2019年学年九年级数学湘教版下册课件：11 二次函数共13张PPT语文

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？ 能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求 学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在 学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
人生的价值，并不是用时间，而 是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰
(6) y=3x3+2x2 (7)y = 2x2 3x + 2
(8) y=x-2 +x
(9) y = x2 + 1 3 x
2、写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数 和常数项：
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
y = x2 + 2x 1
1
y = x2
1
y = 2 3x2
3
y = 1 (x 5)2 4 3
3、心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随
着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注
意力y随时间t的变化规律有如下关系式：
t2 + 24t + 100 0 t 10
y = 240
10 t 20
7t + 380
20 t 40
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟 时比较，何时学生的注意力更集中？
面篱笆墙长度x之间的关系，而且对于X的每一个取
值，S都有唯一确定的值与它对应 ，即S是X的函数 。
2.电脑的价格
某型号的电脑两年前的销售为6000元如果每年的平均
降价率为x，怎样用x来表示该型号的电脑现在售价为y
（元）？那么降价率变化时，电脑售价怎样变化吗？
分析：笔记本电脑每次降价后的售价都是售价前的（

第1章 二次函数
1.1 二次函数
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧 不足道也.”
------中科院数学与系统科学研究院
李邦河 问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值， y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.
归纳总结
S 2x2 100x ，0 x 50
y 6000x2 12000x 6000，0 x 1
像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的 二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的 一般形式是 y = ax²+bx+c (a，b，c 是常数，a≠0).
其中 x 是自变量，a 为二次项系数，ax2 叫做二次项； b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c 为常数项.
列二次函数关系式
例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x+1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？分析：本题中的数量关系是：
剩余面积=正方形面积-长方形面积. 解：由题意得 y ＝122－2x(x+1)，
(2) 当 x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 .
定义 二次函数
一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2+bx+c (a ≠0，a，b，c是常数） y = ax2； y = ax2+bx； y = ax2+c
(a ≠0，a，b，c是常数）.

对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_；
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____增__大______，简称为右___升__;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____减__小______，简称为左____降___;
4.当x=____0_时，函数值最___小____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛
二次函数
y x2
y=x2的图象
形如物体抛
射时所经过
的路线,我们 这条抛物线关于
把它叫做抛 y轴对称,y轴就
物线
是它的对称轴.
.
典例解析：
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列 表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
0
1
2
3 ...
y 1 x2 2
我猜想都有这一性质．
可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于
y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取

解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=-1， ∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1

实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各 个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂
亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最 大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
探究 你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线， 所以应当是个二次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数图象是 这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)， 因此这个二次函数的
形式为 y ax2 (a 0)
-2 -1 -2
-4
12
A
如何确定 a 是多少？ 已知水面宽 4 m 时，
-2 -1
12
拱顶离水面高 2 米，
-2
A
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，
由此得出 2 a 22，解得 a 1 .
-4
因此，y 1 x2
2
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是
2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
设最多可安装 n 扇窗户， ∴1.5n + 0.8(n﹣1) + 0.8×2 ≤10.14， 解得 n ≤ 4.06．则最大的正整数为 4． 答：最多可安装 4 扇窗户.
5. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似

图象的开口向 上 ； 图象是轴对称图形，对称轴是_y轴____x_=_0 对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.

二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系 数是________,常数项是______.
2+1 k 当k=_______时,函数y=(k-1)x +3x
是二次函数
说出二次函数y=-x2+8x-1的一次 项系数，二次项系数，常数项
对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( A、y=(k-1)2x2 C、 y=(k2+1)x2 B、y= (k+1)2x2 D、 y=(k2-1)x2
x
3.下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (3)y=3x3+2x2 (5)y= (2)y=3x2 (4)y=2x2-2x+1 (6)y=x2-x(1+x)
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
例1、若函数 求m的值。
y (m 1)x
2
m 2 m
为二次函数，
解：因为该函数为二次函数， 则
2 m m 2(1) 2 m 1 0( 2)
解（1）得：m=2或-1 解（2）得： m 1且m 1 所以m=2
例2：已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y x px q, 得：
2
｛
1 p q 4 4 2 p q 5
注意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时

归纳：二次函数y=ax2的图象及其性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0 y=ax2
a<0
开口向上 开口向下 最大(小)值
x=0
（ 0， 0）
增减性
a>0
a<0
a>0
a<0
当x=0时，当x=0时， 有最小值 有最大值 y=0. y=0.
动画演示
练一练
• 1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图 象： • （1）y=3x2； （2）y=- x2. 1
函数S=πr2 的图象: 注意r≥0的条件.
yx
2
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随x的增大而 减小。 当a>0时，在对称轴的 右侧，y随x的增大而 增大。 当a<0时，在对称轴的 左侧，y随x的增大而 增大。 当 x=-2 当 x=1时， 时，y=4 y=1 当 x=-1 当 x=2时， 时，y=1 y=4
当 x=-2 当 x=1时， 时，y=-4 y=-1 当 x=-1 当 x=2时， 时，y=-1 y=-4
y x
当a<0时，在对称轴的 2 右侧，y随x的增大而 减小。
• 小结：通过本节课的学习，你学到了什么 知识？有何体会？ • 作业：
2
...
0.25 0 -4 - 2.25 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
... ...
函数图象画法
y x2
描点法
2 y x
1 y x
列表 描点 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结

如果函数的解析式是自变量的二次多项式，这样的函
数称为二次函数。
它的一般形式是：y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0).
注意：（1）二次函数是关于自变量x的二次多项式。（整式）
（2）自变量的最高次数为2，a，b，c为常数，且a≠0. （b，c可为0）。x的取值范围是任意实数.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
当c＝0时， y＝ax2＋bx
1、在引例1中，（1）与围墙相邻的每一面 A
D
墙长为26m，植物园的面积是多少？（2）
要使植物园得面积是1250m2，与围墙相对 B
C
的墙长是多少？
设与围墙相邻的墙长为xm 得：S = -2x2 +100x
(1).当x=26时，S=-2×262+100×26=-1352+2600=1248（m2） （已知自变量的值，求函数值。）
(2). 面积是1250m2，求墙长。 即：-2x2 +100x=1250
解得：x1=x2=25 则与围墙相对的墙长是50m. （已知函数值，求自变量的值。）解方程。
体现了函数与多项式、方程的关系。
电脑的价格. 一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现 在的售价为y元. 如果每年的平均降价率为x，那么降价率变 化时，电脑售价怎样变化呢？
根据我们在上学期学过的一元二次方程的知 识，我们容易得到平均降价率x与售价y之间有如 下的关系： y = 6000(1-x)2， 0＜x＜1
即： y = 6000x2-12000x+6000，0＜x＜1.
2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的 函数关系； （2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系 （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2) 与一对角线长x(cm)之间的函数关系．