高数下复习提纲
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第八章空间解析几何与向量代数
一、向量的概念
模、方向角、方向余弦、投影
二、向量的数量积与向量积
计算公式、等于零的含义
三、平面
点法式方程、一般方程、截距式方程
四、直线
点向式方程、参数式方程、一般式方程
注：1.利用平面束计算
2.一般用来计算后面的曲线、曲面的切线和切平面
五、夹角
平面与平面夹角、直线与直线夹角、直线与平面夹角
六、曲面
旋转曲面、柱面、锥面、球面（椭球面）、抛物面
七、曲线
一般式、参数式、投影（曲线、曲面、立体，主要在重积分中应用）
第九章多元函数微分法及其应用
一、极限
1.求极限：夹逼法、变量代换、等价代换
2.证明极限不存在:y=kx或取两个不同方向
二、偏导数
1.一阶：看做一元函数求导
注意分段函数分段点处一定要用定义求
2.高阶：二阶混合偏导连续必相等
3.复合函数求导（重点）：链式法则，不要遗漏，尤其注意高阶求导
三、隐函数求导
1.一个方程的情况
2.方程组的情况
四、全微分
1.全微分的计算
2.偏导数连续可微偏导数存在
连续
注意其他都不成立
3.可利用全微分计算复合函数、隐函数的偏导数
五、几何应用
1.曲线切线、法平面
2.曲面切平面、法线
六、方向导数与梯度
1.方向导数公式
注意要把方向向量化成单位向量
2.梯度公式
3.两者联系
一个为向量，一个为数，梯度方向是方向向量取最大值的方向，最大值为梯度的模。
七、极值与条件极值
1. 极值：（1）驻点（2）A ，B ，C （3）AC-B 2
2. 条件极值：（1）目标函数（2）条件方程（3）拉格朗日函数
3. 最值：（1）实际问题，若已知最值一定存在且在内部取得，若内部只有一个驻点，
必为最值点
（2）极值(内部)+条件极值（边界）的最大或最小值
第十章 重积分
一、二重积分
1. 计算 （1）直角坐标系：先x 后y ；先y 后x
（2）极坐标系：先ρ后θ (圆或圆的一部分，被积函数是x 2+y 2)
2. 应用：曲顶柱体体积、曲面面积（可利用曲面积分计算）
平面物体的面积、质量、质心、转动惯量
二、三重积分
1. 计算 （1）直角坐标系：先一后二 ；先二后一（被积函数只与z 有关时）
（2）柱坐标系（圆柱面、圆椎面、抛物面所夹的立体，被积函数是x 2+y 2）
（3）球坐标系（球或球的一部分、圆椎体，被积函数是x 2+y 2+z 2）
2. 应用：空间物体的面积、质量、质心、转动惯量
三、注意
1. 必要时要交换积分坐标系与积分次序，不要在一棵树上吊死
2. 可结合对称性，但注意对称性的应用条件，不会用者千万不要用
第十一章 曲线积分与曲面积分
一、曲线积分
1. 对弧长的曲线积分 （1）计算 （2）应用：曲线质量、质心
2. 对坐标的曲线积分 （1）计算 （2）应用：做功 （注意方向）
3. 两者间联系：注意参数的取值；一般不用两者间联系公式
4. 格林公式
（1）公式条件结论（注意方向）
（2）四个等价条件
（3）利用格林公式计算对坐标的曲线积分 0L P Q y x Pdx Qdy P Q y x ⎧⎧∂∂=⎨⎪∂∂⎪⎩+⎨⎧∂∂⎪≠⎨⎪∂∂⎩⎩
⎰封闭，为不封闭，改变路径封闭，利用格林公式
不封闭，添加辅助线
注意若P 、Q 不满足定理条件（一般在某个点不连续），则要挖洞，具体看P205
例4
(4) 计算全微分：偏积分法；线积分法
二、曲面积分
1. 对面积的曲面积分 （1）计算 （2）应用：曲面面积、质量
2. 对坐标的曲面积分 （1）计算（注意符号）
3. 两者间联系
注意一般也不要此公式计算，但要注意P229 2（3），此题利用公式化为对面积的
曲面积分计算较为简单
4. 高斯公式
(1) 计算公式
（2） 注意方向为外侧，若为内侧则添加负号
（3） 注意必须要封闭，否则要添加辅助曲面使之封闭
（4） 注意一般涉及三项的第二类曲面积分用高斯公式，如果只有一项的话一般直
接计算
注意：只有第一类积分才可用对称性，对称性与重积分一致，第二类不可用对称性
第十二章 无穷级数
一、常数项级数
1. 级数的概念
（1）0n
n n n u lim S ∞
→∞=∑收敛:存在 （2）加、减运算
（3）去掉、改变前面有限项
（4）00n n
n n lim u u ∞→∞=≠⇒∑发散
2. 正项级数
（1） S n 有界
（2） 比较法（极限形式，通常和p-级数比较）
（3） 比值法（含n ！通常用）
（4） 根值法
（注意11n n (a )==为常数以及） 注意：（1）比值法和根值法的极限一定要求出
（2）在极限为1时比值法和根值法失效，要换比较法判定
（3）判别收敛程序1
101011n n n n u lim u ∞→∞=≠→⎧⎪ρ<⎧⎪→⎨⎪=→→ρ=→⎨⎪⎪⎪ρ>⎩⎩
∑发散，收敛正项级数比值法比较法判别根值法，发散
3. 交错级数：莱布尼兹判别法
4. 一般级数：
（1）绝对收敛和条件收敛
（2）判别收敛程序2
111001L n n n n n n n n u lim u u u ∞∞∞→∞===≠→⎧⎪→⎧⎪→⎨⎪=→→→→⎧⎨⎪→→-→⎨⎪⎪→⎩⎩⎩
∑∑∑发散收敛绝对收敛程序收敛条件收敛发散判别法发散发散 5. 判别方法总表
二、函数项级数
1. 幂级数
(1) 求收敛半径、收敛区间、收敛域
注意21000n n n
n n n a (x x ),a x ∞∞
-==-∑∑的收敛半径和收敛域 （2）和函数（逐项求导和逐项积分），要掌握几个基本的级数
0210201111112112n n n x n n
n n n
n n x (x )x
x e (x )n!
()x sin x(x )(n )!()x cos x(x )(n )!∞=∞=∞+=∞
==
-<<-=-∞<<∞-=-∞<<∞+-=-∞<<∞∑∑∑∑
注意要先求收敛域
(3) 计算常数项级数的和：先给出对应的幂级数，再计算幂级数的和函数，最后
代人即可
（4）幂级数的展开：注意间接展开法
2. 傅立叶级数
（1）傅立叶级数展开法：
①先判断是否满足条件，找出间断点，判断间断点处是否收敛于f(x), 若不收正 项 级 数 任意项级数
1.
2. 4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质;
n S S ,;→若则级数收敛0n n ,u ,;→∞→当则级数发散一般项级数
4.绝对收敛
敛，则要除去
②利用公式计算系数
③写出展开式，要写上范围（即除去前面不收敛的点）
（2）求和函数
利用狄利克莱条件，若此点连续则为f(x), 若此点间断则为
()2f x f (x )
++-
（3）延拓：周期延拓、奇延拓、偶延拓
注意延拓实际上就是限制于定义范围内，注意两端点的取值
（4）周期为2l ，实际与前面一致。
