18-19 课时分层作业16 空间向量及其线性运算 共面向量定理

空间向量的线性运算与共面条件空间向量是三维空间中的一个重要概念，它们可以进行线性运算，并且存在一些共面条件。

本文将详细讨论空间向量的线性运算以及共面条件。

一、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括向量加法和向量乘法，下面分别进行介绍。

1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，它们的加法表示为A + B。

具体计算方法是将A的对应分量与B的对应分量相加。

例如，对于向量A=(a1, a2, a3)和向量B=(b1, b2, b3)，它们的加法结果为A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。

向量加法满足以下性质：- 交换律：A + B = B + A- 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)- 零向量：对于任意向量A，有A + 0 = A，其中0表示零向量，其分量均为0。

2. 向量乘法向量乘法包括数量乘和点乘两种形式。

数量乘指一个向量与一个实数的乘积，记作kA，其中k为实数，A为向量。

具体计算方法是将向量A的每个分量乘以k。

例如，对于向量A=(a1, a2, a3)和实数k，它们的数量乘结果为kA = (ka1, ka2, ka3)。

点乘指两个向量的对应分量相乘再相加的运算。

设有两个向量A=(a1, a2, a3)和B=(b1, b2, b3)，它们的点乘表示为A·B。

具体计算方法是将A的对应分量与B的对应分量相乘再相加，即A·B = a1b1 +a2b2 + a3b3。

向量乘法满足以下性质：- 分配律：k(A + B) = kA + kB- 结合律：(kl)A = k(lA) = klA，其中k和l为实数- 交换律：A·B = B·A，但一般来说A·B ≠ B·A二、空间向量的共面条件空间中的三个向量A、B和C存在共面条件。

假设A、B、C不共线，即它们不在同一条直线上，那么它们共面的条件可以表示为A·(B×C) = 0。

共面向量定理怎么证共面向量定理怎么证引言：共面向量定理是线性代数中一个重要的结论，它描述了三维空间中向量的共面性质。

在本文中，我们将探讨共面向量定理的证明过程，并深入理解这一定理的几何本质。

通过本文的阅读，读者将能够对共面向量定理有一个全面、深刻和灵活的理解。

正文：一、共面向量的定义在开始证明共面向量定理之前，我们首先要理解何为共面向量。

在三维空间中，若存在三个非零向量a、b和c，且它们满足线性相关的关系a = kb + mc，其中k和m为实数，则这三个向量是共面的。

二、证明共面向量定理为了证明共面向量定理，我们需要使用线性代数中的向量运算和性质。

下面是证明共面向量定理的步骤：1. 取一个任意的非零向量a，让我们称之为基准向量。

2. 假设我们有另外两个向量b和c，我们要证明的是这两个向量与基准向量a共面。

3. 由于a是非零向量，所以它们存在一个非零分量，不妨设为a1。

4. 根据共面向量的定义，我们可以得到两个线性方程：b1 = ka1 和c1 = ma1，其中k和m为实数。

5. 将这两个线性方程分别代入a = kb + mc的形式中，得到a =k(b1/a1)a + m(c1/a1)a。

6. 可以看出，a可以表示为两个倍数与a的乘积之和。

7. 由于向量的加法和数量乘法满足结合律和交换律，我们可以将上式重写为a = (kb1/a1 + mc1/a1)a。

8. 通过上一步的重写，我们得到了a = (k*b1 + m*c1)/a1。

9. 由于k和m是任意实数，所以(k*b1 + m*c1)是一个任意实数。

10. 根据向量的乘法性质，我们可以将(a = (k*b1 + m*c1)/a1)重写为a = d*a，其中d是一个任意实数。

11. 我们可以得出结论，向量b和c与基准向量a共面。

三、几何解释共面向量定理的证明过程清晰地展示了共面向量的几何本质。

我们可以将基准向量a看作三维空间中的一个点，向量b和c则可以看作是由此点向外延伸的线段。

文档标题：一探究竟：空间向量共面定理是啥玩意儿？正文：大家好，今儿咱们就来聊聊一个听起来挺高大上的数学概念——空间向量的共面定理。

别一听“定理”俩字就头大，咱们就用大白话给它解释清楚，保证让你一听就明白。

首先，啥是空间向量？简单来说，空间向量就是那些在三维空间里能指个方向、有个大小的东西。

想象一下，你手里拿着一根箭头，这箭头指向不同的方向，长短也不一样，这就是空间向量。

那共面又是啥意思呢？共面，就是说这些向量都待在同一个平面里。

想象一张纸，你可以在上面画几个箭头，这些箭头都在这张纸上，这就叫共面。

好了，现在咱们来说说共面定理。

这个定理其实就是在告诉我们一个道理：在三维空间里，如果咱们有三个向量，只要这三个向量不是完全“散开”的，那么它们就能找到一个共同的平面，让这三个向量都在这个平面上。

具体咋说呢？咱们来打个比方。

想象你手里有三个可以伸缩的箭头，你可以把它们拉长缩短，也可以改变它们的方向。

只要你不是故意让这三个箭头互相垂直而且还不在同一个平面上，你总能找到一个方法，让这三个箭头都在同一张纸上。

这就是共面定理的核心意思。

咱们再来细说一下这个定理的三个关键点：1. 三个向量：就像咱们刚才说的，你手里得有三个箭头，才能玩这个共面的游戏。

2. 不完全“散开”：这就是说，这三个向量不能互相之间都垂直，而且不在同一个平面上。

如果真是那样，它们就找不到一个共同的平面了。

3. 找到共同平面：只要这三个向量不是完全“散开”的，那么总有一个办法，让它们都在同一个平面上。

这个定理有啥用呢？其实在咱们生活中，共面定理的应用可多了。

比如说，你盖房子的时候，要确保三面墙都在同一个平面上，这就用到了共面定理。

再比如，你在电脑上做三维设计，也得用到这个定理，确保你设计的各个部分能在一个平面上。

总之，空间向量的共面定理，其实就是告诉我们，三维空间里的向量，只要不是互相“散开”的，就能找到一块“公共地盘”，让它们和平共处。

这个定理虽然听起来挺抽象，但用在生活里，还是挺实用的。

共面向量定理怎么证【最新版】目录一、共面向量定理的定义与基本概念二、共面向量定理的证明方法三、共面向量定理的应用举例四、结论正文一、共面向量定理的定义与基本概念共面向量定理是平面向量基本定理的一个重要推论。

共面向量定理定义如下：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对 x,y，使向量 = x * 向量 1 + y * 向量 2。

其中，向量 1 和向量 2 是同一平面内的两个不共线向量，向量是空间任意一向量。

二、共面向量定理的证明方法为了证明共面向量定理，我们可以先引入一个平行四边形的概念。

假设在平面内有两个不共线的向量向量 1 和向量 2，以它们为邻边可以构成一个平行四边形。

那么，在这个平行四边形中，对角线所表示的向量就是共面向量定理中所说的向量。

接下来，我们通过平行四边形的性质来证明共面向量定理。

假设向量= x * 向量 1 + y * 向量 2，那么向量与向量 1 的夹角为θ，向量与向量 2 的夹角为α。

根据平行四边形的性质，对角线与邻边的夹角等于对角线两端点与邻边两端点的夹角之和。

因此，我们有θ = α + β，其中β为向量与平行四边形对角线的夹角。

由于向量 1 和向量 2 不共线，所以平行四边形不存在，即β = 180°。

因此，θ = α + 180°。

又因为向量与向量 1 的夹角为θ，所以向量与向量 1 共面，即存在实数 k，使得向量 = k * 向量 1。

同理，向量与向量 2 共面，即存在实数 l，使得向量 = l * 向量 2。

因此，我们证明了共面向量定理。

三、共面向量定理的应用举例共面向量定理在空间几何问题中有广泛的应用。

例如，在四边形 ABCD 中，如果 M、N 分别是 AD、BC 的中点，我们要证明 BMN 与 ADC 共面。

根据共面向量定理，我们只需要证明存在实数对 x,y，使得向量 BM = x * 向量 AD + y * 向量 BC。

教学过程自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝_________，y＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→用a，b，c表示为________．3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.4．下列4个命题：①若p＝x a＋y b，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝x a＋y b；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题是________(填序号)．5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为教学效果分析教学过程棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题教学效果分析教学过程例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．教学效果分析教学过程1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号为________．2．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD的形状是______________三角形．3. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角等于________．4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.5.在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把教学效果分析直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为________．6.如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________．(填所有正确的序号)8.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．二、解答题(共42分)9.如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝23，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.10.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．11. 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．自主梳理1．(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数λ，使b ＝λa (4)OM →＋xMA →＋yMB →1 (5)x e 1＋y e 2＋z e 32．(1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (2)a ＝λb a 1＝λb 1 a 2＝λb 2 a 3＝λb 3 (λ∈R )a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(3)a 21＋a 22＋a 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2自我检测 1.16 －32解析 ∵a ∥b ，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.2．－12a ＋12b ＋c解析 B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－A 1B 1→＋A 1A →＋⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AD →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .3.97解析 ∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴|AC ′→|2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2AB →·AD →＋2AD →·AA ′→＋2AA ′→·AB →＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97，∴|AC ′→|＝97. 4．①③解析 ①正确．②中若a 、b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．5．共面解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →， 即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 课堂活动区例1 解题导引 欲证a ⊥b ，只要把a 、b 用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a·b ＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．证明 如图所示.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .∵OM →＝12(OB →＋OC →)＝12(b ＋c )，ON →＝12(OA →＋OC →)＝12(a ＋c )，∴PM →＝PO →＋OM →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(b ＋c －a )， QN →＝QO →＋ON →＝－12b ＋12(a ＋c )＝12(a ＋c －b )．∴PM →·QN →＝14[c －(a －b )][c ＋(a －b )]＝14[c 2－(a －b )2]＝14(|OC →|2－|BA →|2) ∵|AB →|＝|OC →|，∴PM →·QN →＝0. 即PM →⊥QN →，故PM ⊥QN .变式迁移1 23解析 设{AB →，AC →，AD →}为空间一组基底， 则AF →＝12AB →＋12AC →，CE →＝12CA →＋12CD →＝12CA →＋12(AD →－AC →)＝－AC →＋12AD →.∴AF →·CE →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →·⎝⎛⎭⎫－AC →＋12AD →＝－12AB →·AC →－12AC →2＋14AB →·AD →＋14AC →·AD →＝－14AB →2－12AC →2＋18AB →2＋18AC →2＝－12AC →2.又|AF →|＝|CE →|＝32|AC →|，∴|AF →||CE →|＝34|AC →|2.∴cos 〈AF →，CE →〉＝AF →·CE →|AF →||CE →|＝－12AC →234|AC →|2＝－23.∴异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为23.例2 解题导引如图所示，建立坐标系后，要证MN 平行于平面EBC ，只要证MN →的横坐标为0即可．(1)证明 如图所示，以BA →、BC →、BE →为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，D (1,1,0)， E (0,0,1)，B (0,0,0)， 设AN AE ＝DM DB＝λ，则MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝λBD →＋DA →＋λAE → ＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．∵0<λ<1，∴λ－1≠0，λ≠0，且MN →的横坐标为0. ∴MN →平行于平面yBz ，即MN ∥平面EBC .(2)解 由(1)知|MN →|＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝ 2⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，MN 取得长度的最小值为22.变式迁移2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE . 则点N 、E 的坐标分别为 ⎝⎛⎭⎫22，22，0、(0,0,1)．∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别为(2，2，0)、⎝⎛⎭⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线． ∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)得，AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，B (0，2，0)， ∴DF →＝(0，2，1)，BF →＝(2，0,1)． ∴AM →·DF →＝0，AM →·BF →＝0.∴AM →⊥DF →，AM →⊥BF →， 即AM ⊥DF ，AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，且DF ，BF 在平面BDF 内， ∴AM ⊥平面BDF .例3 解题导引 建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第(1)题证明FG →与平面BOE 的法向量n 垂直，即FG →·n ＝0即可．第(2)题设出点M的坐标，利用MF →∥n 即可解出，然后检验解的合理性．(1)证明如图，连结OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz .则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)． 由题意，得G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0.又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE . (2)解 设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)．因为FM ⊥平面BOE ，所以FM →∥n ，因此x 0＝4，y 0＝－94，即点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫4，－94，0.在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组．所以，在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE . 由点M 的坐标，得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，94.变式迁移3 解(1)以点B 为原点，以BA 、BC 、BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，B 1(0,0,3a )，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ＝22AC ＝2a ，∴A (2a,0,0)，C (0，2a,0)，C 1(0，2a,3a )，E ⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ，A 1(2a,0,3a )，∴BE →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ，A 1C →＝(－2a ，2a ，－3a )，cos 〈BE →，A 1C →〉＝BE →·A 1C →|BE →||A 1C →|＝－72a 2112a ×13a＝－7143143.∴直线BE 与A 1C 所成的角的余弦值为7143143.(2)假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设AF →＝λAA 1→＝λ(0,0,3a )＝(0,0,3λa ) (0<λ<1)，∵D 为A 1C 1的中点，∴D ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，3a ，B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，3a －(0,0,3a )＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0，B 1F →＝B 1B →＋BA →＋AF →＝(0,0，－3a )＋(2a,0,0)＋(0,0,3λa )＝(2a,0,3a (λ－1))，CF →＝CA →＋AF →＝(2a ，－2a,0)＋(0,0,3λa ) ＝(2a ，－2a,3λa )．∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF →⊥B 1D →，CF →⊥B 1F →，⎩⎪⎨⎪⎧CF →·B 1D →＝0CF →·B 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3λa ×0＝09λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝23或λ＝13∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且当λ＝13时，|AF →|＝13|AA 1→|＝a ，当λ＝23时，|AF →|＝23|AA 1→|＝2a .课后练习区1．②③④ 2．锐角解析 如图，∵DB →·DC →＝(AB →－AD →)·(AC →－AD →)＝AB →·AC →－AB →·AD →－AD →·AC →＋AD →2＝AD →2>0，同理，BD →·BC →>0，CD →·CB →>0.∴△BDC 为锐角三角形．3．60° 解析如图建立坐标系，设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)， ∴EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22·8＝12.∴EF 与BC 1所成的角是60°. 4．16解析 由PC →＝λ1P A →＋λ2PB →得：(2a －1，a ＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2(6，－1，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ1＋6λ2＝2a －1－3λ1－λ2＝a ＋1，2λ1＋4λ2＝2 解得a ＝16.5．211 解析过A 、B 分别作AA 1⊥x 轴，BB 1⊥x 轴，垂足分别为A 1和B 1，则AA 1＝3，A 1B 1＝5，BB 1＝2， ∵AB →＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →， ∴AB →2＝AA 1→2＋A 1B 1→2＋B 1B →2＋2AA 1→·B 1B →＝32＋52＋22＋2×3×2×cos 60°＝44.∴|AB →|＝211. 6.12解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →， 又EF →＝ED →＋DC →＋CF →，∴2EF →＝AB →＋DC →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)，∴λ＝12.7．①②解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋(A 1A →＋DD 1→)＝B 1D 1→≠BD 1→. 8．(1,1,1)解析 设DP ＝y >0，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，y )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，y 2，DP →＝(0,0，y )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，y 2. ∴cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝12y 2y 2＋y 24＝y 8＋y 2＝33. 解得y ＝2，∴E (1,1,1)． 9．证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)， BD 1→＝(3,3,3)．(3分)所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→、BE →、BF →共面．又它们有公共点B ，∴E 、B 、F 、D 1四点共面．(7分)(2)设M (0,0，z )，则GM →＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z . 而BF →＝(0,3,2)，由题设，得GM →·BF →＝－23×3＋z ·2＝0，得z ＝1.(10分)∴M (0,0,1)，∴ME →＝(3,0,0)． 又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，∴ME →·BB 1→＝0， ∴ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又∵BB 1∩BC ＝B ，∴ME ⊥平面BCC 1B 1.(14分) 10.解 (1)如图所示，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D —xyz . 依题意，得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，1，0.(2分) ∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－1， AM →＝(－1,0,1)．(4分)∵cos 〈NE →，AM →〉＝NE →·AM →|NE →|·|AM →|＝－1252×2＝－1010，。

3.1.1 空间向量及其线性运算3.1.2 共面向量定理学习目标：1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，掌握空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2.了解向量共面的含义，理解共面向量定理.3.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．[自 主 预 习·探 新 知]教材整理1 空间向量及其线性运算 阅读教材P 81的部分，完成下列问题． 1．空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量． 2．空间向量的线性运算1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．( )(2)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( ) (3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个圆．( ) (4)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .( )(5)已知四边形ABCD ，O 是空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是平行四边形．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．如图3­1­1，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是________(填序号)．图3­1­1①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→.[解析] ①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD →＋BB 1→＋AA 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→. [答案] ①② 教材整理2 共线向量阅读教材P 82例1上面的部分，完成下列问题． 1．共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 教材整理3 共面向量阅读教材P 84的部分，完成下列问题． 1．共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b.有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．[解析] “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确．[答案] ①②③[合作探究·攻重难]①所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b；④零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________. 【导学号：71392156】[精彩点拨]根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[自主解答]对于①：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故①错；对于②：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故②错；对于③：向量是不能比较大小的，故不正确；对于④：零向量有方向，只是没有确定的方向，故④错．[答案] ①②③④1．下列命题中正确的个数是________．①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③同向且等长的有向线段表示同一向量；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． [解析] ①③④正确，②不正确． [答案] 3化简：(AB －CD )－(AC －BD )．[精彩点拨] 根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算． [自主解答] 法一：将减法转化为加法进行化简． ∵AB →－CD →＝AB →＋DC →，∴(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →＋DC →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA → ＝AD →＋DA →＝0.法二：利用AB →－AC →＝CB →，DC →－DB →＝BC →化简． (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0.法三：∵AB →＝OB →－OA →，CD →＝OD →－OC →， AC →＝OC →－OA →，BD →＝OD →－OB →，∴(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(OB →－OA →－OD →＋OC →)－(OC →－OA →－OD →＋OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.2．如图3­1­2所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，若PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则PD →＝________(用向量a ，b ，c 表示).【导学号：71392157】图3­1­2[解析] 法一：PD →＝BD →－BP →＝BA →＋BC →－BP →＝PA →－PB →＋PC →－PB →－BP →＝a －b ＋c －b ＋b ＝a －b ＋c .法二：PD →＝PA →＋AD →＝PA →＋BC →＝PA →＋PC →－PB →＝a ＋c －b . [答案] a －b ＋c如图3­1­3，已知M ，N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．图3­1­3[精彩点拨] 要证明B ，G ，N 三点共线，可证明BN →∥BG →，即证明存在实数λ，使BN →＝λBG →.[自主解答] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B ，G ，N 三点共线．3．在例3中，若把条件“GM ∶GA ＝1∶3”换为“GM ∶GA ＝1∶1”．把“N 是面ACD 的重心”换为“AN →＝λAE →”，增加条件“B ，G ，N 三点共线”，其余不变，试求λ的值．[解] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋23×12(BC →＋BD →)＝AB →＋13(AC →－AB →＋AD→－AB →)＝13(a ＋b ＋c )．∴BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋12AM →＝－a ＋16(a ＋b ＋c )＝－56a ＋16b ＋16c .BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋λAE →＝BA →＋12λ(AC →＋AD →)＝－a ＋12λb ＋12λc .∵B ，G ，N 三点共线，故存在实数k ，使BG →＝kBN →， 即－56a ＋16b ＋16c ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12λb ＋12λc ， 故⎩⎪⎨⎪⎧－56＝－k ，16＝12λk ，解得k ＝56，λ＝25.BC ，CD ，DA 的中点．图3­1­4(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .【导学号：71392158】[精彩点拨] (1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x ，y ，使EG →＝xEF →＋yEH →即可．(2)要证BD ∥平面EFGH ，只需证向量BD →与向量FH →，EG →共面即可． [自主解答] (1)如图所示，连接BG ，EG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →.由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BD →＝AD →－AB →＝c －a .EG →＝EA →＋AG →＝－a 2＋12(c ＋b )＝－12a ＋12b ＋12c ，HF →＝HA →＋AF →＝－12c ＋12(a ＋b )＝12a ＋12b －12c .假设存在x ，y ，使BD →＝xEG →＋yHF →. 即c －a＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b －12c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－x 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y2c .∵a ，b ，c 不共线． ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x2＝－1，x 2＋y2＝0，x 2－y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴BD →＝EG →－HF →.∴BD →，EG →，HF →是共面向量， ∵BD 不在平面EFGH 内． ∴BD ∥平面EFGH .4．已知两个非零向量e 1，e 1不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．[证明] ∵AD →＋AC →＝(3e 1－3e 2)＋(2e 1＋8e 2)＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →＝15AD →＋15AC →，又AD →与AC →不共线，∴AB →，AD →，AC →共面，又它们有一个公共起点A ， ∴A ，B ，C ，D 四点共面.[1．如何理解共线向量及共线向量定理？[提示] (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，如果应用共线向量定理判断a ，b 所在的直线平行，还需说明a (或b )上有一点不在b (或a )上．(2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法，在利用该定理证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →或AB →＝λAC →即可．(3)对于空间任意一点O ，若有OB →＝λOA →＋(1－λ)OC →成立，则A ，B ，C 三点共线． 2．如何理解共面向量定理？[提示] (1)共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．(2)共面向量定理的推论是判定空间四点共面的依据．3．若两向量共线或共面，则这两向量所在的直线有何位置关系？[提示] 两向量共线，这两向量所在的直线重合或平行，两向量共面，这两向量所在的直线共面或异面．如图3­1­5所示，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：AC 1→与AE →，AF →共面.【导学号：71392159】图3­1­5[精彩点拨] 由共面向量定理，只要用AE →，AF →线性表示出AC 1→即可． [自主解答] ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→ ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，∴AC 1→与AE →，AF →共面． [再练一题]5．如图3­1­6，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．图3­1­6[证明] 法一：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F → ＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12B 1C →－A 1B →. 由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．法二：连接A 1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连接FG ，BG ，则有FG ═∥12DD 1，BE ═∥12DD 1， ∴FG ═∥BE ，∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG .BG ⊂平面A 1BD ，EF ⊄平面A 1BD ，∴EF ∥共面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴A 1B →，B 1C →，EF →都与平面A 1BD 平行．∴A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝________.[解析] AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0.[答案] 02．已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝________(用a ，b ，c 表示)． [解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，所以AF →＝13AE →＝13()AA ′→＋A ′E → ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA ′→＋12A ′C ′→＝13AA ′→＋16()AD →＋AB →＝13AA ′→＋16AB →＋16AD →＝16a ＋16b ＋13c . [答案] 16a ＋16b ＋13c 3．a ＝λb (λ是实数)是a 与b 共线的______条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．[解析] a ＝λb ⇒a ∥b ，但当b ＝0，a ≠0时，则a ∥b ，a ≠λb .[答案] 充分不必要4．设e 1，e 2是空间中两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k 的值是________.【导学号：71392160】[解析] ∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，∴BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λBD →，∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.∵e 1，e 2是空间两个不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.[答案] －85．已知▱ABCD ，从平面AC 外一点O ，引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →.图3­1­7求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)平面AC ∥平面EG .[证明] (1)四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →.∵EG →＝OG →－OE →＝k ·OC →－k ·OA →＝k (OC →－OA →)＝kAC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →，∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝k ·AB →，又∵EG →＝k ·AC →，∴EF ∥AB ，EG ∥AC ，所以平面AC ∥平面EG .。

共面向量定理的证明共面向量定理是线性代数中的重要定理之一，用于判断三个向量是否共面。

本文将对共面向量定理进行证明。

我们先来了解一下什么是共面向量。

在三维空间中，如果存在三个非零向量，它们的起点都在同一个平面上，那么这三个向量就被称为共面向量。

换句话说，如果可以找到一组实数k1、k2、k3，使得k1a + k2b + k3c = 0，其中a、b、c分别表示三个向量，那么这三个向量就是共面的。

接下来，我们来证明共面向量定理。

假设a、b、c是三个非零向量，我们要证明的是，如果存在实数k1、k2、k3，使得k1a + k2b + k3c = 0成立，那么a、b、c就是共面的。

我们假设k1、k2、k3不全为零。

因为a、b、c都是非零向量，所以至少存在一个k值不为零。

假设k1不为零，那么我们可以将上述等式两边同时除以k1，得到k2b/k1 + k3c/k1 = -a。

现在，我们将等式两边乘以一个实数k4，得到k4(k2b/k1 + k3c/k1) = -k4a。

将等式进行展开，得到k4k2b/k1 + k4k3c/k1 = -k4a。

再进一步整理，得到(k4k2b + k4k3c)/k1 = -k4a。

由于等式左边是实数倍的向量b和向量c的和，右边是实数倍的向量a，所以我们可以将等式重新表示为：k5b + k6c = -a，其中k5 = k4k2/k1，k6 = k4k3/k1。

现在我们得到了一个新的等式k5b + k6c = -a。

由于k1、k2、k3不全为零，所以至少存在一个k值不为零，即k5和k6至少有一个不为零。

假设k5不为零，那么我们可以将上述等式两边同时除以k5，得到b + (k6/k5)c = -a/k5。

同样地，我们可以将等式两边乘以一个实数k7，得到k7(b + (k6/k5)c) = -k7a/k5。

将等式进行展开，得到k7b + (k7k6/k5)c = -k7a/k5。

再进一步整理，得到(k7b + k7k6c/k5)/k5 = -k7a/k5。

3．1.2 共面向量定理如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题．问题1：、、可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为＝，三个向量可移到平面ABCD内．问题2：，，三个向量的位置关系？提示：三个向量都在平面ACC1A1内．问题3：、、三个向量是什么关系？提示：相等．1．共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．向量共面的判定[例1] 给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x，y)使得＝x＋y，则O、P、A、B四点共面；④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．其中正确命题的序号是________．[思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．[精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的；②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确：因为、、共面，∴O、P、A、B四点共面；④错：没有强调零向量；⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．[答案] ③[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．1．下列说法正确的是________(填序号)．①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是、、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋；③若＝(＋)成立，则P点一定是线段AB的中点；④在空间中，若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共面．⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．解析：①②③⑤不正确，④正确．答案：④2．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，试问向量p、q、r是否共面？解：设r＝xp＋yq，则－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y(2a－3b－5c)＝(x＋2y)a＋(x－3y)b＋(－x－5y)c，∴解得∴r＝3p－5q.∴p、q、r共面.向量共面的证明[例2] 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：与、共面．[思路点拨] 由共面向量定理，只要用、线性表示出即可．[精解详析] ∵＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋，∴与、共面．[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x，y使向量＝x＋y成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用、表示.3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．证明：法一：＝＋＋＝－＋＝(＋－＝－.由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．法二：连接A1D，BD，取A1D中点G，连结FG，BG，则有FG綊DD1，BE綊DD1，∴FG綊BE.∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.BG?平面A1BD，EF平面A1BD∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，∴，，都与平面A1BD平行．∴，，是共面向量．4．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k (0≤k≤1)．求证：与向量，共面．证明：如图，在封闭四边形MABN中，＝＋＋.①在封闭四边形MC1CN中，＝＋＋②∵＝k，∴＝k(＋)∴(1－k)＝k，即(1－k)＋k＝0，同理(1－k)＋k＝0.①×(1－k)＋②×k得＝(1－k)＋k，∵＝－，∴＝(1－k)－k，故向量与向量，共面.共面向量定理的应用[例3] 如图所示，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)用向量法证明BD∥平面EFGH.[思路点拨] (1)要证E，F，G，H四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x，y，使＝x＋y即可．(2)要证BD∥平面EFGH，只需证向量与向量、共面即可．[精解详析] (1)如图所示，连接BG，EG，则：＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.由共面向量定理知E，F，G，H四点共面．(2)设＝a，＝b，＝c，则＝－＝c－a.＝＋＝－＋(c＋b)＝－a＋b＋c，＝＋＝－c＋(a＋b)＝a＋b－c.假设存在x，y，使＝x＋y.即c－a＝x＋y＝a＋b＋c.∵a，b，c不共线．∴解得∴＝－.∴、、是共面向量，∵BD不在平面EFGH内．∴BD∥平面EFGH.[一点通]1．空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在实数对x、y，使＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．2．用共面向量定理证明线面平行的关键是：(1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量；(3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．求证：B1C∥平面ODC1.证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－a，又O是B1D1的中点，所以＝＝(b－a)．因为D1D綊C1C，所以＝c，＝＋＝(b－a)＋c.＝－(a＋b)，假设存在实数x，y，使＝x＋y，所以c－a＝x－y·(a＋b)＝－(x＋y)a＋xc＋b，且a，b，c不共线，所以x＝1，(x＋y)＝1，且＝0，即x＝1，y＝1.所以＝＋，所以，，是共面向量，又因为不在，所确定的平面ODC1内，所以B1C∥平面ODC1.6．如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．求证：E、F、G、H四点共面．证明：分别延长PE、PF、PG、PH交平面四边形ABCD各边于M、N、Q、R.∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R所得四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝.∵MNQR为平行四边形，∴＝－＝－＝＝(＋)＝(－)＋(－)＝·＋＝＋.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面．向量e1，e2，e3共面?存在三个不全为0的实数λ，μ，γ，使得λe1＋μe2＋γe3＝0.若e1，e2，e3是不共面的三个向量，且λe1＋μe2＋γe3＝0(其中λ，μ，γ∈R)，则λ＝μ＝γ＝0.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在惟一的有序实数对x，y，使＝x＋y.[对应课时跟踪训练(十九)]1．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a、b、c共面，b 、c不共线，则存在实数x、y，使a＝xb＋yc.解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b、c是不共线向量，否则即使三个向量a、b、c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．答案：②③2．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.解析：∵P与A，B，C共面，∴＝α＋β，∴＝α(－)＋β(－)，即＝＋α－α＋β－β＝(1－α－β)＋α＋β，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1.解得λ＝.答案：3．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋zAA1，则x＋y＋z＝________.解析：＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝.答案：4．i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A、B、C、D四点共面，则λ的值为________．解析：若A、B、C、D四点共面，则向量、、共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得a＋b＋c＝0.即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0.∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0.∵i，j，k不共面，∴∴答案：15．命题：若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC 上，且在△ABC内部是________命题(填“真”或“假”)．解析：＝－＝－＋＋＝(－)＋(－)＝(＋)．令BC中点为D，则＝，∴点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，故命题为真命题．答案：真6．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点O满足＝＋＋.判断，，三个向量是否共面．解：(1)由已知得＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－－，∴，，共面．7．若e1，e2，e3是三个不共面的向量，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面，并说明理由．解：法一：令x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0，亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0，因为e1，e2，e3是三个不共面的向量，所以解得从而a＝7b＋5c，a，b，c三个向量共面．法二：令存在λ，μ，使a＝λb＋μ c成立，即3e1＋2e2＋e3＝λ(－e1＋e2＋3e3)＋μ(2e1－e2－4e3)，因为e1，e2，e3是三个不共面向量，所以解这个方程组得λ＝7，μ＝5，从而a＝7b＋5c，即a，b，c三向量共面．8．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H为BC的中点．求证：FH∥平面EDB.证明：因为H为BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋＋＋)＝(2＋＋＋)．因为EF∥AB，CD綊AB，且AB＝2EF，所以2＋＝0，所以＝(＋)＝＋.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．由于FH不在平面EDB内，所以FH∥平面EDB。