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1.3证明（一）一、选择题1．如图1，AB∥CD，则下列结论成立的是( )图1A．∠A＋∠C＝180°B．∠A＋∠B＝180°C．∠B＋∠C＝180°D．∠B＋∠D＝180°2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( ) A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如图2，∠B＝70°，∠DEC＝100°，∠EDB＝110°，则∠C等于( )图2A．70°B．110°C．80°D．100°4．如图3，下列推理正确的是( )图3A．∵MA∥NB，∴∠1＝∠3B．∵∠2＝∠4，∴MC∥NDC．∵∠1＝∠3，∴MA∥NBD．∵MC∥ND，∴∠1＝∠35．如图4，AB∥CD，∠A＝25°，∠C＝45°，则∠E的度数是( )图4A．60°B．70°C．80°D．65°二、填空题6．如图5，a∥b，∠1＝120°，则∠2＝________．图57．如图6，已知AB∥CD，∠1＝65°，∠2＝45°，则∠ADC＝________．图68．如图7，已知∠1＝∠2，∠BAD＝57°，则∠B＝________．图79．如图8，若AB∥EF，BC∥DE，则∠B＋∠E＝________．图810．如图9，由A测B的方向是________．图9三、解答题11．已知：如图10，AD∥BC，∠B＝∠D．求证：AB∥CD．图1012．已知：如图11，∠1＝∠B，∠A＝32°．求：∠2的度数．图1113．已知：如图12，AD∥BC，∠ABC＝∠C，求证：AD平分∠EAC．图1214．如图13，A、B之间是一座山，要修一条铁路通过A、B两地，在A地测得铁路走向是北偏东58°11′．如果A、B两地同时开工开隧道，那么在B地按北偏西多少度施工，才能使铁路隧道在山腹中准确接通？图13参考答案一、1．C 2．C 3．C 4．B 5．B二、6．60°7．110°8．123°9．180°10．南偏东70°三、11．略12．148°13．略14．在B地按北偏西121°49′施工才能使隧道在山腹中准确接通．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
第 1 页1.3 证明〔1〕 证明的概念1.如下图，A B∥CD，CE 平分∠BCD，∠B=36°，那么∠DCE 等于〔A 〕 A .18° B.36° C.45° D.54°2.如下图，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为 E ，∠1=50°，那么∠2 的度数为〔B 〕 A.50° B.40° C.45° D.25°3.如下图，A B∥C D ，直线 EF 与 AB ，CD 分别交于点 M ，N ，过点 N 的直线 GH与 AB 交于点 P ，那么以下结论中，错误的选项是〔 D 〕A.∠EMB=∠ENDB.∠BMN=∠MNCC.∠CNH=∠BPGD.∠DNG=∠AME4.如下图，直线 l 1∥l 2，且分别与△A B C 的两边 AB ，AC 相交，假设∠A=50°，∠1=35°，那么∠2 的度数为 〔D 〕 A.35° B.65°C.85°D.95°5.如下图，给出了过直线外一点作直线的平行线的方法，其根据是 同位角相等，两直线平行6.如下图，点 E 在 AC 的延长线上，以下四个条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠A=∠DCE；④∠D+∠ABD=180°.其中能判断 AB∥CD 的有 3 个.第 2 页7.如下图，AB∥CD∥E F ，假设∠A=30°，∠AFC=15°，那么∠C=15° .【解析】∵AB∥CD，∴∠A=∠A F E=30°.∴∠C F E=∠A FE-∠AFC=15°.∵CD∥EF，∴∠C=∠C F E=15°. 8.下面是一道证明题，李教师已经给同学们讲解了思路，请将过程和理由补充完好：如下图，∠1=∠2，∠A=∠E，求证：AD∥BE.证明：∵∠1=∠2〔〕，∴AC∥ DE 〔 内错角相等，两直线平行 〕.∴∠3= ∠E 〔 两直线平行，内错角相等 〕.又∵∠A=∠E〔 〕,∴∠A= ∠3 〔 等量代换 〕.∴AD∥BE〔 同位角相等，两直线平行 〕.9.完成下面的证明：如下图， BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC，且∠1+∠2=90°.求证：AB∥CD.证明：∵DE 平分∠BDC〔〕，∴∠BDC=2∠1〔 角平分线的定义 〕.∵BE 平分∠ABD 〔〕，∴∠ABD= 2∠2 〔角平分线的定义〕.∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2〔∠1+∠2〕〔 等量代换 〕.∵∠1+∠2=90°〔〕，∴∠ABD +∠BDC= 180° 〔 等量代换 〕.∴AB∥CD〔 同旁内角互补，两直线平行 〕.10.如下图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，假设∠AB C=40°，那么∠BCD 的度数为〔 B 〕A.140°B.130°C.120°D.110°11.如下图，∠AOB的一边OA 为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB 上有一点E，从点E 射出一束光线经OA 上一点D 反射，反射光线DC 恰好与OB 平行，那么∠DEB 的度数是〔B〕A.75°36′B.75°12′C.74°36′D.74°12′【解析】如答图所示，过点D作DF⊥A O 交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3.∵CD∥OB，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.在△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，∴∠2=90°-37°36′=52°24′.∴在△DEF 中，∠D EB=180°-2∠2=75°12′．应选B．12.如下图，含30°角的直角三角尺DEF 放置在△ABC上，30°角的顶点D 在边AB 上，且D E⊥AB，∠A=50°，BC∥D F，那么∠DNM=40°.【解析】∵DE⊥AB，∴∠A DE=90°.∵∠A=50°，∴∠DNM=90°-50°=40°.13.如图1所示为我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2 所示的∠1与∠2，那么∠1与∠2的度数和是90°.图1图214.如下图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD.求证：CD∥AB.【解析】∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°.∵∠ACE=136°，∴∠ACD=360°-136°-90°=134°.∵∠BAF=46°，∴∠BAC=180°-∠BAF=180°-46°=134°.∴∠ACD=∠BAC.∴CD∥AB.15.如下图，点E，F 在直线AB 上，点G 在线段CD 上，ED 与FG 交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠G HD.〔1〕求证：CE∥GF.〔2〕试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由.〔3〕假如∠EHF=100°，∠D=30°，求∠AEM的度数.【解析】〔1〕∵∠CED=∠GHD，∴CE∥GF.〔2〕∵CE∥GF，∴∠C=∠FGD.∵∠C=∠EFG，∴∠FGD=∠EFG.∴AB∥CD.∴∠AED+∠D=180°.〔3〕∵∠DHG=∠EHF=100°，∠D=30°，∴∠HGD=180°-100°-30°=50°.∵CE∥GF，∴∠C=50°.∵AB∥CD，∴∠AEC=50°.∴∠AEM=180°-50°=130°.16.命题：“两个连续奇数的平方差是8 的倍数〞是真命题还是假命题？假如认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明.【解析】“两个连续奇数的平方差是8 的倍数〞是真命题. 证明：设两个连续奇数为2n+1，2n-1，它们的平方差是〔2n+1〕2-〔2n-1〕2=〔2n+1+2n-1〕〔2n+1-2n+1〕=4n·2=8n.∴两个连续奇数的平方差是8 的倍数.。
1.3证明（2）同步练习【知识盘点】1．三角形的一个外角等于_________的两个内角的和．2．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠C=________．3．在△ABC中，∠B=45°，∠C=72°，那么与∠A相邻的一个外角等于_______．4．如图1所示，△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点，且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30•°，则∠BEC的度数是_________．(1) (2) (3) (4)5．按第4题图所示，请你直接写出∠A，∠BEC，∠EDC之间的大小关系，用“<•”号连接____________．6．如图2所示，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________．【基础过关】7．如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形是（）A．锐角三角形; B．直角三角形; C．钝角三角形; D．都有可能8．若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（）A．55°B．70°C>55°或70°D．以上答案都不对9．若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：510．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠B+∠A=∠C B．∠A：∠B：∠C=2：3：5C．∠A=2∠B=3∠C D．一个外角等于和它相邻的一个内角11．如图3所示，在△ABC中，∠ABC与∠BAC的平分线相交于点O，若∠BOC=120°，则∠A为（）A．30°B．60°C．80°D．100°12．如图所示，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE•交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．100°【应用拓展】13．如图4所示，点B，D，E，C在同一条直线上，且∠1=∠2，BD=EC，求证：△ABE≌△ACD．14．如图所示，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．【综合提高】15．如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变；（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．。
1.3证明（一）一、选择题1．如图1，AB∥CD，则下列结论成立的是( )图1A．∠A＋∠C＝180°B．∠A＋∠B＝180°C．∠B＋∠C＝180°D．∠B＋∠D＝180°2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( ) A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如图2，∠B＝70°，∠DEC＝100°，∠EDB＝110°，则∠C等于( )图2A．70°B．110°C．80°D．100°4．如图3，下列推理正确的是( )图3A．∵MA∥NB，∴∠1＝∠3B．∵∠2＝∠4，∴MC∥NDC．∵∠1＝∠3，∴MA∥NBD．∵MC∥ND，∴∠1＝∠35．如图4，AB∥CD，∠A＝25°，∠C＝45°，则∠E的度数是( )图4A．60°B．70°C．80°D．65°二、填空题6．如图5，a∥b，∠1＝120°，则∠2＝________．图57．如图6，已知AB∥CD，∠1＝65°，∠2＝45°，则∠ADC＝________．图68．如图7，已知∠1＝∠2，∠BAD＝57°，则∠B＝________．图79．如图8，若AB∥EF，BC∥DE，则∠B＋∠E＝________．图810．如图9，由A测B的方向是________．图9三、解答题11．已知：如图10，AD∥BC，∠B＝∠D．求证：AB∥CD．图1012．已知：如图11，∠1＝∠B，∠A＝32°．求：∠2的度数．图1113．已知：如图12，AD∥BC，∠ABC＝∠C，求证：AD平分∠EAC．图1214．如图13，A、B之间是一座山，要修一条铁路通过A、B两地，在A地测得铁路走向是北偏东58°11′．如果A、B两地同时开工开隧道，那么在B地按北偏西多少度施工，才能使铁路隧道在山腹中准确接通？图13参考答案一、1．C 2．C 3．C 4．B 5．B二、6．60°7．110°8．123°9．180°10．南偏东70°三、11．略12．148°13．略14．在B地按北偏西121°49′施工才能使隧道在山腹中准确接通．。
1.3证明（第1课时）1．(4分)如图，直线a∥b，直线c与a，b都相交，∠1＝55°，则∠2＝(A)A．55°B．35°C．125°D．65°第1题第2题第3题2．(4分)如图，已知直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为(C) A．30°B．60°C．120°D．150°3．(4分)如图所示，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，∠C＝110°，则∠EAB为(B)A．30°B．35°C．40°D．45°第4题第5题第6题4．(4分)如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4＝（120°）．5．(6分)如图，已知BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD.求证：AB∥CD.证明：∵BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD(已知)，∴∠1＝1/2∠ABC，∠2＝1/2∠BCD(角平分线的定义)．∵BE∥CF(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)，∴1/2∠ABC＝1/2∠BCD，即∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD(内错角相等，两条直线平行)．6．(8分)如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1，求证：AD平分∠BAC.理由如下：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G(已知)，∴∠ADC＝∠EGC＝90°(垂直的定义)，∴AD∥EG(同位角相等，两直线平行)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)，∠E＝∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵∠E＝∠1(已知)，∴∠2＝∠3(等量代换)，∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)．7．(10分)如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝72°，求∠4的度数．（72°）第7题第8题第9题8．(10分)如图，∠B＝∠C，AB∥EF.求证：∠BGF＝∠C.证明：∵∠B＝∠C，∴AB∥CD，∵AB∥EF，∴CD∥EF.∴∠BGF＝∠C9．(4分)如图所示，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于(A) A．100°B．60°C．40°D．20°第10题第11题10．(6分)如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝40°.求证：BC∥DE.证明：∵AB∥CD，∠B＝40°，∴∠B＝∠C＝40°，又∵∠D＝40°，∴∠C＝∠D，∴BC∥DE11．(6分)如图，已知AD∥BE，∠1＝∠2.求证：∠A＝∠E.证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴AC∥DE，∴∠E＝∠EBC，∴∠A＝∠E12．(8分)如图所示，已知BE是一条直线，∠ABD＝∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE.求证：BF∥DG.证明：∵∠ABD＝∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，∴1/2∠FBD＝1/2∠ABD，∠GDE＝∠CDE，∴∠FBD＝∠GDE，∴BF∥DG第12题第13题13．(8分)如图，AB∥DE，∠1＝∠2，试判断AE与DC的位置关系，并说明理由．解：AE∥DC，理由：∵AB∥DE，∴∠1＝∠AED.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠AED，∴AE∥DC14．(8分)如图所示，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．解：∠A＝∠F，理由∵∠AGB＝∠EHF，∴∠AGB＝∠AHC，∴BD∥CE，∴∠ABD＝∠C.∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠D，∴AC∥DF，∴∠A＝∠F第14题第15题15．(10分)如图，已知CD⊥AB，GF⊥AB，∠B＝∠ADE.求证：∠1＝∠2.证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB，∴CD∥GF，∴∠DCB＝∠2.∵∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠1＝∠DCB，∴∠1＝∠216．综合应用迁移：某足球比赛中有n个球队(n≥2)进行单循环比赛(每两队之间必须比赛一场)，一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行（2×1）/2 ＝1场比赛；有3个球队时，要进行（3×2）/2＝3场比赛；有4个球队时，要进行 6 场比赛；…；那么有20个球队时，要进行190 场比赛．1.3证明（第2课时）1．(4分)如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(C)A．80°B．70°C．60°D．50°第1题第4题2．(4分)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(A) A．40°B．60°C．80°D．90°3．(4分)一个三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形一定是(D) A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形4．(4分)如图所示，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD ＝36°，那么∠A＝_54°_．5．(4分)阅读下题并填空：已知：△ABC，∠A、∠B、∠C之和为多少？为什么？解：∠A＋∠B＋∠C＝180°.理由：作∠ACD＝∠A，并延长BC到点E.∵∠1＝∠A(已作)，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)，∴∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠ACB＋∠1＋∠2＝180°，∴∠ACB＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．第5题第6题第7题6．(8分)如图所示，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝60°，∠EBC＝20°，求∠ADC的度数．（80°）7．(10分)如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC，∠BDC的度数．（25 85）8．(12分)如图，已知在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°.(1)求∠DAE的度数．(2)试写出∠DAE与∠C－∠B有何关系？解：(1)∠DAE＝10°(2)∠C－∠B＝2∠DAE第8题第10题第11题9．(4分)如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An －1CD的平分线交于点An，设∠A＝θ，则(1)∠A1＝_θ/2__；(2)∠An＝__θ/2n__．10．(8分)小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：AB∥CD，∠A＝40°，∠AEC＝70°，小明马上运用已学的数学知识得出了∠ECD的度数，你知道他是如何算出来的吗？解：∠ECD＝30°11．(8分)在△ABC中，BA平分∠DBC，∠BAC＝124°，BD⊥AC于点D，求∠C的度数．解：∠C＝22°12．(10分)如图，(1)求证：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.(2)如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC，∠A，∠B，∠C这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．解：(1)略(2)猜想：∠BDC＋∠C＋∠A＋∠B＝360°，证明略第12题第13题13．(10分)一个零件的形状如图所示，规定∠CAB＝90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC＝148°，就说这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明此零件不合格的理由．解：不合格．理由：连结AD并延长至E点，∵∠CDE＝∠C＋∠CAD，∠BDE＝∠B ＋∠BAD，∴∠CDB＝∠B＋∠C＋∠CAB＝143°≠148°，∴这个零件不合格14．(10分)如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．解：①∠APC＝∠PAB＋∠PCD；②∠APC＝360°－(∠PAB＋∠PCD)；③∠APC＝∠PAB－∠PCD；④∠APC＝∠PCD－∠PAB.证明略。
1.3 证明一、单选题1．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）A．50 o B．60 o C．75 o D．85 o2．三角形中∠B的平分线和外角的平分线的夹角是（）．A．60°B．90°C．45°D．135°3．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话：小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．”小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．”小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．”已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（）A．小王B．小陈C．小张D．不能确定4．下列问题你不能肯定的是（）A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系C．三角形的内角和D．n边形的外角和5．某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（）A．嫌疑犯乙B．嫌疑犯丙C．嫌疑犯甲D．嫌疑犯甲和丙6．如图，CE是ABC∆的外角ACD∠的平分线，若35∠=( ).∠=，则A∠=，60BACEA．95 B．85 C．75 D．7．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°8．如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=A．60°B．120°C．150°D．180°9．如图，下列推理不正确的是( )A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180°B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BCC．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD10．下列推理中，错误的是( )A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CDB．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γC．因为a∥b，b∥c，所以a∥cD．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF11．下列推理正确的是( )A．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°B．∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2C．∵∠1与∠2是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1与∠3是对顶角D．∵∠1与∠2是同位角，又∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角12．如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数之比为( )A．4：3：2 B．3：2：4 C．5：3：1 D．3：1：5二、填空题13．如图，直线a b∥，Rt△ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为______．14．现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是__________．①只有一个号码正确且位置正确②只有两个号码正确且位置都不正确③三个号码都不正确15．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD，是根据___________________________．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线与外角∠BAD的平分线的反向延长线交于点F，则∠F＝____．17．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝_____．18．在△ABC中，AB≠AC，若用反证法证明∠B≠∠C，应先假设 _____19．为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1﹣500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1﹣250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）．又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，…，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是_____．20．盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是：_______．21．完成下面的证明过程．已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．证明：∵∠1和∠D互余(已知)，∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．∵∠C和∠D互余(已知)，∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，∴∠1＝∠C(__________________)，∴AB∥CD(________________________)．22．如图，点 A，C，F，B 在同一直线上，CD 平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA 为α度，则∠GFB为________度（用关于α的代数式表示）．23．如图，是一副三角板叠放的示意图，则∠α=______．24．如图，现给出下列条件：①1B ∠∠=，②25∠∠=，③34∠∠=，④1D ∠∠=，⑤B BCD 180∠∠+=︒.其中能够得到AB//CD 的条件是_______.(只填序号)三、解答题25．观察下列等式：第个等式为：2113323-=⨯第1个等式为：3223323-=⨯第2个等式为：4333323-=⨯第3个等式为：5443323-=⨯....根据上述等式含有的规律，解答下列问题：（1）第5个等式为：是（2）第n 个等式为：是 （用含n 的代数式表示），并证明26．已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE=∠CEF ．27．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有12,34∠=∠∠=∠．设镜子AB 与BC 的夹角ABC α∠=．（1）如图①，若90α=︒，判断入射光线EF 与反射光线GH 的位置关系，并说明理由．（2）如图②，若90180a ︒<<︒，入射光线EF 与反射光线GH 的夹角FMH β∠=．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若130α=︒，设镜子CD 与BC 的夹角BCD ∠为钝角，入射光线EF 与镜面AB 的夹角109()0x x ∠=︒<<︒．已知入射光线EF 从镜面AB 开始反射，经过(n n 为正整数，且3n ≤）次反射，当第n 次反射光线与入射光线EF 平行时，请直接写出BCD ∠的度数（可用含x 的代数式表示）．答案一、单选题1．C 2．B 3．B 4．B 5．C 6．B7．D8．A 9．C10．A 11．B 12．C二、填空题13．35°14．52015．同旁内角互补，两直线平行16．45°17．540°18．∠B=∠C19．25620．①②③．21．互余的定义；互余的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 22．90°﹣2α 23．75°24．①②⑤三、解答题25．解：（1）观察等式可知：第5个等式为：6553323-=⨯；故答案为：6553323-=⨯；（2）第n 个等式为：13323n n n +-=⨯，证明：左边1333333(31)23n n n n n n +=-=⨯-=-=⨯=右边∴等式成立． 26．解：根据互余、角平分线及对顶角等相关知识即可得出答案．证明：如图，∵∠ACB =90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠4=90°，又∵BE 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE =∠CEF .27．解：()1,EF GH理由如下：在BEG 中，23180,α∠+∠+=︒90,α=︒2390,∴∠+∠=︒12180,34180,12,34FEG EGH ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=∠∠=∠， 1234360FEG EGH ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，180FEG EGH ∴∠+∠=，//EF GH ∴；()22180βα=-︒．理由如下：在BEG 中，23180α∠+∠+=23180,α∴∠+∠=︒-12,1MEB ∠=∠∠=∠2,MEB ∴∠=∠22,MEG ∴∠=∠34,4MGB ∠=∠∠=∠3,MGB ∴∠=∠23,MGE ∴∠=∠在MEG 中，180MEG MGE β∠+∠+=︒(0)18MEG MGE β∴=︒-∠+∠180(2223)=-∠+∠(802)123=∠+∠－1802(180)2180αα=︒︒=-－－ ；()390x ︒+或140︒如图，当夹角为钝角时，根据（2）中的结论，得 ∠FEG=2∠BCD-180°，根据平行线性质，得：∠FEG=∠PAH=2∠NAH=2x ，∴∠BCD=1802902x x ︒+=︒+；如图，当夹角为直角时，根据（1）中的结论，得∠EBC=50°，根据三角形外角性质，得：∴∠BCD=∠EBC+∠BEC=50°+90°=140°.∴∠BCD的度数为90x︒+或140°.。
1.3 证明（一）A组1．如图，下面的推理正确的是(D)A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BCC．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC,(第1题)) ,(第2题)) 2．如图，若a∥b，则∠1的度数为(C)A． 90° B． 80°C． 70° D． 60°(第3题)3．如图，下列条件中，能证明AD∥BC的是(D)A．∠A＝∠CB．∠B＝∠DC．∠B＝∠CD．∠C＋∠D＝180°4．字母a，b，c，d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为a⊕c．组合,,,连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c(第5题)5．如图，∠1与∠D互余，∠C与∠D互余．求证：AB∥CD．【解】∵∠1与∠D互余，∠C与∠D互余(已知)，∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．(第6题)6．如图，直线a∥b，三角形纸板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b 于B，C两点．若∠1＝42°，求∠2的度数．【解】∵直线a∥b，∠1＝42°(已知)，∴∠ACB＝42°(两直线平行，内错角相等)．又∵∠BA C＝90°(已知)，∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝48°(三角形的内角和为180°)，∴∠2＝∠ABC＝48°(对顶角相等)．(第7题)7．如图，∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B的度数．【解】∵∠1＝∠AGF(对顶角相等)，∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠AGF(等量代换)，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠B＝180°－∠D＝180°－50°＝130°．B组(第8题)8．如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为__35°__．【解】过点C作CE∥a．∵a∥b，∴CE∥a∥b，∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°．∵∠ACB＝90°，∴∠α＝∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝35°．(第9题)9．如图，已知AB∥CD，EF 与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，EP ⊥EF ，与∠EFD 的平分线FP 相交于点P ，且∠BEP＝50°，则∠EPF 的度数为__70°__．【解】 ∵EP⊥EF，∴∠PEF ＝90°． 又∵∠BEP＝50°，∴∠BEF ＝∠BEP＋∠PEF＝140°． ∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠EFD＝180°， ∴∠EFD ＝40°． ∵FP 平分∠EFD，∴∠EFP ＝12∠EFD＝20°．∵∠PEF ＋∠EFP＋∠EPF＝180°， ∴∠EPF ＝70°．10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，BE 平分∠ABC，分别交AC ，CD 于点E ，F ．求证：∠CEF＝∠CFE．(第10题)【解】 ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE ＝∠CBE．∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠CEF ＋∠CBE＝90°，∠DFB ＋∠ABE＝90°， ∴∠CEF ＝∠DFB． 又∵∠CFE＝∠DFB， ∴∠CEF ＝∠CFE． 11．阅读：如图①，∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD ＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B．这是一个有用的事实，请用这个事实，在图②中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D 的度数．(第11题)(第11题解)【解】 如解图，过点D 作DE∥AB 交BC 于点E ，则∠A＋∠ADE＝180°，∠B ＋∠BED ＝180°．由题意，得∠BED ＝∠C ＋∠CDE ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠CDA ＝(∠A ＋∠ADE )＋(∠CDE ＋∠C )＋∠B ＝180°＋∠BED ＋∠B ＝180°＋180°＝360°．数学乐园12．如图，∠EOF ＝90°，点A ，B 分别在射线OE ，OF 上移动，连结AB 并延长至点D ，∠DBO 的平分线与∠OAB 的平分线交于点C ，试问：∠AC B 的度数是否随点A ，B 的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A ，B 的移动而发生变化，请给出变化的范围．(第12题)【解】 ∠ACB 的度数不随点A ，B 的移动发生变化．理由如下： ∵BC ，AC 分别平分∠DBO，∠BAO ， ∴∠DBC ＝12∠DBO，∠BAC ＝12∠BAO．∵∠DBO ＋∠OBA＝180°，∠OBA ＋∠BAO＋∠AOB＝180°， ∴∠DBO ＝∠BAO＋∠AOB，∴∠DBO －∠BAO＝∠AOB＝90°．∵∠DBC ＋∠ABC＝180°，∠ABC ＋∠ACB＋∠BAC＝180°， ∴∠DBC ＝∠BAC＋∠ACB， ∴12∠DBO＝12∠BAO＋∠ACB， ∴∠ACB ＝12(∠DBO－∠BAO)＝12∠AOB＝45°．。
第1章 三角形的初步知识1.3 证明第1课时 证明及表述格式基础过关全练知识点 证明1.(2021浙江金华中考)某同学的作业如下框:如图,已知直线l1,l2,l3,l4.若∠1=∠2,则∠3=∠4.请完成下面的说理过程.解:已知∠1=∠2,根据(内错角相等,两直线平行),得l1∥l2.再根据(※),得∠3=∠4.其中※处填的依据是( )A.两直线平行,内错角相等B.内错角相等,两直线平行C.两直线平行,同位角相等D.两直线平行,同旁内角互补2.如图,在下列条件中,不能推理直线a与b平行的是( )A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1=∠5D.∠3+∠4=180°3.(2021浙江台州中考)一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放,若∠1=47°,则∠2=( )A.40°B.43°C.45°D.47°4.如图,AB∥CD,EP,FP分别平分∠BEF,∠DFE,则△EPF的形状为 .5.填空(将下面的推理过程及依据补充完整).如图,点E在DF上,点B在AC上,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:∠A=∠F.证明:∵∠1=∠2(已知),∠2=∠DGF( ),∴∠1=∠DGF,∴BD∥CE( ),∴∠3+∠C=180°( ).又∵∠3=∠4(已知),∴∠4+∠C=180°,∴DF∥AC( ),∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等).能力提升全练6.(2022独家原创)如图,AB∥CD,∠B=∠D,EF与AD,BC的延长线分别交于点E,F.求证:∠DEF=∠F.下面是排乱的证明过程:①∵∠B=∠D,∴∠DCF=∠D,②∴AD∥BF,③∵AB∥CD,④∴∠DCF=∠B,⑤∴∠DEF=∠F.则正确的排列顺序是( )A.①②④③⑤B.④②③①⑤C.③④②①⑤D.③④①②⑤7.(2021浙江台州温岭月考)如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,且BF⊥DE,垂足为F,则∠ABE与∠EDC的数量关系是( )A.∠ABE=1∠EDC4B.∠ABE+∠EDC=180°C.∠EDC-1∠ABE=90°2D.∠ABE+1∠EDC=90°28.(2022浙江杭州西湖十三中期中)如图,在△ABC 中,AD平分∠BAC,AE⊥BC,已知∠BAC=2∠B,∠B=4∠DAE,那么∠C的度数为( )A.45°B.60°C.70°D.72°9.(2022浙江杭州余杭三校联考)如图,AB∥CD,∠ABE=∠DCF.求证:∠E=∠F.10.(2021浙江杭州萧山月考)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,G是BC上一点,过点G 作GF⊥AB于点F,且满足∠B=∠ADE.求证:∠CDE=∠BGF.素养探究全练11.[直观想象]图①是我们常用的折叠式小刀,图②中刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图②所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和为 .图①图②答案全解全析基础过关全练1.C 根据两直线平行,同位角相等,可得∠3=∠4.故选C.2.C 当∠1=∠2时,根据同位角相等,两直线平行可得a ∥b,故A 不符合题意;当∠2=∠3时,根据内错角相等,两直线平行可得a ∥b,故B 不符合题意;当∠1=∠5时,不能得到a ∥b,故C 符合题意;当∠3+∠4=180°时,根据同旁内角互补,两直线平行可得a ∥b,故D 不符合题意.故选C.3.B 如图,∵直尺的两边互相平行,∴可过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线,则∠3=∠1=47°,∴∠4=90-∠3=43°,∴∠2=∠4=43°.故选B.4.直角三角形解析 ∵EP,FP 分别平分∠BEF,∠DFE,∴∠PEF=12∠BEF,∠PFE=12∠DFE,∵AB ∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠PEF+∠PFE=12∠BEF+12∠DFE=90°,∴∠P=180°-(∠PEF+∠PFE)=90°,∴△EPF 是直角三角形.5.对顶角相等;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;同旁内角互补,两直线平行能力提升全练6.D 证明过程:∵AB ∥CD,∴∠DCF=∠B,∵∠B=∠D,∴∠DCF=∠D,∴AD ∥BF,∴∠DEF=∠F.∴正确的排列顺序为③④①②⑤.故选D.7.C 如图,延长DF交AB于点G.∵AB∥CD,∴∠BGD+∠EDC=180°,即∠BGD=180°-∠EDC,∠ABE,∵BF⊥DE,∴∠BFG=90°,∵BF平分∠ABE,∴∠ABF=12∵∠ABF+∠BFG+∠BGD=180°,∴1∠ABE+90°+(180°-∠EDC)=180°,2整理得∠EDC-1∠ABE=90°.故选C.28.B 设∠DAE=a°,则∠B=4a°,∠BAC=8a°,∴∠C=180°-12a°,∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴∠EAC=90°-∠C=12a°-90°,∵AD平分∠BAC,∠BAC=8a°,∴∠DAC=4a°,∵∠DAC-∠EAC=∠DAE,∴4a-(12a-90)=a,解得a=10,∴∠C=180°-12a°=60°.故选B. 9.证明 ∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD.又∵∠ABE=∠DCF,∴∠ABC-∠ABE=∠BCD-∠DCF,即∠EBC=∠FCB,∴BE∥CF,∴∠E=∠F.10.证明 ∵CD⊥AB,GF⊥AB,∴∠BFG=∠ADC=90°,FG∥CD,∴∠B+∠BGF=90°,∠ADE+∠CDE=90°,∵∠B=∠ADE,∴∠CDE=∠BGF.素养探究全练11.90°解析 如图,延长AE交CD于F,∵AB∥CD,∴∠AFC=∠1.∵∠AEC=90°,∴∠CEF=90°,∴∠2+∠AFC=90°,∴∠1+∠2=90°.。
