【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值课件 理 新人教A版

§2.9 函数的应用2014高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合．1． 几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a 、b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型f (x )＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n<a x(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：[难点正本疑点清源]1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图像的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．答案78℃解析T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)．2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．答案 2 500解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．3． (2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于( ) A．5太贝克B．75ln 2太贝克C．150ln 2太贝克D．150太贝克答案D解析∵M′(t)＝－130M02－t30·ln 2，∴M′(30)＝－130×12M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×2－t30，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．4．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( ) A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的产量确定答案B解析设第一年的产量为a，则a(1＋x)2＝a(1＋44%)，∴x＝20%.5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处答案 A解析 由题意得，y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时取等号，故选A.题型一 二次函数模型例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思维启迪：(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数最值． 解 (1)每吨平均成本为y x(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元． (2)设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．探究提高二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析 设利润为f (x )万元，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000 (0<x <240，x ∈N *)． 令f (x )≥0，得x ≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台． 题型二 指数函数模型例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)．(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)思维启迪：从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型． 解 (1)由题意知，f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－12f (2)·6.24%＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x(其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n(其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.题型三 分段函数模型例3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？思维启迪：题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系．解(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144.12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240， 所以当x ＝120时，y x取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案D解析由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c＝60，将c＝60代入cA＝15，得A＝16.函数建模问题典例：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？审题视角 (1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法． 规范解答解 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 14≤P ≤20，－32P ＋40 20<P ≤26，[2分]代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50P －14×100－5 600 14≤P ≤20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －14×100－5 600 20<P ≤26，[4分](1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．[8分] (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．[12分]解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．温馨提醒(1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q与P的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式．(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.方法与技巧1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．失误与防范1．函数模型应用不当是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 有一批材料可以围成200 m长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为 ( )A ．1 000 m 2B ．2 000 m 2C ．2 500 m 2D ．3 000 m 2答案 C解析 设围成的场地宽为x m ，面积为y m 2， 则y ＝3x (200－4x )×13＝－4x 2＋200x (0<x <50)． 当x ＝25时，y max ＝25×100＝2 500. ∴围成的矩形场地的最大面积为2 500 m 2.2． (2011·湖北改编)里氏震级M 的计算公式：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．( )A ．6 1 000B ．4 1 000C ．6 10 000D ．4 10 000答案 C解析 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.∴A 1A 2＝104＝10 000，∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．3． 将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt ，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15答案 B解析 由已知条件可得a e 5n＝a 2，e 5n ＝12.由a e nt ＝a 8，得e nt＝18，所以t ＝15，m ＝15－5＝10.4. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如右图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x＝－x －25x＋12，∵x ∈N *，∴y x≤－2x ·25x＋12＝2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的平均利润最大． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e10ln 2＝210＝1 024.6． 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤38＋2.15x －3＋1，3<x ≤88＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8由y ＝22.6，解得x ＝9.7． 2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1) 答案 2037解析 由已知条件：14(1＋1.25%)x －2 008>20，x － 2 008>lg107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1＝28.7，则x >2 036.7，即x ＝2 037. 三、解答题(共22分)8． (10分)某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt )(x －b )2，其中k ，b 均为常数．当关税税率t ＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． (1)试确定k ，b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x，当p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧1＝21－0.75k 5－b 22＝21－0.75k7－b 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－0.75k 5－b 2＝01－0.75k7－b2＝1.解得b ＝5，k ＝1.(2)当p ＝q 时，2(1－t )(x －5)2＝2－x， ∴(1－t )(x －5)2＝－x ⇒t ＝1＋x x －52＝1＋1x ＋25x－10而f (x )＝x ＋25x在(0,4]上单调递减，∴当x ＝4时，f (x )有最小值414，故当x ＝4时，关税税率的最大值为500%.9．(12分)如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝a ，BC ＝b (a >b )．在AB 、AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？求出这个最大面积． 解 设四边形EFGH 的面积为S ， 由题意得S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF ＝S △DHG ＝12(a －x )·(b －x )．由此得S ＝ab －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2＋12a －xb －x＝－2x 2＋(a ＋b )x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 42＋a ＋b28.函数的定义域为{x |0<x ≤b }， 因为a >b >0，所以0<b <a ＋b2.若a ＋b4≤b ，即a ≤3b ，x ＝a ＋b4时面积S 取得最大值a ＋b28；若a ＋b4>b ，即a >3b 时，函数S ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 42＋a ＋b 28在(0，b ]上是增函数，因此，当x ＝b 时，面积S 取得最大值ab －b 2. 综上可知，若a ≤3b ，当x ＝a ＋b4时，四边形EFGH 的面积取得最大值a ＋b28；若a >3b ，当x ＝b 时，四边形EFGH 的面积取得最大值ab －b 2.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元答案 B解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30 (x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．2. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( ) A ．x ＝15，y ＝12 B ．x ＝12，y ＝15 C ．x ＝14，y ＝10 D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.3． 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )答案 A解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图像上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．二、填空题(每小题5分，共15分)4. 如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为____________． 答案 30 cm 、20 cm解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600， 则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2) ＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486， 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.5． 某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为______________． 答案 y ＝a4x (x ∈N *)解析 设新价为b ，依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简得b ＝ 54a .∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a4x (x ∈N *)． 6． 某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．答案 4解析 设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则⎩⎪⎨⎪⎧ N ＋40M ＝40K ， ①N ＋15M ＝15K ×2， ②N ＋8M ≤8Kx . ③由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ K ＝2.5M ，N ＝60M ，代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4.故至少同时开放4个窗口才能满足要求．三、解答题7． (13分)(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0≤x ≤20，13200－x ， 20<x ≤200. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x 200－x ， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x ) ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋200－x 22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

§4.3 三角函数的图象与性质2019高考会这样考 1.考查三角函数的图象：五点法作简图、图象变换、图象的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想． 复习备考要这样做 1.会作三角函数的图象，通过图象研究三角函数性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论图象、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．1． “五点法”作图原理在确定正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫32π，－1、(2π，0)．余弦函数呢？ 2． 三角函数的图象和性质[难点正本 疑点清源] 1． 函数的周期性若f (ωx ＋φ＋T )＝f (ωx ＋φ) (ω>0)，常数T 不能说是函数f (ωx ＋φ)的周期．因为f (ωx ＋φ＋T )＝f ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋T ω＋φ，即自变量由x 增加到x ＋T ω，T ω是函数的周期． 2． 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 1． 设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．答案 π解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π.2． 函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______________. 答案 5 34π＋2k π，k ∈Z解析 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π (k ∈Z )，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .3． (2019·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )A ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }B ．{x |x ≠2k π－π4，k ∈Z }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠2k π＋π4，k ∈Z }答案 A解析 令π4－x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π－π4，k ∈Z .5． 给出下列四个命题，其中不正确的命题为( )①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ； ②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数； ④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①②④答案 D解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12不是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称轴；命题④：函数y ＝sin|x |不是周期函数． 题型一 三角函数的定义域、值域问题例1 (1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域；(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．解 (1)由⎩⎨⎧sin 2x >09－x 2≥0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3. ∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为{x |－3≤x <－π2或0<x <π2}．(2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54，最小值为1－22.探究提高 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标 系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }． (2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时，f (x )取最大值1；当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.题型二 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪：(1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图象→y ＝|tan x |的图象→求单调性及周期． 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．(2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性的判定方法：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.探究提高 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝2π3C ．x ＝π3D ．x ＝π6(2)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________． 答案 (1)A (2)π 解析 (1)f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x ＝3cos x －3sin x＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以当x ＝5π6时，f (x )＝23cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝－2 3. (2)由题设，有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2， 即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0，∴aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0， 从而tanωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ， 即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0<ω<5，∴ω＝2， 于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故f (x )的最小正周期是π.方程思想在三角函数中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．审题视角 (1)求出2x －π3的范围，求出sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值域．(2)系数a 的正、负影响着f (x )的值，因而要分a >0，a <0两种情况讨论．(3)根据a >0或a <0求f (x )的最值，列方程组求解． 规范解答解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，[3分]若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；[7分]若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.[11分]综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63， b ＝19－12 3.[12分]温馨提醒 (1)对此类问题的解决，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝Aa sin(ωx ＋φ)或y ＝Aa cos(ωx ＋φ)的最值，但要注意对a 的正负进行讨论，以便确定是最大值还是最小值．(2)再由已知列方程求解．(3)本题的易错点是忽视对参数a >0或a <0的分类讨论，导致漏解. 方法与技巧1．利用函数的有界性(－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1)，求三角函数的值域(最值)． 2．利用函数的单调性求函数的值域或最值．3．利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号)． 失误与防范1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 3．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R 答案 C解析 由题意得cos x ≥12，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z . 2． y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，0答案 B解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0) (k ∈Z )， ∴令x －π4＝k π (k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k ＝－1，x ＝－3π4得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 3． (2019·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23B.32C ．2D ．3答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 4． 函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是( )A ．非奇非偶函数B ．仅有最小值的奇函数C ．仅有最大值的偶函数D ．有最大值又有最小值的偶函数 答案 D解析 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋142－98.显然有最大值又有最小值，而且在R 上有f (－x )＝f (x )，所以正确答案为D. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为____________________．答案 ⎝⎛⎦⎤2k π，π3＋2k π (k ∈Z ) 解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .6． 已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)．由x ∈[0，π2]，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.7． 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝________. 答案 43解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0<π4ω<π2，因此ω＝43.三、解答题(共22分)8． (10分)设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则－54<k <－14，k ∈Z .∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 9． (12分)(1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (－π6<x <π6)的值域； (2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域．解 (1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值域为(0,2]． (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98. ∴当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2019·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.2． (2019·上海)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．100答案 C解析 易知S 1>0，S 2>0，S 3>0，S 4>0，S 5>0，S 6>0，S 7>0. S 8＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin 7π7＋sin 8π7＝sin2π7＋sin 3π7＋…＋sin 7π7>0， S 9＝sin3π7＋sin 4π7＋…＋sin 7π7>0， S 10＝sin 4π7＋…＋sin 7π7>0， S 11＝sin 5π7＋sin 6π7＋sin 7π7>0， S 12＝sin 6π7＋sin 7π7>0， S 13＝sin 7π7＝0， S 14＝sin7π7＋sin 14π7＝0， ∴S 1，S 2，…，S 100中，S 13＝0，S 14＝0，S 27＝0，S 28＝0，S 41＝0，S 42＝0，S 55＝0，S 56＝0，S 69＝0，S 70＝0，S 83＝0，S 84＝0，S 97＝0，S 98＝0，共14个． ∴在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是100－14＝86(个)．3． 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C ．2D ．3答案 B解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2， ∴x ＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤π4，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且ω≥8k －2，k ∈Z ，∴ωmin ＝32，故选B.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 函数y ＝2sin(3x ＋φ) (|φ|<π2)的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.答案 π4解析 由题意得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4.5． 函数y ＝sin x ＋1sin x(0<x <π)的最小值为________．答案 2解析 令sin x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]．又y ＝1＋1t 在t ∈(0,1]上是减函数，所以当t ＝1时，y 取得最小值2.6． 已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x >cos x 时，f (x )＝sin x . 给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________．答案 ①④⑤解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示． 由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π (k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤. 三、解答题7． (13分)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

专题一 函数图象与性质的综合应用1．函数的三要素是对应关系、定义域、值域；其中函数的核心是对应关系． 2．函数的性质主要包括：单调性、周期性、对称性、最值等．3．求函数值域的方法有配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、图象法等． 4．作图一般有两种方法：描点法作图、图象变换法作图． 5．图象的三种变换：平移变换、伸缩变换和对称变换．1． (2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.2． 函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ( )A.13B.23 C ．1 D ．2 答案 B解析 令f (x )＝0，解得x ＝1；令f (x )＝1，解得x ＝13或3.因为函数f (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．故b －a 的最小值为1－13＝23.3． (2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ， x ≤11－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 答案 D解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．4． (2011·湖北)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于 ( ) A ．2 B.154 C.174 D ．a 2答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，① 得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x . 又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ， ∴f (2)＝22－2－2＝154.5． 已知y ＝f (x )的图象如图，则y ＝f (1－x )的图象为下列四图中的 ( )答案 A解析 将y ＝f (1－x )变形为y ＝f [－(x －1)]①作y ＝f (－x )图象，将y ＝f (x )关于y 轴对称即可； ②将f (－x )的图象沿x 轴正方向平移1个单位， 得y ＝f [－(x －1)]＝f (1－x )的图象.题型一 函数求值问题例1 (2012·苏州模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2×(t ＋1)x ，x ≥0 且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为________．思维启迪：首先根据f (1)＝6求出t 的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f (f (－2))的值，并利用指数与对数的运算规律求出函数值． 答案 12解析 ∵1>0，∴f (1)＝2×(t ＋1)＝6， 即t ＋1＝3，解得t ＝2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋2)，x <0，2×3x ， x ≥0，所以f (－2)＝log 3[(－2)2＋2]＝log 36>0. f (f (－2))＝f (log 36)＝2×3log 36＝2×6＝12.探究提高 本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围 内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题．解决此类问题的关键是 要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的 函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值．(2012·广东六校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )， x >0，f (x ＋1)＋1， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于 ( )A ．－2B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 题型二 函数性质的应用例2 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式f (－x )－f (x )x≥0的解集为 ( ) A ．[－2,0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－2]∪(0,2] C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．[－2,0)∪(0,2] 思维启迪：转化成f (m )<f (n )的形式，利用单调性求解． 答案 D解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，不等式可化为－f (x )－f (x )x ≥0，即－f (x )x ≥0.当x >0时，则有f (x )≤0＝f (2)，由f (x )在(0，＋∞)上单调递增可得x ≤2；当x <0时，则有f (x )≥0＝－f (2)＝f (－2)，由函数f (x )为奇函数可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x ≥－2.所以不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．探究提高 解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去 掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所 以只需求解x >0时的解集即可．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(－x )，－x >0log 2x ，－x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(－x )，x <0，log 2x ，x >0.当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1；当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以，m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 题型三 函数图象及应用例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是_____________．思维启迪：可以先画出函数f (x )的图象，通过图象的特征观察a 、b 、c 的关系． 答案 (10,12)解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.探究提高 通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab ＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 解由x 2－log a x <0， 得x 2<log a x .设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方， 如图，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，⎝⎛⎭⎫122≤log a 12， 解得116≤a <1.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1. 题型四 函数的值域与不等式恒成立问题例4 (2012·天津滨海新区五所重点学校联考)定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．思维启迪：(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决． (2)将恒成立问题转化成函数最值问题． (1)解 令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)， 即f (0)＝0.(2)证明 令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)解 方法一 因为f (x )在R 上是增函数， 又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立．方法二 由k ·3x <－3x ＋9x ＋2，得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R ，不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.探究提高 对于恒成立问题，若能转化为a >f (x ) (或a <f (x ))恒成立，则a 必须大于f (x )的最大值(或小于f (x )的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解．若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，对于任意的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，均有f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0，试求实数m 的取值范围． 解 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (x )在(－∞，0]上也是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0， ∵f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0， ∴f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )， 于是cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，① 即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 得m >cos 2θ－2cos θ－2，设h (θ)＝cos 2θ－2cos θ－2，则h (θ)＝4－⎣⎡⎦⎤(2－cos θ)＋22－cos θ≤4－22，即h (θ)max ＝4－22，只须m >4－2 2.故实数m 的取值范围是(4－22，＋∞)． 2.高考中的函数零点问题典例：(2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.考点分析 本题考查对数函数、函数单调性、函数零点等知识，体现了函数知识的综合．求解策略 解答本题可先确定函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，然后根据a ，b 满足的条件及对数的运算性质探究出f (x )零点所在的区间，从而对照x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *确定出n 的值． 答案 2解析 ∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调递增函数．f (2)＝log a 2＋2－b ， f (3)＝log a 3＋3－b .∵2<a <3<b ，∴0<lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a <1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.解后反思 (1)本题考查函数零点，与函数的单调性相结合；(2)解决函数的有关问题，要综合利用函数的图象，函数的单调性、对称性、周期性、值域等．方法与技巧1． 利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题．2． 抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f (－x )，使之与f (x )产生等量关系，即比较f (－x )与±f (x )是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．3． 作图、识图和用图是函数图象中的基本问题．作图的基本途径：求出函数的定义域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识图就是从 图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图 形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题． 失误与防范1． 函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式． 2． 对于由抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量转化到同一个单调区间上去．3． 识图要抓住性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来作图.(时间：60分钟) A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·重庆)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是 ( )A ．(－∞，1]B ．[－1，43]C ．[0，32) D ．[1,2)答案 D解析 方法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－ ∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x <2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函 数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 方法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.2． (2011·北京)如果log 12x <log 12y <0，那么 ( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 答案 D解析 不等式转化为⎩⎨⎧log 12x <log 12y ，log 12y <0⇒1<y <x .3． (2012·浙江改编)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32等于 ( ) A.32 B ．－14 C.14 D.12 答案 A解析 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]， ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x ＋1. ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－⎝⎛⎭⎫－12＋1＝32. 4． (2012·江西)如图所示，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图象大致是( )答案 A解析 对t 进行分段，确定函数y ＝S (t )的解析式．由题意知，当0<t ≤1时，甲从O 向B 移动，乙从O 向A 移动，则t 时刻，|OB |＝t ，|OA | ＝2t ，此时S (t )＝12·|OB |·|OA |sin π6＝12t 2，此段图象为抛物线；当t >1时，设圆弧半径为r ，甲从B 沿圆弧移动到C 后停止，乙在A 点不动，则此时S (t )＝12×1×2·sin π6＋12·r ·3(t －1)＝3r 2t ＋1－3r2，此段图象为直线，当甲移动至C 点后，甲、乙均不再移动，面积不再增加，选项B 中开始一段函数图象不对，选项C 中后两段图象不对，选项D 中前两段 函数图象不对，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为______． 答案 (2，＋∞)解析 ∵x 2－2x ＋3>0，即(x －1)2＋2>0的解集为R ， ∴函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)的定义域为R . 又∵函数y ＝x 2－2x ＋3有最小值2，无最大值． 据题意有a >1.∴log a (x －1)>0＝log a 1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1>1，解得x >2，即不等式log a (x －1)>0的解集为(2，＋∞)． 6． 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是__________． 答案 [－94，0]∪(2，＋∞)解析 由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x ≤2时，－94≤y ≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．7． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5 (x >6)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋4 (x ≤6)，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 [7,8)解析 由题意知，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a 2>0⎝⎛⎭⎫4－a 2×6＋4≤a 6－5，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1a <8a ≥7，解得7≤a <8. 三、解答题(共25分)8． (12分)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1| (a >0且a ≠1)的图象有两个交点，求a 的取值范围．解 ①当a >1时，画出函数y ＝|a x －1|的草图：若y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点， 则有0<2a <1，∴0<a <12(舍去)．②当0<a <1时，画出函数y ＝|a x －1|的草图：若y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，则有0<2a <1，∴0<a <12. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 9． (13分)已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性；(3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集．解 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t .∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (x ∈R )． (2)当a >1时，a x －a －x 为增函数， 又a a 2－1>0，∴f (x )为增函数； 当0<a <1时，a x －a －x 为减函数， 又aa 2－1<0，∴f (x )为增函数． ∴函数f (x )在R 上为增函数．(3)∵f (0)＝a a 2－1(a 0－a 0)＝0，∴f (x 2－3x ＋2)<0＝f (0)． 由(2)知：x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2.∴不等式的解集为{x |1<x <2}．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知函数f (x )＝||lg x ，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )A ．(22，＋∞) B.[ 22，＋∞)C ．(3，＋∞) D.[ 3，＋∞)答案 C解析 由已知条件0<a <1<b 和f (a )＝f (b )得，－lg a ＝lg b ，则lg a ＋lg b ＝0，ab ＝1，因此a ＋2b ＝a ＋2a ，由对勾函数知y ＝x ＋2x在(0,1)单调递减，得a ＋2b >3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1，则 ( )A ．a <12且a ≠－1 B ．－1<a <0 C ．a <－1或a >0 D ．－1<a <2答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)<1，∴f (－1)>－1.又∵函数f (x )的周期为3，∴f (－1)＝f (2)＝2a －1a ＋1>－1，∴3a a ＋1>0， 解得a >0或a <－1.3． 设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0 (a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)答案 D解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是以4为周期的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的大致图象如图中实线所示，令g (x )＝log a (x ＋2) (a >1)，则g (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x＋2)＝0 (a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，则只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3g (6)>3，即⎩⎨⎧log a 4<3log a 8>3，解得34<a <2. 二、填空题(每小题4分，共12分)4． 函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 [－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.5． 已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4 (a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________.答案 3解析 lg(log 210)＝－lg(lg 2)，f (－x )＝a sin(－x )＋b 3－x ＋4＝－(a sin x ＋b 3x )＋4.又f [lg(log 210)]＝5，∴f [lg(lg 2)]＝4－5＋4＝3.6． 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a的取值范围是__________．答案 (－2,1)解析∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x ，作出f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，即－2<a <1.三、解答题(13分)7． 设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c 3a，由条件a >c >0， 得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛 物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ， 得c 2－c <0，所以0<c <1.(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点．②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a. 而f ⎝⎛⎭⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a <0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1) 内有两个零点．。

5 函数的单调性与最值一、填空题1．函数y ＝(k －1)x ＋1是R 上的减函数，则k 的取值范围是__________．2．函数y ＝x －1x的增区间是__________． 3．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是__________．4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是__________． 5．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1满足f (－1)＝－3，则f (x )在区间[2,3]内的最小值为__________．6．函数f (x )＝2x ＋log 2x (x ∈ [1,2])的值域是__________．7．(2013江苏无锡期末)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围为__________．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是__________．9．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (14log x )＜0的x 的集合为__________．二、解答题10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )．(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求实数a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈ [－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调减函数，求实数k 的取值范围．11．研究函数f (x )＝x －1－x 的单调性，并求其值域．12．已知函数f (x )对任意的实数m ，n 有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )，且当x ＞0时，有f (x )＞0.(1)求证：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f (1)＝1，解不等式：f (log 2(x 2－x －2))＜2.参考答案一、填空题1．k ＜1 2.(－∞，0)，(0，＋∞)3．(0, 1] 解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上递减，得a ≤1.g (x )＝a x在[1,2]上递减，得a ＞0.故a 的取值范围是(0,1]． 4．(－1,0)∪(0,1) 解析：由已知条件：⎪⎪⎪⎪1x ＞1，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0， 解得－1＜x ＜1，且x ≠0.5．96．[2,5] 解析：因为y ＝2x ，y ＝log 2x 为增函数，所以y ＝2x ＋log 2x 在[1,2]上单调递增，故f (x ) ∈ [2,5]．7．a ≥1 解析：函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增等价于函数y ＝ax －1在(1,2)上单调递增，且ax －1＞0在(1,2)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，即a ≥1. 8．(－2,1) 解析：由原函数作出如图所示的图象，可知它是单调递增的奇函数，从而原不等式可化为2－a 2＞a ，解之得－2＜a ＜1，所以实数a 的取值范围是(－2,1)．9.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <12或x >2 解析：由偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，∴由f (14log x )＜0，得14log x ＞12或14log x ＜－12.解得0＜x ＜12或x ＞2. ∴满足条件的x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <12或x >2. 二、解答题10．解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，即b ＝a ＋1.又对任意实数x 均有f (x )≥0成立，∴a ＞0且Δ＝b 2－4a ≤0恒成立，即a ＞0且(a －1)2≤0恒成立，∴a ＝1，b ＝2.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在x ∈ [－2,2]时是单调减函数，∴[－2,2] ⊆⎝⎛⎭⎫－∞，k －22. ∴2≤k －22，解得k ≥6， 即实数k 的取值范围为[6，＋∞)．11．解：因为1－x ≥0，所以x ≤1，所以f (x )的定义域为(－∞，1]．因为x 与－1－x 都是(－∞，1]上的增函数．所以f (x )＝x －1－x 是(－∞，1]上的增函数．又f (1)＝1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．12．(1)证明：任取定义域(－∞，＋∞)内x 1、x 2且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f (x 2－x 1＋x 1)＝f (x 1)－f (x 2－x 1)－f (x 1)＝－f (x 2－x 1)＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)解：∵f (1)＝1，∴2＝f (1)＋f (1)＝f (2)，由已知得f [log 2(x 2－x －2)]＜f (2)．又∵f (x )在R 上递增，∴log 2(x 2－x －2)＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2<4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1或x >2，－2<x <3. ∴－2＜x ＜－1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ＜－1或2＜x ＜3}．。

【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案20学案20函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标： 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．自主梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．XΩx＋φy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A2.图象变换：函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y＝sin x y＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx ＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π83．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 4．(2019·太原高三调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝π12D ．x ＝5π125．(2019·六安月考)若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B. 2 C . 3 D ．2探究点一 三角函数的图象及变换例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．变式迁移1 设f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ＋32sin 2x (x ∈R)． (1)画出f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2上的图象； (2)求函数的单调增减区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象？探究点二 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．变式迁移2 (2019·宁波模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值． 探究点三 三角函数模型的简单应用例3 已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫100πt ＋π6表示，求： (1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．数形结合思想的应用例 (12分)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．【答题模板】解 (1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a 2， 作出函数y ＝sin(x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象． [3分]由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ －1<－a 2<1－a 2≠32. 即－2<a <－3或－3<a <2.[6分](2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈(－1，32)时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6， ∴α＋β＝7π3.[8分]当－2<a <－3，即－a 2∈(32，1)时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.[11分] 综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π. [12分] 【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sin x ＝x 的实根个数；⑤对称问题等．【易错点剖析】此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a 的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a ≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a ＝－3时，方程只有一解．1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y ＝sin x 的作用．2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．3．三角函数模型应用的解题步骤：(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 2．(2019·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 3．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( )A ．向左平移5π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度4．(2009·辽宁)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)等于 ( )A ．－23B ．－12C.23D.12 5．(2019·烟台月考)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π＋2 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.7．(2019·潍坊五校联考)函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后得到g (x )的图象，则g (x )＝______.8．(2019·福建)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是____________．三、解答题(共38分) 9．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．10．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象过点M (0,2)．又f (x )的图象关于点N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4，0对称且在区间[0，π]上是减函数，求f (x )的解析式．11．(14分)(2019·山东)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π16上的最小值． 答案 自主梳理1.0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω 0 π2 π 3π2 2π 2.(1)左 右 |φ| (2)伸长 缩短 1ω(3)伸长 缩短 A 3.A 2πω 1T ωx ＋φ φ 2π|ω| π|ω|自我检测1．B 2.D 3.A 4.D 5.B 课堂活动区例1 解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋φω来确定平移单位．解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表：X －π6π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2πy ＝sin X 01 0－1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3 0 2 0－2描点连线，得图象如图所示：(3)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象．变式迁移1 解 y ＝12·1＋cos 2x 2＋32sin 2x＋32·1－cos 2x 2＝1＋32sin 2x －12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6.(1)(五点法)设X ＝2x －π6，则x ＝12X ＋π12，令X ＝0，π2，π，3π2，2π，于是五点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，2，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6＋k π，k π＋π3，k ∈Z.由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3＋k π，k π＋5π6，k ∈Z. (3)把y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1的图象．例2 解题导引 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．解 由图象可知A ＝2，T ＝8.∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.方法一 由图象过点(1,2)，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4×1＋φ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4x ＋π4. 方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4x ＋π4. 变式迁移2 解 (1)由题意可得：A ＝2，T 2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋φ，f (0)＝2sin φ＝1， 由|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin(12x ＋π6)．f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 0＋π6＝2，所以12x 0＋π6＝2k π＋π2，x 0＝4k π＋2π3(k ∈Z)，又∵x 0是最小的正数，∴x 0＝2π3.(2)f (4θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π6＝3sin 2θ＋cos 2θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin 2θ＝2sin θcos θ＝429，∴f (4θ)＝3×429－79＝46－79.例3 解题导引 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A 、ω、b 的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中参数的确定有如下结论：①A ＝y max －y min 2；②k ＝y max ＋y min 2；③ω＝2πT ；④φ由特殊点确定．解 (1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5； 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1，∴cos π6t >0， ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z.①∵0≤t ≤24，故可令①中的k 分别为0,1,2， 得0≤t <3，或9<t <15，或21<t ≤24. ∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.变式迁移3 解 (1)t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)． (2)T ＝2π100π＝0.02(秒)．(3)当100πt ＋π6＝π2，t ＝1300秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为2203伏．课后练习区1．C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.9π107．－sin 2x 8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3 9．解 (1)由图象知A ＝2，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.……………………………………………………………………(2分)又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．………………………………………………………………………(5分)(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cosπ4x .……………………………………………………………(8分)∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.………………………(12分)10．解 根据f (x )是R 上的偶函数，图象过点M (0,2)，可得f (－x )＝f (x )且A ＝2，则有2sin(－ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ)， 即sin ωx cos φ＝0，∴cos φ＝0，即φ＝k π＋π2(k ∈Z)．而0≤φ≤π，∴φ＝π2.………………………………………………………………………(4分)再由f (x )＝2sin(－ωx ＋π2)＝2cos ωx 的图象关于点N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π4，0对称，f (3π4)＝2cos(3ω4π)＝0∴cos 3ω4π＝0，……………………………………………………………………………(8分)即3ω4π＝k π＋π2 (k ∈Z)，ω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋12 (k ∈Z)． 又0<ω≤2，∴ω＝23或ω＝2.……………………………………………………………(10分)最后根据f (x )在区间[0，π]上是减函数，可知只有ω＝23满足条件．所以f (x )＝2cos23x .………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π4＋12.……………………………………………………………………(6分)由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x ) ＝22sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π4＋12.……………………………………………………………………(10分)当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22，…………………………………………………………………(13分)所以g (x )在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)。

2.2 函数的单调性与最值考纲要求1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性自左向右看图象是__________自左向右看图象是__________ x )在某个区间上是__________，则称y ＝f 间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y ＝f (x )的单调区间．结论 M 为最大值1．下列函数中，在(0,3)上是增函数的是( )．A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝－x ＋3C ．f (x )＝xD ．f (x )＝x 2－6x ＋4 2．下列函数f (x )中满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝(x －2)2D ．f (x )＝ln(x ＋3)3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( )． A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．14．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是__________．5．(2012课标全国高考)设函数f (x )＝x ＋2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__________.一、函数单调性的判断及应用【例1】已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a ＞0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为单调减函数； (3)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围． 方法提炼1．判断或证明函数的单调性，最基本的方法是利用定义或利用导数．利用定义的步骤是：设元取值→作差(商)变形→确定符号(与1比较大小)→得出结论； 利用导数的步骤是：求导函数→判断导函数在区间上的符号→得出结论．2．两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定．3．对于复合函数y ＝f [g (x )]，如果内、外层函数单调性相同，那么y ＝f [g (x )]为增函数，如果内、外层函数单调性相反，那么y ＝f [g (x )]为减函数，即“同增异减”．4．函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．请做演练巩固提升1二、求函数的单调区间【例2－1】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )．A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)【例2－2】求函数213log (43)y x x -+＝的单调区间．方法提炼1．求函数的单调区间与确定单调性的方法：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(4)图象法：如果函数是以图象形式给出的，或者函数的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．2．求复合函数y ＝f [g (x )]的单调区间的步骤： (1)确定函数定义域；(2)将复合函数分解成两个基本初等函数； (3)分别确定两基本初等函数的单调性；(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．3．函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．请做演练巩固提升4三、求函数的最值【例3－1】对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是__________．【例3－2】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x＞1时，f (x )＞0.(1)求f (1)的值，并判断f (x )的单调性；(2)若f (4)＝2，求f (x )在[5,16]上的最大值．方法提炼1．求函数值域与最值的常用方法：(1)先确定函数的单调性，再由单调性求值域或最值．(2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最低点，求出最值． (3)配方法：对于二次函数或可化为二次函数形式的函数，可用配方法求解．(4)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，再用基本不等式求出最值．(6)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域或最值． 2．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小或f (x 1)f (x 2)与1的大小(f (x )＞0)．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．请做演练巩固提升2四、抽象函数的单调性与不等式 【例4】已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x ＞0时，f (x )＞－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数；(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式：f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4. 方法提炼1．函数的单调性与不等式有直接的联系，对函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图象等相结合．2．解有关抽象函数不等式问题的步骤：(1)确定函数f (x )在给定区间上的单调性(或奇偶性)； (2)将函数不等式转化为f (A )＜f (B )的形式；(3)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；(4)解不等式或不等式组求得解集．提醒：解此类问题易忽视A ，B 的取值范围，即忽视f (x )所在的单调区间的约束．请做演练巩固提升3未弄清分段函数的单调性而致误 【典例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是__________．解析：可结合函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象以及f (1－x 2)＞f (2x )的条件，得出1－x 2与2x 之间的大小关系，进而求得x 的取值范围．也可分1－x 2≥0,1－x 2＜0讨论求解．方法一：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)＞f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．方法二：当x ＜－1时，1－x 2＜0,2x ＜－2，则f (1－x 2)＝1，f (2x )＝1，无解；当x ＝－1时，1－x 2＝0，则f (0)＝1，f (－2)＝1，不等式不成立；当－1＜x ≤0时，1－x 2＞0，f (1－x 2)＞f (2x )化为(1－x 2)2＋1＞1，恒成立，当0＜x ≤1时，1－x 2≥0,2x ＞0，原不等式化为(1－x 2)2＋1＞(2x )2＋1，即(x ＋1)2＜2，∴0＜x ＜2－1.当x ＞1时，1－x 2＜0，无解． 综上知：－1＜x ＜2－1. 答案：(－1，2－1) 答题指导：1．在解答本题时有两大误区：(1)误将f (1－x 2)，f (2x )中的x 当成分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0中的x ，从而造成失误；(2)仅考虑函数单调性，由f (1－x 2)＞f (2x )，得1－x 2＞2x ，却忽略了1－x 2＞0而失误． 2．解决分段函数的单调性问题时，还有以下几点，在备考中要高度关注： (1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系． (3)弄清最终结果取并还是交．1．(2012陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )．A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )．A ．12B ．14C ．2D ．4 3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则满足18(log )f x ＞0的x 的取值范围是__________．4．求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调区间．5．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，试判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)f (x 1)＜f (x 2) f (x 1)＞f (x 2) 逐渐上升的 逐渐下降的 (2)增函数 减函数 2．f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M 基础自测 1．C 2．B3．B 解析：∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.故选B.4．(－1,0)∪(0,1) 解析：由函数f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴0＜x ＜1或－1＜x ＜0.5．2 解析：f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 考点探究突破【例1】(1)解：由2f (1)＝f (－1)，可得22－2a ＝2＋a ，得a ＝23.(2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 12＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 12＋1－x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 12－x 22x 12＋1＋x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1－a . ∵0≤x 1＜x 12＋1，0＜x 2＜x 22＋1，∴0＜x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1＜1.又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在[0，＋∞)上为单调减函数． (3)解：任取1≤x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1－a . ∵f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0. 又x 1－x 2＜0，那么必须有x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1－a ＞0恒成立．∵1≤x 1＜x 2⇒2x 12≥x 12＋1,2x 22＞x 22＋1，∴2x 1≥x 12＋1，2x 2＞x 22＋1.∴2(x 1＋x 2)＞x 12＋1＋x 22＋1.∴x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1＞22.∴0＜a ≤22. 【例2－1】A 解析：由题意得，在[0，＋∞)上f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，故f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且满足n ∈N *时，f (－2)＝f (2),3＞2＞1＞0，得f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A.【例2－2】解：令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作13log y u =与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0，则x ＜1或x ＞3.∴函数213log (43)y x x =-+的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是单调减函数，在(3，＋∞)上是单调增函数．而函数13log y u =在(0，＋∞)上是单调减函数，∴213log (43)y x x =-+的单调减区间为(3，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．【例3－1】32解析：本题实质上是一个求分段函数最值的问题，将函数化为分段函数，利用数形结合法求解． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.【例3－2】解：(1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)， 且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1， 由于当x ＞1时，f (x )＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0， 因此f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数，∴f (x )在[5,16]上的最大值为f (16)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)， 而f (4)＝2，所以f (16)＝4. ∴f (x )在[5,16]上的最大值为4.【例4】解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1＞x 2， 则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)．又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1＞3，解之，得x ＜－2或x ＞1，故原不等式的解集为{x |x ＜－2，或x ＞1}． 演练巩固提升1．D 解析：选项A 中的函数是非奇非偶函数；选项B 中的函数是减函数；选项C 中的函数在每个单调区间上都是减函数；选项D 中的原函数可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，作出其图象如下图所示，由图象可知该函数既是奇函数又是增函数．2．C 解析：由题意可知函数f (x )＝a x＋log a x 在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，整理可得a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故a ＝2，选C.3．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：由f (x )＝f (－x )＝f (|x |)得18log f x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 于是18log x ＞13⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－3log 2x ＞13⇒|log 2x |＞1⇒log 2x ＜－1或log 2x ＞1 ⇒0＜x ＜12或x ＞2.4．解：原函数等价于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0，作出如下函数图象：由函数图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．5．解：设x 1＞x 2＞0，则Δx ＝x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵Δy ＝f (x 1)－f (x 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝Δx x 1x 2＞0，Δy ＞0， 因此，函数f (x )是在(0，＋∞)上的单调增函数．。

2.2函数的单调性与最值考情分析1．考查求函数单调性和最值的基本方法．2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值X围．基础知识1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 .①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论M 为最大值 M 为最小值注意事项1.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．2.设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么 ①f x1－f x2x1－x2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；fx1－f x2x1－x2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．3.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 4.函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． 典型例题题型一 函数的单调性的判断【例1】（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：单调减区间为，（2），，令 ，得或， 令，或∴单调增区间为；单调减区间为．【变式1】 讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x2－1 ＝ax2－x1x1－1x2－1当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f (x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．考向二利用已知函数的单调区间求参数的值(或X围)【例2】函数在上是增函数，求的取值X围．分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：①对任意的总有；②当时，恒成立．解：∵函数在上是增函数，∴对任意的有，即，得，即，∵，∴，∵，∴要使恒成立，只要；又∵函数在上是增函数，∴，即，综上的取值X围为．另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数，∴在上是增函数，，∴，且在上恒成立，得．题型三 利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞.23＝－(1)f ，0＜)x (f 时，0 (1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明 法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． ，0＞2x －1x 则，2x ＞1x 上任取R 在 ．)2x －1x (f ＝)2x －(f ＋)1x (f ＝)2x (f －)1x (f 又∵x ＞0时，f (x )＜0，．)2x (f ＜)1x (f 即，0＜)2x －1x (f ，∴0＞2x －1x 而 因此f (x )在R 上是减函数．，2x ＞1x 设 法二 )2x (f －)2x ＋2x －1x (f ＝)2x (f －)1x (f 则 ．)2x －1x (f ＝)2x (f －)2x (f ＋)2x －1x (f ＝ ，0＞2x －1x ，而0＜)x (f 时，0＞x 又∵ ，)2x (f ＜)1x (f ，即0＜)2x －1x (f ∴∴f (x )在R 上为减函数． (2)解∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.，且当)2x (f －)1x (f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1x2f 满足)x (f 上的函数)，＋∞(0已知定义在区间 】3【变式x ＞1时，f (x )＜0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．，0＞2x ＝1x 令(1) 解 0.＝(1)f ，故0＝)1x (f －)1x (f ＝(1)f 代入得 ，1＞x1x2，则2x ＞1x ，且)，＋∞(0∈2x ，1x 任取(2) ，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1x2f ，所以0＜)x (f 时，1＞x 由于当 ，)2x (f ＜)1x (f ，因此0＜)2x (f －)1x (f 即 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在[0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．，(3)f －(9)f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫93f 得，)2x (f －)1x (f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1x2f 由而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.重难点突破【示1】)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值X 围．[解答示X]∵f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴此二次函数图象的对称轴为x ＝a (1分) (1)当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.(3分)要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ， 解得a ≥－3，即－3≤a ＜－1.(6分)(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.(8分) 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2－a 2≥a (10分)解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1.(11分)综上所述，实数a 的取值X 围为[－3,1](12分)【例2】 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值X 围是________．解析 法一 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0可化为：m <－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋4x ，又函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋4x 在(1,2)上递增，则f (x )>－5， 则m ≤－5.法二 设g (x )＝x 2＋mx ＋4 当－m 2≤32，即m ≥－3时，g (x )＜g (2)＝8＋2m ， 当－m 2＞32，即m ＜－3时，g (x )＜g (1)＝5＋m 由已知条件可得： ⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－3，8＋2m ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－3，5＋m ≤0.解得m ≤－5 答案 (－∞，－5]巩固提高1．设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为( )．A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2) 答案 C2．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值X 围为( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 函数f (x )的值域是(－1，＋∞)，要使得 f (a )＝g (b )，必须使得－x 2＋4x －3＞－1.即x 2－4x ＋2＜0，解得2－2＜x ＜2＋2.答案 B3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值X 围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 由已知条件：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x|<1，x ≠0，解得－1<x <1，且x ≠0.答案 C4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．解析 要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1＞0，即x ＞－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x ＞－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，＋∞5．若x ＞0，则x ＋2x 的最小值为________．解析∵x ＞0，则x ＋2x≥2x ·2x＝2 2当且仅当x＝2x，即x＝2时，等号成立，因此x＋2x的最小值为2 2.答案 2 2。

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.2函数的单调性与最值一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x 1、x 2是该区间内的任意两个值，且x 1< x 2.（2）作差：即f(x 2) –f(x 1)(或f(x 1)-f(x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符的方向变形。

（3）定：根据给定的区间和x 2- x 1符，确定差f (x 2) –f(x 1)(或f(x 1)-f(x 2))的符。

当符不确定时，可以进行分类讨论。

（4）判断：根据定义得出结论。

2、利用导数的基本步骤是：2、求函数的单调性或单调区间的方法（1）能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：（3）能求导的用导数法，其思维流程为：（4）能作差变形的用定义法，其思维流程为：注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。

例如函数y =1/x 在(,0)(0,)-∞+∞和内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即()(),00,-∞+∞内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(,0)(0,)-∞+∞和，不能用“∪”2．例题解析〖例1〗(2011·江苏高考)函数f(x)=log 5(2x+1)的单调增区间是______. (2)判断函数+=+x 2y x 1在(-1，+∞)上的单调性. 【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间. (1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法.解析：(1)函数f(x)的定义域为(12-，+∞)，令t=2x+1(t>0), 因为y=log 5t 在t ∈(0,+∞)上为增函数，t=2x+1在(12-，+∞)上为增函数，所以函数f(x)=log 5(2x+1)的单调增区间为(12-,+∞).答案：(12-，+∞)(2)方法一：定义法：设x 1>x 2>-1, 则()().++--=-=++++1221121212x 2x 2x x y y x 1x 1x 1x 1 ∵x 1>x 2>-1,x 2-x 1<0,x 1+1>0,x 2+1>0,()(),-∴<++2112x x 0x 1x 1即y 1-y 2<0,y 1<y 2.+∴=+x 2y x 1在(-1,+∞)上是减函数. 方法二：导数法：()()()()(),+-++-'='==+++22x 1x 2x 21y x 1x 1x 1 ∴在(-1，+∞)上，y ′<0,故+=+x 2y x 1[在(-1,+∞)上为减函数.〖例2〗求函数的单调区间思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．解析：设u=x 2+x-6 ．由x 2+x-6≥0，得x ≤-3或x ≥2，结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．又∵函数是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．〖例3〗设，(1) 试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2) 若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有;解析: 1) ∵>0且2－x≠0 ∴的定义域为判断在上是增函数，下证明之：………………………………………1分设任………………………………………2分∵∴………………………………3分∵∴x2－x1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0则………………………………………4分用数学归纳法易证证略. …… 12分二、应用函数的单调性1．应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2．例题解析〖例1〗(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)<f(m2)的实数m的取值范围是______.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【方法诠释】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解.(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.解析：(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)<f(m2)，则有:2-m<m2,即m2+m-2>0.解得:m<-2或m>1.所以m的取值范围为:(-∞,-2)∪(1,+∞).答案：(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称，∴函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在［0,2］上单调递减,∴函数y=f(x-2)在［2,4］上单调递增，因此,y=f(x)在［0,2］上单调递增，又f(-1)=f(1),0<1<2,∴f(2)>f(-1)>f(0).方法二：由方法一可得函数y=f(x)在［-2,2］上图象的大致形状为由图象知f(2)>f(-1)>f(0).注：1.根据函数的单调性，解含有“f”的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.〖例2〗已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1．(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3；(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)＜2恒成立，求实数n的取值范围．【解析】(1)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1>0，∴f(x2-x1)＞1 ，f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在R 上是增函数.(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3, ∴不等式f(3m 2-m-2)＜3即为 f(3m 2-m-2)＜f(2). 又∵f(x)在R 上是增函数， ∴3m 2-m-2＜2，解得-41m 3＜＜． 因此不等式的解集为{m|-41m 3＜＜}； (3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1. ∵f(nx-2)+f(x-x 2)＜2，即f(nx-2)+f(x-x 2)-1＜1， ∴f(nx-2+x-x 2)＜f(0)． 由(1)知nx-2+x-x 2＜0恒成立， ∴x 2-(n+1)x+2＞0恒成立． ∴ Δ=［-(n+1)］2-4×2＜0,.∴---1n 1＜＜注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.三、抽象函数的单调性及最值〖例1〗已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。