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四、近似数、有效数字和科学记数法
对于一个近似数， 从左边第一个不是 0 的数字开始到最后一位数字止， 都是这个近似数
1
的有效数字. 把一个数表示成 a × 10 的形式，其中 1 ≤ 丨 a 丨 ≤ 10 ， n 为整数，叫科学记数法.
n
五、数的乘方与开方
1.正数有两个平方根，负数没有平方根，正数的正的平方根叫做算术平方根. 2.若 b = a ，则 b 叫做 a 的立方根.
已知 x1 ， x 2 为方程 x + 3 x + 1 = 0 的两实根，则 x1 + 8 x 2 + 20 =
2
3
例 4.当 m 满足
时， 关于 x 的方程 x − 4 x + m −
2
1 = 0 有两个不相等的实数根. 2
4
2.2 分式方程
1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2. 解分式方程的基本思想：分式方程 整式方程. 3. 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为 0， 因此因进行如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根. 4. 去分母解方程的一般步骤： （1）适当变形，通常是对分母分解因式，找到最简公分母； （2）以最简公分母乘以 方程的两边，约去分母得到一个整式方程； （3）解这个整式方程； （4）验根. 例 1.解方程：
例 4.某车间加工 1200 个零件后，采用新工艺，工效是原来的 1.5 倍，这样加工同样多的零 件就少用 10 小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？
5
2.3 方程组
1.将两个二元一次方程合在一起，就构成了一个二元一次方程组. 2.二元一次方程组的解法 （1）代入法解二元一次方程组的一般步骤 ①从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出 来； ②将这个代数式代入另一个方程， 消去一个未知数， 得到含有另一个未知数的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④将所求得的这个未知数的值代入原方程中任一个方程中， 求出另一个未知数的值， 从而得 到方程组的解. （3）加减法解二元一次方程组的一般步骤 ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等，就用适当的数 去乘方程的两边，使他们中同一个未知数的系数相等或互为相反数； ②把这个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程； ④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程 组的解. 例 1.某年级学生共有 246 人，其中男生人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人， 则下面所列的 方程组中符合题意的有（ ） A．
x + y = 246 2 y = x − 2
x + y = 246 B. 2 x = y + 2
x + y = 216 C. y = 2x + 2
x + y = 246 D. 2 y = x + 2
例 2. 二元一次方程组
4 x + 3 y = 7 的解 x，y 的值相等，求 k． kx + (k − 1) y1.实数的分类 正有理数 正实数 正无理数 实数 零 正分数 负有理数 负实数 负无理数 负分数 负整数 正整数
数与式
实数
2.实数的运算 （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，其中常用的运算定律有加法交换律、乘法交 换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律。 （2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再乘除，最后算加减。运算中有括 号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。 3.实数大小的比较 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。 （2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小 （3）设 a，b 是任意两实数 若 a − b > 0 ，则 a > b ； 若 a − b = 0 ，则 a = b ； 若 a − b < 0 ，则 a < b .
2 6. 一元二次方程 ax + bx + c = ( a ≠ 0) 的求根公式是 x =
− b ± b 2 − 4ac . 2a
例1.
解方程 x −
2 = 5 x ( 2 − x)
例2.
2 2 关于 x 的方程 k x + ( 2k − 1) x + 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
例3.
2
7. 幂的运算性质 （1） a a = a
m n m+n
（ m ， n 为整数， a ≠ 0 ） ； （ m ， n 为整数， a ≠ 0 ） ； （ n 为整数， ab ≠ 0 ） ； （ m ， n 为整数， a ≠ 0 ） ；
（2） (a m ) n = a mn （3） ( ab) n = a n b n （4） a ÷ a = a
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第三章
变量与函数
3.1 位置的确定与变量之间的关系
1.平面直角坐标系 （1）各象限点的坐标符号特征： 第一象限 +，+；第二象限 -，+； 第三象限 -，-；第四象限 +，-. （2）坐标轴上的坐标特征： X 轴上的点纵坐标为 0；y 轴上的点横坐标为 0；原点的坐标为（0,0）. （3）象限角平分线上的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. ；点 P（ a ， b ）关于 y 轴对称 （4）点 P（ a ， b ）关于 x 轴对称的点的坐标为（ a ，- b ） 的点的坐标为（- a ， b ） ；点 P（ a ， b ）关于原点对称的点的坐标为（- a ，- b ）. 2.函数的定义 y 理解函数的概念时，应注意： （1）在某一变化过程中，有两个变量 x 和 y ； （2） y 的值随 x 值的变化而变化； （3）对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值和它对应. 3.函数的表示方法有三种：解析法，列表法，图像法. 4.画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 4 3 2
3 ( x + y ) − 4 ( x − y ) = 4 例 3.解方程组 x+ y x− y + =1 2 6
例 4.某酒店客房有三人间、双人间的客房，收费数据数据如下表： 普通（元/间 天） 三人间 双人间 150 140 豪华（元/间 天） 300 400
为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个 50 人的旅游团优惠期间到该酒店入住， 住了一些三人普通间和双人普通间，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费 1510 元， 则旅行团住了三人普通间和双人普通间客房哥多少间？
m n m− n
1.4 分式
1. 分式的概念和性质 （1） 整式 A 除以整式 B， 可以表示成
A A 形式， 如果除式 B 中含有字母， 那么 ( B ≠ 0) 称 B B
为分式. （2） 当分母等于零时，分式无意义；当分子等于零时，分式的值为零. （3） 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于 0 的整式，分式的 值不变. 2. 分式的加减运算 （1） 通分的关键是确定几个分式的最简公分母. （2） 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减. （3） 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 分式的乘除运算 （1） 约分的关键是确定分子、分母的公因式. （2） 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母作为积的分母. （3） 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
x +1 1 x+5 − = 2 x − x 3x 3x − 3
例 2.若分式方程
6 m − = 1 有增根，则它的增根是 ( x + 1)( x − 1) x − 1
例 3.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时 增加了一队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？
3
第二章
方程组与不等式组
2.1 整式方程
1. 方程：含有未知数的等式叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，这样的整式方程叫做一 元一次方程. 3. 解一元一次方程主要有以下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项； ⑤未知数的系数化为 1. 4. 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一 元二次方程。 5. 一元二次方程的常见解法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解 法.
s 3 ， a 等式子都是代数式，单独一个数或一个字母也是代数式. t
4. 一般的，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫 做代数式的值.
1.3 整式
1. 整式分类 单项式 整式 有理式 分式 代数式 无理式 2. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 3. 合并同类项：只把系数相加，所含字母及字母的指数不变. 4. 整式的运算 （1） 整式加减运算实际就是合并同类项. （2） 整式的乘法： (a + b )(m + n ) = am + an + bm + bn . （3） 整式的除法：单项式除以单项式时，把系数、相同字母的幂分别相除，作为商的因 式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式 的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 5. 乘法公式 （1） 平方差公式： (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 . （2） 完全平方公式： (a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2