正交试验设置重复的必要性和统计分析方法
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2 2 2 T2 51 + T 52 + T 53 + T 54
∑∑y
RN
2
= 715921578
SS E =
31212 各因素平方和 首先计算每列不同水平的总
= 179179
4 ×5
- C
数:
31214 随机误差平方和
3 期 王兴仁等 : 正交试验设置重复的的必要性和统计分析方法
分解如下 :
m
SS T =
k =1
∑S S
m k=1
K
+ S SB + S Se
( 2)
df T =
df K + dfB + df e ∑
( 3)
其中 SSK 、 df k 分 别 为 第 k 列 平 方 和 及 自 由 度 ,
SSB 、 dfB 分别为区组平方和及自由度 , SSe 、 dfe 分别为
(45 ) 设计方案 [ 2 ] ,其水平设计如表 1 ,正交设计表及试
2 理论基础
任何一个正交表 , 包括用 “并列法” 、 “拟因子法” 、 “裂区法” 等得到的正交表 [ 2 ] ,各列水平数都是正交趋 势系数 ,其试验效应分析都符合独立比较的原则 [ 3 ] . 因 此 ,对一个有重复 , 采用完全随机区组设计的正交试 验 ,其方差分析的线性可加模型可用下式表示 :
S =1
∑∑( y ∑∑y2 ∑∑y
1 1
R N
ij
- y)
∑T2
rR
2
h
ks
ij
R =1 i =1
SSk = - C ( 4)
- C ( k = A , B , C , D)
( 6)
ij
2
例如第一列 A 因素效应平方和
SSA = = T 11 + T 12 + T 13 + T 14 - C rR
土 壤 通 报 J un. 31 ,No . 3 第 31 卷第 3 期 J un. ,2000 2000 年 6 月 Chinese Journal of Soil Science 文章编号 :056423945 ( 2000) 0320135205
MSe 29115 ( 7) = = 2141 5 5 由此得最小显著极差于表 4. 多重比较结果见表 5. Sy =
高矮化作用最大 ,但彼此差异不显著 ,而与其它各处理 之间差异显著 . 建议今后将这五种配方进行重复试验 , 以进一步检验和选优 . 31312 因素主效应多重比较 因素主效应是指表 2 各因素不同水平之间的差异 . 首先计算各因素水平平 均值的标准差 :
m
137
SSe = S S T -
k =1
∑S S
df A = h - 1 = 4 - 1 = 3
k
= S S T - S S A - S SB - S S C - S S D - S S E = 3744162 - 46162 - 1414159 - … - 179178 = 1865178
以此类推 ,得其它因素自由度为 : dfB = 3 ,df C = 3 ,df D = 3 ,df E = 3 随机误差自由度 df e = df T - df A - dfB - df C - df D - df E = 79 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 64 或
2 2 2
= 37441622
其中
R N
( y = ( C =
j =1 i =1
∑∑y
RN
R N j =1 i =1
ij )
= 29192
ij )
756142 + 592192 + 606192 + 617102 - C 4 ×5 = 46162
同法可求得 B 、 C、 D 三个因素的平方和 .
31213 模型误差平方和 据式 ( 6)
136
土 壤 通 报 31 卷
L 16 ( 45 ) 正交设计方案及化控试验结果 ( 植高 ,cm)
2 (B) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 695. 4 667. 8 519. 1 510. 0 3 (C) 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 586. 4 614. 0 569. 1 623. 7 4 (D) 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 607. 5 556. 4 630. 4 598. 9 5 ( E) 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2 556. 4 640. 2 604. 8 591. 8
随机误并平方和及自由度 . m 列之中的空列反映了试 验中未考虑的因素效应或交互作用 ,称为失拟误差或 模型误差 [ 1 ,5 ] ,其显著性只有通过随机误差才能进行 统计检验 . ( 3) 可以进行方差分析和多重比较 . 据式 ( 2) 、
3 统计方法例解
为达到对牡丹矮生化控目的 , 采用 4 种生长延缓 剂 A、 B、 C、 D , 用 L 16 ( 215 ) 正交表通过并列法得到 L 16
∑∑y
R
r
ij
( k = 1 , 2 , …, m ; s = 1 , 2 , …, h) ( 5)
在本例中 , RN = 80 个数据的总变异可划分为 4 列 (A 、 B、 C、 D) 因素效应 ,1 列 ( E) 模型误差及 随机误 差.
312 平方和及自由度的计算 31211 总平方和
SS T = = =
j =1 i =1 R N R N
例如 A 因素第 1 水平总数 T11 .
T11 = 3416 + 3114 + …+ 1916 = 57614.
余者类推得其它列的水平总数 ,共 km = 4 × 5 = 20 个于表 2. 在此基础上 ,各因素平方和 SSk 可用下式计算 :
2
本试验为非区组设计的有重复试验 . 所以式 ( 2) 和
( 3) 区组效应不存在 . 由表 2 知 ,处理数 N = 16 ,实用列 m = 5. 其中第 5 列为空列 ,用以估计模型误差 . 重复次
数 R = 5 ,每列水平数 h = 4 ,水平重复次数据 r = 4. 收稿日期 : 1998211208 作者简介 : 王兴仁 (19402) ,男 ,辽宁东沟县人 ,教授 ,长期从事植物营养和施肥技术的教学和实践 .
y ij = μ +
k =1
∑a
ijk
+β j +ε ij
( 1)
其中 ,i = 1 ,2 , …,N ,为试验处理数 ;j = 1 ,2 , …,R , 为试验重复次数或区组数 ( 包括空列 ) . yij 为每一观测值 ;μ 为总体平均 ε 数 ;aijk 为第 k 列的试验效应 ;β j 为区组效应 ; ij 为试验 随机误差 ,服从 N ( 0 σ , ) 分布 . 据式 ( 1) ,数据总变异平方和 SST 及自由度 df T 可
df e = N ( R - 1) = 16 ×( 5 - 1) = 64
或
N R
SSe =
i =1 j =1
∑∑( y
ij
- y)
2
2 2 = ( 3416 - 31146) + ( 3114 - 33108) + … 2 + ( 1911 - 29154) = 1865178
31215 自由度
正交试验设置重复的必要性 和统计分析方法
王兴仁1 ,张录达1 , 王华方2
(11 中国农业大学 ,北京 100094 ; 21 北京林业大学 , 北京 100083)
摘 要 : 以牡丹株形化控试验为例研究了正交设计试验设置重复的必要性及统计分析方法 . 结果表 明 ,对正交设计 ,只有设置适当重复并进行方差分析和多重比较 ,才能够确定试验随机误差 ,进而对试验因 素的效应和模型误差作出科学评估 . 关 键 词 : 正交设计 ; 设置重复 ; 统计方法 中图分类号 : S131 + 13 文献标识码 : A
表2
处理号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 T1 T2 T3 T4 1 (A) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 576. 4 592. 9 606. 9 617. 0
重 复
y1 34. 6 31. 4 26. 0 28. 3 35. 7 42. 1 23. 3 32. 2 34. 3 28. 7 15. 1 28. 4 30. 7 32. 7 30. 6 33. 7 y2 33. 3 37. 3 36. 5 26. 7 41. 9 31. 3 22. 0 27. 6 38. 6 34. 7 27. 2 23. 6 34. 2 27. 3 17. 8 37. 2 y3 28. 0 29. 7 22. 0 26. 3 33. 0 35. 7 36. 1 23. 2 35. 6 33. 1 25. 0 31. 2 32. 0 35. 0 27. 1 33. 7 y4 30. 8 33. 2 17. 7 26. 0 36. 6 27. 3 35. 2 10. 9 36. 7 38. 3 24. 2 26. 7 40. 6 33. 4 25. 1 24. 0 y5 30. 6 33. 8 24. 6 19. 6 35. 7 28. 0 31. 1 4. 0 34. 2 38. 2 25. 5 27. 6 38. 6 36. 6 27. 6 19. 1
3 3
均方差 ,F 值的计算及统计检验结果见表 3. 由表 3 可知 ,各研究因素的总体效应差异极显著 , 单一因 素 ,除第 2 因素效应极显著外 ,均不显著 .
平方和 ( SS)
自由度 (df)
∑∑y
RN
2
= 715921578
SS E =
31212 各因素平方和 首先计算每列不同水平的总
= 179179
4 ×5
- C
数:
31214 随机误差平方和
3 期 王兴仁等 : 正交试验设置重复的的必要性和统计分析方法
分解如下 :
m
SS T =
k =1
∑S S
m k=1
K
+ S SB + S Se
( 2)
df T =
df K + dfB + df e ∑
( 3)
其中 SSK 、 df k 分 别 为 第 k 列 平 方 和 及 自 由 度 ,
SSB 、 dfB 分别为区组平方和及自由度 , SSe 、 dfe 分别为
(45 ) 设计方案 [ 2 ] ,其水平设计如表 1 ,正交设计表及试
2 理论基础
任何一个正交表 , 包括用 “并列法” 、 “拟因子法” 、 “裂区法” 等得到的正交表 [ 2 ] ,各列水平数都是正交趋 势系数 ,其试验效应分析都符合独立比较的原则 [ 3 ] . 因 此 ,对一个有重复 , 采用完全随机区组设计的正交试 验 ,其方差分析的线性可加模型可用下式表示 :
S =1
∑∑( y ∑∑y2 ∑∑y
1 1
R N
ij
- y)
∑T2
rR
2
h
ks
ij
R =1 i =1
SSk = - C ( 4)
- C ( k = A , B , C , D)
( 6)
ij
2
例如第一列 A 因素效应平方和
SSA = = T 11 + T 12 + T 13 + T 14 - C rR
土 壤 通 报 J un. 31 ,No . 3 第 31 卷第 3 期 J un. ,2000 2000 年 6 月 Chinese Journal of Soil Science 文章编号 :056423945 ( 2000) 0320135205
MSe 29115 ( 7) = = 2141 5 5 由此得最小显著极差于表 4. 多重比较结果见表 5. Sy =
高矮化作用最大 ,但彼此差异不显著 ,而与其它各处理 之间差异显著 . 建议今后将这五种配方进行重复试验 , 以进一步检验和选优 . 31312 因素主效应多重比较 因素主效应是指表 2 各因素不同水平之间的差异 . 首先计算各因素水平平 均值的标准差 :
m
137
SSe = S S T -
k =1
∑S S
df A = h - 1 = 4 - 1 = 3
k
= S S T - S S A - S SB - S S C - S S D - S S E = 3744162 - 46162 - 1414159 - … - 179178 = 1865178
以此类推 ,得其它因素自由度为 : dfB = 3 ,df C = 3 ,df D = 3 ,df E = 3 随机误差自由度 df e = df T - df A - dfB - df C - df D - df E = 79 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 64 或
2 2 2
= 37441622
其中
R N
( y = ( C =
j =1 i =1
∑∑y
RN
R N j =1 i =1
ij )
= 29192
ij )
756142 + 592192 + 606192 + 617102 - C 4 ×5 = 46162
同法可求得 B 、 C、 D 三个因素的平方和 .
31213 模型误差平方和 据式 ( 6)
136
土 壤 通 报 31 卷
L 16 ( 45 ) 正交设计方案及化控试验结果 ( 植高 ,cm)
2 (B) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 695. 4 667. 8 519. 1 510. 0 3 (C) 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 586. 4 614. 0 569. 1 623. 7 4 (D) 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 607. 5 556. 4 630. 4 598. 9 5 ( E) 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2 556. 4 640. 2 604. 8 591. 8
随机误并平方和及自由度 . m 列之中的空列反映了试 验中未考虑的因素效应或交互作用 ,称为失拟误差或 模型误差 [ 1 ,5 ] ,其显著性只有通过随机误差才能进行 统计检验 . ( 3) 可以进行方差分析和多重比较 . 据式 ( 2) 、
3 统计方法例解
为达到对牡丹矮生化控目的 , 采用 4 种生长延缓 剂 A、 B、 C、 D , 用 L 16 ( 215 ) 正交表通过并列法得到 L 16
∑∑y
R
r
ij
( k = 1 , 2 , …, m ; s = 1 , 2 , …, h) ( 5)
在本例中 , RN = 80 个数据的总变异可划分为 4 列 (A 、 B、 C、 D) 因素效应 ,1 列 ( E) 模型误差及 随机误 差.
312 平方和及自由度的计算 31211 总平方和
SS T = = =
j =1 i =1 R N R N
例如 A 因素第 1 水平总数 T11 .
T11 = 3416 + 3114 + …+ 1916 = 57614.
余者类推得其它列的水平总数 ,共 km = 4 × 5 = 20 个于表 2. 在此基础上 ,各因素平方和 SSk 可用下式计算 :
2
本试验为非区组设计的有重复试验 . 所以式 ( 2) 和
( 3) 区组效应不存在 . 由表 2 知 ,处理数 N = 16 ,实用列 m = 5. 其中第 5 列为空列 ,用以估计模型误差 . 重复次
数 R = 5 ,每列水平数 h = 4 ,水平重复次数据 r = 4. 收稿日期 : 1998211208 作者简介 : 王兴仁 (19402) ,男 ,辽宁东沟县人 ,教授 ,长期从事植物营养和施肥技术的教学和实践 .
y ij = μ +
k =1
∑a
ijk
+β j +ε ij
( 1)
其中 ,i = 1 ,2 , …,N ,为试验处理数 ;j = 1 ,2 , …,R , 为试验重复次数或区组数 ( 包括空列 ) . yij 为每一观测值 ;μ 为总体平均 ε 数 ;aijk 为第 k 列的试验效应 ;β j 为区组效应 ; ij 为试验 随机误差 ,服从 N ( 0 σ , ) 分布 . 据式 ( 1) ,数据总变异平方和 SST 及自由度 df T 可
df e = N ( R - 1) = 16 ×( 5 - 1) = 64
或
N R
SSe =
i =1 j =1
∑∑( y
ij
- y)
2
2 2 = ( 3416 - 31146) + ( 3114 - 33108) + … 2 + ( 1911 - 29154) = 1865178
31215 自由度
正交试验设置重复的必要性 和统计分析方法
王兴仁1 ,张录达1 , 王华方2
(11 中国农业大学 ,北京 100094 ; 21 北京林业大学 , 北京 100083)
摘 要 : 以牡丹株形化控试验为例研究了正交设计试验设置重复的必要性及统计分析方法 . 结果表 明 ,对正交设计 ,只有设置适当重复并进行方差分析和多重比较 ,才能够确定试验随机误差 ,进而对试验因 素的效应和模型误差作出科学评估 . 关 键 词 : 正交设计 ; 设置重复 ; 统计方法 中图分类号 : S131 + 13 文献标识码 : A
表2
处理号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 T1 T2 T3 T4 1 (A) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 576. 4 592. 9 606. 9 617. 0
重 复
y1 34. 6 31. 4 26. 0 28. 3 35. 7 42. 1 23. 3 32. 2 34. 3 28. 7 15. 1 28. 4 30. 7 32. 7 30. 6 33. 7 y2 33. 3 37. 3 36. 5 26. 7 41. 9 31. 3 22. 0 27. 6 38. 6 34. 7 27. 2 23. 6 34. 2 27. 3 17. 8 37. 2 y3 28. 0 29. 7 22. 0 26. 3 33. 0 35. 7 36. 1 23. 2 35. 6 33. 1 25. 0 31. 2 32. 0 35. 0 27. 1 33. 7 y4 30. 8 33. 2 17. 7 26. 0 36. 6 27. 3 35. 2 10. 9 36. 7 38. 3 24. 2 26. 7 40. 6 33. 4 25. 1 24. 0 y5 30. 6 33. 8 24. 6 19. 6 35. 7 28. 0 31. 1 4. 0 34. 2 38. 2 25. 5 27. 6 38. 6 36. 6 27. 6 19. 1
3 3
均方差 ,F 值的计算及统计检验结果见表 3. 由表 3 可知 ,各研究因素的总体效应差异极显著 , 单一因 素 ,除第 2 因素效应极显著外 ,均不显著 .
平方和 ( SS)
自由度 (df)
