第一章行列式第二讲

第二篇线性代数目录第一讲行列式（1-11）第二讲矩阵及其运算（12-31）第三讲向量（32-51）第四讲线性方程组（52-75）第五讲矩阵对角化（76-99）第六讲二次型（100-118）第一讲行列式考纲要求1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.问题1.1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？答行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数，这个数从不同的角度反映了方阵的性质. 行列式在线性代数中有广泛应用，请看下面的定理.定理1 设A为n阶方阵，则下列命题等价：⑴0A≠（A非奇异）；⑵A可逆；⑶存在方阵B，使得A B EB A E；=或者=⑷A可表示为有限个初等方阵的乘积；⑸()r n（A满秩）；A=⑹A的特征值全不为零；⑺A的行（列）向量组线性无关；⑻A x=0只有零解；⑼A x b=有惟一解；⑽TA A为正定矩阵.定理2设A为n阶方阵，则下列命题等价：A=（A奇异）；⑴0⑵A不可逆；⑶()r nA；<⑷0是A的一个特征值；⑸A的行（列）向量组线性相关；⑹A x=0有非零解；=有无穷多解或者无解.⑺A x b▲上述定理反映了行列式与矩阵的可逆性、矩阵的秩、矩阵的特征值、向量组的线性相关性、线性方程组之间的联系，随着复习的深入，要加深对定理的理解，理顺知识间的关系，打开解题思路.问题1.2 余子式、代数余子式答 划去n 阶行列式中元素ij a 所在的第i 行、第j 列留下的1n -阶行列式称为元素ija 的余子式，记作ij M ，并称(1)i jij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式. 由定义知，余子式ij M 和代数余子式ij A 与第i 行、第j 列的元素的取值无关.例题设4521011130112101--=D ，求41424344A A A A +++；41424344.M M M M +++解 （方法一）根据定义计算（略）.（方法二）41424344A A A A +++是将行列式第四行的元素全部改为1，然后按第四行展开的展开式，得414243441012101210111031103110111101110111111101--+++===-=-A A A A ， 类似可得414243444142434410121103511101111-+++=-+-+==---M M M M A A A A .问题1.3 行列式的性质 答 行列式的性质有⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来；⑷两行成比例，行列式为零；⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和；⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变.▲⑴由性质⑴知，行列式对行成立的性质，对列也成立. ⑵利用行列式的性质，可以简化行列式的计算.问题1.4 行列式按一行（列）展开公式 答 1122i i i i in in a A a A a A =+++A （按第i 行展开）1122j j j j nj nj a A a A a A =+++A （按第j 列展开）▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠ ；一列元素与另一列对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠ .问题1.5 如何计算数字、字母型行列式？ 答 数字、字母型行列式的计算方法有⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷数学归纳法； ⑸公式法. ▲常用公式有：公式1 上（下）三角形行列式 112212************n nna a a a a a a a a ==.公式2 关于副对角线的上（下）三角形行列式 11(1)22212******(1)******n n n nna a a a a a a a a -==-.公式3 范德蒙德行列式 12111112111()n i j j i nn n n nx x x x x x x x ≤<≤---=-∏.▲计算行列式时，根据行列式的特点（例如行和相等、爪形、可化为爪形、三对角等），采用适当的变形方法，可以简化运算.常用变形方法⑴把某一行（列）的倍数加到其余各行（列）；⑵把其余各行（列）的倍数加到某一行（列）； ⑶把上一行（列）的倍数加到下一行（列）.例题1.设方阵3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且0λ-=A E ，求λ的值. 解 【求矩阵的特征值，关键是计算特征多项式λ-A E 】322122101423123k k k λλλλλλλλ-----=---=-------A E212201(1)(1)001k λλλλλ--=--=---=--，故1231,1λλλ==-=.2.求方程0347534453542333322212223212=---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 的根.解 【关键是计算左端四阶行列式】212321012221222322101333245353312244357434373x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx ------------=-------------210022100212155033121221764376x x x x x x x x x x xx ()-----===--+=---------，故0x =或者1x =.3.设63121024221421)(++--=x x xx x xx f ，证明0)(='x f 有小于1的正根.解 【用罗尔定理】f x ()是一个多项式，它在01[,]上可导，且01241224002012136f ()==，112411*********147f ()==，由罗尔定理知，0)(='x f 有小于1的正根.4.计算行列式1111111111111111--+---+---=x x x x D .解 【行和相等，首先将第2、3、4列加到第1列】12341111111111111111111111111111c c c c x xx x x x D x x x x x+++-----+--+-==----+----2131414334211111001111100(1)111110011111c c c c c c x x x x xx x x x x x +-⨯+---+-===⋅-=----.5.计算43211001001111a a a a D =，其中0432≠a a a .解 【爪形行列式，将第2、3、4列的适当倍数加到第1列，化为上三角行列式】112342233441111111111000001000001a a a a a a a D a a a a ---==2341234111a a a a a a a ()=---.6.计算43214321432143214321++++=a a a a a a a a a a a a a a a a D .解 【除对角元外，各行元素相同，只要将第2、3、4行减去第1行，就化为爪形】12341234123412341234112120031030414a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a +++-==+-+-32414!(1)234a a a a =++++.▲除对角元外，各行元素成比例的行列式，都可以化为爪形行列式.7.计算22221111000000c d a b d c b a D =.解 （方法一 多零，按第一行展开）111111111212222222220000000000000a b c d c d c d D a a b b b a d c d c d c ==+ 12121212121212121212()()()()a a c c d d b b c c d d a a b b c c d d =---=--.（方法二）23231111111111222222112222220000000000000000000c c r r a b a b a b cd c d b a D b a b a c d d c d c d c ↔↔==-=12121212()()a a b b c c d d =--.8.计算12564271625169454321111=D .解 【利用行列式的拆分性质和范德蒙德行列式】1111111101112345234503454916254916250916251627641258276412582764125D ==+32425243535484353544()()()()()()()()()=----------=-.9.计算abbb a b b b a D n=.解 （方法一）各行元素之和相等，各列加到第一列，再化为上三角形行列式：1111n a b b b b b a b a b D a n b bba ba[()]==+-1100110n bb a b a n b a n b a b a b[()][()]()--=+-=+---.（方法二）各行减去第一行，化为爪形行列式：n a b b b a b D bba =1010n a b b b a a b a n b a b b aa b[()]()---==+----.10.设()ij a =A 为n 阶矩阵，其中ij a i j =-，求A .解 从第n 行开始，依次用下面一行减去上面一行，再把第n 列加到前面各列，化为上三角行列式：01221012211013211111210431111123401111111231011111A ---------------==--------n n n n n n n n n n n n n n12112310222100221(1)(1)200021001---+---------==-----n n n n n n n n .11.abcdb a dc cd a b d c b a D ------=.解 【T DD 为对角行列式】T0000000000ab c d a b c d k b a d cba d c k D Dc d a b c d a b k dcba dcba k------==------，其中2222k a b c d =+++， 故222224()D a b c d =+++，又D 的展开式中4a 的系数为1，所以22222()D a b c d =+++.12.计算aa a a a a a a a D ---------=111100011000110001.解 【这是一个三对角行列式，可以用下面三种方法计算】（方法一）按第一行展开（这是计算三对角行列式的基本方法）5111243(1)(1)D D a A aA a D aD ==-+=-+一般地，有递推公式12(1)n n n D a D aD --=-+，11D a =-，221D a a =-+，23321(1)1D a D aD a a a =-+=-+-，234432(1)1D a D aD a a a a =-+=-+-+， 2345543(1)1D a D aD a a a a a =-+=-+-+-.（方法二）化为三角形行列式，为此，先将行列式拆分成两个行列式之和：510000001100010001100110001100110001100011aa a aa a a D D a a a a a a a a a a----==+------------1000000010010000100110000100110010011a a a a a a a a a a a a a--=+------2234543211(1)1(1)1aD a aD a a aD a a a a a =-=--=-+-=-+-+-.问题1.6 如何计算抽象行列式？答 计算抽象行列式，除了掌握行列式的性质，还必须熟记关于矩阵行列式的结论：⑴若A 为n 阶矩阵，则nk k=A A .⑵若A 为n 阶矩阵，则T =A A ，1*n -=A A .⑶若A 为n 阶可逆矩阵，则11--=A A.⑷若A ，B 为n 阶矩阵，则AB A B =⋅.⑸若A 为n 阶矩阵，(1,2,,)i i n λ= 是A 的特征值，则12A λλλ= n . ⑹设A ，B 分别为m 阶，n 阶矩阵，则==⋅A C A O A B OB CB，(1)m nC A O A A B BO BC ==-⋅.例题1.设123,,,,αααβγ都是4维列向量，且123,,,a αααβ=，321,,,b βγααα+=，1232,,,γααα= .解 【用拆分性质】123,,,a αααβ=，321321321,,,,,,,,,bβγαααβαααγααα+=+=321321,,,,,,b b a γαααβααα⇒=-=-，故1231232,,,2,,,2()a b γαααγααα==-.2.设123,,2ααα=，则112123,2,23αααααα+++= .解 【用倍加性质】1121231223,2,23,2,23αααααααααα+++=+123123,2,36,,12αααααα===.3.设123,,ααα都是3维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，那么B = .解 【用倍加性质】123123123,24,39B =++++++ααααααααα1232323123233,3,28,3,2ααααααααααααα=++++=+++12323312231232,3,2,,2,,2=+++=+==ααααααααααααα.4.设A 与B 均为n 阶矩阵，2,3==-A B ，则*12A B -= .解 2111*1*122223A BABA B -----===-n n nn.5.设A 为3阶方阵，且2A =，则1*(2)A A --= .解 1*1*1(2)2A A A A ---=-**112A A A=-2*3*333327()()44416A A A=-=-=-=-.6.设210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，则B = . 解 3=A ，**3===AA A A A E E ，用A 右乘**2ABA BA E =+，得36A B B A =+，(36)A E B A -=，36A E B A -=，030363002703A E --=-=-，故19B =.7.设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2A B A B -==+=，则1A B -+= .解 【用矩阵乘积的行列式】111()()---+=+=+=+B A B B A E B A A A B A A ，取行列式，得11--+=+B A B B A A ，将13,2,2A B A B -==+=代入上式，得13-+=A B .8.设A 为3阶方阵，且,2,2A E A E A E --+均不可逆，则A = .解 【用特征值】,2,2A E A E A E --+均不可逆⇒10,20,2802A E A E A E A E -=-=+=+=，11由特征方程0A E λ-=知，A 的特征值为11,2,2-，故112()12A =⨯⨯-=-.9.设4阶方阵A 与B 相似，A 的特征值为51,41,31,21，则1B E --= . 解 A 与B 相似⇒A 与B 有相同的特征值⇒B 的特征值为51,41,31,21⇒1B E --的特征值为1,2,3,4，故1123424B E --=⨯⨯⨯=. 10.设A 与B 相似，001020300B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A E -＝ . 解 （方法一）A 与B 相似⇒A 与B 有相同的特征值201020(2)(3)30B E λλλλλλ-⎛⎫⎪-=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭， B的特征值为故A的特征值为2,A E -的特征值为1,1故11)(1)2A E -=⨯⨯=-.（方法二）A 与B 相似，则A E -与B E -相似，故A E -101010231B E -=-==--. 11.设A ,B ,C 都是行列式为2的3阶方阵，求12()3OAB C--.解 【关于副对角线的分块下三角行列式】33131321127(1)()(1)22238()()333⨯---=--=--==O A A B AAB CBB.。

第一单元 行列式的定义一、学习目标通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．二、内容讲解行列式 行列式的概念什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。

即2153-称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用ija 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ，512=a ，121-=a ，222=a ．再看一个算式075423011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为–1，2，-7；元素423=a ，531=a又如1321403011320---，是一个四阶行列式．而11a 的代数余子式为()07421111111--=-=+M A代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．()43011322332-=-=+M A问题思考：元素ija 的代数余子式ijA 是如何定义的？ 代数余子式ijA 由符号因子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ijji ijM A +-=1三、例题讲解例题1：计算三阶行列式542303241---=D分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．解：()()()5233145430112111---⋅-+--⋅=++D ()42031231--⋅++7212294121=⋅+⋅+⋅=四、课堂练习计算行列式hg f ed c b a D 00000004=利用n 阶行列式的定义选择答案．将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算．注意在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中对应的两项不用写出来了．4D =⋅-⋅+11)1(a h f ed c 00+41)1(+-⋅b 000g f ed c ⋅五、课后作业1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A（1）210834021-- （2）3405122010141321---2．计算下列行列式（1）622141531-- （2）612053124200101---3．设00015413010212014=D（1）由定义计算4D ；（2）计算2424232322222121A a A a A a A a +++，即按第二行展开； （3）计算3434333332323131A a A a A a A a +++，即按第三行展开；（4）按第四行展开．1．（1）1021)1(32--+ （2）305120121)1(32---+2．（1）20 （2）243．（1）1 （2）1 （3）1 （4）1第二单元 行列式的性质一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．二、内容讲解 行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式D 中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D 的转置行列式，记为TD ．如987654321=D ,963852741T =D1．行列式的行、列交换，其值不变．如264536543-==这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．2．行列式的两行交换，其值变号．如243656543-=-=3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如d c b a dc ba333=注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上2113-- 5513-=注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换． 问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关系？答案设n 阶行列式nD ，若将nD 的最后一行轮换到第一行，得另一个n 阶行列式nC ，那么这两个行列式的值的关系为： n C =n nD 1)1(--问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？ 答案按顺序将公因子提出.三、例题讲解例1计算行列式dc b a 675081004000--.分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．解：dc b a 675081004000--=dc b a 670800-=d c ab 60=abcdÀ+2Á我们将行列式中由左上角至右下角的对角线， 称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式． 由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积． 同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．例2 计算行列式4977864267984321----分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．解：4977864267984321----497700067984321----= 0例3 计算行列式2211132011342211----分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．解：2211132011342211---- 2411142010342011---Â+Ã111142010342011----=111134211)1(433-----⨯+1101312104----⨯=1121)1(412----⨯+12)21(4=---=通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．三、课堂练习练习1 若d a a a a a a a a a =333231232221131211，求行列式232221131211313231222333a a a a a a a a a ---利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．练习2 计算行列式540554129973219882310391----由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和， 再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两À+Á项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．五、课后作业1．计算下列行列式（1）75701510--- （2）253132121-（3） ww w w ww22111 (0≠w ) （4）38790187424321--2．证明（1）0=---------cb b a ac b a a c c b a c c b b a （2）()32211122b a b b a a b ab a -=+1．（1）0 （2） -2 （3） 22)1(--w w （4）02. （1）提示：利用性质5，将第一行化成零行．（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．第三单元 行列式的计算一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．二、内容讲解行列式的计算行列式=按任何一行（列）展开 下面用具体例子说明．d c b a =bc ad -1156)1(5232153=+=-⋅-⋅=-一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．75423011--可以按任何一行（列）展开按第一行展开=752300543107421-⨯+⨯+-⨯=02028+-=8 按第三列展开=231107511475230-⨯+--⨯--⨯=0)57(40++-⨯-=8注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．问题：试证 2222222211110000d c b a d c b a d c b a d c dc b a b a =答案左边=222211122222111100)1(00)1(d c b a b a bc d c b a d c d a ++-+-222211)1(d c b a ad +-=222211)1(d c b a cb +--22222222)(d c b a d c b a d c b a cb ad =-==右边三、例题讲解例 计算行列式214200131000211---分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．解：按第三行展开214200131000211---=214100211)1(2021315021)1(14313----⨯+----⨯++=1411)1()1(22121)1(33232--⨯-⨯----⨯++==10)41(2)22(3-=+--⨯-四、课堂练习练习1 计算行列式dcb a 100110011001---根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和．因为行列式第一行有较多的零元素，所以可采用“降阶法”，即先按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和，然后再计算两个三阶行列式降阶，最后求出结果．dcb a 100110011001--- =dcd cb a 101011101101-----练习2 计算行列式24524288251631220223------为了避免分数运算，先作变换“第一行加上第二行的2倍，即À+Á 2；第三行加上第二行的-2倍，即Â+Á(-2)；第四行加上第二行的-2倍，即Ã+Á(-2)”．该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”的方法进行计算．注意尽量避免分数运算．21524288251631220223------111042011631212401----五、课后作业1．计算下列行列式：（1）881441221---- （2）4222232222222221À+Á2 Â+Á(-2（3） 4321651065311021 （4）00312007630050131135362432142．计算n阶行列式xaaa x a a a x/media_file/jjsx/4_1/3/khzy/khzy.htm - #1．（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-3402. ])1[()(1x a n a x n +---第四单元 克拉默法则一、学习目标克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．二、内容讲解克拉默法则设n 个未知数的线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）记行列式nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=称为方程组（1）的系数行列式．将D 中第j 列的元素njj j a ,,a ,a 21分别换成常数n b ,,b ,b 21而得到的行列式记作jD ．克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数行列式0≠D ，那么它有惟一解D D x D Dx D D x n n ===,,,2211 （2）证将（2）式分别代入方程组（1）的第i 个方程的左端的nx x x ,,,21 中，有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211（3）将（3）中的jD 按第j 列展开， 再注意到j D中第j 列元素的代数余子式和D 中第j 列元素的代数余子式ij A是相同的， 因此有),,2,1(2211n j A b A b A b D njn j j j =+++= （4）把（4）代入（3），有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211(){1121211111n n i i i A b A b A b A b a D+++=()222221212n n i i i A b A b A b A b a ++++…+…()}nn n in i n n in A b A b A b A b a ++++2211把小括弧打开重新组合得(){()()()}i nn in n i n i n in in i i i i i n in i i n in i i b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b D=+++++++++++++++++=2211221122222112112211111因由性质6和性质7⎩⎨⎧=≠=+++k i D ki A a A a A a kn in k i k i 02211 故上式等于i b ，即i n in i i b D D a D Da D D a =+++ 2211下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设nn c x c x c x ===,,,2211为方程组（1）的任意一组解．于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111 （5）用j A 1，j A 2，…j n A 分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n 个等式，再把n 个等式两边相加，得++++11221111)(c A a A a A a nj n j j +++++j nj nj j j j j c A a A a A a )(2211n nj nn j n j n c A a A a A a )(2211++++ njn j j A b A b A b +++= 2211根据性质6和性质7，上式即为),,2,1(n j D c D j j ==因为0≠D ，所以),,2,1(n j DD c j j ==克拉默法则有以下两个推论：推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ， 那么 它只有零解．推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式0=D ． 问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？答案 不对．当线性方程组中的未知量个数与方程个数不一样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．三、例题讲解例 利用克拉默法则解下列方程组⎩⎨⎧-=-=+-7526432121x x x x分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解． 解：因为系数行列式()()24535243⨯--⨯-=--=D 07815≠=-= 且257461-=--=D ，972632=--=D ，所以7211-==D D x ，7922==D D x四、课堂练习k 取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解．⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=++0211321321321x x x x kx x kx x x对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即Á+À；第三行加上第一行的-1倍，即Â+À(-1)”．这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D ≠0时，方程组有唯一解．所以，先求系数行列式的值．2111111--=kk Dkk k k --++2211011五、课后作业用克莱姆法则解下列方程组1.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=-12 142 23232121x x x x x x x 2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=+-+=---=+++422222837432143214314321x x x x x x x x x x x x x x x 1．31=x ，42=x ，233-=x ，2. 21-=x ，3352=x ，2103=x ，204-=x。