高中数学选修(1-2)第二、三章测试卷(含解答)1

一、选择题1．某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是34和45，现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是（ ） A ．120B ．320C ．15D ．7202．某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系，随机抽查了100名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中（ ）表1表2表3 语文 性别不及格 及格 总计 数学 性别不及格 及格 总计 英语 性别不及格 及格 总男 14 36 50 男 10 40 50 男 25 25 女 16 34 50 女 20 30 50 女 5 45 总计3070100总计3070100总计30701A ．语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小B ．数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小C ．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小D ．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小 3．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ） A ．3761()2CB ．2741()2AC ．2741()2CD ．1741()2C4．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶．现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是34．则打光子弹的概率是（ ） A ．9256B ．13256C ．45512D ．910245．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）参考公式：0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．12人B ．18人C ．24人D ．30人6．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：20()P K k ≥ 0.050 0.0100.0010k3.841 6.635 10.8282()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++A ．12B ．11C ．10D ．187．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班60名学生进行问卷调查，得到如下图所示的22⨯列联表，则至少有（ ）的把握认为喜爱打篮球与性别有关.喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 25530 女生 151530合计40 20 60附参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20()P K k ≥ 0.100.050.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.8415.0246.6357.78910.828A ．99.9%B ．99.5%C ．99%D ．97.5%8．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为12和45，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( ) A ．12B ．23C ．34D ．139．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X （单位：辆）均服从正态分布()2600,Nσ，若()5007000.6P X <<=，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ） A ．1125B ．12125 C ．61125 D ．6412510．下列说法中正确的是（ ）A ．设随机变量~(10,0.01)X N ，则1(10)2P X >= B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样11．为了解学生对街舞的喜欢是否与性别有关，在全校学生中进行抽样调查，根据数据，求得2K 的观测值0 4.804k ≈，则至少有（ ）的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．参考数据：A ．90%B ．95%C ．97.5%D ．99%12．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（ ） A ．0.18B ．0.21C ．0.39D ．0.42二、填空题13．有7个评委各自独立对A 、B 两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权.若7位评委依次揭晓票选结果，则A 选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是______.14．有9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，需要补种的坑数为2的概率等于_______.15．已知如下四个命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越好；②在回归直线方程ˆ0.812yx =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.8个单位；③两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；④对分类变量X 与Y ，对它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是__________． 16．三个元件正常工作的概率分别为，，，将两个元件并联后再和串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为_________．17．从包括甲乙两人的6名学生中选出3人作为代表，记事件A ：甲被选为代表，事件B :乙没有被选为代表，则()P B A │等于_________.18．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为______________19．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A =“至少出现一次反面”，事件B =“恰好出现一次正面”，则(/)P B A =__________．20．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为14，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________.三、解答题21．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是23. （1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明6：2的比分领先，记X 表示结束比赛还需打的局数，求X 的分布列及期望.22．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg ，每件尺寸限制为40cm 60cm 100cm ⨯⨯，其中头等舱乘客免费行李额为40kg ，经济舱乘客免费行李额为20kg .某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表所示的数据：（1）请完成22⨯列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补贴券”，记赠送的补贴券总金额为X 元，求X 的分布列与数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：23．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和21(0.51)p p -．（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p ；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值． ①已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．24．某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的56，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的13. （1）若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人?（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p ，每人每次接种花费()0m m >元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期；第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q ，每人每次花费()0n n >元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期.假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.①若甲团队的试验平均花费大于乙团队的试验平均花费，求p 、q 、m 、n 满足的关系式；②若m n =，2p q =，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()20P K k ≥ 0.100.05 0.01 0.005 0.001 0k 2.7063.8416.6357.87910.82825．某大型运动会的组委会为了搞好接待工作，招募了30名男志愿者和20名女志愿者.调查发现，这些志愿者中有部分志愿者喜爱运动，另一部分志愿者不喜欢运动，并得到了如下等高条形图和22⨯列联表:喜爱运动 不喜爱运动 总计 男生 ab30 女生 cd20 总计50（1）求出列联表中a ､b ､c ､d 的值；（2）是否有99%的把握认为喜爱运动与性别有关?附:参考公式和数据:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中n a b c d =+++）20()P K k ≥ 0.5000.100 0.050 0.010 0.001 0k 0.4552.7063.8416.63510.82826．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗.为比较两种培育方法的效果，选取了40棵花苗，随机分成两组，每组20棵.第一组花苗用甲方法培育，第二组用乙方法培育.培育完成后，对每棵花苗进行综合评分，绘制了如图所示的茎叶图：（1）分别求两种方法培育的花苗综合评分的中位数.你认为哪一种方法培育的花苗综合评分更高？并说明理由.（2）综合评分超过80的花苗称为优质花苗，填写下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关？优质花苗 非优质花苗 合计甲培育法 乙培育法 合计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. ()20P K k ≥ 0.0100.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.7063.8415.0246.6357.87910.828【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求得 甲投进而乙没有投进的概率，以及乙投进而甲没有投进的概率，相加即得所求． 【详解】甲投进而乙没有投进的概率为343(1)4520⨯-=，乙投进而甲没有投进的概率为341(1)455-⨯=,故甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是 31720520+=,故选：D 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．2．C解析：C 【分析】根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论． 【详解】因为()()2210014341636100103020403070505030705050⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯<⨯⨯⨯⨯⨯⨯()2100254552530705050⨯⨯-⨯<⨯⨯⨯，所以英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小. 故选C 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 3．B解析：B 【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果. 【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况，所以所求概率为7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B. 【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.4．B解析：B 【分析】打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次． 【详解】5次中0次：5 1 4⎛⎫ ⎪⎝⎭5次中一次：4 153144 C⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭5次中两次：前4次中一次，最后一次必中314331 444C⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭则打光子弹的概率是514⎛⎫⎪⎝⎭+4153144C⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭+314331444C⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=13256,选B【点睛】本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆．5．B解析：B【解析】【分析】设男生人数为，女生人数为，完善列联表，计算解不等式得到答案.【详解】设男生人数为，女生人数为喜欢抖音不喜欢抖音总计男生女生总计男女人数为整数故答案选B【点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．A解析：A【分析】设男生人数为x ，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：则2 3.841K >，由222235236183 3.841822x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==>⋅⋅⋅，解得10.24x >， ,26x x为整数， ∴若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人，故选A. 【点睛】本题主要考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.7．C解析：C 【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得27.333k ≈，对照临界值即可的结果. 详解：根据所给的列联表， 得到()226025151557.333 6.63540203030k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴至少有0099的把握认为喜爱打篮球与性别有关，故选C.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.8．A解析：A 【解析】分析：根据互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式求概率.详解：因为这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率与乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率的和，而 甲考140 分以上乙未考到140 分以上事件概率为14(1)25⨯-，乙考140 分以上甲未考到140 分以上事件概率为14(1)25-⨯，因此，所求概率为14(1)25⨯-1451(1)25102+-⨯==， 选A.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式以及独立事件概率乘积公式，考查基本求解能力.9．C解析：C 【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过700辆的概率()()()111700150070010.60.2225P X P X ⎡⎤≥=-<<=⨯-==⎣⎦， ∴这三个收费口每天至少有一个超过700辆的概率 3161115125P ⎛⎫=--=⎪⎝⎭，故选C. 点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.10．A解析：A 【解析】在A 中，设随机变量X 服从正态分布N （10，0.01），则由正态分布性质得1(10)2P X >=，故A 正确； 在B 中，线性回归直线一定过样本中心点(),x y ，故B 错误；在C 中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故C 错误；在D 中，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法，故D 错误. 故选：A11．B解析：B 【解析】因为4.804>3.841,所以有95%的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．12．C解析：C 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解． 【详解】解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 则甲队以3:1获胜的概率是：()()()10.60.610.50.50.610.60.50.510.60.60.50.50.21P =⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯+-⨯⨯⨯=．甲队以3:0获胜的概率是： 20.60.60.50.18P =⨯⨯=则甲队不超过4场即获胜的概率120.210.180.39P P P =+=+= 故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】将比分分为四种情况讨论计算概率【详解】由条件可知前两名投票的都投给选手并且投给每位选手的概率是若投票给两位选手的比分为则概率为若比分为则投给选手的方法有种所以概率为若比分为则投给选手的两票不 解析：532【分析】将比分分为7:0，6:1，5:2，4:3四种情况讨论计算概率. 【详解】由条件可知前两名投票的都投给选手A ，并且投给每位选手的概率是12P =. 若投票给A 、B 两位选手的比分为7:0，则概率为712⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若比分为6:1，则投给选手B 的方法有155C =种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭若比分为5:2，则投给选手B 的两票不能在第三和第四的位置，有2519C -=种，所以概率为7192⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 若比分为4:3，则投给A 的票不能是最后一位，且不能占5,6位，有2415C -=种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 所以概率()7151595232P ⎛⎫=+++⋅=⎪⎝⎭. 故答案为：532【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，重点考查分类的思想，属于中档题型.14．【分析】先计算出粒种子都没有发芽的概率即得出每个坑需要补种的概率然后利用独立重复试验的概率得出所求事件的概率【详解】由独立事件的概率乘法公式可知粒种子没有粒发芽的概率为所以一个坑需要补种的概率为由独 解析：21512【分析】先计算出3粒种子都没有发芽的概率，即得出每个坑需要补种的概率，然后利用独立重复试验的概率得出所求事件的概率. 【详解】由独立事件的概率乘法公式可知，3粒种子没有1粒发芽的概率为31128⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，一个坑需要补种的概率为18， 由独立重复试验的概率公式可得，需要补种的坑数为2的概率为223172188512C ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭， 故答案为21512. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，同时也考查了独立重复试验恰有()k k N *∈次发生的概率，要弄清楚事件的基本类型，并结合相应的概率公式进行计算，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题.15．②③【分析】①根据相关指数的性质进行判断；②根据回归方程的性质进行判断；③根据相关系数的性质进行判断；④根据随机变量的观测值k 的关系进行判断【详解】①在线性回归模型中相关指数表示解释变量对于预报变量解析：②③ 【分析】①根据相关指数2R 的性质进行判断；②根据回归方程的性质进行判断；③根据相关系数的性质进行判断；④根据随机变量2K 的观测值k 的关系进行判断. 【详解】①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好，所以①错误；②在回归直线方程ˆy=0.8x−12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.8个单位，正确；③两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；④对分类变量X 与Y ，对它们的随机变量K2的观测值k 来说，k 越小，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小，所以④错误； 故正确命题的序号是②③. 【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有线性回归分析，两个变量之间相关关系强弱的判断，独立性检验，属于简单题目.16．【解析】分析：组成的并联电路可从反面计算即先计算发生故障的概率然后用对立事件概率得出不发生故障概率详解：由题意故答案为点睛：零件不发生故障的概率分别为则它们组成的电路中如果是串联电路则不发生故障的概 解析：【解析】分析：23,T T 组成的并联电路可从反面计算，即先计算发生故障的概率，然后用对立事件概率得出不发生故障概率． 详解：由题意11115(1)24432P =⨯-⨯=． 故答案为1532． 点睛：零件12,,,k a a a 不发生故障的概率分别为12,,,k p p p ，则它们组成的电路中，如果是串联电路，则不发生故障的概率易于计算，即为12k p p p ，如果组成的是并联电路，则发生故障的概率易于计算，即为12(1)(1)(1)k p p p ---．17．【解析】因为所以应填答案解析：35【解析】因为()()2254336613,210C C P A P AB C C ====，所以3(|)5P B A =。

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A 23B 3C 2D ．25．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．26．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（ ） A ．2B ．3C ．32D ．527．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（ ）A ．8B ．4C ．83D ．438．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ） A ．910+B ．926+C ．712612+ D ．832612+ 9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切； 则以上说法中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．2D12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B．2C ．13D二、填空题13．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.15．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.16．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.18．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.19．已知点1F ，2F 为椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）和双曲线22222:1x y C a b -=''（0a '>，0b '>）的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足01290F PF ∠=，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221211e e +=___________． 20．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果AF BF =，那么AKF ∆的面积是______.三、解答题21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B 且左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，在点P 的运动过程中，有且只有6个位置使得12PF F 为直角三角形，且12PF F 的内切圆半径的最大值为22-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，记MN 的中点为Q ，求点A 到直线BQ 的距离的最大值.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B ，离心率为32，且直线AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.23．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．24．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:43C x y =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2OM ON ⋅=-. 求直线l 的方程；25．已知离心率22e =的椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且423AB =，求直线l 的方程. 26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由32c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程． 【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =， 则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =， 所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===， 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论 【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3y x，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点， 所以>0∆，且3是方程的根， 所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意， 综上，a 的取值范围为[)1,1-， 故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题4．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】 如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得e =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==， 又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=， 所以122PF c a =-， 设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则b =， 所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.8．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A My y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--， 又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+， 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 9．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b， 所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确； 对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以1118021802180AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确； 对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ， 将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-， 又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ， 因为2211222y y p pp ，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确； 对于④，不妨设(002A x px ，则002AT px k =，则直线002:x AT x x p =-，代入抛物线方程化简得0202220x px py p +=-， 则0020228x p ppx ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.10．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.11．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率． 【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=， 由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠， 从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==． 故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=，因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =，即2a b =，所以231c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛 解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：102【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】 如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=， 因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+， 由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =， 故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=， 即()242240a ++=，整理得2280a a +-=， 解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 10【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆解析：3【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以32r =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.16．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切， 所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=， 所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计 解析：6【分析】由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13||||22CF AB p ==，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用13ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.【详解】 解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3||2CF p =，||||AB AF =.AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，13||||22CF AB p ∴==，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得52A x p =，代入可取5A y p =，1113535332ACE ABC S S p p ∆∆∴===，解得6p =．故答案为:6．【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.18．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的 解析：4+61【分析】设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．【详解】解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，(5,0)，由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2， 由图可知，22||||||CM MF CF +≥，12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为：4+61 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．19．2【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得再结合离心率公式求解即可【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点点分别为左右交点由椭圆定义有由双曲线定义有则即又则即所以即2故答案为：2【点睛】本题考查了椭圆及解析：2 【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得2'2a a +22c =，再结合离心率公式求解即可. 【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点，点1F ，2F 分别为左、右交点， 由椭圆定义有122PF PF a +=，由双曲线定义有'122PFPF a -=，则212()PF PF +212()PF PF +-=22122()PF PF +2'24()a a =+，即2212PF PF +2'22()a a =+，又01290F PF ∠=，则222124PF PF c +=，即2'2a a +22c =，所以2'2222a a c c +=，即221211e e +=2， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.20．【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l ：由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为：【点睛】本题解析：【分析】计算得到AF AK =，FK AF =，故AKF ∆为正三角形，4AK =，计算面积得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为l ：1x =-，由抛物线的定义可得AF AK =， 由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得FK AF =， 即有AKF ∆为正三角形，由F 到l 的距离为2d =，则4AK =，AKF ∆16=.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.三、解答题21．(1) 22142x y += (2) 47【分析】（1）由条件得出当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为直角三角形，则b c =，当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值，则22cbR a c==-+22222c a b a c =-=-，可求出椭圆方程. （2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+ ,与椭圆方程联立得出韦达定理，由1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=---，结合韦达定理可得n 的值，从而得出点Q 的坐标，进而求出直线BQ 的方程，由点到直线的距离公式可得出答案 【详解】点P 为椭圆C 上的动点，当1PF x ⊥或2PF x ⊥时，12PF F △为直角三角形. 此时满足条件的点P 有4个，根据满足条件的点P 有6个. 则满足条件的点P 的另2个位置位于椭圆C 的上下顶点处.当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为等腰直角三角形，即b c =12PF F △的内切圆半径我为R ，则()12121211222PF F P Sc y F F PF PF R ==++ 即()P c y a c R =+，所以Pc y R a c=+ 当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值.所以2cb R a c ==+，即22c a c=+22222c a b a c =-=-，即a =解得2,a b =，所以椭圆C 的标准方程为：22142x y +=（2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+由22142x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222240m y mny n +++-=所以212122224,,22mn n y y y y m m --+=⋅=++据条件直线BM ，BN 的斜率存在，由条件可得1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=--- 即1212122y y my n my n ⋅=-+-+-，即()()()2212121222y y m y y m n y y n -=+-++-所以()()()()2212121220m y y m n y y n ++-++-=则()()()2222242122022n mn m m n n m m --++-+-=++化简可得()()2320n n --=，即23n =或2n = 当2n =时，直线MN 过点B ，不满足条件.所以 23n =，则()12222243232m m y y m m -⨯-+==++ 由MN 的中点为Q ，则()2232Q my m -=+所以()()2222433232Q m x m m m -=⨯+=++所以()()222232434232BQm m m k m m -+==+-+所以直线BQ 的方程为()2234m y x m =-+，即()23420m y mx m +-+= 所以点()2,0A -到直线BQ 的距离为d ==47=≤=当且仅当22169mm=,即243m=时取等号.所以点()2,0A-到直线BQ的距离的最大值为47【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的几何性质和椭圆中的定点问题以及点到直线的距离的最值问题，解答本题的关键是由1212122BM BNy yk kx x⋅=⋅=---结合韦达定理得出n的值，进一步得出点Q的坐标()2232Qmym-=+，234BQmkm=+，得出直线BQ的方程为()2234my xm=-+，属于难题.22．（1）2214xy+=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y<<从而可表示出直线PA的方程，然后求出点M的坐标，得到BM的值，同理可得到AN的值，进而可求得四边形ABNM的面积，得到结论【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab+=，所以⎧=⎪=2a=，1b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y<<+=.因为()()2,0,0,1A B，所以直线PA的方程为()22yy xx=--，令x=，得022M y y x =--， 从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.23．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析． 【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围.(3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的. 【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=， 故圆心()11M ，，半径R = 圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =<所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，，())()2222x x y x y =⋅+-=+-()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩， 由此得2102y ≤<， 所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补， 故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数， 设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -． 故直线MA 的方程为()11y k x -=-， 直线MB 的方程为()11y k x -=--， 由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k kx k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+， 同理可得：22211B k k x k +-=+， 所以B AAB B Ay y k x x -=-()()3232222222222421111114212111B A MNB Ak k k k k k kk k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++， 所以直线AB 和MN 一定平行． 【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点： (1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断； (2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.24．（1）22143x y +=；（2）1)y x -或1)y x =-.【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得b =.（2）先验证直线斜率不存在时的可求，然后当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由12122OM ON x x y y ⋅=+=-，将韦达定理代入可得答案. 【详解】解：（1）由题意得，抛物线2:C x =的焦点为 ∴椭圆的一个顶点为，∴b =又∵12c e a ==, 222231114b e a a =-=-=， 所以2a =∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由题意可知，直线l 与椭圆必相交，①当直线斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，则331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则9124OM ON ⋅=-≠-，所以不合题意， ②当直线斜率存在时，设直线l 为(1)y k x =-且1122(,),(,)M x y N x y .由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ∴221222228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++. ∴[]21212121212()1OM ON x x y y x x kx x x x ⋅=+=+-++2222222224124128512(1)234343434k k k k k k k k k----=+-+==-++++. ∴22k =∴k =0∆>∴直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆与直线的位置关系，解得本题的关键是联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理得到221222228412,3434k k x x x x k k -+=⋅=++，由[]21212121212()1OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++，然后将韦达定理代入，属于中档题.25．（1）2212x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.【分析】（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数m 值得直线方程．【详解】（1）由题意知，1c =，c e a ==，∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 化简，得2234220x mx m ++-=.由已知得，()2221612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，∴m <<1243m x x +=-，212223m x x -=.∴213AB x =-==， 解得1m =±，符合题意，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交。

综合检测卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．i 是虚数单位，复数1－3i1－i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i答案 A解析 ∵1－3i 1－i ＝(1－3i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i 2＝2－i ，∴1－3i 1－i的共轭复数是2＋i. 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9， 推出x －20＝12，x ＝32.3．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误 答案 A解析 对数函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)，当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数，故大前提错误．4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．y ＝0.4x ＋2.3 B ．y ＝2x －2.4 C ．y ＝－2x ＋9.5D ．y ＝－0.3x ＋4.4答案 A解析 因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D. 因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.5．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76C ．123D ．199答案 C解析 观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.6．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( ) A ．a ，b 都能被3整除 B ．a ，b 都不能被3整除 C ．a ，b 不都能被3整除 D ．a 不能被3整除 答案 B解析 “至少有一个”的否定为“一个也没有”．7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n(ad －bc)2(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d)算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 C解析 根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．8．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a|2＝a 2类比得到复数z 的性质|z|2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)有两个不同实数根的条件是b 2－4ac>0可以类比得到：方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C)有两个不同复数根的条件是b 2－4ac>0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中类比得到的结论错误的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 答案 C9．执行如图所示的算法框图，若输入n ＝10，则输出S 等于( )A.511B.1011C.3655D.7255 答案 A解析 执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4；执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10；执行第五次循环后，S ＝511，i ＝12，此时i ≤n 不成立，退出循环，输出S ＝511.10.已知x>0，由不等式x ＋1x≥2x·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，可以推出结论：x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 等于( )A ．2nB ．3nC ．n 2D ．n n 答案 D解析 由两个不等的结构特点知， x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋a xn ≥ (n ＋1)n ＋1x n ·x n ·…·x n ·a x n ＝(n ＋1)n ＋1a n n ＝n ＋1.所以a ＝n n .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为________． 答案 P<Q解析 要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a(a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P<Q.12．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角． 答案 一解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0－sin θ<0，所以θ为第一象限角．13．如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______． ①0.504；②0.994；③0.496；④0.06. 答案 ②解析 A 、B 、C 三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知 P ＝1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994. 14．复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R)在复平面内的对应点位于第________象限．答案 一 解析 由题意可得11－x 2>0，解得－1<x<1，故2－2x >0，所以复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R)在复平面内对应点位于第一象限．15．已知下列框图，若a ＝5，则输出b ＝________.答案 26解析 因a ＝5，所以5>5不成立， 判断框执行“否”，即b ＝52＋1＝26. 三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1.∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0， 且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．17．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意的正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)18．为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如下表：0.01的前提下认为态度与工作积极性有关？ 解 利用公式得χ2＝278×(55×52－73×98)2153×125×128×150≈13.959>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该单位教师对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的．19．某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？ 解 (1)根据表中所列数据可得散点图如下：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：因此，x ＝255＝5，y ＝2505＝50，∑5i ＝1x 2i ＝145，∑5i ＝1y 2i ＝13 500，∑5i ＝1x i y i ＝1 380. 于是可得：b ＝∑5i ＝1x i y i －5x ·y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5；a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.因此，所求线性回归方程为：y ＝6.5x ＋17.5.(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为10百万元时，y ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．20．画出计算函数y ＝|2x －3|的函数值的框图．(x 由键盘输入) 解21．f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33， f(－2)＋f(3)＝33. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33. 证明：f(x)＋f(1－x)＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x 3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x3(3＋3x ) ＝3＋3x 3(3＋3x )＝33.。

2018-2019学年必修二第三章训练卷直线与方程(一)注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则必有( )A.k 1<k 3<k 2B.k 3<k 1<k 2C.k 1<k 2<k 3D.k 3<k 2<k 12.直线x ＋2y －5＝0与2x ＋4y ＋a ＝0之间的距离为5,则a 等于( ) A.0B.－20C.0或－20D.0或－103.若直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行,则a 的值是( ) A.－3B.2C.－3或2D.3或－24.下列说法正确的是( )A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B.经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示 D.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示5.点M (4,m )关于点N (n ,－3)的对称点为P (6,－9),则( ) A.m ＝－3,n ＝10 B.m ＝3,n ＝10 C.m ＝－3,n ＝5D.m ＝3,n ＝56.以A (1,3),B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A.3x －y －8＝0 B.3x ＋y ＋4＝0 C.3x －y ＋6＝0D.3x ＋y ＋2＝07.过点M (2,1)的直线与x 轴,y 轴分别交于P ,Q 两点,且|MP |＝|MQ |,则l 的方程是( ) A.x －2y ＋3＝0 B.2x －y －3＝0 C.2x ＋y －5＝0D.x ＋2y －4＝08.直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点,则该点的坐标是( ) A.(－2,1)B.(2,1)C.(1,－2)D.(1,2)9.如果AC <0且BC <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.直线2x ＋3y －6＝0关于点(1,－1)对称的直线方程是( ) A.3x －2y ＋2＝0 B.2x ＋3y ＋7＝0 C.3x －2y －12＝0D.2x ＋3y ＋8＝011.已知点P (a ,b )和Q (b －1,a ＋1)是关于直线l 对称的两点,则直线l 的方程是( ) A.x ＋y ＝0 B.x －y ＝0C.x ＋y －1＝0D.x －y ＋1＝012.设x ＋2y ＝1,x ≥0,y ≥0,则x 2＋y 2的最小值和最大值分别为( ) A.15,1 B.0,1C.0,15D.15,2二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.不论a 为何实数,直线(a ＋3)x ＋(2a －1)y ＋7＝0恒过第________象限. 14.原点O 在直线l 上的射影为点H (－2,1),则直线l 的方程为______________. 15.经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是____________________. 16.与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程为______________. 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号17.(10分)已知直线2x＋(t－2)y＋3－2t＝0,分别根据下列条件,求t的值：(1)过点(1,1)；(2)直线在y轴上的截距为－3.19.(12分)光线从A(－3,4)点出发,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的C点, 18.(12分)直线l过点(1,4),且在两坐标轴上的截距的积是18,求此直线的方程.又被y轴反射,这时反射光线恰好过D(－1,6)点,求直线BC的方程.20.(12分)如图所示,某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0,若在河边l上建一座供水站P,使之到A,B两镇的管道最省,那么供水站P应建在什么地方？21.(12分)已知△ABC的顶点A为(3,－1),AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0,∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0,求BC边所在直线的方程.22.(12分)已知直线l过点P(3,1),且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长度为5,求直线l的方程.2018-2019学年必修二第三章训练卷直线与方程(一)答 案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】A【解析】由于直线1l 向左倾斜,故10k <,直线2l 与直线3l 均向右倾斜,且2l 更接近y 轴,所以：1320k k k <<<,故选A. 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】D【解析】斜率有可能不存在,截距也有可能不存在.故选D. 5.【答案】D【解析】由对称关系462n =+,239m -=-,可得m ＝3,n ＝5.故选D. 6.【答案】B【解析】所求直线过线段AB 的中点(－2,2),且斜率k ＝－3, 可得直线方程为3x ＋y ＋4＝0.故选B. 7.【答案】D【解析】由题意可知M 为线段PQ 的中点,Q (0,2),P (4,0), 可求得直线l 的方程x ＋2y －4＝0.故选D. 8.【答案】A【解析】将原直线化为点斜式方程为y －1＝m (x ＋2), 可知不论m 取何值直线必过定点(－2,1).故选A. 9.【答案】C【解析】将原直线方程化为斜截式为A Cy x B B=--,由AC <0且BC <0,可知AB >0,直线斜率为负,截距为正,故不过第三象限.故选C. 10.【答案】D【解析】所求直线与已知直线平行,且和点(1,－1)等距,不难求得直线为2x ＋3y ＋8＝0.故选D. 11.【答案】D 【解析】∵k PQ ＝11a bb a+---＝－1,∴k l ＝1.显然x －y ＝0错误,故选D.12.【答案】A【解析】x 2＋y 2为线段AB 上的点与原点的距离的平方,由数形结合知, O 到线段AB 的距离的平方为最小值,即d 2＝15,|OB |2＝1为最大值.故选A.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.【答案】二【解析】直线方程可变形为：(3x －y ＋7)＋a (x ＋2y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋7＝0x ＋2y ＝0得,⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1. ∴直线过定点(－2,1).因此直线必定过第二象限. 14.【答案】2x －y ＋5＝0【解析】所求直线应过点(－2,1)且斜率为2,故可求直线为2x －y ＋5＝0. 15.【答案】y ＝－25x 或x ＋y ＋3＝0【解析】不能忽略直线过原点的情况. 16.【答案】3x ＋4y －4＝0【解析】所求直线可设为3x ＋4y ＋m ＝0,再由－3m －4m ＝73,可得m ＝－4.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.【答案】(1)3；(2)95.【解析】(1)代入点(1,1), 得2＋(t －2)＋3－2t ＝0,则t ＝3.(2)令x ＝0,得y ＝232t t --＝－3,解得t ＝95.18.【答案】2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0. 【解析】设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1,则18141ab a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得36a b =⎧⎨=⎩或3212a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则直线l 的方程2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0. 19.【答案】5x －2y ＋7＝0. 【解析】如图所示,由题设,点B 在原点O 的左侧,根据物理学知识,直线BC 一定过(－1,6)关于y 轴的对称点(1,6),直线AB 一定过(1,6)关于x 轴的对称点(1,－6)且k AB ＝k CD , ∴k AB ＝k CD ＝4631+--＝－52.∴AB 方程为y －4＝－52(x ＋3). 令y ＝0,得x ＝－75,∴B 7,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.CD 方程为y －6＝－52(x ＋1). 令x ＝0,得y ＝72,∴C 70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴BC 的方程为75x -＋72y＝1,即5x －2y ＋7＝0.20.【答案】见解析. 【解析】如图所示,过A 作直线l 的对称点A ′,连接A ′B 交l 于P , 若P ′(异于P )在直线上,则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |. 因此,供水站只有在P 点处,才能取得最小值,设A ′(a ,b ), 则AA ′的中点在l 上,且AA ′⊥l ,即1221002221112a b a a ++⎧+⨯-=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩解得36a b =⎧⎨=⎩即A ′(3,6).所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得38113611x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处. 21.【答案】2x ＋9y －65＝0. 【解析】设B (4y 1－10,y 1),由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上,可得：114716+1059=22y y --⋅⋅-0,y 1＝5, 所以B (10,5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′,y ′), 则有3141002211134x y y x ''''⎧+--⋅+=⎪⎪⎨+⎪⋅=-⎪-⎩⇒A ′(1,7),∵点A ′(1,7),B (10,5)在直线BC 上,∴51075110y x --=--,故BC ：2x ＋9y －65＝0. 22.【答案】x ＝3或y ＝1.【解析】若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为x ＝3,此时与直线l 1,l 2的交点分别为A (3,－4),B (3,－9).截得的线段AB 的长为|AB |＝|－4＋9|＝5,符合题意. 若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组()311y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得321411k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩所以点A 的坐标为3241,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.解方程组()316y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得371911k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩,所以点B 的坐标为3791,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为|AB |＝5,所以2232374191=251111k k k k k k k k --⎡--⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解得k ＝0,即所求直线为y ＝1.综上所述,所求直线方程为x ＝3或y ＝1.。

单元综合测试五(期末综合测试)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C.2 D ．2 【答案】B【解析】 本题考查复数的运算和复数的模． ∵z ＝1i －1＝－12－12i ，∴|z |＝(－12)2＋(－12)2＝22.故选B. 2．已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3 D. 3 【答案】A【解析】 ∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z ·z ＝(2＋i)(2－i)＝4－(－1)＝5.3．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R )”，其反设正确的是( ) A ．a 、b 至少有一个不为0 B ．a 、b 至少有一个为0 C ．a 、b 全不为0 D ．a 、b 中只有一个为0 【答案】A【解析】 对“全为0”的否定是“不全为0”，故选A.4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca ＝1 D ．ax ＋by ＋zc ＝1 【答案】A【解析】 由类比推理可知，方程为x a ＋y b ＋zc＝1.5．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S <8B ．S <9C ．S <10D ．S <11 【答案】B【解析】 本题考查了程序框图的循环结构．依据循环要求有i ＝1，S ＝0；i ＝2，S ＝2×2＋1＝5；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时结束循环，故应为S <9.6．对a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提 所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误 【答案】B【解析】 小前提错误，应满足x >0.7．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．7 【答案】C【解析】 本题考查程序框图中的循环结构．i ＝1，s ＝1→s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝2→s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝3→s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝4→输出s .8．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，则其中恰有1人击中目标的概率是( )A ．0.49B ．0.42C ．0.7D ．0.91 【答案】B【解析】 两人都击中概率P 1＝0.49，都击不中的概率P 2＝0.09，∴恰有一人击中的概率P ＝1－0.49－0.09＝0.42.9．将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )1 3 5 7 17 15 13 11 9 19 21 23 25 27 29 31A ．1 915B ．1 917C ．1 919D ．1 921 【答案】B【解析】 如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，归纳可得第31行有61个奇数，且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．又因为前31行共有1＋3＋…＋61＝961个奇数，则第31行第1个数是第961个奇数即是1 921，则第3个数为1 917.10．已知x >0，y >0，2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2－2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 【答案】C【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时取等号．∴m 2－2m <8，即m 2－2m －8<0，解得－2<m <4. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________(用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R )．【答案】4－4i【解析】 i ＋2i 2＋3i 3＋4i 4＋5i 5＋6i 6＋7i 7＋8i 8＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝______.【答案】4【解析】 本题考查程序框图的循环结构． i ＝1，A ＝2，B ＝1； i ＝2，A ＝4，B ＝2； i ＝3，A ＝8，B ＝6； i ＝4，A ＝16，B ＝18； 此时A <B ，则输出i ＝4.13．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，若f (1)＝2＋3，则f (2 009)＝________.【答案】2＋ 3【解析】 ∵f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，∴f (x －2)＝1＋f (x －4)1－f (x －4).代入得f (x )＝1＋1＋f (x －4)1－f (x －4)1－1＋f (x －4)1－f (x －4)＝2－2f (x －4)＝－1f (x －4).∴f (x )＝f (x －8)，即f (x )的周期为8. ∴f (2 009)＝f (251×8＋1)＝f (1)＝2＋ 3.14．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…，叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为________．【答案】59【解析】 设数1,3,6,10,15,21，…各项为a 1，a 2，a 3，…， 则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，即数列{a n ＋1－a n }构成首项为2，公差为1的等差数列． 利用累加法得a 28＝a 1＋(2＋3＋…＋28)， a 30＝a 1＋(2＋3＋…＋28＋29＋30)， ∴a 30－a 28＝29＋30＝59.15．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中，如图，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．实数m 为何值时，复数z ＝m 2(1m ＋5＋i)＋(8m ＋15)i ＋m －6m ＋5.(1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； (4)对应点在第二象限？【解析】 z ＝m 2＋m －6m ＋5＋(m 2＋8m ＋15)i ，(1)z 为实数⇔m 2＋8m ＋15＝0且m ＋5≠0， 解得m ＝－3.(2)z 为虚数⇔m 2＋8m ＋15≠0且m ＋5≠0， 解得m ≠－3且m ≠－5. (3)z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5＝0m 2＋8m ＋15≠0，解得m ＝2.(4)z 对应的点在第二象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5<0m 2＋8m ＋15>0，解得m <－5或－3<m <2.17．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论．【解析】 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33， 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝3 3.18．已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；(2)求证满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．【证明】(1)∵f′(x)＝－3x2－1＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，∴y＝f(x)是定义域上的减函数．(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1，x2∈R，f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R上单调递减，∴当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，故假设不成立，所以f(x)＝0至多只有一个实数根．19．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：根据此流程图可回答下列问题：(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？(3)该流程图的终点是什么？【解析】 (1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．20．已知数学、英语的成绩分别有1,2,3,4,5五个档次，某班共有60人，在每个档次的人数如下表：(1)求m ＝4，n ＝3(2)求在m ≥3的条件下，n ＝3的概率；(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，求a ，b 的值． 【解析】 本题为条件概率和相互独立事件的概率． (1)m ＝4，n ＝3时，共7人，故概率为P ＝760.(2)m ≥3时，总人数为35.当m ≥3，n ＝3时，总人数为8，故概率为P ＝835.(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的， 则P (m ＝2)·P (n ＝4)＝P (m ＝2，n ＝4)． ∴1＋b ＋6＋0＋a 60×3＋0＋1＋b ＋060＝b 60.故总人数为60，知a ＋b ＝13. ∴13×(4＋b )＝b .∴a ＝11，b ＝2.21．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))【解析】 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结构共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)2 60×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。

一、选择题1．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞2．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞3．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞D ．()8,+∞4．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（ ）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[4e ，)+∞D ．2(0,]4e5．设()f x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(,]e -∞B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．2[,)e+∞7．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为A ．r 2B 3C 3D ．r8．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃9．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 10．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,1)-∞-11．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．2eB ．eC ．1D ．1212．设动直线x m =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于,M N ，则MN 的最小值为（ ） A ．11ln 222+ B ．11ln 222- C ．1ln2+ D ．ln21-二、填空题13．已知函数()()21,0e ,0x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，则实数m 的取值范围为______．14．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.15．已知函数()211020x e x x x ef x lnx x x⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，＞，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，则实数m 的取值范围是_____.16．如图所示，ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积3()V cm 最大，则EF 的长为________cm .17．函数()()21xf x x =-的最小值是______.18．已知函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．19．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 20．若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()212f x x =，()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ （1）试讨论函数()h x 的单调性. （2）若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；22．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少. 23．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围.24．设函数21()2x f x x e =. (1)求f （x ）的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立，求实数m 的取值范围.25．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和； （2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？ 26．已知函数2()2ln f x x mx x =-+ （m R ∈）.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若45m <<，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求12()()f x f x -的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．2．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x=-，则()()21ln ln x g x x -=′， 令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减， ∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 3．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-， 故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.4．C解析：C 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得a 的范围. 【详解】 由2(0)y axa =>，得2y ax '=，由xy e =，得x y e '=，曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线， 则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ，与曲线2C 切于点22(,)xx e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-，可得2122=+x x ，11212+∴=x e a x ，记12()2+=x e f x x，则122(2)()4xex f x x +-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴当2x =时，2()4mine f x =. a ∴的范围是2[,)4e +∞. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．B解析：B 【详解】试题分析：函数的递减区间对应的()0f x '<，函数的递增区间对应()0f x '>，可知B 选项符合题意.考点：函数的单调性与导数的关系.6．C解析：C 【分析】求出函数导数，由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立，利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--，由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立， 即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立，令ln 1()x g x x+=，则2ln ()x g x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于基础题.7．D解析：D 【解析】设=COB θ∠，则上底为2cos r θ，高为sin r θ， 因此梯形面积为21(2cos 2)sin (1cos )sin 022S r r r r πθθθθθ=+=+∈，（，） 因为由22222=(sin cos cos )(1cos 2cos )0S r r θθθθθ'-++=-++=，得1cos 2θ=，根据实际意义得1cos 2θ=时，梯形面积取最大值，此时上底为2cos =r r θ，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '=得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.8．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.9．C解析：C 【分析】由函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()0F x =，可得y k =和()2ln x g x x=有两个交点；当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，求得0k >，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 当0x >时，令()()0F x f x kx =-=， 可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解， 即y k =和()2ln xg x x=有两个交点， 又由()312ln xg x x-'=， 令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e=， 若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点， 则1(0,)2k e∈，当0x <时，y k =和()21g x x =有一个交点， 则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用，着重考查了转化思想以及推理与运算能力.属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=，则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+，当0x 时，()0f x '，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<， 则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-， 即不等式的解集为(2,1)--， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．11．C解析：C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ， 则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.12．A解析：A【分析】将两个函数作差，得到函数()()y f x g x =-，利用导数再求此函数的最小值，即可得到结论.【详解】设函数()()()2ln 0=-=->y f x g x x x x ， ()212120-'∴=-=>x y x x x x， 令0y '<，0x，02∴<<x，函数在2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调减函数； 令0y '>，0x，∴>x，函数在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为单调增函数.2x ∴=时，函数取得极小值，也是最小值为111ln ln 22222-=+. 故所求MN 的最小值即为函数2ln y x x =-的最小值11ln 222+.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题.二、填空题13．【分析】转化为函数的图象与直线恰有2个交点作出函数的图象利用图象可得结果【详解】因为函数恰好有2个零点所以函数的图象与直线恰有2个交点当时当时所以函数在上为增函数函数的图象如图：由图可知故答案为：【 解析：34m > 【分析】 转化为函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，作出函数的图象，利用图象可得结果.【详解】因为函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，所以函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，当0x ≤时，22133()1()244y f x x x x ==++=++≥， 当0x >时，()x y f x x e x =-=-，10x y e '=->，所以函数()x y f x x e x =-=-在(0,)+∞上为增函数，函数()y f x x =-的图象如图：由图可知，34m >. 故答案为：34m >【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调 解析：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x =， 则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x'-'=， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， ∴不等式()f x x >，即()6sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭， 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.15．【分析】通过求导得出分段函数各段上的单调性从而画出图像若要方程f （x ）﹣m=0恰有两个实根只需y=m 与y=f （x ）恰有两个交点即可从而得出的取值范围【详解】（1）x≤0时f′（x ）=ex ﹣x ﹣1易知解析：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， 【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点即可，从而得出m 的取值范围.【详解】（1）x ≤0时，f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1，易知f ′（0）=0，而f ″（x ）=e x ﹣1＜0，所以f ′（x ）在（﹣∞，0]上递减，故f ′（x ）≥f ′（0）=0，故f （x ）在（﹣∞，0]上递增， 且f （x ）≤f （0）11e=+，当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞. （2）x ＞0时，()21'lnx f x x-=，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ；f ′（x ）＜0得x ＞e ； 故f （x ）在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）递减， 故x ＞0时，()1()max f x f e e==；x →0时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→0. 由题意，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线y =m 在图示①，②位置时，与y =f （x ）有两个交点，所以m 的范围是：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 故答案为：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.16．【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积 解析：10【分析】设EF x =cm ，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式，利用导数研究体积(x)V 的最大值即可.【详解】设EF x =cm ，则302x AE BF -== cm ，包装盒的高为22GE x = cm ， 因为302x AE AH -== cm ，2A π∠=，所以包装盒的底面边长为2=(30)2HE x - cm ， 所以包装盒的体积为232222()[(30)](60900)224V x x x x x x =-⋅=-+，030x <<， 则22()(3120900)4V x x x '=-+，令()0V x '=解得10x =， 当(0,10)x ∈时，()0V x '>，函数(x)V 单调递增；当(10,30)x ∈时，()0V x '<，函数(x)V 单调递减，所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4V x V cm ==-+=，即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .故答案为：10【点睛】本题考查柱体的体积，利用导数解决面积、体积最大值问题，属于中档题.17．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为解析：14- 【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值,【详解】因为()()21xf xx=-，故可得()()311xf xx---'=，令()0f x'=，解得1x=-；故当(),1x∈-∞-时，()f x单调递减；当()1,1x∈-时，()f x单调递增；当()1,x∈+∞时，()f x单调递减.且()114f-=-，当x趋近于1时()f x趋近于正无穷；当x趋近于正无穷时，()f x趋近于零.函数图像如下所示：故()f x的最小值为14-.故答案为：14-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.18．【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数；当时函数为减函数；极大值为且；作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即；故答案为：【解析：1(0,)2【分析】作出函数21ln,0()log,0xxf x xx x+⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，结合图象可求实数m的取值范围.【详解】当0x >时，2ln ()x f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数为增函数； 当1x >时，()0f x '<，函数为减函数；极大值为(1)1f =，且x →+∞，()0f x →； 作出函数21ln ,0()log ,0x x f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，如图，方程2()2()0()f x mf x m R -=∈，则()0f x =或()2f x m =，由图可知()0f x =时，有2个解，所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根，只需要021m <<，即102m <<； 故答案为：1(0,)2.【点睛】 本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.19．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值 解析：01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1x a x +=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域，即可得答案； 【详解】 ()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f x lnx ax '=+-． ∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根，令ln 1()x g x x+=， 令()1g x lnx ax =+-，'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==- 当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <， ∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，y a =与()y g x =要有两个交点，∴01a <<故答案为：01a <<.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.20．【分析】依题意可得在上恒成立参变分离得到在上恒成立令求出的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为的定义域为且函数在上单调递增在上恒成立即在上恒成立令当时所以即故答案为：【点睛】本题考查利用导 解析：18a ≥ 【分析】依题意可得()210a f x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210a f x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立， 即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 当14x =时()max 18g x = 所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题. 三、解答题21．（1）答案见解析；（2）[)1,+∞.【分析】（1）求导后，分别在0a ≥和0a <两种情况下讨论导函数的正负即可得到结果； （2）将恒成立的不等式转化为()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立，从而只需构造函数()()2t x h x x =-，证明()t x 在()0,∞+上单调递增即可，从而将问题进一步转化为()0t x '≥在()0,∞+上恒成立，进而利用分离变量的方法可求得结果.【详解】（1）()()21ln 02h x x a x x =+>，则()()20a x a h x x x x x+'=+=>， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在()0,∞+上单调递增；当0a <时，若(x ∈，()0h x '<；若)x ∈+∞，()0h x '>； ()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增. （2）设12x x >，则()()12122h x h x x x ->-等价于()()112222h x x h x x ->-， 即()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立. 令()()212ln 22t x h x x x a x x =-=+-，则只需()t x 在()0,∞+上单调递增， ()2a t x x x '=+-，∴只需()0t x '≥在()0,∞+上恒成立即可. 令()200a x x x+-≥>，则()220a x x x ≥-+>， 当1x =时，()2max 21x x-+=，1a ∴≥，即实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】 关键点点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想､逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22．（1）见解析；（2）若c<3102，则当v ＝3102时，总用氧量最少；若c≥3102，则当v ＝c 时，总用氧量最少．【分析】（1）结合题意可得y 关于v 的函数关系式．（2）由（1）中的函数关系，求导后得到当0<v<3102时，函数单调递减；当v>3102时，函数单调递增．然后再根据c 的取值情况得到所求的速度． 【详解】(1)由题意，下潜用时 (单位时间)，用氧量为×＝＋ (升)，水底作业时的用氧量为10×0．9＝9(升)，返回水面用时＝ (单位时间)，用氧量为×1．5＝ (升)， 因此总用氧量232409,(0)50v y v v=++>． (2)由（1）得232409,(0)50v y v v=++>， ∴y′＝－＝，令y′＝0得v ＝32当0<v<3102y′<0，函数单调递减；当v>32y′>0，函数单调递增．①若c<32 ，则函数在(c ，32上单调递减，在(310215)上单调递增， ∴ 当v ＝32②若c≥32，则y 在[c ，15]上单调递增，∴ 当v ＝c 时，总用氧量最少．【点睛】（1）在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．（2）用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．23．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）32a e > 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围； 【详解】解：（1）因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．24．（1）(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间，(2,0)()f x -为的减区间.（2）m ＜0 ．【详解】解：（1）21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+ 令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间， (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. （2）x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立等价于min ()f x >m, 令：21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+= ∴x=0和x=－2,由（1）知x=－2是极大值点，x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e-===∴∈, ∴m ＜0 25．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱【分析】（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果； （2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）；（2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+- 因为2396000300002y a a a'=-+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<， 因此当2a =时，y 取最小值，保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低.【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题. 26．（1）4m ≤；（2）1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x ≤+在(0,)+∞上恒成立，利用基本不等式求得22x x+的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得122m x x +=，121x x ⋅=，进而可得1112x <<，转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+，令221()4ln g x x x x =-+（112x <<），利用导数求得函数()g x 的值域即可得解.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，又224x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴4m ≤；（2）由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=， ∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根， 由韦达定理得122m x x +=，121x x ⋅=， ∵120x x <<，∴1201x x <<<， 又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈，解得1112x <<， ∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+ ()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+- 2112114ln x x x =-+， 设221()4ln g x x x x =-+（112x <<）， 则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x ---+--=-+='=<， ∴()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数， 又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，(1)1100g =-+=， ∴150()4ln 24g x <<-， 即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.。

一、选择题1．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ） A ．2949B ．649C ．2349D ．43492．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（ ） A ．14 B ．89 C ．116D ．5323．下列命题不正确的是（ ）A ．研究两个变量相关关系时，相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关B ．研究两个变量相关关系时，相关指数R 2越大，说明回归方程拟合效果越好．C ．命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定命题为“∃x 0∈R ，cos x 0＞1”D ．实数a ，b ，a ＞b 成立的一个充分不必要条件是a 3＞b 3 4．“人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，岁的世界围棋第一人柯洁不敌人工智能系统AlphaGo ，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的男性中，有人持反对意见，名女性中，有人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）A ．分层抽样B ．回归分析C ．独立性检验D ．频率分布直方图5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ）A ．25 B ．310 C ．15D ．1106．从345678910,1112，，，，，，，，中不放回地依次取2个数，事件A = “第一次取到的数可以被3整除”,B = “第二次取到的数可以被3整除”，则()P B|?A =( ) A ．59B ．23C ．13 D ．297．下列说法中正确的是（ ）A ．设随机变量~(10,0.01)X N ，则1(10)2P X >=B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 8．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a =+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750B ．0.3000C ．0.2500D ．0.20009．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A ．回归直线一定过样本中心(,)x yB ．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C ．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D ．甲、乙两个模型的2R 分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好10．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果一次性抽取 2道题，已知有一道是理科题的条件下，则另一道也是理科题的概率为 A ．13B ．14C ．12D ．3511．某商品的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是3.ˆ2yx a =-+，则实数a =( ) A ．30B ．35C ．38D ．4012．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）参考公式附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：A．130 B．190C．240 D．250二、填空题13．掷三个骰子,出现的三个点数的乘积为偶数的概率是________.14．一盒子中装有6只产品，其中4只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样.则在第一次取到的是一等品的条件下，第二次取到的是二等品的概率为__________．15．已知x、y之间的一组数据如下：=+所表示的直线必经过点________.则线性回归方程ˆy a bx16．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为______________17．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知=）=，lg30.4771lg20.301018．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p=_____．19．某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是0.1，把次品误判为正品的概率是0.05．如果一箱产品中含有8件正品，2件次品，现从中任取1件让该质检员检验，那么出现误判的概率为___________．20．一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________三、解答题21．一个口袋中有4个红球和3个黑球．（1）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后不放回，求：（i）三个球中有两个红球一个黑球的概率；（ii）第二次取出的是红球且第三次取出的也是红球的概率．（2）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后放回，求至少有两个是红球且第三个是红球的概率22．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面22⨯列联表.22⨯与性别有关”？（2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，如果再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女生的概率.若将频率视为概率. 附：()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 23．某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示：（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望()E ξ. 24．随着运动App 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健康达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步数，并整理成下表：间中点值作代表）；（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人有200人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断有多大把握认为，健步达人与年龄有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++25．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（Ⅰ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；（Ⅱ）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差.()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++26．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为x ，若每次抽取的结果是相互独立的，求x 的分布列，期望和方差． 附表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案. 【详解】根据题意：32291117749p ⎛⎫⎛⎫=---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.2．D解析：D 【分析】首先确定是条件概率，在出现数字乘积为偶数的前提下，乘积为非零偶数的概率， 首先求两次数字乘积为偶数的概率， 然后两次为非零偶数的概率，再按照条件概率的公式求解. 【详解】两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，概率是22169⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以两次数字乘积为偶数的概率P =228169⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； 若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，P =111152366636⨯⨯+⨯=,.故所求条件概率为55368329P ==.故选：D 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算和独立事件，考查了学生的计算能力，属于基础题.3．D解析：D 【分析】根据相关系数、相关指数的知识、全称命题的否定的知识，充分、必要条件的知识对四个选项逐一分析，由此得出命题不正确的选项. 【详解】相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关，A 选项正确. 相关指数2R 越大，回归方程拟合效果越好，B 选项正确.根据全称命题的否定是特称命题的知识可知C 选项正确.对于D 选项，由于33a b a b >⇔>，所以33a b >是a b >的充分必要条件，故D 选项错误.所以选D. 【点睛】本小题主要考查相关系数、相关指数的知识，考查全称命题的否定是特称命题，考查充要条件的判断，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合，从而可得出统计方法。

选修1-2模块综合测试（二）(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2013·江西高考]已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A. －2iB. 2iC. －4iD. 4i解析：由M∩N＝{4}知4∈M，所以z i＝4，z＝－4i，选C.答案：C2．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()A. 正确B. 推理形式不正确C. 两个“自然数”概念不一样D. 两个“整数”概念不一致解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选A.答案：A3．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A. b与r的符号相同B. a与r的符号相同C. b与r的符号相反D. a与r的符号相反解析：正相关时，b>0，r>0；负相关时，b<0，r<0，选A.答案：A4．勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d的长方体中，有()A. p＋q＋r＝dB. p2＋q2＋r2＝d2C. p3＋q3＋r3＝d3D. p2＋q2＋r2＋pq＋pr＋qr＝d2解析：类比即可．答案：B5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A. f(x)B. －f(x)C. g(x)D. －g(x)解析：由题知偶函数的导数为奇函数，选D.答案：D6．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B.15C．－15D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3m－2＝－1，m2－3m－3m－2＝12，m＝±15，而m>3，m＝15.答案：B7．[2014·贵州六校联考]如图，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，得x1＝6，x2＝9，p＝9.5时，x3等于()A. 10B. 9C. 8D. 7解析：x1＝6，x2＝9，|x1－x2|＝3，|x3－6|<|x3－9|不成立，取x1＝x3⇒x3＋9＝9.5×2⇒x3＝10.答案：A8．[2013·安徽高考]设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·z i＋2＝2z，则z＝()A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z i ＋2＝(a ＋b i)·(a －b i)·i ＋2＝2＋(a 2＋b 2)i ，故2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1.即z ＝1＋i.答案：A9．[2014·昆明调研]执行如图的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A. 109B. 169C. 95D. 2011解析：在程序执行过程中p ，S ，k 的值依次为p ＝0，S ＝0，k ＝1；p ＝1，S ＝1，k ＝2；p ＝3，S ＝43，k ＝3；p ＝6，S ＝32，k ＝4；p ＝10，S ＝85，k ＝5；…；p ＝36，S ＝169，k ＝9；p＝45，S ＝95，k ＝10.又N ＝10，k ＝N ，故程序结束，输出的S ＝95.答案：C10．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A.92B.322 C.32D.94 解析：z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝a ＋b2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 答案：B11．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是( )A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12解析：后一种化合物应有4个C 和10个H ，所以分子式是C 4H 10. 答案：B12．对于定义在数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，则x 0叫函数f (x )的一个不动点．已知f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范围是( )A. (－12，32)B. (－32，－12)C. (12，32) D. (－32，12)解析：因为f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，所以f (x )＝x 无实根．由x 2＋2ax ＋1＝x 得x 2＋(2a －1)x ＋1＝0，此方程若无实根，则Δ＝(2a －1)2－4<0，解得－12<a <32.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为________．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧3b ^ ＋a ^＝17，8b ^ ＋a ^ ＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^ ＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.答案：y ^＝x ＋1414．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是________．解析：观察图1～5得：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31，由规律可得a n ＋1＝2a n＋1(n ≥2)．答案：a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)15．读下面的流程图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．解析：①A ＝－5<0，②A ＝－5＋2＝－3<0，③A ＝－3＋2＝－1<0，④A ＝－1＋2＝1>0，⑤A ＝2×1＝2.答案：216．若Rt △ABC 中两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如右图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M 、N 的大小关系是__________．解析：在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④，③÷④整理得M ＝N . 答案：M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)满足z ＋5z 是实数且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．解：设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0) z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5y x 2＋y 2)i ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 18．(12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ x 2－x 1＋－x 1－x 2＋x 1＋x 2＋＝x 2－x 1x 1＋x 2＋1>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2.与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根． 证法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0. ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2,0<ax 0<1，∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾； ②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0,0<ax 0<1，∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根．19．(12分)设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i(a ∈R )，已知A ＝{z ||z －z 1|≤2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}， A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：∵集合A 、B 在复平面内对应的点是两个圆面，又A ∩B ＝∅，∴这两个圆外离． 所以|z 1－z 2|>32， 即|(1＋2a i)－(a －i)|>3 2.解之得a ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫85，＋∞.20．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ，2 x ＝，2＋x x ，设计一个输入x 值，输出y 值的流程图．解：流程图如图所示．21．(12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，对某地540名40岁以上的人进行了调查，结果如下：生活规律有关系？解：根据公式得K 2的观测值 k ＝－280×460×220×320≈9.638>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关．22．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y＝b ^x .)解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ^＝0.7.∴a ^＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．。

一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．已知函数()2ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ） A ．320x y --= B ．320x y +-= C ．320x y -+= D ．320x y ++=4．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．05．函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'1g =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．326．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()()3ln f x x a x =+-，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是1，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,eB ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞8．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值9．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(],1ln 2-∞--B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞10．某种新产品的社会需求量y 是时间t 的函数，记作：y ＝f （t ）.若f （0）＝y 0，社会需求量y 的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f （t ）的导函数f '（t ）满足：f '（t ）＝kf （t ）（500﹣f （t ））（k 为正的常数），则函数f （t ）的图象可能为（ ）③ ④① ②A ．①②B ．①③C ．②④D ．①②③11．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．23312．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．曲线2x y ae +=的切线方程为260x y -+=，则实数a 的值为_______. 14．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________． 15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．已知函数()f x 的导函数为(x)f '，若32()(1)2f x x f x '=+-，则(1)f '的值为___.17．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．18．过点()0,1且与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的方程为______． 19．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.20．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )A αα，且直线l 与曲线()sin f x x =交于点(,sin )B ββ ，若-αβπ=，则tan α的值为________.三、解答题21．设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+．（1）求导函数()'f x ；（2）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+，求a ，b 的值． 22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围． 23．已知曲线32:32C y x x x =-+，直线:l y kx =，且直线l 与曲线C 相切于点()()000,0x y x ≠，求直线l 的方程及切点的坐标．24．函数在点处的切线方程为，若在区间上，恒成立，求的取值范围.25．已知函数()sin xxf x e =（1）求函数()f x 在点()()0,0M f 处的切线方程；（2）若()0f x k -≤在[]0,x π∈时恒成立，求k 的取值范围． 26．已知函数()2e 2xf x ax x x =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e=+∈为奇函数，则()0000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以01(0)2f e e'=+=，即2k =， 且当0x =时，001(0)0f e e=-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．3．A解析：A 【分析】求出导数，求得切线的斜率，切点坐标，由斜截式方程，即可得到切线的方程. 【详解】()2ln f x x x =+， 1()2(0)f x x x x'∴=+>(1)3f '∴=，又(1)1f =，∴函数()f x 在1x =处的切线方程13(1)y x -=-，即320x y --=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线的方程，正确求导是解题的关键，属于基础题．4．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.5．D解析：D 【解析】分析：先求出()'g x 和(1)g '，再求(1)(1)f f '和即得()'1g . 详解：由题得()()(),(1)(1)(1),g x f x xf x g f f =+∴'=+'''因为函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=， 所以1(1),(1)1,2f f =='所以13(1)(1)(1)1.22g f f =+'='=+ 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-6．C解析：C 【分析】利用奇偶性可求得0x >时()f x 的解析式，根据切线斜率为()1f '可构造方程求得结果. 【详解】当0x >时，0x -<，()3ln f x x a x ∴-=-+，()f x 为奇函数，()()()3ln 0f x f x x a x x ∴=--=->， ()23af x x x'∴=-，()131f a '∴=-=，解得：2a =. 故选：C . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式的问题7．D解析：D 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)x h x e x =+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.8．C解析：C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.9．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t be ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.10．B解析：B 【分析】令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0，从而得到答案. 【详解】因为()()()()500f t kf t f t '=﹣， 令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0， 由选项可知，只有①③符合题意， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的实际应用，考查导数的几何意义，根据导数的值求函数图像切线的斜率，属于中档题.11．A解析：A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．12．D解析：D 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13．2【分析】根据题意设直线与曲线的切点坐标为利用导数求出切线的方程与比较分析可得且解可得即可得切点的坐标将切点坐标代入曲线方程分析可得答案【详解】根据题意设曲线与的切点的坐标为其导数则切线的斜率又由切解析：2 【分析】根据题意，设直线与曲线的切点坐标为2m m ae +（，），利用导数求出切线的方程，与260x y -+=比较分析可得22m ae +=且226m -+=，解可得2m =-，即可得切点的坐标，将切点坐标代入曲线方程，分析可得答案． 【详解】根据题意，设曲线2x y ae +=与260x y -+=的切点的坐标为2m m ae +（，），其导数2x y ae+'=，则切线的斜率2m k ae += ，又由切线方程为260x y -+=，即26y x =+，则22m k ae +==， 则切线的方程为22m m y aeae x m ++-=-（），又由22m ae +=，则切线方程为22y x m -=-（），即222y x m =-+，则有226m -+=，解可得2m =- ，则切点的坐标为22-（，） ，则有(2)22a e -+=⨯ ， 2a ∴=. 故答案为：2． 【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是求出切点的坐标．14．【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点解析：1[e -，21]e【分析】方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点，利用导数求切线方程的斜率，运用数形结合思想结合图象进行求解即可. 【详解】方程()f x ekx =恰有两个实数解， 即曲线()y f x =与直线y ekx = 有两个不同的交点，设()ln g x x =，则1()g x x'=， 设过原点的直线与()ln g x x =相切的切点坐标为：(,)x y ''，则切线方程为：1()y y x x x ''-=-'， 又此切线过点(0,0)，求得：1y '=，即ln 1x '=，即x e '=，即1()g x e''=， 由图可知：曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有：11eke-， 即实数k 的取值范围为：1[e -，21]e， 故答案为：1[e -，21]e【点睛】本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率，考查了数形结合的思想，考查了数学运算能力.15．③【分析】先根据平均变化率的定义求得再分别计算各选项对应的平均变化率即可求解【详解】根据平均变化率的计算公式可得所以在附近取则平均变化率的公式为则要比较平均变化率的大小只需比较的大小下面逐项判定：①解析：③ 【分析】先根据平均变化率的定义，求得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解． 【详解】根据平均变化率的计算公式，可得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， 所以在1x =附近取0.3x ∆=，则平均变化率的公式为(1.3)(1)0.3y f f x ∆-=∆， 则要比较平均变化率的大小，只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小，下面逐项判定：①中，函数y x =，则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=； ②中，函数2yx ，则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=；③中，函数3y x =，则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=； ④中，函数1y x=中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈， 所以，平均变化率最大的是③． 【点睛】本题主要考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【解析】【分析】求函数的导函数令即可求出的值【详解】因为令则所以【点睛】本题主要考查了函数的导数及导函数求值属于中档题 解析：3-【解析】 【分析】求函数的导函数，令1x =即可求出()1f '的值. 【详解】因为 2()32(1)f x x f x ''=+令1x =则(1)32(1)f f ''=+ 所以(1)3f '=- 【点睛】本题主要考查了函数的导数，及导函数求值，属于中档题.17．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析：1-【解析】【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a， 又21cosxy sin x--='， 所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.18．【解析】【分析】求导函数确定切线的斜率可得所求直线的斜率再利用点斜式可得直线方程【详解】当时即曲线在点处的切线斜率为与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2直线过点所求直线方程为即故答案为【点睛】本题 解析：210x y -+=【解析】 【分析】求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程． 【详解】11x y x +=-， 22'(1)y x ∴=--，当3x =时，1'2y =-，即曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线斜率为12-， ∴与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的斜率为2， 直线过点()0,1，∴所求直线方程为12y x -=，即210x y -+=．故答案为210x y -+=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义．19．【分析】画出的图像再分析与的交点个数即可【详解】画出函数的图像如图所示：先求与相切时的情况由图可得此时设切点为则解得此时斜率又当时与平行也为临界条件故故答案为：【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数解析：11 , 3e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】画出()11,03ln,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图像,再分析()f x与y ax=的交点个数即可.【详解】画出函数()f x的图像,如图所示：先求y ax=与lny x=相切时的情况,由图可得此时lny x=,1'yx=设切点为()00,lnx x,则001lnaxx ax⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得0x e=,1ae=.此时xye=.斜率113e>.又当13a=时13y x=与11,03x x+≤平行也为临界条件.故11,3ae⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,3e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.20．【分析】由导数的几何意义求出切线方程代入点坐标由代入后可求得【详解】由题意∴直线的方程为又直线过∴由得∴整理得∴故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查同角间的三角函数关系与诱导公式解题时只要由解析：2π 【分析】 由导数的几何意义求出切线方程，代入B 点坐标，由βαπ=-代入后可求得tan α． 【详解】由题意()cos f x x '=，∴直线l 的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又直线l 过(,sin )B ββ，∴sin sin cos ()βααβα-=-，由得βαπ=-，∴sin()sin cos ()απααπ--=-，整理得2sin cos απα=，∴tan 2πα=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系与诱导公式．解题时只要由导数几何意义写出切线方程，代入已知条件即可求解．三、解答题21．（1）()f x '=112ln ---++x x x xae be x beae x x x；（2）1a =，2b =． 【分析】（1）根据导数的运算法则求导； （2）求出(1)f '，由(1)e f ，(1)2f =可求得,a b ．【详解】（1）由1e ()e ln x xb f x a x x-=+，得()1()ln x xbe f x ae x x -'⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭' 112ln x x x xae be x be ae x x x---=++． （2）由题意得，切点既在曲线()y f x =上，又在切线(1)2y e x =-+上，将1x =代入切线方程，得2y =， 将1x =代入函数()y f x =，得(1)f b =， 所以2b =．将1x =代入导函数()'f x 中 得(1)f ae e =='， 所以1a =． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的运算法则，考查导数的几何意义．函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-，若求过点()00,x y 的切线方程，则切点坐标为11(,)x y ，写出切线方程111()()y y f x x x '---，代入00(,)x y 求出11,x y 即可得切线方程．22．（1）a ＝1；（2）a ≤3 【分析】（1）出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a ；（2）运用导数判断()f x 在[0,2]，在[2,3]的单调性，求出最值，由题意得，()()12max min 2f x f x +≤得到不等式，解出即可. 【详解】（1）2()36f x x x '=-，(1)3f '∴=-，又(1)2f a =-，∴切点坐标(1,2)a -， 又∵切线经过点(0,2)， ∴由两点的斜率公式，得431a -=-， 解得1a =；（2）2()363(2)f x x x x x '=-=-，当[0,2]x ∈时，()0,()f x f x '≤单调递减； 当[2,3]x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增，1[0,2]x ∈，()1f x ∴的最大值为(0)f a =，又2[2,3]x ∈，()2f x ∴的最小值为(2)4f a =-，对任意1[0,2]x ∈，都存在2[2,3]x ∈使得()()122f x f x +≤，()()12max min 2f x f x +≤，即有42a a +-≤， 解得3a ≤． 【点睛】本题主要考查的是导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题. 23．14y x =-,33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率，构造方程，求解即可. 【详解】∵直线过原点，∴()0000y k x x =≠． 由点()00,x y 在曲线C 上，得32000032y x x x =-+，∴2000032y x x x =-+． 又∵2362y x x =-+'，∴在点()00,x y 处曲线C 的切线的斜率()2000362k f x x x =-'=+，∴22000032362x x x x -+=-+，整理得200230x x -=，解得()00302x x =≠． 这时，038y =-，14k =-． 因此，直线l 的方程为14y x =-，切点的坐标是33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义、求函数的导数；“已知”曲线的切点时，包含以下三方面信息：①切点在切线上，②切点在曲线上，③切点横坐标处的导数等于切线的斜率.24．【解析】 【分析】先求出切线方程为，设，则，再对分类讨论，利用导数分析解答得解. 【详解】 解：，在处切线的斜率为，所以切线方程为，即.设，则. 依题意，当时，恒成立.①当时，在区间上，，是增函数，所以；②当时，在区间上，，是减函数，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的单调性、最值的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.25．（1）y x =（2）4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】（1）求得函数的导数cos sin ()xx xf x e'-=，得到'(0)1f =，(0)0f =，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；（2）利用导数求得函数()sin xf x e x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，求得函数4max ()2f x e π=，进而由max ()k f x >，即可求解k 的取值范围．【详解】（1）由题意，函数sin ()x x f x e =，则cos sin ()xx x f x e '-=，可得'(0)1f =，又(0)0f =，所以函数()f x 在点(0,(0))M f 处的切线方程为y x =．（2）因为[0,]x π∈，令cos sin ()0x x xf x e '-==，解得4x π=，当x [0,)4π∈时，'()0f x >，当4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0f x <， 所以函数()sin xf x e x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在4ππ⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，所以4max ()42f x f e ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()0f x k -≤，在[0,]x π∈恒成立，即max ()k f x >恒成立，所以42k e π-≥，所以k 的取值范围是4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 26．（1）y x =-；（2）[)1,+∞ 【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为1e xx a +>恒成立，设()1x x g x e+=，求出()g x 的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案． 【详解】（1）当1a =时，()22xf x xe x x =--，其导数()()122xf x ex x =+--'，()01f '=-．又因为()00f =，所以曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y x =-； （2）根据题意，当0x >时，“曲线y=f （x ）在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”， 又由x ＞0，则2e 2x ax x x x -->-10x ae x ⇒-->⇒1ex x a +>， 则原问题等价于1ex x a +>恒成立； 设()1x x g x e +=，则()xxg x e '=-， 又由0x >，则()0g x '<，则函数()g x 在区间()0,∞+上递减， 又由()0101g e ==，则有11x x e+<， 若1e xx a +>恒成立，必有1a ≥， 即a 的取值范围为[)1,+∞． 【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解，属于中档题.。

一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。

一、选择题1．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14．若他第1球投进的概率为34，则他第3球投进的概率为（ ） A ．34B ．58C ．116D ．9162．甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4.那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（ ） A ．5局3胜制B ．7局4胜制C ．都一样D ．说不清楚3．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表经计算2K 的值，则有（ ）的把握认为玩手机对学习有影响． A ．95%B ．99%C ．99.5%D ．99.9%4．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球．从中不放回地依次摸出2个球，记事件A =“第一次摸出的是红球”，事件B =“第二次摸出的是白球”，则(|)P B A =（ ）A ．25B ．415C ．49D ．595．某射手射击一次命中的概率为0.8，连续两次射击均命中的概率是0.6，已知该射击手某次射中，则随后一次射中的概率是（ ） A ．34B ．45C ．35D ．7106．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910 C ．215D ．1157．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A 、2A 、3A 是两两互斥的事件 C ．17(|)11P B A =D ．3()5P B =8．下列说法中正确的是（ ）A ．设随机变量~(10,0.01)X N ，则1(10)2P X >= B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样9．若对于变量x 的取值为3，4，5，6，7时，变量y 对应的值依次分别为4.0，2.5，-0.5，-1，-2；若对于变量u 的取值为1，2，3，4时，变量v 对应的值依次分别为2，3，4，6，则变量x 和y ，变量u 和v 的相关关系是（ ） A ．变量x 和y 是正相关，变量u 和v 是正相关 B ．变量x 和y 是正相关，变量u 和v 是负相关 C ．变量x 和y 是负相关，变量u 和v 是负相关 D ．变量x 和y 是负相关，变量u 和v 是正相关 10．在一次独立性检验中，得出列表如下：且最后发现，两个分类变量A 和B 没有任何关系，则a 的可能值是( ) A ．720B ．360C ．180D ．9011．下列有关结论正确的个数为（ ）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9P A B =； ②设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->的充分不必要条件；③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==． A ．0B ．1C ．2D ．312．通过随机询问72名不同性别的学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：女 男 总计 读营养说明 16 28 44 不读营养说明 20 8 28 总计363672参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.7063.8415.0246.6357.87910.828则根据以上数据：A ．能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间无关系；B ．能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之间无关系；C ．能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间有关系；D ．能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之间有关系；二、填空题13．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则p 值为______. 14．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是_________.15．如图， A, B, C 表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9 , 0.8 , 0.7 , 如果系统中至少有1个开关能正常工作,则该系统就能正常工作， 那么该系统正常工作的概率是____________16．关于变量,x y 的一组样本数据11()a b ,，22()a b ,，……，(),n n a b （2n ≥，12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点(,)i i a b （1,2,,i n =⋅⋅⋅）恰好都在直线21y x =-+上，则根据这组样本数据推断的变量,x y 的相关系数为_____________．17．用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据对应的2R的值分别为0.81,0.98,0.63，其中__________（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性回归的效果最好.18．甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为12，乙投篮命中的概率为23，求甲至多命中2个且乙至少命中2个概率____.19．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是_____．20．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.三、解答题21．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？大龄受试者年轻受试者合计舒张压偏高或偏低舒张压正常合计6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为X，求X的分布列和数学期望.运算公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，对照表：22．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有0099的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++23．为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”.设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3:1,将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a 的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（2）把年龄在第123，，组的居民称为青少年组，年龄在第45，组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成上面22⨯列联表，则是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？ ()()()()()22n ad bc K a b a d b c c d -=++++()2P K k >0.15 0.100.050.025 0.010 0.005 0.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.82824．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为子调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；（2）若每天再微信超过4个小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？ 25．2019年，中国的国内生产总值（GDP ）已经达到约100万亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：x1 2 3 4 5 6 7 8 y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了如下的散点图.现考虑用反比例函数模型by a x=+和指数函数模型dx y ce =分别对两个变量的关系进行拟合.为此变换如下：令1xμ=，则y a b μ=+，即y 与μ满足线性关系；令ln νμ=，则ln c dx ν=+，即ν与x 也满足线性关系.这样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为96.54dx y e =，ν与x 的相关系数10.94r =-，其他参考数据如表（其中1ln i i i iy x μν==）.（1）求指数函数模型和反比例函数模型中y 关于x 的回归方程；（2）试计算y 与μ的相关系数2r ，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到0.01）？（3）根据（2）小题的选择结果，该企业采取订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出）.根据市场调研数据，该产品单价定为100元时得到签订订单的情况如表：已知每件产品的原料成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元） 参考公式：对于一组数据()11,μν，()22,μν，⋅⋅⋅，(),n n μν，其回归直线ναβμ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ni i i nii n n μνμνβμμ==-=-∑∑，ανβμ=-，相关系数ni in r μνμν-=∑26．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工的月工资均在[]25,55(百元)内，且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:（1）求n 的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名. ①完成如下所示22⨯列联表技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 50 月工资高于平均数50 总计5050100②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?参考公式及数据:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.050.01 0.005 0.001 0k 3.8416.6357.87910.828【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【分析】分两种情况讨论：第2球投进和第2球投不进，利用独立事件的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】分以下两种情况讨论： （1）第2球投进，其概率为3311544448⨯+⨯=，第3球投进的概率为53158432⨯=； （2）第2球投不进，其概率为53188-=，第3球投进的概率为3138432⨯=. 综上所述：第3球投进的概率为1539323216+=，故选D. 【点睛】本题考查概率的求法，考查独立事件概率乘法公式的应用，同时也考查对立事件概率公式的应用，解题时要注意对事件进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.2．A解析：A 【分析】分别计算出乙在5局3胜制和7局4胜制情形下对应的概率，然后进行比较即可得出答案. 【详解】当采用5局3胜制时，乙可以3:0，3:1，3:2战胜甲，故乙获胜的概率为：322222340.4+0.40.60.40.40.60.40.3174C C ⨯⨯+⨯⨯≈;当采用7局4胜制时，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3战胜甲，故乙获胜的概率为：4333323334560.4+0.40.60.40.40.60.4+0.40.60.40.2898C C C ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯≈，显然采用5局3胜制对乙更有利，故选A. 【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度中等.3．C解析：C 【解析】分析：利用公式求得观测值2K ，对照数表，即可得出正确的结论. 详解：根据列联表可得()223042168=1020101218K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯，27.8791010.828K <=<,对照数表知，有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响，故选C.点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题目. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.4．C解析：C 【解析】分析：利用概率的计算公式，求解事件A 和事件A B 的概率，即可利用条件概率的计算公式，求解答案．详解：由题意，事件A =“第一次摸出的是红球”时，则63()105P A ==， 事件A =“第一次摸出的是红球”且事件B =“第二次摸出白球”时，则6412()10945P AB =⨯=， 所以()4(|)()9P AB P B A P A ==，故选C ． 点睛：本题主要考查了条件概率的计算，其中熟记条件概率的计算公式和事件的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力．5．A解析：A 【解析】分析：某次射中，设随后一次射中的概率为p ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出p 的值．详解：某次射中，设随后一次射中的概率为p ，∵某射击手射击一次命中的概率为0.8，连续两次均射中的概率是0.5，0.80.6p ，∴= 解得34p =．故选：A ．点睛：本题考查概率的求法，涉及到相互独立事件概率乘法公式的合理运用，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题．6．C解析：C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案. 详解：由题意，根据条件概率的计算公式()()|()P AB P B A P A =， 则()()()122|3515P AB P B A P A =⋅=⨯=，故选C. 点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．D解析：D 【解析】分析：由题意1A ，2A ，3A是两两互斥事件，条件概率公式求出1(|)P B A ，()()()()123P B P A B P A B P A B =++，对照选项即可求出答案.详解：由题意1A ，2A ，3A是两两互斥事件， ()()()12351213,,10210510P A P A P A =====, ()()()111177211|1112P BA P B A P A ⨯===,()23|11P B A =,()33|11P B A =,而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233|||P A P B A P A P B A P A P B A =++1713332115111011=⨯+⨯+⨯ 511=. 所以D 不正确. 故选：D.点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键.8．A解析：A 【解析】在A 中，设随机变量X 服从正态分布N （10，0.01），则由正态分布性质得1(10)2P X >=，故A 正确； 在B 中，线性回归直线一定过样本中心点(),x y ，故B 错误；在C 中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故C 错误；在D 中，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法，故D 错误. 故选：A9．D解析：D 【解析】变量x 增加，变量y 减少，所以变量x 和y 是负相关；变量u 增加，变量v 增加，所以变量u 和v 是正相关，因此选D.10．B解析：B 【解析】∵两个分类变量A 和B 没有任何关系，∴()()()()2259010090400 2.70219040090500a a K a a +-⨯=<⨯++，代入验证可知360a =满足，故选B.11．D解析：D 【解析】对于①，4344443273()()464432A PB P AB ⨯====，，所以()2()()9P AB P A B P B ==，故①正确；对于②，当22log log a b >，有0a b >>，而由21a b ->有a b >，因为0,0a b a b a b a b >>⇒>>≠>>> ，所以22log log a b >是21a b ->的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线3ξ=对称，且27σ= 所以3,7D μξ==，故③正确．点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．12．C解析：C 【解析】2272(1682028)=8.427.87944283636K ⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯＞∴性别和读营养说明之间有99.5%的可能性. 本题选择C 选项.二、填空题13．【分析】根据甲乙两人各射击一次得分之和为2的概率为列方程解方程求得的值【详解】甲乙两人各射击一次得分之和为2可能是甲击中乙未击中或者乙击中甲未击中故解得故答案为：【点睛】本小题主要考查相互独立事件概解析：34【分析】根据甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920列方程，解方程求得p 的值. 【详解】甲、乙两人各射击一次得分之和为2，可能是甲击中乙未击中，或者乙击中甲未击中，故()339115520p p ⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪⎝⎭，解得34p =. 故答案为：34【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.14．【解析】设第一次摸出正品为事件第二次摸出正品为事件则事件和事件相互独立在第一次摸出正品的条件下第二次也摸到正品的概率为：故答案为 解析：【解析】设“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸出正品”为事件B ， 则事件A 和事件B 相互独立，在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：()()655109|6910P AB P B A P A ⨯===（）．故答案为5915．994【解析】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率种开关中至少有个开关能正常工作的对立事件是种开关都不能工作分别记开关能正常工作分别为事件故答案为解析：994 【解析】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，,,A B C ，3种开关中至少有1 个开关能正常工作的对立事件是3种开关都不能工作，分别记,,A B C 开关能正常工作分别为事件123,,A A A ，()()1231,,10.10.20.30.994P E P A A A =-=-⨯⨯=， 故答案为0.994. 16．-【解析】所有样本点都在直线上说明这两个变量间完全负相关故其相关系数为-1故填-1解析：-1 【解析】所有样本点都在直线上，说明这两个变量间完全负相关，故其相关系数为-1，故填-1．17．乙【解析】线性回归模型中越接近1效果越好故乙效果最好解析：乙 【解析】线性回归模型中2R 越接近1，效果越好，故乙效果最好．18．【分析】甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件分别做出甲至多命中2个球的概率和乙至少命中两个球的概率根据相互独立事件的概率公式得到结果【详解】甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的解析：1118【分析】甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，分别做出甲至多命中2个球的概率和乙至少命中两个球的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果. 【详解】甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是互相独立事件， 设“甲至多命中2个球”为事件A ，“乙至少命中2个球”为事件B ，由题意()41322124411111112222216P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()22342344212128333339P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为()()1181116918P A P B ⋅=⨯=，故答案为1118. 【点睛】本题考查独立重复试验，考查离散型随机变量，是一个综合题，解题时注意进球的个数对应的是乙所得的分数，注意分数与进球个数的对应.19．【解析】试题分析：抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分的有9种其中抽出的学生为甲小组学生的事件有5种所以概率为考点：条件概率 解析：【解析】试题分析：抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分的有9种，其中抽出的学生为甲小组学生”的事件有5种，所以概率为59. 考点：条件概率.20．【分析】记某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电为事件A 他的车能够充电2500次为事件B 即求条件概率：由条件概率公式即得解【详解】记某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电为事件A 他的解析：717【分析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：(|)P B A ，由条件概率公式即得解. 【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：()35%7(|)()85%17P A B P B A P A ===故答案为：717【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题21．（1）没有99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）分布列见解析，()32E X = 【分析】（1）根据题意列出列联表，再计算2 4.762 6.635K ≈<，故没有99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）由分层抽样得抽得样本的大龄受试者有3人，年轻受试者有3人，X 的可能取值为0,1,2,3，再结合超几何分布求概率和期望即可.【详解】解：()122⨯列联表如下：()210010601020 4.762 6.63530702080K ⨯⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯所以，没有99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．（2）由题意得，采用分层抽样抽取的6人中，大龄受试者有3人，年轻受试者有3人， 所以大龄受试者人数为X 的可能取值为0,1,2,3，所以()33361020C P X C ===，()2133369120C C P X C ===， ()1233369220C C P X C ===，()33361320C P X C ===，所以X 的分布列为：所以()0123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意得抽取的6人中，大龄受试者有3人，年轻受试者有3人，进而根据超几何分布求概率分布列与数学期望，考查运算求解能力，是中档题.22．(1) 72% 64% (2) 有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异” 【解析】解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%. (2)χ2＝()1000360180320140500500680320⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”． 23．（1）0.035，41.5；（2）有. 【分析】（1）由频率分布直方图求出a 的值，再计算数据的平均值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 【详解】（1）由频率分布直方图可得：10×（0.01+0.015+a +0.03+0.01）＝1， 解得a ＝0.035，所以通过电子阅读的居民的平均年龄为：20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5；（2）由题意200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3:1, ∴纸质阅读的人数为20014⨯=50，其中中老年有30人，∴纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，青少年人数为1500.10.150.35⨯++（）=90，则中老年有60人， 得2×2列联表，计算()2200903060202006.061 5.024501501109033K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为认为阅读方式与年龄有关． 【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，考查了阅读理解的能力，是基础题．24．（1）4.76；（2）有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关 【解析】 试题分析：（1）由频率直方图中各概率乘以各方块中点频率相加后即得；（2）从频率直方图中可计算出“微信控”和“非微信控”的男女生人数，再计算出2K 可得． 试题(1)女性平均使用微信的时间为：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76. (2)2(0.04＋a ＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a ＝0.08. 由题设条件得列联表：所以K 2＝＝≈2.941＞2.706.所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．25．（1）指数模型回归方程为0.296.54x y e -=，反比例函数回归方程为10011y x=+；（2）20.99r ≈；用反比例函数模型拟合效果更好；（3）612（千元）. 【分析】（1）由96.54dx y e =，得ln ln96.54 4.6y dx dx ν=+⇔=+，将 3.7ν=， 4.5x =代入可得指数模型回归方程.令1xμ=，则y b a μ=+，代入y ，求得b ，a ，可得反比例函数回归方程.（2）求得y 与u 的相关系数为2r ，由12r r <，可得结论. （3）设该企业的订单期望为S （千件），则109811011111123101122222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可求得订单的期望，从而求得该企业的利润约. 【详解】解：（1）因为96.54dx y e =，所以ln ln96.54 4.6y dx dx ν=+⇔=+， 将 3.7ν=， 4.5x =代入上式，得0.2d =-，所以0.296.54x y e -=.令1xμ=，则y b a μ=+， 因为360458y ==，所以182218183.480.34451001.5380.1158ni ii i i u y u yb u u==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，则451000.3411a y b u =-⋅=-⨯=，所以11100y u =+， 所以y 关于x 的回归方程为10011y x=+. 综上，指数模型回归方程为0.296.54x y e -=，反比例函数回归方程为10011y x=+. （2）y 与u 的相关系数为812882222118610.9961.40.616185.588i ii i i i i u y u yr u u y y ===-⋅===≈⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，因为12r r <，所以用反比例函数模型拟合效果更好. （3）设该企业的订单期望为S （千件），则109811011111123101122222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令109811111123102222T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， 则111092111111*********T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， ②-①，得11109211111522222T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得10192T ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以101391292256S ⎛⎫=+⨯=+ ⎪⎝⎭，所以该企业的利润约为：3310091009101161232562569256⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯++≈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦（千元）. 【点睛】本题考查线性回归方程的求得，相关系数的比较，以及运用数学期望求利润，属于中档题. 26．（1）0.05n =；（2）①列联表见解析；②不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 【分析】（1）根据频率分布直方图列方程组求得n 的值；（2）根据题意得到22⨯列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论． 【详解】 （1）月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为:150.15100=； 由频率分布直方图得:(0.020.0420.01)50.151n +++⨯+=0.05n ∴=（2）①根据题意得到列联表:技术工 非技术工总计月工资不高于平均数193150月工资高于平均数3119 50总计 50 50 1002 5.7610.82850505050K ==<⨯⨯⨯ 不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.【点睛】本题主要考查了独立性检验和频率分布直方图的应用问题，也考查了计算能力及频率应用问题，是基础题．。

高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题一 选择题（5×12=60分）1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（ ）A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 2．“所有9的倍数（M ）都是3的倍数（P ），某奇数（S ）是9的倍数（M ），故某奇数（S ）是3的倍数（P ）.”上述推理是（ ）A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错 3．F （n ）是一个关于自然数n 的命题，若F （k ）（k ∈N ＋）真，则F （k ＋1）真，现已知F （7）不真，则有：①F （8）不真；②F （8）真；③F （6）不真；④F （6）真；⑤F （5）不真；⑥F （5）真.其中真命题是（ ）A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④ 4.下面叙述正确的是（ ）A ．综合法、分析法是直接证明的方法B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

A ．①B ．①②C ．①②③D ．③6．（05·春季上海，15）若a ，b ，c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c ＞0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件7．（04·全国Ⅳ，理12）设f （x ）（x ∈R ）为奇函数，f （1）＝12 ，f （x ＋2）＝f （x ）＋f（2），f （5）＝（ ）A ．0B ．1C ．52D ．58．设S （n ）＝1n ＋1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋1n2 ，则（ ）A ．S （n ）共有n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13B ．S （n ）共有n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋14C ．S （n ）共有n 2－n 项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋14D ．S （n ）共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋149．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x2－y ，若关于x 的不等式（x －a ）⊙（x ＋1－a ）＞0的解集是集合｛x ｜－2≤x ≤2，x ∈R ｝的子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．－2≤a ≤2 B ．－1≤a ≤1 C ．－2≤a ≤1 D ．1≤a ≤210．已知f （x ）为偶函数，且f （2＋x ）＝f （2－x ），当－2≤x ≤0时，f （x ）＝2x，若n ∈N *，a n ＝f （n ），则a 2006＝（ ）A ．2006B ．4C ．14D ．－411．函数f （x ）在［－1，1］上满足f （－x ）＝－f （x ）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f （sin α）＞f （sin β）B ． f （c o s α）＞f （sin β）C ．f （c o s α）＜f （c o s β）D ．f （sin α）＜f （sin β）12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。

一、选择题1．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线250x y -+=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．52．已知双曲线22221x y a b -=的两个焦点分别为21(,0)(,0)(0)F c F c c ->，过点2,0a P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且122F A F B =-，求双曲线的离心率（ ） A ．2B ．3C ．5D ．63．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（ ） A ．36B ．48C ．72D ．964．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若16MF OM =，则E 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D 25．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（ ） A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．2±B ．3C ．6±D ．7±7．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（ ）A ．2B ．83C ．5D ．1638．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =，33k ∈⎣与双曲线C 交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．)2,2⎡⎣C ．2,31⎡⎤⎣⎦D ．(31⎤⎦9．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(1,8),A P -为抛物线上一点，则||||PA PF +的最小值是（ ） A ．3B ．9C ．12D ．612．已知12,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且1223F PF π∠=，若椭圆1C 离心率记为1e ，双曲线2C 离心率记为2e ，则222127e e +的最小值为（ ） A ．25 B ．100 C ．9 D ．36二、填空题13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M是12PF F △内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2c A PA a=（c为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____． 14．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.15．已知1F ､2F 为椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 为1C 和2C 的一个公共点，且1213F PF π∠=，椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的最大值为________________.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，过O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为()2,1，则椭圆C 的方程为_________．17．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．18．已知椭圆2212x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，则实数t 的取值范围是______.19．抛物线24y x =的焦点为F ，点(2,1)A ，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则MAF ∆周长的最小值为____．20．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12F F ，，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，若1ABF 是等边三角形，则椭圆C 的离心率等于________.三、解答题21．设1F ､2F 分别是椭圆2214xy +=的左､右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的取值范围；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A ､B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.22．已知抛物线C ：()220y px p =>过点()2,4T -．（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）已知点()4,0A ，过点()4,0B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA分别交直线4x =-于点P 、Q ．求PBBQ的值．23．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点.24．设曲线()22:10,0C mx ny m n +=>>过()(2,3,M N 两点，直线():2l y k x =-与曲线C 交于,P Q 两点，与直线8x =交于点R .（1）求曲线C 的方程；（2）记直线,,MP MQ MR 的斜率分别为123,,k k k ，求证：123k k k λ+=，其中λ为定值.25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为短轴的一个端点，离心率为12，12MF F △的面积S = （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆上的一点，B 是点A 关于x 轴的对称点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别于x 轴交于不同的点C 、D ，O 为坐标原点，求POC POD S S ⋅△△的最大值，并求出此时P 点的坐标26．如图，已知点P 是x 轴下方(不含x 轴)一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A ､B 满足PD DA λ=，PE EB λ=，其中λ为常数，且D ､E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M .（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线250x y -+=过点F ，可得()5,0F - 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有()225112OH ==+-故12PF =，12PF PF a -=，(22221125PF PF F F +==故()2222220a ++=.可得1a =5ce a == 故选：D 【点睛】 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．2．B解析：B 【分析】先根据题意画出图形，再根据122F A F B=-，得到21F AF B B P ∽，根据相似比得到222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，即可求出离心率. 【详解】 解：如图所示：122F A F B =-，12//F A F B ∴，12AF B BF P ∴∽，且122F PF P=, 即222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 两边同时除以a 得2a c c a c a a c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，即122e e e e+=-， 又1e >，解得：3e =. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用三角形相似比得到,a c 的关系式，进而求得离心率.3．D解析：D 【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点， 所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.4．A解析：A 【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案． 【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-， 由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ． 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．5．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解.由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭， ()()()2222212416111k BC kx xk k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=， 设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠， 则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<， 当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤， 所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.6．C【分析】利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得ca的值，利用公式21⎛⎫=- ⎪⎝⎭b c a a 可求得该双曲线的渐近线的斜率. 【详解】2ABF 为等边三角形，22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒，由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，212AF AF a -=，24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，由余弦定理可得2212121222cos12027F F c AF AF AF AF a ==+-⋅︒=，即7c a =，所以22222216b b c a c a a a a -⎛⎫===-= ⎪⎝⎭． 因此，该双曲线的渐近线的斜率为6±． 故选：C.【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线by x a=±，焦点在y 轴时渐近线ay x b=±； （2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可.7．D解析：D 【分析】由题意作出MD 垂直于准线l ，然后得2PM MD =，得30∠=︒DPM ，写出直线方程，联立方程组，得关于y 的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算. 【详解】如图，过点M 做MD 垂直于准线l ，由抛物线定义得MF MD =，因为PF FM =，所以2PM MD =，所以30∠=︒DPM ，则直线MN 方程为3(1)x y=-，联立23(1)4x y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x 得，231030y y -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，所以121210,13y y y y +==，得121016||2233MN y y =++=+=. 故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．8．C解析：C 【分析】根据题意，得到()1,0F c -，设(),M x y ，则(),N x y --，由11MF NF ⊥，求出2220x y c +-=与双曲线联立，求出()2222242242222a c a x c c a c a y c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，再由2221,33y k x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，列出不等式求解，即可得出结果 【详解】因为点1F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左焦点，则()1,0F c -，设(),M x y ，由题意有(),N x y --，则()1,MF c x y =---，()1,NF c x y =-+，又11MF NF ⊥，所以()()2110MF NF c x c x y ⋅=---+-=，则2220x y c +-=，又(),M x y 在双曲线上，所以22221x y a b-=，由22222222221x y a b x y c c a b ⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得()2222242242222a c a x c c a c ay c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，又M 在直线y kx =上，3k ∈⎣， 所以()4224424222222222212111,33212c a c a e e e e e a c a y k x -+-+---⎡⎤====-∈⎢⎥⎣⎦， 即42424213421e e e e ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≤⎪-⎩，整理得42423840840e e e e ⎧-+≥⎨-+≤⎩，解得224e ≤≤+2243e -≤（舍，因为双曲线离心率大于1），1e ≤， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的标准方程，解决本题的关键点是把11MF NF ⊥转化为向量数量积的坐标表示，求出点M 的轨迹方程，结合点在双曲线上，求出点的坐标，代入斜率公式求出离心率的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．9．D解析：D 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定． 【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．10．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点， 所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝， 当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=， 再利用基本不等式可求最值.11．B解析：B 【分析】根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，故AM 为所求【详解】解：由题意得2p =，焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-， 设P 到准线的距离为PM ，（即PM 垂直于准线，M 为垂足），则||||||||9PA PF PA PF AM +=+≥=，（当且仅当,,P A M 共线时取等号）， 所以||||PA PF +的最小值是9， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，解题的关键是由题意结合抛物线定义得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，从而可得结果12．A解析：A 【分析】由椭圆与双曲线的定义得记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=，用余弦定理得出,m n 的关系，代入和与差后得12,e e 的关系式，然后用基本不等式求得最小值． 【详解】记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=（双曲线的实轴长），又由余弦定理得2224m n mn c ++=，所以22231()()444m n m n c ++-=，即22234a a c '+=，变形为2212314e e +=，所以22222212121222221222273131127()(27)(82)2544e e e e e e e e e e +=++=++≥，当且仅当22122222273e e e e =，即213e e =时等号成立． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，122MF MF a +=，在双曲线中122MFMF a '-=，不能混淆． 二、填空题13．【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与轴切于顶点再分别表示列出关于的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围【详解】设圆心设内切圆与相切于点如图：根据内切圆性质可知点是双曲线的顶点即整理解析：1)． 【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与x 轴切于顶点，再分别表示12,PF PF ，列出关于,a c 的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围.【详解】设圆心(),M x y ，设内切圆与1212,,PF PF F F 相切于点,,A B C ， 如图：根据内切圆性质可知PA PB =，11F A FC =，22F B F C =， 1212122PF PF PA AF PB BF CF CF a ∴-=+--=-=,∴点C 是双曲线的顶点，即11F A FC c a ==+，22F B F C c a ==-，22c PA PB a==， 2122222c c a PF ac PF c a a++=>-+，整理为：22260c ac a +-<，两边同时除以2a， 得2260e e +-<，解得：11e -<-1e >， 所以离心率的取值范围是()1.故答案为：()71 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：222111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.14．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：32⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围 【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤ 所以离心率222131122c b e a a ⎫⎛==-≥-= ⎪⎝⎭，所以3⎫∈⎪⎪⎣⎭e . 故答案为：3,12⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．15．【分析】设椭圆的长轴为双曲线的实轴为公共焦距为设不放设则有所以在中结合余弦定理可得带入可得所以再利用柯西不等式即可得解【详解】设椭圆的长轴为双曲线的实轴为公共焦距为设不放设则有由所以在中有代入可得所【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，公共焦距为2c ，设1122,PF r PF r ==，不放设12r r >，则有1211222,2r r a r r a +=-=，112r a a =+，212r a a =-，所以在12PF F △中，结合余弦定理可得带入可得22222221212124223c a a a a a a =+-+=+，所以2212134e e += ，再利用柯西不等式，即可得解. 【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，公共焦距为2c ，设1122,PF r PF r ==，不放设12r r >， 则有1211222,2r r a r r a +=-=，112r a a =+，212r a a =-，由1213F PF π∠=，所以在12PF F △中， 有22212121212=2cos F F r r rr F PF +-∠， 代入可得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯222222*********a a a a a a =+-+=+，所以2212134e e += ，2222221212121111()(1+()()1e e e e e e ⎡⎤⎡⎤+=⨯≤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦221213416()33e e =+⨯=，所以1211e e +≤.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义，考查了离心率公式，以及利用柯西不等式求最值，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：（1）椭圆和双曲线的定义，圆锥曲线的定义是解析几何常考考点； （2）柯西不等式的应用，柯西不等式是求最值得重要方法.16．【分析】先利用点坐标和垂直关系求得直线的斜率并写出直线方程联立直线与椭圆利用韦达定理和垂直的向量关系得到的关系式再结合焦距的关系式解出即得方程【详解】依题意椭圆的焦距为即即由点的坐标为知直线OD的斜解析：221 306x y+=【分析】先利用点D坐标和垂直关系求得直线l的斜率，并写出直线方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理和垂直的向量关系得到22,a b的关系式，再结合焦距的关系式解出22,a b，即得方程.【详解】依题意，椭圆的焦距为46，即246c=，26c=，即2224a b-=，由点D的坐标为()2,1，知直线OD的斜率101202ODk-==-，又⊥OD AB，知直线l的斜率为2-，即直线l的方程为12(2)y x-=--，即52y x=-.设()()1122,,,A x yB x y联立方程2222152x ya by x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()2222222420250a b x a x a a b+-+-=，故2222121222222025,44a a a bx x x xa b a b-+==++，即()()()12121212525225104y y x x x x x x=--=-++2222222222222202525425104444a a ab b a ba b a b a b--=-⨯+⨯=+++，由OA OB⊥知，1212OA OB x x y y⋅=+=，即22222222222525444a ab b a ba b a b--+=++，所以222255a b a b+=，又2224a b-=，消去2a得，42141200b b+-=，解得26b=或220b=-（舍去），故2230,6a b==，椭圆C的方程为221306x y+=.故答案为：221306x y+=.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的直线垂直问题时，一般利用直线的斜率之积为-1，或者直线上的向量的数量积为0来处理，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出结果.17．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得B y =故()2,B a ，()2,C a -，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则c =故e =【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．18．【分析】设对称的两点为直线的方程为与联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求的中点利用判别式以及在直线上即可求解【详解】设椭圆存在关于直线对称的两点为根据对称性可知线段被直线直平分且的中点在直解析：⎛ ⎝⎭【分析】设对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y x b =-+与2212x y +=联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求AB 的中点()00,M x y ，利用判别式0∆>以及()00,M x y 在直线y x t =+上即可求解.【详解】设椭圆2212x y +=存在关于直线y x t =+对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，根据对称性可知线段AB 被直线y x t =+直平分， 且AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =-， 故可设直线AB 的方程为y x b =-+，联立方程2222y x bx y =-+⎧⎨+=⎩，整理可得2234220x bx b -+-=， ∴1243b x x +=，()1212223by y b x x +=-+=，由()221612220b b ∆=-->，可得b <<， ∴120223x x b x +==，12023y y b y +==， ∵AB 的中点2,33b b M ⎛⎫⎪⎝⎭在直线y x t =+上，∴233b b t =+，可得3b t =-，33t -<<.故答案为：33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用直线AB 与直线y x t =+垂直可得直线AB 的斜率为1-，可设直线AB 的方程为y x b =-+，代入2212x y +=可得关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆>，可以求出b 的范围，利用韦达定理可得AB 的中点()00,M x y 再代入y x t =+即可t 与b 的关系，即可求解.19．【分析】求△MAF 周长最小值即求|MA|+|MF|的最小值设点M 在准线上的射影为D 根据抛物线定义知|MF|＝|MD|转为求|MA|+|MD|的最小值当DMA 三点共线时|MA|+|MD|最小即可得到答解析：3【分析】求△MAF 周长最小值，即求|MA |+|MF |的最小值．设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线定义知|MF |＝|MD |，转为求|MA |+|MD |的最小值，当D 、M 、A 三点共线时|MA |+|MD |最小，即可得到答案． 【详解】求△MAF 周长的最小值，即求|MA |+|MF |的最小值，设点M 在准线上的射影为D ，则 根据抛物线的定义，可知|MF |＝|MD |因此，|MA |+|MF |的最小值，即|MA |+|MD |的最小值根据平面几何知识，可得当D ，M ，A 三点共线时|MA |+|MD |最小， 因此最小值为x A ﹣（﹣1）＝2+1＝3， ∵|AF |＝()()222110-+-＝2，∴△MAF 周长的最小值为3+2， 故答案为3+2【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，M ，A 三点共线时|MA |+|MD |最小，是解题的关键．20．【分析】利用已知条件推出的关系然后求解椭圆的离心率即可【详解】解：椭圆的左右焦点为过作轴的垂线与交于两点若是等边三角形如图：可得可得即可得解得故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用离心率的求 解析：33【分析】利用已知条件．推出a 、b 、c 的关系，然后求解椭圆的离心率即可． 【详解】解：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，若1ABF 是等边三角形，如图：可得32|c AB =，2(,0)F c ，可得22||b AB a=， 即2222333ac b a c ==， 23230e e +=，(0,1)e ∈ 解得3e =3【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）[]2,1-；（2）322k -<<-或322k <<. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得()()123,0,3,0F F -，设(),P x y ，利用向量数量积的坐标运算可得()2121384PF PF x ⋅=-，再由[]2,2x ∈-即可求解. （2）由题意可得直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+，将直线与椭圆方程联立，消去y ，可得()221416120kxkx +++=，0∆>，且12120OA OB x x y y ⋅=>+，结合韦达定理即可求解.【详解】解：（1）易知2,1,3a b c ===())123,0,3,0F F -，设(),P x y ，则())22123,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-； 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1； ∴1PF ·2PF 的取值范围是[]2,1-（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+， 联立22244y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，整理得：()221416120k x kx +++= 由题意，()()2216414120k k∆=-+⋅>得2k <-或2k >，① 令()()1122,,,A x y B x y ，∴1212221612,1414k x x x x k k+=-=++ ∵AOB ∠为锐角，∴cos 0AOB ∠>即0OA OB ⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=>+又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22222212322044141414k k k k k k =-+=-++++ ∴2221220401414k OA OB k k⋅=-+>++，解得24k <， ∴22k -<<，②故由①､②得22k -<<-或22k <<. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用数量积()2121384PF PF x ⋅=-，确定[]2,2x ∈-，并且根据题意得出0OA OB ⋅>，考查了运算求解能力.22．（1）4p =；（2）1. 【分析】（1）求出p 后可得焦点到准线的距离.（2）设直线l 的方程为4x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，可用,M N 的坐标表示PB BQ ，再联立直线l 的方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简PBBQ可得所求的值. 【详解】（1）因为()2,4T -在抛物线上，164p =即4p =，抛物线C 的焦点到准线的距离为4p =.（2）显然直线l 的斜率不为0，故设直线l 的方程为4x my =-， 由248x my y x=-⎧⎨=⎩得28320y my -+=， 由()228320m ∆=->得216m >，设()11,M x y ，()22,N x y ，则128y y m +=，1232y y =，所以()12124my y y y =+. 又114MA y k x =-，224NA y k x =-，所以直线MA ：()1144y y x x =--，NA ：()2244yy x x =--， 令4x =-，得1184P y y x -=-，2284Q y y x -=-，所以121212124848P QPB y y x y my BQx y my y y --==⋅=⋅-- ()()121121211221221248844184844y y y my y y y y my y y y y y y y +---====-+--．【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 23．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QR x =即可求解； （2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以222,p p A kk ⎛⎫⎪⎝⎭，因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫ ⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQpPR x k p QR x k ===.()2因为222,p p A kk ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+， 与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=， 因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=， 所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离.24．（1）2211612x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知建立方程组可求得曲线C 的方程；（2）令8x =，则()8,6R k ，联立整理得()()222243161630k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，()2212122216316,4343k k x x x x k k -+==++，表示12k k +，3k ，可求得定值． 【详解】解：（1）由已知得491861m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得116112m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以曲线C 的方程为2211612x y +=；（2）令8x =，则()8,6R k ，联立()22116122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()()222243161630kx k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2212122216316,4343k k x x x x k k -+==++， ∴12121212121233113232222y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭，()()221222121222164443232321241633244343k x x k k k k x x x x k k k k -+-+=-⨯=-⨯=--++--+++， 又3631822k k k -==--， ∴1232k k k +=，∴λ等于定值2，得证.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合问题，关键在于由直线的方程与椭圆的方程联立后，由根与系数的关系表示直线的斜率，求得定值．25．（1）22143x y +=；（2）POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P点坐标为(0,和(.【分析】（1）由面积得bc =,,a b c ，得椭圆方程；（2）设()00,A x y ，则()00,B x y -，不妨设00y >，设()11,P x y ，写出直线,PA PB 方程，求得,C D 两点的横坐标，计算C D x x ⋅，注意点,A P 是椭圆上的点由此可得4C D x x ⋅=为常数，这样可计算出POC POD S S ⋅△△＝2P y ，最大值易得．【详解】 解：（1）由12c a =，2a c =，得b =，又12122MF F S c b =⨯⨯=△ 所以1c =，2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设()00,A x y ，则()00,B x y -，不妨设00y >，设()11,P x y 则直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101C x y x yx y y -=-， 同理100101D x y x y x y y +=+，所以222210012201C D x y x y x x y y -⋅=-， 又点A 与点P 均在椭圆上，故2200413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2211413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()2222012201012222010*********C D y y y y y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⋅===--， 所以4C D OC CD x x ⋅=⋅=为定值， 因为221114224POC POD P p p p S S OC y OD y y y ⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=△△ 由P 为椭圆上的一点，所以要使POC POD S S ⋅△△最大，只要2p y 最大 而2p y 最大为3，所以POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P点坐标为(0,和(. 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中的最值问题，解题方法是解析几何的基本方程：设点,A P 坐标，：求直线方程，求交点坐标，计算面积之积，得出结论：即设点,A P 坐标，求出直线,AP BP 方程，求出交点,C D 的坐标（横坐标，纵坐标为0），而2111224POC POD P p C D p S S OC y OD y x x y ⋅=⋅⋅⋅=⨯⋅⨯△△，再计算CD x x ⋅可得最大值时P 点位置．26．（1）230x y -+=；（2）证明见解析，定值为1λλ+.【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =可得D 与E 坐标，代入抛物线方程可得1x 与2x ，即可求AB 所在的直线方程；（2）由设00(,)P x y ，PD DA λ=，PE EB λ=可得D 与E 坐标，代入抛物线方程可得1x 与2x 满足的方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=，通过计算得到直线PM 的方程为0x x =，即线段PQ 与QM 的比为Q P M Qy y y y --，计算化简得到定值.【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =， 可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+， 由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得： 222230x x --=，∵A ､B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=.。

一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．192．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．33．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，25||4AB =，则m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒5．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF FB =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）A B ．52C D ．536．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点M 在双曲线C 的渐近线上，若212211221cos 12cos ,3MF F MF F FMF MF F ∠+=∠∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．BC ．D ．28．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点32,32D ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．729．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（ ） A ．253B ．496C ．436D ．25410．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．34D ．4512．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．F 是抛物线22y px =（0p >）的焦点，过点F 的直线与抛物线的一个交点为A ，交抛物线的准线于B ，若2BA AF =，且4BA =，则P =______．14．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________.15．过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，且点A 为线段PB 的中点，则直线l 的斜率为___________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()22234x y +-=相交于A ，B 两点，且2AB =，则双曲线C 的离心率为___________.17．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.18．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.20．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线AB 交抛物线于A ,B 两点，交准线于点C ，若|BC |=2|BF |，则|AB |=_____.三、解答题21．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，当直线AB 的斜率为0时，||||7AB CD +=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求||||AB CD +的取值范围．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为222 （1）求椭圆C 的方程．（2）若过点1F 的两条弦，弦AB 、弦CD ，互相垂直，求四边形ACBD 的面积的最小值．23．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点.24．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB l 的方程.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1),,A P Q --在椭圆C 上，且,P Q 异于点A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若||||,||||OP OQ AP AQ ==，求直线PQ 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =； 圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k . 【详解】由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F 设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴> ∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===. 故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.3．C解析：C 【分析】由焦点得2p =，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=． 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-． 由AF mFB =，得12y my =-．解得21y y ==-21y y ==，121,x m x m ∴==．12125||2,44AB x x p m m m ∴=++=++=∴=． 故选：C ． 【点晴】方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.4．D解析：D 【分析】设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++， 求出AB 中点N 的坐标，写出MN的方程，由MN =MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．【详解】由题意(,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++=， 2122(2)p k x x k++=，2124p x x =， 221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 2122(2)22N x x p k x k ++==，22()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线MN 的方程为1()N N y y x x k-=--，MN =23(12p k k +=，∵AB =，∴22232(1)(12p k p k k k++=， 整理得23k =，∵0k >，∴k =∴倾斜角为60︒． 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．5．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a = 故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：2b y x x a =±=±， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.7．D解析：D 【分析】根据角的关系计算出12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，从而求出渐近线方程为y =，得到ba=. 【详解】因为21221cos 12cos MF F MF F ∠+=∠，故1221cos cos2MF F MF F ∠=∠，即12212MF F MF F ∠=∠，而12213FMF MF F ∠=∠，故12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，则三角形1MFO 为等边三角形，故双曲线C 的渐近线方程为y =，则2e ==，故选D ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．8．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．9．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍） 当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.10．D解析：D 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定． 【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．11．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x 轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x 轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，22c e a ∴==． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点，所以20a ->，即2a >，此时圆半径为44212r a a =-=->． 因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．3【分析】设过的直线为与抛物线交于点过两点作垂直准线于点根据抛物线的定义可得即可求出再联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理即可得到再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为是抛物线的焦点所以准线为设过解析：3 【分析】设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN 垂直准线于M ，N 点，根据抛物线的定义可得CN CF =，AM AF =，即可求出30ABM ∠=︒，6CN CF ==，再联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理即可得到2124p x x =，再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为F 是抛物线22y px =的焦点，所以,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN垂直准线于M ，N 点，所以CN CF =，AM AF =，因为2BA AF =，所以2BA AF =，所以2BA AM =，所以30ABM ∠=︒，又因为4BA =，所以2AM AF ==，且2CN CB BA AF FC BA AM CN ==--=--，所以26CN CN =+，所以6CN CF ==，联立直线与抛物线222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y 得22224p k x px px ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，所以()22222204k p k x k p p x -++=，所以21222k p p x x k ++=-，2124p x x =，又因为1>0x ，20x >，且122p x AM +==，262p x CN +==，所以2212261242244p p p p x x p ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3p =故答案为：3【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．14．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由 解析：3640x y ++=【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2202211k kd k -+-==+，解得3k =±，如图，直线):232AB y x -=-，直线):232AC y x -=--.联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x ++-=，故1683A B x x -=，由2A x =得843B x -=，故236B y -=， 联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x -++=，故1683A C x x +=，由2A x =得843C x +=，故236C y --=， 故236236433B C y y -+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+--，故直线BC 的方程为2361843323y x ⎛--=-- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故答案为：3640x y ++=15．【分析】由题意可知直线的斜率存在且为正数可设直线的方程为设点将直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理可得出代入韦达定理求出的值即可得出直线的斜率为【详解】由于过点的直线与抛物线相交于两点若在第一象 解析：223【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且为正数，可设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可得出212y y =，代入韦达定理求出m 的值，即可得出直线l 的斜率为1m. 【详解】由于过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，所以，直线l 的斜率存在且为正数，设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，可得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m . 由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由于点A 为线段PB 的中点，则212y y =，12183m y y y ∴=+=，183m y ∴=， 22121816223m y y y ⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，可得298m =，0m >，解得4m =，因此，直线l 的斜率为13k m ===.. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.16．2【分析】由双曲线圆的方程确定渐近线方程为圆心为半径为根据圆的相交弦与半径弦心距之间的几何关系有结合双曲线参数间的关系即可求其离心率【详解】由题意知：双曲线的渐近线为而圆心为半径为∴圆心到渐近线的距解析：2 【分析】由双曲线、圆的方程确定渐近线方程为by x a=±，圆心为，半径为2r ，根据圆的相交弦与半径、弦心距之间的几何关系有222||4AB r d -=，结合双曲线参数间的关系即可求其离心率. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线为by x a=±，而圆心为，半径为2r ，∴圆心到渐近线的距离d ==，而2AB =，∴221r d -=，故222123a ab =+，又222,1c a b c e a +==>， ∴2e =. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线、圆的标准方程确定渐近线方程、圆心、半径长，结合圆中相交弦的几何性质及双曲线参数关系，列出关于,a c 的齐次方程求离心率.17．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围 【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率2c e a ==≥=，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：,12⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2 【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，，1cos 4EFP ∠=.由余弦定理()222421cos 224c c c a EFP c c +-+∠==⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.19．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析： 【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan b b BAO CFO a c ∠=∠=，根据离心率可求出b a =，b c=即可求出结果. 【详解】由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b bBAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么b =，极有b a =，b c =5=-．故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO∠=∠+∠；（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c的比值，代入可求.20．【分析】分别过作准线的垂线利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离利用已知和相似三角形的相似比建立关系式求解可算得弦长【详解】设可知如图作垂直于准线分别于则又解得故答案为：【点睛】1本题体现了解析：16 3【分析】分别过,A B作准线的垂线，利用抛物线的定义将,A B到焦点的距离转化到准线的距离，利用已知和相似三角形的相似比，建立关系式，求解,AF BF可算得弦长.【详解】设242y x px ==，可知2p =如图，作AM ,BN 垂直于准线分别于,M N ，则BN BF =， 又2BC BN =，23CB CF=，23BN p ∴= 43BN =，83BC =，4CF ∴= 2CF AM CA=，244CF AM CA AM ∴==+，解得4AM = 4AF ∴=416433AB AF BF ∴=+=+= 故答案为：163【点睛】1.本题体现了数形结合，解析几何问题，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算2. 抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．三、解答题21．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【分析】（Ⅰ）通过当直线AB 的斜率为0时可知||2AB a =，22||b CD a =，结合12c e a ==，计算即得结论；（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线AB 、CD 的方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得||||AB CD +的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论． 【详解】解：（Ⅰ）当直线AB 的斜率为0时，直线CD 垂直于x 轴，||2AB a ∴=，22||b CD a =，即22||||27b AB CD a a+=+=，12c e a ==，且222a b c =+，解得：2,a b =， 所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意可知，||||7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，∴212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理，2222112(1)12(1)||4343k k CD k k++==++， ∴2222222212(1)12(1)84(1)||||3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++，令21t k =+，则1t >，∴2222848484||||1149(41)(31)121()24t t AB CD t t t t t +===-++---+，1t >，∴101t<<，∴211494912()244t <--+，∴241111494912()24t <--+， ∴24884711497()24t <--+，∴48||||77AB CD +<， 综合①②可知，||||AB CD +的取值范围为：48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2212x y +=；（2）169.【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及离心率求解,a c ，得到b ，即可得到椭圆方程； （2）①当1l x ⊥，2//l x 时，求解四边形的面积；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11xy m=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解四边形的面积，利用基本不等式求解最小值即可.【详解】（1）得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，22122222b S a b a=⋅⋅⋅==；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11x y m=-， 联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=， ∴12222m y y m +=+，12212y y m-=+， ∴AB==)2212m m +=+，同理)22221111122m m CD m m ⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴()()()()()()()222222222222281414111162292212212212m m m S AB CD m m m m m m +++=⋅=⋅=≥=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．当且仅当22221m m +=+即21m =即1m =±时等号成立， 故四边形ACBD 的面积的最小值169． 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合题，解题方法如下： （1）根据题中所给的条件，建立等量关系，求得,a b 的值，得到椭圆方程；（2）对直线的斜率存在与否进行讨论，根据题意利用适当的形式写出直线的方程，分别与椭圆方程联立，求得弦长，根据四边形面积公式求得四边形的面积，利用基本不等式求得最值，与特殊情况比较，得到结果. 23．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QRx =即可求解； （2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以222,p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭ 直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQp PR x k p QR x k ===. ()2因为222,p p A kk ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+， 与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=， 因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=， 所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离. 24．（1）1p =；（2）. 【分析】（1）由已知准线方程可得答案；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得t ，然后利用弦长公式可得答案. 【详解】 （1）由已知得122p -=-，所以1p =； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y x =与y x t =+得2220y y t -+=，480t ∆=->，即12t <时有122y y +=，122y y t =， 因为OA OB ⊥，所以()21212121204y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，可得124y y =-，因为122y y t =，所以2t =-， 则122y y +=，124y y =-， 所以||AB =====【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理计算弦长，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.25．（1）22132x y +=；（2）22y x =±+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点3,22⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出22317S k ==+，求出k 的值得出直线l 的方程.【详解】解：（1，所以2222133b a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭.①又因为椭圆经过点3,22⎛ ⎝⎭，所以有2291142a b +=.②联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y+=.（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+.由222,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx .因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 所以()()()22212242324320k kk∆=-+=->，即2320k ->，所以223k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，122623x x k =+. 由题意得，OAB 的面积1212S OM x x =⨯⨯-12x x =-=，即S == 因为OAB 的面积为17=()2232k =+.化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得234k =或222k =，均满足0∆>，所以k =或k = 所以直线l的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程.26．（1）22182x y +=；（2）20x y +=．【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及222a b c =+列方程组解得,,a b c 得椭圆方程； （2）已知条件说明直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，直线OA 方程为12y x =，这样可设直线PQ 方程为2y x m =-+，代入椭圆方程，应用韦达定理得12x x +，12,x x 即为,P Q 的横坐标，求出中点横坐标1202x x x +=，由直线PA 得中点纵坐标0y ，中点坐标代入直线AO 方程可得参数m ，即直线PQ 方程． 【详解】（1）依题意，22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，，．故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）∵||||,||||OP OQ AP AQ ==，∴直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，则直线OA 的方程为12y x =，设直线PQ 的方程为2y x m =-+， 由221822x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得：221716480x mx m -+-=， ()22(16)417480m m =-⨯->，解得m <()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理得121617mx x +=，设PQ 的中点为()00,H x y ， 所以120008,221717x x m m x y x m +===-+=；所以8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭．又8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上，代入得1817217m m =⋅，解得0m =， 综上所述，直线PQ 的方程为20x y +=． 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件||||,||||OP OQ AP AQ ==得直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线PQ 方程．即求出AO 方程，由垂直设出直线PQ 方程，代入椭圆方程应用韦达定理求得PQ 中点坐标，再代入直线AO 方程可得参数值．。

高二数学选修1-2模块测试题(文科)一、选择题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是 （ ） A ．6B ．21C ．156D ．2318．若=++==+)5()6()3()4()1()2(,2)1()()()(f f f f f f f b f a f b a f 则且（ ） A ．512 B ．537 C ．6 D ．8 4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：（ ）按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 （ ） A ．62n - B ．82n - C ．62n + D ．82n + 5．计算1i1i -+的结果是 （ ） A ．i B ．i -C ．2D ．2-6．已知x 与y 之间的一组数据：则a bx y+=ˆ必过点 （ ）A .(2,2)B .(1,2)C .(1.5,0)D ．(1.5,4) 7．求135101S =++++的流程图程序如右图所示， 其中①应为 （ ） A．101?A = B ．101?A ≤ C ．101?A >…① ② ③D ．101?A ≥7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于09．对相关系数r ，下列说法正确的是 （ ） A ．||r 越大，线性相关程度越大 B ．||r 越小，线性相关程度越大C ．||r 越大，线性相关程度越小，||r 越接近0，线性相关程度越大D ．||1r ≤且||r 越接近1，线性相关程度越大，||r 越近0，线性相关程度越小 10．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A 、B 、C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒，正确顺序的序号为 （ ） A ．①②③B ．③①②C ．①③②D ．②③①11．在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 （ ） A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病 12．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：（ ）①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④13．若定义运算：()()a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，例如233⊗=，则下列等式不能成立．．．．的是 （ ）A ．a b b a ⊗=⊗ B ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗ C ．222()a b a b ⊗=⊗D ()()()c a b c a c b ⋅⊗=⋅⊗⋅（0c >）14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n n S n a =*()n ∈N ，可归纳猜想出n S 的表达式为 （ ）A ．21nn + B ．311n n -+ C ．212n n ++ D ．22nn + 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)1．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物；河狸、狗属于哺乳动物；鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整．2．已知,x y ∈R ，若i 2i x y +=-，则x y -= ． 3．在等比数列{}n a 中，若91a =，则有121217(17n n a a a a a a n -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅<，且)n *∈N 成立，类比上述性质，在等差数列{}n b 中，若70b =，则有 ． 4．观察下列式子：212311+=，313422+=，414533+=，515644+=，，归纳得出一般规律为 ． 三、解答题：(本大题共3小题，共28分)1.（12分）（1）已知方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数根,求实数m 的值。

高中数学（文科）选修1-1第三章导数单元测试题一、选择题(本大题共10小题.每题只有一个正确答案,请把正确答案的选项填在括号内) 1.已知f (x )在x =x 0处可导,则0lim x x →[][]0202)()(x x x f x f --等于A.f ′(x 0)B.f (x 0)C.f (x 0)·f ′(x 0)D.2f (x 0)·f ′(x 0)2.物体运动的方程为s =41t 4－3,则t =5的瞬时速度为A.5B.25C.125D.6253. (2006.安徽高考.理7）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4.对于函数f (x )=x 3－3x 2,给出命题:①f (x )是增函数；②f (x )为减函数,无极值；③f (x )是增函数的区间为(－∞,0)∪(2,+∞),是减函数的区间为(0,2)；④f (0)是极大值,f (2)=－4是极小值.其中正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3个D.4个5.若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于A.6363B.－6363C.32D.32或06.已知函数f (x )=x 3－3x 2－9x ,x ∈(－2,2),则f (x ) A.极大值为5,极小值为－27 B.极大值为5,极小值为－11 C.极大值为5,无极小值D.极小值为－27,无极大值7. （2006.江西高考.理5）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 8.函数f (x )=x (1－x 2)在［0,1］上的最大值为A.932 B.922C.923 D.839.已知f (x )=xx x cos sin sin +,则f ′(4π)等于A.21 B.221C.21 D.－2110.已知函数f (1)=x 2+2xf ′(1),则f (－1)与f (1)的大小关系是 A.f (－1)=f (1) B.f (－1)<f (1) C.f (－1)>f (1)D.无法确定二、填空题(本大题共4小题.把答案填在题中横线上)11.曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中,斜率最小的切线方程为__________.12.已知函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值,在x =3处有极小值,则a =__________,b =__________.13.函数f (x )=x 3－x 的单调增区间为__________.14. （2006·全国高考I ·理16）设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<。

（选修1-2）第一章统计案例——测试题答题时间50分钟，满分100分（命题人：依兰高中 刘 岩）一、选择题（每小题8分，5个小题共40分）1、下列结论正确的是( C )①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。

A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④2、设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x 增加一个单位时（ C ）A.y 平均增加2.5个单位B.y 平均增加2个单位C.y 平均减少2.5个单位D.y 平均减少2个单位3、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( C )A.y ∧=1.23x ＋4B.y ∧=1.23x+5 C. y ∧=1.23x+0.08 D. y ∧=0.08x+1.234、2．下面是一个2×2列联表：则表中a 、b 处的值分别为( A )A ．52、60B ．52、50C ．94、96D ．54、52D ）A.（2，2）点B.（1.5，0）点C.（1，2）点D.（1.5，4）点6、已知回归直线方程 y bx a =+，其中3a =且样本点中心为(12)，，则回归直线方程为（ C ） Ａ．3y x =+ Ｂ．23y x =-+ Ｃ．3y x =-+ Ｄ．3y x =-7、为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校中学生中随机抽取了300名学生，得到如下列联表：你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系的把握有（ B ）Ａ．0Ｂ．95%Ｃ．99%Ｄ．100%8、在回归直线方程 y a bx=+中，回归系数b表示（ D ）Ａ．当0x=时，y的平均值Ｂ．x变动一个单位时，y的实际变动量Ｃ．y变动一个单位时，x的平均变动量Ｄ．x变动一个单位时，y的平均变动量9、如图所示，图中有5组数据，去掉哪组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大(A)A．E B．C C．D D．A10、如下图所示是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出(C)A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比例为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生中不喜欢理科的比例为60%11、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关指数R2则试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性的同学是( D )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12、对于分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k ，下列说法正确的是( B)A ．k 越大，推断“X 与Y 有关系”，犯错误的概率越大B ．k 越小，推断“X 与Y 有关系”，犯错误的概率越大C ．k 越接近于0，推断“X 与Y 无关”，犯错误的概率越大D ．k 越大，推断“X 与Y 无关”，犯错误的概率越小二、填空题：（每小题8分， 2个小题共16分）13、对于线性回归方程 ＝4.75x ＋257，当x ＝28时，y 的估计值为_ 390_______．14、从某地区老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：15、对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为_y_＝－10＋6.5x .____________．16、若两个分类变量X 与Y 的列联表为：则“X 与Y ．三、解答题17．（20分）某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：(1) 求y 关于x 的回归直线方程．(2) 并预测广告费支出700万元的销售额大约是多少万元？ 解：（1）由已知：x ＝5； y ＝50； ∑i ＝15x 2i ＝145； ∑i ＝15x i y i ＝1380 可得b ^＝22i i i x y nx yx nx -⋅-∑∑＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5.所求的回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.（2）由（1）可知：回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.又700万元=7百万元即 x=7时y ^＝6.5×7+17.5=63 （百万元）答：广告费支出700万元销售额大约是6300万元。