正 弦 定 理 （教案）【教学目标】1．理解正弦定理的多种推导方法和推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形．2．通过应用练习，实现学生提高分析问题、解决问题的能力的目的． 【重点】理解正弦定理的及应用． 【难点】正弦定理的熟练变形运用． 一．【先学学案】1． 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） 在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=;同理可得：sin sin a bC B=，故.sin sin sin a b c A B C ==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A asin =Bb sin =Cc sin了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==.两边同除以abc 21即得：A asin =Bb sin =Cc sin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =. 同理Bbsin =2R ，Cc sin ＝2R .可将正弦定理推广为：A asin =Bb sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ， 由AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得 j •(AC +CB )=j •AB . 则j •AC +j •CB =j •AB .a bcOB CAD∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB |cos(90︒-A) . ∴A c C a sin sin = . ∴A asin =Cc sin .同理，若过C 作j垂直于CB得：Cc sin =Bb sin ∴A asin =Bb sin =Cc sin .3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A asin =Bb sin =Cc sin =CB A cb a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______； sinA=__2a R_____；sinB=___2b R_____；sinC=____2c R____.4.反思和回馈：观察公式结构特点，思考正弦定理可以解决的问题类型：（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5.时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论 （1） 当A 为锐角 （2） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aA b sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断． 【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A )．()A 2R ()B R ()C 4R ()DR 21 (R为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知008,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A42 ()B 43 ()C 46 ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 02,3,60a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C045()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.二．【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.4200===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要领】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形. 解：根据三角形内角和定理，002.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理,)(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ 解：根据三角形内角和定理，00105180=--=C A B . 根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 00cm C B c b +===. 根据正弦定理,)(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要领】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理,,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，0090180=--=B C A . (2) 根据正弦定理,,23245sin 6sin sin 0===aAc C 060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B 【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式训练】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）. 解：根据正弦定理,.8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B因为,180000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2)当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A= 120 (2)a =9,b=l0,A=60(3)c=50,b=72,C= 135【审题要领】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性 质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数．解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ， 所以此三角形只有一解． （2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在AbaABC,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（3）当A为锐角（4）当A为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=a Ab sin进行讨论：如果sin B>l，则问题无解；如果sin B=l，则问题有一解；如果求出sinB<l，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC中，bsin B=csin c，且试判断三角形的形状．【审题要领】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=， 由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A又因为,sin sin C Bc b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路． 例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.【审题要领】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A.53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴=,15525321sin 212=••==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a又由正弦定理知：,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系. 三．【小试身手】 （一）选择题:1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ． （A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ． 2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A= 150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1（D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．（二）、填空题 5．在△ABC 中，A=45，B= 60，则ba ba +-=______562-_ ．6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+ 60，则A=__33__．（三）、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理,)(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 00cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<< 即该三角形有两解， 故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+ 由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R = 在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形. 1.（2007年北京）△ABC中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB 210．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++C B A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B A BC AC =•= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=•=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36四．小结本节课我们是从实际问题出发，通过观察、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。
