虹口区2013学年度第二学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷(理科)

虹口区2014学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷时间120分钟，满分150分 一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：20151+1i i =+____.（i 是虚数单位） 2、已知函数()()()132,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()()3f f -=___. 3、函数()()1ln 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数()1f x -=_______.4、已知正实数,x y 满足31x y +=，则13xx y+的最小值为___________.5、已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且z =，且当θ为钝角时，tan θ=_______. 6、在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_________种.7、设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13N n n a S n +=∈，则n S =_________. 8、在极坐标系中，过点4π⎫⎪⎭且与圆2cos ρθ=相切的直线的方程为_______________.9、若二项式6x ⎛- ⎝展开式中含2x 项的系数为52，则()2lim 1n n a a a →∞++++=L __________.10、若行列式()51sin 0cos 24x x ππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1行第2列的 元素1的代数余子式为1-，则实数x 的取值集合为___________.11、如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形， 则双曲线的实轴长为__________.12、随机变量ξ的分布列为其中,,a b c 成等差数列，若13E ξ=，则D ξ=_________.13、已知向量,a b r r ，满足2a b a b ==⋅=r r r r ，且()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则2b c -r r的最小值为_______.14、若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________.二、选择题（本题共4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15、设全集R U =，已知2302x A x x ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B. (]1,2-C. (]2,3D. [)2,316、设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件17、如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分18、已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（ ）三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19、（本题满分12分）本题共2小题，第1小题5分，第2小题7分. βαP BA D C已知函数()log a f x b x =+（0a >且1a ≠）的图像经过点()8,2和()1,1-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()()()21g x f x f x =+-，求()g x 的最小值及取最小值时x 的值. 20、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.在如图所示的几何体中，四边形CDPQ 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，且90BAD ADC ∠=∠=o ，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，PD =.（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，经过村庄A 有两条夹角60o 为的公路,AB AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米）.记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来； （2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第2小题6分. 已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限， 若122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由. 23、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题6分，第2小题6分，第2小题6分.已知数列{}n a 满足：121a a ==，且()*22N n n n a a n +-=∈，设3n n b a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，是否存在连续的三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项； 若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列{}n b 中，一定存在正整数(),1k l k l <<，使得1,,k l b b b 构成等比数列； 并求出,k l 之间的关系.虹口区2014学年度第二学期高三年级语文学科教学质量监控测试卷时间120分钟，满分150分 考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须写在答题纸上，A BCQPD M M B P N C做在试卷上一律不得分。

虹口区2011学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷（理科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}2≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x x B ，则=⋂B A ． 2、数列{}n a 的前n 项和32-+=n n S n ，则通项公式=n a ．3、直线05=+-y x 被圆044222=---+y x y x 所截得的弦长等于 ．4、各项都为正数的等比数列{}n a 中，11=a ，)11(273232a a a a +=+，则通项公式=n a ．5、以O 为起点作向量，，终点分别为A 、B ．2=5=，6-=⋅，则A O B∆的面积等于 ．6、过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于A ，B两点，若10=AB ，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于 ．7、若P ，Q 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 的三等分点，则=∠PCQ tan ．8、不等式a ax x ->-32对一切43≤≤x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9、执行右边程序框图，输出的=T ．第9题10、在极坐标系中，由三条直线0=θ，4πθ=，2sin 2cos =+θρθρ围成图形的面积等于 ． 11、从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若ξ表示取出后的得分，则=ξE ．12、关于x 的方程0922=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a ．13、公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于 ．14、定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 ．二、选择题（每小题4分，满分16分）15、给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面α内无数条直线垂直”的（ ）.A 充要条件 .B 充分非必要条件 .C 必要非充分条件 .D 既非充分又非必要条件16、如果i +2是关于x 的实系数方程02=++n mx x 的一个根，则圆锥曲线122=+n y m x 的焦点坐标是（ ）.A )0,1(± .B )1,0(± .C )0,3(± .D )3,0(±17、已知：函数⎩⎨⎧>+-≤<=)9(11)90(log )(3x x x x x f ，若a ，b ，c 均不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ⋅⋅的取值范围是（ ）.A )9,0( .B )9,2( .C )11,9( .D )11,2(18、已知：数列{}n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+，则n a n 的最小值为（ ） .A 8 .B 7 .C 6 .D 5三、解答题（满分78分）19、（本题满分14分）已知：四棱锥ABCD P -，底面ABCD 是边长为2的菱形，⊥PA 平面ABCD ，且2=PA ，︒=∠60ABC ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．（1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求二面角C AE F --的大小．20、（本题满分14分）已知：函数x x x p x f ωωω2cos cos sin )(-⋅=)0,0(>>ωp 的最大值为21，最小正周期为2π． （1）求：p ，ω的值，)(x f 的解析式；（2）若ABC ∆的三条边为a ，b ，c ，满足bc a =2，a 边所对的角为A ．求：角A 的取值范围及函数)(A f 的值域．21、（本题满分16分）数列{}n a 中，0>n a ，1≠n a ，且1231+=+n n n a a a （*∈N n ）． （1）证明：1+≠n n a a ；（2）若431=a ，计算2a ，3a ，4a 的值，并求出数列{}n a 的通项公式； （3）若a a =1，求实数p （0≠p ），使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a p 成等比数列．FD CE B A P22、（本题满分16分）已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；（3）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间D n m ⊆],[，同时满足： ①)(x f 在],[n m 内是单调函数；②当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ． 则称],[n m 是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”． （2）已知：函数xa x a a y 221)(-+=（0,≠∈a R a ）有“和谐区间”],[n m ，当a 变化时，求出m n -的最大值．（3）易知，函数x y =是以任一区间],[n m 为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的x y =及形如axc bx y +=的函数为例）赠送以下资料《背影》教学设计【教学目标】知识与能力：学习本文选取动人情景，生动描写人物，以情感人的方法。

虹口区2013学年度第二学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷（理科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ． 2、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .3、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin A B C =，则最大角等于 ．4、已知函数()y f x =是函数xy a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．5、复数z 满足11z i i i=+，则复数z 的模等于_______________．6、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ．7、抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中， 数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率．．是 ． 9、已知(12)n x -关于x 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .10、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ．11、椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124F F =，则a 等于 ．12、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅= ，0AC AD ⋅= ，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .13、在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅ ，向量AM的终点M 在∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．14、对于数列{}n a ，规定{}1n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+∆=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列{}n a 有11=a ，22a =，且满足2120()n n a a n N *∆+∆-=∈，则14a = ． 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 与圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件16、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<17、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 218、函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） .A 8 .B 9 .C 10 .D 11AB三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角； （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．20、（本题满分14分）已知函数()2()cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．（1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.21、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变． （1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； （2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？x22、（本题满分16分）函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．23、（本题满分18分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．D OCBAMP虹口区2013学年高三年级二模数学答案（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、(1,2)-； 2、4； 3、43π； 4、2()log f x x =； 5； 6、3； 7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α；111+； 12、2； 13、304m <<； 14、26 ；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又PO ==，MD ∴=43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos MD DMC MC ∠==∴DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos 37MD DMC MC ∠==，∴arccos37DMC ∠= 综上异面直线MC 与PO所成的角等于arccos13或arccos 37．………………8分 （2） 三棱锥M ACO -的高为MDM ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分 又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分21、（14分）解：（1）………………………………2分当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =．∴21,120220,21n n n n Na n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分 而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n N b n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++-- 216843444n n =-+-………………………………11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得3416.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =M≥，∴2MM ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………4分 （2） 1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x=+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x ≤+=+，此时当1x =±时，1x x+取得最小值2，∴2M ≤．…………………………7分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<， ()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x<，∴()f x b=不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数．x由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分23、（18分）解：（1）由222202y k x b x p k xp b x p y =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分设切线方程为y kx m=+，由222202y k x m x p k x p mx p y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pkC pk …………4分 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x （2） 22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p-=．………8分232211122216ABCpk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………12分（本小题也可以求AB h =，切点到直线l 的距离2d ==，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C hx x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h，可得31816ACE BCF h S S p ∆∆==⋅．……14分记3116ABCh a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a的无穷项和，此数列公比为14．所以封闭图形的面积3114131214a hS ap===-…………………………18分。

虹口区2013学年度第二学期高三年级数学学科高考练习试卷（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、θ是第二象限角，则2θ是第____________象限角.2、复数z 满足1z z i -=-，则此复数z 所对应的点的轨迹方程_____________.3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈，}{22B x m x x =-≤≤+，若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为___________.4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们 的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、 圆锥、球的体积之比为___________.5、已知1tan 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛+ ⎪⎝⎭的值为_________. 6、定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时，()()22xf x a x b =+++（,a b 为常数），则()10f -的值为__________.7、公差不为零的等差数列{}n a 中，237110a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则1213b b b ⋅等于_________.8、已知等差数列{}n a 的通项公式为=35n a n -，则()()()567111x x x +++++的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第_________项.9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合，若直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，曲线C 的参数方程为()2cos 1cos 2x R y θθθθ=⎧∈⎨=+⎩为参数，且，则直线l 与曲线C 的交点的直线坐标为__________.10、一个口袋有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有__________种.11、棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为__________.12、P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M N 、分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于___________.13、设,x y 为实数，且满足：()()22014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，则x y +=_________.14、在区间[]0π，上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为___________.二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知θ为实数，若复数)sin 211z iθθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（ ）A.2B.0C.-2D. 2i -16、“1a =”是“函数()(),f x x a b a b R =-+∈在区间[)1,+∞上为增函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件17、如果函数()f x 在[],a b 上的最大值和最小值分别为M m 、，那么()()()b am b a f x M b a -≤≤-，根据这一结论求出2212x --的取值范围（ ）A. []0,3B. 3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 33,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦18、如图，已知点()2,0P ，正方形ABCD 内接于222O x y +=：，,M N 分别为边AB BC 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心OPM ON ⋅的取值范围（ ）A. []1,1-B. ⎡⎣C. []2,2-D. ⎡⎢⎣⎦三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -底面ABCD 直角梯形，AB CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD上一点，1=2=3AB AD AA ，，=3CP ，=1PD . （1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角；（2）求证：11PB BCC B ⊥面.20、（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：112,43n n a a a n λ+==+-，()()1321nn n b a n =--+，其中λ为实数，n 为正整数.（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.21、（本题满分14分）如图：C D 、是两个小区所在地，C D 、到一条公路AB 的垂直距离分别为=1,2.CA km DB km =AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A C 、的张角与P 到B D 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部分将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C D 、所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC1C 1D 1A D P1BA BA22、（本题满分16分）阅读：已知()0,,1a b a b ∈+∞+=、，求12y a b=+的最小值. 解法如下：()1212233b a y a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2b aa b =，即1,2a b == 则12y a b=+的最小值为3+应用上述解法，求解下列问题：（1）已知()0,,1a b c a b c ∈+∞++=、、，求111y a b c=++的最小值; （2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值; （3）已知正数123123,1n n a a a a a a a a ++++=、、，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++. 23、（本题满分18分）已知函数()25bf x ax x=++（常数a b R ∈、）满足()()1114f f +-=.（1）求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性； （2）若()f x 在区间(,-∞上单调递减，求b 的最小值;（3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225n a a a a q q q q =+++++成立.。

虹口区2011学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷（理科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}2≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x xB ，则=⋂B A ．2、数列{}n a 的前n 项和32-+=n n S n ，则通项公式=n a ．3、直线05=+-y x 被圆044222=---+y x y x 所截得的弦长等于 ．4、各项都为正数的等比数列{}n a 中，11=a ，)11(273232a a a a +=+，则通项公式=n a ．5、以O 为起点作向量a ，b ，终点分别为A 、B ．2=5=，6-=⋅b a ，则A O B ∆的面积等于 ．6、过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10=AB ，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于 ．7、若P ，Q 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 的三等分点，则=∠PCQ tan ．8、不等式a ax x ->-32对一切43≤≤x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9、执行右边程序框图，输出的=T ．第9题10、在极坐标系中，由三条直线0=θ，4πθ=，2sin 2cos =+θρθρ围成图形的面积等于 ．11、从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若ξ表示取出后的得分，则=ξE ．12、关于x 的方程0922=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a ． 13、公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于 ．14、定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 ．二、选择题（每小题4分，满分16分）15、给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面α内无数条直线垂直”的（ ）.A 充要条件 .B 充分非必要条件 .C 必要非充分条件 .D 既非充分又非必要条件16、如果i +2是关于x 的实系数方程02=++n mx x 的一个根，则圆锥曲线122=+ny m x 的焦点坐标是（ ）.A )0,1(± .B )1,0(± .C )0,3(± .D )3,0(±17、已知：函数⎩⎨⎧>+-≤<=)9(11)90(log )(3x x x xx f ，若a ，b ，c 均不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ⋅⋅的取值范围是（ ） .A )9,0( .B )9,2( .C )11,9( .D )11,2(18、已知：数列{}n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+，则na n的最小值为（ ） .A 8 .B 7 .C 6 .D 5三、解答题（满分78分） 19、（本题满分14分）已知：四棱锥ABCD P -，底面ABCD 是边长为2的菱形，⊥PA 平面ABCD ，且2=PA ，︒=∠60ABC ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．（1）求四棱锥ABCD P -的体积； （2）求二面角C AE F --的大小．20、（本题满分14分） 已知：函数x x x p x f ωωω2cos cos sin )(-⋅=)0,0(>>ωp 的最大值为21，最小正周期为2π． （1）求：p ，ω的值，)(x f 的解析式；（2）若ABC ∆的三条边为a ，b ，c ，满足bc a =2，a 边所对的角为A ．求：角A 的取值范围及函数)(A f 的值域．21、（本题满分16分）数列{}n a 中，0>n a ，1≠n a ，且1231+=+n n n a a a （*∈N n ）．（1）证明：1+≠n n a a ； （2）若431=a ，计算2a ，3a ，4a 的值，并求出数列{}n a 的通项公式； （3）若a a =1，求实数p （0≠p ），使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a p 成等比数列．FD C EB A P22、（本题满分16分）已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；（3）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间D n m ⊆],[，同时满足：①)(x f 在],[n m 内是单调函数；②当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称],[n m 是该函数的“和谐区间”． （1）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”． （2）已知：函数xa x a a y 221)(-+=（0,≠∈a R a ）有“和谐区间”],[n m ，当a 变化时，求出m n -的最大值．（3）易知，函数x y =是以任一区间],[n m 为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的x y =及形如axcbx y +=的函数为例）虹口区2010学年度第二学期高三年级数学学科DEB教学质量监控测试卷答案（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、{}12<≤-x x ； 2、⎩⎨⎧≥=-)2(2)1(1n n n ； 3、2； 4、13-n ；5、；46、；47、；438、；3<a 9、；30 10、32； 11、57； 12、3； 13、16； 14、1 二、选择题（每小题4分，满分16分）15、B ； 16、D ； 17、C ； 18、B ； 三、解答题（满分78分） 19、(14分)（1）334=-ABCD P V …………4分 （2）取AC 的中点O ，连接FO ， F 为PC 中点，PA FO //∴且PA FO 21=，又⊥PA 平面ABC D ，∴⊥FO 平面ABC D ．……………………6分过O 作AE OG ⊥于G ，则FG O ∠就是二面角C AE F --的平面角．…………………………8分 由1=FO ，21=GO ，得二面角的大小为2arctan ………………14分20、（14分）（1）21)1arctan 2sin(21212cos 212sin 2)(2--+=--=p x p x x p x f ωωω， 由222πωπ=，得2=ω………………2分 由2121212=-+p 及0>p ，得3=p ………………4分 ∴21)64sin()(--=πx x f …………6分（2）212222cos 22222=-≥-+=-+=bc bc bc bc bc c b bc a c b A ．………………8分 A 为三角形内角，所以30π≤<A ………………10分67646πππ≤-<-∴A ，1)64sin(21≤-≤-πA ，21)(1≤≤-∴A f …………14分 21、（16分）（1）若1+=n n a a ，即n n na a a =+123，得0=n a 或1=n a 与题设矛盾， ∴1+≠n n a a ……4分（2）1092=a ，28273=a ，82814=a …………6分（错一个扣1分，错2个全扣） 解法一：用数学归纳法，先猜想133+=n nn a ，再用数学归纳法证明．…………10分解法二：，由32)1(3111+=+n n a a ，得)11(31111-=-+nn a a ， ∴数列}11{-n a 是首项为31111=-a ，公比为31的等比数列，n n a )31(11=-∴，得133+=n nn a …………10分（3）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a p 成等比数列，公比为q ，则q a p pa p a a p a a p n n nn n n =+++=++++)(3)32(11， 即p pq a q p n -=+-3)332(………………14分由0≠p ，∴{}n a 不是常数列，⎩⎨⎧=-=+-∴0)13(0332q p q p ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=311q p ，此时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a p 是公比为31的等比数列………………16分22、（16分）（1）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+y x ……………………4分 （2）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ……………………8分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分）直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ……………………10分（3）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ．………………14分解得67=k ，此时（*）方程0>∆，∴存在67=k ，满足题设条件．…………16分23、（18分）（1）设],[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-⊆n m 或),0(],[∞+⊆n m ，故函数xy 53-=在],[n m 上单调递增． 若],[n m 是已知函数的“和谐区间”，则⎩⎨⎧==nn g m m g )()(……………4分 故m 、n 是方程x x=-53的同号的相异实数根． 0532=+-x x 无实数根，∴函数xy 53-=不存在“和谐区间”．………………6分（2）设],[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-⊆n m 或),0(],[∞+⊆n m ，故函数xa a a x a x a a y 222111)(-+=-+=在],[n m 上单调递增． 若],[n m 是已知函数的“和谐区间”，则⎩⎨⎧==nn f mm f )()(……………10分 故m 、n 是方程x xa a a =-+211，即01)(22=++-x a a x a 的同号的相异实数根． 012>=amn ，m ∴，n 同号，只须0)1)(3(2>-+=∆a a a ，即1>a 或3-<a 时，已知函数有“和谐区间”],[n m ，34)311(34)(22+--=-+=-a mn m n m n ，∴当3=a 时，m n -取最大值332………………14分 （3）如：2+-=x y 和谐区间为]2,0[、]3,1[-，当2=+b a 的区间],[b a ；x y 2s i n π=和谐区间为]1,0[；21x y -=和谐区间为]0,1[-；………………………………………………18分 阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分．如举x y =及形如axcbx y +=的函数不给分．。

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若集合},4|{2R y x y x A ∈==,1{|0}2x B x x-=≥+,则A B = A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.2 ．（2013届浦东二模卷理科题）从集合{}2013,,4,3,2,1 中任取3个元素组成一个集合A ,记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ,则210,,P P P 的大小关系为[来源:学.科.网Z.X.X.K]210)(P P P A == 210)(P P P B =>210)(P P P C =< 210)(P P P D >>二、填空题 3 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知全集R U =,集合{}0322>--=x x x A ,则=A C U _____________.4 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）已知全集{12345}U =，，，，,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈，,则集合()U A B ð=_______.[来源:学科网]5 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)已知集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ,若A B ≠∅,则实数a 的取值范围是____.[来源:学.科.网Z.X.X.K]6 ．（2013届浦东二模卷理科题）已知集合A ={}2,1,2-,B =}1,a ,且B A ⊆,则实数a 的值是_______.7 ．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）已知集合{}2|4,M x x x =<∈R ,{}2|log 0N x x =>,则集合M N =I ________.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合参考答案一、选择题1. A2. B [来源:学科网]二、填空题[-;3. ]3,14. {3,5}5. )1,0(6. 11,2;7. ()。

虹口区2013年数学学科高考练习题答案（文）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,(∞-；2、2；3、97-； 4、1-； 5、12822=-yx；6、1；7、7；8、1；9、74； 10、]3,1[-；11、23； 12、322； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、D ； 17、A ； 18、D ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取AD 的中点F ，连EF 、PF ．AB EF //，∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所成的角或其补角的大小．……2分由1=PA ，1==BE AB ，⊥PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，得1=EF ，2=AE ，2=PF ，3=PE ，∴3332213cos =-+=∠PEF ．………………5分∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于33arccos．………………6分（2） ⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，1=AB ，1=AD ，21=∆PAB S ，1=∆PAD S ．BE PA ⊥，AB BE ⊥，∴⊥BE 平面PAB ，∴⊥BE PB ，2=PB ，22=∆PBE S ．…………………………9分 连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，322=+=AEPA PE ，又522=+=ADPA PD ∴222PD DEPE=+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴26=∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2623++．………………12分D20、（14分）解：（1） 1=⋅n m ，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B ………………7分（2） 2=b ，c a b +=2，∴4=+c a ．又B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224……10分将4=+c a 代入得0442=+-a a ，得2=a ，从而2=c ，三角形为等边三角形．……12分∴3sin 21==∆B ac S ．………………14分21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ．由i z z z n n n 221++=+得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分（2）由（1）知13-=n n a ，12-=n b n ．①i n i b b b a a a z z z n n n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ．……10分②令n n n b a b a b a S +++= 2211，)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n （Ⅰ）将（Ⅰ）式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S nn （Ⅱ）将（Ⅰ）减（Ⅱ）得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S nn n ．)22(322+-+-=-n S n n ，13)1(+⋅-=nn n S .……………………14分22、（16分）解：（1）l 过点)0,(p M -与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设)(:p x k y l +=，其中0≠k （若0=k 时不合题意），由⎩⎨⎧=+=pxy p x k y 2)(2得02222=+-⋅k p py y k ，∴2212p y y =⋅．………………4分注：本题可设p my x l -=:，以下同．（2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）． 由⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22得0222=+-pb py ky ． p kpb y y -==∴221，从而2k b -=．………………6分假设直线l 过定点),(00y x ，则b kx y +=00，从而200k kx y -=，得0)21(00=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==2100y x ，即过定点)0,21(．………………8分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(．综上所述，当p y y -=21时，直线l 过定点)0,21(．………………10分（3）依题意直线l 的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为kp y y y P =+=)(2121，代入)(:p x k y l +=得p kp x P -=2，即),(2kp p kp P -．…………12分设),(y x Q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=+-=k p y p p k p x 21)(212消k 得x p y 22=…………14分 由抛物线的定义知存在直线8p x -=，点)0,8(p ，点Q 到它们的距离相等．…………16分23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是任意两个实数，则有)]()([21)(21)2(41)2()2(21222122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+．∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”．………………4分（2）若对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-……………………7分 若21x x =，a 可以取任意值． 若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ．综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立．假设当m k =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f mm +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m m m m m mm x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++ )]2()2([21222212221mmmm m m mx x x f x x x f ++++++++++≥)]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f mm)]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ．即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．………………18分。

虹口区2012学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷（一模）（时间120分钟，满分150分）2013.1一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}0322<-+=x x x A ，{}21<-=x x B ，则=⋂B A ． 2、已知向量)2,1(-=a ，)1,1(=b ，b a m -=，b a n λ+=，如果n m ⊥，则实数=λ ．3、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是．4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 5、已知ααcos 3sin =，则=+αα2sin 12cos ．6、在下面的程序框图中，输出的y 是x 的函数，记为)(x f y =，则=-)21(1f ．否是输出输入实数结束开始7、关于z 的方程20132012101i zii izi+=--+（其中i 是虚数单位），则方程的解=z ． 8、若对于任意0>x ，不等式a x x x≤++132恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9、在等比数列{}n a 中，已知3221=a a ，243=a a ，则=+++∞→)(lim 21n n a a a ．10、在ABC ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则ABC ∆的面积等于 ．11、已知正实数x 、y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 ．12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m ．13、设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数xx f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为 ．14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、若i -2是关于x 的实系数方程02=++b ax x 的一根，则该方程两根的模的和为（ ）.A 5 .B 52 .C 5 .D 1016、已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）.A 如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥． .B 如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面． .C 如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥． .D 如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面．17、定义域为R 的函数c x b ax x f ++=2)()0(≠a 有四个单调区间，则实数c b a ,,满足（ ）DCBAP.A 0042>>-a ac b 且 .B 042>-ac b .C 02>-a b .D 02<-ab18、数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==kn a k n n a k n 2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=- ，则)2012()2013(f f -等于( )．.A 20122 .B 20132 .C 20124 .D 20134三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 的长为52，PA 与CD 所成的角的大小等于510arccos． （1）求正四棱锥ABCD P -的体积；（2）若正四棱锥ABCD P -的五个顶点都在球O 的表面上，求此球O 的半径．20、（本题满分14分）已知函数x x x x x x f 2cos cos sin 3)3sin(sin 2)(+⋅+-⋅=π．（1）求函数)(x f 的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x 值； （2）如果20π≤≤x ，求)(x f 的取值范围．21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ．（1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．22、（本题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足12-=n n a S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和nn n n n n C S C S C S C S ⋅++⋅+⋅+⋅+1231201 ；（3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：)lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m ma b b b =+++++++ ． 问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和．23、（本题满分18分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”．（1）判断函数x y sin =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”求出所有a 的值；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由．（2）已知)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时2)()(m x x f +=，求)(x f y =在]1,0[上的最大值．（3）设函数)(x g y =具有“)1(±P 性质”，且当2121≤≤-x 时，x x g =)(．若)(x g y =与mx y =交点个数为2013个，求m 的值．虹口区2012学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷答案一、填空题（每小题4分，满分56分）1、)1,1(-；2、2；3、21； 4、3π； 5、21-； 6、1-； 7、i 21-； 8、51≥a ； 9、16±； 10、32或3；11、9； 12、10； 13、20； 14、427； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、B ； 16、A ； 17、C ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取AB 的中点M ，记正方形ABCD 对角线的交点为O '，连PM ，O P '，AC ，则AC 过O '．PB PA =，AB PM ⊥∴，又510cos =∠PAM ，52=PA ，得22=AM .………………4分4='O A ，2='O P3642)24(31312=⋅⋅='⋅=-O P S V ABCD P 底 ∴正四棱锥ABCD P -的体积等于364（立方单位）．………………8分（2）连AO ，O O '，设球的半径为R ，则R OA =，2-='-='R O P R O O ，在A O O Rt '∆中有2224)2(+-=R R ，得5=R 。

虹口区2013年数学学科中考练习题（满分150分，考试时间100分钟）2013.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在下列各数中，属于无理数的是（ ）A . 53； B . π； C . 4； D . 327.2. 在下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A . 20x x -=；B . 210x -=；C . 2230x x --=；D . 2230x x -+=. 3. 在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x =-+经过（ ）A ．第一、二、三象限 ；B ．第一、二、四象限；C ．第一、三、四象限 ；D ．第二、三、四象限．4. 某小区20户家庭某月的用电量如下表所示：用电量（度） 120 140 160 180 200户数23672则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ） A ．180，160；B ．160，180；C ．160，160；D ．180，180.5．已知两圆内切，圆心距为5，其中一个圆的半径长为8 ，那么另一个圆的半径长是（ ） A ．3； B ．13； C ．3或13； D ．以上都不对. 6. 在下列命题中，属于假命题．．．的是（ ） A ．对角线相等的梯形是等腰梯形； B ．两腰相等的梯形是等腰梯形；C ．底角相等的梯形是等腰梯形；D ．等腰三角形被平行于底边的直线截成两部分，所截得的四边形是等腰梯形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：22-= .8．不等式组240,50.x x +>⎧⎨-<⎩的解集是 .9．用换元法解分式方程13201x x x x +-+=+时，如果设1x y x+=，那么原方程化为关于y 的整10．方程23x x +=的解是 ． 11． 对于双曲线1k y x-=，若在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是 ． 12．将抛物线23y x =向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为 ．13. 在一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出1个球，它恰好是白球的概率是23，则该盒中黄球的个数为 ． 14．为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中的25名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在20～25的频率是 ．15．若正六边形的边长是1，则它的半径是 ．16．在□ABCD 中，已知AC a = ，DB b =，则用向量a 、b 表示向量AB 为 ． 17．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍得△AB′ C′ ，即如图①，∠BAB′ ＝θ，AB B C AC n ABBCAC''''===，我们将这种变换记为[θ，n ] ．如图②，在△DEF 中，∠DFE =90°，将△DEF 绕点D 旋转，作变换[60°,n ]得△DE ′F ′，如果点E 、F 、F ′恰好在同一直线上，那么n = ．18．如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，∠C =30°，点F 是CD 边上一点，将纸片沿BF 折叠，点C 落在E 点，使直线BE 经过点D ，若BF=CF=8，则AD 的 长为 .三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：22244(4)2x x x x x-+÷-+，其中5x =．ABCD第18题图3第14题图512人数/人次数/次（每组含最小值，不含最大值）15 20 25 30 35 ABC B′第17题图C ′DE E ′F ′F图① 图②20．（本题满分10分）解方程组： 2223,2 1.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，3sin 5ABC ∠=，圆O 经过点B 、C ，圆心O 在△ABC 的内部，且到点A 的距离为2，求圆O 的半径．22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）某超市进了一批成本为6元/个的文具．调查后发现：这种文具每周的销售量y （个）与销售价x （元/个）之间的关系满足一次函数关系，如下表所示：销售价x （元/个） 89.51114销售量y （个）220205190160（1）求y 与x 之间的函数解析式（不必写出定义域）；（2）已知该超市这种文具每周的销售量不少于60个，若该超市某周销售这种文具（不考虑其它因素）的利润为800元，求该周每个文具的销售价．A BCO第21题图①②23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∠BAE =∠DAF ． （1）求证：BE = DF ；（2）联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，联结EM 、FM ．求证：四边形AEMF 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：直线24y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 为x 轴上一点，AC =1， 且OC ＜OA ．抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠经过点A 、B 、C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点D 的坐标为（-3，0），点P 为线段AB 上一点，当锐角∠PDO 的正切值为12时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E 在x 轴下方，当△ADE 的面积等于四边形APCE 的面积时，求点E 的坐标． -1 O1 2 -112 -3 -2 yx第24题图-3 3 -2 3 4 -4-4 4 AD BEF OCM第23题图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．ABECDAB CED第25题图（备用图）2013年虹口区中考数学模拟练习卷答案要点与评分标准2013.4说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题：（本大题共6题，满分24分）1．B ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ．二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．14； 8． 25x -<<； 9．2230y y +-=； 10．3x =；11．k ＜1； 12．23(2)y x =+； 13．4； 14．0.2；15．1； 16．1122a b +； 17．2； 18．23．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2(2)(2)44(2)x x x x x x x+--+÷+………………………………………………（3分） 2(2)(2)(2)(2)x x xx x x +-=⋅+- …………………………………………………（2分）12x =- ………………………………………………………………………（2分） 当5x =时，原式=52+…………………………………………………（3分）∴ 1x y -=或1x y -=- ……………………………………………………（2分） 把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，23,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ …………………………………………………（4分） 解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．……………………………………………（4分） 注：用代入消元法解，请参照给分.21．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D …………………………………………………（1分）∵3sin 5ABC ∠= ∴4cos 5ABC ∠=………………………………………………（1分） 在Rt △ABD 中，4cos 1085BD AB ABC =⋅∠=⨯=………………………………（1分） 3sin 1065AD AB ABC =⋅∠=⨯=…………………………………（1分）∵AB=AC=10 AD ⊥BC ∴BC=2BD=16…………………………………………（1分） ∵AD 垂直平分BC ∴圆心O 在直线AD 上………………………………………（2分） ∴OD=6-2=4 ……………………………………………………………………………（1分） 联结BO ，在Rt △OBD 中，2245BO OD BD =+=…………………………（2分） ∴圆O 的半径为45.22．解：（1）设所求函数解析式为y ＝kx ＋b （0k ≠）…………………………………（1分）由题意得：220819011k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解之得：10300k b =-⎧⎨=⎩………………………（2分）∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝-10x ＋300． ………………………………（1分）（2）由题意得(x －6)(-10x ＋300)=800 ……………………………………………（2分）整理得，x 2－36x ＋260=0当x=10时，y=200当x=26时，y=40<60 ∴x=26舍去……………………………………………（1分）答：该周每个文具销售价为10元．………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B =∠D=90°…………………………（2分）∵∠BAE = ∠DAF∴△ABE≌△ADF……………………………………………………………（1分）∴BE = DF……………………………………………………………………（2分）（2）∵正方形ABCD，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分）∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO……………………………………（1分）∵△ABE≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分）∴EO=FO ，AO⊥EF…………………………………………………………（2分）∵OM = OA ∴四边形AEMF是平行四边形……………………………（1分）∵AO⊥EF ∴四边形AEMF是菱形……………………………………（1分）24．解:（1）易得：A（2，0），B（0，4）∵AC=1且OC＜OA ∴点C在线段OA上∴C（1，0）…………………………………………………………………（1分）∵A（2，0），B（0，4），C（1，0）在抛物线2(0)y ax bx c a=++≠上，∴4204a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得：264abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求抛物线的表达式为2264y x x=-+………………………………（3分）（2）∵锐角∠PDO的正切值为12，1tan2ABO∠=（ABO∠为锐角）∴ABO PDA∠=∠，∵点P为线段AB上一点，∴BAO DAP∠=∠∴△ABO∽△ADP ……………………………………………………………（1分）∴AP ADAO AB=，又AO=2 ，AB =25，AD=5过点P 作PF AO ⊥于点F ，可证PF ∥BO ，∴AP PFAB BO= 可得：P F=2，即点P 的纵坐标是2.∴可得P （1，2）………………………………………………………………（2分） （3）设点E 的纵坐标为m （m ＜0）， ∴1522ADE S AD m m =⋅=-△ ∵P （1，2），∴11()(2)22p APCE S AC y m m =⋅+=-四 由ADE APCE S S =△四得：15(2)22m m -=- ……………………………………（2分）解得：12m =-∴点E 31(,)22-…………………………………………………………………（2分）25．解：（1）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB=6，AC=8 ∴BC=10……………………（1分）点D 为BC 的中点 ∴CD =5 可证△ABC ∽△DEC ∴DE EC CD AB BC AC ==， 即56108DE EC ==………………………………（1分） ∴154DE =，254CE =……………………………………………………（2分） （2）①当点P 在AB 边上时，在Rt △ABC 中，∠B +∠C =90°，在Rt △EDC 中，∠DEC +∠C =90°， ∴∠DEC=∠B∵DE ⊥BC ，∠PDQ =90° ∴∠PDQ =∠BDE =90° ∴∠BDP =∠EDQ∴△BPD ∽△EQD ……………………………………………………………（1分）∴EQ DE BP BD =， 即15425EQ =， ∴32EQ =………………………………………………………………………（2分） ∴CQ=EC -EQ 194=……………………………………………………………（1分） ②当点P 在AB 的延长线上时，同理可得：32EQ =，∴CQ=EC+EQ314=…………………………………………………………（1分）（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，∴点P在边AB上∵△BPD∽△EQD ∴43 BP BD PD EQ ED QD===若设BP=x ，则34E Q x=，25344CQ x=-…………………………………（1分）可得4cot cot3QPD C∠==∴∠QPD=∠C又可证∠PDE=∠CDQ ∴△PDF∽△CDQ∵△PDF为等腰三角形∴△CDQ为等腰三角形………………………（1分）①当CQ=CD时，可得：253544x-=解得：53x=………………………（1分）②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，∴1522CM CD==，5525248CQ=⨯=∴25325448x-=，解得256x=……………………………………………（1分）③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，∴4545CN=⨯=，28CQ CN==∴253844x-=，解得73x=-(不合题意，舍去)…………………………（1分）∴综上所述，53BP=或256.。

虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题（时间120分钟，满分150分） 2014.1一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知全集，，如果，则．2、不等式的解集是．3、如果对一切都成立，则实数的取值范围是．4、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．5、双曲线的焦点到渐近线的距离等于．6、已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围是．7、已知的展开式中，含项的系数等于160，则实数．8、已知是各项均为正数的等比数列，且与的等比中项为2，则的最小值等于．9、已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线的焦点重合，一个顶点的坐标为，则此椭圆方程为．10、给出以下四个命题：（1）对于任意的，，则有成立；（2）直线的倾斜角等于；（3）在空间如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）在平面将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．其中真命题的序号是．11、已知是定义在上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为．12、已知函数，对于实数、、有，，则的最大值等于．13、已知函数，且，则。

14、函数与函数的图像所有交点的橫坐标之和为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知，，则下列结论中正确的是（）16、函数，下列结论不正确的（）此函数为偶函数．此函数是周期函数．此函数既有最大值也有最小值．方程的解为．17、在中，记角、、所对的边分别为、、，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边，则（）．18、如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点．以下命题正确的是( )．圆锥的高等于圆柱高的；圆锥的高等于圆柱高的；将容器一条母线贴地，水面也恰过点；将容器任意摆放，当水面静止时都过点．三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图在长方体中，，，，点为的中点，点为的中点．（1）求长方体的体积；（2）若，，，求异面直线与所成的角．20、（本题满分14分）已知．，其中、为锐角，且．（1）求的值；（2）若，求及的值．21、（本题满分14分）数列是递增的等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的最小值；（3）求数列的前项和．22、（本题满分16分）已知圆过定点，圆心在抛物线上，、为圆与轴的交点．（1）当圆心是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．（2）当圆心在抛物线上运动时，是否为一定值？请证明你的结论．（3）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值，并求出此时圆的方程．23、（本题满分18分）．设函数．（1）求函数在上的值域；（2）证明对于每一个，在上存在唯一的，使得；（3）求的值．虹口区2014年数学学科高考练习题答案一、填空题（每小题4分，满分56分）1、；2、；3、；4、；5、3；6、；7、；8、4；9、； 10、（1）（4）；11、； 12、； 13、； 14、17；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、； 16、； 17、； 18、；三、解答题（满分74分）19、(12分)解：（1）连、．是直角三角形，．…………1分是长方体，，，又，平面，．又在中，，，，……………4分………6分（2）取的中点，连、．，四边形为平行四边形，，等于异面直线与所成的角或其补角．…………8分，，，得，，，……10分，．异面直线与所成的角等于………………12分20、（14分）解：（1）由，得，得，得．…………4分（2），．……………6分，…………10分当时，．当时，．为锐角，………………………………14分21、（14分）解：（1）由，得、是方程的二个根，，，此等差数列为递增数列，，，公差，．………………4分（2），，……………………8分（3）由得，解得，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．……………………10分当且时，．…………12分当且时，．……………………14分22、（16分）解：（1）抛物线的顶点为，准线方程为，圆的半径等于1，圆的方程为．弦长………………………4分（2）设圆心，则圆的半径，圆的方程是为：…………6分令，得，得，，是定值．………………8分（3）由（2）知，不妨设，，，．．………………11分当时，．………………12分当时，．当且仅当时，等号成立…………………………14分所以当时，取得最大值，此时圆的方程为．………………………………16分23、（18分）解：（1），由令，．对称轴，在上单调递增，在上的值域为．………………4分（2）对于，有，，从而，,,在上单调递减, ,在上单调递减．又..………………7分当时，（注用数学归纳法证明相应给分）又，即对于任意自然数有对于每一个，存在唯一的，使得………………11分（3）．当时，．.………………14分当且时，．……………18分。

虹口区2013年数学学科高考练习题(理科)一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是 ．2、已知复数ii z +-=1)1(3，则=z ．3、已知31cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα ． 4、设nx )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a lim．5、已知双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线方程为 ．6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为 ．7、数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8、设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足221π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积等于 ． 9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为ξ，则ξ的数学期望=ξE ．10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+AB AC AB ，则ABC ∆面积等于 ． 12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为 ．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分） 15、直线⎩⎨⎧+=+=ty tx 121的倾斜角等于（ ）.A 6π .B 3π.C 21arctan .D 2arctan16、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M等于（ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π13 17、若22παπ≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0cos )2(3=++-m ββπ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B 0 .C 21.D 118、正方体1111D C B A ABCD -的棱上．．到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为（ ） .A 2． .B 3． .C 4． .D 5．三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E 为BC 的中点． （1）证明：DE PE ⊥；（2）如果2=PA ，求异面直线AE 与PD 所成的角的大小．20、（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ， b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；（2）若2=b ，求ABC ∆的面积的最大值．D21、（本题满分14分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，i 是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求和：①13221++++n n a a a a a a ；②1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b ．22、（本题满分16分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（1）当直线l 过点)0,(p M 时，证明21y y ⋅为定值；（2）当p y y -=21时，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线l 过点)0,(p M ，过点M 再作一条与直线l 垂直的直线l '交抛物线C 于两个不同点D 、E ．设线段AB 的中点为P ，线段DE 的中点为Q ，记线段PQ 的中点为N ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”． （1）判断函数x x f lg )(=在+R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数xax x f +=2)(在]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围；（3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上任取1x ，2x ，3x ，……，n x ．① 证明： 当kn 2=（*∈N k ）时，)]()()([1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ 成立；② 请再选一个与①不同的且大于1的整数n ， 证明：)]()()([1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ 也成立．虹口区2013年数学学科高考练习题答案（理） 一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,(∞-； 2、2； 3、97-； 4、1-； 5、12822=-y x ； 6、1； 7、7； 8、1； 9、712； 10、]3,1[-； 11、23； 12、322； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、A ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，∴2224AD DE AE ==+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴AE DE ⊥．……………………3分 由⊥PA 平面ABCD ，得DE PA ⊥.由AE DE ⊥，DE PA ⊥A AE PA =⋂，得⊥DE 平面PAE ．∴DE PE ⊥．…………6分（2）取PA 的中点M ，AD 的中点N ，连MC 、NC 、MN 、AC ． AE NC //，PD MN // ，∴MNC ∠的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角或其补角的大小．………………8分 由2=PA ，1=AB ，2=BC ，得2==MN NC ，6=MC ，∴21222622cos -=⋅⋅-+=∠MNC ，32π=∠MNC ．∴异面直线PD 与AE 所成的角的大小为3π．…………12分 注：用向量解相应给分．20、（14分）解：（1） 1=⋅n m ，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分 又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B ………………7分（2） 2=b ，B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos 2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224…9分∴ac ac ac ac c a =-≥-+=2422，即4≤ac ，当且仅当2==c a 时等号成立． (12)分343sin 21≤=⋅=∆ac B ac S ，当2===c b a 时，3)(max =∆ABC S ．…………14分 21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ． 由iz z z n n n 221++=+得ib a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分（2）①由（1）知13-=n n a ，2113=-+kk k k a a a a ,∴数列{}1+n n a a 是以3为首项，公比为23的等比数列． 838391)31(312213221-=--=+++++n n n n a a a a a a ．………………9分②当k n 2=，*∈N k 时，)()()()1(122212544332211154433221+-++-++-+-=-++-+-k k k k n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b n n k k b b k b b b b b b k k k 22482)(4)(44442222242242--=--=+⋅-=+++-=----= 当12+=k n ，*∈N k 时，1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b122)34)(14(48)()()(22221212221254433221-+=+++--=+-++-+-=+++-n n k k k k b b b b b b b b b b b b b b k k k k k k又1=n 也满足上式∴⎪⎩⎪⎨⎧---+=-++-+-++为偶数时当为奇数时当n n n n n n b b b b b b b b b b n n n 22122)1(221154433221 (14)分22、（16分）解：（1）l 过点)0,(p M 与抛物线有两个交点，设p my x l +=:，由⎩⎨⎧=+=pxy p my x 22得02222=--p pmy y ，∴2212p y y -=⋅．……………………4分 （2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）．由⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22得0222=+-pb py ky ．p k pb y y -==∴221，从而2kb -=．………6分从而2k kx y -=，得0)21(=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==021y x ，即过定点)0,21(． (8)分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(． 综上所述，当p y y -=21时，直线l 过定点)0,21(．…………10分（3）依题意直线l 的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为pm y y y P =+=)(2121，代入p my x l +=:得p pm x P +=2，即),(2pm p pm P +．由于l '与l 互相垂直，将点P 中的m 用m 1-代，得),(2m pp mp Q -+．…………12分 设),(y x N ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=)(21)(2122m p pm y p pm p m p x 消m 得)2(22p x p y -=………………14分由抛物线的定义知存在直线815p x =，点)0,817(p，点N 到它们的距离相等．………16分23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是+R 上的任意两个数，则01lg )(4lg 2lg 2lg lg )2(2)()(2212121212121=≤+=+-+=+-+x x x x x x x x x x f x f x f∴)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+．∴函数x x f lg )(=在+R 上是 “凸函数”．……4分 （2）对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-………………7分若21x x =，a 可以取任意值． 若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）①当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当mk =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f mm +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++ )]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．……………………15分 ②比如证明3=n 不等式成立．由①知d x c ≤≤1，d x c ≤≤2，d x c ≤≤3，d x c ≤≤4，有)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++成立．d x c ≤≤1，d x c ≤≤2，d x c ≤≤3，d x x x c ≤++≤)(31321，∴)43()3(321321321x x x x x x f x x x f +++++=++)]()()()3([41421321x f x f x f xx x f +++++≥， 从而得)]()()([31)3(321321x f x f x f x x x f ++≥++．………………18分。

虹口区2013学年高三年级二模数学答案（理科）D OCBAMP一、填空题（每小题4分，满分56分）1、(1,2)-； 2、4； 3、43π； 4、2()log f x x =； 56、3；7、 3π；8、710； 9、1； 10、1α，3α；111； 12、2； 13、304m <<； 14、26 ；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又PO ==，MD ∴=43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos MD DMC MC ∠==∴DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴MC =．∴cos 37MD DMC MC ∠==∴37DMC ∠=综上异面直线MC 与PO所成的角等于arccos13或37．………………8分 （2） 三棱锥M ACO -的高为MDM ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分21、（14分）解：（1）………………………………2分当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =．∴21,120220,21n n n n Na n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分 而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n Nb n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++-- 216843444n n =-+-………………………………11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得331316.3021n ≈≤≤ ……………………13分 ∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x=≥ ，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴xx f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =M≥，∴2MM ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………4分 （2） 1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………7分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分23、（18分）解：（1）由222202y kx bx pkx pb x py=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分x设切线方程为y kx m=+，由222202y k x m x p k x p mx p y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pkC pk …………4分 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x （2） 22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p-=．………8分232211122216ABCpk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………12分（本小题也可以求AB h =，切点到直线l的距离2d ==，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C hx x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p∆∆==⋅．……14分 记3116ABCh a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的无穷项和，此数列公比为14． 所以封闭图形的面积3114131214a h S a p ===-…………………………18分。