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第4课时 万有引力定律及其应用一、万有引力定律及其应用1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比．2．表达式：F ＝Gm 1m 2r 2，G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2.3．适用条件．(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 二、环绕速度1．第一宇宙速度又叫环绕速度． 推导过程为：由mg ＝mv 21R ＝GMmR2得v 1＝GMR＝gR ＝7.9 km /s . 2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度． 三、第二宇宙速度和第三宇宙速度1．第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km /s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km /s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．1．只有天体之间才存在万有引力．(×)2．只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G MmR 2计算物体间的万有引力．(×)3．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．(×)4．第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是贴近地面运行的卫星的运行速度，即人造地球卫星的最大运行速度．(√)5．第一宇宙速度与地球的质量有关．(√)6．地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．(×)7．若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行．(√)1．(多选)(2016·日照模拟)一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则( )A ．恒星的质量为v 2T2πGB ．行星的质量为4π2v3GT2C ．行星运行的轨道半径为vT 2πD ．行星运行的加速度为2πvT解析：结合万有引力定律公式GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r ，可解得恒星的质量M ＝v 3T2πG ，选项A错误；因不知道行星和恒星之间的万有引力的大小，所以行星的质量无法计算，选项B 错误；因v ＝ωr＝2πr T ，所以r ＝vT 2π，选项C 正确；行星的加速度a ＝v 2r ＝2πvT，选项D 正确．答案：CD2．(多选)(2015·课标全国I 卷)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落，已知探测器的质量约为1.3×103kg ，地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，地球表面的重力加速度约为9.8 m /s 2，则此探测器( )A ．着地前的瞬间，速度大小约为8.9 m /sB ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 NC ．从离开近月圆轨道这段时间内，机械能守恒D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度解析：在中心天体表面上万有引力提供重力GMmR 2＝mg, 则可得月球表面的重力加速度g月＝G M 81⎝ ⎛⎭⎪⎫R 3.72＝3.7281g 地≈1.66 m /s 2 .根据平衡条件，探测器悬停时受到的反作用力F ＝G 探＝m 探g 月 ≈ 2×103 N ，选项B 正确；探测器自由下落，由v 2＝2g 月h ，得出着地前瞬间的速度v≈3.6m /s ，选项A 错误；从离开近月圆轨道，关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动悬停，发动机做了功，机械能不守恒，故选项C 错误；在近月圆轨道万有引力提供向心力：GM 月m R 月＝m v 2月R 月，解得运行的线速度v月＝GM 月R 月＝ 3.7GM 地81R 地<GM 地R 地，小于近地卫星线速度，选项D 正确． 答案：BD3．(2015·信阳模拟)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )A ．3.5 km /sB ．5.0 km /sC ．17.7 km /sD ．35.2 km /s解析：航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，由火星对航天器的万有引力提供航天器的向心力得GM 火m R 2火＝mv 2火R 火，同理GM 地m R 2地＝mv 2地R 地，所以M 火M 地·R 地R 火＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 火v 地2，v 火＝15·v 地，而v 地＝7.9 km /s ， 故v 火＝7.95 km /s ≈3.5 km /s ，选项A 正确．答案：A4．(2015·淄博模拟)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A .n3k2T B .n 3k T C .n2kT D .n kT 解析：双星靠彼此的引力提供向心力， 则有G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2，G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2， 并且r 1＋r 2＝L. 解得T ＝2πL3G （m 1＋m 2）.当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时有T′＝2πn 3L3Gk （m 1＋m 2）＝n3kT ，故选项B 正确． 答案：B一、单项选择题1．(2016·济宁模拟)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0B .GM（R ＋h ）2C .GMm （R ＋h ）2 D .GMh2解析：对飞船受力分析知，所受到的万有引力提供匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即G Mm （R ＋h ）2＝mg ，可得飞船的重力加速度为g ＝GM （R ＋h ）2，故选B .答案：B2．2015年9月20日7时01分，我国新型运载火箭长征六号在太原卫星发射中心点火发射，成功将20颗微小卫星送入太空．此次发射任务圆满成功，不仅标志着我国长征系列运载火箭家族再添新成员，而且创造了中国航天一箭多星发射的新纪录．如图所示为其中两颗卫星A 、B 在同一平面内绕地球做匀速圆周运动的示意图，则这两颗卫星相比( )A ．卫星A 的线速度较大B ． B ．卫星A 的周期较大C ．卫星A 的角速度较大D ．卫星A 的加速度较大解析：根据人造地球卫星围绕轨道做匀速圆周运动所需要的向心力由万有引力提供得： G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝ma. 解得v ＝GMr，ω＝GMr3，T ＝4π2r 3GM ，a ＝GMr2. 由上述计算可以得出当卫星的轨道半径越大时，线速度、角速度、加速度都会变小，r A >r B ，所以卫星A 的线速度、角速度、加速度均小于卫星B 的相应值，而卫星A 的周期较大，故B 正确．答案：B3．(2015·阳泉模拟)“北斗”导航系统是我国自行研发的全球导航系统，它由5颗静止轨道卫星(同步卫星)与30颗非静止轨道卫星组成．已知月球公转周期约为27天，则地球静止轨道卫星与月球( )A ．角速度之比约为27∶1B ．线速度之比约为27∶1C ．半径之比约为1∶27D ．向心加速度之比约为1∶27解析：根据ω＝2πT ，可知角速度与周期成反比，因同步卫星与月球的公转周期之比为1∶27，则角速度之比约为27∶1，故A 正确；根据万有引力提供圆周运动向心力有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得卫星运动的周期T ＝2πr 3GM 可得月球周期与同步卫星周期的比值T 1T 2＝r 31r 32，所以月球到地球的距离与同步卫星到地球的距离比为r 1r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27123＝91，即同步卫星到地球的距离与月球到地球的距离比为1∶9，再根据v ＝2πrT ，即得线速度之比约为3∶1，故B 、C 错误；根据a n ＝vω，得向心加速度之比约为81∶1，故D 错误．答案：A4．(2015·荆州模拟)火星和地球绕太阳运行的轨道可近似视为圆形，若已知火星和地球绕太阳运行的周期之比，则由此可求得( )A ．火星和地球受到太阳的万有引力之比B ．火星和地球绕太阳运行速度大小之比C ．火星和地球表面的重力加速度之比D ．火星和地球的第一宇宙速度之比解析：研究火星和地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式G Mmr2＝m 4π2T 2r ，可以得到环绕天体的半径r ＝3GMT 24π2，依据周期之比可得半径之比，再依据v ＝2πr T得v ＝32πGM T ，可以得到速度之比，而根据F n ＝GMm r2，由于火星和地球质量之比不知道，所以万有引力之比无法求出，故选项A 项误，B 正确；忽略球体自转的影响，万有引力和重力相等，即G Mm R 2＝mg ，得g ＝GMR 2，由于星球的半径之比不知道，故不可以求得火星和地球绕太阳运动的表面的重力加速度之比，故C 错误；根据万有引力提供向心力得G Mm R 2＝m v2R ，即v＝GMR，由于星球的半径之比不知道，故不可以求得火星和地球的第一宇宙速度之比，故D 错误．答案：B5．(2015·榆林模拟)在地球大气层外有大量的太空垃圾，在太阳活动期，地球大气会受太阳风的影响而扩张，使一些原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，从而开始向地面下落．大部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太空垃圾仍会落到地面上，对人类造成危害．太空垃圾下落的原因是( )A ．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致下落B ．太空垃圾在与大气摩擦燃烧过程中质量不断减小，进而导致下落C ．太空垃圾的上表面受到的大气压力大于其下表面受到的大气压力，这种压力差将它推向地面D ．太空垃圾在大气阻力作用下速度减小，运动所需的向心力将小于万有引力，垃圾做趋向圆心的运动，落向地面解析：太空垃圾在外大气层中运行时，受大气阻力作用速度减小，会出现GMm r 2>mv2r 的情况，所以太空垃圾做向心运动，落向地面，D 项正确．答案：D6．(2015·南阳模拟)长期以来“卡戎星(Charon )”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r 1＝19 600 km ，公转周期T 1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r 2＝48 000 km ，则它的公转周期T 2最接近于( )A ．15天B ．25天C ．35天D ．45天解析：由G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝2πr 3GM ，所以T 2T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 13，解得T 2≈24.49天，所以B 项正确．答案：B二、多项选择题7．(2016·东营模拟)火星探测已成为世界各国航天领域的研究热点．现有科学家设计发射一颗火星的同步卫星，若已知火星的质量M ，半径R 0，火星表面的重力加速度g 0，自转的角速度ω0，引力常量G ，则同步卫星离火星表面的高度为( )A .3g 0R 20ω20－R 0B .3g 0R 20ω20C .3GM ω20－R 0D .3GM ω20解析：对于火星表面的物体有mg 0＝G Mm R 20，解得g 0R 20＝GM.设火星同步卫星的质量为m ，距火星表面的高度为h ，同步卫星围绕火星做匀速圆周运动的向心力由同步卫星与火星之间的万有引力提供，则有mω2(h ＋R 0)＝G Mm （h ＋R 0）2，解得h ＝3GM ω20－R 0，将g 0R 20＝GM 代入h ＝3GM ω20－R 0，得h ＝3g 0R 20ω20－R 0，综合上述计算可知选项A 、C 正确． 答案：AC8．(2015·大连模拟)一颗围绕地球运行的飞船，其轨道为椭圆．已知地球质量为M ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，地球表面重力加速度为g.则下列说法正确的是( )A ．飞船在远地点速度一定大于gRB ．飞船在近地点瞬间减速转移到绕地圆轨道后，周期一定变小C ．飞船在远地点瞬间加速转移到绕地圆轨道后，机械能一定变小D ．飞船在椭圆轨道上的周期可能等于π27R5g解析：gR 是第一宇宙速度，飞船在远地点的速度一定小于gR ，选项A 错；根据开普勒定律知r3T 2＝a(恒量)，r 减小后，T 也会减小，选项B 对；飞船在远地点瞬间加速后，机械能变大，选项C 错；飞船近地飞行时周期最小，根据G Mm R 2＝mR 4π2T2，得T ＝2πR3GM＝2πR g<π27R5g ，选项D 对． 答案：BD9．宇宙飞船绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，地球自转周期为T 0.太阳光可看作平行光，不考虑地球公转的影响，宇航员在A 点测出地球的张角为α，下列说法中正确的是( )A ．飞船的高度为Rsinα2B ．飞船的线速度为 GM sinα2RC ．飞船的周期为2πR3GM ⎝⎛⎭⎪⎫sin α23D ．飞船每次“日全食”过程的时间为αT 02π解析：飞船绕行有v ＝GMr，① T ＝2πr3GM.② 应用几何关系，在△OEA 中有sin α2＝Rr ，③飞船高度为h ＝r －R.④③式代入④式，解得h ＝R ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1sin α2－1，故选项A 错误；解①③得v ＝GM sinα2R，故选项B 正确；解②③得T ＝2πR3GM ⎝⎛⎭⎪⎫sin α23，选项C 正确；每次“日全食”时间t 为绕行弧BAC 的时间．由△ODB≌△OEA 知γ＝α2，又有β＝γ，解得β＝α2.⑤综合圆周运动规律有2β＝ωt，2π＝ωT 0，解得t ＝T 0βπ，⑥解⑤⑥式得t ＝α2πT 0，故选项D 错误．答案：BC三、非选择题10．(2016·菏泽模拟)如图所示，一位宇航员站在某质量分布均匀的星球表面的一斜坡上的A 点，沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点B ，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R.求：(1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的第一宇宙速度．解析：(1)设该星球表面的重力加速度为g ，A 、B 两点之间的距离为L ，则根据平抛运动规律有，水平方向上x ＝L cos α＝v 0t ，竖直方向上y ＝L sin α＝12gt 2.解得g ＝2v 0tan αt.(2)设该星球质量为M ，其第一宇宙速度为v ，对绕该星球表面运行的质量为m′的卫星，由万有引力定律得GMm ′R2＝m′g， 又由万有引力定律和牛顿第二定律有GMm′R 2＝m′v2R ，解得v ＝2Rv 0tan αt. 答案：(1)2v 0tan αt (2)2Rv 0tan αt11．(2016·咸阳模拟)发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h 1的近地圆轨道上，在卫星经过A 点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B 再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示．已知同步卫星的运行周期为T ，地球的半径为R ，地球表面重力加速度为g ，忽略地球自转的影响．求：(1)卫星在近地点A 的加速度大小； (2)远地点B 距地面的高度．解析：(1)设地球质量为M ，卫星质量为m ，万有引力常量为G ，卫星在A 点的加速度为a ，根据牛顿第二定律有G Mm（R ＋h 1）2＝ma.设质量为m′的物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，有 GMm ′R2＝m′g.由以上两式得a ＝gR2（R ＋h 1）2.(2)设远地点B 距地面的高度为h 2，卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有G Mm （R ＋h 2）2＝m 4π2T 2(R ＋h 2)， 解得h 2＝ 3gR 2T 24π2－R.答案：(1)gR2（R ＋h 1）2 (2) 3gR 2T 24π2－R1．分解速度：合速度为v ＝v 2x ＋v 2y ，合速度与水平方向夹角为θ＝arctan v y v x.2．分解位移：相对抛出点的位移(合位移)为s ＝x 2＋y 2，合位移与水平方向夹角为φ＝arctan yx.3．分解加速度：对于有些问题，过抛出点建立适当的直角坐标系，把重力加速度g 正交分解为g x 、g y ，把初速度v 0正交分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向列方程求解，可以避繁就简，化难为易．4．推论：做平抛运动的物体，其末速度的反向延长线必过水平位移的中点．做平抛运动的物体其速度偏转角正切值等于其位移偏转角正切值的两倍．1．(2016·开封模拟)CTMD (中国战区导弹防御体系)是一种战术型导弹防御系统，可以拦截各类型的短程及中程超音速导弹．在某次演习中，检测系统测得关闭发动机的导弹在距地面高为H 处，其速度为v 且恰好水平，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度v 0竖直向上发射一颗炮弹成功拦截．已知发射时炮弹与导弹的水平距离为s ，不计空气阻力，则( )A ．v 0＝H s vB ．v 0＝H sv C ．v 0＝sHv D ．v 0＝v解析：炮弹做竖直上抛运动有h 1＝v 0t －12gt 2，导弹做平抛运动有s ＝vt ，h 2＝12gt 2，且h 1＋h 2＝H ，联立得v 0＝Hsv ，所以只有A 项正确．答案：A2．(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A 球水平抛出，同时B 球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的是( )A ．两球的质量应相等B ．两球应同时落地C ．应改变装置的高度，多次实验D ．实验也能说明A 球在水平方向上做匀速直线运动解析：小锤打击弹性金属片后，A 球做平抛运动，B 球做自由落体运动．A 球在竖直方向上的运动情况与B 球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A 、B 两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A 球在水平方向上的运动性质，故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．答案：BC3．(2015·沈阳模拟)在倾角为37°的斜面上，从A 点以6 m /s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，如图所示．求小球刚碰到斜面时的速度偏向角α及A 、B 间的距离s 和小球在空中的飞行时间t(g 取10 m /s 2，tan 37°＝0.75，cos 37°＝0.8)．解析：由中点定理得tan α＝2tan 37°， 由图可得v y ＝v A ·tan α， 又v y ＝gt.解得t ＝0.9 s ，α＝arctan 32.由平抛运动规律，得x ＝v A t ， h ＝12gt 2， s ＝x 2＋h 2. 解得s ＝6.75 m .答案：α＝arctan 32s ＝6.75 m t ＝0.9 s高考对圆周运动考查的常见模型主要有：水平转盘、圆锥摆、凹形桥与拱形桥等竖直平面内的圆周运动，常与牛顿运动定律、动能定理等知识点进行综合考查．4．(2015·武汉模拟)在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型内壁，产生次品．已知管状模型内壁半径R ，则管状模型转动的最低角速度ω为( )A .gRB . g 2RC .2gRD ．2g R解析：最易脱离模型内壁的位置在最高点，转动的最低角速度ω对应铁水在最高点受内壁的作用力为零，即mg＝mω2R，得ω＝gR，A项正确．答案：A5．(多选)(2016·安阳模拟)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是( )A．Q受到桌面的支持力变大B．Q受到桌面的静摩擦力变大C．小球P运动的角速度变大D．小球P运动的周期变大解析：根据小球做圆周运动的特点，设线与竖直方向的夹角为θ，小球质量为m，金属块质量为M，故F T＝mgcosθ，对金属块受力分析由平衡条件知F f＝F T sinθ＝mg tanθ，F N＝F T cosθ＋Mg＝mg＋Mg，故在θ增大时，Q受到的支持力不变，静摩擦力变大，A项错误，B项正确；设线的长度为L，由mg tanθ＝mω2L sinθ，得ω＝gL cosθ，故角速度变大，周期变小，故C项正确，D项错误．答案：BC6．(2016·潍坊模拟)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L ＝0.8m 的细绳，一端固定在O 点，另一端系一质量为m ＝0.2 kg 的小球，沿斜面做圆周运动，取g ＝10 m /s 2，若要小球能通过最高点A ，则小球在最低点B 的最小速度是( )A ．2 m /sB ．210 m /sC ．2 5 m /sD ．2 2 m /s解析：恰好过最高点时由mg sin α＝mv 2AL ，得v A ＝gL sin α＝2 m /s ，由B 到A 由机械能守恒有12mv 2B ＝12mv 2A ＋mg·2L sin α，代入数据解得vB ＝2 5 m /s ，C 项正确．平抛运动与圆周运动的组合问题分为两类：一类是物体先做平抛运动，后进入圆轨道受到约束做圆周运动；另一类是物体先做圆周运动，失去约束沿水平方向抛出，后做平抛运动．解决第一类问题的关键点为平抛运动的末速度的方向是沿圆轨道进入点处的切线方向，解决第二类问题的关键点是物体失去约束时的速度等于平抛运动的初速度．7．(2015·唐山模拟)如图所示，P 是水平面上的圆弧凹槽．从高台边B 点以某速度v 0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A 点沿圆弧切线方向进入轨道．O 是圆弧的圆心，θ1是OA 与竖直方向的夹角，θ2是BA 与竖直方向的夹角．则( )A .tan θ2tan θ1＝2 B ．tan θ1·tan θ2＝2C ．tan θ1·tan θ2＝12D .tan θ1tan θ2＝2解析：由题意可知tan θ1＝v y v x ＝gt v 0，tan θ2＝x y ＝v 0t 12gt 2＝2v 0gt，所以tan θ1·tan θ2＝2，故B 正确．答案：B8．(2015·渭南模拟)如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R ＝0.5 m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ，物块平抛落地过程水平位移的大小s ＝0.4 m ．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g ＝10 m /s 2.求：(1)物块做平抛运动的初速度大小v 0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ.解析：(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有H ＝12gt 2，①在水平方向上有s ＝v 0t ，②由①②式解得v 0＝sg 2H. 代入数据得v 0＝1 m /s .③(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力， 有Ff m ＝m v 2R ，④Ff m ＝μF N ＝μmg，⑤ 由③④⑤式解得μ＝v 2gR ，代入数据得μ＝0.2. 答案：(1)1 m /s (2)0.2。
第四课时万有引力定律及应用第一关：根底关展望高考基础知识一、万有引力定律学问讲解1.内容:自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比,与它们距离的二次方成反比.2.公式式中r表示两质点间的距离,m1\,m2表示两质点的质量,G表示引力常量,×10-11 N\5m2/kg2.3.适用条件①万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算.②对于可视为质点的物体间的引力的求解也可以利用万有引力公式,如两物体间距离远大于物体本身大小时,物体可看做质点;均匀球体可视为质量集中于球心的质点.③当争辩物体不能看成质点时,可以把物体假想分割成很多个质点,求出两个物体上每个质点与另一个物体上全部质点的万有引力,然后求合力.例如将物体放在地球的球心时,由于物体各方面受到相互对称的万有引力,故合外力为零.活学活用1.如下图，两球的半径分别是r1和r2,而球的质量分布均匀，大小分别是m1和m2，那么两球间的万有引力大小为()解析:万有引力定律中，两个物体间的距离r,对于相距很远可以看成质点的物体是两个质点的距离；假设不能看成质点但两物体是球体而且质量分布均匀，r是两球心之间的距离.因此：答案:D二、三个宇宙速度学问讲解1.第一宇宙速度:要想放射人造卫星,必需具有足够的速度,放射人造卫星最小的放射速度称为第一宇宙速度,v=7.9 km/s.但却是绕地球做匀速圆周运动的各种卫星中的最大环绕速度.2.其次宇宙速度:当人造卫星进入地面四周的轨道速度大于7.9 km11.2 km/s时,卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行,成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去,我们把11.2 km/s称为其次宇宙速度,也称脱离速度.3.第三宇宙速度:当物体的速度等于或大于16.7 km/s时,物体将摆脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的宇宙空间中去,我们把16.7 km/s称为第三宇宙速度,也称逃逸速度.活学活用2.我国将要放射一颗绕月球运行的探月卫星“嫦娥一号”，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，那么该探月卫星绕月运行的速度约为()A. km/sB.1.8 km/sC.11 km/sD.36 km/s得近地(月)卫星的线速度为,那么近月卫星与近地卫星的线速度之比为，所以近月卫星的线速度为.所以选项B正确.答案:B三、近地卫星和同步卫星学问讲解1.近地卫星所谓近地卫星,是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径,卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力供应.它的运行速度为第一宇宙速度,也是卫星的最大环绕速度.2.地球同步卫星的六个确定①位置确定(必需位于地球赤道的上空)地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面确定,与地球的赤道面重合.如下图,假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合,同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力F的作用,绕地轴做圆周运动,F的一个分力F1供应向心力,而另一个分力F2将使同步卫星不断地移向赤道面,最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力F全部供应向心力),不行能定点在我国某地的正上方.②周期(T)确定a.同步卫星的运行方向与地球自转方向全都.b.同步卫星的运转周期与地球自转周期违反,T=24 h.③角速度(ω)确定由公式得，地球同步卫星的角速度,由于T恒定，π为常数，故ω也确定.④向心加速度(a)大小确定地球同步卫星的向心加速度为a,那么由牛顿其次定律和万有引力定律得⑤距离地球外表的高度(h)确定由于万有引力供应向心力，那么在ω确定的条件下，同步卫⑥环绕速率确定在轨道半径确定的条件下,同步卫星的环绕速率也确定,且为活学活用3.用m表示地球同步通信卫星的质量、h表示卫星离地面的高度、M表示地球的质量、R0表示地球的半径、g0表示地球外表处的重力加速度、T0表示地球自转的周期、ω0表示地球自转的角速度，那么地球同步通信卫星的线速度v为()A.ω0(R0+h)B.CD解析:设地球同步卫星离地心的高度为r,那么r=R0+h所以线速度：v=ωr=ω0(R0+h)同步卫星做圆周运动由万有引力供应向心力：得：,又由于：那么，应选项A、B、C、D均正确.答案:ABCD其次关：技法关解读高考解题技法一、万有引力定律的应用技法讲解应用万有引力定律分析天体运动的根本方法：在地球上，通常物体的质量都较小，所以通常物体之间的万有引力很小，分析地球上物体的受力状况时，一般都不考虑物体之间的万有引力〔重力除外〕.但天体的质量很大，所以天体之间的万有引力很大，实际上，正是天体之间的万有引力打算了天体的运动规律.中学阶段我们处理天体问题，有两个根本动身点：〔1〕把天体的运动看作是匀速圆周运动；〔2〕万有引力供应天体做匀速圆周运动的向心力.然后，利用牛顿其次定律把这两点联系起来.所以牛顿其次定律是分析天体运动的根本规律，即：1.求天体质量通过观测卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T、半径r，由牛顿运动定律得：故天体的质量为：留意，这种方法只能求处在圆心上的天体质量.2.测天体的密度设天体的质量为M，半径为R，那么其体积为，假设天体的某颗卫星的质量为m，其轨道半径为r，运行周期为T，由得：故天体的密度为：当卫星的轨道半径r与天体的半径相等时，即r=R时，典例剖析例1某行星运行一昼夜时间T=6 h，假设弹簧秤在其“赤道”上比“两极”处测同一物体重力时，读数小10%.〔1〕那么该行星的密度为多大？〔2〕设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，这时该行星的自转周期是多少？解析：〔1〕在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，；在赤道上，万有引力分解为两个分力，其一是物体重力，其二为物体随行星转动的向心力，即所以密度对物体原来有飘起来时：由上述两式得×103 kg/m3(2)1.9 h二、同步卫星问题技法讲解×104 km处.1.高度的求法设地球质量为M，地球半径为R=6.4×106 m，卫星质量为m，依据牛顿其次定律有：又GM=R2g以上两式联立解得：同步卫星距地面的高度为：×107×106×107 m.或依据将各量代入求出同步卫星的高度h.2.同步卫星与其他卫星的区分全部卫星的轨道平面都通过地球球心.同步卫星的轨道半径、运行周期、运行速率都是确定的；一般卫星的轨道半径、运行周期、运行速率是可以变化的，但运行速率的最大值不能超过7.9 km/s,最小周期不能小于85 min.典例剖析例2地球同步卫星到地心的距离r可由求出，式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，那么〔〕①a是地球半径，b是地球自转角速度，c是地球外表处的重力加速度②a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度③a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度④a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球外表处的重力加速度A.①②B.①③C.④D.③④解析：可确定r、T的关系式，故能求解.对同步卫星有，在地面处有.应选项C正确.答案：C三、估算问题技法讲解1.物理估算，一般是依据确定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对分析物理量的数值或取值范围进展大致的推算.2.物理估算是一种重要方法，有的物理问题，在符合精确度的前提下，可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不行能进展精确计算.在这种状况下，估算就成为一种既符合科学又有有用价值的特殊方法.3.有一些天体方面的估算题，常需要利用一些隐含条件或生活中的物理常识，应有意识地加以利用.如在地球外表的物体受到的万有引力近似等于重力；地球外表四周重力加速度g=9.8 m/s2，地球自转周期T=24 h，公转周期T′=365天，月球绕地球自转周期约为30天等.典例剖析例3地球的半径为R0=6.4×106 m，又知月亮绕地球的运动可以近似看做匀速圆周运动，那么可以估算出月球到地心的距离为多少？〔结果保存两位有效数字〕解析：月球到地心的距离就是月球的轨道半径.月球绕地球运动的周期为T=30天，设地球、月亮的质量分别为M、m，轨道半径为r，那么有，地球外表四周，那么有GMmR20=mg，联立上面两式代入数据得r=4.0×108 m.答案：4.0×108 m第三关：训练关笑对高考随堂训练1.2022年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星放射中心放射成功，9月27日“神舟七号”飞船在离地球外表h 高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球的半径为R，万有引力常量为G.以下说法不正确的选项是()A.“神七”运行的线速度大小为B.“神七”运行的线速度小于第一宇宙速度C.“神七”运行时的向心加速度大小为D.地球外表的重力加速度大小为解析：“神舟七号”航天飞船线速度大小为，选项A错误；向心加速度大小，选项C正确;用M表示地球的质量，对航天飞船m有在地球外表由以上两式解得选项D正确.答案：A2.我国将来将建立月球基地，并在绕月轨道上建筑空间站.如下图，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，空间站绕月轨道半径为r,周期为T,万有引力常量为G,以下说法中不正确的选项是()A.图中航天飞机正在加速飞向B处B.航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必需点火减速C.依据题中条件可以算出月球质量D.依据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小答案：D3.如下图，a是静止在地球赤道上的物体，b、c是两颗人造地球卫星，其中c是地球的同步卫星，a、b、c在同一平面内沿不同的轨道绕地心做匀速圆周运动，三者绕行方向违反〔为图中顺时针方向〕，Rb<Rc.假设在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示，那么再经过6小时，a、b、c的位置可能是以下图中的()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：物体a和同步卫星c的运行周期均为24 h，卫星b的运行周期介于84 min和24 h之间.经过6 h，三者仍可能在同始终线上，也可能不在同始终线上,但c始终处在a的正上方，应选项D正确.答案：D4.A×104 km×105 km.无视全部岩石颗粒间的相互作用.(结果可用根式表示)〔1〕求岩石颗粒A和B的线速度之比.〔2〕求岩石颗粒A和B的周期之比.×105 km×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍.解析：〔1〕设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r,线速度为v,依据牛顿其次定律和万有引力定律有解得对于A、B两颗粒分别有设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T，那么对于A、B两颗粒分别有〔3〕设地球质量为M，地球半径为r0，地球上的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球外表重力为G0，距土星中心r0′×105 km处的引力为G0′，依据万有引力定律得解得答案：5.2022年9月25日，我国继“神舟五号”“神舟六号”载人飞船后又成功地放射了“神舟七号”“神舟七号”载人飞船绕地球的运行看做是同一轨道上的匀速圆周运动，宇航员测得自己绕地心做匀速圆周运动的周期为T、距地面的高度为H，且地球半径为R、地球外表重力加速度为g、万有引力常量为G.你能计算出下面哪些物理量？能计算的量写出计算过程和结果，不能计算的量说明理由.(1)地球的质量；〔2〕飞船线速度的大小；〔3〕飞船所需的向心力.解析：〔1〕能求出地球的质量M解法一：在地球外表，对地表物体m有地球的质量解法二：对人造地球卫星，由万有引力供应向心力得地球的质量〔写出一种方法即可〕〔2〕能求出飞船线速度的大小v线速度〔3〕不能算出飞船所需的向心力，因飞船质量未知.答案：见解析课时作业十七万有引力定律及应用1.据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2022年4月25日在西昌卫星放射中心放射升空，经过4次变轨把握后，于5月1日成功定点在东经77°“天链一号01星”，以下说法正确的选项是()A.运行速度大于7.9 km/sB.离地面高度确定，相对地面静止C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析:由题知成功定点后的“天链一号01星”为地球同步卫星，故其运行速度小于第一宇宙速度〔7.9 km/s)，故A错误；由-R，故该卫星距地高度确定，且相对地面静止，B正确；同步卫星的运行周期为1天，月球绕地球的转动周期约30天，由ω=知C正确；因“天链一号01星”与赤道上物体的运转周期违反，由r知a星＞a物，故D错误.答案:BC2.如图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星放射后通过自带的小型火箭屡次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测.以下说法正确的选项是()A.放射“嫦娥一号”的速度必需到达第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D.在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力知C正确.假设卫星受地球引力大就不会绕月球做圆周运动了，所以D错误.答案:C3.如右图所示，圆a的圆心在地球自转的轴线上，圆b\,c\,d的圆心均在地球的地心上，对绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星而言，以下说法错误的选项是()A.卫星的轨道可能为aB.同步卫星的轨道只能为bC.卫星的轨道可能为cD.卫星的轨道可能为d解析:卫星要想稳定运行必需使地球对它的引力全部用来充当向心力，故a轨道错误.答案:A“深4.2005年北京时间7月4日下午1时52分〔美国东部时间7月4日凌晨1时52分〕度撞击”探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星，投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大碰撞”“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，其运动周期为5.74年，那么关于“坦普尔一号”彗星的以下说法中正确的选项是()A.绕太阳运动的角速度不变B.近日点处线速度大于远日点处线速度C.近日点处加速度大于远日点处加速度D.其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个与太阳质量有关的常数可知，距离越近引力越大，加速度也越大，故C正确.答案:BCD5.某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动.如图，为了使飞船较平安地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动器做出短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为()A.与v的方向相反B.与v的方向全都C.垂直v的方向向右D.垂直v的方向向左解析:要使飞船降落，必需使飞船减速，所以喷气方向应当与v方向违反，因此B正确.答案:B6.太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文学问，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为()A.0.2B.2C.20D.200,(太阳到月球距离近似等于太阳到地球距离〕.地球对月球的万有引力.两式联立得.假设地球和月球的公转均看作匀速圆周运动，由牛顿其次定律可得，对地球：,TE为地球公转周期365天，对月球：,故有.选B.答案:B7.在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，地面上的重力加速度为g，那么()A.卫星运动的速度为B.卫星运动的周期为C.卫星运动的加速度为g/2D.卫星的动能为mgR/4解析:卫星绕地球运动，万有引力供应向心力，由，结合,可得卫星的线速度,运行周期，向心加速度a=g,动能EK=mgR，故B、D正确.答案:BD8.2007年11月5日，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球外表200 km的P点进展第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，然后，卫星在P点又经过两次“刹车制动”，最终在距月球外表200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，如下图，那么以下说法正确的选项是()A.卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比沿轨道Ⅰ运动的周期长B.卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比沿轨道Ⅰ运动的周期短C.卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度小于沿轨道Ⅰ运动到P点〔尚未制动〕时的加速度D.卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度等于沿轨道Ⅰ运动到P点〔尚未制动〕时的加速度即R越大，T越大，故B对；由牛顿其次定律可知P点加速度，即同一位置a违反故D 对.答案:BD9.设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，那么太阳的质量可用v1、R和引力常量G表示为____.太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍.为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中全部恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，那么银河系中恒星数目约为.解析:由牛顿其次定律那么太阳的质量.由那么因答案10.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可计算出它们的总质量.某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量.〔引力常量为G〕解析:设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别是ω1、ω2.依据题意有ω1=ω2①r1+r2=r②依据万有引力定律和牛顿运动定律，有联立以上各式解得依据角速度与周期的关系知联立③⑤⑥式解得答案:11.某宇航员在飞船放射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭放射阶段，觉察当飞船随火箭以a=g/2的加速度匀加速竖直上升到某位置时〔其中g为地球外表处的重力加速度〕，其身下体重测试仪的示数为1220 N.设地球半径R=6400 km，地球外表重力加速度g=10 m/s2〔求解过程中可能用到 =1.03， 1.02).问：〔1〕该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？〔2〕该位置距地球外表的高度h为多大？解析:(1)飞船起飞前，对宇航员受力分析有G=mg，得m=84 kg.在h高度处对宇航员受力分析有F-mg′=ma，得g′g=.〔2〕依据万有引力公式：在地面处有在h高度处有得h=0.02R=128 km答案:(1) (2)128 km12.我国放射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行.为了获得月球外表全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化.卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T.假定在卫星绕月运行一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面.求在该周期内卫星放射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间〔有M、m、R、R1、r、r1和T表示，无视月球绕地球转动对遮挡时间的影响〕.解析:如图，O和O′分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球外表、月球外表和卫星圆轨道的交点.依据对称性，过A点的另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点.卫星在BE上运动时发出的信号被遮挡.设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，依据万有引力定律有式中，T1①②式得设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，那么由于卫星绕月做匀速圆周运动，应用式中，α=∠CO′A,β=∠CO′rcosα=R-R1⑤r1cosβ=R1⑥由③④⑤⑥式得答案:。
姓名，年级：时间：第4讲万有引力定律及应用一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律（面积定律）对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律（周期定律）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等错误!＝k,k是一个与行星无关的常量自测1(2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律答案B解析开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律．二、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．2．表达式F＝G错误!，G为引力常量，G＝6。
67×10－11N·m2/kg2。
3．适用条件（1）公式适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．4．天体运动问题分析（1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供．(2)基本公式：G错误!＝ma＝错误!自测2（2019·全国卷Ⅱ·14）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( ）答案D解析在嫦娥四号探测器“奔向"月球的过程中,根据万有引力定律,可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小,但不是均匀减小的，故能够描述F 随h变化关系的图像是D。
第4讲万有引力定律及应用考纲考情核心素养►万有引力定律及其应用Ⅱ►环绕速度Ⅱ►第二宇宙速度和第三宇宙速度Ⅰ►经典时空观和相对论时空观Ⅰ►行星运动的规律：开普勒行星运动三定律．►行星运动的动力学规律：万有引力充当向心力．►宇宙速度的概念.物理观念全国卷5年8考高考指数★★★★★►运用万有引力定律和圆周运动的知识分析天体运动问题．►构建双星、多星的运动模型.科学思维知识点一开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．2．开普勒第二定律(面积定律)对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等．3．开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.直观展示知识点二 万有引力定律1．万有引力定律内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比公式 F ＝G m 1m 2r 2适用 条件(1)两质点间的作用(2)可视为质点的物体间的作用 (3)质量分布均匀的球体间的作用数值 6.67×10－11 N·m 2/kg 2 测定人英国物理学家卡文迪许于1798年利用扭秤测定(续表物理意义数值上等于两个质量都是1 kg 的物体相距1 m 时的相互引力测定意义(1)有力地证明了万有引力的存在(2)使定量计算得以实现(3)开创了测量弱相互作用的新时代知识点三宇宙速度 时空观1．三种宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v 1＝7.9 km/s ，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度第二宇宙速度 (脱离速度) v 2＝11.2 km/s ，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度 (逃逸速度)v 3＝16.7 km/s ，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度直观展示(1)在经典力学中，物体的质量不随速度的改变而改变． (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．3．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增大而增大，用公式表示为m ＝m 01－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．(3)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是相同的．1．思考判断(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．(×)(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．(√)(3)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．(×)(4)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．(×)(5)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．(×)(6)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.(√)2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(C)A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得r3火T2火＝r3木T2木，故T2火T2木＝r3火r3木，C正确．3．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(B)A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A 错误，选项B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D 错误．4．(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．关于这些卫星，以下说法正确的是( AB )A ．5颗同步卫星的轨道半径都相同B ．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内C ．导航系统所有卫星的运行速度一定都大于第一宇宙速度D ．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小 解析：所有同步卫星的轨道都位于赤道平面内，轨道半径和运行周期都相同，A 、B 均正确；由v ＝GMr 可知，导航系统所有卫星运行的速度都小于第一宇宙速度，且运行轨道半径越大，周期越大，C 、D 均错误．5．已知月球质量与地球质量之比约为180，月球半径与地球半径之比约为14，则月球上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比最接近( B )A ．9 2B ．29C ．181D ．118解析：第一宇宙速度等于卫星的轨道半径与中心天体的半径相等时的卫星的速度，根据牛顿第二定律有G MmR 2＝m v 2R ，由此得第一宇宙速度v ＝GMR ，即v ∝MR ；设月球上的第一宇宙速度为v 1，地球上的第一宇宙速度为v 2，则有v 1v 2＝M 1M 2·R 2R 1＝ 180×41＝510，接近29，可知B 正确．考点1 开普勒行星运动定律的理解和应用1．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( C )A ．2 1B ．4 1C ．81D ．161解析：地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，设地球和卫星的质量分别为M 、m ，根据牛顿第二定律有G Mmr 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可得卫星的周期为T ＝4π2r 3GM ，即卫星P 与Q 的周期之比T 1T 2＝ r 31r 32＝8，选项C 正确，A 、B 、D 错误．2.(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( CD )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：根据开普勒第二定律可知，海王星在近日点速度最大，在远日点速率最小，所以从P 到M 所用的时间小于T 04，A 错误；从Q 到N 阶段，只有万有引力做功，机械能守恒，B 错误；根据开普勒第二定律可知，从P 到Q 阶段海王星速率逐渐变小，C 正确；从M 到N 阶段，海王星速率先减小后增大，则万有引力对它先做负功后做正功，D 正确．3.(多选)如图所示，某次发射远地圆轨道卫星时，先让卫星进入一个近地的圆轨道Ⅰ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R 1、周期为T 1；然后在经过P 点时点火加速，进入椭圆转移轨道Ⅱ，在此轨道运行的卫星的周期为T 2；到达远地点Q 时再次点火加速，进入远地圆轨道Ⅲ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R 3、周期为T 3(轨道Ⅱ的近地点为Ⅰ上的P 点，远地点为轨道Ⅲ上的Q 点)．已知R 3＝2R 1，则下列关系式正确的是( AC )A ．T 3＝22T 1B ．T 2＝368T 1C ．T 2＝338T 3D ．T 3＝346T 1解析：根据开普勒第三定律a 3T 2＝k ，可知T 23T 21＝R 33R 31＝81，解得T 3T 1＝22，即T 3＝22T 1，故A 正确，D 错误；由几何知识可知椭圆轨道Ⅱ半长轴为R 1＋R 32，则有T 22T 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫R 1＋R 323R 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 1R 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323，解得T 2＝364T 1＝338T 3，故B 错误，C 正确．考点2万有引力定律的理解1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．(1)在赤道处：G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极处：G MmR2＝mg 2.(3)在一般位置：万有引力G MmR 2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G MmR2＝mg .2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)： mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM R2.(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度g ′： mg ′＝G Mm (R ＋h )2，得g ′＝GM(R ＋h )2，所以gg ′＝(R ＋h )2R 2.题型1 万有引力与重力的关系1．某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g 1，“极点”处的重力加速度为g 2，若已知自转周期为T ，则该天体的半径为( C )A.4π2g 1T2 B.4π2g 2T 2 C.(g 2－g 1)T 24π2D.(g 1＋g 2)T 24π2解析：对于处在“极点”处的物体，万有引力等于重力，则有G MmR2＝mg 2，对于处在“赤道”处的同一物体，则有G MmR 2－mg 1＝m 4π2T 2R ，由以上两式可解得R ＝(g 2－g 1)T 24π2，C 正确．2．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G ，则地球的密度为( B )A.3π(g 0－g )GT 2g 0B.3πg 0GT 2(g 0－g ) C.3πGT2 D.3πg 0GT 2g解析：物体在地球的两极时，有mg 0＝G MmR2，物体在赤道上时，有mg ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，又V ＝43πR 3，M ＝ρV ，联立解得：地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g )，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．题型2 万有引力随高度的变化3．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图象是( D )解析：本题考查万有引力定律在天文学上的应用．设地球半径为R ，地球质量为M ，探测器质量为m ，探测器在远离地球的过程中，其所受地球的引力大小为F＝GMm(R＋h)2，由此可知，随着h的增大，F逐渐减小，但F随h不是均匀减小的，故D正确．4．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(A)A．1－dR B．1＋dR C.⎝⎛⎭⎪⎫R－dR2 D.⎝⎛⎭⎪⎫RR－d2解析：如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G MmR2；设矿井底部处的重力加速度为g′，“等效地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部质量为m的物体受到的重力mg′＝GM′m(R－d)2，而M′＝M43πR3·43π(R－d)3，故g′g＝R－dR＝1－dR，选项A正确．名师点睛万有引力定律的两个推论推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其万有引力，即F ＝考点3 天体质量和密度的计算1．“自力更生”法(g —R )利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . (1)由G MmR 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G .(2)天体密度ρ＝M V ＝M43πR 3＝3g 4πGR .(3)GM ＝gR 2称为黄金代换公式． 2．“借助外援”法(T —r )测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r . (1)由G Mmr 2＝m 4π2T 2r 得天体的质量M ＝4π2r 3GT 2.(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T ，就可估算出中心天体的密度．(多选)下表是一些有关火星和地球的数据，利用引力常量G 和表中选择的一些信息可以完成的估算是( ) 信息 序号 ①② ③ ④ ⑤ 信息 内容地球一年约365天地表重力加速度约为9.8 m/s 2火星的公转周期约为687天日地距离大约是1.5×108km地球半径约为6 400 kmB ．选择①④可以估算太阳的密度C ．选择①③④可以估算火星公转的线速度D ．选择①②④可以估算太阳对地球的吸引力【解析】 本题通过题给数据结合万有引力定律考查物理估算．根据mg ＝G MmR2可知选择②、⑤中的g 和R ，可以估算地球质量M ，故A正确；根据G Mmr 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，则选择①中的地球公转周期T 和④中的日地距离r 可以估算太阳的质量，但是由于太阳的半径未知，故不能估算太阳的密度，故B 错误；选择①、③、④可利用开普勒第三定律，求出火星公转半径r 火，再根据v 火＝2πr 火T 火可估算火星公转的线速度，故C 正确；因为选择①、②、④不能确定地球的质量，故不可以估算太阳对地球的吸引力，故D 错误．【答案】 AC高分技法环绕法估算天体质量和密度问题(1)卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫星的轨道半径才近似等于天体半径.(2)搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”“受力特点”“谁做圆周运动”等问题，明确一般只能求解中心天体的质量和密度，不能求解环绕天体的质量和密度.(3)估算天体质量的两种方法①如果不考虑星球的自转，星球表面的物体所受重力等于星球对它的万有引力，②利用环绕行星运转的卫星，万有引力提供卫星运转的向心力，1．近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( D )A ．ρ＝kT B ．ρ＝kT C ．ρ＝kT 2D ．ρ＝kGT2解析：本题考查天体密度的计算．研究火星探测器绕火星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式G Mmr 2＝m 4π2T 2r ，由于探测器绕火星做“近地”匀速圆周运动，则轨道半径r 即为火星的半径，得M ＝4π2r 3GT 2，则火星的密度ρ＝M43πr 3，解得火星的平均密度ρ＝3πGT2＝kGT 2(k 为某个常数)，D 正确． 2.宇宙中有两颗相距无限远的恒星s 1、s 2，半径均为R 0.右图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T 2与公转半径r 3的关系图象，则( B )A ．恒星s 1的质量大于恒星s 2的质量B ．恒星s 1的密度小于恒星s 2的密度C ．恒星s 1的第一宇宙速度大于恒星s 2的第一宇宙速度D ．距两恒星表面高度相同的行星，s 1的行星向心加速度较大 解析：根据公式G Mmr 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3GT 2，r 3T 2越大，M 越大，由题图可以看出，s 2的质量大于s 1的质量，故A 错误；两颗恒星的半径相等，则它们的体积相等，根据M ＝ρV ，所以质量大的恒星s 2的密度大于恒星s 1的密度，故B 正确；根据万有引力提供向心力，则G MmR 20＝m v 2R 0，所以v ＝GMR 0，由于恒星s 1的质量小于恒星s 2的质量，所以恒星s 1的第一宇宙速度小于恒星s 2的第一宇宙速度，故C 错误；距两恒星表面高度相同的行星，它们的轨道半径相等，它们的向心加速度a ＝GMr2，所以s 1的行星向心加速度较小，故D 错误．考点4双星及多星模型1．双星系统系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视天体构成的双星系统图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力2.多星系统系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)四星系统图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力另外三星球对其万有引力的合力(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星() A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度【解析】两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示： 每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得G m 1m 2l 2＝m 1ω2r 1 ①G m 1m 2l 2＝m 2ω2r 2 ②l ＝r 1＋r 2 ③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G ， 质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1 ④ v 2＝ωr 2 ⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自的自转角速度无法求解． 【答案】 BC高分技法 多星问题的处理宇宙中的双星系统及多星系统问题的核心是系统的稳态、系统中各天体的平衡及匀速圆周运动的动力学问题，解题的关键是抓住研究对象的运动特征并列出各自的动力学方程进行分析．对于双星问题需要抓住以下几点：(1)它们相互间的万有引力提供向心力，受力大小相等； (2)它们共同绕它们连线上某点做匀速圆周运动，角速度相等； (3)轨道半径之比等于质量的反比：r 1r 2＝m 2m 1；(4)它们运行的角速度满足G (m 1＋m 2)L 2＝ω2L ，其中L 为它们之间的距离．3．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( B )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a 2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa2a(4＋2)Gm解析：四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2(2a )2＋2Gm 2a 2＝m 4π2T 2·2a2，解得T ＝2πa 2a (4＋2)Gm，故D 正确．4．我国发射的“悟空”号暗物质粒子探测卫星，三年来对暗物质的观测研究已处于世界领先地位．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心匀速转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且T 理论T 观测＝k (k >1)．因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质(已知质量分布均匀的球体对外部质点的作用，等效于质量集中在球心处对质点的作用)，两星球的质量均为m .那么暗物质的质量为( B )A.k 2－28mB.k 2－14mC ．(k 2－1)mD ．(2k 2－1)m解析：双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动，令它们之间的距离为L ，由万有引力提供向心力得G m 2L 2＝m 4π2T 2理论·L2，解得T理论＝πL2LGm .根据观测结果，星体的运动周期T 理论T 观测＝k ，这种差异可能是由双星之间均匀分布的暗物质引起的，又均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m ′(位于球心处)的质点对双星系统的作用相同，有G m 2L 2＋G mm ′(L 2)2＝m 4π2T 2观测·L2，解得T 观测＝πL2LG (m ＋4m ′)，所以m ′＝k 2－14m ，选项B 正确．。
