优化探究2016高考数学一轮复习5_2等差数列及其前n项和课时作业文

【创新大课堂】（新课标）2016高考数学一轮总复习第五章第2 节等差数列及其前n 项和练习一、选择题1．等差数列{ a n} 中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{ a n} 的公差为( )A．1 B．2C．3 D．4[ 解析] 法一：设等差数列{ a n} 的公差为d，由题意得2a1＋4d＝10，a1＋3d＝7.解得a1＝1，d＝2.∴d＝2.法二：∵在等差数列{ a n} 中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5. 又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.[ 答案] B2．数列{ a n} 为等差数列，a10＝33，a2＝1，S n 为数列{ a n} 的前n项和，则S20－2S10 等于( ) A．40 B．200C．400 D．2020 a1＋a20 [ 解析] S20－2S10＝2－2×10 a1＋a102＝10( a20－a10) ＝100d，又a10＝a2＋8d，∴33＝1＋8d，∴d＝4，∴S20－2S10＝400.[ 答案] C3．(2015·深圳调研) 等差数列{ a n} 中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{ a n}的前n 项和S n 的最大值为( )A．S7 B．S6C．S5 D．S4[ 解析] ∵a4 ＋a7＝a5＋a6＜0，a5＞0，∴a5＞0，a6＜0，∴S n 的最大值为S5.[ 答案] C4．(2015·辽宁省五校联考) 设等差数列{ a n} 的前n 项和为S n，已知( a4－1)3＋2 013( a44－1) ＝1，( a2 010 －1)3＋2 013( a 2 010－1) ＝－1，则下列结论中正确的是( )2 010－1) ＝－1，则下列结论中正确的是( )A．S2 013＝2 013 ，a2 010 ＜a4B．S2 013＝2 013 ，a2 010 ＞a4C．S2 013＝2 012 ，a2 010 ≤a41D ．S 2 013＝2 012 ，a 2 010 ≥a 4 [ 解析]设 f ( x ) ＝x4－1) ＝－3＋2 013 x ，显然 f ( x ) 为奇函数和增函数，由已知得 f ( af ( a 2 010 －1) ，所以 f ( a 4－1) ＝f ( －a 2 010 ＋1) ，a 4－1＝－ a 2 010 ＋1，a 4 ＋a 2 010 ＝2，S 2 013 ＝a 1＋a 2 013 2＝2 013 ，显然 1＞－ 1，即 f ( a 4－1) ＞f (a 2 010 －1) ，又 f ( x ) 为增函数，故a 4－1＞a 2 010－1，即 a 4＞a 2 010 .[ 答案]A5．(2015·浙江省名校联考 ) 已知每项均大于零的数列 { a n } 中，首项 a 1＝1 且前 n 项和S n 满足 S n S n －1－S n－1S n ＝2 S n S n －1( n ∈N ＋且 n ≥2) ，则 a 81＝()A ．638B ．639C ．640D ．641[ 解析]由已知 S n S n －1－S n－1S n ＝2 S n S n －1可得， S n － S n －1＝2，∴{ S n } 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 故 S n ＝2n －1，S n ＝(2 n －1) 2，∴a2－1592＝640.81＝S 81－S 80＝1612，∴a 2－1592＝640.[ 答案] C6．(2015·天津河西口模拟 ) 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝ 3，则使 a n >0 的最小正整数 n 的值是 ()A ．8B ．9C ．10D ．11[ 解析]∵a 11－a 8＝3d ＝3，∴d ＝1，∵S 11－S 8＝a 11＋a 10＋a 9＝3a 1＋27d ＝3， ∴a 1＝－8，∴ a n ＝－8＋( n －1)>0 ，解得 n >9，因此使 a n >0 的最小正整数 n 的值是 10. [ 答案]C二、填空题7．在数列 { a n } 中，若 a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2 ( n ≥1) ，则该数列的通项 a n ＝________. [ 解析]∵a n ＋1－a n ＝2( n ≥1) ，∴ {a n } 为等差数列，∴a n ＝1＋( n －1) ×2，即 a n ＝2n －1. [ 答案]2n － 18．(2015·荆门调研 ) 已知一等差数列的前四项和为 124，后四项和为 156，各项和为210，则此等差数列的项数是 ________．[ 解析]设数列 { a n } 为该等差数列，124＋156依题意得 a 1＋a n ＝ ＝70.4∵S n＝210，S n＝n a1＋a n2，∴210＝70n，∴n＝6.22[ 答案] 69．设数列{ a n} 的通项公式为a n＝2n－10( n∈N＋) ，则| a1| ＋| a2| ＋⋯＋| a15| ＝________.[ 解析] 由a n＝2n－10( n∈N＋)知{ a n} 是以－8 为首项， 2 为公差的等差数列，又由a n ＝2n－10≥0得n≥5，∴当n≤5时，a n≤0，当n>5 时，a n>0，∴| a1| ＋| a2| ＋⋯＋| a15|＝－( a1＋a2＋a3＋a4) ＋( a5＋a6＋⋯＋a15)＝20＋110＝130.[ 答案] 13010．设等差数列{ a n} 、{ b n} 的前n 项和分别为S n、T n，若对任意自然数n 都有S n 2n－ 3＝，T n 4n－ 3则a9 a3＋的值为________．b5＋b7 b8＋b4[ 解析] ∵{ a n} ，{ b n} 为等差数列，∴a9 a3＋＝b5＋b7 b8＋b4a9 a3＋＝2b6 2b6a9＋a3＝2b6a6.b6∵S11 a1＋a11 2a6 2×11－3＝＝＝＝T11 b1＋b11 2b6 4×11－ 31941，∴a6 19＝.b6 41[ 答案]1941三、解答题11．(2014·福建高考) 在等比数列{ a n} 中，a2＝3，a5＝81.(1) 求a n；(2) 设b n＝log 3a n，求数列{ b n} 的前n 项和S n.[ 解] (1) 设{ a n} 的公比为q，依题意得a1q＝3，a1q4＝81，解得a1＝1，q＝3.因此，a n＝3n－1.(2) 因为b n＝log 3a n＝n－1，所以数列{ b n} 的前n 项和S n＝n b1＋b n2＝n2－n2－n.212．设同时满足条件：①b n＋b n＋ 2≤b n＋1( n∈N＋) ；②b n≤M( n∈N＋，M是与n 无关的常数)2的无穷数列{ b n} 叫“特界”数列．3(1) 若数列{ a n} 为等差数列，S n 是其前n 项和：a3＝4，S3＝18，求S n；(2) 判断(1) 中的数列{ S n} 是否为“特界”数列，并说明理由．[ 解] (1) 设等差数列{ a n}的公差为d，则a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，n n－∴S n＝na1＋22＋9n. d＝－n(2){ S n} 是“特界”数列，理由如下：由S n＋S n＋2－S n＋1＝2S n＋2－S n＋1 －S n ＋1－S n2＝a n＋2－a n＋1＝2d＝－1<0，2得S n＋S n＋2<S n＋1，故数列{ S n} 适合条件①.2而S n＝－n2＋9n＝－( n－2＋9n＝－( n－92)2＋814( n∈N＋) ，则当n＝4 或5 时，S n 有最大值20，即S n≤20，故数列{ S n} 适合条件②.综上，数列{ S n} 是“特界”数列．4。

第二节 等差数列及其前n 项和作业 A 组基础对点练1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14D ．12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0.答案：B2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫8a 1＋8×72d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.故选A.答案：A3．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( ) A ．3,7,9,15,100 B ．4,10,12,34,100 C ．5,11,16,30,100D ．4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3,9,11,33,99，n 的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B. 答案：B4．(2018·武汉市模拟)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9＝( ) A ．25 B ．27 C ．50D ．54解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 2＝3a 4－6，所以a 1＋d ＝3(a 1＋3d )－6，所以a 5＝a 1＋4d ＝3，故S 9＝9a 5＝27. 答案：B5．(2018·昆明市检测)已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 2，则a 8＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3＋3d ＝1＋d ，解得d ＝2，d ＝－1(舍去)，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D. 答案：D6．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________． 解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：107．(2018·长春模拟)《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金菙(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金菙重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”答案是________．解析：由题意可知等差数列中a 1＝4，a 5＝2， 则S 5＝a 1＋a 5×52＝4＋2×52＝15， ∴金杖重15斤． 答案：15斤8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝5a 4－10，则数列{a n }的公差为________． 解析：由S 5＝5a 4－10，得5a 3＝5a 4－10，则公差d ＝2. 答案：29．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n2a n ＋1＝2a n ＋1a n，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又∵b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.10．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.B 组能力提升练1．(2018·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．－109 C ．－181D ．121解析：设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋b 72＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109. 答案：B2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2.则数列{1a n a n ＋1}的前n 项和的最大值为( )A.24143 B ．1143 C.2413D ．613解析：因为S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，所以a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15， 因为数列{a n }为等差数列，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1a 1＋m －1m －22×－2＝13，ma 1＋mm －12×－2＝0，解得a 1＝13.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5，当a n ＋1 ≤0时，n ≥6.5， 所以数列{1a n a n ＋1}的前6项为正数，所以1a n a n ＋1＝115－2n13－2n ＝12(113－2n－115－2n )， 所以数列{1a n a n ＋1}的前n 项和的最大值为12×(111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13)＝12×(1－113)＝613.故选D. 答案：D3．(2018·豫南九校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，S n 是其前n 项和，若a 2，a 3，a 6成等比数列，且a 10＝－17，则S n2n 的最小值是( )A ．－12B ．－58C ．－38D ．－1532解析：(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )⇒d ＝－2a 1，a 10＝a 1＋9d ＝－17，∴a 1＝1，d ＝－2，S n ＝2n －n 2，S n ＋12n ＋1＞S n 2n ，S n －12n －1＞S n 2n ，n ＝4时，S n 2n ＝－12最小．选A.答案：A4．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )2 017 2 016 2 015 2 014……6 5 43 2 14 033 4 031 4 029……………11 9 75 3 8 064 8 060……………………20 16 12 816 124………………………36 28 20………………………A ．2 017× 016B ．2 018×015C ．2 017×015D ．2 018×016解析：从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n 行从右到左的公差为2n －1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21,20＝5×,48＝6×23，…，所以第n 行的第一个数为(n ＋1)×2n －2.显然第2 017行只有一个数，其值为(2 017＋1)× 017－2＝2 018×015.故选B.答案：B5．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于__________．解析：S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.答案：1326．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －12d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49. 答案：－497．(2018·长沙市模拟)设数列{a n }的前n 项和是S n ，若点A n (n ，S nn)在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，其中c 是与x 无关的常数，且a 1＝3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝aa n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．解析：(1)因为点A n (n ，S n n)在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动， 所以S n n＝－n ＋c ，所以S n ＝－n 2＋.因为a 1＝3，所以c ＝4，所以S n ＝－n 2＋4n ，所以a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5(n ≥2)． 又a 1＝3满足上式，所以a n ＝－2n ＋5(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝aa n ＝－2a n ＋5＝－2(－2n ＋5)＋5＝4n －5， 所以T n ＝n b 1＋b n2＝2n 2－3n .所以T n 的最小值是T 1＝－1.8．已知等差数列{a n }，a 1＝－11，公差d ≠0，且a 2，a 5，a 6成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)∵a 2，a 5，a 6成等比数列，∴a 25＝a 2a 6，即(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， ∴2a 1d ＋11d 2＝0，又d ≠0，a 1＝－11，∴d ＝2， ∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－12n ，∵a n ＝2n －13，∴当n ≤6时，a n ＜0；当n ≥7时，a n ＞0.∴当n ≤6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－a 1－a 2－…－a n ＝－S n ＝12n －n 2；当n ≥7时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＋|a 7|＋…＋|a n |＝－a 1－a 2－…－a 6＋a 7＋…＋a n ＝－S 6＋S n －S 6＝S n －2S 6＝n 2－12n ＋72.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12n －n 2n ≤6，n 2－12n ＋72n ≥7.。

课时提升作业(二十九) 等差数列及其前n 项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=a 8+6,则S 7等于 ( ) A.49B.42C.35D.24【解析】选B.设公差为d,由已知得2(a 1+5d)=a 1+7d+6,即a 1+3d=6, 所以S 7=7a 1+d=7(a 1+3d)=7×6=42.【加固训练】(2013·安徽高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9=( ) A.-6B.-4C.-2D.2【解析】选A.由S 8=4a 3⇒8a 1+d=4×(a 1+2d);由a 7=-2⇒a 1+6d=-2,联立解得a 1=10,d=-2,所以a 9=a 1+8d=10-16=-6.2.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=3,S 9-S 6=27,则该数列的首项a 1等于 ( ) A.-B.-C.D.【解析】选D.由111a 2d 3,9a 36d (6a 15d)27,+=⎧⎨+-+=⎩得11a 2d 3,a 7d 9,+=⎧⎨+=⎩解得a 1=.故选D.3.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,若数列{}为等差数列,则11a 等于 ( ) A.0B.C.D.-1【解析】选B.设{}的公差为d,则=+4d,即4d=-=, 所以d=,4.(2015·吉林模拟)等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为定值的是( )A.S17B.S18C.S15D.S16【解析】选C.由等差数列的性质得:a5+a11=2a8,所以a5+a8+a11为定值,即a8为定值.又因为S15===15a8,所以S15为定值.故选C.【加固训练】已知等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,S n是数列{a n}的前n项和,则( ) A.S5>S6 B.S5<S6 C.S6=0 D.S5=S6【解题提示】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.【解析】选D.因为d<0,|a3|=|a9|,所以a3>0,a9<0,且a3+a9=0,所以a6=0,a5>0,a7<0,所以S5=S6.5.(2015·马鞍山模拟)等差数列{a n}中,“a1<a3”是“a n<a n+1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.等差数列中,由a1<a3,可知公差d>0,所以a n+1=a n+d>a n,即a n<a n+1.反过来,由a n<a n+1,可知公差d>0,所以a3=a1+2d>a1,即a1<a3.等差数列{a n}中,“a1<a3”是“a n<a n+1”的充分必要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列{a n}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10= .【解析】由=+知,数列{}为等差数列,则=1+(n-1),即a n=.所以a10==.答案:7.已知等差数列{a n}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和S n的最大值为.【解题提示】等差数列前n项的和S n是关于n的二次函数,可将S n的最大值转化为求二次函数的最值问题.【解析】因为等差数列{a n}的首项a1=20,公差d=-2,代入求和公式得,又因为n∈N*,所以n=10或n=11时,S n取得最大值,最大值为110.答案:110【方法技巧】求等差数列前n项和的最值的常用方法(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得S n的最值.(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S n=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.(3)注意区别等差数列前n项和S n的最值和S n的符号.【加固训练】在数列{a n}中,a1=-18,a n+1=a n+3(n∈N*),则数列{a n}的前n项和S n的最小值为.【解析】由a n+1=a n+3知{a n}是等差数列,首项为-18,公差为3,所以a n=-21+3n.当n=7时,a n=0,当n≤6时,a n<0,所以当n=6或7时,S n有最小值-63.答案:-638.如果有穷数列a1,a2,…,a m(m为正整数)满足条件:a1=a m,a2=a m-1,…,a m=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n}中c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2= .【解析】因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c20=c11+9d=1+9×2=19, 又{c n}为21项的对称数列,所以c2=c20=19.答案:19三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:{}是等差数列.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为a n=S n-S n-1(n≥2),又a n=-2S n·S n-1,所以S n-1-S n=2S n·S n-1,S n≠0,所以又==2,故数列{}是以2为首项,以2为公差的等差数列.(2)由(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,所以S n=.当n≥2时,有a n=-2S n·S n-1=-,又因为a1=,不适合上式,【加固训练】已知数列{a n}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{a n}的通项公式.(2)设c n=,b n=,求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n的值.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由已知条件解得a1=3,d=-2.所以a n=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)因为a n=-2n+5,所以c n===n,所以b n==2n,所以T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2b n=log22+log222+log223+…+log22n=1+2+3+…+n=.10.(2015·成都模拟)数列{a n}中,a1=-23,a n+1-a n-3=0.(1)求数列的前n项和S n.(2)求使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围.【解析】(1)因为a n+1-a n-3=0,所以a n+1-a n=3,即数列{a n}是等差数列,公差d=3.又a1=-23,所以数列{a n}的前n项和为S n=-23n+n(n-1)·3,即S n=n2-n.(2)S n=n2-n的对应函数为f(x)=x2-x,它的图象是一条抛物线,其开口方向向上,对称轴为x=.当x≥时,函数f(x)是增函数.因为8<<9,且-8<9-,所以f(8)<f(9).综上,可知使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围是{n|n≥8,n∈N*}.【加固训练】(2015·郑州模拟)数列{a n}满足a1=,a n+1=(n∈N*).(1)求证:为等差数列,并求出{a n}的通项公式.(2)设b n=-1,数列{b n}的前n项和为B n,对任意n≥2都有B3n-B n>成立,求正整数m的最大值.【解析】(1)a n+1=,===-1+,所以-=-1,所以为首项为-2,公差为-1的等差数列,所以=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以a n=.(2)b n=-1=,令C n=B3n-B n=++…+,所以C n+1-C n=++…+--…-=-+++=-+>-=0,所以C n+1-C n>0,所以{C n}为单调递增数列,所以(B3n-B n)min=B6-B2=+++=,所以<,所以m<19,又m∈N*,所以m的最大值为18.(20分钟40分)1.(5分)(2015·唐山模拟)在等差数列{a n}中,a1=-2015,其前n项和为S n,若-=2,则S2015的值等于( )A.-2015B.-2014C.-2013D.-2012【解析】选A.设等差数列{a n}的公差为d,因为-=2,根据等差数列的性质可得也为等差数列,所以d=2.所以S2015=2015a1+=-2015.【加固训练】(2015·延吉模拟)等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )A.{1}B.C. D.【解析】选 B.等差数列{a n }中,设=是与n 无关的常数m,所以a 1+(n-1)d=ma 1+m(2n-1)d 对任意n 恒成立,即(2md-d)n+(ma 1-md+d-a 1)=0对任意n 恒成立,故由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二个方程可得m=1(因为a 1≠0);若m=,代入第二个方程得d=a 1.2.(5分)(2015·大连模拟)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列;p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列{}是递增数列;p 4:数列{a n +3nd}是递增数列.其中的真命题为 ( ) A.p 1,p 2 B.p 3,p 4 C.p 2,p 3D.p 1,p 4【解析】选D. {,{3.(5分)(2015·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-6n,则{|a n |}的前n 项和T n = ( ) A.6n-n 2B.n 2-16n+18C.()226n n (1n 3)n 6n 18n 3⎧-≤≤⎪⎨-+>⎪⎩ D.()226n n (1n 3)n 6n n 3⎧-≤≤⎪⎨->⎪⎩ 【解析】选C.因为由S n =n 2-6n 得{a n }是等差数列,且首项为-5,公差为2. 所以a n =-5+(n-1)×2=2n-7, 所以n ≤3时,a n <0,n>3时,a n >0,所以T n =()226n n (1n 3),n 6n 18n 3.⎧-≤≤⎪⎨-+>⎪⎩4.(12分)已知数列{a n }的奇数项是公差为d 1的等差数列,偶数项是公差为d 2的等差数列.S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1=1,a 2=2. (1)若S 5=16,a 4=a 5,求a 10.(2)若d 1=3d 2(d 1≠0),且存在正整数m,n(m ≠n),使得a m =a n ,求当d 1最大时,数列{a n }的通项公式. 【解析】(1)由题意,当n 为奇数时,a n =1+d 1;当n 为偶数时,a n =2+(-1)d 2.由S 5=16,a 4=a 5可得122133d 4d 16,2d 12d ,+++=⎧⎨+=+⎩解得d 1=2,d 2=3, 所以a 10=2+4d 2=14.(2)因为d 1≠0,d 2≠0,且存在正整数m,n(m ≠n),使得a m =a n , 所以m,n 中必然一个为奇数,一个为偶数. 不妨设m 为奇数,n 为偶数, 由a m =a n ,得1+d 1=2+（-1）d 2,将d 1=3d 2代入,化简得d 1=.因为m 为奇数,n 为偶数,所以3m-n-1的最小值为2,此时d 1=3,d 2=1,【加固训练】已知数列{a n},a n∈N*,S n=(a n+2)2.(1)求证:{a n}是等差数列.(2)设b n=a n-30,求数列{b n}的前n项和T n的最小值.【解析】(1)因为S n=(a n+2)2, ①所以S n-1=(a n-1+2)2(n≥2). ②①-②得S n-S n-1=(a n+2)2-(a n-1+2)2(n≥2),即a n=(a n+2)2-(a n-1+2)2.所以(a n-2)2=(a n-1+2)2,所以a n+a n-1=0或a n-a n-1=4.因为a n∈N*,所以a n+a n-1=0舍去,所以a n-a n-1=4.a1=S1=(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以{a n}是首项为2,公差为4的等差数列.(2)b n=a n-30=(4n-2)-30=2n-31.b n+1-b n=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=a1-30=×2-30=-29.所以{b n}是以b1=-29为首项,d=2为公差的等差数列.T n=nb1+d=-29n+×2=n2-30n.所以T n=(n-15)2-225.当n=15时,数列{b n}的前n项和有最小值为-225.5.(13分)(能力挑战题)设同时满足条件:①≤b n+1(n∈N*);②b n≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{b n}叫“特界”数列.(1)若数列{a n}为等差数列,S n是其前n项和,a3=4,S3=18,求S n.(2)判断(1)中的数列{S n}是否为“特界”数列,并说明理由. 【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以S n=na1+d=-n2+9n.(2)由故数列{S n}适合条件①.则当n=4或5时,S n有最大值20,即S n≤20,故数列{S n}适合条件②.综上,数列{S n}是“特界”数列.。

第二节 等差数列及其前n 项和 等差数列(1)理解等差数列的概念．(2)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．(4)了解等差数列与一次函数的关系．知识点一 等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．易误提醒1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．[自测练习]1．现给出以下几个数列：①2,4,6,8，…，2(n －1)，2n ；②1,1,2,3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2,4,6,8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列．故等差数列的个数为2.答案：B2．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 解析：由题意得该等差数列的公式d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.答案：72知识点二 等差数列的通项及求和公式 等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. 必记结论1．巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．2．前n 项和公式S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 视为关于n 的一元二次函数，开口方向由公差d 的正负确定；S n ＝(a 1＋a n )n2中(a 1＋a n )视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．[自测练习]3．(2016·日照模拟)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，那么a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45解析：设等差数列公差为d ，则有a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝4＋3d ＝13，解得d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3×(2＋4×3)＝42，故选B.答案：B4．(2015·兰州诊断)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54D ．72解析：由S 8＝8×(a 1＋a 8)2，又a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝18，∴S 8＝8×182＝72.答案：D5．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5a 5＝________.解析：在等差数列中，由a 2＋a 6＝a 8得2a 1＋6d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ≠0， 所以S 5a 5＝5a 1＋5×42da 1＋4d ＝5a 1＋10d a 1＋4d ＝155＝3.答案：3考点一 等差数列的基本运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析：法一：数列{a n }为等差数列，设公差为d ，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝5(a 1＋2d )＝5.法二：数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×2a 32＝5.答案：A2．等差数列{a n }中，a 1＝12 015，a m ＝1n ，a n ＝1m (m ≠n )，则数列{a n }的公差d 为________．解析：∵a m ＝12 015＋(m －1)d ＝1n ，a n ＝12 015＋(n －1)d ＝1m ，∴(m －n )d ＝1n －1m ，∴d ＝1mn ，∴a m ＝12 015＋(m －1)1mn ＝1n ，解得1mn ＝12 015，即d ＝12 015. 答案：12 0153．(2015·通州模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝－2，公差d ＝－2，那么数列{a n }的前5项和S 5＝________.解析：将已知条件代入公式易得S 5＝5(a 2－d )＋5×42d ＝－20.答案：－20等差数列的基本运算的两个解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二 等差数列的判断与证明|已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列．(2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.等差数列的四种判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1， ∴当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52，∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．考点三 等差数列的性质及最值|(1)(2016·泉州质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＋a 14＝10，则S 18＝( )A ．20B ．60C ．90D ．100[解析] 因为{a n }是等差数列，所以S 18＝18(a 1＋a 18)2＝9(a 5＋a 14)＝90，故选择C.[答案] C(2)(2015·广州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40[解析] 本题考查等差数列的性质．这个数列的项数为2n ，于是有2×n ＝25－15＝10,2n ＝10，即这个数列的项数为10，故选A.[答案] A(3)已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项的和，S 10＝S 22. ①求S n ；②这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值． [解] ①∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12(a 11＋a 22)2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.②法一：由①知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 法二：由①知，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝31＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·(－2)＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)， 解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．2．(2015·深圳调研)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：C3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝18，则a 8＝________.解析：等差数列性质可得S 3＝3，S 6－S 3＝15，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8成等差数列，故有2(S 6－S 3)＝S 3＋S 9－S 6⇒2×15＝3＋3a 8，解得a 8＝9.答案：917.整体思想在等差数列中的应用【典例】 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A.94B.32C.53D ．4[思路点拨] 若利用a ，d 基本计算较繁，可考虑S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，采用整体求值较简便．[解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.[答案] A[方法点评] 利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少等差数列题，其首项、公差无法确定或计算烦琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[跟踪练习] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－S 20＝10＋2×10＝30， ∴S 30＝60. 答案：60A 组 考点能力演练1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2，故选择B.答案：B2．(2016·宝鸡质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n2×32＝16n ＝336，解得n ＝21，故选择D.答案：D3．(2015·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.答案：C4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝40，则3a 1＋a 11＝( ) A ．20 B ．30 C ．40D ．60解析：本题考查等差数列的通项公式及性质的应用．由等差数列的性质得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2(a 3＋a 4)＝40，解得a 3＋a 4＝20，即a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝20，又3a 1＋a 11＝4a 1＋10d ＝2(2a 1＋5d )＝40，故选C.答案：C5．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( ) A.345 B ．5 C.314D.315解析：法一：令S n ＝(7n ＋1)n ，T n ＝(n ＋3)n ，则a n ＝14n －6，b n ＝2n ＋2，所以a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝22＋64＋232＋30218＋22＋26＋34＝315.法二：设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝4a 1＋42d 14b 1＋42d 2＝2a 1＋21d 12b 1＋21d 2＝a 1＋a 22b 1＋b 22＝S 22T 22＝7×22＋122＋3＝315.答案：D6．(2015·广州一模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝20，则S 11＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，所以S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝20，所以a 6＝4，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝44.答案：447．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝1×S 1＋(1＋2)a 1＝1×a 1＋3a 1＝4，b 2＝2×S 2＋(2＋2)a 2＝2×(a 1＋a 2)＋(2＋2)a 2＝8，所以等差数列{b n }的首项为4，公差为4，所以b n ＝4＋(n －1)×4＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n .当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2(n ＋1)n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，所以a n＝n2n －1. 答案：n2n －18．设等差数列{a n }满足公差d ∈N *，a n ∈N *，且数列{a n }中任意两项之和也是该数列的一项．若a 1＝35，则d 的所有可能取值之和为________．解析：本题考查等差数列的通项公式．依题意得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a i ＋a j ＝2a 1＋(i ＋j －2)d ＝a 1＋(m －1)d (i ，j ，m ∈N *)，即(m －i －j ＋1)d ＝a 1，kd ＝a 1＝35(其中k ，d ∈N *)，因此d 的所有可能取值是35的所有正约数，即分别是1,3,32,33,34,35，因此d 的所有可能取值之和为1－35×31－3＝364. 答案：3649．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝a 1且b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16，∵公差d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n ≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1， ∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n ≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．10．(2015·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ，①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1(n ≥2)，② ①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)， 又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n . (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n2n 恒成立，设c n ＝n2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n，当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减， ∴(c n )max ＝12，故λ>12.B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：由等差数列的性质知a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0，故选B. 答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D ．12解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题设知d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋9＝192，选B.答案：B3．(2015·高考北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0解析：若{a n }是递减的等差数列，则选项A ，B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确．答案：C4．(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：因为a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1、公差为12的等差数列，所以前9项和S 9＝9＋9×82×12＝27. 答案：275．(2015·高考北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．6．(2015·高考重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2,3a 1＋3×22d ＝92， 即a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32， 解得a 1＝1，d ＝12， 故通项公式为a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8. 设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2，故{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.。

课时作业28 等差数列及其前n 项和一、选择题1．(2014·某某某某二模)数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝( )A ．5B ．－1C ．0D ．1解析：设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d 2＝a 1a 1＋2d ，a 1＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝1，故选D. 答案：D2．(2014·某某某某二模)在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4. ∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝26.答案：B3．(2014·某某某某三联)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66解析：∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝39，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27，即a 4＝13，a 6＝9.∴d ＝－2，a 1＝19.∴S 9＝19×9＋9×82×(－2)＝99.答案：C4．(2014·某某某某一中调研)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64解析：2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11a 1＋a 112＝11·2a 62＝11a 6＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A.答案：A5．(2014·某某某某一模)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 1010＝2 002，则S 2 014的值等于( ) A ．2 011 B ．－2 012 C ．2 014 D ．－2 013 解析：等差数列中，S n ＝na 1＋n n －12d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d 2，即数列{S nn }是首项为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)d2＝2 002，d2＝1，所以S 2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014，选C.答案：C6．(2014·某某七市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.56C.103D.116解析：设这5份分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (d ＞0)，则有17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝100，故a ＝20，d ＝556，则最小的一份为a－2d ＝20－553＝53.答案：A 二、填空题7．(2014·某某某某一模)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 6成等比数列，则S 5＝__________.解析：由题意可知a 2＝a 1＋d ＝2＋d ，a 6＝a 1＋5d ＝2＋5d . 因为a 1，a 2，a 6成等比数列，所以a 22＝a 1·a 6⇒(2＋d )2＝2(2＋5d )⇒d 2－6d ＝0⇒d ＝0或d ＝6. 因为数列{a n }是递增的，所以d ＞0，即d ＝6，则a 5＝a 1＋4d ＝26，S 5＝5a 1＋a 52＝70.答案：708．(2014·某某十二校联考)在等差数列{a n }中，若a 1＜0，S n 为其前n 项之和，且S 7＝S 17，则S n 为最小时的n 的值为__________．解析：由S 7＝S 17，知a 8＋a 9＋…＋a 17＝0，根据等差数列的性质，a 8＋a 9＋…＋a 17中a 8＋a 17＝a 9＋a 16＝…＝a 12＋a 13，因此a 12＋a 13＝0，从而a 12＜0，a 13＞0，故n 为12.答案：129．(2014·某某某某3月测试(一))设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1＜a 3＜1,0＜a 6＜3，则S 9的取值X 围是__________．解析：方法一：S 9＝9a 1＋36d ，又⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a 1＋2d ＜1，0＜a 1＋5d ＜3，依据线性规划知识，得－3＜S 9＜21.方法二：S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6. 因为－3＜3a 3＜3,0＜6a 6＜18， 两式相加即得－3＜S 9＜21.方法三：由题意可知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2a 6＋2a 9， 而a 3＋a 9＝2a 6， 所以S 9＝3a 3＋6a 6，又－1＜a 3＜1,0＜a 6＜3，故－3＜S 9＜21. 答案：(－3,21) 三、解答题10．(2014·某某卷)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解析：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)·(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.11．(2014·某某模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＜0，S 2 009＝0. (1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n .解析：(1)设公差为d ，则由S 2 009＝0⇒2009a 1＋2 009×2 0082d ＝0⇒a 1＋1 004d ＝0，d＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n 1 004a 1，所以S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a 12 008(2 009n －n 2)．因为a 1＜0，n ∈N *，所以当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1.(2)a n ＝1 005－n 1 004a 1，由S n ≤a n 得a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1.因为a 1＜0，所以n 2－2 011n ＋2 010≤0，即(n －1)(n －2 010)≤0，解得1≤n ≤2 010. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}．12．(2014·某某某某一模)已知数列{a n }，a 1＝－5 ，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．解析：(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列， ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3.∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列． ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.(2)|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ≤2时，S n ＝n 5＋8－3n2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋n －21＋3n －82＝3n 22－132n ＋14；综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.。

课时作业(三十一) 等差数列及其前n 项和一、选择题1．(2015·宁德模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝1，a 4＝5，则S 5等于( ) A ．7 B ．15 C ．30 D ．31答案B解析：解法一：由等差数列通项公式，得5＝1＋2d ，d ＝2，a 1＝－1，S 5＝15. 解法二：S 5＝a 1＋a 52＝a 2＋a 42＝5×62＝15.2．已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．20C ．19D ．21答案：C 解析：由a 11a 10<－1，得a 11＋a 10a 10<0，又它的前n 项和S n 有最大值，则a 10>0，a 11<0，a 11＋a 10<0，则S 19>0，S 20<0，那么当S n 取得最小正值时，n ＝19，故应选C.3．(2015·威海模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，则a 5＋a 6＝( )A.125B ．12C ．6D ．65答案：A解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)3＝3＋32－(0＋02)＝12， 而S 10＝a 1＋a 102＝5(a 1＋a 10)＝5(a 5＋a 6)＝12， ∴ a 5＋a 6＝125.故应选A.4．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A ．7B ．23C ．278D ．214答案：D解析：a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92a 1＋a992b 1＋b9＝S 9T 9＝214. 故应选D.5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S .则S 最小时，电梯所停的楼层是( )A ．7层B ．8层C ．9层D ．10层答案：C解析：设电梯停靠在第x 层时，其余10人的“不满意度”之和为S ，向上步行的有(12－x )人，这(12－x )人“不满意度”之和为S 1＝2＋4＋6＋…＋2(12－x )＝－x2＋－x2＝x 2－25x ＋156；向下步行的有10－(12－x )＝(x －2)(人)，这(x －2)人“不满意度”之和为S 2＝1＋2＋…＋(x －2)＝x －＋x －2＝12x 2－32x ＋1；所以S ＝S 1＋S 2＝(x 2－25x ＋156)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－32x ＋1＝32x 2－532x ＋157＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5362＋95924，由于x ∈N,2≤x ≤12，所以当x ＝9时，S 取最小值，即S 最小时，电梯所停的楼层是9层．二、填空题6．(2015·山东泰安一模)正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ，n ≥2)，则a 7＝________.答案：19解析：因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ，n ≥2)，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以d ＝a 22－a 21＝3为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，n ≥1，所以a 7＝3×7－2＝19.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.答案：13解析：∵6S 5－5S 3＝5，∴6(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，∴a 1＋3d ＝13，即a 4＝13.8．(2015·安庆模拟)已知等差数列{a n }中，a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则12a 50＋a 20＋a 80＝________.答案：252解析：依题意，a 1＋a 99＝10，∴a 50＝5， 故12a 50＋a 20＋a 80＝12a 50＋2a 50＝252. 9．(2015·福建龙岩质检)已知数列{a n }的首项为2，数列{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 2＝－2，b 7＝8，则a 8＝________.答案：16解析：∵{b n }为等差数列，且b 2＝－2，b 7＝8，设其公差为d ，∴b 7－b 2＝5d ，即8＋2＝5d ，∴d ＝2.∴b n ＝－2＋(n －2)×2＝2n －6.∴a n ＋1－a n ＝2n －6.由a 2－a 1＝2×1－6，a 3－a 2＝2×2－6，…，a n －a n －1＝2×(n －1)－6，累加，得a n －a 1＝2×(1＋2＋…＋n －1)－6(n－1)＝n 2－7n ＋6，∴a n ＝n 2－7n ＋8.∴a 8＝16.10．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案：1941解：∵ {a n }，{b n }为等差数列， ∴ a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝2a 62b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴ a 6b 6＝1941. 三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋cn (n ＋1)(c 为常数)． (1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)若{a n }是正数组成的数列，试给出不依赖于n 的一个充要条件，使得数列{a n }是等差数列，并说明理由．解：(1)证明：由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋cn (n ＋1)，可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋c ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列． (2)由(1)可知，a nn＝1＋(n －1)c ， 则a n ＝n ＋n (n －1)c .{a n }是等差数列的充要条件是a n ＝an ＋b ， 即a 2n 2＋2abn ＋b 2＝cn 2＋(1－c )n ，则c ＝1. 12．(2015·济南模拟)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝－n 2＋9n .(2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝S n ＋2－S n ＋1－S n ＋1－S n2＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1＜0，得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．13．(2015·广东中山一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0. (1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求使a n ≥S n 的n 的取值集合． 解：(1)设公差为d ，则由S 2 009＝0，得 2 009a 1＋2 009×2 0082d ＝0，则a 1＋1 004d ＝0，d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n 1 004a 1， ∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n1 004a 1＝a 12 008(2 009n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1.(2)由(1)得a n ＝1 005－n1 004a 1，由S n ≤a n ，得a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1.∵a 1<0，∴n 2－2 011n ＋2 010≤0， 即(n －1)(n －2 010)≤0， 解得1≤n ≤2 010.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}．。

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第五章 第三节 等比数列及其前n 项和课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．(2016·太原一模)已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4，故选B.答案：B2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，则下列数列中一定为等比数列的是( )A ．{a n }B ．{a n －1}C ．{a n －2}D ．{S n }解析：由S n ＋a n ＝2n (n ∈N *) ①可得S n －1＋a n －1＝2(n －1)(n ≥2，n ∈N *) ②，①－②得a n ＝12a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －2＝12(a n －1－2)(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，a 1－2＝－1≠0，所以{a n －2}一定是等比数列，故选C.答案：C3．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，且公比q ≠1，若T 7＝128，则( ) A ．a 4＝2 B ．a 5＝2 C ．a 6＝2D ．a 1＝2解析：因为T n 为等比数列{a n }的前n 项积，所以T 7＝a 74＝128，则a 4＝2，故选A. 答案：A4．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，则2S n ＋a n ＝( ) A ．1 B.13 C.12D ．2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，所以2a 1＋3a 1q ＝1 ①，a 1q 2＝3a 1q 3 ②，由②得q ＝13，代入①得a 1＝13，所以a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，S n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ，则2S n ＋a n ＝1. 答案：A5．(2015·衡水二模)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值的n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故91－q 31－q＝1－q 61－q，解得q ＝2，又a 1＝120，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －120.因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时，a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －120≤1，2n20≥1，则n ＝5，故选C.答案：C6．若正项数列{a n }满足a 2＝12，a 6＝132，且a n ＋1a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则log 2a 4＝________.解析：由a n ＋1a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得数列{a n }是等比数列，所以a 24＝a 2a 6＝164，又a 4>0，则a 4＝18，故log 2a 4＝log 2 18＝－3.答案：－37．已知在等比数列{a n }中，a 5a 11＝6，a 6＋a 10＝7，则a 7a 9的值是________．解析：因为{a n }是等比数列，所以a 5a 11＝a 6a 10＝6，又a 6＋a 10＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝1，a 10＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝6，a 10＝1，设{a n }的公比为q ，则q 4＝6或16，q 2＝6或66，所以a 7a 9＝1q 2＝66或 6.答案：66或 6 8．等比数列的首项是－1，前n 项和为S n ，如果S 10S 5＝3132，则S 4的值是________．解析：由已知得S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝3132，故q 5＝－132，解得q ＝－12，S 4＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161＋12＝－58.答案：－589．(2015·陕西一检)已知正整数数列{a n }是首项为2的等比数列，且a 2＋a 3＝24. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n3a n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设正整数数列{a n }的公比为q ，则2q ＋2q 2＝24， ∴q ＝3， ∴a n ＝2×3n －1.(2)∵b n ＝2n 3a n ＝2n 3×2×3n －1＝n 3n ， ∴T n ＝13＋232＋333＋…＋n3n ，①∴13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1.② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1. ∴T n＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n1－13－n 3n ＋1＝3n ＋1－2n －34×3n. 10．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 18∶S 9＝7∶8. (1)求证：S 3，S 9，S 6依次成等差数列；(2)a 7与a 10的等差中项是否是数列{a n }中的项？如果是，是{a n }中的第几项？如果不是，请说明理由．解：(1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 18＝18a 1，S 9＝9a 1，S 18∶S 9＝2∶1≠7∶8，∴q ≠1. ∴S 18＝a 11－q(1－q 18)，S 9＝a 11－q(1－q 9)，S 18∶S 9＝1＋q 9.∴1＋q 9＝78，解得q ＝－2－13.∴S 3＝a 11－q 31－q ＝32×a 11－q ，S 6＝a 11－q 61－q ＝34×a 11－q ，S 9＝a 11－q (1－q 9)＝98×a 11－q.∵S 9－S 3＝－38×a 11－q ，S 6－S 9＝－38×a 11－q ，∴S 9－S 3＝S 6－S 9.∴S 3，S 9，S 6依次成等差数列． (2)a 7与a 10的等差中项等于a 7＋a 102＝a 12－2－2－32＝a 116，设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项， 则a 1(－2－13)n －1＝a 116，化简得(－2)－n －13＝(－2)－4，即－n －13＝－4，解得n ＝13.∴a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第13项．B 组 高考题型专练1．(2014·高考大纲全国卷)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C.答案：C2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2.∴a 2＝12，故选C.答案：C3．(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n＝126，则n ＝________.解析：因为在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，因为S n ＝126，所以2－2n ＋11－2＝126，解得2n ＋1＝128，所以n ＝6.答案：64．(2015·高考湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝192n ＋79，b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n . 故T n ＝6－2n ＋32n －1.。

第2课时等差数列及其前n项和1. 等差数列的定义如果一个数列从______ 项起，每一项与它的前一项的差都等于那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的___________ ,通常用字母__________ 表示.2. 等差数列的通项公式若等差数列｛a n｝的首项为a i,公差是d,则其通项公式为a n= __________ .3. 等差中项如果___________ ,那么A叫做a与b的等差中项.4. 等差数列的常用性质(1) 通项公式的推广：a n=a m+ ______ (n, N).(2) 若｛a n｝为等差数列，且m+n=p+q贝U_______________________________ ( m n, p, q€ N).⑶若｛a n｝是等差数列，公差为d,则a k, a k+m, a k+2m…(k, m€ N)是公差为 _____________ 的等差数列.⑷数列S m Sa m-S m, S3m-2m,… 也是等差数列.⑹若丹为偶如则S黑一务=臥若«为奇数Ml] S a-S fl=的(中间项).5. 等差数列的前n项和公式若已知首项a i和末项a n,则S n= __________ ,或等差数列｛a n｝的首项是a i,公差是d,则其前n项和公式为s= ________基础自测1.（教材改编）已知｛a n｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）.A. 4B. 5C. 6D. 72. 设数列｛a n｝是等差数列,其第n项和为S,若a6=2且S=30,则S等于（）.A. 31B. 32C. 33D. 343. （教材改编）已知数列｛a n｝,其通项公式为a n=3n-17,则其前n项和S取得最小值时n的值为（）.A. 4B. 5C. 6D. 74. （教材改编）有两个等差数列2,6,10，…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列｛a n｝的通项公式a n= ______ .5,（课本精迭题｝已知两个数列龙7厂蚣*心7与“ gy都是等差数列* 且则工二字的值为址_析 ---------指点迷津• 一个常数吐一心t =』（心2a）恆成立/为常数即公差*■一个中项任何两个数&与。

【优化探究】2016高考数学一轮复习 5-2 等差数列及其前n 项和课时作业 文一、选择题1．(2015年长春调研)设Sn 是公差不为0的等差数列{an}的前n 项和，若a1＝2a8－3a4，则S8S16＝( ) A.310 B .13 C.19D.18解析：由题意可得，a1＝2a1＋14d －3a1－9d ，∴a1＝52d ，又S8S16＝8a1＋28d 16a1＋120d ＝20d ＋28d 40d ＋120d ＝48d 160d ＝310，故选A. 答案：A2．已知等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝0，a11－a4＝4，记Sn ＝a1＋a2＋…＋an ，则S13＝( )A ．78B ．68C ．56D ．52解析：设等差数列{an}的公差为d ，首项为a1，则⎩⎪⎨⎪⎧a1－d ＝0，7d ＝4，解得⎩⎨⎧a1＝47，d ＝47，∴S13＝13a1＋1313－12d ＝13×47＋78×47＝52. 答案：D3．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．13解析：∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于0，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n 的值为12. 答案：C4．(2014年高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A ．d>0 B ．d<0C ．a1d>0D ．a1d<0解析：∵{2a1an}为递减数列，∴2a1an ＋12a1an ＝2a1an ＋1－a1an ＝2a1d<1＝20，∴a1d<0，故选D.答案：D5．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn ＝an ＋1－an(n ∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( ) A ．0 B ．3C ．8D ．11解析：设数列{bn}的首项为b1，公差为d ，由b3＝－2，b10＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧b1＋2d ＝－2，b1＋9d ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝－6，d ＝2，∴bn ＝－6＋2(n －1)＝2n －8. ∴bn ＝an ＋1－an ，∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋b5＋…＋b1＋a1＝7×－6＋2×7－82＋3＝3.答案：B 二、填空题6．(2015年唐山统考)在等差数列{an}中，已知a2＋a9＝5，则3a5＋a7的值为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d ，∵a2＋a9＝5，∴2a1＋9d ＝5，∴3a5＋a7＝3a1＋12d ＋a1＋6d ＝4a1＋18d ＝2(2a1＋9d)＝10. 答案：107．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a7＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d ，则由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13 ①，S7＝7a1＋a1＋6d2＝35 ②.①②联立，解得a1＝2，d ＝1，∴a7＝a1＋6d ＝8.答案：88．(2014年高考江西卷)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d ，前n 项和为Sn ，当且仅当n ＝8时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为________． 解析：由a1>0，n ＝8时，Sn 取最大值，则a8>0，a9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a8＝a1＋7d ＝7＋7d>0，a9＝a1＋8d ＝7＋8d<0， 解得－1<d<－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 三、解答题9．已知数列{an}的各项均为正数，前n 项和为Sn ，且满足2Sn ＝a2n ＋n －4(n ∈N ＋)． (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：当n ＝1时，有2a1＝a21＋1－4， 即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2Sn －1＝a2n －1＋n －5， 又2Sn ＝a2n ＋n －4， 两式相减得2an ＝a2n －a2n －1＋1， 即a2n －2an ＋1＝a2n －1， 也即(an －1)2＝a2n －1，因此an －1＝an －1或an －1＝－an －1. 若an －1＝－an －1，则an ＋an －1＝1. 而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾， 所以an －1＝an －1，即an －an －1＝1， 因此数列{an}为首项为3， 公差为1的等差数列． (2)由(1)知a1＝3，d ＝1， 所以数列{an}的通项公式 an ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即an ＝n ＋2. 10．(2014年高考浙江卷)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d 及Sn ；(2)求m ，k(m ，k ∈N*)的值，使得am ＋am ＋1＋am ＋2＋…＋am ＋k ＝65. 解析：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 将a1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d>0，所以d ＝2.从而an ＝2n －1，Sn ＝n2(n ∈N*)．(2)由(1)得am ＋am ＋1＋am ＋2＋…＋am ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N*知2m ＋k －1>k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.B 组 高考题型专练1．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是( ) A ．24 B ．48 C ．60 D ．84解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60，故选C. 答案：C2．(2014年高考陕西卷)已知f(x)＝x1＋x ，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn ＋1(x)＝f(fn(x))，n ∈N ＋，则f2 014(x)的表达式为________．解析：由已知易知fn(x)>0，∵fn ＋1(x)＝f(fn(x))＝fn x 1＋fn x ，∴1fn ＋1x ＝1＋fn x fn x ＝1fn x ＋1⇒1fn ＋1x －1fn x ＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn x 是以1f1x ＝1＋x x为首项，1为公差的等差数列． ∴1fn x ＝1＋x x ＋(n －1)×1＝1＋nx x，∴fn(x)＝x 1＋nx，∴f2 014(x)＝x1＋2 014x.答案：f2 014(x)＝x1＋2 014x3．正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N＋，n≥2)，则a7＝________. 解析：因为2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N＋，n≥2)，所以数列{a2n}是以a21＝1为首项，以d＝a22－a21＝3为公差的等差数列，所以a2n＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝3n－2，n≥1，所以a7＝3×7－2＝19.答案：194．其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行、第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式．解析：(1)由上表可知，第一行的首项为4，公差是3；第二行的首项是7，公差为5.可以归纳出：第一列是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i＋1；各行的公差构成以3为首项，2为公差的等差数列，即2i＋1.因为a45是第4行，第5列，首项应为13，公差是9，所以a45＝13＋(5－1)×9＝49.(2)由(1)知，第i行的数是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，所以aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j.。

等差数列及其前n项和(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知错误!未找到引用源。

为等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=15,则公差d等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 A.由题意可得,S3=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=15,解得a2=5,故公差d=a3-a2=6-5=1.2.(2016·雅安模拟)若等差数列{a n}的前n项和为S n且S4=S18,则S22等于( )A.0B.12C.-1D.-12【解析】选A.设等差数列的公差为d,由S4=S18得4a1+错误!未找到引用源。

d=18a1+错误!未找到引用源。

d,a1=-错误!未找到引用源。

d,所以S22=22a1+错误!未找到引用源。

d=22×错误!未找到引用源。

+22×错误!未找到引用源。

d=0.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选A.设S n=An2+Bn,由题意知,16A+4B=324A+18B,解得B=-22A,所以S22=22(22A+B)=0.【加固训练】在等差数列{a n}中,a9=错误!未找到引用源。

a12+6,则数列{a n}的前11项和S11= ( )A.24B.48C.66D.132【解析】选 D.因a9=错误!未找到引用源。

a12+6及等差数列通项公式得,2(a1+8d)=a1+11d+12,整理得a1+5d=12=a6,所以S11=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=11×12=132.3.(2016·厦门模拟)已知数列{a n}中,a3=错误!未找到引用源。

,a7=错误!未找到引用源。

,且错误!未找到引用源。

是等差数列,则a5= ( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【解析】选B.设等差数列错误!未找到引用源。

的公差为d,则错误!未找到引用源。

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 5.2 等差数列及前n 项和课时作业 理（含解析）新人教A 版必修5一、选择题1．(2013·山东滨州模拟)已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝( ) A ．24 B ．27 C ．15D ．54解析：数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＋a 8＝3a 5＝9，∴S 9＝9a 5＝3×9＝27.选B. 答案：B2．(2013·汕头质量测评)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10，则k ＝( )A ．45B ．46C ．47D ．48解析：a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝d ＋2d ＋…＋9d ＝45d ＝a 46，∴k ＝46，选B. 答案：B3．(2013·河北唐山一中第二次月考)在等差数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( )A ．54B ．45C ．36D ．27解析：由已知等差数列{a n }中，2a 8＝6＋a 11，∴2a 1＋14d ＝6＋a 1＋10d ，∴a 5＝6，而S 9＝9a 5＝54，故选A.答案：A4．(2013·江西联考)等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 2 013＝S 2 013＝2 013，则a 1的值为( )A ．2 012B ．－2 012C ．2 011D ．－2 011解析：S 2 013＝2 013a 1＋a 2 0132＝2 013，∴a 1＝2－2 013＝－2 011，选D.答案：D5．(2013·江西八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1、S 2a 2、S 3a 3…S 15a 15中最大项为( ) A.S 6a 6B.S 7a 7C.S 8a 8D.S 9a 9解析：由数列{a n }为等差数列，可得S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8>0，故a 8>0，S 16＝16a 1＋a 162<0，故a 1＋a 16<0，由等差数列的基本性质：a 1＋a 16＝a 2＋a 15＝…＝a 8＋a 9，所以a 9<0，可推知在数列{a n }中，首项a 1>0，d <0.则{a n }为递减数列，有S 1<S 2<…<S 8，a 1>a 2>…>a 8>0>a 9，故S 8a 8最大．答案：C6．(2013·青岛市高三自评试题)已知数列{a n }是以3为公差的等差数列，S n 是其前n 项和，若S 10是数列{S n }中的惟一最小项，则数列{a n }的首项a 1的取值范围是( )A ．[－30,27]B ．(30,33)C ．(－30，－27)D ．[30,33]解析：由已知S 10为数列{S n }中的惟一最小项，可得a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋27<0⇒a 1<－27，a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋30>0⇒a 1>－30，故选C.答案：C 二、填空题7．(2013·广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：利用等差数列的性质可快速求解．因为a 3＋a 8＝10，所以3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.答案：208．(2013·潍坊模拟)现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.解析：由题意可知a 1＝10,3a n －1＝114，即a n －1＝38，a 26＝a 1·a n ，即(10＋5d )2＝10(38＋d )(d >0)解得d ＝2，a n －1＝10＋2(n －2)＝38，∴n ＝16.答案：169．(2013·浙江金华十校模拟)已知数列{a n }是公差为1的等差数列，S n 是其前n 项和，若S 8是数列{S n }中的惟一最小项，则数列{a n }的首项a 1的取值范围是________．解析：由已知可知等差数列{a n }中，a 8<0，a 9>0，故可得a 1＋7<0，a 1＋8>0⇒－8<a 1<－7.答案：(－8，－7) 三、解答题10．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)， 整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.11．(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：(1)由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13，∴a 13＝0， 又∵a 1>0，∴a 1、a 2、…、a 11、a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数． ∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列， 令⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝4n －25<0，a n ＋1＝4n ＋1－25≥0，①②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n n －12×－4，n ≤666＋3n －6＋n －6n －72×4，n ≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n ，n ≤6，2n 2－23n ＋132，n ≥7.12．(2013·石家庄第二次模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项为2，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n ＋12－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由(a 2)2＝a 1·a 4， 又首项为2，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 因为d ≠0，所以d ＝2， 所以a n ＝2n .(2)设数列{b n }的前n 项和T n ，由(1)知a n ＝2n ， 所以b n ＝1a n ＋12－1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋1， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.[热点预测]13．(1)(2013·江西省宜春市高三模拟考试)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 2 0142 014－S 2 0122 012＝2，则S 2 013的值等于( )A ．－2 013B ．－2 012C ．2 012D ．2 013(2)(2013·湖北八市调考)如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *)，则2 3 4 5 6 7 ... 3 5 7 9 11 13 (4)710131619…5 9 13 17 21 25 …6 11 16 21 26 31 …7 13 19 25 31 37 … …………………①a 99＝________②表中数82共出现________次． 解析：(1)由S 2 0142 014－S 2 0122 012＝2可得a 1＋a 2 0142－a 1＋a 2 0122＝2，即d ＝2a 2 013＝a 1＋(2 013－1)×2＝2 011，S 2 013＝2 013a 1＋a 2 0132＝－2 013，故选A.(2)①由“森德拉姆素数筛”知，每一列从上到下都构成等差数列，且第1列的公差是1；每一行从左到右都构成等差数列，第1行的公差是1，第2行的公差是2，第3行的公差是3，…，第9行的公差是9，因此第9行的前9个数分别为10,19,28,37,46,55,64,73,82，则a ij ＝i ·j ＋1＝82，即a 99＝9×9＋1＝82.②由①得，a 99＝i ·j ＋1＝82(i ，j ∈N *)，即i ·j ＝81，由于82＝1×82＝82×1＝3×27＝27×3＝9×9，故数阵中82出现5次． 答案：(1)A (2)①82 ②5。

【优化探究】2016高考数学一轮复习 5-4 数列求和课时作业 文一、选择题1．(2013年高考大纲全国卷)已知数列{an}满足3an ＋1＋an ＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10) 解析：由3an ＋1＋an ＝0，得an ＋1an ＝－13，故数列{an}是公比q ＝－13的等比数列． 又a2＝－43，可得a1＝4.所以S10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C2．数列1 12，3 14，5 18，7 116，…，(2n －1)＋12n 的前n 项和Sn 的值等于( )A ．n2＋1－12nB ．2n2－n ＋1－12nC ．n2＋1－12n －1D ．n2－n ＋1－12n解析：该数列的通项公式为an ＝(2n －1)＋12n，则Sn ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n2＋1－12n. 答案：A3．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝an2＋bn(a ，b ∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于( ) A ．16 B ．8C ．4D ．不确定解析：由数列{an}的前n 项和Sn ＝an2＋bn(a ，b ∈R)，可知数列{an}是等差数列，由S25＝a1＋a25×252＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8.答案：B4．已知数列{an}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{bn}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1anan ＋1的前n 项和Sn 为( )A.n n ＋1 B .4n n ＋1 C.3n n ＋1 D .5n n ＋1解析：an ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴bn ＝1anan ＋1＝4n n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴Sn ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1.答案：B5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S2 013等于( ) A ．1 B ．2 010 C ．4 018 D ．0解析：由已知得an ＝an －1＋an ＋1(n≥2)，∴an ＋1＝an －an －1.故数列的前n 项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2 013＝6×335＋3，∴S2 013＝S3＝4 018. 答案：C 二、填空题6．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn ＝log3an ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bnbn ＋1的前n 项和Sn ＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q ，则a4a1＝q3＝27，解得q ＝3.所以an ＝a1qn －1＝3×3n －1＝3n ，故bn ＝log3an ＝n ， 所以1bnbn ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bnbn ＋1的前n 项和Sn ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：nn ＋17．对于数列{an}，定义数列{an ＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{an}的前n 项和Sn ＝________. 解析：∵an ＋1－an ＝2n ，∴an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴Sn ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－28．(2015年青岛模拟)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.解析：因为f(n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]f(1)＋f(2)＋...＋f(100)＝－12＋22－32＋42－...－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋...(1002－992)＝3＋7＋ (199)503＋1992＝5 050，f(2)＋...＋f(101)＝22－32＋42－...－992＋1002－1012 ＝(22－32)＋(42－52)＋...＋(1002－1012) ＝－5－9－ (201)50－5－2012＝－5 150，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)] ＝－5 150＋5 050＝－100. 答案：－100 三、解答题9．(2013年高考湖南卷)设Sn 为数列{an}的前n 项和，已知a1≠0,2an －a1＝S1·Sn ，n ∈N*. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n 项和．解析：(1)令n ＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21. 因为a1≠0，所以a1＝1.令n ＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an －1＝Sn,2an －1－1＝Sn －1两式相减，得2an －2an －1＝an ，即an ＝2an －1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an ＝2n －1.所以数列{an}的通项公式为an ＝2n －1(n ∈N*)． (2)由(1)知，nan ＝n·2n －1.记数列{n·2n －1}的前n 项和为Bn ， 于是Bn ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n －1，① 2Bn ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②，得－Bn ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝2n －1－n·2n.从而Bn ＝1＋(n －1)·2n(n ∈N*)．10．(2015年台州模拟)在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作Tn ，再令an ＝lg Tn ，n≥1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn ＝tan an·tan an ＋1，求数列{bn}的前n 项和Sn.解析：(1)设t1，t2，…，tn ＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn ＋2＝100， 则Tn ＝t1·t2·…·tn ＋1·tn ＋2，① Tn ＝tn ＋2·tn ＋1·…·t2·t1，② ①×②并利用titn ＋3－i ＝t1tn ＋2＝102(1≤i≤n ＋2)，得 T2n ＝(t1tn ＋2)·(t2tn ＋1)·…·(tn ＋1t2)·(tn ＋2t1)＝102(n ＋2)，Tn ＝10n ＋2， ∴an ＝lg Tn ＝n ＋2，n≥1.(2)由题意和(1)中计算结果，知 bn ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n≥1. 另一方面，利用tan 1＝tan[(k ＋1)－k]＝tan k ＋1－tan k1＋tan k ＋1·tan k ，得tan(k ＋1)·tan k ＝tank ＋1－tan ktan 1－1.所以Sn ＝∑n k ＝1bk ＝∑n ＋2k ＝3tan(k ＋1)·tan k ＝∑n ＋2k ＝3 ⎣⎡⎦⎤tan k ＋1－tan k tan 1－1＝tan n ＋3－tan 3tan 1－n.B 组 高考题型专练1．(2014年高考北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn －an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n 项和．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d ，由题意得d ＝a4－a13＝12－33＝3.所以an ＝a1＋(n －1)d ＝3n(n ＝1,2，…)．设等比数列{bn －an}的公比为q ，由题意得q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以bn －an ＝(b1－a1)qn －1＝2n －1. 从而bn ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．(2)由(1)知bn ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．数列{3n}的前n 项和为32n(n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{bn}的前n 项和为32n(n ＋1)＋2n －1.2．(2014年高考安徽卷)数列{an}满足a1＝1，nan ＋1＝(n ＋1)an ＋n(n ＋1)，n ∈N*.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是等差数列；(2)设bn ＝3n·an ，求数列{bn}的前n 项和Sn.解析：(1)证明：由已知可得an ＋1n ＋1＝an n ＋1，即an ＋1n ＋1－ann＝1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得ann ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以an ＝n2.从而bn ＝n·3n. Sn ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n ， ① 3Sn ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n·3n ＋1. ② ①－②得，－2Sn ＝31＋32＋…＋3n －n·3n ＋1 ＝3·1－3n 1－3－n·3n ＋1＝1－2n ·3n ＋1－32，所以Sn ＝2n －1·3n ＋1＋34.3．(2014年高考新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x ＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 的前n 项和．解析：(1)方程x2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3. 设数列{an}的公差为d ，则a4－a2＝2d ，故d ＝12，从而a1＝32.所以{an}的通项公式为an ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 的前n 项和为Sn ，由(1)知an 2n ＝n ＋22n ＋1，则Sn ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12Sn ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减，得12Sn ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以Sn ＝2－n ＋42n ＋1.4．(2014年高考湖南卷)已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2＋n2，n ∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝2an ＋(－1)nan ，求数列{bn}的前2n 项和． 解析：(1)当n ＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝n2＋n 2－n －12＋n －12＝n.故数列{an}的通项公式为an ＝n.(2)由(1)知，bn ＝2n ＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n 项和为T2n ，则T2n ＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝21－22n1－2＝22n ＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n 项和T2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.5．(2014年高考山东卷)在等差数列{an}中，已知公差d ＝2，a2是a1与a4的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn ＝ann ＋12，记Tn ＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn ，求Tn. 解析：(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)， 解得a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an ＝2n. (2)由题意知bn ＝ann ＋12＝n(n ＋1)， 所以Tn ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn·(n ＋1)． 因为bn ＋1－bn ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，Tn ＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn －1＋bn)＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n24＋2n 2＝n n ＋22， 当n 为奇数时，Tn ＝Tn －1＋(－bn)＝n －1n ＋12－n(n ＋1)＝－n ＋122.所以Tn ＝⎩⎨⎧－n ＋122，n 为奇数，nn ＋22，n 为偶数.。

第二节 等差数列及其前n 项和授课提示：对应学生用书第325页〖A 组 基础保分练〗1．（2021·惠州模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＋a 4＝15，a 7＝13，则S 5＝（ ） A ．28 B ．25 C ．20 D ．18〖解 析〗设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝15，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×1＋5×42×2＝25．〖答 案〗B2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝2，a 5＝3，则{a n }的前6项和为（ ） A ．6 B ．9 C ．10 D ．11〖解 析〗设{a n }的公差为d ，由等差数列的性质知a 2＋a 4＝2a 3＝2，则a 3＝1，所以d ＝a 5－a 35－3＝1，a 4＝a 5－d ＝2，所以S 6＝6（a 1＋a 6）2＝3（a 3＋a 4）＝3×（1＋2）＝9．〖答 案〗B3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝16，a 6＝1，则数列{a n }的公差为（ ）A ．32B ．－32C ．23D ．－23〖解 析〗设数列{a n }的公差为d ，∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 8＝16，a 6＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 8＝8a 1＋8×72d ＝16，a 6＝a 1＋5d ＝1，解得a 1＝133，d ＝－23，故数列{a n }的公差为－23．〖答 案〗D 4．（2021·莱阳一中月考）已知等差数列{a n }中，a 7＞0，a 3＋a 9＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最小值为（ ） A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6 D ．S 7 〖解 析〗∵等差数列{a n }中，a 3＋a 9＜0，∴a 3＋a 9＝2a 6＜0，即a 6＜0．又a 7＞0，∴{a n }的前n 项和S n 的最小值为S 6． 〖答 案〗C 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 〖解 析〗由S 6＞S 7＞S 5，得S 7＝S 6＋a 7＜S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7＞S 5，所以a 7＜0，a 6＋a 7＞0，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7＜0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝6（a 6＋a 7）＞0，所以S 12S 13＜0，即满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为12．〖答 案〗C6．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n．若对任意的n ∈N＋，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－8，－7） B ．〖－8，－7） C ．（－8，－7〗 D ．〖－8，－7〗 〖解 析〗因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1．因为b n ＝1＋a n a n，又对任意的n ∈N ＋，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N ＋恒成立．因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1＜0，9＋a －1＞0，解得－8＜a ＜－7． 〖答 案〗A7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 4＝5，则S 6＝ ． 〖解 析〗∵{a n }为等差数列，∴S 6＝（a 1＋a 6）2×6＝（a 3＋a 4）2×6＝15．〖答 案〗158．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝________．〖解 析〗S 11S 5＝112（a 1＋a 11）52（a 1＋a 5）＝11a 65a 3＝225．〖答 案〗2259．已知等差数列{a n }的前三项的和为－9，前三项的积为－15． （1）求等差数列{a n }的通项公式；（2）若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n ．〖解 析〗（1）设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ， 所以（－3－d ）（－3）（－3＋d ）＝－15，得d 2＝4，d ＝±2， 所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7．（2）由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤3，2n －7，n ≥4，①n ≤3时，S n ＝－（a 1＋a 2＋…＋a n ）＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2（a 1＋a 2＋a 3）＋（a 1＋a 2＋…＋a n ）＝18－6n ＋n 2．综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋6n ，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4.10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1．数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式．〖解 析〗（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（2n －1）－（2n －1－1）＝2n －1． 因为a 1＝1适合通项公式a n ＝2n －1， 所以a n ＝2n －1．（2）证明：因为b n ＋1－2b n ＝8a n ， 所以b n ＋1－2b n ＝2n ＋2，即b n ＋12n ＋1－b n2n ＝2． 又b 121＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为1，公差为2的等差数列．所以b n2n ＝1＋2（n －1）＝2n －1．所以b n ＝（2n －1）×2n ．〖B 组 能力提升练〗 1．（2021·合肥市高三二检）已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝（ ）A ．－45B ．－54C ．413D ．134〖解 析〗设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由题意可知，1a 4＝1a 1＋3d ＝14，解得d ＝－14，所以1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，所以a 10＝－45． 〖答 案〗A2．（2020·高考浙江卷）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，a 1d≤1．记b 1＝S 2，b n ＋1＝S 2n ＋2－S 2n ，n ∈N *，下列等式不可能成立的是（ ） A ．2a 4＝a 2＋a 6 B ．2b 4＝b 2＋b 6 C ．a 24＝a 2a 8 D ．b 24＝b 2b 8 〖解 析〗对于A ，因为数列{a n }为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4＋4＝2＋6可得，2a 4＝a 2＋a 6，A 正确；对于B ，由题意可知，b n ＋1＝S 2n ＋2－S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2，b 1＝S 2＝a 1＋a 2， ∴b 2＝a 3＋a 4，b 4＝a 7＋a 8，b 6＝a 11＋a 12，b 8＝a 15＋a 16． ∴2b 4＝2（a 7＋a 8），b 2＋b 6＝a 3＋a 4＋a 11＋a 12．根据等差数列的下标和性质，由3＋11＝7＋7，4＋12＝8＋8可得 b 2＋b 6＝a 3＋a 4＋a 11＋a 12＝2（a 7＋a 8）＝2b 4，B 正确；对于C ，a 24－a 2a 8＝（a 1＋3d ）2－（a 1＋d ）（a 1＋7d ）＝2d 2－2a 1d ＝2d （d －a 1）， 当a 1＝d 时，a 24＝a 2a 8，C 正确；对于D ，b 24＝（a 7＋a 8）2＝（2a 1＋13d ）2＝4a 21＋52a 1d ＋169d 2，b 2b 8＝（a 3＋a 4）（a 15＋a 16）＝（2a 1＋5d ）（2a 1＋29d ）＝4a 21＋68a 1d ＋145d 2， b 24－b 2b 8＝24d 2－16a 1d ＝8d （3d －2a 1）． 当d ＞0时，a 1≤d ，∴3d －2a 1＝d ＋2（d －a 1）＞0即b 24－b 2b 8＞0；当d ＜0时，a 1≥d ，∴3d －2a 1＝d ＋2（d －a 1）＜0即b 24－b 2b 8＞0，所以b 24－b 2b 8＞0，D 不正确．〖答 案〗D3．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是（ ） A ．20 B ．36 C ．24 D ．72〖解 析〗由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，所以a 4＋S 7＝8a 1＋24d＝24．〖答 案〗C 4．（2021·洛阳统考）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．12 D ．13 〖解 析〗设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋（n －1）d ．∵a 6＋a 7＝a 3＋a 10＞0，即2a 1＋11d ＞0，且a 6a 7＜0，a 1＞0，∴a 6＞0，a 7＜0．∴d ＝a 7－a 6＜0．又∵a 7＝a 1＋6d ＜0，∴2a 1＋12d ＜0．当S n ＝（a 1＋a n ）·n 2＝[2a 1＋（n －1）d ]·n 2＞0时，2a 1＋（n －1）d ＞0．由2a 1＋11d＞0，2a 1＋12d ＜0知n －1最大为11，即n 最大为12．〖答 案〗C 5．（2021·山东师大附中模拟）已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10＝________．〖解 析〗由等差数列性质得2a 3＝4，2a 4＝10．即a 3＝2，a 4＝5，公差d ＝3，a 1＝a 3－2d ＝2－6＝－4，所以S 10＝－4×10＋10×92×3＝95．〖答 案〗956．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10（n ∈N ＋），则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________． 〖解 析〗由a n ＝2n －10（n ∈N ＋）知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－（a 1＋a 2＋a 3＋a 4）＋（a 5＋a 6＋…＋a 15）＝20＋110＝130． 〖答 案〗130 7．（2021·嘉兴模拟）在数列{a n }，{b n }中，设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，3b 1＋5b 2＋…＋（2n ＋1）b n ＝2n ·a n ＋1，n ∈N ＋． （1）求a n 和S n ；（2）当n ≥k 时，b n ≥8S n 恒成立，求整数k 的最小值． 〖解 析〗（1）因为a n ＋1＝a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以{a n }是等差数列． 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1， 从而S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2．（2）因为a n ＝2n －1，所以3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋（2n ＋1）b n ＝2n ·（2n －1）＋1，① 当n ≥2时，3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋（2n －1）b n －1＝2n －1·（2n －3）＋1．② ①－②可得（2n ＋1）b n ＝2n －1·（2n ＋1）（n ≥2）， 即b n ＝2n －1．而b 1＝1也满足上式，故b n ＝2n －1． 令b n ≥8S n ，则2n －1≥8n 2，即2n －4≥n 2．又210－4＜102，211－4＞112，结合指数函数增长的性质，可知整数k 的最小值是11．〖C 组 创新应用练〗1．（数学文化题）中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传．题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A ．174斤 B ．184斤 C ．191斤 D ．201斤 〖解 析〗设大儿子分到的绵是x 斤，依题意知这8个儿子分到的绵构成以x 为首项，17为公差的等差数列，记其前n 项和为S n ，则有S 8＝8x ＋8×72×17＝996，即8x ＋476＝996，解得x＝65，故第8个儿子分到的绵a 8＝65＋7×17＝65＋119＝184． 〖答 案〗B 2．（2021·湖南师大附中模拟）已知函数y ＝f （x ）对任意自变量x 都有f （x ）＝f （2－x ），且函数f （x ）在〖1，＋∞）上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）＝f （a 2 012），则{a n }的前2 017项之和为（ ） A ．0 B ．2 017 C ．2 016 D ．4 034 〖解 析〗因为函数y ＝f （x ）对任意自变量x 都有f （x ）＝f （2－x ），所以函数的对称轴为x ＝1，因为f （a 6）＝f （a 2 012），所以a 6＋a 2 012＝2，由等差数列前n 项和公式得T 2 017＝（a 1＋a 2 017）·2 0172＝（a 6＋a 2 012）·2 0172＝2 017．〖答 案〗B 3．（2021·绵阳模拟）已知圆的方程为x 2＋y 2－6x ＝0，过点（1，2）的该圆的三条弦的长a 1，a 2，a 3构成等差数列，则数列a 1，a 2，a 3的公差的最大值是________．〖解 析〗如图，由x 2＋y 2－6x ＝0，得（x －3）2＋y 2＝9，∴圆心坐标C （3，0），半径r ＝3．由圆的性质可知，过点P （1，2）的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，最小值为过P 且垂直于CP 的弦的弦长．∵|CP |＝（3－1）2＋（0－2）2＝22，∴|AB |＝232－（22）2＝2，即a 1＝2，a 3＝6．∴公差d 的最大值为a 3－a 12＝6－22＝2．〖答 案〗2。

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5．2 等差数列及其前n项和[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．已知｛a n｝为等差数列,其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则a10等于( )A．18 B．20 C．16 D．22答案B解析由题意得S3＝3a2＝12,解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20。

故选B.2．（2018·武汉调研)若等差数列{a n｝的前n项和为S n，且满足S4＝4，S＝12,则S2＝( )6A．－1 B．0 C．1 D．3答案B解析{a n}为等差数列，则S2,S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S）＝S2＋(12－4)⇒S2＝0。

故选B。

23．《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．"其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布?( )A．18 B．20 C．21 D．25答案C解析织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n},a1＝5，前30项和为390，于是错误!＝390,解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．选C。

【优化探究】2016高考数学一轮复习 5-5 数列的综合应用课时作业文一、选择题1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为( )A.2 B ．4 C ．2 D.12解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a23＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d ，故数列{bn}的公比q ＝a3a1＝a1＋2d a1＝2a1a1＝2.答案：C2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析：设等比数列的公比为q ，由题意知a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q ， ∴q2－2q －1＝0，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍去)． ∴a9＋a10a7＋a8＝＋a7＋a8＝q2＝(1＋2)2＝3＋22，故选C. 答案：C3．已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且a1＝1，an ＋1＝3Sn(n≥1，n ∈N*)，第k 项满足750<ak<900，则k 等于( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析：由an ＋1＝3Sn 及an ＝3Sn －1(n≥2)， 得an ＋1－an ＝3an ，即an ＋1＝4an(n≥2)，又a2＝3S1＝3，∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝，3×4n －，又750<ak<900，验证得k ＝6.答案：C4．(2014年海淀模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an>0，a2n ＋1－a2n ＝1(n ∈N*)，那么使an<5成立的n 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．24 D ．25解析：由a2n ＋1－a2n ＝1(n ∈N*)知，数列{}a2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则a2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，由an<5得n<5，∴n<25，故选C.答案：C5．设Sn 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n 项和，则下列命题错误的是( ) A ．若d<0，则数列{Sn}有最大项 B ．若数列{Sn}有最大项，则d<0C ．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n ∈N*，均有Sn>0D ．若对任意n ∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列解析：设{an}的首项为a1，则Sn ＝na1＋12n(n －1)d ＝d2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2n.由二次函数性质知Sn 有最大值时，则d<0，故A 、B 正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d ＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N*，Sn 均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D 正确． 答案：C 二、填空题6．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.解析：设倒n 次后纯酒精与总溶液的体积比为an ， 则an ＝⎝⎛⎭⎫12n ，由题意知⎝⎛⎭⎫12n<10%，∴n≥4. 答案：47．已知数列{an}为等差数列，公差为d ，若a11a10<－1，且它的前n 项和Sn 有最大值，则使得Sn<0的n 的最小值为________．解析：根据Sn 有最大值知，d<0，则a10>a11，由a11a10<－1知，a10>0>a11，且a11<－a10即a10＋a11<0，从而S19＝＋2＝19a10>0，S20＝＋2＝10(a10＋a11)<0，则使Sn<0的n 的最小值为20. 答案：20 8．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N*)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn ，则xn ＝________，令an ＝lg xn ，则a1＋a2＋…＋a99的值为________． 解析：∵y ＝xn ＋1，∴y′＝(n ＋1)xn ，它在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，与x 轴交点的横坐标为xn ＝1－1n ＋1＝n n ＋1， 由an ＝lg xn 得an ＝lg n －lg(n ＋1)，于是a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2. 答案：nn ＋1－2 三、解答题9．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n 项和为Sn ，若a1，ak ，Sk ＋2成等比数列，求正整数k 的值．解析：(1)设数列{an}的公差为d ，则题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a1＋2d ＝8，2a1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝2，d ＝2.所以an ＝a1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，即an ＝2n. (2)由(1)可得Sn ＝＋2＝＋2＝n(n ＋1)．因为a1，ak ，Sk ＋2成等比数列，所以a2k ＝a1Sk ＋2. 从而(2k)2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.10．(2015年武汉模拟)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%. (1)求第n 年初M 的价值an 的表达式；(2)设An ＝a1＋a2＋…＋ann ，若An 大于80万元，则M 继续使用，否则需在第n 年初对M更新．证明：需在第9年初对M 更新．解析：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值an 的表达式为 an ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n≥7. (2)证明：设Sn 表示数列{an}的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn ＝120n －5n(n －1)，An ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn ＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6，An ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n. 因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又A8＝780－210×⎝⎛⎭⎫3428＝824764>80，A9＝780－210×⎝⎛⎭⎫3439＝767996<80，所以需在第9年初对M 更新． B 组 高考题型专练1．(2014年高考湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解析：(1)设数列{an}的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，an ＝2；当d ＝4时，an ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{an}的通项公式为an ＝2或an ＝4n －2. (2)当an ＝2时，Sn ＝2n. 显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得Sn ＞60n ＋800成立． 当an ＝4n －2时， Sn ＝n[2＋－2＝2n2，令2n2＞60n ＋800，即n2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得Sn ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当an ＝2时，不存在满足题意的n ；当an ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.2．已知首项为32的等比数列{an}的前n 项和为Sn(n ∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式； (2)证明Sn ＋1Sn ≤136(n ∈N*)．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q ，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q ＝a4a3＝－12.又a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为an ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：Sn ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ，Sn ＋1Sn＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧2＋1＋，n 为奇数，2＋1－，n 为偶数.当n 为奇数时，Sn ＋1Sn 随n 的增大而减小，所以Sn ＋1Sn ≤S1＋1S1＝136.当n 为偶数时，Sn ＋1Sn 随n 的增大而减小，所以Sn ＋1Sn ≤S2＋1S2＝2512.故对于n ∈N*，有Sn ＋1Sn ≤136.3．(2014年高考四川卷)设等差数列{an}的公差为d ，点(an ，bn)在函数f(x)＝2x 的图象上(n ∈N*)．(1)证明：数列{bn}为等比数列；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{}anb2n的前n 项和Sn.解析：(1)证明：由已知，bn ＝2an>0， 当n≥1时，bn ＋1bn＝2an ＋1－an ＝2d.所以，数列{bn}是首项为2a1，公比为2d 的等比数列．(2)函数f(x)＝2x 在(a2，b2)处的切线方程为y －2a2＝(2a2ln 2)(x －a2)， 它在x 轴上的截距为a2－1ln 2.由题意，a2－1ln 2＝2－1ln 2.解得a2＝2.所以，d ＝a2－a1＝1，an ＝n ，bn ＝2n ，anb2n ＝n·4n. 于是，Sn ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n·4n ， 4Sn ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n·4n ＋1. 因此，Sn －4Sn ＝4＋42＋…＋4n －n·4n ＋1 ＝4n ＋1－43－n·4n ＋1＝－＋1－43. 所以，Sn ＝－＋1＋49.。

高三数学一轮复习 5.2 等差数列及其前n 项和课时训练解析新人教A 版(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．若动点P 的横坐标x 、纵坐标y 使得lg y ，lg|x |，lg y －x2成等差数列，则点P 所表示的图形是( )解析：由题意可知2lg|x |＝lg y ＋lgy －x2，即x 2＝y (y －x2)，整理得2x 2＝y 2－xy ，化简可知(2x －y )(x ＋y )＝0，即2x －y ＝0或x ＋y ＝0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，y ＞0，y －x 2＞0，答案：C2．已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{a bn }是( ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8D ．等差数列且公差为9解析：依题意有a bn ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ＋a 1－2＝2b 1＋2(n －1)×3＋a 1－2＝6n ＋a 1＋2b 1－8，故ab n ＋1－a bn ＝6，即数列{a bn }是等差数列且公差为6.故选B.答案：B3．(2011·福州模拟)等差数列{a n }的前n 项为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( ) A ．64 B ．72 C ．54D ．以上都不对解析：由a 2＋a 6＋a 7＝3a 1＋12d ＝3a 5＝18，得a 5＝6. 所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝54.答案：C4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＞0，a 8＜0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7＜S 8 B ．S 15＜S 16 C ．S 13＞0D ．S 15＞0解析：因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见选项A 错误；易知a 16＜a 15＜0，S 16＝S 15＋a 16＜S 15，选项B 错误；S 15＝152(a 1＋a 15)＝15a 8＜0，选项D 错误；S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＞0.答案：C5．数列{a n }是等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：由题意可知，数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11a 10＜－1，所以a 10＞0，a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19.答案：C6．(2011·济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，{2，4}第一组，{6，8，10，12} 第二组，{14，16，18，20，22，24}第三组则2010位于第( )组． A ．30 B ．31 C ．32D ．33解析：因为第n 组有2n 个正偶数，故前n 组共有2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n 个正偶数.2010是第1005个正偶数．若n ＝31，则n 2＋n ＝992，而第32组中有偶数64个，992＋64＝1056，故2010在第32组．答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(2010·辽宁高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：由S 3＝3，S 6＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝3，6a 1＋15d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝15.答案：158．(2010·浙江高考)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1行 第2行 第3行 …1 2 3 …2 4 6 …3 6 9 …… … … …那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .答案：n 2＋n9．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．解析：在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2得，a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝2＋2n －2n －12＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n，即n ＝33时取等号，而n ∈N *， ∴等号取不到． ∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n ＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212， ∴a n n 的最小值是212. 答案：212三、解答题10．若数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1、a 2的值；(2)记b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，是否存在一个实数t ，使数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．解：(1)由a 3＝27,27＝2a 2＋23＋1得a 2＝9，由9＝2a 1＋22＋1，得a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列．则2b n ＝b n －1＋b n ＋1, 即2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，整理得4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，又4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋t ＋1＝4a n ＋t －1，∴t ＝1，故存在t ＝1，使得数列{b n }为等差数列．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大？并说明理由． 解：(1)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d ＞0，13a 1＋13×122d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＞0，a 1＋6d ＜0.又a 3＝a 1＋2d ＝12， ∴解得－247＜d ＜－3.(2)法一：S n ＝na 1＋n n －12d (n ＝1,2,3，…，12)． ∴S n ＝n (12－2d )＋n n －12d＝d2[n －(52－12d )]2－5d －2428d .∵－247＜d ＜－3，∴6＜52－12d ＜132.∴当n ＝6时，S n 有最大值，所以S n 的值最大为S 6. 法二：由题意及等差数列的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝12a 1＋a 122＝6a 6＋a 7＞0，S13＝13a 1＋a 132＝13a 7＜0.∴a 7＜0，a 6＞0.∴在数列{a n }中，前6项为正，第7项起，以后各项为负，故S 6最大．12．(2010·江苏高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n .已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n >cS k 都成立．求证：c 的最大值为92.解：(1)由题设知，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝2d a 1－3d 2＋2d 2n . 由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2d a 1＋d 2)＝a 1＋2d a 1＋3d 2，解得a 1＝d . 故当n ≥2时，a n ＝2nd 2－d 2.又a 1＝d 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2. (2)证明：由a 1＝d 及S n ＝a 1＋(n －1)d ，得d >0，S n ＝d 2n 2. 于是，对满足题设的m ，n ，k ，m ≠n ，有S m ＋S n ＝(m 2＋n 2)d 2>m ＋n22d 2＝92d 2k 2＝92S k .所以c 的最大值c max ≥92.另一方面，任取实数a >92.设k 为偶数，令m ＝32k ＋1，n ＝32k －1，则m ，n ，k 符合条件，且S m ＋S n ＝d 2(m 2＋n 2)＝d 2((32k ＋1)2＋(32k －1)2)＝12d 2(9k 2＋4)． 于是，只要9k 2＋4<2ak 2，即当k >22a －9时，就有 S m ＋S n <12d 2·2ak 2＝aS k .所以满足条件的c ≤92，从而c max ≤92.因此c 的最大值为92.。

高考数学一轮强化训练 5.2等差数列及其前n 项和 文 新人教A 版1.等差数列{n a }的前n 项为为n S ,且3164S a =,=,则公差d 等于( )A.1B.53C.2D.3 答案:C 解析:∵31336()2S a a ==+且31124a a d a =+,=, ∴d=2.故选C.2.已知{n a }为等差数列,且743210a a a -=-,=,则公差d 等于( )A.-2B.12-C.12D.2 答案:B解析:7433242()21a a a d a d d -=+-+==-,解得12d =-. 3.如果等差数列{n a }中34512a a a ,++=,那么1a +2a +…+7a 等于( ) A.14B.21C.28D.35答案:C解析:345443124a a a a a ++==,=, ∴12a a ++…747()177282a a a a ++===. 4.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若972S =,则2a +49a a += . 答案:24解析:∵{n a }是等差数列,由972S =,得959S a =,5a =8,∴24929456()()a a a a a a a a ++=++=++4a =5324a =. 5.在等差数列{n a }中35276a a a ,=,=+,则6a = .答案:13 解析:设等差数列{n a }的公差为d,则由已知得 1112746a d a d a d +=,⎧⎨+=++.⎩ 解得 132a d =,⎧⎨=.⎩所以61a a =+5d=13.6.已知曲线C:xy-4x+4=0,数列{n a }的首项14a =,且当2n ≥时,点1()n n a a -,恒在曲线C 上,且n b =12a n,-试判断数列{n b }是否是等差数列?并说明理由. 解:∵当2n ≥时,点1()n n a a -,恒在曲线C 上,∴11440n n n a a a ---+=.由12n b a n=-得: 当2n ≥时111122422111a a n nb b n n a a a a a a n n n n n n --,-=-=-----+--- 11142244222111a a a a n n n n a a a a a n n n n n ----===---+--+---.∴数列{n b }是公差为12-的等差数列.题组一 等差数列的基本运算1.在等差数列{n a }中,已知12411039n a a a a =,+=,=,则n 等于( )A.19B.20C.21D.22答案:B解析:∵2411310a a a d a d +=+++=,∴d=2.由1(1)n a a n d =+-=39,解得n=20.2.等差数列{n a }的公差不为零,首项121a a =,是1a 和5a 的等比中项,则数列的前10项和是( )A.90B.100C.145D.190 答案:B 解析:设公差为d,则2(1)1(14)d d +=⋅+.因为0d ≠,解得d=2,∴10100S =.3.等差数列{n a }的前n 项和为n S ,且53655S S -=,则4a = .答案:13解析:∵513151033S a d S a d =+,=+,∴5311653060(1515)S S a d a d -=+-+=115a +144515(3)155d a d a =+==, ∴413a =. 4.已知数列{n a }是等差数列3410118a a a ,=,+=,则首项1a = .答案:-3解析:∵41033()(7)28a a a d a d d +=+++=+=18,∴d=2.∴1323a a d =-=-.另解,∵7410218a a a =+=,∴79a =.∴公差137391223734a a d a a d --===,=-=--. 题组二 等差数列性质的应用5.等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若2812a a +=,则9S 等于( )A.54B.45C.36D.27答案:A 解析:99()9()19285422a a a a S ++===. 6.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若4518a a =-,则8S 等于( )A.68B.72C.54D.90答案:B解析:∵4518a a =-,∴4518a a +=.∴88()8()18457222a a a a S ++===. 7.已知{n a }是等差数列67782028a a a a ,+=,+=,则该数列前13项和13S 等于( )A.156B.132C.110D.100答案:A解析:由67782028a a a a +=,+=知7448a =,∴712a =,故13713156S a ==,选A.8.已知{n a }是等差数列451555a S ,=,=,则过点34(3)(4)P a Q a ,,,的直线的斜率为( )A.4B.14C.-4D.-14 答案:A 解析:∵{n a }是等差数列451555a S ,=,=,∴153********a a a a +=,=,=. ∴43443PQ a a k -==,-选A. 9.若等差数列{n a }的前5项和525S =,且23a =,则7a 等于( )A.12B.13C.14D.15 答案:B解析:535S a =,∴35a =,∴d=2.∴773213a =+⨯=,故选B.10.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若981S =,则2a +58a a += .答案:27 解析:∵99()9()19288122a a a a S ++===, ∴285218a a a +==.即2585327a a a a ++==.题组三 证明数列是等差数列11.已知数列{n a }和{n b }满足1121(1)1n n n n n a a a a b a +=,-=-,=-.求数列{n b }的通项公式.解:由1n n b a =-得1n n a b =+代入11(1)n n n a a a +-=-得1(1)n n n b b b +=+,整理得11n n n n b b b b ++-=,∵0(n b ≠否则1n a =,与12a =矛盾),从而得1111b b n n-=,+ ∵1111b a =-=, ∴数列{1n b }是首项为1,公差为1的等差数列. ∴1n b n =,即1n b n=. 12.已知{n a }是以a 为首项,q 为公比的等比数列n S ,为它的前n 项和.(1)当134S S S ,,成等差数列时,求q 的值;(2)当m n l S S S ,,成等差数列时,求证:对任意自然数m k n k l k k a a a +++,,,也成等差数列.解:(1)由已知1n n a aq -,=,因此13(1S a S a =,=+2q q +234)(1)S a q q q ,=+++. 当134S S S ,,成等差数列时1432S S S ,+=,可得32aq aq aq =+.化简得210q q --=.解得15q ±=. (2)证明:若q=1,则{n a }的每项n a a =,此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列. 若1q ≠,由m n l S S S ,,成等差数列可得m S +l S =2n S ,即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---. 整理得2m l n q q q +=.因此11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aqa -+-+++,+=+==. 所以m k a +,、n k a +、l k a +也成等差数列.高考资源网（ ）您身边的高考专家。

2016届高考数学一轮复习 5.2等差数列及其前n 项和课时作业 理湘教版一、选择题1.(2013·驻马店调研)在等差数列{a n }中，若a 2+a 3＝4，a 4+a 5＝6，则a 9+a 10＝( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ， 则有(a 4+a 5)－(a 2+a 3)＝4d ＝2，所以d ＝21， 又因为(a 9+a 10)－(a 4+a 5)＝10d ＝5， 所以a 9+a 10＝(a 4+a 5)＋5＝11，选C. 【答案】 C2..在2013年6月11日成功发射了“神舟十号”，假设运载火箭在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是( )A.10秒B.13 秒C.15秒D.20秒【解析】设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项为a 1＝2，公差为d ＝2的等差数列，由等差数列求和公式得 ()21dn n -＝240，即2n ＋n(n －1)＝240，解得n ＝15(n ＝－16舍去). 【答案】C3.(2013·大同模拟)设数列{a n }是等差数列，若a 3+a 4+a 5＝12，则a 1+a 2＋…＋a 7＝ ( )A.14B.21C.28D.35 【解析】依题意得3a 4＝12，a 4＝4，所以a 1+a 2＋…＋a 7＝2)721a a （＝7 a 4＝28，故选C. 【答案】 C4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S11，当S n 最大时，n 的值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8【解析】方法一由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，Sn 最大. 方法二由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大.方法三根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，Sn 取得最大值. 【答案】C5．已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{ab n }是( ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8D ．等差数列且公差为9【解析】 依题意有ab n ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ＋a 1－2＝2b 1＋2(n －1)×3＋a 1－2＝6n ＋a 1＋2b 1－8，故ab n ＋1－ab n ＝6，即数列{ab n }是等差数列且公差为6.故选B. 【答案】 B6.已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n ＞0的n 的最大值为( ) A ．11B ．19C ．20D ．21【解析】 ∵a 11a 10＜－1，且S n 有最大值，∴a 10＞0，a 11＜0，且a 10＋a 11＜0， ∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10＞0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)＜0，所以使得S n ＞0的n 的最大值为19，故选B. 【答案】 B 二、填空题7.(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和.若73S S ＝13，则76S S＝____. 【解析】由S 3＝3 a 2,S 7＝7a 4,73S S ＝13， 得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d ),即a 2＝7d ， 所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7 a 4＝63d ，所以211776=S S . 【答案】 21178.(2013·苏北四市二模)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若3457++=n n T S n n ，且n n b a 2是整数，则n 的值为 ．【解析】 令S n ＝7n 2＋45n ，则a n ＝14n ＋38，T n ＝n 2＋3n ，则b n ＝2n ＋2，则12312127121972438142+⨯+=++=++=n n n n n b a n n ， 由2n ＋1∈N *且nnb a 2为整数，则2n ＋1＝31，n ＝15.【答案】159. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26.记T n ＝S nn2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是__________．【解析】 ∵{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，可解得S n ＝2n 2－n ，∴T n ＝2－1n ，若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需T n 的最大值≤M 即可．又T n ＝2－1n＜2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2. 【答案】 210.已知函数f （x ）＝13x⎛⎫⎪⎝⎭－log 2x ，正实数a ,b ,c 依次成公差为正数的等差数列，且满足f （a ）f （b ）f （c ）<0，若实数d 是方程f （x ）＝0的一个解，给出下列六个判断：①d <a ；②d >a ；③d <b ；④d >b ；⑤d <c ；⑥d >c ；其中可能同时成立的一组判断的序号为 .【解析】 由f （a ）f （b ）f （c ）<0知f （a ）,f （b ）,f （c ）三个值，或三个全为负，或两正一负，注意到a <b <c ，由函数的图象不难得知可能正确的是d a d b d c >⎧⎪>⎨⎪<⎩，或d a d b d c <⎧⎪<⎨⎪<⎩.【答案】 ②④⑤或①③⑤三、解答题11.在数列{a n }中，a n +1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23. (1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值. 【解析】(1)由a n +1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a n +2＋a n +1＝2(n +1)－44.∴a n +2－a n ＝2，又∵a 2＋a 1＝2－44，∴a 2＝－19.同理得：a 3＝－21，a 4＝－17.故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项、2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项、2为公差的等差数列.从而a n ＝，为偶数）（为奇数）（⎩⎨⎧--n n n n 2124(n ∈N *)(2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n -1＋a n )＝a (2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋［2×(n －1)－44］＝2［1＋3＋…＋(n －1)］－2n×44＝22n －22n=242)22(212--n ， 故当n ＝22时，S n 取得最小值－242. 当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4+a 5)＋…＋(a n -1＋a n )＝a 1 +(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋［2×(n －1)－44］ ＝a 1＋2［2＋4＋…＋(n －1)］＋21-n ×(－44) ＝－23＋2)1)(1(-+n n －22(n －1)＝22n －22n －23=()2124322212--n .故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243.综上所述：当n =21或n =23时，S n 取得最小值,最小值为－243.12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n 211212+.数列{b n }满足b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N*)，且b 3＝11，b 1＋b 2＋…＋b 9＝153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝)12)(112(3--n n b a ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞57k对一切n ∈N*都成立的最大正整数k 的值；(3)设f (n )＝⎩⎨⎧∈=∈-=**)N ,2()N ,12(l l n b l l n a nn ，是否存在m ∈N *，使得f (m ＋15)＝5f (m )成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1＝()()512111212112122-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n n而当n ＝1时，n ＋5＝6满足a n =n +5， ∴a n =n +5 (n ∈N *)，又b n +2＋2b n +1+ b n ＝0，即b n +2－b n +1= b n +1－b n .∴数列{b n }是等差数列，又b 3＝11，b 1＋b 2＋…＋b 9＝153， 解得b 1＝5，公差d ＝3. ∴b n ＝3n ＋2(n ∈N *).(2)由(1)可得，c n ＝).121121(21)12)(12(1)12)(112(3+--=+-=--n n n n b a n n∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝12)121121()5131()311(21+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⋅⋅⋅+-+-n n n n ∵T n +1－T n ＝0)12)(32(112321>++=+-++n n n n n n ∴T n 单调递增,故(T n )min ＝T 1＝31， 令31＞57k ，得k ＜19，∴满足题设的k 的最大整数值为18. (3) f (n )＝⎩⎨⎧∈=∈-=**)N ,2()N ,12(l l n b l l n a nn ①当m 为奇数时，m ＋15为偶数，∵f (m +15)=5f (m ),∴3m ＋47＝5m ＋25，m ＝11.②当m 为偶数时，m ＋15为奇数，∵f (m +15)=5f (m ), ∴m ＋20＝15m ＋10，m ＝∉75N*(舍去). 综上所述，存在唯一正整数m ＝11，使得f (m ＋15)＝5f(m )成立.13.（2013·江苏无锡一中月考）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{2n a }的前n 项和为T n ，且a 1=1,T n =4133-(p －S n )2. （1）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（2）①是否存在正整数n ,m ,k (n <m <k )，使得a n ,a m ,a k 成等差数列？若存在，指出n ,m ,k 的关系，若不存在，请说明理由；②若a n ,2xa n +1,2ya n +2成等差数列，求正整数x ,y 的值.【解析】 （1）n =1时，T 1=4133-(p －S 1)2，即1=4133-(p －1)2，∴p =0或2， 当p =0时，T n =24133n S -，将n =2代入，得1+22a =4133-(1+a 2)2，∴a 2=0或12-，与条件a n >0矛盾，∴p ≠0；当p =2时，T n =4133-(2－S n )2 ,① 将n =2代入，得1+22a =4133-(1－a 2)2，且a n ＞0.∴a 2=12,a 2=12a 1， 由①，得T n +1=4133-(2－S n +1)2, ②②-①，得2113n a +=-[(2-S n +1)2-(2-S n )2],则321n a +=(4-S n +1-S n )(S n +1-S n )，即321n a +=(4-S n +1-S n )a n +1.∵a n >0 ∴a n +1>0，则3a n +1=4－S n +1－S n ,③ 则3a n +2=4－S n +2－S n +1,④④-③，得3a n +2－3a n +1=－a n +1－a n +2,∴a n +2=12a n +1(n ∈N *)，∵数列{a n }是等比数列，则a n =112n -，符合题意；（2） ①假设存在正整数n ,m ,k (n <m <k ),使得a n ,a m ,a k 成等差数列，则112m -=112n -+112k -，即2k -m +1=2k -n+1，当且仅当k -n =0且k -m +1=1成立，即k =m =n 时取等号，与n <m <k 矛盾，∴假设不成立，则不存在正整数n ,m ,k （n <m <k ），使得a n ,a m ,a k 成等差数列；②若a n ,2xa n +1,2ya n +2成等差数列，即a n ,a n +1-x ,a n +2-y 成等差数列，由①知，1-x =0,2-y =0,∴x =1,y =2.。