第2章 综合提升

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)直线的倾斜角与斜率范围是()A．－3＜k≤0B．k＞－ 3C．k≥0或k＜－ 3D．k≥0或k＜－3 3(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．(1)C[通过画图可知k＜－3或k≥0.故选C.](2)[解]由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝k l，即5－y1x2－2＝1－53－x2＝1，解得x2＝7，y1＝0.求直线的倾斜角与斜率的注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．[跟进训练]1．已知直线ax＋y＋2＝0及两点P(－2,1)，Q(3,2)，若直线与线段PQ相交，则实数a的取值范围是()A．a≤－43或a≥32B．a≤－32或a≥43C．－43≤a≤32D．－32≤a≤43A[因为直线ax＋y＋2＝0过定点A(0，－2)，根据题意画出几何图形如图所示：直线ax ＋y ＋2＝0可化为y ＝－ax －2，因为P (－2,1)，Q (3,2)， 则k AP ＝1－(－2)－2－0＝－32，k AQ ＝2－(－2)3－0＝43.若直线y ＝－ax －2与线段PQ 相交， 即－a ≥43或－a ≤－32， 所以a ≤－43或a ≥32.]求直线的方程2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)AC 所在的直线的方程； (2)点B 的坐标．[思路探究] (1)直线AC 过A 点且与BH 垂直，可求直线方程．(2)B 点在直线BH 上，线段AB 的中点在中线CM 上，列方程组求得B 点坐标． [解] (1)因为AC ⊥BH ，所以设AC 所在的直线的方程为2x ＋y ＋t ＝0. 把A (5,1)代入直线方程2x ＋y ＋t ＝0中，解得t ＝－11. 所以AC 所在的直线的方程为2x ＋y －11＝0. (2)设B (x 0，y 0)，则AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2y 0－5＝0，2×x 0＋52－y 0＋12－5＝0.化简得⎩⎨⎧ x 0－2y 0－5＝0，2x 0－y 0－1＝0.解得⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－3.故B (－1，－3)．求直线方程的方法求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况．[跟进训练]2．已知△ABC 中，A (1,3)，AB ，AC 边上中线所在直线方程分别为x －2y ＋1＝0和y －1＝0，求△ABC 各边所在的直线方程.[解] 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ，其中D ，E 为中点， ∵点B 在中线y －1＝0上， ∴设点B 的坐标为(x B,1)．∵点D 为AB 的中点，又点A 的坐标为(1,3)， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ＋12，2.∵点D 在中线CD ：x －2y ＋1＝0上， ∴x B ＋12－2×2＋1＝0，∴x B ＝5. ∴点B 的坐标为(5,1)．∵点C 在直线x －2y ＋1＝0上， ∴设点C 的坐标为(2t －1，t )． ∴AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t ＋32. ∵点E 在中线BE ：y ＝1上， ∴t ＋32＝1，∴t ＝－1. ∴点C 的坐标为(－3，－1)，∴△ABC 各边所在直线的方程为AB ：x ＋2y －7＝0， BC ：x －4y －1＝0，AC ：x －y ＋2＝0.两直线的平行、垂直及距离问题12足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．[思路探究] (1)把(－3，－1)代入l 1方程，同时运用垂直条件A 1A 2＋B 1B 2＝0；(2)利用好平行条件及距离公式列方程．[解] (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0. 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ， ∴l 1的斜率也存在，ab ＝1－a ， 即b ＝a 1－a. 故l 1和l 2的方程可分别表示为 l 1：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0， l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23. 因此⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离． (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．[跟进训练]3．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．[解] (1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0, 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝12或λ＝2. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l (图略)，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．所以d max ＝|P A |＝10.对称问题1．怎样求点关于点的对称点？[提示] 设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解． 2．怎样求点关于直线的对称点坐标？[提示] 设出所求点坐标(x, y )，利用中点坐标公式建立关于x, y 的第一个方程，再利用垂直关系建立x, y 的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．【例4】 光线通过点A (2, 3)，在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B (1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．[解] 设点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1.解之得，A ′(－4，－3)．由于反射光线经过点A ′(－4，－3)和B (1,1)， 所以反射光线所在直线的方程为y －1＝(x －1)·1＋31＋4，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎨⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为 y －3＝(x －2)·3＋132＋23，即5x －4y ＋2＝0.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x －4y ＋2＝0,4x －5y ＋1＝0.1．[变结论]在本例条件不变的情况下，求光线从A 经反射后到达B 点所经过的路程．[解] 由本例解析知，点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(－4，－3)．所以从A 发出光线经l 反射后到达B 的路程为|A ′B |.即|A ′B |＝(－4－1)2＋(－3－1)2＝41.2．[变条件]把本例条件中“直线l ：x ＋y ＋1＝0”改为“直线l 为x 轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．[解] 点A (2,3)关于x 轴对称点为A ′(2，－3)． ∴反射光线方程为y ＋31＋3＝x －21－2，即4x ＋y －5＝0. 又∵反射光线与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.∴入射光线方程为y －03－0＝x －542－54， 即4x －y －5＝0.对称问题的求解策略(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键．(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上．(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解．求圆的方程得的弦长为27，求圆C的方程．[思路探究]设标准方程，由相切可得d＝r，由圆心在直线上，可将(a，b)代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式．通过方程组求解，从而得到圆的方程．[解]设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由圆C与y轴相切得|a|＝r，①又圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，②圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝|a－b|2，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，∴⎝⎛⎭⎪⎫|a－b|22＋(7)2＝r2.③联立①②③解方程组可得⎩⎨⎧a1＝3，b1＝1，r1＝3或⎩⎨⎧a2＝－3，b2＝－1，r2＝3.故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组)．(3)解出a, b, r(或D, E, F)．(4)代入圆的方程．[跟进训练]4．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y －29＝0相切，求圆的方程．[解]设圆心为M(m,0)(m∈Z)，由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以|4m－29|5＝5，即|4m－29|＝25，因为m为整数，故m＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.直线与圆的位置关系y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．[思路探究](1)根据圆与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径；(2)根据垂径定理确定等量关系，求直线方程．[解]圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y 0＜7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d ，然后比较所求距离d 与半径r 的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．[跟进训练]5．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短，求此弦长． [解] (1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线过点P (4, －3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)如图，当圆心C (3, －6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，所以直线l 的斜率为－13，所以m ＝－16. 在△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5， 所以|AP |2＝|AC |2－|PC |2＝25－10＝15， 所以|AP |＝15，所以|AB |＝215， 即最短弦长为215.圆与圆的位置关系12(1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．[解] (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13； C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝(－2－4)2＋(2＋2)2＝213＝r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0， 即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.判断两圆位置关系的两种方法比较(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系． (2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．[跟进训练]6.在平面直角坐标系xOy 中，过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .若AB ＝372，求CD 的长．[解] 因为AB ＝372，圆O 半径为2，所以点O 到直线AB 的距离为14，显然AB ，CD 都不平行于坐标轴． 可知AB ：y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0. 则点O 到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1＝14，解得k ＝±15. 因为AB ⊥CD ，所以k CD ＝－1k ， 所以CD ：y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0. 点M (2,1)到直线CD 的距离d ′＝2k 2＋1＝12， 所以CD ＝21－d ′2＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. [培优层·素养升华]【例】 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －7＝0内一点P (－1,2)，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点．(1)求圆C的圆心坐标和面积；(2)若直线l的斜率为3，求弦AB的长；(3)若圆上恰有三点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．[思路探究](1)化圆的一般式为标准方程，得出圆C的圆心坐标为(－1,0)，半径r＝22即可．(2)先求圆心到直线的距离为d，再利用半径r，距离d，半弦长构成直角三角形求解即可．(3)圆上恰有三点到直线l的距离等于2，等价于圆心(－1,0)到直线AB的距离为r2＝2，利用点到直线的距离公式求解．[解](1)圆C的圆心坐标为(－1,0)，半径r＝22，面积为S＝8π.(2)直线l的方程为y－2＝3(x＋1)，即3x－y＋2＋3＝0，圆心到直线l的距离为d＝|－3＋2＋3|(3)2＋1＝1，|AB|＝2r2－d2＝2(22)2－1＝27.(3)因圆上恰有三点到直线l的距离等于2，转化为圆心(－1,0)到直线AB的距离为r2＝2，当直线l垂直于x轴时，显然不合题意；设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0，由d＝|－k＋2＋k|k2＋1＝2k2＋1＝2，解得k＝±1，故直线l的方程为x－y＋3＝0，或x＋y－1＝0.1.本题反映的是本章的重点热点问题，综合考查了圆的方程、直线的方程、距离公式、两直线的位置关系及直线与圆的位置关系．2．通过考查这些知识点和题型，培养了学生直观想象，逻辑推理，数学建模、数学运算的核心素养．3．本题考查知识点全面且基本，属中档题．[跟进训练]7．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值． [解] (1)证明：圆的方程可整理为 (x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系． 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0， 得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5(a －2)2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5(a －2)2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55.。

第2章匀变速直线运动的规律[巩固层·知识整合][提升层·能力强化]匀变速直线运动规律的理解与应用1常用方法规律特点一般公式法v t＝v0＋at；x＝v0t＋12at 2；v2t－v20＝2ax. 使用时一般取v0方向为正方向平均速度法v＝xt对任何直线运动都适用，而v＝12(v0＋v t)只适用于匀变速直线运动中间时刻速度法vt2＝v＝12(v0＋v)，适用于匀变速直线运动比例法对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用比例法解题图像法应用v­t图像，可把较复杂的问题转变为较简单的数学问题解决巧用推论解题x n＋1－x n＝aT 2，若出现相等的时间问题，应优先考虑用Δx＝aT 2求解逆向思维法(反演法)把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知情况(1)解题时首先选择正方向，一般以v 0方向为正方向． (2)刹车类问题一般先求出刹车时间．(3)对于有往返的匀变速直线运动(全过程加速度a 恒定)，可对全过程应用公式v t ＝v 0＋at 、x ＝v 0t ＋12at 2、…列式求解．(4)分析题意时要养成画运动过程示意图的习惯，特别是对多过程问题．对于多过程问题，要注意前后过程的联系——前段过程的末速度是后一过程的初速度；再要注意寻找位移关系、时间关系.【例1】 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C 时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到斜面长度3/4处的B 点时，所用时间为t ，求物体从B 滑到C 所用的时间．[解析] 解法一：逆向思维法物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面．故x BC ＝12at 2BC ，x AC ＝12a (t ＋t BC )2又x BC ＝x AC4，解得t BC ＝t .解法二：比例法对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)现有x BC ∶x BA ＝x AC 4∶3x AC4＝1∶3通过x AB 的时间为t ，故通过x BC 的时间t BC ＝t . 解法三：中间时刻速度法利用教材中的推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度v AC ＝v A ＋v C 2＝v 0＋02＝v 02又v 20＝2ax AC ，v 2B ＝2ax BC ，x BC ＝x AC4由以上各式解得v B ＝v 02可以看出v B 正好等于AC 段的平均速度，因此B 点是时间中点的位置，因此有t BC ＝t . 解法四：图像法利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法，作出v ­t 图像，如图所示，S △AOC /S △BDC ＝CO 2/CD 2且S △AOC ＝4S △BDC ，OD ＝t ，OC ＝t ＋t CD所以4/1＝t ＋t CD2t 2CD解得t CD ＝t .则t BC ＝t CD ＝t . [答案] t[一语通关] 这类匀减速直线运动，当物体速度为零时，加速度不为零，所以物体还要反向运动.求解这类问题一是注意矢量的正负；二是要注意速度、时间等物理量可能有两解.[跟进训练]1．一个物体以v 0＝8 m/s 的初速度从斜面底端沿光滑斜面向上滑动，加速度的大小为2 m/s 2，冲上最高点之后，又以相同大小的加速度往回运动．求：(1)物体3 s 末的速度； (2)物体5 s 末的速度；(3)物体在斜面上的位移大小为15 m 时所用的时间． [解析] (1)(2)由t ＝v t －v 0a，物体冲上最高点的时间是4 s ，又根据v t ＝v 0＋at,3 s 末的速度为v 3＝(8－2×3)m/s＝2 m/s,5 s 末的速度v 5＝(8－2×5)m/s＝－2 m/s ，即5 s 末速度大小为2 m/s ，方向沿斜面向下．(3)由位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，以v 0方向为正方向，则x ＝15 m ，a ＝－2 m/s 2代入数据，解得：t 1＝3 s ，t 2＝5 s即经过位移大小为15 m 处所用的时间分别为3 s(上升过程中)和5 s(下降过程中)． [答案] (1)2 m/s 方向沿斜面向上 (2)－2 m/s 方向沿斜面向下 (3)3 s 和5 s运动图像的理解与应用两类运动图像对比x ­t 图像 v ­t 图像典型 图像其中④为抛物线其中④为抛物线物理 意义 反映的是位移随时间的变化规律 反映的是速度随时间的变化规律 点 对应某一时刻物体所处的位置 对应某一时刻物体的速度 斜率斜率的大小表示速度大小 斜率的正负表示速度的方向 斜率的大小表示加速度的大小 斜率的正负表示加速度的方向 截距直线与纵轴截距表示物体在t ＝0时刻距离原点的位移，即物体的出发点；在t 轴上的截距表示物体回到原点的时间直线与纵轴的截距表示物体在t ＝0时刻的初速度；在t 轴上的截距表示物体速度为0的时刻两图线的交点同一时刻各物体处于同一位置同一时刻各物体运动的速度相同【例2】 (多选)在如图所示的位移—时间(x ­t )图像和速度—时间(v ­t )图像中，给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )A ．t 1时刻，乙车追上甲车B ．0～t 1时间内，甲、乙两车的平均速度相等C ．丙、丁两车在t 2时刻相遇D ．0～t 2时间内，丙、丁两车的平均速度相等AB [它们由同一地点向同一方向运动，在t 1时刻前，甲的位移大于乙的位移，在t 1时刻甲、乙位移相等，则A 正确；在t 1时刻两车的位移相等，由v ＝xt，甲、乙两车在0～t 1时间内的平均速度相等，B 正确；由v ­t 图像与时间轴围成的面积表示位移可知：丙、丁两车在t 2时刻对应v ­t 图线的面积不相等，即位移不相等，C 错误；0～t 2时间内，丁的位移大于丙的位移，时间相等，所以丁的平均速度大于丙的平均速度，故D 错误．][一语通关] 图像的特点在于直观性，可以通过“看”和“写”寻找规律及解题的突破口，为方便记忆，这里总结为“六看一写”：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”；必要时写出函数表达式.[跟进训练]2．(多选)2020年10月27日，中国载人深潜器“奋斗者”号，在西太平洋马里亚纳海沟成功下潜突破1万米，达到10 058米，创造了中国载人深潜的新纪录。

第2章章末整合提升一、必备知识——构建知识导图二、关键能力——发展核心素养(一)减数分裂过程中形成的配子种类(1)就1对同源染色体而言,其精原细胞能产生2种类型的精子。

(2)就2对同源染色体而言,其精原细胞能产生4种类型的精子。

(3)若具有n对同源染色体的一个生物体,其精原细胞能产生2n种类型的精子。

(4)一个具有n对同源染色体的精原细胞能产生2种类型的精子。

(5)一个具有n对同源染色体的卵原细胞能产生1种类型的卵细胞。

[例1] 某雄性动物的基因型为AaBb,且这两对基因独立遗传。

下列关于该动物产生配子的叙述,不正确的是(不考虑基因突变和互换)( D )A.一个精原细胞产生的配子的基因组成和比例可能是AB∶ab=1∶1B.一个精原细胞产生配子的基因组成和比例可能是Ab∶aB=1∶1C.该动物产生的配子的基因组成和比例是AB∶ab∶Ab∶aB=1∶1∶1∶1D.一个次级精母细胞产生精细胞的基因组成和比例可能是AB∶ab= 1∶1解析:由于某雄性动物的基因型为AaBb,且这两对基因独立遗传,一个精原细胞(AaBb)产生的配子的基因组成和比例可能是AB∶ab=1∶1或Ab∶aB=1∶1;该动物产生的配子的基因组成和比例是AB∶ab∶Ab∶aB=1∶1∶1∶1;不考虑基因突变和互换,一个次级精母细胞只能产生一种两个精细胞。

(二)两对等位基因在染色体上的位置分布1.位于两对同源染色体上,遵循自由组合定律。

2.位于一对同源染色体上,每对基因均遵循分离定律。

有两种以下情况:[例2] 如图表示孟德尔揭示两个遗传定律时所选用的豌豆植株体内相关基因控制的性状、显隐性及其在染色体上的分布。

下列叙述正确的是( A )A.甲、乙、丙、丁都可以作为研究基因分离定律的材料B.图丁个体自交后代的高茎个体中纯合子占1/4C.图丙、丁所表示个体减数分裂时,可以揭示基因的自由组合定律的实质D.图丙个体自交,子代表型比例为9∶3∶3∶1,属于假说—演绎的实验验证阶段解析:甲、乙、丙、丁均含有等位基因,都可以作为研究基因分离定律的材料;图丁个体自交后代中DDYY∶DdYy∶ddyy=1∶2∶1,其中高茎中纯合子占1/3;图丁中两对等位基因位于一对同源染色体上,不能用来揭示基因的自由组合定律的实质;图丙个体自交,子代表型比例为9∶3∶3∶1,属于假说—演绎的提出问题阶段。

人教版物理必修1第二章综合能力提升练一、单项选择题。

1. 光滑斜面上固定着一根刚性圆弧形细杆，小球通过轻绳与细杆相连，此时轻绳处于水平方向，球心恰位于圆弧形细杆的圆心处，如图所示．将悬点A缓慢沿杆向上移动，直到轻绳处于竖直方向，在这个过程中，轻绳的拉力（）A.逐渐增大B.大小不变C.先减小后增大D.先增大后减小2. 如图所示，物块M在静止的传送带上匀速下滑时，传送带突然顺时针（图中箭头所示）转动起来，则传送带转动后，下列说法正确的是（）A.M受到的摩擦力不变B.M受到的摩擦力变大C.M可能减速下滑D.M可能减速上滑3. a、b两个质量相同的球用线相连接，a球用线挂在天花板上，b球放在光滑斜面上，系统保持静止（线的质量不计），则下列图中正确的是（）A. B. C. D.4. 如图所示，轻绳OA一端固定在天花板上，另一端系一光滑的圆环，一根系着物体的轻绳穿过圆环后，另一端固定在墙上B点，且OB处于水平．现将A点缓慢沿天花板水平向右移动，且OB段的轻绳始终保持水平，则轻绳OA、OB所受的拉力的大小F TA、F TB 的变化情况是（）A.F TA、增大，F TB不变B.F TA、F TB均不变C.F TA不变，F TB增大D.F TA、F TB均减小5. 一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上，弹性绳的原长也为80cm．将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（）A.86cmB.92cmC.98cmD.104cm6. 如图所示，物块A放在直角三角形斜面体B上面，B放在弹簧上面并紧挨着竖直墙壁，初始时A、B静止；现用力F沿斜面向上推A，但A、B仍未动．则施力F后，下列说法正确的是（）A.A、B之间的摩擦力一定变大B.B与墙面的弹力可能不变C.B与墙之间可能没有摩擦力D.弹簧弹力一定不变7. 如图所示，质量为m（可视为质点）的小球P，用两根轻绳OP和O′P与小球拴接后再分别系于竖直墙上相距0.4m的O、O′两点上，绳OP长0.5m，绳O′P长0.3m，今在小球上施加一方向与水平方向成θ=37∘角的拉力F，将小球缓慢拉起，O′P绳刚拉直时，OP绳拉力为F T1，OP绳刚松弛时，O′P绳拉力为F T2，则F T1为(sin37∘=0.6, cos37∘=F T20.8)（）A.3:4B.4:3C.3:5D.4:5二、多项选择题。

考点综合提升练(一)一、阅读下面的文字，完成文后题目。

文学与人生(节选)朱光潜从前中国人有“文以载道”的说法，后来有人嫌这看法的道学气太重，把“诗言志”一句老话抬出来，以为文学的功用只在言志；释志为“心之所之”，因此言志包含表现一切心灵活动在内。

文学理论家于是分文学为“载道”“言志”两派，仿佛以为这两派是极端，绝不相容——“载道”是“为道德教训而文艺”，“言志”是“为文艺而文艺”。

其实这问题的关键全在“道”字如何解释。

如果释“道”为狭义的道德教训，载道就显然小看了文学。

文学没有义务要变成劝世文或是修身科的高头讲章。

如果释“道”为人生世相的道理，文学就决不能离开“道”，“道”就是文学的真实性。

志为心之所之，也就要合乎“道”，情感思想的真实本身就是“道”，所以“言志”即“载道”，根本不是两回事。

哲学科学所谈的是“道”，文艺所谈的仍然是“道”，所不同者哲学科学的道是抽象的，是从人生世相中抽绎出来的，好比从盐水中所提出来的盐；文艺的道是具体的，是含蕴在人生世相中的，好比盐溶于水，饮者知咸，却不辨何者为盐，何者为水。

用另一个比喻来说，哲学科学的道是客观的、冷的、有精气而无血肉的；文艺的道是主观的、热的，通过作者的情感与人格的渗沥，精气与血肉凝成完整生命的。

换句话说，文艺的“道”与作者的“志”融为一体。

我常感觉到，与其说“文以载道”，不如说“因文证道”。

《楞严经》记载佛有一次问他的门徒从何种方便之门，发菩提心，证圆通道。

几十个菩萨罗汉轮次回答，有人说从声音，有人说从颜色，有人说从香味，大家总共说出二十五个法门。

读到这段文章，我心里起了一个幻想，假如我当时在座，轮到我起立作答时，我一定说我的方便之门是文艺。

我不敢说我证了道，可是从文艺的玩索，我窥见了道的一斑。

文艺到了最高的境界，从理智方面说，对于人生世相必有深广的观照与彻底的了解，如阿波罗凭高远眺，华严世界尽成明镜里的光影，大有佛家所谓万法皆空，空而不空的景象；从情感方面说，对于人世悲欢好丑必有平等的真挚的同情，冲突化除后的谐和，不沾小我利害的超脱，高等的幽默与高度的严肃，成为相反者之同一。

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册第2章《三角函数的应用综合性解答题》优生辅导专题提升训练（附答案）1．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行若干千米，到达E 处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．（1）若BD＝30km，问E处距离港口A有多远？（2）若DE＝8km，问E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）2．如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C 的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000m，E在BD的中点处．（1）求景点B，E之间的距离；（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）3．如图，一次军事演习中，蓝方在﹣条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶2000米到达C后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同距离，刚好在D处成功拦截蓝方．（1）求点C到公路的距离；（2）求红蓝双方最初的距离．（结果保留根号）4．川西某高原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C 作CH⊥AB于H．（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的倍，求∠ADC的度数及B、D两地的距离（结果保留根号）．5．黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）6．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A、B两船相距100（）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C 在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）求出A与C间的距离AC；（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救故障船C，在去营救的途中触暗礁危险．（填“有”或“无”，不必说明理由，参考数据：）7．某公园有一座雕塑D，在北门B的正南方向，BD为100米，小树林A在北门的南偏西60°方向，荷花池C在北门B的东南方向，已知A，D，C三点在同一条直线上且BD⊥AC：（1）分别求线段AB、BC、AC的长（结果中保留根号，下同）；（2）若有一颗银杏树E恰好位于∠BAD的平分线与BD的交点，求BE的距离．8．如图，港口B在港口A的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C处，同时快艇到达D处，测得D处在C处的北偏东60°的方向上，且C、D两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：，，）9．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝70°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝km．（1）判断线段AB与AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离．（sin70°≈，cos70°≈）10．综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β＝72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）11．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．12．如图，我国南海巡逻艇在A处执行任务时，发现在A处的北偏东30°方向有一岛屿C，在A处的北偏东75°方向、相距60海里的B处有一不明船只正以15海里/时的速度向B 处西北方向的C岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只谁先到达C岛？（参考数据：≈1.4，≈1.7）13．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B 的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C 在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）14．一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．15．如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A⇒D⇒C⇒B 到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC＝11km，∠A＝45°，∠B＝37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地可比原来少走多少路程（结果精确到0.1km．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）16．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝2，≈1.732）17．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC＝CD＝20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）18．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）19．如图，有A，B，C三个港口，都位于南北方向的海岸线上，P、Q是两个度银小岛，某游船从小岛P出发，向西航行到达港口A，再从港口A向北航行，到达港口B，在港口B 看到小岛P在南偏东60°处，游船由港口B出发40分钟后到达港口C，看到小岛P在南偏东30°处，这时游船的航向改为北偏东60°继续航行80分钟到达小岛Q．从港口A 到小岛Q，该游船航行的速度都有30海里/小时．（1）求港口C与小岛P之间的距离；（2）求P，Q两个小岛之间的距离．（≈2.646，结果精确到十分位）．20．如图，一艘货轮由港口A出发向正东方向行驶，在港口A处时，测得灯塔B在港口A 的南偏东30°方向，小岛C在港口A的南偏东60°方向，当这艘货轮行驶60海里到点D处时，小岛C恰好在点D处的正南方向，此时测得灯塔B在南偏西60°的方向，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）灯塔B与小岛C之间的距离．21．2016年1月6日，我国南沙永暑礁新建港口、机场完成试航试飞，将为岛礁物资运输、人员往来、通信导航、救援补给提供便捷支持，使航行和飞行更为安全可靠．如图所示，永暑礁新建港口在A处，位于港口A的正西方的有一小岛B，小岛C在小岛B的北偏东60°方向，小岛C在A的北偏西45°方向；小岛D在小岛B的北偏东38°方向且满足∠BCD＝37°，港口A和小岛C的距离是23km．（参考数据：sin38°≈，tan22°≈，tan37°≈）（1）求BC的距离．（2）求CD的距离．参考答案1．解：（1）作CF⊥AD于F，由题意得，∠D＝90°，∴FC∥BD，又AC＝CB，∴FC＝BD＝15，∵∠EFC＝90°，∠FEC＝45°，∴EF＝FC＝15，在Rt△AFC中，AF＝≈＝20，∴AE＝AF+FE＝35（km），答：BD＝30km，E处距离港口A约为35km；（2）设FC＝xkm，则EF＝FC＝x，AF≈＝x，由（1）得，AF＝FD，即x＝x+8，解得，x＝24，则x＝32，∴AE＝AF+FE＝32+24＝56，答：DE＝8km，E处距离港口A约为56km．2．解：（1）由题意得，∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，∵CD＝1000，∴BC＝＝1000，∴BD＝2BC＝2000，∵E在BD的中点处，∴BE＝BD＝1000（米）；（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，EF＝AF＝BE•sin60°＝1000×＝500，在Rt△BEF中，BF＝BE•cos60°＝500，∴AB＝AF﹣BF＝500（﹣1）（米）．3．解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D 作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，（1）点C到公路的距离就是BE的长，在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴BE＝BC•cos60°＝2000×＝1000米．答：点C到公路的距离就是BE的长是1000米．（2）红蓝双方相距AB＝DF+CE．在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴CE＝BC•sin60°＝2000×＝1000米．在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，CD＝2000米，∠DCF＝45°，∴DF＝CD•sin45°＝2000×＝1000米，∴AB＝DF+CE＝（1000+500）米．答：红蓝双方最初相距（1000+1000）米．4．解：（1）设CH为x千米，由题意得，∠CBH＝30°，∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝x，在Rt△BCH中，tan30°＝＝，∴BH＝x，∵AH+HB＝AB＝40，∴x+x＝40，解得x＝20﹣20，∴CB＝2CH＝40﹣40．答：牧民区C到B地的距离为（40﹣40）千米；（2）∵C、D两地距离是B、C两地距离的倍，CH＝BC，∴sin∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝60°．在Rt△CHD中，DH＝CH•cot∠CDH＝CH，∵BH＝CH，CH＝20﹣20，∴BD＝BH﹣DH＝CH﹣CH＝（20﹣20）＝40﹣．答：BD之间的距离为40﹣千米．5．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD•cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD•sin∠DCH＝4×sin60°＝2，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝＝＝6，∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝＝＝x，∵BG﹣BC＝CG，∴x﹣x＝8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．6．解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝x．则AE+BE＝x+x＝100（+1），解得：x＝100．AC＝2x＝200．答：A与C之间的距离AC为200海里．（2）过点D作DF⊥AC于点F，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y+y＝200，解得：y＝100（﹣1），∴AD＝2y＝200（﹣1），∴DF＝AF＝×100（﹣1）≈127海里，∵127＞100，∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中无触暗礁危险．故答案为：无．7．解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，BD＝100米，∴AB＝＝200米，AD＝BD•tan60°＝100米．∵在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，BD＝100米，∴DC＝BD＝100米，BC＝BD＝100米，∴AC＝AD+DC＝（100+100）米；（2）作EF⊥AB于F，∵AE平分∠BAD，ED⊥AD于D，EF⊥AB于F，∴EF＝ED．在Rt△AEF与Rt△AED中，，∴△AEF≌△AED（HL），∴AF＝AD＝100米，∴BF＝AB﹣AF＝（200﹣100）米．∵在Rt△BEF中，∠EFB＝90°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2BF＝（400﹣200）米．8．解：分别过点B、D作AC的垂线，交AC的延长线于点E、F，在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝90°﹣60°＝30°，则DF＝CD＝40海里，CF＝CD cos∠DCF＝40海里，故可得AF＝AC+CF＝16×2+40＝32+40海里，∵DF⊥AF，BE⊥AF，BE⊥BD，∴四边形BEFD是矩形．∴BE＝DF＝40海里，在Rt△BAE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝BE＝40海里，∴EF＝AF﹣AE＝32+40﹣40＝（40﹣8）海里，∴BD＝EF＝40﹣8（海里），故可求得快艇的速度＝（40﹣8）÷2＝20﹣4≈30.6（海里/小时）．答：快艇的速度约为30.6海里/时．9．解：（1）相等．∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝∠BEQ＝30°，∴EF＝BF，又∵∠AFP＝60°，∴∠BF A＝60°．在△AEF与△ABF中，∵，∴△AEF≌△ABF（SAS），∴AB＝AE；（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．设AE＝xkm，则AH＝x sin70°km，HE＝x cos70°km，∴HF＝HE+EF＝x cos70°+4﹣5（km），Rt△AHF中，AH＝HF•tan60°，∴x sin70°＝（x cos70°+4﹣5）•tan60°，即：x＝（x+4﹣5）×，解得：x≈13，即AB＝AE＝13km．答：两个岛屿A与B之间的距离约为13km．10．解：过点F作FG∥EM交CD于G，则MG＝EF＝10米．∵∠FGN＝∠α＝36°．∴∠GFN＝∠β﹣∠FGN＝72°﹣36°＝36°．∴∠FGN＝∠GFN，∴FN＝GN＝50﹣10＝40（米）．在Rt△FNR中，FR＝FN×sinβ＝40×sin72°＝40×0.95≈38（米）．答：河宽FR约为38米．11．解：（1）如图，由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC＝∠EAC＝60°．∵∠FBD＝30°∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．（2分）又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，∴∠ADB＝15°．∴∠DAB＝∠ADB．∴△ABD为等腰三角形，∴BD＝AB＝2．即BD之间的距离为2km．（4分）（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD＝2，∠DBO＝60°，∴DO＝2×sin60°＝，BO＝2×cos60°＝1．（6分）在Rt△CBO中，∠CBO＝30°，CO＝BO tan30°＝，∴CD＝DO﹣CO＝（km）．即C，D之间的距离km．（8分）12．解：如图，过C作CH⊥AB于H，由题可得，∠DAB＝75°，∠DAC＝30°，∠CBF＝45°，∴∠BAC＝45°，∠BAE＝∠ABF＝15°，∴∠ABC＝60°，设BH＝x，则CH＝AH＝x，BC＝2x，∵AB＝60，∴x+x＝60，解得x＝30（﹣1），∴AH＝30（3﹣），∴Rt△ACH中，AC＝AH＝×30（3﹣）＝30（3﹣），Rt△BCH中，BC＝2BH＝60（﹣1），∴巡逻艇到达C岛的时间为30（3﹣）÷20≈2.7小时，不明船只到达C岛的时间为60（﹣1）÷15≈2.8小时，∴巡逻艇先到达C岛．13．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos30°＝＝＝，解得：AC＝40，答：点A到岛礁C的距离为40海里；（2）如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，则∠2＝15°，即A′B平分∠CBA，设AA′＝x，则A′E＝x，故CA′＝2A′N＝2×x＝x，∵x+x＝40，∴解得：x＝60﹣20（，答：此时“中国海监50”的航行距离为（60﹣20）海里．14．解：∵∠BAC＝53°﹣23°＝30°，∴∠C＝23°+22°＝45°．过点B作BD⊥AC，垂足为D，则CD＝BD．∵BC＝10海里，∴CD＝BC•cos45°＝10×≈7.0（海里），∴AD＝＝5÷＝5×＝5×≈5×1.4×1.7≈11.9（海里）．∴AC＝AD+CD＝11.9+7.0＝18.9≈19（海里）．答：小船到码头的距离约为19海里．15．解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G．∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC＝GB，GD＝BC＝11．∴两条路线路程之差为AD+DG﹣AG．在Rt△DGH中，DH＝DG•sin37°≈11×0.60＝6.60，GH＝DG•cos37°≈11×0.80≈8.80．在Rt△ADH中，AD＝DH≈1.41×6.60≈9.31．AH＝DH≈6.60．∴AD+DG﹣AG＝（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．16．解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米），答：无人机的飞行高度AM为200米；（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，∵AB∥CM，∴∠BAH＝∠ACM＝β，∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米），∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），∵AB∥CM，∴△HBA∽△HGC，∴AB：GC＝BH：HG，∴30：GC＝60：140，解得GC＝70（米），∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米），∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米，∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈207.3（米）．答：标志物DE的高度为207.3米．17．解：由题意可知∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC＝75°﹣30°＝45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°BD＝BC＝CD＝20km，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝15°，∴BE＝sin15°BD≈0.25×20≈5km，∴AB＝＝≈7km，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47km．答：从A地跑到D地的路程约为47km．18．解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5海里，∵∠DAG＝90°，∴四边形ADFG是矩形，∴GF＝AD＝1.5海里，∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6海里，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∵∠DCF＝53°，∴COS∠DCF＝，∴CD＝＝＝10海里．答：CD两点的距离是10；（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE＝30t海里，DE＝1.5×2×t＝3t海里，∠EDC＝53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，∴sin∠EDH＝，∴EH＝ED sin53°＝3t×＝t，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝．答：sin∠ECD＝．19．解：（1）由题意得，BC＝30×＝20海里，∠ABP＝60°，∠ACP＝30°，∴∠BPC＝30°，∴BP＝BC＝20海里，∴AP＝BP•sin∠ABP＝20×＝10，∵∠ACP＝30°，∴PC＝2AP＝20海里，答：港口C与小岛P之间的距离为20海里；（2）∵在港口C看到小岛P在南偏东30°处，游船的航向改为北偏东60°，∴∠PCQ＝90°，又CQ＝30×＝40海里，由勾股定理得，PQ＝＝20≈52.9海里，答：P，Q两个小岛之间的距离约为52.9海里．20．解：（1）∵∠EAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，AC＝60÷Cos30°＝40海里，CD＝AC＝20海里．故港口A与小岛C之间的距离是40海里；（2）过B点作BE∥AD，交AE于E，CD于F，∵∠BAD＝60°，∴∠BDA＝30°，∴∠ABD＝90°，∴△ABD是直角三角形，∴AB＝30海里；在Rt△ABE中，AE＝15海里，BE＝15海里，∴BF＝60﹣15＝45海里，CF＝20﹣15＝5海里，在Rt△BCF中，BC＝＝10海里．即灯塔B与小岛C之间的距离是10海里．21．解：（1）作CE⊥AB于E，由题意得，∠CAE＝45°，∠CBE＝30°，∴AE＝CE＝AC•sin∠CAE＝23×＝23km，∴BC＝2CE＝46km，答：BC的距离为46km；（2）作DF⊥BC于F，设DF＝xkm，∴CF＝＝x，BF＝＝x，则x+x＝46，解得，x＝12，∴DF＝12，CF＝16，由勾股定理得，CD＝＝20km．答：CD的距离约为20km．。