成都嘉祥外国语学校2017年高中自主招生数学真卷含答案word版

成都外国语学校2017年初升高直升考试(数学试题)A 卷（共100分）一、选择题（每小题3分，共45分）1、下列各数13.14,3cos30π--，中，无理数的个数是（ ）A .1个B . 2个C .3个D . 4个2、下列各式正确的是（ ） A . 235m m m m ⋅⋅= B . 22124x x -=C . ()326m m -=D . ()()24141116m m m ---=-3、从一个边长为3cm 的大立方体挖去一个边长为1cm 的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（ ）4、已知一组数据从小到大依次为−1，0，4，x ，6，15，其中位数为5，则其众数为（ ）A . 4B . 5C . 5.5D . 65、函数()023y x =-中自变量x 的取值范围是（ ）A . 13x x >≠且B . 31,32x x x ≥-≠≠且C . 312x x ≥-≠且D . 31x x ≠-≠且6、如图,用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上,若四周下垂的最大长度相等,则桌布下垂的最大长度x 为( )A .)1a -B .)12aC .D . 27、适合下列条件的ABC ∆（,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ）中, ①A B C ∠+∠=∠；②23A B C ∠=∠=∠;③::13:12:5a b c =；④222sin sin sin A B C +=.直角三角形的个数为( )A .1个B . 2个C .3个D . 4个8、下列说法正确的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③平分弦的直径垂直于弦；④经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；A .1个B . 2个C .3个D . 4个9、如图,王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时,测得影子CD 的长为1米,继续往前走3米到达E 处时,测得影子EF 的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A 的高度AB 等于( )A . 4.5米B . 6米C . 7.2米D . 8米10、在正方形ABCD 中，E 为AD 中点，AF 丄BE 交BE 于G ，交CD 于F ，连CG 延长交AD 于H .下列结论：①CG ＝CB ;②14HE BC =;③13EG GF =；④以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ，其中正确的有（ ）个.A .1个B . 2个C .3个D . 4个第9题 第10题 第13题 第14题二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11、H 7N 9禽流感是一种传染性极强的新亚型流感，其中的一种球形病毒的直径约120nm ，已知91110nm m -=⨯，则这种病毒直径用科学记数法表示为______m .12、现有三张分别标有数字1、2、6的卡片,它们除了数字外完全相同,把卡片背面朝上洗匀,从中任意抽取一张,将上面的数字记为a (不放回),再从中任意抽取一张,将上面的数字记为b ,这样的数字a ,b 能使关于x的一元二次方程()222390x a x b ---+=有两个正根的概率为___.13、如图,小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上,量得CD ＝8米,BC ＝20米,CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为___米。

成都外国语学校2017年高中自主招生数学真卷（一）(考试时间:120分钟 满分:150分)A 卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、如图，是一个单心圆曲隧道的截面，如果路面AB 宽为10米，净高CD 为7米，那么所在半径OA 为 （ ） A 、5米 B 、377 C 、375D 、7米第1题图 第2题图 第3题图2、在正方形网络中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 （ ） A 、55 B 、255 C 、12D 、2 3、如图是一个立方体的表面展开图，已知立方体的每一个面上都有一个实数，且相对两数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于 （ ） A 、34- B 、14- C 、1 D 、344、把多项式2212xy x y -+-分解因式的结果是 （ ） A 、(1)(1)x y x y +--+ B 、(1)(1)x y x y --+- C 、(1)(1)x y x y ---+ D 、(1)(1)x y x y +-++5、在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将地球仪的半径增大1米，需增加m 米的铁丝，假设地球赤道上也有一个铁箍，同样地球半径增大1米，则需要增加n 米的铁丝，则m 与n 的大小关系是 （ ） A 、m>n B 、m<n C 、m=n D 、不能确定6、已知一组数据7，6，x ，9，11的平均数是9，那么x 等于 （ ） A 、3 B 、10 C 、12 D 、97、如图，在矩形ABCD 中， AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 做匀速运动，那么△APB 的面积S 与点P 运动的路程之间的函数图像大致是 （ ）第7题图A B C D8、点P 在第一象限内，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，点P 的坐标是 （ ） A 、（—4，3） B 、（—3，—4） C 、（—3，4） D 、（3，4）9、若α、β是方程2220070x x +-=的两实数根，则23ααβ++的值是 （ ）A 、2007B 、2005C 、—2007D 、401010、如图，在ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆CA 、CB 分别相交于P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是 （ ） A 、4.75 B 、4.8 C 、5 D 、42第10题图二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

成都实验外国语学校2017年高中自主招生数学真卷（直升卷）一、选择题1、根据调查，某市2016年的房价为9000元/平方米，预计2018年的房价将达到11000元/平方米，求这两年的平均增长率，设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为 （ ） A.()1100019000=+x B.()11000190002=+xC.()1100019000=-xD.()11000190002=-x2、关于x 的方程()()012132=+++-a x a ax 有两个不相等的实数根1x ，2x ，且a x x x x -=+-12211，则a 的值是 （ ）A.1B.-1C.-1或1D.23、一个几何体由若干个小立方块搭成，它的主视图、左视图、俯视图分别如下，则搭建这个几何体的小立方块的个数是 （ ）A.4B.5C.6D.74、如图，ABC ∆中，BC AB ⊥，3=AB ，4=BC ，D 为ABC ∆的内心，则ABD ∆的面积是 （ ） A.43 B.23 C.25D.2 5、对于任意的11≤≤-x ，032>-+a ax 恒成立，则a 的取值范围为 （ ）A.1>a 或0=aB.3>aC.03=>a a 或D.31<<a6、一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个图形：正三角形、正方形、正六边形、圆的周率分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，则下列关系正确的是 （ ）A.324a a a >>B.214a a a >>C.321a a a >>D.432a a a >>7、ABO ∆的顶点坐标分别为()4,1A ,()1,2B ,()0,0O ,若将ABO ∆绕点O 按逆时针方向旋转︒90得到'''O B A ∆，那么线段''B A 的中点坐标为 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2C.()2,2-D.⎪⎭⎫⎝⎛-2,258、如图，在四边形ABCD 中，BC AB ⊥，3=AB ,4=BC ,5=CD ,25=AD ,则BD 等于 （ ）A.35B.59C.65D.89、如图，三角形ABC 中，AC AB =，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，DM 平分BDE ∠,EN 平分DEC ∠，若︒=∠110DMN ，则=∠DEA （ ） A.︒40 B.︒50 C.︒60 D.︒7010、将函数b x y +=3（b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数b x y +=3（b 为常数）的图象，若该图象在直线3=y 下方的点的横坐标x 满足30<<x ，则b 的取值范围为 （ ）A.6-<b 或3->bB.6-≤b 或3-≥bC.36-<<-bD.36-≤≤-b11、二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）经过坐标原点，当1-=x 时，12≤≤-y ；当2=x 时，40≤≤y ；则当1=x 时，y 的取值范围是 （ ）A.3134-≤≤-yB.334≤≤-yC.231≤≤-yD.331≤≤-y12、已知a ，b 为有理数，m 、n 分别表示75-的整数部分与小数部分，且12=+bn amn ，则=+b a 2（ ） A.1 B.23 C.2 D.25二、填空题13、已知实数x 、y ，满足()y y x --=+111，则=-20172017y x .14、关于x 的方程()02=+-b m x a 的解释11=x ，22-=x （a 、m 、b 均为常数，0≠a ），则方程()022=++-b m x a 的解是 .15、若321=+a a ，则=-aa 1. 16、若点()11,y x A ，()22,y x B 在反比例函数xy 4=的图象上，且021<x x ，以线段AB 为直径的圆的面积为S ,则S 的最小值为 . 17、已知a 是方程012=-+x x 的一个根，则=---aa a 22112 . 18、若a x x ≥-++32对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 .19、水平相当的甲、乙二人进行乒乓球比赛，赛制为五局三胜制，则甲以3：1战胜乙的概率是 . 20、给定函数113--=x x y ，下列说法正确的有 . （1）不等式0>y 的解为31<x 或1>x ；（2）无论t 为何值，方程t y =一定有解；（3）若点()11,y x ，()22,y x 在该函数图象上且21x x <，则21y y <； （4）经过原点的直线和该函数的图象一定有交点； （5）该函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.三、解答题21、（1）计算：()15232160tan 4327232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++︒--++-π（2）先化简，再求值：423252+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x ，其中32-=x .（3）解关于x 的不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧->-+-≤--1312423x x x x（4）014233241=-+-----x x x x .（5）解关于x 的方程：()0112=--+x a ax （a 为参数）.22、为解决交通拥堵问题，公交公司新开通了一条555路公交汽车线路，为了解555路公交汽车的运营情况，公交公司统计了某天555路公共汽车每个运行班次的载客量，并按载客量的多少分成A、B、C、D四组，得到如下统计图：（1）求A组对应扇形圆心角的度数，并写出这天载客量的中位数所在的组；（2）求这天555路公共汽车平均每班的载客量.23、已知某函数的图象只在第二、第四象限，过图象上任意一点P向x轴作垂线，垂足为A，∆的面积为3.AOP（1）求该函数的解析式；（2）若P点横坐标为2，将点P沿x轴方向平移3个单位，再沿y轴平移n（0n）个单位>得到点'P，使点'P恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向.24、如图，圆O 的半径为R ，其内接锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . （1）求证：R CcB b A a 2sin sin sin ===； （2）在ABC ∆中，︒=∠45B ，︒=∠60C ，2=AC ,利用（1）的结论求BC 长和A sin 的值.25、如图，四边形ABCD 内接于圆O ,BD AC ⊥，求证：点O 到四边形ABCD 各边的距离之和等于四边形ABCD 周长的一半.26、过点F ()1,0的直线与二次函数241x y =的图象交于A ()11,y x ，B ()22,y x 两点. （1）求证：21y y 为定值； （2）设P 为二次函数241x y =的图象上的动点，求证：点P 到点F 的距离等于点P 到定直线1:-=y l 的距离；（3）求证：定直线1:-=y l 是以线段AB 为直径的圆的切线. 答案： 一、选择题 1、B 2、B 3、B 4、B 5、B 6、B 7、A 8、C 9、A 10、D 11、C 12、D二、填空题 13、-214、11-=x 或42-=x15、22±16、π8 17、1 18、5≤a19、16320、（1）（4）（5）。

成都七中嘉祥外国语学校高 2017级4月月考卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果三个数 成等差数列，则的值为( )2 36a a ，，﹣a A. -1B. 1C. 3D. 4【答案】D 【解析】∵三个数，3，成等差，∴，解得，故选D.2a 6a -266a a +-=4a =2.在中，，则此三角形解的情况是( )ABC 80 100 A 45a b °＝，＝，＝A. 一解 B. 两解C. 一解或两解D. 无解【答案】B 【解析】由题意知，，，，∴，如图：80a =100b =45A Ð=°sin 10080b A =´=<∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选B ．sin b A a b <<3.在等差数列 中，有 ，则该数列的前 项之和为（ ）{}n a 67812a a a ++=13A. B.C.D. 245256104【答案】B 【解析】，所以，所以，故选B.6787312a a a a ++==74a =()1131371313134522a a S a +===´=4.已知，，则的值是（ ）24sin 225a =(0,)4pa Îsin cos a a -A. B. C. D.15-125-12515【答案】A 【解析】，又当时，，()21sin cos 1sin 225a a a -=-=0,4p a æöç÷Îç÷èøsin cos 0a a -<所以，故选A 。

1sin cos 5a a -=-5.在中，若，则的形状一定是（）ABC 2cos sin sin B A C =ABC A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】B 【解析】∵2cos sin sin B A C=∴2cos sin sin()sin cos cos sin B A A B A B A B =+=+∴sin()0A B -=∴A B=∴的形状一定是等腰三角形ABC 故选B.6.已知等比数列的首项，公比，则( ){}n a 11a =2q =2122211log log log a a a +++= A. 50B. 35C. 55D. 46【答案】C 【解析】∵是等比数列，公比，∴，∴{}n a 11a =2q =255111612a a a a q ===2122211log log log a a a ++¼+=，故选C.()11521211262log log 11log 255a a a a ¼===7.在中，三个内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且ABC A B C a b c ABC S ，则等于（ ）224()S a b c =+-sin()4C p+A.B. 1-【答案】C 【解析】∵，2221,22a b c S absinC cosC ab+-==∴，2222,2S absinC a b c abcosC =+-=代入已知等式得：即，()2222242S a b c a b c ab =+-=+-+，222absinC abcosC ab =+∵ab ≠0，∴，1sinC cosC =+∵，221sin C cos C +=∴解得：cos C =−1(不合题意,舍去)，cos C =0，()2211,cosC cos C ++=∴sin C =1，则.)4sin C sinC cosC pæöç÷++ç÷èø故选：C.8.钝角三角形的三边为，其最大角不超过 ，则的取值范围是( ),12a a a ++，120°a A. B.C. D. 03a <<3a 32£<2a 3<£51a 2£<【答案】B 【解析】钝角三角形的三边分别是，，，其最大内角不超过，a 1a +2a +120°∴，解得，故选B.()()()()222121210221a a a a a a a a ì++>+ïïí++-+ï-£<ï×+î3 32a £<9.在等差数列中，，且,则使的前项和成立的中最大的自然数为( ){}n a 10110,0a a 1110a a >{}n a n Sn 0<A. 11B. 10C. 19D. 20【答案】C 【解析】∵为等差数列，，∴，又∵，∴即，由{}n a 10110,0a a 0d >1110a a >1110a a >-10110a a +>，，故可得使的前项和成()120201*********a a S a a +=´=+>1191910191902a aS a +=´=<{}n a n 0n S <立的中最大的自然数为19，故选C.10.在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ）ABC D,,A B C ,,a b c 111,,tan tantan A B CA. 依次成等差数列,,a b c C. 依次成等差数列 D. 依次成等差数列222,,a b c 333,,a b c 【答案】C 【解析】依次成等差数列，111,,tan tan tan A B C， ()sin +112cos sin sin cos 12cos ,==tan tan tan sin sin sin sin sin sin A B A B A B BA CB AC A C A B+\+==2sin cos sin A B B =正弦定理得，由余弦定理得 ，，即依22cos 2cos a B b ab B b ==，2222a c b b +-=2222a c b +=222,,a b c 次成等差数列，故选C.【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．11.数列满足，且对任意的都有，则等于（ ）{}n a 11a =*,m n N Îm n m n a a a mn +=++122017111a a a +++A.B. C. D. 20162017201720184034201840242017【答案】C 【解析】对任意的都成立，，即n m m n a a a mn +=++ ,m n N *Î111n n n a a a n a n +\=++=++，，把上面个式子相加可得，121321,2,3,...n n a a n a a a a +-=+\-=-=1n n a a n --=1n -，，从而有，1234...n a a n -=++++()1123 (2)n n n a n +\=++++=()1211211n a n n n n æöç÷==-ç÷++èø，故选C.12320171111...a a a a \++++11111403421 (223)201720182018æöç÷=-+-++-=ç÷èø【方法点晴】本题主要考查递推公式求通项、累加法的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；()1111n n k k n n k æöç÷=-ç÷++èø1k=（3）；（4）；此外，()()1111212122121n n n n æöç÷=-ç÷-+-+èø()()11122n n n =++()()()11112n n n n éùêú-êú+++ëû需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.12.如图，在中,，，等边三个顶点分别在的三边上运AOB D90AOB Ð=°1,OA OB =EFG D AOB D 动，则面积的最小值为（ ）EFG D【答案】D 【解析】设的边长为t,,则，EFG D00[0,60]OEF q Ð=Î,60AGEEAO q Ð=Ð=，cos ,,sin 60sin t AE OE tAE q q ==cos 1OE AE t q +==，，即求22EFG S D2sinj j =的最大值，，)q j +003045j <<00[0,60]q Î的最大值为1，所以。

成都实验外国语学校2017年高中自主招生数学真卷一、选择题1、下列计算正确的是（）A.46222-=-yy B.532=+ C.326xxx•= D.yxyxyx+=--222、在数轴上已知点A表示3-，把点A向右平移2个单位到达点B，设点B表示的数为n，则()211++-nn的值是（）A.n3B.1+n C.2 D.33、如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是正方形，边长分别为a、b，丙是长方形，长为a，宽为b(其中ba>).如果要用它们拼成若干个边长为()ba3+的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是（）A.1:4:4B.1:3:2C.1:2:2D.无法确定4、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，km2=AB，从A测得船C在北偏东︒45的方向，从B测得船C在北偏东︒5.22的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.km4 B.()22+km C.km22 D.()24-km5、端午节到了，妈妈去超市买了1个豆沙粽，2个鲜花粽，3个腊肉粽，粽子从外观看都一第4题图样，小明从中拿走2个粽子，其中一个是鲜花粽，一个是腊肉粽的概率是 （ ）A.31B.65C.52D.158 6、由多个相同的小正方体堆成的一个物体，它的主视图、侧视图、俯视图都是同一个图（如图所示），那么堆成该物体至少需要的小正方体个数为 （ ） A.12 B.15 C.19 D.27第8题图7、如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中折扇无重叠），则梅花图案中五角星的五个锐角的度数均是 （ ） A.︒46 B.︒48 C.︒52 D.︒578、在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示.点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且6=OA ，4=OC ，D 为OC 的中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，3=EF .当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标是 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21B.()0,1C.⎪⎭⎫⎝⎛023，D.()0,2 9、如图所示，在正方形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使得︒=∠15BAE ，连接AE 、CE ，延长CE 到F ，连接BF ，使得BF BC =.若1=AB ，有下列结论：①CE AE =；②点F 到BC 的距离为22；③EF EC BE =+；④8241+=∆AED S .则其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10、如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，OP 交⊙O 于点C ，连接BO并延长交⊙O 于点D ，交PA 的延长线于点E ，连接AD 、BC .下列结论：①PO AD //；②PCB ADE ∆∆~；③EAEDEAD =∠tan ；④OP AD BD •=22.其中一定正确的是（ ） A.①③④ B.②④ C.①②③ D.①②③④第10题图二、填空题11、分解因式：=+-363a a . 12、a 是不为1的数，我们把a -11称为a 的差倒数，如：2的差倒数为1-2-11=；-1的差倒数是()211--11=；已知211-=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是4a 的差倒数……依次类推，则=2015a .13、已知012=-+a a ，则=+-44a a .14、在矩形ABCD 中，15=AD ，点E 在边DC 上，连接AE ，ADE ∆沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作AD FG ⊥，垂足为点G ，如图，如果GD AD 3=，那么=DE . 15、（1）若40<<x ，化简()5122--+x x 的结果是 .（2）观察分析，寻找规律：0，3，6，3，32，15…那么第10个数应该是 . 16、对于任意实数m 、n ，定义一种新运算m ※3+--=n m mn n ，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※10353535=+--⨯=.请根据上述定义解决问题： 若2<a ※7<x ，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 .17、如图，在AOB Rt ∆中，23==OB OA ,⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 .18、（1）方程052=-+m x x 的一个根是2，则=m .另一个根 是 .（2）设a 、b 是方程020102=-+x x 的两个实数根，则b a a ++22的值 为 .19、如图，点A 为直线x y -=上一点，过A 作OA 的垂线交双曲线xky =（0<x ）于点B ，若1222=-AB OA ,则k 的值是 .20、已知a 、b 、m 均为正整数，若存在整数k 使得km b a =-，则称a 、b 关于m 同余，记作b a ≡（mod m ）.若a 、b 、c 、d 、m 均为正整数，则以下结论正确的是 .（填写出所有正确的序号） ①27≡（mod 5）；②若b a ≡（mod 2），c b ≡（mod 2），则c a ≡（mod 2）； ③若b a ≡（mod m ），d c ≡（mod m ），则bd ac ≡（mod m ）； ④若bd ac ≡（mod m ），则b a ≡（mod m ），d c ≡（mod m ）.三、解答题21、化简：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a b a 4422÷ab a a b 24222+-22、谋生活小区鲜奶店每天以每瓶3元的价格从奶场购进优质鲜奶，然后以每瓶6元的价格出售，如果当天卖不完，剩余的只有倒掉，店主记录了30天的日需求量（单位：瓶），整理得下表：（1）求这30天内日需求量的众数.（2）假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，求这30天的日利润（单位：元）的平均数. （3）以30天记录的各需求量的频率作为各需求发生的概率.若鲜奶店每天购进28瓶，求在这记录的30天内日利润不低于81元的概率.23、如图，ABC ∆和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，︒=∠=∠90EDF BAC ，DEF ∆的顶点E 与ABC ∆的斜边BC 的中点重合.将DEF ∆绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q .（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AQ AP =时，求证：CQE BPE ∆≅∆.（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上是，求证：CQE BPE ∆∆~；并求当a BP =，a CQ 29=时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）.24、已知一次函数()2--=k x y 的图象与反比例函数xky 2=的图象在第一、三象限交于A 、C 两点，并且过点（1-a ，k ），2=∆AOC S ,其中a 、k 为常数，求a 的值.25、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上的两点，且CG AC =,过点C 的直线BGCD ⊥于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F . （1）求证：CD 是⊙O 的切线. （2）连接AD ，若32=FD OF ，3=CD ,求AD 的长.26、如图，已知二次函数的图象M 经过A （1-，0），B （4，0），C （2，6-）三点. （1）求该二次函数的解析式.（2）点G 是线段AC 上的动点（点G 与线段AC 的端点不重合），若ABG ∆与ABC ∆相似，求点G 的坐标.（3）设图象M 的对称轴为l ，点D （m ，n ）（21<<-m ）是图象M 上一动点，当ACD∆的面积为827时，点D 关于l 的对称点为E ，能否在图象M 和l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形? 若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由.答案： 一、选择题 1、D 2、C 3、A 4、B 5、C 6、B 7、B 8、B 9、B 10、A二、填空题 11、2)1(3-a 12、32 13、7 14、5315、（1）43-x （2）33 16、54<≤a 17、2218、（1）14，-7 （2）200919、-620、①②三、解答题。

2017年成都某七中嘉祥外国语学校招生数学真卷（六）（满分：120分时间：60分钟）一、算一算（写出简算过程，每题5分；共20分）(1) 31175%-2.7541-1832-6.5⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++111933139911115933539951 (3) ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++413121514131211-514131214131211 (4) 002.03143.06503.02=--+x x 二、选一选（每题3分，共18分）1．一筐苹果，2个2个拿、3个3个拿、4个4个拿、5个5个拿，都正好拿完没有剩余，这筐苹果最少应该有( )。

A.120个 B ．90个 C ．’60个 D ．30个2．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是( )。

A ．26B ．24C ．20D ．193．如图，等腰梯形ABCD 被对角线分4个小三角形，已知△AOB 、△BOC 的面积分别是25cm 2、35cm 2，那么梯形的面积是( ) cm 2A ．144B ．140 C.160 D ．无法确定4．甲、乙两人同时从A 地到B 地，如果乙的速度移保持不变，而甲先用v 2的速度到 达中点，再用v 21的速度到达B 地，则下列结论中正确的是( )。

A ．乙先到B 地 B ．甲先到B 地C ．甲、乙两人同时到达B 地D ．无法确定谁先到5．右图的小方格是边长为1的正方形，则从图中一共可以数出( )个正方形。

A ．24B ．50C ．210D ．906．小林拟将l ，2，…n ，这凡个数输入电脑求平均数。

2017 年四川省成都外国语学校自主招生数学试卷、选择题（每小题 3 分，共30分）1．（3 分）下列运算正确的是（）B．D．2．（3 分）若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是（）A．m>3 B．m≥3 C．m≤3 D．m<33．（3 分）下列说法中，正确的是（）A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大 5 倍，则cosA也扩大5倍B．若45°<α< 90°，则sin α> 1 C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°）D．若α为锐角，tan α＝，则sin α＝4．（3 分）如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2），（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）个．A．25 B．66 C．91 D．1205．（3 分）下列事件是必然事件的是（）A．方程x2+ax+1＝0 有实数根，则a≥2 B．＝﹣3 有实数根C．当 a 是一切实数时，D．已知，那么6．（3 分）若直线 l ：y ＝kx+b 经过不同的三点 A （m ，n ），B （n ，m ）， C （m ﹣n ，n ﹣m ），则该 直线经过（ ）象限．A ．二、四B ．一、三C ．二、三、四D ．一、三、四7．（3 分）如图，一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米， 如果梯子的顶端下滑 1 米，那么梯子的底端的滑动距离（ ） A ．等于 1米 B ．大于 1米 C ．小于 1米 D ．不能确定8．（3分）把 10 个相同的球放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小 于它的编号，则不同的方法有（ ）种．A ．10B ．15C ．20D ．25 9．（3 分）给出下列四个命题：（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形； （2）若点 A 在直线 y ＝2x ﹣3 上，且点 A 到两坐标轴的距离相等，则点 A 在第一或第四象 限；（3）半径为 5的圆中，弦 AB ＝8，则圆周上到直线 AB 的距离为 2 的点共有四个；（4）若 A （ a ， m ）、B （a ﹣1，n ）（a >0）在反比例函 y ＝ 的图象上，则 m <n ． 其中，正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4个10．（3 分）两个不相等的正数满足 a+b ＝2，ab ＝t ﹣1，设 S ＝（a ﹣b ）2，则 S关于 t 的函数 图象是（ ）D ．抛物线的一部分 二、填空题（每小题 3 分，共 30分）11．（3 分）若关于 x 的分式方程 在实数范围内无解，则实数 a ＝A ．射线（不含端点）B ．线段（不含端点）C ．直线12．（3 分）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为cm2．13．（3分）已知实数x、y 满足x2﹣2x+4y＝5，则x+2y的最大值为．14．（3分）二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b 的图象如图所示，那么化简的结果是15．（ 3 分）请你将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中间再对折，这样连续对折 5 次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成段．16．（3分）等腰△ ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点 C 以0.25 cm/ 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．17．（3 分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，以斜边BC上距离 B 点3cm的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．18．（3 分）直角坐标系中，点A（0，0），B（2，0），C（0，2 ），若有一三角形与△ ABC全等，且有一条边与BC重合，那么这个三角形的另一个顶点坐标是．19．（3分）如图所示，设M是△ ABC的重心，过M的直线分别交AB、AC于点P、Q两点．则20．（3分）某同学为画二次函数y＝ax2+bx+c 的图象，先列出一个表格，当x值等间隔增加时，函数值依次为﹣2，2，15，34，62，98，142，194，后来发现有一个值写错了，则这个数是．三、解答题（本大题32分，24、25题10分，26题12分）21．（10分）（1）计算：（π﹣）0+（）﹣2+ ﹣9sin30 °；（2）先化简，再求值：? ÷，其中 a 满足a2﹣a＝0．22．（10分）（1）已知关于x 的不等式ax+1>0（其中a≠0）①当a＝﹣2 时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；②小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明的卡片，上面分别写有整数﹣10、﹣9、﹣8、﹣7、﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1，将这10 张卡片写有整数的一面向下放在桌面上，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率；（2）若关于x 的不等式ax+b>0（其中a≠0） a 的与（1）②相同，且使该不等式有正整数解的概率为，求 b 的取值范围．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，线段OA＝6，OB＝12，C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD＝2CD．（1）C 点坐标为；（2）求直线AD的解析式；（3）直线OC绕点O逆时针旋转90°，求出点 D 的对应点D′的坐标．1）求证：AF ＝ BE ； 2）请你猜测∠ BPF 的度数，并证明你的结论．25．（ 10分）某公司开发的 960 件新产品，需加工后才能投放市场，现有甲，乙两个工厂都想 加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天，而乙工厂每天比甲工厂多加工 8 件产品．在加工过程中，公司需每天支付 50 元劳务费 请工程师到厂进行技术指导．（1）甲，乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800 元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求有望加工 这批产品．26．（12 分）如图 1、2是两个相似比为 1： 的等腰直角三角形， 将两个三角形如图 3 放置， 小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合． （1）在图 3 中，绕点 D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与 AC 、BC 交于点 E ，F ，如图 4．求证： AE 2+BF 2＝EF 2； （2）若在图 3中，绕点 C 旋转小直角三角形， 使它的斜边和 CD 延长线分别与 AB 交于点 E 、 F ，如图 5，此时结论 AE 2+BF 2＝EF 2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明 理由．，AD ∥BC ，且 AD ＝DC ，E 、F 分别在 AD 、DC 的延长线上，且 DE ＝CF ，AF 、BE 于点 ．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F 分别是边BC、CD上的点，满足△ CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF 分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．四、解答题（本题14 分）27．（14 分）如图：两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦AC与小圆相切于点D，连接OD并延长交大圆于点E，连接BE交AC于点F．（1）已知，且大、小两圆半径差2，求大圆的半径．（2）试判断EC与过B、F、C三点的圆的位置关系，并证明．（3）在（1）的条件下，延长EC、AB交于G，求sin ∠G．五、解答题（本题14 分）28．（14分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x 轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠ AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点 D 作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF ＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△ PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案、选择题1、C．2、C．3、D．4、C．5、D．6、A．7、B．8、B．9、 B．10 、 B．、填空题11、1．12、14．13、．14、﹣ 1．15、33．216、7秒或 25 秒．17、1.44cm ．18、（ 2， 2 ）或（ 3，）或（﹣ 1，）19、1．20、15．三、解答题21．【解答】解：（ 1）原式＝ 1+9+3﹣9×＝；＝；（2）原式＝? ?（a+1）（a﹣ 1）＝a2﹣a﹣2，2当 a2﹣ a＝ 0 时，原式＝ 0﹣2＝﹣ 2．22．【解答】解：（1）① 当 a＝﹣ 2时，∴﹣ 2x+1> 0，∴﹣ 2x>﹣ 1，∴x<0.5② 由 ax+1> 0 可得： x<﹣，要使 ax+1>0 无正整数解，则﹣<1，所以 a的值为：﹣ 10、﹣9、﹣8、﹣7、﹣6、﹣5、﹣4、﹣ 3，﹣ 2，﹣ 1，取 a＝﹣1，不等式 ax+1>0 的解为 x<1，不等式没有正整数解．取 a＝﹣ 2，不等式 ax+1>0 的解为 x< ，不等式没有正整数解．取 a＝﹣ 3，不等式 ax+1 > 0 的解为x<取 a＝﹣ 4，不等式 ax+1> 0的解为 x< ，不等式没有正整数解．∴整数 a取﹣ 1至﹣ 10中任意一个整数时，不等式没有正整数解．P（不等式没有正整数解）＝ 1．（2）∵若关于 x的不等式 ax+b>0（其中 a≠0）a 的与（ 1）②相同，∴ax>﹣ b，∴当 b＝6 时，∵取 a＝﹣ 1，不等式 ax+b>0 的解为 x<b，∴x<6，不等式有正整数解．∴整数 a取﹣ 1至﹣ 10中任意一个整数时，要使该不等式有正整数解的概率为∴当 5<b≤6 时，不等式有正整数解的概率为．23．【解答】解：（ 1）（3，6）；∵DF ∥CE，得 OF ＝2，DF＝4，不等多没有正整数解．取a＝﹣2，不等式取 a ＝﹣ 3 ，不等式取 a＝﹣4，不等式取a＝﹣ 5，不等式取ax+b> 0 的解为ax+b> 0 的解为x<x<x<∴ x< 3，不等式有正整数解．∴ x< 2，不等式有正整数解．∴ x< 1.5，不等式有正整数解．∴ x< 1.2，不等式有正整2）作 CE⊥x 轴于点 E，DF⊥x 轴于点 F，则 OE OA＝3，CE＝ OB＝6，ax+b> 0 的解ax+b> 0 的解∴点 D 的坐标为（ 2， 4），设直线 AD 的解析式为 y＝ kx+b．把 A（6，0），D （2，4）代入得，解得，∴直线 AD 的解析式为 y＝﹣ x+6．（3）作 D′M⊥x 轴于点 M，由旋转可知：∠ DOD'＝ 90°， OD ＝ OD '，∴∠ MOD ′+∠DOF ＝90°，∵∠ ODF ＝90°，∴∠ ODF +∠DOF ＝90°，∴∠ ODF＝∠ MOD'，∴△ MOD ′≌△ DOF ，（ 7 分）∴D′M＝OF＝2，OD′＝ DF＝4，又∵点 D ′在第二象限，24．【解答】（ 1）证明：∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AB＝ DC，又∵ AD ＝DC，∴BA＝AD（等量代换），又∵∠ BAE＝∠ ADF （等腰梯形的性质），∵AD＝DC，DE＝CF，∴AD+DE＝DC+CF，∴AE＝DF（等量代换），在△ BAE 和△ ADF 中，，∴△ BAE≌△ ADF （SAS），∴BE＝ AF（对应边相等）；（2）解：猜想∠BPF ＝120°．∵由（ 1）知△ BAE≌△ ADF （已证），∴∠ ABE＝∠ DAF （对应角相等）．∴∠ BPF＝∠ ABE+∠BAP＝∠ BAP+∠EAF＝∠BAE（等量代换）．∵AD∥BC，∠DCB ＝∠ ABC＝ 60°（已知），∴∠ BPF＝∠ BAE＝ 180°﹣ 60°＝ 120°（等量代换）．25．【解答】解：（1）设甲工厂每天加工 x 件，则乙工厂每天加工（ x+8）件，由题意得：﹣20＝，解之得： x1＝﹣ 24， x2＝ 16．经检验， x1， x2均为所列方程的根，但 x1＝﹣ 24（不合题意，舍去），此时 x+8＝24．答：甲工厂每天加工 16 件，乙工厂每天加工 24 件．（2）由（ 1）可知加工 960件产品，甲工厂要 60 天，乙工厂要 40天．所以甲工厂的加工总费用为 60×（ 800+50）＝ 51000（元），设乙工厂报价为每天 m 元，则乙工厂的加工总费用为40（ m+50）元，由题意得： 40（m+50）≤ 51000，解之得 m≤1225 ，答：乙工厂所报加工费每天最多为 1225 元时，可满足公司要求，有望加工这批产品． 26．【解答】证明：（1）连 CD ，如图 4，∵两个等腰直角三角形的相似比为1：，而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，∴点 D 为 AB 的中点，∴CD＝AD，∠ 4＝∠ A＝ 45°，又∵∠ 1+∠2＝∠ 2+∠3＝90°，∴∠ 3＝∠ 1 ，∴△ CDF ≌△ ADE，∴CF＝ AE，同理可得△ CED≌△ BFD，∴CE＝ BF，2 2 2而 CE +CF ＝ EF ，2 2 2∴ AE +BF ＝ EF ；（2）结论 AE2+BF2＝EF2仍然成立．理由如下：把△CFB 绕点 C顺时针旋转 90°，得到△ CGA，如图 5 ∴CF＝CG，AG＝BF，∠ 4＝∠ 1，∠ B＝∠ GAC＝45°，∴∠ GAE＝ 90°，而∠ 3＝ 45°，∴∠ 2+∠ 4＝ 90°﹣ 45°＝ 45°，∴∠ 1+∠ 2＝ 45°，∴△ CGE≌△ CFE，∴GE＝EF，2 2 2在 Rt△AGE 中， AE2+AG2＝ GE2，（3）线段 BM、MN 、DN 能构成直角三角形的三边长．理由如下：把△ADF 绕点 A顺时针旋转 90°得到△ ABP，点 N 的对应点为 Q，如图∴∠ 4＝∠ 2，∠ 1+∠ 3+ ∠ 4＝ 90 °， BP ＝DF ，BQ＝DN，AF＝AP，∵△CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，∴EF＝ BE+ DF ，∴EF＝EP，∴△ AEF≌△ AEP，∴∠ 1＝∠ 3+∠ 4，而 AQ＝ AN，2 2 2∴ AE +BF ＝ EF ；∴△ AMQ ≌△ AMN，∴MN＝QM，而∠ ADN＝∠ QBA＝45°，∠ ABD ＝45 ∴∠ QBN＝ 90°，2 2 2∴BQ3+BM2＝QM 2，（2）EC 是过 B、F、C 三点的切线．证明：连接 BC，设过 B、F、C 三点的圆的圆心为 O′，则⊙ O′的直径为 BF，连接 O′C，则 O′ C＝ O′F ，∠O′FC＝ O′ CF，∵AE＝ CE，∴∠ ECF＝∠ CBF ，而∠ O′ FC+∠ CBF＝ 90°，∠O′CF+∠ECF＝90°，即∠ ECO′＝ 90°，故 EC 是⊙O′的切线．（3）过 C作CM∥AB交 DE于N，过 N作HN⊥EC，∵BC∥ DO，∴四边形 ONCB 为平行四边形，∴ON＝BC＝2，∴NE＝ 1，又Rt△ EHN 中，可求得 NH ＝，∵NC＝OB＝3，在 Rt △ NCH 中， sin∠G＝sin∠HCN＝3 2 2∴BM2+DN2＝MN2．四、解答题27．【解答】解：（1）∵∠ ABE＝∠ACE，，∴ tan∠ ACE ＝而 OD ⊥AC ，∵大、小两圆半径差为 2，∴DE＝2，故 AD＝DC＝2 ，在 Rt△AOD 中，可求得 DO ＝1，半径 AO ＝3；五、解答题28．【解答】解：（ 1）由已知，得 C（3，0），D（2，2），∵∠ ADE＝ 90°﹣∠ CDB＝∠ BCD，∴AD＝BC．AD＝2．∴E（0，1）．设过点 E、D、C 的抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c（a≠0）．将点 E 的坐标代入，得 c＝ 1．将 c＝ 1 和点 D、 C 的坐标分别代入，2故抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+ x+1；（ 2）EF ＝ 2GO 成立．∵点 M 在该抛物线上，且它的横坐标为，∴点 M 的纵坐标为．设 DM 的解析式为 y＝kx+b1（k≠ 0），将点 D、M 的坐标分别代入，解这个方程组，得1， 解得∴ DM 的解析式为 y ＝﹣ x+3 ．∴F （0， 3），EF ＝2．过点 D 作 DK ⊥OC 于点 K ，则 DA ＝DK ．∵∠ ADK ＝∠ FDG ＝90°，∴∠ FDA ＝∠ GDK ．又∵∠ FAD ＝∠ GKD ＝90°，∴△ DAF ≌△ DKG ．∴KG ＝AF ＝1．∵OC ＝3，∴ GO ＝ 1．∴EF ＝ 2GO ；（3）∵点 P 在 AB 上， G （1，0），C （3，0）， 则设 P （t ， 2）．2 2 2 2 2 2 ∴PG 3＝（ t ﹣1）2+22，PC 2＝（3﹣t ）2+22，GC ＝2．3 2 2 2① PG ＝PC ，则（ t ﹣1）2+22＝（ 3﹣t ） 2+22， 解得 t ＝ 2．∴P （2，2），此时点 Q 与点 P 重合， ∴Q （2，2）．2 2 2 ②若 PG ＝GC ，则（t ﹣1）2+22＝22，解得 t ＝ 1，∴P （1，2），此时 GP ⊥x 轴． GP 与该抛物线在第一象限内的交点∴点 Q 的纵坐标为 ，∴Q2 2 2 ③若PC ＝GC ，则（ 3﹣t ）2+22＝22，解得 t ＝3，Q 的横坐标为 1 ，∴P （3，2），此时 PC ＝GC ＝2，△ PCG 是等腰直角三角形． 过点 Q 作 QH ⊥x 轴于点 H ，则 QH ＝ GH ，设 QH ＝h ， ∴Q （h+1，h ）．Q ，即 Q （2，2）或 Q （1， ）或 Q （ ， ）．∴Q(h+1)2+ h+1）+1＝h ．解得 h 1h 2＝﹣ 2（舍去）综上所述，存在三个满足条件的点。

○412017年成都某七中嘉祥外国语学校 能力分班考试数学真卷（一）（满分：120分 时间：90分钟）一、填空（每题2分，共40分）1.杭州湾跨海大桥的跨海长度位居世界第一，该大桥总投资11806000000元，这个数读作( )，改写成以亿作单位的数是( )元。

2.9cm=（ ）m ；46dm 2=（ ）m 2；1300cm 3=（ ）dm 3=( )L 。

3.把4米长的铁丝平均截成5段，每段是这根铁丝的（ ），每段长（ ）米。

4.小花有a 元，买3支圆珠笔，每支b 元，还剩（ ）元。

如果a=10,b=27，则还剩（ ）元。

5. 5.在一次考试中，其中十名同学的成绩分别是90分、85分、95分、88分、90分、90分、85分、92分、90分、80分。

这组数据的平均数是( )，众数是( )。

6.把右图中的直角三角形以8厘米的边为轴旋转一周，会得到一个( )，与它等底等高的圆柱体体积是( )立方厘米。

7.找规律，填一填。

4,9,16,25.( ),49,64,( )。

8.无线电厂三月份生产电视机782台，四月份生产786台，五月份生产824台，该厂平均 日产电视机( )台。

9.一个最简分数，若给分子加上l ，约分后得23，若分母加上1，约分后是12，这个最简分数是（ ）。

10.有一种饮料瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是20升，瓶中装了一饮料，正放时饮料的高度为20cm ，倒放时的空余部分的高度为5 cm ，瓶中现有饮料（ ）升。

11.李明买了4000元国库券，定期三年，年利率为2.89%，到期后，他把利息捐给“希望工程”支援贫困儿童。

李明可以捐( )元给“希望工程”。

12.一只挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从上午8时到下午2时，分针尖端“走了”( )厘米，时针“扫过”的面积是( )平方厘米。

13.商店同时卖出两台洗衣机，每台2400元，其中一台比进价高20%，另一台比进价低20%，总的来看商店卖出这两台洗衣机是赚钱还是赔钱？( )14.一项1程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要9小时完成。

2016-2017学年四川省成都市嘉祥外国语学校高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin15°sin75°=（）A．B．C．D．2．下列命题中正确的是（）A．a＞b，c＞d⇒a﹣c＞b﹣d B．C．ac＜bc⇒a＜b D．ac2＞bc2⇒a＞b3．已知正数a，b满足a2+b2=1，则ab的最大值为（）A．1 B．C．D．4．在等差数列{a n}中，若a1，a3，a4成等比数列，则该等比数列的公比为（）A．B．1 C．1或D．无法确定5．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（）A．15° B．75° C．105°D．75°或15°6．已知tan（+α）=2，则sin2α=（）A．﹣ B．C．﹣ D．7．已知正项等差数列{a n}和正项等比数列{b n}满足，a5=b5，则下列关系正确的是（）A．a1+a9≥b1+b9B．a1+a9≤b1+b9C．a1+a9＞b1+b9D．a1+a9＜b1+b98．若实数x，y，m，n满足x2+y2=a，m2+n2=b，则mx+ny的最大值为（）A． B． C．D．9．在△ABC中，若sinA+sinB=，cosA﹣cosB=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定10．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，S8=4π，函数f（x）=cosx（2sinx+1），则f（a1）+f（a2）+…+f（a8）的值为（）A．0 B．4πC．8πD．与a1有关11．若不等式m≤当x∈（0，l）时恒成立，则实数m的最大值为（）A．9 B．C．5 D．12．如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．在锐角△ABC中，，则角B= ．14．函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是．15．已知角α，β，γ，构成公差为的等差数列．若cosβ=﹣，则cosα+cosγ= ．16．在数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1（n≥2，n∈N*），则数列{}的前n项和T n= ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等比数列，求角B的最大值；（Ⅱ）若a2，b2，c2成等差数列，求角B的最大值．18．已知数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，总是成等差数列．（1）证明数列{a n}为等比数列；（2）求满足不等式的正整数n的最小值．19．已知，其中α，β∈（0，π）．（1）求cosβ的值；（2）求α﹣β的值．20．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asin（B+）=c（I）求角A的大小．，（II）若△ABC为锐角三角形，求sinBsinC的取值范围．21．△ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，D为线段BC上一点，满足b+c=bC，a2﹣b2=bc，△ACD与△ABD面积之比为1：2．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．22．已知数列{a n+1﹣2a n}（n∈N*）是公比为2的等比数列，其中a1=1，a2=4．（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（III）记数列，证明：．2016-2017学年四川省成都市嘉祥外国语学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin15°sin75°=（）A．B．C．D．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵，故选：A．2．下列命题中正确的是（）A．a＞b，c＞d⇒a﹣c＞b﹣d B．C．ac＜bc⇒a＜b D．ac2＞bc2⇒a＞b【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】通过举反例可以说明A不正确．当 c＜0 时，可以说明B的推理是错误的，当 c＜0 时，可以说明C中的推理不正确；对于D，由条件知c2＞0，故两边同时除以c2时，不等号不变．【解答】解：由4个数构成的不等式，较大的两个数的差不一定大于较小的两个数的差，如 3＞2，2＞0，但 3﹣2＞2﹣0 并不成立，故A不正确．由a＞b，不能推出＞．因为 c＜0 时，＜0，故能由a＞b推出＜，故B 不正确．对于不等式 ac＜bc，当c＞0时，两边同时除以c，能推出a＜b，但当c＜0 时，两边同时除以c，可推出a＞b，故C不正确．由 ac2＞bc2可得 c2＞0，两边同时除以c2可以得到a＞b，故D正确．综上，应选 D．3．已知正数a，b满足a2+b2=1，则ab的最大值为（）A．1 B．C．D．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足a2+b2=1，则ab≤=，当且仅当a=b=时取等号．故选：C．4．在等差数列{a n}中，若a1，a3，a4成等比数列，则该等比数列的公比为（）A．B．1 C．1或D．无法确定【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}公差为d，由条件可得（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得 d=0 或a1=﹣4d，在这两种情况下，分别求出公比的值．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，即（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得 d=0 或a1=﹣4d．若 d=0，则等比数列的公比q=1．若a1=﹣4d，则等比数列的公比q===．故选：C．5．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（）A．15° B．75° C．105°D．75°或15°【考点】HP：正弦定理．【分析】由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，sinB，以及b的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=45°，c=2，b=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即=a2+8﹣4a，解得：a=2+或a=2﹣，由正弦定理=得：sinA==或，∵sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=，∴∠A=75°或15°．故选D6．已知tan（+α）=2，则sin2α=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】由已知及两角和与差的正切函数公式，二倍角公式，同角三角函数关系式即可求值．【解答】解：∵tan（+α）==2，解得：tanα=，∴sin2α===．故选：D．7．已知正项等差数列{a n}和正项等比数列{b n}满足，a5=b5，则下列关系正确的是（）A．a1+a9≥b1+b9B．a1+a9≤b1+b9C．a1+a9＞b1+b9D．a1+a9＜b1+b9【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】根据等差中项和等比中项以及基本不等式即可判断【解答】解：∵数列{a n}是等差数列∴a5=（a1+a9），∵数列{b n}是等比数列∴b5=，∴b1+b9≥2=2b5=2a5=a1+a9，故选：D．8．若实数x，y，m，n满足x2+y2=a，m2+n2=b，则mx+ny的最大值为（）A． B． C．D．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用三角换元，将其代入mx+ny中，由三角函数公式分析可得答案．【解答】解：由x2+y2=a，a≥0．∴令sinα=x， cosα=y，（0≤α＜2π）满足题意．由m2+n2=b，b≥0．∴令sinβ=m， cosβ=n，（0≤β＜2π）满足题意．则mx+ny=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α﹣β）．∵cos（α﹣β）的最大值为1．∴mx+ny的最大值为故选：B．9．在△ABC中，若sinA+sinB=，cosA﹣cosB=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】把这两个式子平方相加可得 cos（A+B）=﹣，故A+B=．再把两个式子利用和差化积公式化简可得tan=，A﹣B=，由此求得A、B 的大小，从而判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，若sinA+sinB=，cosA﹣cosB=，把这两个式子平方相加可得 2﹣2cos（A+B）=3，cos（A+B）=﹣，故A+B=．再由 2sin cos=，﹣2sin sin=，可得 tan =，=，A ﹣B=．故A=，B=，故△ABC 为直角三角形，故选B ．10．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 8=4π，函数f （x ）=cosx （2sinx+1），则f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 8）的值为（ ） A ．0B ．4πC ．8πD ．与a 1有关【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】S 8=4π，可得a 1+a 8=π．于是f （a 1）+f （a 8）=cosa 1（2sina 1+1）+cos （π﹣a 1）（2sin （π﹣a 1）+1）=0，即可得出．【解答】解：∵S 8=4π，∴=4π，化为a 1+a 8=π．f （a 1）+f （a 8）=cosa 1（2sina 1+1）+cos （π﹣a 1）（2sin （π﹣a 1）+1）=cosa 1（2sina 1+1）﹣cosa 1（2sina 1+1）=0，∴f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 8）==0． 故选：A ．11．若不等式m ≤当x ∈（0，l ）时恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．9B ．C ．5D ．【考点】3H ：函数的最值及其几何意义．【分析】设f （x ）=，根据形式将其化为f （x ）=+．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x=时的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f （）=，再由题中不等式恒成立可知m≤（）min由此可得实数m的最大值．【解答】解：设f（x）==（0＜x＜1）而=（）=+∵x∈（0，l），得x＞0且1﹣x＞0∴≥2=2，当且仅当，即x=时的最小值为2∴f（x）=的最小值为f（）=而不等式m≤当x∈（0，l）时恒成立，即m≤（）min因此，可得实数m的最大值为故选：B12．如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（）A．B．C．D．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】根据题意作高AE，BG，CF（如图）．根据等边三角形及直角三角形的性质，设AD=x，则AC=3x，求出DG，BG根据三角形相似根据其相似比可求出DF，DE的长，再根据勾股定理即可解答．【解答】解：作高AE，BG，CF（如图），设AD=x，则AC=3x，于是DG=x﹣x=，BG=•3x=x，∵∠BDG=∠CDF，∠BGD=∠CFD=90°，∴Rt△BDG∽Rt△CDF，∴，即，∴DF=，∴DE=，∵AD2=AE2+DE2=1+=，∴AD=，∴AC=3x=3×=．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．在锐角△ABC中，，则角B= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】先利用正弦定理可求得sinB的值，进而求得B．【解答】解：∵，∴，∴由正弦定理，可得sinB=，∵B为锐角，∴B=．故答案为：．14．函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是．【考点】HW：三角函数的最值；HM：复合三角函数的单调性．【分析】f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）⇒f（x）=2cosx+2cos2x﹣1，利用配方法结合y=cosx 的值域即可求得函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域．【解答】解：∵f（x）=2cosx+cos2x=2cosx+2cos2x﹣1=2﹣，又﹣1≤cosx≤1，∴当cosx=1时，f（x）max=2×﹣=3，当cosx=﹣时，f（x）min=﹣；故函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是．故答案为：．15．已知角α，β，γ，构成公差为的等差数列．若cosβ=﹣，则cosα+cosγ=﹣．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由已知中角α，β，γ，构成公差为的等差数列，可得α=β﹣，γ=β+，根据和差角公式，代入可得cosα+cosγ的值．【解答】解：∵角α，β，γ，构成公差为的等差数列∴α=β﹣，γ=β+故cosα+cosγ=cos（β﹣）+cos（β+）=2cosβcos=cosβ=﹣故答案为：﹣16．在数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1（n≥2，n∈N*），则数列{}的前n项和T n= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由条件可得=•，令b n=，可得b n=•b n﹣1，由b n=b1••…•，求得b n，进而得到a n，可得==2（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：在数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1（n≥2，n∈N*），可得=•，令b n=，可得b n=•b n﹣1，由b n=b1••…•=1••…•=，可得a n=，即有==2（﹣），则前n项和T n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=．故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等比数列，求角B的最大值；（Ⅱ）若a2，b2，c2成等差数列，求角B的最大值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据题意得出，b2=ac，利用余弦定理，基本不等式求解即可，（Ⅱ）根据题意得出，b2=，利用余弦定理，基本不等式求解即可，【解答】解（Ⅰ）由已知得b2=ac，由余弦定理，当a=c时，cosB取得最小值，即角B取得最大值；（Ⅱ）由已知得，由余弦定理，当a=c时，cosB取得最小值，即角B取得最大值．18．已知数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，总是成等差数列．（1）证明数列{a n}为等比数列；（2）求满足不等式的正整数n的最小值．【考点】88：等比数列的通项公式；8K：数列与不等式的综合．【分析】（1）根据题意可得4a n=6S n﹣4﹣3S n﹣1，根据数列的递推公式可得数列的通项公式，即可证明，（2）分n为奇数和n为偶数两种情况，即可得出．【解答】解：（1）∵，整理得：4a n=6S n﹣4﹣3S n﹣1，（n≥2），4a n﹣1=6S n﹣1﹣4﹣3S n﹣2，（n≥3），相减得：4a n﹣4a n﹣1=6a n﹣3a n﹣1，（n≥3），即，（n≥3），又∵，得a2=﹣1，即，综上，数列{a n}是以为公比的等比数列（2），当n为奇数时，，当n为偶数时，，此时无解综上得正整数n的最小值为3．19．已知，其中α，β∈（0，π）．（1）求cosβ的值；（2）求α﹣β的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα，cos（α+β）的值，由β=（α+β）﹣α，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．（2）由已知及同角三角函数基本关系式可求＜β＜π，且sinβ，利用两角差的余弦函数公式可求cos（α﹣β）的值，根据范围﹣π＜α﹣β＜0，即可求得α﹣β的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由tanα=，且0＜α＜π得：0＜α＜，…且sinα=，cosα=．…又0＜β＜π，所以0＜α+β＜．…又由sin（α+β）=＜0得：π＜α+β＜，且cos（α+β）=．…故cosβ=cos=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=••=．…（2）由cosβ=＜0且0＜β＜π得，＜β＜π，且sinβ=．所以cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=•（）+•=．…又由0＜α＜，＜β＜π，得﹣π＜α﹣β＜0．…所以α﹣β=．…20．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asin（B+）=c（I）求角A的大小．，（II）若△ABC为锐角三角形，求sinBsinC的取值范围．【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，再利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式整理后求出tanA=1，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（II）由A的度数求出B+C的度数，表示出C代入sinBsinC中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，由B及C为锐角，求出B的具体范围，进而得到这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出所求式子的范围．【解答】解：（I）asin（B+）=a（sinB+cosB）=c，由正弦定理得：sinA（sinB+cosB）=sinC=sin（A+B），∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB=cosAsinB，∴sinA=cosA，即tanA=1，∵A为三角形的内角，∴A=；（II）sinBsinC=sinBsin（﹣B）=sinBcosB+sin2B=（sin2B﹣cos2B）+=sin（2B﹣）+，∵0＜B＜，0＜﹣B＜，∴＜B＜，即＜2B﹣＜，则sinBsinC的取值范围为（，]．21．△ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，D为线段BC上一点，满足b+c=bC，a2﹣b2=bc，△ACD与△ABD面积之比为1：2．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）由已知及正弦及余弦定理得：，整理得A=2B，由，可得AD为角A的平分线，且S△ACD：S△ABD=1：2，解得，利用正弦定理可求cosB的值，即可解得A的值．（2）由及可解得AD的值，由，即可利用三角形面积公式求值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由a2﹣b2=bc得，由正弦及余弦定理得：，…⇒2sinAcosB=sinB+sin （A+B），整理得sin（A﹣B）=sinB，即A=2B，…由得，即AD为角A的平分线，且S△ACD：S△ABD=1：2，所以，…所以，即．…（2）由及得：…所以，∴．…22．已知数列{a n+1﹣2a n}（n∈N*）是公比为2的等比数列，其中a1=1，a2=4．（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（III）记数列，证明：．【考点】8K：数列与不等式的综合；8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）通过等比数列的通项公式可知a n+1﹣2a n=2n，两端同除2n+1即得结论；（Ⅱ）利用错位相减法计算即得结论，（Ⅲ）利用放缩法即可证明．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知得，两端同除2n+1得：，所以数列是以首项为，公差为的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，，则2S n=1•21+2•22+…+n•2n，相减得：，所以，即．（Ⅲ）证明：数列c n=2n﹣2，n≥2，∴，∴又∵，（n≥3），当n=2时，，∴＜==1﹣（）n﹣1，所以原不等式得证．2017年6月22日。

成都七中嘉祥外国语学校2016－2017学年下期高二半期数学考试试题(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.复数211ii i-+- 等于（ ） A. i B. 0 C.-i D.1+i2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A ．有一个内角小于60° B ．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D ．每一个内角都大于60° 3.下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论 5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体SABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体SABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 46.已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是( )7.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199 8.设曲线11-+=x x y 在点()2,3处的切线与直线01=++y ax 垂直，则=a （ ） 2.A 2.-B 21.-C 21.D9．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋110. 一个正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）33.4A3.B3.4C3.12D11.设过曲线x f xe x （e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线2cos g xax x 上一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2 B ．1,2 C ．2,1 D ．2,112.定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数)ln(1),()1x x x ϕ=+=-3(),(()1g x x h x x x ==-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>11 Oyx第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.复数4312ii++的虚部为 . 14.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .15如图，在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，则在切点A 处的切线方程 ．16.如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体P BCD 的体积的最大值是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|； (2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．1８. （本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．1９．(本题满分12分,每小题6分)(1)已知a ＞0，b ＞0，1b －1a ＞1.求证：1＋a ＞11－b.（２）用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)．20. （本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．（Ⅰ）证明：D H'⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．21. （本小题满分12分）设x =m 和x =n 是函数x a x x x f )1(21ln 2)(2+-+=的两个极值点，其中m <n ，a >0．（I ）若a =2时，求m ，n 的值； （II ）求()()f m f n +的取值范围；22. （本小题满分12分）已知函数1()1ln a f x x x =-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++．成都七中嘉祥外国语学校2016－2017学年下期高二半期数学考试试题(理科)解答一、BBDCC BCBCC AC二、13.-1；14. 465；15.2x －y －1＝0；16.12. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17． 解 (1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，|ω|＝(－1)2＋(－1)2＝ 2.(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i. 即(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i∴(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2. 1８. 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－2400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即2400(3x ＋5)2＝6.解得x ＝5，x ＝－253(舍去)， 当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5时，为f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 1９．(1)证明 要证1＋a ＞11－b成立，只需证1＋a ＞11－b ，只需证(1＋a )(1－b )＞1(1－b ＞0)，即1－b ＋a －ab ＞1， ∴a －b ＞ab ，只需证：a －b ab ＞1，即1b －1a＞1.由已知a ＞0，1b －1a ＞1成立， ∴1＋a ＞11－b 成立．（２）证明 ①当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k >1124， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， ∵12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， ∴1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②知对于任意正整数n ，不等式成立．20. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）29525. 【解析】（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=，所以D H ABCD '⊥平面.ABDD'E H OzxF（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =-. 设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是1475cos ,25||||5010m n m n m n ⋅-<>===⋅⨯， 295sin ,25m n <>=. 因此二面角B D A C '--的正弦值是29525. 21．解：(Ⅰ) ∵ xx a x a x x x f 2)1()1(2)(2++-=+-+='，………………………3分 ∴ 当a =2时，xx x x f 23)(2+-='．由已知有m ，n 是方程x 2-3x +2=0的两个根，∴ m =1，n =2．…………6分 (Ⅱ)由已知有m ，n 是方程x 2-(a +1)x +2=0的两个根， ∴ Δ=(a +1)2-8>0，m +n =a +1>0，mn =2>0． ………………8分 ∴ n a n n m a m m n f m f )1(21ln 2)1(21ln 2)()(22+-+++-+=+ ))(1()(21ln 222n m a n m mn ++-++=))(1(]2)[(212ln 22n m a mn n m ++--++=2ln 22)1(212+-+-=a ． ………………10分∵ (a +1)2>8，∴ ()()f m f n +62ln 2-<，即()()f m f n +的取值范围为(-∞，62ln 2-)． ……12分 22. 【答案】（Ⅰ）2ln 220x y -+-=；（Ⅱ）19≤-λ 或138≥λ；（Ⅲ）详见解析.【解析】：（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x =-+，211()f x x x'=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-，即2ln 220x y -+-= 3分 （Ⅱ）221()a a xf x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a 4分由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ 5分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==，由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==，由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在；③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-；由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ综上可知：19≤-λ 或138≥λ 8分（Ⅲ）当1a =时，21()xf x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x=-+在1x =处取得最大值(1)0f =即11()1ln (1)0f x f x x =-+≤=，∴11ln xx x -≤， 10分令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n+-<，∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++-1111121n n n <++++--． 故11111ln(1)12345n n+<++++++． 12分。

2016-2017学年四川省成都市嘉祥外国语学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数+等于（）A．0 B．i C．﹣i D．1+i2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°3．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤4．《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．6．已知函数y=（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．7．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．1998．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．9．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，下列说法正确的是（）A．增加了一项B．增加了两项和C．增加了B中两项，但又少了一项D．增加了A中一项，但又少了一项10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．11．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，2）C．[﹣2，1]D．（﹣2，1）12．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g （x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．复数的虚部是．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为．15．在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程．16．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知z=1+i，a，b为实数．（1）若ω=z2+3﹣4，求|ω|；（2）若，求a，b的值．18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．19．（1）已知a＞0，b＞0，﹣＞1．求证：＞．（2）用数学归纳法证明+++…+＞（n∈N*）．20．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．21．设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+x2﹣（a+1）x的两个极值点，其中m＜n，a＞0．（Ⅰ）若a=2时，求m，n的值；（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围．22．已知函数f（x）=1﹣（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（a）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a满足h（a）≥λ+，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*，求证：ln（n+1）＜1+．2016-2017学年四川省成都市嘉祥外国语学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数+等于（）A．0 B．i C．﹣i D．1+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的四则运算进行化简即可．【解答】解： +==，故选：A．2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】找到“三角形的内角中至少有一个不小于60°”的对立事件，由此能求出结果．【解答】解：∵“三角形的内角中至少有一个不小于60°”的对立事件是：“三角形中每一个内角都小于60°”，∴反证法证明三角形中至少有一个内角不小于60°，应假设三角形中每一个内角都小于60°．故选：B．3．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤【考点】F1：归纳推理；F5：演绎推理的意义．【分析】本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．【解答】解：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的故选D4．《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理是从一般到特殊的推理，题目中所给的这种推理符合演绎推理的形式．【解答】解：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题目中所给的这种推理符合演绎推理的形式，故选C．5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．【考点】F3：类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．6．已知函数y=（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，其中f′（x）为函数f（x）的导函数，则y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】先结合函数y=（x﹣1）f'（x）的图象得到当x＞1时，f'（x）＞0，根据函数的单调性与导数的关系可知单调性，从而得到y=f（x）在（1，+∞）上单调递增，从而得到正确选项．【解答】解：结合图象可知当x＞1时，（x﹣1）f'（x）＞0即f'（x）＞0∴y=f（x）在（1，+∞）上单调递增故选B．7．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199【考点】F1：归纳推理．【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．8．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．9．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，下列说法正确的是（）A．增加了一项B．增加了两项和C．增加了B中两项，但又少了一项D．增加了A中一项，但又少了一项【考点】RG：数学归纳法．【分析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解答】解：当n=k时，左端=++…+，那么当n=k+1时左端=+…+++故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了这一项，故选：C．10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积．【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．∵底面是正三角形且球半径为1．∴底面边长为，∴底面积为，∴V=××1=．故选C．11．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，2）C．[﹣2，1]D．（﹣2，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故选：A．12．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g （x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α【考点】63：导数的运算．【分析】分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．【解答】解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由题意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴﹣1＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．复数的虚部是﹣1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：∵==，∴复数的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为465．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52）=465．可求得200的所有正约数之和为465．故答案为：465．15．在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程，先求切点A 的坐标，设点A 的坐标为（a ，a 2），只须在切点处的切线方程，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线的方程进而求得面积的表达式．最后建立关于a 的方程解之即得．（2）结合（1）求出其斜率k 的值即可，即导数值即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：（1）如图示：，设点A 的坐标为（a ，a 2），过点A 的切线的斜率为k=y'|x=a =2a ，故过点A 的切线l 的方程为y ﹣a 2=2a （x ﹣a ），即y=2ax ﹣a 2，令y=0，得x=，则S=S △ABO ﹣S △ABC =﹣（••a 2﹣x 2dx ）=﹣==，∴a=1∴切点A 的坐标为（1，1），（2）由（1）得：A 的坐标为（1，1）， ∴k=2x=2，∴过切点A 的切线方程是y=2x ﹣1．16．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．【解答】解：如图，M是AC的中点．①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=﹣t，由△ADE∽△BDM，可得，∴h=，V==，t∈（0，）②当AD=t＞AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t﹣，由等面积，可得，∴，∴h=，∴V==，t∈（，2）综上所述，V=，t∈（0，2）令m=∈[1，2），则V=，∴m=1时，V max=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知z=1+i，a，b为实数．（1）若ω=z2+3﹣4，求|ω|；（2）若，求a，b的值．【考点】A3：复数相等的充要条件；A7：复数代数形式的混合运算．【分析】（1）把z代入表达式，直接展开化简，通过复数的模的计算解法即可．（2）把z代入表达式，利用多项式展开，化简左边的复数，然后通过复数相等，得到方程组求出a，b的值即可．【解答】解：（1）因为ω=z2+3﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|==；…（2）由条件，得，即，∴（a+b）+（a+2）i=1+i，∴，解得．…18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【考点】5D：函数模型的选择与应用；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．19．（1）已知a＞0，b＞0，﹣＞1．求证：＞．（2）用数学归纳法证明+++…+＞（n∈N*）．【考点】RG：数学归纳法；R8：综合法与分析法(选修）．【分析】（1）用分析法即可证明，（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=1时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥1）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．【解答】（1）证明 要证＞成立，只需证1+a ＞，只需证（1+a ）（1﹣b ）＞1（1﹣b ＞0），即1﹣b +a ﹣ab ＞1，∴a ﹣b ＞ab ，只需证：＞1，即﹣＞1．由已知a ＞0，﹣＞1成立，∴＞成立．（2）证明 ①当n=1时，左边=＞，不等式成立．②假设当n=k （k ∈N *，k ≥1）时，不等式成立，即+++…+＞，则当n=k +1时， ++…+++=+++…+++﹣＞++﹣，∵+﹣==＞0，∴+++…+++﹣＞++﹣＞，∴当n=k +1时，不等式成立．由①②知对于任意正整数n ，不等式成立．20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE=CF=，EF 交于BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣D′A ﹣C 的正弦值．【考点】MT ：二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B ﹣D′A﹣C的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．21．设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+x2﹣（a+1）x的两个极值点，其中m＜n，a＞0．（Ⅰ）若a=2时，求m，n的值；（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导f′（x），得到方程x2﹣3x+2=0，从而可得m，n是方程x2﹣3x+2=0的两个根，从而求解．（Ⅱ）由已知有m，n是方程x2﹣（a+1）x+2=0的两个根，可得△=（a+1）2﹣8＞0，m+n=a+1＞0，mn=2＞0，化简f（m）+f（n）=2lnm+m2﹣（a+1）m+2lnn+ n2﹣（a+1）n=﹣（a+1）2﹣2+2ln2．从而求得．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=+x﹣（a+1）=，∴当a=2时，f′（x）=0可化为x2﹣3x+2=0，故m，n是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴m=1，n=2．（Ⅱ）由已知有m，n是方程x2﹣（a+1）x+2=0的两个根，∴△=（a+1）2﹣8＞0，m+n=a+1＞0，mn=2＞0．∴f（m）+f（n）=2lnm+m2﹣（a+1）m+2lnn+n2﹣（a+1）n=2ln（mn）+（m2+n2）﹣（a+1）（m+n）=2ln2+ [（m+n）2﹣2nm]﹣（a+1）（m+n）=2ln2+ [（a+1）2﹣4]﹣（a+1）2=﹣（a+1）2﹣2+2ln2．∵（a+1）2＞8，∴f（m）+f（n）＜2ln2﹣6，即f（m）+f（n）的取值范围为（﹣∞，2ln2﹣6）．22．已知函数f（x）=1﹣（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（a）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a满足h（a）≥λ+，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知n∈N*，求证：ln（n+1）＜1+．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用切线方程的求法，求出斜率切点坐标求解即可．（Ⅱ）通过f'（x）=0求出极值点x=a，利用函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，得到a的范围，然后转化条件为h（a）max≥，①当λ≤0或时，②当时，③当时，分别求解h（a）max，推出λ的范围．（Ⅲ）当a=1时，求出函数的导数：，当x∈（0，1）时，当∈（1，+∞）时，利用函数的单调性求出最大值，推出，令，推出，然后利用累加法推出结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当a=1时，，，则，∴函数f（x）的图象在点的切线方程为：，即2x﹣y+ln2﹣2=0…（Ⅱ），由f'（x）=0⇒x=a由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2…由于存在a满足h（a）≥，所以h（a）max≥…对于函数h（a）=3λa﹣2a2，对称轴①当或，即λ≤0或时，，由h（a）max≥，结合λ≤0或可得：或②当，即时，h（a）max=h（0）=0，由h（a）max≥，结合可知：λ不存在；③当，即时，h（a）max=h（2）=6λ﹣8；由h（a）max≥，结合可知：综上可知：或…（Ⅲ）当a=1时，，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴在x=1处取得最大值f（1）=0即，∴，…令，则，即，∴ln（n+1）=ln（n+1）﹣ln1=[ln（n+1）﹣lnn]+[lnn﹣ln（n﹣1）]+…+（ln2﹣ln1）．故．…2017年6月21日。

○312017年成都某七中嘉祥外国语学校 招生数学真卷（外地生）（满分:120分 时间:60分钟）一、填空题（第1～13题每空1分，其余每题2分，共33分）1.5.08平方米=_________平方分米2.3小时=_________分2.26比一个数的25多6，这个数是_________。

3. _________千克比20千克多30%，_________米的40%是40米。

4.植树小组去年植树成活了60棵，死了15棵，成活率是_________%。

5.一个圆柱体的底面半径为2厘米，高6厘米，这个圆柱体的侧面积为_________平方厘米，体积为_________立方厘米，与它等底等高的圆锥体的体积为_________立方厘米。

6.一个圆的周长是18.84厘米，这个圆的半径是_________厘米，这个圆的面积是_________平方厘米。

7.看一本400页的书，第一天看了全书的14，第二天看了全书的25，第三天应从第_________页看起。

8.书架上有50～100本书，其中20%是教科书，17是故事书。

书架上共有_________本书。

9. 一个长方体的长、宽、高分别扩大3倍，则体积扩大到________倍。

10. 小明计划在若干天看完一本故事书，若每天看3个故事，则在计划时间内还有15个故事没有看到，若每天看5个故事，则最后一天就只能看2个故事，这本书共有________个故事，小明计划________天把它看完。

11.5时40分，时针与分针的夹角度数是________。

12.两个两位自然数，他们最大公约数是8，最小公倍数是96，它们的和是________。

13.甲数是乙、丙两数平均数的67，甲数是甲乙丙三数平均数的________。

14.每一颗骰子的六个面分别刻有数字l、2、3、4、5、6，若同时拋出两颗骰子，出现点数和为6的可能性占（）（）。

15.一辆公交汽车载客共50人，其中一部分在中途下车，每张票价2元，另一部分在终点下车，每张票价3元，售票员共收款127元，中途下了________人。