高中数学选修1-1北师大版 变化的快慢与变化率 学案

变化的快慢与变化率一、教学目标(1) 理解瞬时速度，会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度 (2)理解瞬时变化率概念， 实际背景，培养学生解决实际问题的能力 二、教学重点、难点重点：瞬时速度，瞬时变化率概念及计算 难点：瞬时变化率的实际意义和数学意义 三、教学过程 （一）、复习引入1、什么叫做平均变化率?00()()f x x f x x+∆-∆2、如何精确地刻画物体在某一瞬间的速度呢？ （二）、例题分析例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度．分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式101)()(t t t s t s t s --=∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）．我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。

用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度．如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度．解：我们将时间间隔每次缩短为前面的101，计算出相应的平均速度得到下表：可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。

从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s 的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m ．例2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m 。

x （单位：m ）表示OX 这段棒长，y （单位：kg ）表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系：x x f y 2)(==。

第二章变化率与导数1.1变化的快慢与变化率（第一课时）一、学习目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.二、学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述.三、学习难点：对平均变化率的数学意义的认识。

四、学法指导：通过具体问题，感受在现实世界和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率的实际意义。

五、知识链接：速度、平均速度、瞬时速度。

六、学习内容：一、微积分的发展简史：十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动物体的即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。

他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

1684年，德国的莱布尼茨他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，其中含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。

第二章 变化率与导数第一节 变化的快慢与变化率学习目标1．理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上变化的快慢；3．会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢；4．理解瞬时速度，线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题；学法指导平均变化率、瞬时变化率是本节中的重要概念，是学习导数的前提和基础，要通过例题讲解学会求平均变化率和瞬时变化率，理解平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系，并理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义。

知识点归纳1．平均变化率对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，它的平均变化率为： 。

通常我们把自变量的变化12x x -称作： ，记为： 。

函数值的变化()()21x f x f -称作： ，记为： ，这样，函数的平均变化率就可以表示为： ；平均变化率的几何意义是： 。

2．瞬时变化率对于一般的函数，在自变量x 从1x 变到2x 的过程中，若设,12x x x -=∆ ()()12x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是 ，而当 时，平均变化率就趋于函数在 点的 ；瞬时变化率的几何意义是： 。

重难点剖析重点：理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；难点：对平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系的正确理解； 剖析：1．平均变化率在理解平均变化率时应注意以下几点：（1）1212)()(x x x f x f x f --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(11式子中的f x ∆∆,的值可正，可负，但x ∆的值不能为0，f ∆的值可以为0，若函数()x f 为常函数时，0=∆f 。

（2）平均变化率是指函数值的“增量”f ∆与相应自变量的“增量” x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。

第三章 变化率与导数§1 变化的快慢与变化率自主整理1.函数的平均变化率函数y=f(x)当自变量x 从x 1变为x 2时,函数值从f(x 1)变为f(x 2),它的平均变化率为_________.通常自变量的变化x 2-x 1称作自变量的改变量,记作_________,函数值的变化f(x 2)-f(x 1),称作函数值的改变量,记作_________.这样函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量之比,即_________.我们用它刻画函数值_________. 2.函数的瞬时变化率函数y=f(x)在自变量x 从x 0变到x 1的过程中,若设Δx=x 1-x 0,Δy=f(x 1)-f(x 0),则函数的平均变化率是101)()(x x x f x f x y --=∆∆=_________.当Δx 趋于0时,平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是_________.高手笔记1.函数的平均变化率和瞬时变化率都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,变化得越快.2.求函数f(x)的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量Δy=f(x 2)-f(x 1); (2)计算平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆. 3.求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法，求解过程较为烦琐，根据教材概括也可以按以下方法求解：（1）设Δx=x 1-x 0,求Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0);(2)求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00;(3)当Δx 趋于0时，xy∆∆趋于一个常数，即函数在x 0点的瞬时变化率. 名师解惑1.同一函数的平均变化率是否为一个常数? 剖析:平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆,式子中Δx,Δy 的值可正、可负,但Δx 的值不能为0,Δy 的值可以为0.当函数f(x)为常数函数时,Δy=0,此时平均变化率为0.当x 1、x 2分别取不同的数值时,函数的平均变化率往往不同.2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系是什么? 平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00,当Δx 趋于0时,它所趋于的一个常数就是函数在x 0点的瞬时变化率.剖析:Δx 趋于0是指自变量间隔Δx 越来越近,能达到任意小的间隔,但始终不能为0;Δx,Δy 在变化中都趋近于0,但它们的比值趋近于一个确定的常数. 讲练互动【例1】甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示,试指出哪一个厂治污效果较好?解析：通过比较相同时间Δt 内,两厂污水排放量的平均变化率的大小便知结果. 解：在t 0处,虽然W 1(t 0)=W 2(t 0), 但tt t W t W ∆∆--)()(0101<t t t W t W ∆∆--)()(0202,所以,在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.绿色通道通过函数的平均变化率研究函数值变化的快慢,xy∆∆越大,高度的平均变化量就越大,图像越陡峭;反之,xy∆∆越小,高度的平均变化量越小,图像越平缓. 变式训练1.过曲线f(x)=x 3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求当Δx=0.1时割线的斜率. 解析:割线斜率k=xyx x y y ∆∆=--1212. 解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=1.13-1=0.331. ∴当Δx=0.1时割线PQ 的斜率为1.0331.0=∆∆x y =3.31. 【例2】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.估计运动员在t=2时的瞬时速度. 解析：运动员一段时间的高度改变量Δh 除以这段时间的改变量Δt 就是这段时间的平均速度. 解：将时间间隔每次缩短为前面的1计算出相应的平均速度得到下表.可以看出,当时间t 1趋于t 0=2 s 时,平均速度趋于-13.1 m/s,因此,可以认为运动员在t=2 s 时的瞬时速度为-13.1 m/s. 绿色通道从物理的角度看,时间间隔Δt 无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度. 变式训练2.求y=2x 2-x 在x=1附近的平均变化率.解析:平均变化率,即xy ∆∆. 解:Δy=f(1+Δx)-f(1)=［2(1+Δx)2-(1+Δx)］-(2-1)=2(Δx)2+3Δx,xy∆∆=2Δx+3.。

3.1 变化的快慢与变化率教学过程： 一、 引入：1、 情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、 问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、 引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。

二、 例举分析： （一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A 是登山者的出发点,H 是山顶,登山路线用y=f(x)表示问题：当自变量x 表示登山者的水平位置，函数值y 表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选取平直山路AB 放大研究 若),(),,(1100y xB y x A自变量x 的改变量：01x x x -=∆ 函数值y 的改变量：01y y y -=∆直线AB 的斜率：xyx x y y k ∆∆=--=0101 说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（x ∆为定值）时，垂直距离变化量（y ∆）越大，则这段山路越陡峭；2、选取弯曲山路CD 放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1的陡峭程度可用直线CD 1的斜率表示。

（图略）结论：函数值变化量（y ∆）与自变量变化量)(x ∆的比值xy∆∆反映了山坡的陡峭程度。

各段的x y∆∆不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同。

当x y ∆∆越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当xy ∆∆越小，说明山坡高度的平均变化量小，所以山坡就越缓。

所以，kk k k x x x f x f x y --=∆∆++11)()(——高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率。

三、 函数的平均变化率与应用。

（一） 定义：已知函数)(x f y =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x -=∆；)()()()(0000x f x x f x f x f y y y -∆+=-=-=∆。

变化的快慢与变化率1、本节教材的地位与作用：变化率对理解导数概念及其几何意义有着重要作用.是导数概念产生的基础.充分掌握好变化率这个概念,为顺利过渡瞬时变化率,体会导数思想与内涵做好准备工作.通过对大量实例的分析，引导学生经历由物理学中的平均速度到其它事例的平均变化率过程.所以变化率是一个重要的过渡性概念.对变化率概念意义的建构对导数概念的学习有重要影响.2、教学重点：平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解.3、教学难点：平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释.4、教学关键：将学生头脑中的感性认知,通过多个事例,在不同的情境下,进行相同的计算程序.由此学生类比建构出变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法,特别是数形结合的数学能力和以直代曲的转化能力.[教学目标]基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：（1）知识与技能目标:通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.（2）过程与方法目标:体会平均变化率的思想及内涵，培养学生观察、分析、比较和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.（3）情感态度与价值观:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神.领悟到具体到抽象，特殊到一般的逻辑关系.感受到数学的应用价值.[教学过程]⒈情境创设，激发热情导言:1.讲解青蛙扔过一锅热水和放进一锅冷水后然后再慢慢加热得到两个不同结果.与学生一起分析实验告诉我们:变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉,有些变化却让人感叹和惊呀!2.由学生列举一些变化快慢的事例.(如果事例适当,教师引导学生设置数据,建构平均变化率计算程序)⒉过程感知，意义建构 实例分析1银杏树1500米，树龄1000年，雨后春笋两天后长高15厘米. 实便分析2物体从某一时刻开始运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如下表.实便分析3这是我市今年3月18日至4月20日其中三天最高气温表和每天最高气温的变化图（以3月18日为第一天,曲线图）． ⒊归纳概括，建立概念1.如果将上述气温曲线看成是函数)(x f y =的图像，则函数)(x f y =在区间［1,34］上的平均变化率是多少？2.)(x f 在区间],1[1x 上的平均变化率为多少？3.)(x f 在区间]34,[2x 上的平均变化率为多少？4.你能否归纳出“函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率”的一般性定义吗？ 平均变化率的定义：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为1212)()(x x x f x f --(d )o通常把自变量的变化12x x -称作自变量的改变量，记作x ∆，函数值的变化)()(12x f x f -称作函数值的改变量，记作y ∆．这样，函数的平均变化率就可以表示为：函数值的改变量与自变量的改变量之比，即1212)()(x x x f x f x y --=∆∆ 它的几何意义是曲线上经过Ａ、Ｂ两点的直线的斜率．我们用直线的斜率来刻画直线的倾斜程度，同样，我们用平均变化率来近似地量化曲线在某一个区间上的“陡峭”程度，具体地说：曲线越“陡峭”，说明变量变化越快；曲线越“平缓”，说明变量变化越慢． ⒋例题讲解，尝试应用1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.该婴儿体重的平均变化率的实际意义？2.某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x 从0min 到20min 和从20min 到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？这里出现了“负号”，你怎样理解“—”号？它表示体温下降了，绝对值越大，下降得越快，所以，体温从20min 到30min 这段时间下降得比从0min 到20min 这段时间要快. 5.变式练习，巩固提炼1.若函数f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[-1,1]和[0,5]上的平均变化率函数f (x )在这两个区间上的平均变化率都是2.2.变式一：求f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率还是2，丨3.变式二：求f (x )=kx +b ,试求函数f(x)在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率是k . 一般地，一次函数f(x)=kx+b （k 0≠）在任意区间[m,n ](m<n )上的平均变化率等于k .4.变式三：求2)(x x f =在区间[-1，1]上的平均变化率. 是0. 提出问题:变化率为0是不是说明没有变化呢?5.变式四：求2)(x x f =在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]，[1，1.001]上的 平均变化率：函数)(x f 在这5个区间上的平均变化率分别是4、3、2.1、2.01、2.001. 从上面计算的结果，你发现了什么？当区间的右端点逐渐接近1时，平均变化率逐渐接近2.6.回顾反思，设问结课1.平均变化率的定义2.平均变化率的几何意义3.如果闭区间固定左端点，让右端点逐渐接近左端点，平均变化率有什么变化？这个变化有什么重大意义？。

变化的快慢与变化率学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度.能求出简单函数在某一点的导数(瞬时变化率)学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解 一、自主学习[问题1] 一般地，函数12(),,y f x x x =是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可以用式子 表示，我们把这个式子称为函数()f x 从1x 到2x的。

习惯用 来表示，即： 。

（注：上式中x ∆、f ∆的值可正、可负，但不能为0，()f x 为常数时，f ∆=0）[问题2] 我们把物体在某一时刻的速度称为________。

一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t sv x ∆∆=→∆0lim=___________________[问题3]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 。

我们称它为函数()y f x =在0x x =处的___，记作'0()f x 或_____，即_________。

附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；②定义的变化形式：()x f '=x x x f x f x y x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim0000；()x f'=00)()(lim)(lim00x x x f x f x yx x x x --=∆∆→→；()x f'=x x f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim000； 0x x x ∆=-，当0x ∆→时，x x →，所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

[问题4]求函数()f x 在0x处导数三步法：①求函数的增量： 。

②求平均变化率： 。

3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)与Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析 由平均速度与瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f2－f 12－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt＝s1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 与时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。