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即(k ＋6)2＋42＝52，解得k 1＝－3，k 2＝－9，∴P (0，－3)，P ′(0，－9)．第2题解图③类型三 特殊三角形存在性问题1. 解：(1)∵抛物线的顶点C 在x 轴的正半轴上，∴4ac －b 24a ＝16－（m ＋2）24＝0， 解得m ＝2或－6，∵顶点在x 轴正半轴上，∴－m ＋22>0.解得m <－2， ∴m ＝－6，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋4；(2)如解图①，过点C 作抛物线的对称轴，交直线AB 于点D ，由y ＝x 2－4x ＋4得抛物线的对称轴是直线x ＝2，则D (2，4)，DC ＝4.在点D 上方的抛物线的对称轴上取一点E ，使DE ＝2DC ，则E (2，12)．连接AE ，BE ，则S △ABE ＝2S △ABC .过点E (2，12)作直线AB 的平行线交抛物线于点P 1，P 2，此时满足S △P AB ＝S △ABE ＝2S △ABC .设直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋k ，∵点E (2，12)在直线P 1P 2上，∴2＋k ＝12，∴k ＝10.∴直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋10.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋10y ＝x 2－4x ＋4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y 2＝16， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－1，9)，(6，16)；第1题解图①(3)设A ′(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，显然，∠P A ′B ′≠90°.①如解图②，当∠A ′B ′P ＝90°时，过点B ′作直线MN ∥y 轴，A ′M ⊥MN 于点M ，PN ⊥MN 于点N ， ∵直线A ′B ′的解析式是y ＝x ＋t ，∴∠B ′A ′M ＝45°，∴△A ′B ′M 和△PB ′N 都是等腰直角三角形，∴PN ＝NB ′，∴x 2＋1＝9－y 2，即x 2＋y 2＝8，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8y 2＝x 2＋t ， 解得⎩⎨⎧x 2＝4－12ty 2＝4＋12t ， 将点(4－12t ，4＋12t )代入抛物线的函数表达式，得4＋12t ＝(4－12t )2－4×(4－12t )＋4. 解得 t 1＝0，t 2＝10(此时点A ′与点P 重合，舍去)；第1题解图②如解图③，若∠A′PB′＝90°，过点P作EF∥y轴，A′E⊥EF于E，B′F⊥EF于点F，则△A′EP∽△PFB′，∴A′EPE＝PFB′F.∴x1＋19－y1＝y2－9x2＋1.∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝9(y1＋y2)－y1y2－81，令x2－4x＋4＝x＋t，即x2－5x＋4－t＝0，则x1＋x2＝5，x1x2＝4－t，y1＋y2＝(x1＋t)＋(x2＋t)＝x1＋x2＋2t＝5＋2t，y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝x1x2＋t(x1＋x2)＋t2＝t2＋4t＋4，∴(4－t)＋5＋1＝9(5＋2t)－(t2＋4t＋4)－81，整理得t2－15t＋50＝0，解得t1＝5，t2＝10(此时A′与P重合，舍去)，综上，t的值为0或5.第1题解图③类型四特殊四边形存在性问题1. 解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状，大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为直线x＝1，∴C2的对称轴为直线x＝－1，∴m＝2，∴C 1的函数表达式为y ＝x 2－2x －3，C 2的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3＝0，在C 2的函数表达式y ＝x 2＋2x －3中，当y ＝0可得x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)；(2)根据题意可得点D 的坐标为(0，－3)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b .把(0，－3)和(－3，0)代入到y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3－3k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝－1， ∴直线AD 的表达式为y ＝－x －3，设P (a ，a 2＋2a －3)，则E (a ，－a －3)，则PE ＝－a －3－(a 2＋2a －3)＝－a 2－3a ，根据对称可得四边形PEDE ′是菱形，则DE ′＝PE ＝－a 2－3a ， 如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，∵ED ∥PE ′，ED 所在直线斜率k ＝－1∴∠E ′＝∠AEF ＝45°，GE ′＝－a ，PG ＝GE ′.在Rt △PGE ′中，根据勾股定理得：PE ′＝－2a ，根据菱形性质可得：PE ′＝DE ′， ∴－2a ＝－a 2－3a ，解得a ＝2－3，∴P (2－3，2－42)；第1题解图(3)存在．∵AB 的中点为(－1，0)，且点G 在抛物线C 1上，点Q 在抛物线C 2上，∴AB 只能为平行四边形的一边，∴GQ ∥AB 且GQ ＝AB ，由(1)可知AB ＝1－(－3)＝4，∴GQ ＝4，设G (t ，t 2－2t －3)，则Q (t ＋4，t 2－2t －3)或(t －4，t 2－2t －3)，①当Q (t ＋4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t ＋4)2＋2(t ＋4)－3，解得t ＝－2，∴t 2－2t －3＝4＋4－3＝5，∴G (－2，5)，Q (2，5)；②当Q (t －4，t 2－2t －3)时，则t 2－2t －3＝(t －4)2＋2(t －4)－3，解得t ＝2，∴t 2－2t －3＝4－4－3＝－3，∴G (2，－3)，Q (－2，－3)，综上可知，存在满足条件的点G 、Q ，其坐标为G (－2，5)，Q (2，5)或G (2，－3)，Q (－2，－3)．类型五 相似三角形问题1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2， 即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25， 当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52，即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．。

二次函数压轴题命题规律总结：二次函数压轴题是近10年必考题型，考查题位均在第23题，分值均为11分：其中7次是二次函数与一次函数、几何图形的综合题，3次是二次函数单独与几何图形的综合题，且涉及的图形多为三角形和特殊四边形，未涉及到圆；考查类型有：线段问题、面积问题，等腰三角形问题，直角三角形问题，平行四边形问题，三角形相似问题和角度问题，除2017、2012、2011和2009年是两问，且第二问里有两小问，其他年份均为3问；第一小问多以待定系数法求二次函数解析式；线段问题包括线段的数量关系，线段长的关系式及最值和周长的关系式及最值；面积问题包括三角形面积的关系式及最值；此类题题目多涉及数形结合和分类讨论思想。

类型一 线 段 问 题●典例精析◇例题1◇.如图，抛物线y=21x 2－bx ＋c 与直线l ：y=43x －1交与A （4， 2）、B （0，-1）。

（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为直线l 下方的抛物线上的动点，过点D 作DE ∥y 轴交l于点E，作DF⊥l于点F，设点D的横坐标为t。

①用含t的代数式表示DE的长②求DE的最大值，DF的最大值③设RT△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求出p的最大值及此时点D的坐标。

总结：1.用点坐标表示线段长度：先在图中找到对应线段，分清已知点和未知点，再联系二次函数和一次函数，设出未知点坐标，使其只含有一个未知数；继而表示出线段长度，如果该线段与坐标轴平行则利用横纵坐标相加减确定，如果与坐标轴不平行的话，先转化到有边与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或者三角形相似确定。

2.一条线段的最值问题，根据前面所得的点坐标表示线段长度，通过运用配方法或运用二次函数的性质求最值，从而得到线段的最值。

3.线段数量关系问题：根据前面所得的用点坐标表示线段长度，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程即可。

4.两条线段和的最小值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的图形就是“将军饮马模型”。