10平面向量
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10高中数学“平面向量加减运算与坐标表示”知识点全解析
高中数学“平面向量加减运算与坐标表示”知识点全解析一、引言平面向量的加减运算与坐标表示是向量运算的基础，对于理解向量的本质和性质，以及解决向量相关问题具有重要意义。
本文将详细解析“平面向量加减运算与坐标表示”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。
二、平面向量的加减运算1.向量加法：向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则。
设有两个向量a和b，则它们的和a + b可以表示为第三个向量，这个向量从a的起点指向b的终点，或者通过平移使a和b的起点重合，然后以a和b为邻边作平行四边形，则a + b是与a、b共起点的平行四边形的对角线。
1.向量减法：向量的减法可以看作是加上一个反向的向量。
设有两个向量a和b，则它们的差a - b可以表示为第三个向量，这个向量从b的终点指向a的终点，或者通过平移使a和b的起点重合，然后以b为起点、a为终点的向量即为a - b。
三、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以将向量的起点放在坐标原点，用向量的终点坐标来表示这个向量。
设向量a的终点坐标为(x, y)，则我们可以将向量a表示为坐标形式(x, y)。
这种表示方法称为向量的坐标表示法。
四、平面向量加减运算的坐标表示1.向量加法的坐标表示：设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的和a + b可以表示为坐标形式(x1 + x2, y1 + y2)。
即向量的加法在坐标表示下就是对应坐标分量的加法。
1.向量减法的坐标表示：同样地，设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的差a - b可以表示为坐标形式(x1 - x2, y1 - y2)。
即向量的减法在坐标表示下就是对应坐标分量的减法。
五、应用举例1.力的合成与分解：在物理学中，力是矢量，可以用向量来表示。
通过向量的加减运算可以方便地求解多个力的合成或分解问题。
例如求解两个力的合力时可以将这两个力表示为向量然后利用向量的加法运算求得合力的大小和方向。
第10讲平面向量复习
第10向量复习一、知识回顾 设a=（21a a ，），b =（21b b ，）1. a b ±=( 2211a a b b ±±，),a λ=(21,a a λλ),b a ⋅=2211b a b a +2.模: |a |=2221a a + 3.平行的充要条件: a //b ⇔a =b λ ⇔1221b a b a = 4.垂直的充要条件: a⊥b ⇔b a ⋅=0⇔2211b a b a +=0 5.两向量夹角: cos<a ,b 222122212211b b a a b a b a +⋅++二.基本题型例1.向量a =(3,-4).求: (1)与向量a 平行的单位向量b ； (2)与向量a 垂直的单位向量c.例2.已知向量a=(1,2), b =(-3,2),当k 为何值时(1)k a +b 与a -3b 垂直；(2) k a +b 与a-3b 平行,平行时是同向还是反向?例3.已知向量1e =(1,0),2e =(0,1).设a =21e e -,b =2134e e +. (1)计算b a ⋅及|a +b |;(2)求向量a ,b 的夹角<a ,b >.练习1.已知点A(2,1),B(3,-1)则向量OA 与OB 的夹角是 . 2.若向量a =(2,3), b =(4,x)且a //b ,则x= .3.已知向量a =(cos75o,sin750), b =(cos150, sin150),则|a -b |是 . 4.若向量a =(n,1), b =(4,n)共线且方向相反,则n= . 5.已知向量a =(8,21x), b =(x,1)且x>0,若(a -2b )//(2a +b ),则x= .6.已知向量a =(-2,-1), b =(λ,1)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为 .7.已知向量a 与b 同向, b =(1,2), b a ⋅=10.(1)求向量a 的坐标; (2)若向量c =(2,-1),求(c b ⋅)a ⋅.8.已知向量a =(sin θ,1), b =(1, cos θ),其中22πθπ<<-.(1)若a ⊥b ,求θ. (2)求|a +b |的最大值.高考再现:1.(09年广东文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b （ ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线2.（09浙江文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--3.（09北京文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向4. （09全国Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a ·b = 10，︱a + b ︱= b ︱= ． 5. （09湖北）向量a =（1，1），b =（-1,1），c =（4，2），则c =A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b6.（2009江西卷文）已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ， (,2)c k = ，若()a c b -⊥则k = ．7.（09辽宁文）平面向量a 与b 的夹角为060，a ＝(2,0), |b |＝1，则 |a ＋2b |＝。
平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案
）））））））第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。
2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。
3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。
【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB | 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a= 大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =2 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ．（2）向量的减法 ：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a⋅=λλ；②当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反； 当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λ向量b 与非零向量a共线⇔有两个均不是零的实数λ、μ，使得0a b λμ+=．二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0=（0,0），(1,0)i =，(0,1)j =． （2）设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3 平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±． （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--，1(AB x =（3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)．（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=． （5）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅． 三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积叫做a 与b 的数量积（或内积），即a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ，规定00a ⋅=2 向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 3 向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==4 乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+．5 平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅．②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈．③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±； 特别注意：①结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅．②消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =．③a b ⋅=0不能得到a =0或b =06 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 7 向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b⋅<>=⋅=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8 垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥ba ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，ECBA CA b =，1,2a b ==，则CD = （ ）（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B ．【解析】由角平分线的性质得2AD DB =,即有22()()33AD CB CA a b =-=-．从而221()333CD CA AD b a b a b =+=+-=+．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ， 那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D ．【解析】取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B ．若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷文）如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( ) A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --= 【答案】A ． 【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC =∴+=+==得0AD BE CF ++=．或0AD BE CF AD DF CF AF CF ++=++=+=．【例4】（2009宁夏海南卷文）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.16【答案】A ．【解析】向量a b λ+＝（－3λ－1，2λ），2a b -＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3λ－1，2λ）×（－1,2）＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝17-，故选A ． 【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , （ ）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平行四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43． 【解析】设BC b =、BA a =则12AF b a =- ,12AE b a =- ,AC b a =- 代入条件得2433u u λλ==∴+=． 【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________． 【答案】(0,－2)．【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+ ∴OD OA OC OB =+-＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF =,得cos 2ABAF FAB ∠=,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠．∵2AB =，∴22DF ⋅=，∴1DF =∴21CF =-．记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+． 又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =． ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯--=.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小． 【答案】2,,663A B C πππ===． 【解析】解：设,,BC a AC b AB c ===由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A = 又(0,),A π∈因此6A π=由233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3sin 4C B A ⋅=-所以53sin sin()64C C π⋅-=，133sin (cos sin )224C C C ⋅+=，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===． 【课堂练习】一、选择题1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b2. (2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线3.（2012天津文）在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,AC=2,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=( )（ ）A ．13 B ．23C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则a b += （）A B C ．D ．106. （2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--7．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最 小值为( )A.2- 2C.1-D.19.（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12 B ．12± C ．12± D ．32-±10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =( )A.B. C. 5 D. 2511.（2012大纲理）ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC( )A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13.（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 14.（2007湖北）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ）A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A ．(72,2)-- B ．(72,2)- C ．(46,2)-- D ．(46,2)-二、填空题16.（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.18.（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .19.（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且APAC = _____.A DBCP21.（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b ==,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.22.（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________. 23.（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___.25.（2012安徽理）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____三、解答题26. (2009年广东卷文)（已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 27.（2009上海卷文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .（1） 若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C =3π，求ΔABC 的面积 . 28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，且C n m 2sin =⋅.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】一、选择题1.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( )A.B. C. 4 D. 22.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心3.（2008安徽）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是( )A. 1B. 2C.2 D.225.（2007海南、宁夏）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b（ ） A ．(21)--， B ．(21)-，C ．(10)-，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是 （ ） A ．[-6，1]B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]8. 在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ） A ．22 B ．42 C ．23 D ．29. 已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 （ ）A ．9B ．1C ．－1D ．－910. 已知a 、b 是不共线的AB a b λ=+AC a b μ=+(,)R λμ∈，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是：（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=二、填空题11. 设向量2,3,19,AB AC AB AC CAB ==+=∠=则_________.12. 若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥ 满足，则向量b a 与的夹角等于 .13. 已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 .14.（2008江苏）a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ． 15. （2007安徽）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．16.（2007北京）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 .17. 已知向量(cos15,sin15)a =，(sin15,cos15)b =--，则a b |+|的值为 .18.（2007广东）若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ .三、解答题19.（2009湖南卷文）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版高中数学 教案+学案综合汇编 第5章：平面向量 课时10
人教版高中数学 教案+学案 综合汇编第4章 三角函数第十教时教材：线段的定比分点目的：要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式，并能应用解题。
过程：一、复习：1．向量的加减，实数与向量积的运算法则 2．向量的坐标运算 二、提出问题：线段的定比分点1．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况： λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)2．定比分点公式的获得：设P P 1=λ2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2)由向量的坐标运算 PP 1=(x-x 1,y-y 1)2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)∵P P 1=λ2PP (x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 P 1P 1P 1P 2P 2P 2PPPO P 1P P 23．中点公式：若P 是21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+=4．注意几个问题：1︒ λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在2︒ 中点公式是定比分点公式的特例3︒ 始点终点很重要，如P 分21P P 的定比λ=21则P 分12P P 的定比λ=2 4︒ 公式：如 x 1, x 2, x, λ 知三求一三、例题：例一 (P114例一) 知三求一 例二 (P114例二) △重心公式例三 若P 分有向线段AB 的比为43，则A 分BP 所成比为37-（作示意图） 例四 过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点，使| P 1P|:| PP 2|=3, 求P 点坐标 解：当P 内分21P P 时 λ=3当P 外分21P P 时λ=-3当λ=3得P(5,0) 当λ=-3得P(8,-3)例五 △ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC 边于D, 求D 点坐标解：∵AD 平分角∠BAC|AC|=1026222=+ |AB|=1039)3(22=+-∴D 分向量CB 所成比λ=32设D 点坐标(x, y) 则 1321)2(323=+-+=x 54132132107=+⨯+=y ∴D 点坐标为：(1,541) 四、小结：定比分点公式，中点公式 五、作业：P115-116 练习 习题5.5O P 1PP 2 •••• P’DBCA。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是数学中一种常见的概念，用于表示平面上的有向线段。
在几何学、物理学以及工程学中都有广泛的应用。
以下是一些与平面向量相关的重要公式：1.向量定义：平面上的向量可以由两个坐标表示，通常用小写字母加箭头表示，如AB→。
向量的起点和终点分别是A和B，表示从A指向B的有向线段。
2.向量的平移：平面向量可以进行平移。
设有向线段AB→，向量CD→是向量AB→平移后的结果，则CD→=AB→。
平移后向量的大小和方向保持不变。
3.向量的负向量：向量AB→的负向量是-AB→，即大小相等但方向相反的向量。
如果向量AB→的坐标表示为(a,b)，则-AB→的坐标表示为(-a,-b)。
4.共线向量：如果两个向量的大小和方向相同或相反，则这两个向量是共线的。
即对于向量AB→和CD→，如果存在实数k，使得AB→=kCD→，则两个向量共线。
5.向量的加法：给定两个向量AB→和CD→，则它们的和为AB→+CD→=(a+c,b+d)，其中a、b、c、d分别是AB→和CD→的坐标。
6.向量的减法：给定两个向量AB→和CD→，则它们的差为AB→-CD→=(a-c,b-d)，其中a、b、c、d分别是AB→和CD→的坐标。
7. 数量乘法：给定一个向量AB→和一个实数k，则k乘以向量AB→为kAB→ = (ka, kb)，其中a、b为向量AB→的坐标。
8.向量的数量积（点积）：给定向量AB→和CD→，它们的数量积为AB→·CD→=a*c+b*d，其中a、b、c、d为相应向量的坐标。
数量积的结果是一个实数。
9. 向量的夹角：给定两个非零向量AB→和CD→，它们的夹角为θ，则夹角的余弦值可以通过数量积计算：cos(θ) = (AB→ · CD→) / (，AB→，，CD→，)，其中，AB→，和，CD→，分别为向量AB→和CD→的长度。
10.向量的叉积（向量积）：给定向量AB→和CD→，它们的叉积为AB→×CD→=(b*d-a*c)k，其中a、b、c、d为相应向量的坐标，k为单位向量。
考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。
1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。
2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。
则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。
5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。
则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。
6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。
7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。
8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。
9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。
平面向量基本公式大全
平面向量基本公式大全平面向量是二维空间中的量，可以表示平面上的位移、速度、加速度等物理量。
平面向量的运算和性质有很多，下面是一些平面向量的基本公式。
1.平面向量的定义：设有平面内两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A到点B的位移向量可以表示为：AB=(x2-x1,y2-y1)。
2.平移：若有向量AB，向量AC的表示式为：AC=AB+BC。
3.等比例划分：若有向量AB，其等比例划分的点是M，AM:MB=λ:μ，则向量AM和向量MB满足：AM=(λ/(λ+μ))AB，MB=(μ/(λ+μ))AB。
4.向量的共线性：若有向量AB和CD，若存在实数k，使得AB=kCD，则称向量AB和CD 共线。
5.向量的平行性：若有向量AB和CD，若存在实数k，使得AB=kCD，则称向量AB和CD 平行。
6.向量的加法：若有向量AB和CD，则AB+CD=AD。
7.向量的减法：若有向量AB和CD，则AB-CD=AD。
8.向量的数量积：设有向量A(x1,y1)和B(x2,y2)，其数量积AB=x1x2+y1y29.向量的模长：设有向量A(x,y)，其模长，A，=√(x^2+y^2)。
10.向量的单位向量：设有非零向量A(x,y)，其单位向量A'=A/，A。
11.向量的夹角：设有非零向量A和B，其夹角θ满足：cosθ = (A·B)/(，A，B，)。
12.向量的垂直性：若有向量A和B，若A·B=0，则称向量A和B垂直。
13.平面向量的线性相关性：若有向量A和B，若存在实数k，使得A=kB，则称向量A和B线性相关。
14.平面向量的线性无关性：若有向量A和B，若只有当k=0时，A=kB，任意实数k都无法使得A=kB，则称向量A和B线性无关。
15.平面向量的正交基：若有向量A和B，若A·B=0，并且，A，≠0，B，≠0，则称向量A和B为正交基。
16.平面向量的投影：若有向量A和B，其夹角为θ，则A在B上的投影长度为：，Acosθ。
平面向量重要公式
平面向量重要公式平面向量是指在同一平面上定点两点之间的差。
在平面向量的运算中，存在许多重要的公式，这些公式对于解决数学问题具有重要的指导作用。
下面将介绍一些平面向量的重要公式。
1.向量的加法：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂)向量的加法满足交换律和结合律。
2.向量的数乘：设向量a=(a₁,a₂)，k为实数，则有：k*a=(k*a₁,k*a₂)数乘与向量的顺序可以交换。
3.向量的模：设向量a=(a₁,a₂)，则有：a，=√(a₁²+a₂²)向量的模等于其坐标的平方和的平方根。
4.向量的数量积（点积）：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a·b=a₁*b₁+a₂*b₂向量的数量积满足交换律和分配律。
5.向量的平行性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a//b⇔a₁/b₁=a₂/b₂两个向量平行的充分必要条件是它们的坐标成比例。
6.向量的垂直性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a⊥b⇔a·b=0两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为0。
7.向量的共线性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a、b共线⇔a₁/b₁=a₂/b₂=k（k为实数）两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。
8.向量的二次共线性：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，c=(c₁,c₂)，则有：a、b共线两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。
9.向量的夹角：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：cosθ = (a·b) / (，a，，b，)两个向量的夹角cosθ等于它们的数量积与它们的模的乘积之商。
10.平行四边形法则：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=c+d一个平行四边形的对角向量相等。
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平面向量问题的类型及其解法平面向量是课程改革的新增内容,首次出现在2000年天津、江西新课程和上海高考试题中.在课程教材中《平面向量》与《解三角形》在同一章,课标把它们分列两章.《课程标准》删去了大纲中的“线段的定比分点”和“向量平移”,增加了直线的方向向量、直线夹角公式和点到直线的距离公式,加强了向量(尤其在平面几何中)的应用.平面向量的基本理论可分为三个方面;一是自由向量:①a ∥b ∃⇔λ1,λ2,使λ1a +λ2b =0; ②a ⊥b ⇔ab =0; ③a 2=|a |2; ④ab =|a ||b |cos<a ,b >; ⑤a 在向量m 上的射影为|a|cos<a ,m >=am /|m|; ⑥向量的加、减、乘类似于多项式的加、减、乘(包括乘法公式、因式分解公式); ⑦a +b +c =0⇔a ,b ,c 三个向量首尾相连构成封闭图形⇔向量a ,b ,c 的始点重合于点G,a ,b ,c 的终点分别为A,B,C,则G 是△ABC 的重心.二是解析向量:a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).①a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2);②ab =x 1x 2+y 1y 2;③a ∥b ⇔x 1:x 2=y 1:y 2;④a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0;⑤|a |=2221x x +;⑥定比分点公式(包括中点坐标公式);⑦|a |=r ⇔a =(rcos α,rsin α),α∈[0,2π);三是几何向量:①己知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1);②A 、P 、B 三点共线OB OA OP βα+=⇔,其中O 不在直线AB 上,且α+β=1;③|OB OA OB OA OB OA ⊥⇔-=+|||;④⇔=++0PC PB PA P 是△ABC 的重心;⑤ PA PC PC PB PB PA ==⇔P 是△ABC 的垂心;⑥0=++PC c PB b PA a ⇔P 是△ABC 的内心;⑦⇔==222PC PB PA P 是△ABC 的外心.平面向量问题是安徽高考的重点,2006年始,自主命题的试题列举如下:1.(2010年文理第3题)设向量a =(1,0),b =(21,21),则下列结论中正确的是( ) (A)|a |=|b | (B)ab =22 (C)a -b 与b 垂直 (D)a //b [解]:(a -b )b =ab -b 2=21-21=0⇒a -b 与b 垂直,选(C).2.(2008年文第3题)若AB =(2,4),AC =(1,3),则BC =( )(A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(3,7) (D)(-3,-7)[解]:由BC AB AC BC ⇒-==(-1,-1).选(B).3.(2008年理第3题)在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB =(2,4),AC =(1,3),则BD =( )(A)(-2,-4) (B)(-3,-5) (C)(3,5) (D)(2,4)[解]:由AB AC AB AB AC AB BC AB AD BD 2)(-=--=-=-==(-3,-5),选(B).4.(2006年文理第14题)在平行四边形ABCD 中,,3,,NC AN b AD a AB ===M 为BC 的中点,则M N = (用b a ,表示).[解]:因=+-=-=)(43BM AB AC AM AN MN 43(a +b )-(a +21b )=41-a +41b . 5.(2007年文理第13题)在四面体O-ABC 中,c OC b OB a OA ===,,,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则O E = (用c b a ,,表示).[解]:由题知)](21[21)(21OC OB OA OD OA OE ++=+==21a +41(b +c ). 6.(2009年文第14题)在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =λAE +ηAF ,其中λ,η∈R,则λ+μ= .[解]:(法一)设AB =a ,AD =b ,则AC =a +b ,AE =21(AD +AC )=21a +b ,AF =21(AB +AC )=a +21b ⇒AE +AF =23(a +b ) =23AC ⇒AC =32AE +32AF ,所以,λ=μ=32⇒λ+μ=34.(法二)由题知2AE =AD +AC ,2AF =AB +AC ⇒2AE +2AF =AD +AB +2AC =3AC ⇒AC =32AE +32AF ,所以,λ=μ=32⇒λ+μ=34. (法三)本题隐含对任意的平行四边形ABCD,λ+μ为定值.故可取平行四边形ABCD 为边长为2的正方形,并分别以AB 、AD 边所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系,则AC =(2,2),AE =(1,2),AF =(2,1),由AC =λAE +ηAF ⇒λ+2μ=2, 2λ+μ=2⇒λ+μ=34. 7.(2009年理第14题)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为 B C1200.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧BA ˆ上变功,若O C =x OA +y OB , 其中x,y ∈R,则x+y 的最大值是 .[解]:(法一)过点C 作直线CM 平行于OB,且与直线OA 交于点M,于是 O A ∠CMO=600,在△OCM 中,设∠COM=α,则0060sin 1)120sin(sin =-=ααOM CM ⇒CM=332sin α,OM=332sin(1200-α),由OC =x OA +y OB 知,x=OM=332sin(1200-α),y=CM=332sin α,所以,x+y=332sin(1200-α)+332sin α=2sin(α+300)≤2;(法二)以点O 为原点,OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则OA =(1,0),OB =(-21,23),设OC =(cos α,sin α), 由OC =x OA +y OB 得:x-21y=cos α,23y=sin α⇒x+y=3sin α+cos α=2sin(α+300)≤2; (法三)由OC =x OA +y OB 得:OC 2=(x OA +y OB )2⇒|OC |2=x 2|OA |2+y 2|OB |2+2xy||OA |OB |cos1200⇒1=x 2+y 2-xy ⇒1≥21(x+y)2-41(x+y)2⇒x+y ≤2. 平面向量问题是高考重点关注的问题,那么,高考中平面向量问题有哪些类型？如何解决平面向量问题？下面我们通过举例,解决这些问题.一.向量认识例1:(2000年新课程高考试题)设a ,b ,c 是任意的非零向量,且相互了共线,则①(ab )c -(ca )b =0;②|a |-|b |<|a -b |;③(bc )a -(ca )b 不与c 垂直;④(3a -2b )(3a +2b )=9|a |2-4|b |2.是真命题的有( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ [分析解答]:①向量的乘法不满足结合律,所以,①错;②任意向量a ,b ,满足三角不等式:||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |;③[(bc )a -(ca )b ]c =(bc )(ac )-(ca )(bc )=0,所以c ⊥[(bc )a -(ca )b ],所以,③错;④(3a -2b )(3a +2b )=(3a )2- (2b )2=9a 2-4b 2=9|a |2-4|b |2.所以,④正确.综上,选(D). [思想方法]:掌握一些正确的结论是学习的基础,而认识一些常见的错误则是学习的提高;向量中的常见错误来自于三个方面:一是对向量的方向性和自由性的错误理解,二是把实数的运算和性质错误的移植到向量的运算中,三是没有正确理解向量运算的几何意义.[备选题库]:1.(2002年上海春招试题)若a ,b ,c 为任意向量,m ∈R,则下列等式不一定成立的是( )(A)(a +b )+c =a +(b +c ) (B)(a +b )c =ac +bc (C)m(a +b )=m a +m b (D)(ab )c =a (bc )2.(2007福建高考试题)对于向量a 、b 、c 和实数λ,下列命题中真命题是( )(A)若ab =0则a =0,或b =0 (B)若λa =0,则λ=0,或a =0 (C)若a 2=b 2,则a =b ,或a =-b (D)若ab =ac ,则b =c3.(2008年宁夏、海南高考试题)平面向量a ,b 共线的充要条件是( )(A)a,b 方向相同 (B)a,b 两向量中至少有一个为零向量 (C)∃λ∈R,b =λa (D)存在不全为零的实数λ1,λ2,λ1a +λ2b =04.(2008年陕西高考试题)关于平面向量a ,b ,c ,有下列三个命题:①若ab =a c ,则b =c ;②若a =(1,k),b =(-2,6),a ∥b ,则k=-3;③非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为600;其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).5.(2010年山东高考试题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a =(m,n),b =(p,q),令a ⊙b =mq-np.下面说法错误的是( )(A)若a 与b 共线,则a ⊙b ＝0 (B)a ⊙b =b ⊙a (C)对任意的λ∈R ,有(λa )⊙b =λ(a ⊙b ) (D)(a ⊙b )2+(ab )2=|a |2|b |26.(2007年湖南高考试题)若O 、E 、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) (A)OE CF EF += (B)OE CF EF -= (C)OE CF EF +-= (D)OE CF EF --=7.(2006年上海高考试题)如图,在平行四边形ABCD 中, D C下列结论错误的是( ) A B (A)DC AB = (B)AC AB AD =+ (C)BD AD AB =- (D)CB AD +=08.(2006年广东高考试题)如图所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点, A则向量CD =( ) D(A)-BC +21BA (B)-BC -21BA B C (C)BC -21BA (D)BC +21BA 9.(2004年上海春招试题)在△ABC 中,有命题:①BC AC AB =-;②=0;③若)()(AC AB AC AB -⋅+=0,则△ABC 为等腰三角形;④若AB AC ⋅>0,则△ABC 为锐角三角形.上述命题正确的是( )(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②③④10.(2008年江西高考试题)如图.正六边形ABCDEF 中,有下列四个命题: E D①BC AF AC 2=+;②AF AB AD 22+=;③AB AD AD AC ⋅=⋅;④EF AF AD )(⋅ F C=)(EF AF AD ⋅.其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号). A B二.自由向量例2:(2007年辽宁高考试题)若向量a 与b 不共线,b a ⋅≠0,且b b a a a a c )()(⋅⋅-=,则向量a 与c 的夹角为( ) (A)0 (B)6π (C)3π (D)2π [分析解答]:由])()([b b a a a a a c a ⋅⋅-=⋅=)()()(b a b a a a a a ⋅⋅⋅-⋅=a a a a ⋅-⋅=0,所以,向量a 与c 的夹角为2π.故选(D).[思想方法]:关于自由向量的问题,关键是运算问题,正确掌握向量运算的性质:①向量的加、减、乘运算类似于多项式的运算;②向量的数量积:><=⋅b a b a b a ,cos ||||;③向量的模的公式:2a a =;④向量的夹角公式:cos ||||,b a b a b a ⋅>=<.基本问题有:求某向量的数量积、求向量的模和两向量的夹角,或其范围. [备选题库]:1.(2000年上海高考试题)己知向量a 和b 的夹角为1200,且|a |=2,|b |=5,则(2a -b )a = .2.(2007年上海高考试题)若向量a 、b 的夹角为600,|a |=|b |=1,则a (a -b )= .3.(2007年广东高考试题)若向量a 、b 满足|a |=|b |=1,a 与b 的夹角为1200,则aa +ab = .4.(2008年北京高考试题)己知向量a 和b 的夹角为1200,且|a |=|b |=4,则b (2a +b )的值为 .5.(2009年江苏高考试题)己知向量a 与向量b 的夹角为300,且|a |=2,|b |=3,则向量a 与向量b 的ab = .6.(2010年重庆高考试题)已知向量a ,b 满足ab =0,|a |=1,|b |=2,则|2a -b |=( )(A)0 (B)22 (C)4 (D)87.(2010年江西高考试题)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为600,则|a -b |= .8.(2004年全国I 高考试题)己知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为600,那么|a +3b |=( ) (A)7 (B)10 (C)13 (D)49.(2008年江苏高考试题)己知向量a 与b 的夹角为1200,且|a |=1,|b |=3,则|5a -b |= .10.(2010年浙江高考试题)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是 .11.(2006年湖北高考试题)己知非零向量a 、b ,若a +2b 与a -2b 互相垂直,则||||b a =( ) (A)41 (B)4 (C)21 (D)2 12.(2004年重庆高考试题)若向量a 和b 的夹角为600,|b |=4,(a +2b )(a -3b )=-72,则向量a 的模为( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)1213.(2009年重庆高考试题)己知|a |=1,|b |=6,a (b -a )=2,则向量a 与b 的夹角是( ) (A)6π (B)4π (C)3π (D)2π 14.(2004年全国III 高考试题)向量a 、b 满足(a -b )(2a +b )=-4,且|a |=2,|b |=4,则a 与b 夹角的余弦值等于 .15.(2010年湖南高考试题)若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )b =0,则a 与b 的夹角为( )(A)300 (B)600 (C)1200 (D)150016.(2006年湖南高考试题)己知|a |=2|b |≠0,且关于x 的方程x 2+|a |x+ab =0有实根,则a 与b 夹角的范围是( ) (A)[0,6π] (B)[3π,π] (C)[3π,32π] (D)[6π,π] 17.(2007年湖南高考试题)设a 、b 是非零向量,若函数f(x)=(x a +b )(a -x b )的图象是一条直线,则必有( )(A)a ⊥b (B)a ∥b (C)|a |=|b | (D)|a |≠|b |18.(2010年北京高考试题)a 、b 是非零向量.“a ⊥b ”是“函数f(x)=(x a +b )(x b -a )为一次函数”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件三.几何意义例3:(2006年浙江高考试题)设向量a 、b 、c 满足:a +b +c =0,(a -b )⊥c ,a ⊥b ,若|a |=1,则|a |2+|b |2+|c |2的值是 .[分析解答]:(法一)由a +b +c =0⇒c =-(a +b ),(a -b )⊥c ⇒(a -b )c =0⇒(a -b )[--(a +b )]=0⇒a 2=b 2⇒|b |=|a |=1,又由a ⊥b ⇒ab =0⇒|c |=|-(a +b )|=|a +b |=22)(222=⋅++=+b a b a b a ⇒|a |2+|b |2+|c |2=4. (法二)由a +b +c =0,且a ⊥b 知a 、b 、c 构成直角三角形ABC,如图:延长AC 到点D,使CD=AC, A 则DB =a -b ,由(a -b )⊥c 知AB ⊥BD ⇒△ABD 是等腰直角三角形⇒△ABC 是等腰直角三角形 C B ⇒AC=BC=1⇒AB=2⇒|a |2+|b |2+|c |2=4. D (法三)由a +b +c =0知,a 、b 、c 构成如图所示的△ABC. 其中G 是△ABC 的重心,由a ⊥b 知 B GA ⊥GB,由(a -b )⊥c 知GC ⊥AB ⇒△ABG 是等腰直角三角形⇒GA=GB=1 GC=2GD=AB=2⇒ G A |a |2+|b |2+|c |2=4. C(法四)由|a |=1知可设a =(cos θ,sin θ),由a ⊥b 可得b =(ksin θ,-kcos θ),由a +b +c =0可得c =(-cos θ-ksin θ,kcos θ-sin θ),由(a -b )⊥c ⇒-cos 2θ+k 2sin 2θ-sin 2θ+k 2cos 2=0⇒k 2=1⇒|b |=1,|c |=2⇒|a |2+|b |2+|c |2=4. [思想方法]:关注向量运算的几何意义或向量的三角坐标是巧解向量问题的出发点.其中,a +b +c =0⇔向量a 、b 、c 首尾相接可构成一个三角形⇔向量a 、b 、c 共同的始点是三个终点构成的三角形的重心;对任意向量a =(|a |cos θ,|a |sin θ),θ∈[0,2π).[备选题库]:1.(2006年山东高考试题)(文)设向量a =(1,-3),b =(-2,4),若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为( )(A)(1,-1) (B)(-1,1) (C)(-4,6) (D)(4,-6)2.(2006年山东高考试题)(理)设向量a =(1,-3),b =(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a 、4b -2c 、2(a -c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d 为( )(A)(2,6) (B)(-2,6) (C)(2,-6) (D)(-2,-6)3.(2005年天津高考试题)己知|a |=2,|b |=4,a 与b 的夹角为3π,以a 、b 为邻边作平行四边形则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .4.(2006年全国II 高考试题)设平面向量a 1,a 2,a 3的和a 1+a 2+a 3=0.如果平面向量b 1,b 2,b 3满足|b i |=2|a i |,且a i 顺时针旋转300后与b i 同向,其中i=1,2,3,则( )(A)-b 1+b 2+b 3=0 (B)b 1-b 2+b 3=0 (C)b 1+b 2-b 3=0 (D)b 1+b 2+b 3=07.(2001年上海春招试题)若非零向量α,β满足|α+β|=|α-β|则α与β所成角的大小为 .8.(2004年福建高考试题)己知a 、b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π 9.(2009年全国I 高考试题)设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则<a ,b >=( )(A)1500 (B)1200 (C)600 (D)30010.(2005年北京高考试题)|a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为( )(A)300 (B)600 (C)1200 (D)150011.(2004年全国II 高考试题)己知向量a 、b 满足:|a |=1,|b |=2,|a -b |=2,则|a +b |=( )(A)1 (B)2 (C)5 (D)612.(2006年福建高考试题)己知向量a 与b 的夹角为1200,且|a |=3,|a +b |=13,则|b |等于( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)113.(2006年浙江高考试题)设向量a 、b 、c 满足:a +b +c =0,且a ⊥b ,|a |=1,|b |=2,则|c |2=( )(A)1 (B)2 (C)4 (D)514.(2004湖南高考试题)己知向量a =(cos θ,sin θ),向量b =(3,-1),则|2a -b |的最大值、最小值分别为( ) (A)42,0 (B)4,22 (C)16,0 (D)4,015.(2006年北京高考试题)己知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且a ≠±b ,则a+b 与a -b 的夹角的大小是 .16.(2009年全国I 高考试题)设a ,b ,c 是单位向量,且a b =0,则(a -c )(b -c )的最小值为( )(A)-2 (B)2-2 (C)-1 (D)1-217.(2007年浙江高考试题)若非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |,则( )(A)|2a |>|2a +b | (B)|2a |<|2a +b | (C|2b |>|a +2b | (D)|2b |<|a +2b |18.(2008年浙江高考试题)己知a 是平面内的单位向量,若向量b 满足b (a -b )=0,则|b |的取值范围是 .19.(2008年浙江高考试题)己知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足(a -c )(b -c )=0,则|c |的最大值是( )(A)1 (B)2 (C)2 (D)2220.(2010年江西高考试题)已知向量a ,b 满足|b |=2,a 与b 的夹角为600,则b 在a 上的投影是__________.21.(2009年浙江高考试题)己知向量a ,b 满足|a |=3,|b |=4,ab =0,以a ,b ,a -b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)622.(2005年浙江高考试题)己知向量a ≠e ,|e |=1满足:对任意t ∈R,恒有|a -t e |≥|a -e |,则(A)a ⊥e (B)a ⊥(a -e ) (C)e ⊥(a -e ) (D)(a +e )⊥(a -e )23.(2010年浙江高考试题)已知平面向量α,β,(α≠0,α≠β),满足|β|=1,且α与β-α的夹角为1200,则|α|的取值范围是 .24.(2009年福建高考试题)设a ,b ,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a ⊥c ,|a |=|c |,则|b c |的值一定等于( )(A)以a ,b 为两边的三角形的面积 (B)以b ,c 为两边的三角形的面积(C)以a ,b 为邻边的平行四边形的面积 (D)以b ,c 为邻边的平行四边形的面积四.解析向量例4:(2007年重庆高考试题)己知向量OA =(4,6),OB =(3,5),且OC ⊥OA ,AC ∥OB ,则向量OC =( ) (A)(-73,72) (B)(-72,214) (C)(73,-72) (D)(72,-214) [分析解答]:由OA =(4,6),且OC ⊥OA ,可设OC =(3k,-2k)⇒AC =OC -OA =(3k-4,-2k-6),又由AC ∥OB ⇒(3k- 4):(-2k-6)=3:5⇒k=212⇒OC =(72,-214).故选(D). [思想方法]:对于解析向量,首先应关注于运算法则:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则①a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2);②λa =(λx 1,λy 1);③ab =x 1x 2+y 1y 2;其次是基本结论:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则①a ∥b ⇔x 1:x 2=y 1:y 2;②a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1:y 2=0;③cos<a , b >=222221212121y x y x y y x x +++;最后应特别注意:若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1),及几何向量的运算法则. [备选题库]:1.(2001年新课程高考试题)若向量a =(3,2),b =(0,-1),则向量2b -a 的坐标是( )(A)(3,-4) (B)(-3,4) (C)(3,4) (D)(-3,-4)2.(2005年重庆高考试题)设向量a =(-1,2),b =(2,-1),则(ab )(a +b )等于( )(A)(1,1) (B)(-4,-4) (C)-4 (D)(-2,-2)3.(2008年湖北高考试题)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )c =( )(A)(-15,12) (B)0 (C)-3 (D)-114.(2008年天津高考试题)己知平面向量a =(2,4),b =(-1,2),若c =a -(ab )b ,则|c |= .5.(2005年广东高考试题)己知向量a =(2,4),b =(x,6),且a ∥b ,则x= .6.(2010年重庆高考试题)若向量a =(3,m),b =(2,-1),ab =0,则实数m 的值为( ) (A)-23 (B)23 (C)2 (D)6 7.(2008年广东高考试题)己知平面向量a =(1,2),b =(-2,-m),且a ∥b ,则2a +3b =( )(A)(-2,-4) (B)(-3,-6) (C)(-4,-8) (D)(-5,-10)8.(2009年广东高考试题)己知平面向量a =(x,1),b =(-x,x 2),则a +b ( )(A)平行于y 轴 (B)平行第一、三象限的角平分线 (C)平行于x 轴 (D)平行第二、四象限的角平分线9.(2009年重庆高考试题)己知向量a =(1,1),b =(2,x).若a +b 与4b -2a 平行,则实数x 的值是( )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)210.(2004年浙江高考试题)己知向量a =(3,4),b =(sin α,cos α),且a ∥b ,则tan α等于( ) (A)43 (B)-43 (C)34 (D)-3411.(2008年全国I 高考试题)设a =(1,2),b =(2,3).若向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线,则λ= .12.(2009年北京高考试题)己知向量a =(1,0),b =(0,1),c =k a +b (k ∈R),d =a -b .如果c ∥d ,那么( )(A)k=1,且c 与d 同向 (B)k=1,且c 与d 反向 (C)k=-1,且c 与d 同向 (D)k=-1,且c 与d 反向13.(2006年湖南高考试题)己知向量a =(2,t),b =(1,2),若t=t 1时,a ∥b ;t=t 2时,a ⊥b ,则( )(A)t 1=-4,t 2=-1 (B)t 1=-4,t 2=1 (C)t 1=4,t 2=-1 (D)t 1=4,t 2=114.(2010年陕西高考试题)已知向量a =(2,-1),b =(-1,m),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m= .15.(2004年广东高考试题)若平面向量a =(3,1),b =(x,-3),且a ⊥b ,则x=( )(A)3 (B)1 (C)-1 (D)-316.(2009年江西高考试题)己知向量a =(3,1),b =(1,3),c =(k,2),若(a -c )⊥b ,则k= .17.(2007年山东高考试题)己知向量a =(1,n),b =(-1,n),若2a -b 与b 垂直,则|a |=( )(A)1 (B)2 (C)2 (D)418.(2005年浙江高考试题)己知向量a =(x-5,3),b =(2,x),且a ⊥b ,则由x 的值构成的集合是( )(A){2,3} (B){-1,6} (C){2} (D){6}19.(2004年天津高考试题)己知向量a =(1,1),b =(2,-3),若k a -2b 与a 垂直,则实数k 等于 .20.(2008年宁夏、海南高考试题)己知平面向量a =(1,-3),b =(4,-2),λa +b 与a 垂直,则λ=( )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)221.(2007年北京高考试题)己知向量a =(2,4),b =(1,1).若向量b ⊥(a +λb ),则实数λ的值是 .22.(2009年宁夏、海南高考试题)己知向量a =(-3,2),b =(-1,0),向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( ) (A)-71 (B)71 (C)-61 (D)6123.(2009年辽宁高考试题)己知平面向量a 与b 的夹角为600,a =(2,0),|b |=1,则|a +2b |=( )(A)3 (B)23 (C)4 (D)1224.(2005年湖北高考试题)己知向量a =(-2,2),b =(5,k),若|a +b |不超过5,则k 的取值范围是 .25.(2006年天津高考试题)己知向量a 和b 的夹角为θ,且a =(3,3),2b -a =(-1,1),则cos θ= .26.(2006年湖北高考试题)己知向量a =(3,1),b 是不平行于x 轴的单位向量,且ab =3,则b =( ) (A)(23,21) (B)(21,23) (C)(433,41) (D)(1,0) 27.(2009年全国II 高考试题)己知向量a =(2,1),ab =10,|a +b |=52,则|b |=( ) (A)5 (B)10 (C)5 (D)2528.(2004年江苏高考试题)平面向量a 、b 中,己知a =(4,-3),|b |=1,且ab =5,则向量b = .29.(2004年天津高考试题)若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角为1800,且|b |=35,则b =( )(A)(-3,6) (B)(3,-6) (C)(6,-3) (D)(-6,3)30.(2009年广东高考试题)己知平面向量a 、b 满足|a +b|=1,a +b 平行于x 轴,b =(2,-1),则a = .31.(2009年浙江高考试题)己知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足:(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =( ) (A)(97,37) (B)(-37,-97) (C)(37,97) (D)(-97,-37) 32.(2005年江西高考试题)己知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(a +b )c =25,则a 与c 的夹角为( ) (A)300 (B)600 (C)1200 (D)150033.(2010年广东高考试题)若向量a =(1,1),b =(2,5),c =(3,x)满足条件(8a -b )c =30,则x=( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)334.(2000年上海高考试题)己知向量OA =(-1,2),OB =(3,m),若OA ⊥AB ,则m= .35.(2005年福建高考试题)在△ABC 中,∠C=900,AB =(k,1),AC =(2,3),则k 的值是( )(A)5 (B)-5 (C)23 (D)-2336.(2007年上海高考试题)直角坐标系xOy 中,i 、j 分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC 中,若AB =2i +j ,AC =3i +k j ,则k 的可能值的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)437.(2006年重庆高考试题)己知三点A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中k 为常数,若|AB |=|AC |,则AB 与AC 的夹角的余弦值为( )(A)-2524 (B)0,2524 (C)2524 (D)0,-2524 38.(2005年重庆高考试题)A(3,1),B(6,1),C(4,3),D 线段BC 的中点,则向量AC 与DA 的夹角的余弦值为( ) (A)54 (B)-54 (C)53 (D)-53 39.(2008年辽宁高考试题)己知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且AD BC 2=,则顶点D 的坐标为( ) (A)(2,27) (B)(2,-21) (C)(3,2) (D)(1,3) 40.(2004年上海高考试题)己知点A(1,-2),若向量AB 与a =(2,3)同向,|AB |=213,则点B 的坐标为 .41.(2008年江西高考试题)直角坐标平面内三点A(1,2)、B(3,-2)、C(9,7),若E 、F 为线段BC 的三等分点,则AF AE ⋅= .42.(2007年江西高考试题)在平面直角坐标系中,正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O(0,0)、B(1,1),则AC AB ⋅= .43.(2008年天津高考试题)如图,在平行四边形ABCD 中,AC =(1,2),BD =(-3,2), D C 则AC AD ⋅= . A B五.几何向量例5:(2007年山东高考试题)在直角△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是( )(A)AB AC AC ⋅=2|| (B)BC BA BC ⋅=2|| (C)CD AC AB ⋅=2|| (D)22||)()(||AB BC BA AB AC CD ⋅⨯⋅=[分析解答]:(法一)因2||cos ||||AC A AB AC AB AC =⋅=⋅,所以,(A)正确;同理可得:(B)正确;因直角△ABC 中,||||CD AB ⋅ =||||BC AC ⋅22222||))((||||||||AB BC BA AB AC AB BC AC CD ⋅⋅=⋅=⇒,所以,(D)正确;故选(C).(法二)设A(1,0),B(0,3),C(0,0)⇒D(43,43)⇒AC =(-1,0),AB =(-1,3),BC =(0,-3),CD =(43,43),代入验证知,(C)错误,故选(C). [思想方法]:对于几何向量首先应灵活掌握向量的三角形和平行四边形运算法则,并充分认识向量与它的始点的位置无关,从而掌握相等向量的含义;其次是掌握基本结论:①首尾相连且构成封闭图形的所有向量的和为零向量;②向量和为零的所有向量的公共始点是各向量终点构成的多边形的重心;③在△ABC 中AC AB ⋅=bccosA;AC AB ⋅=21(b 2+c 2-a 2); AC AB ⋅=2cotA.S △ABC ;④点P 是AB 的中点)(21OB OA OP +=⇔. [备选题库]:1.(2009年湖南高考试题)如图,D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则( ) A(A)CF BE AD ++=0 (B)DF CF BD +-=0 D F(C)CF CE AD -+=0 (D)FC BE BD --=0 B E C2.(2008年湖南高考试题)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且FB AF EA CE BD DC 2,2,2===,则CF BE AD ++与BC ( )(A)反向平行 (B)同向平行 (C)互相垂直 (D)既不平行也不垂直3.(2009年广东高考试题)一质点受到平面上的三个力F 1,F 2,F 3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.己知F 1,F 2,成600角,且F 1,F 2,的大小分别为2和4,则F 3的大小为( )(A)6 (B)2 (C)25 (D)274.(2004年浙江高考试题)(文)己知平面上三点A 、B 、C 满足,3||,1||,2||===CA BC AB 则AB CA CA BC BC AB ++= .5.(2004年浙江高考试题)(理)己知平面上三点A 、B 、C 满足,5||,4||,3||===CA BC AB 则AB CA CA BC BC AB ++= .6.(2008年湖南高考试题)在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC=10,则AC AB ⋅=( ) (A)-23 (B)-32 (C)32 (D)23 7.(2007年天津高考试题)(文)在△ABC 中,AB=2,AC=3,D 是边BC 的中点,则BC AD ⋅= .8.(2007年天津高考试题)如图,在△ABC 中,∠BAC=1200,AB=2,AC=1, A D 是边BC 上一点,DC=2BD,则BC AD ⋅= . B D C9.(2009年山东高考试题)设P 是△ABC 所在平面内一点,BP BA BC 2=+,则( )(A)PB PA +=0 (B)PC PB +=0 (C)PA PC +=0 (D)PC PB PA ++=010.(2008年辽宁高考试题)己知O,A,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足2CB AC +=0,则OC =( ) (A)2OB OA - (B)OB OA 2+- (C)OB OA 3132- (D)OB OA 3231+- 11.(2007年北京高考试题)己知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为边BC 中点,且2OC OB OA ++=0,那么( )(A)OD AO = (B)OD AO 2= (C)OD AO 3= (D)2OD AO =12.(2009年陕西高考试题)在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上,且满足PM AP 2=,则)(PC PB AP +⋅等于( )(A)94 (B)34 (C)-34 (D)-94 13.(2005年江苏高考试题)在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM=2,则)(OC OB OA +⋅的最小值是 .14.(2006年四川高考试题)如图,己知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6, P 5 P 4下列向量的数量积最大的是( ) P 6 P 3(A)3121P P P P ⋅ (B)4121P P P P ⋅(C)5121P P P P ⋅ (D)6121P P P P ⋅ P 1 P 2 A15.(2010年天津高考试题)如图,在△ABC 中,AD ⊥AB,BD BC 3=,|AD |=1,则AD AC ⋅= . B D C16.(2007年重庆高考试题)如图,在四边形ABCD 中,DC BD BD AB DC BD BD AB DC BD AB ⋅=⋅=⋅+⋅=++,4||||||||,4|||||| =0,则AC DC AB ⋅+)(的值为( ) D C(A)2 (B)22(C)4 (D)42 A B六.基本定理例6:(2009年天津高考试题)在四边形ABCD 中,DC AB ==(1,1),BD BD BC BC BA BA ||3||1||1=+,则四边形ABCD 的面积为 . [分析解答]:因向量BA BA ||1是与BA 同向的单位向量,向量BC BC ||1是与BC 同向的单位向量⇔向BA BA ||1+BCBC ||1是∠ABC 的角平分线上的向量,如图: C D又由DC AB ==(1,1)知四边形ABCD 是边长为2的菱形,且BD=6⇒ B A∠C=1200⇒四边形ABCD 的面积=2×2sin1200=3.[思想方法]:基本定理包括:①向量基本定理:如果a 、b 是平面M 内的不共线向量,则平面M 内的任意向量p 都可唯一表示为p =x a +y b ;②平行向量定理:如果a 、b 是平面M 内的不共线向量,且p =x 1a +y 1b ,q =x 2a +y 2b ,则p ∥q ⇔x 1:x 2=y 1:y 2;③三点共线定理:A 、P 、B 三点共线OB OA OP βα+=⇔,其中O 不在直线AB 上,且α+β=1;④向量射影公式:如果p =(x,y),a =(a,b),则向量p 在向量a 上的射影为|p |cos<p ,a >=22||b a by ax a ap ++=⋅;⑤向量分解定理:如果a 、b 是平面M 内的不共线向量,且p =x a +y b ,AB =x a ,AD =y b ,AC =p ,则四边形ABCD 是平行四边形;⑥线性表示定理:如果OP =m OA +n OB ⇔(m+n)AD =n AB ,且OP =(m+n)OD .[备选题库]:1.(2001年新课程高考试题)若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c =( ) (A)-21a +23b (B)21a -23b (C)23a -21b (D)-23a +21b 2.(2009年湖北高考试题)若向量a =(1,1),b =(-1,1),c =(4,2),则c =( )(A)3a +b (B)3a -b (C)-a+3b (D)a +3b3.(2009年北京高考试题)己知向量a 、b 不共线,c =k a +b (k ∈R),d =a -b .如果c ∥d ,那么( )(A)k=1,且c 与d 同向 (B)k=1,且c 与d 反向 (C)k=-1,且c 与d 同向 (D)k=-1,且c 与d 反向4.(2008年广东高考试题)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F,若AC =a ,BD =b ,则AF =( ) (A)41a +21b (B)32a +31b (C)21a +41b (D)31a +32b5.(2008年全国I 高考试题)在△ABC 中,AB =c ,AC =b ,若点D 满足DC BD 2=,则AD =( ) (A)32b +31c (B)35b -32c (C)32b -31c (D)31b +32c 6.(2010年全国II 高考试题)△ABC 中,点D 在AB 上,CD 平分∠ACB.若CB =a ,CA =b ,|a |=1,|b |=2,则CD =( ) (A)31a +32b (B)32a +31b (C)53a +54b (D)54a +53b 7.(2005年全国III 高考试题)己知向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(-k,10),且A 、B 、C 三点共线,则k= .8.(2005年山东高考试题)己知向量a 、b ,且AB =a +2b ,BC =-5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是( )(A)A 、B 、D (B)A 、B 、C (C)B 、C 、D (D)A 、C 、D9.(2002年新课程高考试题)平面直角坐标系中,O 为坐标原点,己知两点A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OB OA OC βα+=, 其中α、β∈R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )(A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-1)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=010.(2006年江西高考试题)己知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若OC a OA a OB 2001+=,且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O),则S 200等于( )(A)100 (B)101 (C)200 (D)20111.(2004年安徽春招试题)己知向量集合M={a |a =(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a |a =(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M ∩N=( )(A){(1,1)} (B){(1,1),(-2,-2)} (C){(-2,-2)} (D)∅12.(2009年湖北高考试题)己知P={a |a =(1,0)+m(0,1),m ∈R},Q={b |b =(1,1)+n(-1,1),n ∈R}是两个向量集合,则P ∩Q=( )(A){(1,1)} (B){(-1,1)} (C){(1,0)} (D){(0,1)}13.(2007年四川高考试题)设A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为( )(A)4a-5b=3 (B)5a-4b=3 (C)4a+5b=14 (D)5a+4b=14平面向量问题的类型及其解法 1114.(2007年湖北高考试题)设a =(4,3),a 在b 上的投影为225,b 在x 轴上的投影为2,且|b |≤14,则b 为( ) (A)(2,14) (B)(2,-72) (C)(-2,72) (D)(2,8) 15.(2006年湖南高考试题)(文)如图,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB M B 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OB y OA x OP +=,则实数对(x,y)可以是( )(A)(41,43) (B)(-32,32) (C)(-41,43) (D)(-57,51) O A 16.(2006年湖南高考试题)(理)如图,OM,AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的 M B 延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动.且OB y OA x OP +=,则x 的取值范围是 ;当x=-21时,y 的取值范围是 . O A 17.(2006年福建高考试题)己知||O A =1,3||=OB ,OB OA ⋅=0点C 在∠AOB 内,且∠AOC=300,若OB n OA m OC += (m,n ∈R),则n m=( )(A)31 (B)3 (C)33(D)318.(2007年陕西高考试题)如图,平面内有三个向量OA 、OB 、OC , C 其中OA 与OB 的夹角为1200,OA 与OC 的夹角为300,且||O A =||O B =1, B32||=OC ,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为 . O A 19.(2009年湖南高考试题)如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, C D若AC y AB x AD +=,则x= ;y= . E(注:图中,AC ⊥AB,BC ⊥BD,BC=DE,∠ACB=450,∠BED=600) A B20.(2004年全国II 高考试题)己知平面上直线L 的方向向量e =(-53,54),点O(0,0)和A(1,-2)在L 上的射影分别是O 1和A 1,则11A O =λe ,其中λ=( ) (A)511 (B)-511 (C)2 (D)-2 21.(2007年江西高考试题)如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点, A过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N,若AB N=m AM ,AC =n AN ,则m+n 的值为 . B O CM22.(2009年天津高考试题)若等边△ABC 的边长为23,平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=,则MB MA ⋅= . 七.三角形问题例7:(2009年宁夏、海南高考试题)己知点O 、N 、P 在△ABC 所在的平面内,且||||||OC OB OA ==,NC NB NA ++=0,12 平面向量问题的类型及其解法 PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则点O 、N 、P 依次是的( )(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心 (C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心[分析解答]:由||||||OC OB OA ==⇔点O 到△ABC 的三顶点的距离相等⇔点O 是△ABC 的外心;NC NB NA ++=0⇔存在BC 的中点D,使得)(21NC NB ND +=,且ND NA 2+=0⇔点N 是△ABC 的重心;PC PB PB PA ⋅=⋅⇔)(PC PA PB -=0⇔CA PB ⋅=0⇔PB ⊥AC,同理可得PA ⊥BC,PC ⊥AB,所以,点P 是△ABC 的垂心.综上选(C).[思想方法]:三角形中的向量问题包括三角形形状的判定和三角形四心问题.判断三角形的形状,有两种类型的问题:一是由三角形的边所在的向量关系,判断三角形的形状.解决此类问题的方法是,对己知向量关系进行变形、化简,直到得出边与边的度量关系,或分析己知向量关系的几何意义,由此判断三角形形状; 二是由三角形四心的向量关系,判断三角形形状.解决此类问题的方法是,掌握特殊三角形的四心位置:①直角三角形的外心在斜边的中点上,垂心在直角顶点上;②三角形是等腰三角形⇔三角形底边上的高、中线、顶角的平分线,其中两线合一;③三角形为正三角形⇔三角形的重心、垂心、内心和外心中,其中两心重合.三角形四心的向量表示,有两种形式:一种是静态的向量表示,见上面“知识方法”;另一种是动态的向量表示:①动点P 满足⇔++=)(AC AB OA OP λP 过△ABC 的重心;②动点P 满足 )cos ||cos ||(C AC AC B AB ABOA OP ++=λ⇔P 过△ABC 的垂心;③动点P 满足⇔++=)||||(AC AC AB AB OA OP λP 过△ABC 的内心; ④动点P 满足)cos ||cos ||()(21C AC AC B AB AB OC OB OP +++=λ⇔P 过△ABC 的外心.[备选题库]:1.(2006年陕西高考试题)己知非零向量AB 与AC 满足BC AC AC AB AB)||||(+=0,且21||.||=AC AC AB AB ,则△ABC 为( )(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形2.(2005年湖南高考试题)P 是△ABC 所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心3.(2005年全国I 高考试题)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是△ABC 的( )(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点4.(2003年新课程高考试题)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足)||||(AC AC AB AB OA OP ++=λ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心5.(2010年四川高考试题)设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC 2=16,|AC AB +|=|AC AB -|,则|AM |=( )(A)8 (B)4 (C)2 (D)16.(2010年湖北高考试题)已知△ABC 和点M 满足MC MB MA ++=0.若存在实数m 使得AC AB +=m AM 成立,则m=( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)57.(2005年全国I 高考试题)△ABC 的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数 m= . 八.综合问题例8:(2007年天津高考试题)设两个向量a =(λ+2,λ2-cos 2α)和b =(m,2m +sin α),其中λ,m,α为实数,若a =2b ,则mλ的取值范围是( )(A)[-6,1] (B)[4,8] (C)(-6,1] (D)[-1,6][分析解答]:由a =2b ⇔⎩⎨⎧+=-=+ααλλsin 2cos 2222m m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=αλαλλλsin 42cos 222122m ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+--=-+=6)1(sin 222122αλλλλm ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=622212λλλλm平面向量问题的类型及其解法 13 ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-+-=223242λλλm ⇔m λ∈[-6,1].故选(A). [思想方法]:向量的综合问题是高考的又一热点问题.常见的向量综合问题有:与解析几何、三角、不等式、平面区域、图象平移等综合.[备选题库]:1.(2004年辽宁高考试题)己知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PB PA ⋅=x 2,则点P 的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线2.(2005年上海高考试题)直角坐标系xOy 中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足:OA OP ⋅=4,则点P 的轨迹方程是 .3.(2006年江苏高考试题)己知两点M(-2,0)、N(2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|NP MN MP MN ⋅+⋅|||=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )(A)y 2=8x (B)y 2=-8x (C)y 2=4x (D)y 2=-4x4.(2006年湖北高考试题)设过点P(x,y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点,若PA BP 2=,且AB OQ ⋅=1,则P 点的轨迹方程是( )(A)3x 2+23y 2=1(x>0,y>0) (B)3x 2-23y 2=1(x>0,y>0) (C)23x 2-3y 2=1(x>0,y>0) (D)23x 2+3y 2=1(x>0,y>0) 5.(2005年天津高考试题)在直角坐标系xOy 中,己知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C 在∠AOB 的平分线上,且|OC |=2,则OC = .6.(2006年重庆高考试题)与向量a =(27,21),b =(21,-27)的夹角相等,且模为1的向量是( ) (A)(54,-53) (B)(54,-53),或(-54,53) (C)(322,-31) (D)(322,-31),或(-322,31) 7.(2005年全国高考试题)己知点A(3,1)<B(0,0),C(3,0).设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E,那么有CE BC λ=,其中λ等于( )(A)2 (B)21 (C)-3 (D)-31 8.(2006年江西高考试题)己知向量a =(1,sin θ),b =(1,cos θ),则|a -b |的最大值为 .9.(2006年辽宁高考试题)△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c.设向量p =(a+c,b),q =(b-a,c-a),若p ∥q ,则角C 的大小为( ) (A)6π (B)3π (C)2π (D)32π 10.(2008年山东高考试题)己知a,b,c 为△ABC 的三个内角A,B,C 的对边,向量m =(3,-1),n =(cosA,sinA),若m ⊥n ,且acosB+bcosA=csinC,则角B= .11.(2009年重庆高考试题)设△ABC 的三内角为A 、B 、C,向量m =(3sinA,sinB),n =(cosB,3cosA),若mn =1+cos(A+B),则C=( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π 12.(2006年辽宁高考试题)设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P 是线段AB 上的一个动点,AB AP λ=.若PB PA AB OP ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是( )(A)21≤λ≤1 (B)1-22≤λ≤1 (C)21≤λ≤1+22 (D)1-22≤λ≤1+22 14 平面向量问题的类型及其解法平面向量问题的类型及其解法 1516 平面向量问题的类型及其解法12.(2007年湖北高考试题)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n,记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ,则θ∈[0,2π]的概率是( ) (A)125 (B)21 (C)127 (D)65 13.(2008年辽宁高考试题)将函数y=2x +1的图象按a 平移得到函数y=2x+1的图象,则( )(A)a =(-1,-1) (B)a =(1,-1) (C)a =(1,1) (D)a =(-1,1)14.(2009年四川高考试题)(文)设V 是己知平面M 上所有向量的集合.对于映射f:V →V ,a ∈V ,记a 的象为f(a ),若映射f:V →V 满足:对所有a 、b ∈V 及任意实数λ、μ都有f(λa +μb )=λf(a )+μf(b ),则称f 为平面M 上的线性变换.现有下列命题:①设f 是平面M 上的线性变换,a 、b ∈V ,则f(a +b )=f(a )+f(b );②设e 是平面M 上的单位向量,对a ∈V ,设f(a )=a +e ,则f 是平面M 上的线性变换;③对a ∈V 设f(a )=-a ,则f 是平面M 上的线性变换;④设f 是平面M 上的线性变换,a ∈V ,对任意实数k 均有f(k a )=kf(a ).其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).15.(2009年四川高考试题)(理)设V 是己知平面M 上所有向量的集合.对于映射f:V →V ,a ∈V ,记a 的象为f(a ),若映射f:V →V 满足:对所有a 、b ∈V 及任意实数λ、μ都有f(λa +μb )=λf(a )+μf(b ),则称f 为平面M 上的线性变换.现有下列命题:①设f 是平面M 上的线性变换,则f(0)=0;②对a ∈V 设f(a )=2a ,则f 是平面M 上的线性变换;③设e 是平面M 上的单位向量,对a ∈V ,设f(a )=a -e ,则f 是平面M 上的线性变换;④设f 是平面M 上的线性变换,a 、b ∈V ,若a 、b 共线,则f(a )、f(b )也共线.其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).4.(2010年浙江高考试题) 在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点.在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG OE OF =+ 的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 .25.(2010年全国I 高考试题)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB 的最小值为（A ）-4+2 （B ）-3+2 （C ）-4+22 （D ）-3+22。