2015下高数作业

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题：1.（2015安徽文）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=2.（2015安徽理）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=3．（2015福建文）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．4．（2015福建理）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 考点：双曲线的标准方程和定义．5. （2015广东文）已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．6．（2015广东理）已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ． 【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题． 7. （2015湖北文）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 8．（2015湖北理）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9、(2015湖南文)若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为A 7B 、54C 、43D 、53【答案】D【解析】试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a 、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c ba c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D.考点：双曲线的简单性质10、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【答案】B11.(2015全国新课标Ⅰ卷理)已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜0，则y 0的取值范围是（ ）（A ）（ （B ）（）（C ）（） （D ）（【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程12．(2015全国新课标Ⅱ卷理)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．13. (2015陕西文) 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.14、(2015四川文、理)过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A )433(B )23 (C )6 (D )43 【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.【名师点睛】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为22220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.15、(2015四川文)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4) 【答案】D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.16.(2015四川理)设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式. 【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x 上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.17. (2015天津文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D ) 2213y x -= 【答案】D考点：圆与双曲线的性质.18.(2015天津理)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（ ）（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.19、(2015浙江文)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C. 考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.20. (2015浙江理) 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++21. (2015重庆文)设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) 12± (B) 22± (C) 1± (D) 2±【答案】C 【解析】考点：双曲线的几何性质.22．(2015重庆理)设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b +则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、(2,0)(0,2) D 、(,2)(2,)-∞+∞ 【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：1、（2015北京文）已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．3【解析】试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以3b =考点：双曲线的焦点.2. （2015北京理）已知双曲线()22210x y a a-=>30x y +=，则a =．【答案】33考点：双曲线的几何性质3.(2015湖南理)设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行 等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b ac +=，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.4. (2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09解三角形）一、选择题：1.（2015广东文）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．3【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．二、填空题：1.（2015安徽文）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .2、（2015北京文）在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π 【解析】试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B =sin 2B=，所以sin B =4B π∠=. 考点：正弦定理.3. （2015北京理）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理4．（2015福建文）若ABC ∆中，AC =045A =，075C =，则BC =_______．【答案】2 【解析】试题分析：由题意得018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=，所以23223BC ⨯==．考点：正弦定理．5．（2015福建理）若锐角ABC ∆的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． 【答案】7 【解析】试题分析：由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅=103=，所以3sin 2A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．6．（2015广东理）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =， 1sin 2B =，6C =π，则b = 【答案】1． 【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题． 7. (2015湖北文、理)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.8.(2015全国新课标Ⅰ卷理)在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 【答案】（62-，6+2） 【解析】试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE =，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想9.(2015天津理)在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【解析】试题分析：因为0A π<<，所以215sin 1cos A A =-=， 又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.10. (2015重庆文) 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________. 【答案】4 【解析】试题分析：由3sin 2sin A B =及正弦定理知：3a=2b,又因为a=2,所以b=3； 由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以c=4; 故填：4.考点：正弦定理与余弦定理.11．(2015重庆理)在ABC 中，B =120o，AB =2，A 的角平分线AD =3,则AC =_______.【答案】6【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）三、解答题：1.（2015安徽理）在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.2. (2015江苏)在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（17243【解析】考点：余弦定理，二倍角公式3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a cb +=.故222a c ac +=，得2c a =所以D ABC 的面积为1.【考点定位】正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.4.(2015全国新课标Ⅱ卷文)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：解三角形 5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1． (Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6. (2015山东文)ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知cos ()B A B ac =+==。

河南省2015年普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1．已知函数()f x x =，则1f f x ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．xB ．2xC ．1xD ．21x 【答案】C【解析】因为()f x x =，则11f x x⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以111f f f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．2．已知函数84()f x x x =-，则()f x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断【答案】B【解析】()()8484()()f x x x x x f x -=---=-=，即()f x 为偶函数．3．已知函数12()f x x =，则()f x 的定义域是（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞【答案】B【解析】由12()f x x ==()f x 的定义域是[0,)+∞．4．已知极限0sin()lim 2x mx x→=，则可确定m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．0【答案】B【解析】00sin()lim lim 2x x mx mxm xx →→===．5．当0x →时，若212cos ~2a x x -，则可确定a 的值一定是（ ）A ．0B ．1C ．12 D ．12-【答案】C【解析】由()212cos ~02a x x x -→，可知()2001lim 2cos lim 2x x a x x →→-=，即2cos00a -=，故12a =．6．下列极限存在的是（ ）A ．21limx x x →∞+B ．01lim21x x →-C ．01lim x x→D．x 【答案】A【解析】22111lim lim 01x x x x x x →∞→∞++==，极限存在；01lim 21xx →=∞-，极限不存在；01lim x x→=∞，极限不存在；x x =∞，极限不存在．7．已知函数sin ,0()1,0a xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处，下列结论正确的是（ ）A ．1a =时，()f x 必然连续B ．0a =时，()f x 必然连续C ．1a =时，()f x 不连续D ．1a =-时，()f x 必然连续【答案】A【解析】00sin lim ()limx x a xf x a x→→==，又知(0)1f =，故1a =时，()f x 必连续．8．极限30sin lim sin x x xx →-的值是（ ）A ．16B ．13C ．0D ．∞【答案】A【解析】2332200001sin sin 1cos 12lim lim lim lim sin 336x x x x xx x x x x x x x x →→→→---====．9．已知函数()()()f x x a g x =-，其中()g x 在点x a =处可导，则()f a '=（ ）A ．0B ．'()g aC ．()g aD ．()f a【答案】C 【解析】00()()()0()limlim ()x x f a x f a xg a x f a g a x x→→+-+-'===．10．已知曲线2()f x x =与3()g x x =，当它们的切线相互垂直时，自变量x 的值应为（ ）A ．1-B． C ．16-D【答案】B【解析】()2f x x '=，2()3g x x '=，两曲线的切线相互垂直，即()()1f x g x ''⋅=-，即2231x x ⋅=-，即x =11．已知函数()f x x =，则该函数()f x 在点0x =处（ ） A ．连续且可导 B ．不连续C ．连续但不可导D ．左右导数均不存在【答案】C【解析】00lim ()lim 0(0)x x f x x f →→===，故()f x 在0x =处连续； 00()(0)(0)lim lim 1x x f x f x f x x ---→→--'===-，00()(0)(0)lim lim 1x x f x f xf xx +++→→-'===，故()f x 在0x =处不可导．12．已知函数()cos f x x =在闭区间[]0,2π上满足罗尔定理，那么在开区间(0,2)π内使得等式'()0f ξ=成立的ξ值是（ ）A ．2πB ．πC ．0D ．2π【答案】B【解析】()cos f x x =，()sin f x x '=-，令()sin 0f x x '=-=，02x π<<，可得x π=，即ξπ=．13．已知函数()f x 在邻域(,)δδ-内连续，当(,0)x δ∈-时，'()0f x <，当(0,)x δ∈时，'()0f x >，则在邻域(,)δδ-内（ ）A ．(0)f 是极小值B ．(0)f 是极大值C ．(0)f 不是极值D ．(0)f 是最大值【答案】A【解析】由题可知()f x 在(,0)δ-上单调减少，在(0,)δ上单调增加，又由()f x 在(,)δδ-内连续，可知()f x 在0x =处取得极小值．14．已知函数()f x 在开区间(,)a b 内有：'()0f x <且"()0f x >，则在开区间(,)a b 内，()f x 是（ ） A ．单调递减且形状为凸 B ．单调递增且形状为凸C ．单调递减且形状为凹D ．单调递增且形状为凹【答案】C【解析】'()0f x <，说明()f x 在(,)a b 内单调递减，"()0f x >，说明()f x 在(,)a b 内为凹函数．15．已知曲线52y x =+，则该曲线的拐点(,)x y =（ ）A ．(0,2)B ．(1,3)C ．(0,0)D ．(1,1)-【答案】A【解析】45y x '=，320y x ''=，令0y ''=，得0x =，且0x <时0y ''<，0x >时0y ''>，故(0,2)为曲线的拐点．16．已知函数()F x 是()f x 的一个原函数，则不定积分(2)f x dx =⎰（ ）A ．1()2F x C +B ．1(2)2F x C +C ．()F x C +D ．(2)F x C +【答案】B【解析】11(2)(2)(2)(2)22f x dx f x d x F x C ==+⎰⎰．17．已知函数0()sin xf x t tdt =⎰，则'()f x =（ ）A ．sin xB ．cos x xC ．cos x x -D ．sin x x【答案】D 【解析】()'()sin sin xf x t tdt x x '==⎰．18．已知函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，则定积分4sin aa x xdx -=⎰（ ）．A ．-1B ．0C ．1D ．不确定【答案】B【解析】由于被积函数4sin x x 为奇函数，故4sin 0aa x xdx -=⎰．19．已知定积分1210I x dx =⎰，1320I x dx =⎰，则有（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．不确定【答案】A【解析】当01x ≤≤时，23x x >，且等号只在端点处成立，故112300x dx x dx >⎰⎰，即12I I >．20．已知函数()y f x =在闭区间[,]a a -上连续，且()0f x ≥，则由曲线()y f x =与直线x a =，x b =，0y =所围成的平面图形的面积是（ ）A ．()baf x dx ⎰B ．()abf x dx ⎰C ．()()()f b f a b a --D ．不确定【答案】A【解析】由定积分的几何意义可知A 正确．21．已知下列微分方程，则可进行分离变量的是（ ） A ．'3sin xy y x -= B ．2(cos )()0x y x dy y x dx -++=C ．'sin cos y x y =D ．'420yy y x -==【答案】C 【解析】C 中sin cos dyx y dx=，分离变量，得sin cos dy xdx y =．22．已知微分方程''5'0y y ay -+=的一个解为2x e ，则常数a =（ ）A ．4B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】22()2x x e e '=，22()4x x e e ''=，代入微分方程，得2224520x x x e e ae -⨯+=，6a =．23．下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是（ ）A ．,,446πππB ．,,432πππC ．,,434πππD ．,,433πππ【答案】D【解析】由于方向角α，β，γ必须满足222cos cos cos 1αβγ++=，可以验证只有D 正确．24．已知函数2223z x xy y =+-，则2zx y∂∂∂=（ ）A ．2-B ．2C ．6D ．3【答案】D【解析】43zx y x∂=+∂，23z z x y y x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭．25．某公司要用铁板做成一个容积为327m 的有盖长方体水箱，为使用料最省，则该水箱的最小表面积应为（ ）A ．354mB ．327mC ．39mD ．36m【答案】A【解析】设长方形的长宽分别为a 、b ，则高为27ab，于是，表面积2727545422S ab ab b a b a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，令2254205420S b a a S a bb ∂⎧=-=⎪⎪∂⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，得33a b =⎧⎨=⎩，且驻点唯一，由于实际问题最值一定存在，可知最小表面积354S m =．26．已知平面闭区域22:116D x y ≤+≤，则二重积分3Ddxdy =⎰⎰（ ）A ．45πB ．45C ．48πD ．48【答案】A【解析】22333(41)45D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰．27．已知100(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰，将积分次序改变，则(,)D f x y d σ=⎰⎰（ ）A ．2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B ．2101(,)y dy f x y dx ⎰⎰C ．2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰D ．2011(,)y dy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】2110(,)(,)D y f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰．28．已知L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则曲线积分()L x y ds +=⎰（ ）A ．2BC ．1D ．0【答案】B【解析】由于直线段L 的方程为1x y +=，故()Lx y ds +==⎰⎰29．下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1(1)nn ∞=-∑B ．111(1)3n n n n ∞--=-∑ C ．1(1)sinnn nπ∞=-∑D ．2112(1)!xn n n ∞+=-∑ 【答案】B【解析】对于B 项，121(1)3n n nu --=-，111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++===<，故1n n u ∞=∑收敛，原级数绝对收敛．30．已知级数1n n μ∞=∑，则下列结论正确的是（ ）A ．若lim 0n x μ→∞=，则1n n μ∞=∑收敛 B ．若1n n μ∞=∑的部分和数列{}n S 有界，则1n n μ∞=∑收敛C ．若1n n μ∞=∑收敛，则1n n μ∞=∑绝对收敛D ．若1n n μ∞=∑发散，则1n n μ∞=∑也发散【答案】C【解析】A 项中若1n nμ=，结论不成立；B 项中若(1)n n μ=-，结论不成立；D 项中若1(1)nn nμ=-，结论不成立；由绝对收敛的定义知，C 正确．二、填空题（每小题2分，共20分）31．已知函数()1f x x =-，则()f x 的反函数y =________． 【答案】1y x =+【解析】由1y x =-，得1x y =+，交换x ，y 的位置，得反函数为1y x =+，x R ∈．32．极限21lim 31n n n →∞+=+________． 【答案】0【解析】222111lim lim 01313n n n n n n n →∞→∞++=++33．已知函数1,1()1,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，则点1x =是()f x 的________间断点． 【答案】可去【解析】()11lim ()lim 12x x f x x →→=+=，而(1)1f =，故1x =是()f x 的可去间断点．34．已知函数()ln f x x =为可导函数，则()f x 在点 1.01x =处的近似值为________． 【答案】0．01【解析】由000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，故(10.01)(1)(1)0.010.01f f f '+≈+⋅=．35．不定积分cos(32)x dx +=⎰________． 【答案】1sin(32)3x C ++【解析】11cos(32)cos(32)(32)sin(32)33x dx x d x x C +=++=++⎰⎰．36．定积分0sin 2xdx π=⎰________．【答案】2 【解析】000sin 2sin 2cos22222x x x x dx d πππ==-=⎰⎰．37．已知函数22ln()z x y =+，则全微分(1,1)dz =________．【答案】dx dy +【解析】222z x x x y ∂=∂+，222z y y x y ∂=∂+，则(1,1)(1,1)(1,1)222222xy dz dx dy dx dy x y x y =+=+++．38．与向量{}3,4,1-平行的单位向量是________．【答案】± 【解析】=±=±e ．39．微分方程'x y y e -=的通解是________． 【答案】ln()x y e C =+【解析】xy dy e dx e=，分离变量，得y x e dy e dx =，两边积分，得y x e e C =+，即通解为ln()x y e C =+．40．幂级数1(21)nn n x ∞=+∑的收敛半径R =________．【答案】1 【解析】121lim lim 123n n n na n R a n +→∞→∞+===+．三、计算题（每小题5分，共50分） 41．求极限1lim(1sin )xx x →∞+．【答案】e【解析】原式111sin lim sin sin lim(1sin )x x x x xxx x ee →∞⋅⋅⋅→∞=+==．42．已知函数()f x 为可导函数，且()0f x ≠，求函数y =【解析】[]121()()2y f x f x -''=⋅．43．计算不定积分21xdxx +⎰． 【答案】21ln(1)2x C ++【解析】原式()222111ln(1)212d x x C x +==+++⎰．44．计算定积分⎰【答案】1【解析】11111t t tt te dt tde te e dt ===-=⎰⎰⎰⎰．45．求过点(1,2,1)A ，且与直线240:320x y z l x y z -+=⎧⎨--=⎩平行的直线方程． 【答案】1219710x y z ---== 【解析】所求直线的方向向量为()2419,7,10312=-=--i j ks ，又直线过点(1,2,1)A ，故所求直线方程为1219710x y z ---==． 46．已知函数(,)z f x y =由方程22240x y z z ++-=所确定，求全微分dz ． 【答案】2xdx ydy z+- 【解析】方程两边微分，得22240xdx ydy zdz dz ++-=，整理得2xdx ydy dz z +=-．47．计算二重积分22x y D e dxdy +⎰⎰，其中D 是环形域2214x y ≤+≤．【答案】()4e e π- 【解析】()222222224011122x y r r D edxdy d e rdr e dr e e πθππ+=⋅=⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰．48．求微分方程'xy e y x x+=的通解． 【答案】()1x y e C x=+ 【解析】()()11ln ln 11x xdx dx x x x x x x e e y e e dx C e e dx C e dx C e C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．49．求幂级数11(1)(1)n n n x n∞-=--∑的收敛区间． 【答案】(0,2) 【解析】11(1)lim lim 11(1)n n n n n nu x n x u n x ++→∞→∞-=⋅=-+-，令11x -<，得111x -<-<，即02x <<，故收敛区间为(0,2)．50．求级数11n n nx∞-=∑的和函数．【答案】()()211S x x =-，()1,1x ∈-【解析】易求得此级数的收敛域为()1,1-，设()11n n S x nx ∞-==∑，()1,1x ∈-，则11000111()1xxx n n n n n n x S t dt nt dt nt dt x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰，()1,1x ∈-，两边求导，得()()2111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，故原级数的和函数为()()211S x x =-，()1,1x ∈-．四、应用题（每小题7分，共14分）51．计算由曲线0x =，x y e =，y e =所围成的平面图形的面积．【答案】1【解析】所求平面图形的面积()101x S e e dx =-=⎰．52．某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数3()400002000.002C x x x =+-，收入函数3()3500.004R x x x =-，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？【答案】37500【解析】公司的利润22()()()3500.004400002000.002L x R x C x x x x x =-=---+21500.00240000x x =--，1500.004L x '=-，令0L '=，得唯一驻点37500x =，且0L ''<，由实际问题知最大值一定存在，故37500x =时，L 取得最大值，即生产37500辆自行车时，公司利润最大．五、证明题（6分）53．已知方程11730x x x x --+=有一正根1x =，证明方程1062117310x x x --+=必有一个小于1的正根．【证明】令1173()f x x x x x =--+，则根据题意可知(1)0f =，因为()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(0)(1)0f f ==，故由罗尔定理可知：()0,1ξ∃∈，使得()0f ξ'=，即1062117310ξξξ--+=，故方程1062117310x x x --+=必有一个小于1的正根．。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05不等式）一、选择题：1.（2015安徽文）已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）12.（2015北京理）若，满足则的最大值为（）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.考点：线性规划；3．（2015福建文）若直线过点，则的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C考点：基本不等式．4．（2015福建理）若变量满足约束条件则的最小值等于 ( )A． B． C． D．2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．考点：线性规划．5．（2015福建文）变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C ．考点：线性规划．6.（2015广东文）若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C考点：线性规划．7．（2015广东理）若变量，满足约束条件则的最小值为（）A ． B. 6 C. D. 4【答案】．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由得，依题当目标函数直线：经过时，取得最小值即，故选【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．8.（2015广东文）不等式的解集为．（用区间表示）【答案】【解析】试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．考点：一元二次不等式．9、(2015湖南文)若变量x、y满足约束条件，则z=2x-y的最小值为( )A、-1B、0C、1D、2【答案】AxyOAl考点：简单的线性规划10. (2015湖南理)若变量，满足约束条件，则的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当，时，的最小值是，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.11、(2015湖南文)若实数a，b满足，则ab的最小值为( )A、 B、2 C、2 D、4【答案】C考点：基本不等式12.(2015山东理)已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若的最大值为4，则最优解可能为或，经检验，是最优解，此时；不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.13.(2015陕西理)设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．14.(2015陕西文)设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】【解析】试题分析：；；因为，由是个递增函数，所以，故答案选考点：函数单调性的应用.15. (2015陕西文)某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】当直线过点时，取得最大值故答案选考点：线性规划.16. (2015陕西理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元【答案】D【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．考点：线性规划．17. (2015上海文)下列不等式中，与不等式解集相同的是（）.A. B.C. D.【答案】B18、(2015上海理)记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根【考点定位】不等式性质19.(2015重庆文)若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）(A)-3 (B) 1 (C) (D)3【答案】B【解析】试题分析：如图，；由于不等式组,表示的平面区域为三角形ABC，且其面积等于，再注意到直线AB：x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直，所以三角形ABC是直角三角形；易知，A（2，0），B（1-m,m+1）,C();从而=，化简得：，解得m=-3,或m=1；检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m=1;故选B.考点：线性规划.20、(2015四川文)设实数x，y满足，则xy的最大值为( )(A) (B) (C)12 (D)14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015天津文)设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为（）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点：线性规划22.( 2015天津理)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C864224681510551015AB考点：线性规划.23、(2015浙江文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．B．C．D．【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.二、填空题:1、（2015北京文）如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为．【答案】7考点：线性规划.2.（2015湖北文）若变量满足约束条件则的最大值是_________．【答案】.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y 过点A时，z取最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)若x,y满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法5. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．【答案】【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO7. (2015山东文)若x,y满足约束条件则的最大值为 .【答案】【解析】试题分析：画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为.考点：简单线性规划.8. (2015山东文)定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .【答案】【解析】试题分析：由新定义运算知，，因为，，所以，，当且仅当时，的最小值是.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.9. (2015上海文)若满足，则目标函数的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. (2015天津文)已知则当a的值为时取得最大值.【答案】4【解析】试题分析：当时取等号,结合可得考点：基本不等式.11.(2015重庆文)设,则的最大值为________.【答案】考点：基本不等式.12、(2015浙江文)已知实数，满足，则的最大值是．【答案】15【解析】试题分析：由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值5；当时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故，所以，故该目标函数的最大值为.考点：1.简单的线性规划；13. (2015浙江理)若实数满足，则的最小值是．三、解答题。

15春西交《高等数学（下）》在线作业答案辅导资料一、单选题（共25 道试题，共50 分。

）V 1.A.B.C.D.满分：2 分2.A.B.C.D.满分：2 分3.A.B.C.D.满分：2 分4.A.B.D.满分：2 分5.A.B.C.D.满分：2 分6.A.B.C.D.满分：2 分7.A.B.C.D.满分：2 分8.B.C.D.满分：2 分9.A.B.C.D.满分：2 分10.A.B.C.D.满分：2 分11.A.B.C.D.满分：2 分12.A.B.C.D.满分：2 分13.A.B.C.D.满分：2 分14.A.B.C.D.满分：2 分15.A.B.D.满分：2 分16.A.B.C.D.满分：2 分17.A.B.C.D.满分：2 分18.A.B.C.D.满分：2 分19.B.C.D.满分：2 分20.A.B.C.D.满分：2 分21.A.B.C.D.满分：2 分22.A.B.C.D.满分：2 分23.A.B.C.D.满分：2 分24.A.B.C.D.满分：2 分25.A.B.C.D.满分：2 分二、判断题（共25 道试题，共50 分。

）V 1. 斯托克斯公式把曲面上的曲面积分与沿着该曲面的边界曲线的曲线积分联系起来B. 正确满分：2 分2. 两个向量的向量积等于它们的模与夹角正弦的乘积A. 错误B. 正确满分：2 分3. 函数的驻点一定是极值点A. 错误B. 正确满分：2 分4. 两个曲面方程组成的方程组是其交线的一般方程A. 错误B. 正确满分：2 分5. 一个n阶微分方程，如果其中的未知函数及各阶导数都是一次的，称为n阶线性微分方程A. 错误B. 正确满分：2 分6. 满足微分方程的函数叫做微分方程的解A. 错误满分：2 分7. 当积分弧段的方向改变时，对坐标的曲线积分要改变符号A. 错误B. 正确满分：2 分8. 形如y'+P(x)y=0的一阶微分方程为一阶齐次线性微分方程A. 错误B. 正确满分：2 分9. 空间曲线上的动点坐标x,y,z表示为参数t的函数组成的方程组叫做该曲线的参数方程A. 错误B. 正确满分：2 分10. 对面积的曲面积分的计算思路是将其化为相应的二重积分A. 错误B. 正确满分：2 分11. 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角A. 错误B. 正确满分：2 分12. 两个向量的数量积等于它们的模与夹角余弦的乘积A. 错误B. 正确满分：2 分13. 计算三重积分的基本方法是将其化为三次积分来计算A. 错误B. 正确满分：2 分14. 格林公式表明在平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达A. 错误B. 正确满分：2 分15. 既有大小又有方向的量叫做向量A. 错误B. 正确满分：2 分16. 二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关A. 错误B. 正确满分：2 分17. 在一个微分方程中所出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶A. 错误B. 正确满分：2 分18. 根据定解条件定出通解中的任意常数后得到的解，叫做微分方程的特解A. 错误B. 正确满分：2 分19. 通过分离变量求解微分方程的方法叫做分离变量法A. 错误B. 正确满分：2 分20. 计算二重积分的思路是将其化为两次单积分A. 错误B. 正确满分：2 分21. 函数在某点的各个偏导数连续，则函数在该点可微A. 错误B. 正确满分：2 分22. 如果方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的左端恰好是某个二元函数u=u(x,y)的全微分，称这种类型的方程为全微分方程A. 错误B. 正确满分：2 分23. 能写成dy/dx=f(x)g(y)形式的方程，称为分离变量的微分方程A. 错误B. 正确满分：2 分24. 对多元函数的一个变量求导，把其它变量看作常数，对该变量求导即可A. 错误B. 正确满分：2 分25. 形如dy/dx=f(y/x)的一阶微分方程为齐次微分方程A. 错误B. 正确满分：2 分。

第一次 I 一阶微分方程 1.()1(2)1yC x e +-=;2.21ln 2x e y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；3.1()1xxy x e C e=+++；4.2y x =；5.2(1)y x C+=；6.222x y y e-=；7.1cos()sin()2x y x y xπ-+=+；8.3121xCe x y=--；9.()y x y C e =-；II 可降阶的高阶方程 1.331y x x =++; 2. 12C xy C e=；3.11y x=-。

第二次1．（1）2560λλ-+=；"'560y y y -+= ；（2）2440λλ-+=；"'440y y y -+=；（3）"'230y y y -+= ；2．（1）31213x x y C e C e x -=++-；（2）12(cos2sin 2)52x y e C x C x x -=++-；（3）2xy xe x =-++；（4）121(cos2sin2)cos24x x y e C x C x xe x =+-；3．（1）2()xy e Ax B *=+；（2）*(cos2sin 2)y x A x B x =+；（3）(cos sin )xy Ae x B x C x *=++；（4）cos2sin 2y A B x C x *=++；微分方程 综合练习题一选择题1.B ；2.A ；3.D; 二 提示：根据线性方程解的结构证明；三.(1ln )y x x =-;四 1. tan tan x y C ⋅=;2. sin ()xy ex C -=+;3. 2312x y Cy =+;4. 21(1)x xy Ce xy -=+;5. 特解：2111s i n s i n 22x y y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.（或者111c o s 2s i n 44x y y ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦； 6. 21212y C x C =+；7.12()()2x y x C xC e x =+++；8.421214xxy C C e e=+-；9.12(cos sin )x xy e C x C x e =++；五1. ()cos ()sin y Ax B x Cx D x *=+++；2.(cos sin )x y x Ae B x C x *=++。

广东海洋大学2014—2015学年第二学期《高等数学》课程试题课程号：x2□√考试□√A 卷□√闭卷□考查□B 卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数24 14 28 286100实得分数一 . 填空（3×8=24分）1.设1,2,1a ，0,1,x b ，b a，则x2.设1,0,2a，0,1,0b，则ba3.曲面222y xz在点)2,1,1(处的切平面方程为4.将xoz 平面上的曲线1422zx绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为5.函数)3ln(22y xz的驻点为6.设L 为连接)0,1(到点)1,0(的直线段，则dsx y L)(7.幂级数13n nn x的收敛半径为8.微分方程xey3的通解为y二 .计算题（7×2=14分）1.设)ln(22y xy z，求dz .2.设函数),(y x f z 是由方程333a xyz z所确定的具有连续偏导数的函数，求22,xzxz.姓名：学号：试题共5 页加白纸3 张密封线GDOU-B-11-302三 .计算下列积分（7×4=28分）1.dxdy x yD)(2，其中D 是由0y, 2x y及1x所围成的闭区域。

2.证明曲线积分dy xy xdxy xy )2()2(2)1,1()0.0(2在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值。

3.计算dxdyz dzdx y dydzx )3()2()1(,其中是球面9222zyx的外侧。

4.计算dxdy yxD2211，其中D 是由2522yx围成的闭区域。

四 .计算题（7×4=28分）1.判别级数2121)1(nn n是否收敛? 若收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 2.将函数31)(xx f 展开为x 的幂级数。

3. 求微分方程62ydxdy满足初始条件20xy的特解。

4.求微分方程xe yy 的通解。

五.证明)()()(ydx x f x dxx f dy（6分）2014-2015学年第二学期《高等数学》A 卷（参考答案及评分标准课程号：×2一、填空（3×8=24分）1. 2；2. 2,0,1；3.02zyx；4. 4.14222zyx；5.)0,0(；6.2；7.3；8. 21391c x c ex二、计算题（14分）1.222yxxyx z ,222222)ln(yxyy xy z ,(4分)dy yxyy xdxyxxydz]2)[ln(22222222(3分)2.令),,(z y x F 333a x yz z （1分），得y zF F zx 33,12，则yzF F xzzx 3312，（4分）则322222)33(6)33(6y zz y zx z z xz. (2分)三．计算下列积分（7×4=28分）1.原式101)21()21()(4101022分3210分422dx x dxy x ydyx y dxxx2.设xy xy x Q y xy y x P 2),(,2),(22，有y xxQ yP22，所以曲线积分与路径无关。

2015年高考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•原题）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A ．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•原题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A ．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•原题）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A ．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）（2015•原题）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．（5分）（2015•原题）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．6．（5分）（2015•原题）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•原题）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A ．f（sin2x）=sinxB．f（sin2x）=x2+xC．f（x2+1）=|x+1|D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•原题）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•原题）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•原题）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•原题）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•原题）若a=log43，则2a+2﹣a= ．13．（4分）（2015•原题）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•原题）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•原题）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= ，y0= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•原题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•原题）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•原题）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•原题）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•原题）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年高考数学试卷（理科）答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（原题卷）数学（理科）1．（5分）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card （A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线的简单性质．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．分析：解解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，答：∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．点评：10．（6分）函数的值．考点：计算题；函数的性质及应用．专题：分根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，析：当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．点评：11．（6分）两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．考点：专三角函数的求值．题：分由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等析：式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．评：15．（6分）空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．考点：专创新题型；空间向量及应用．题：分由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由析：已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，答：∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．评：三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）余弦定理．考点：解三角形．专题：分（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利析：用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．解解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，答：又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n≤（n∈N*），利用a n﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n﹣a n+1累加得S n=﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n≥（n≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n∈N*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。

2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案一、 选择题BCBBB CAACB CB二、 填空题 13. 13 14. 231- 15. [1,1]- 16. 1[1,)2- 三、 解答题17．解 (Ⅰ)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．…………2分又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．……………5分(Ⅱ)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ……………7分∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. ……………10分 18.解:( Ⅰ)设回归直线方程为ˆy =ˆbx+ˆa . ∵72i i 1x =∑=280,72i i 1y =∑=45 309,7i 1=∑x i y i =3 487,x =6,y =5597, ……………2分 ∴ˆb =5593487767280736-⨯⨯-⨯=13328=4.75, ……………4分 ˆa =5597-6×4.75≈51.36, ∴回归直线方程为ˆy =4.75x+51.36. ……………6分(Ⅱ)当x=20时,ˆy =4.75×20+51.36≈146.故某天的销售量为20件时,估计这天可获纯利大约为146元. ……………12分19.解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,第4组的频率为0.04×5=0.2,第5组的频率为0.02×5=0.1. ……………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. ……………5分因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为第3组:3060×6=3, 第4组:2060×6=2, 第5组:1060×6=1. 所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人. ……………7分(Ⅲ)设第3组的3位同学为A 1,A 2,A 3,第4组的2位同学为B 1,B 2,第5组的1位同学为C 1.则从六位同学中抽两位同学有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共15种可能. ……………9分其中第4组的2位同学为B 1,B 2至少有一位同学入选的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2).(A 3,B 1),(B 1,B 2),(A 3,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共9种可能.所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35.……………12分 20.解 (Ⅰ)如图所示建立直角坐标系， 设角(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边，0OP 为终边的角,则.6πϕ=-……………2分OP 每秒钟内所转过的角为52.606ππ⨯=……………4分 由OP 在时间()t s 内所转过的角为52().606t t ππ⨯= 由题意可知水轮逆时针转动， 故所求的函数关系式为4sin() 2.66z t ππ=-+……………6分 (Ⅱ)令4sin()26,66z t ππ=-+=……………9分得sin()1,66t ππ-= ,4,662t t πππ-==令得故点p 第一次到达最高点大约需要4s . ……………12分 21．解：（Ⅰ）sin θ因为，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有： 220(1)sin cos (2)21sin cos (382)b b θθθθ⋯⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⋯⎪⋯=⋯⋯⎪⎪⎩分由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，……………4分又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=……………6分 （Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-因为……………8分且sin cos )04πθθθ-=->，sin cos 2θθ∴-=……………10分sin 1cos 1sin cos 21cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅=-+-.……………12分1cos(2)1cos 2322.:()()221[cos(2)cos 2]2313(2cos 2)222)23x x f x x x x x x πωωπωωωωπω+--=-=-+=+=+解Ⅰ………………………………………………………2分 2,(),0,,12f x ππωπωω>∴==由题意可知的最小正周期为且即())3()122f x x f ππ∴=+∴=………………………………………………………………………………5分 ()|()|1,()1()1f x m f x m f x -≤-≤≤+Ⅱ即min max 7[,0]|()|1,12()1()1,x f x m m f x m f x π∃∈--≤≥-≤+因为使得成立所以且 ………………………………………………………………………………7分max min 750,2126331sin(2)33)343(),()42x x x x f x f x ππππππ-≤≤-≤+≤-≤+≤≤+≤==-因为所以所以所以即 …………………………………………………………………10分7147[1,].24m m -≤≤--即的取值范围是 ………………………………………………………………………………12分。