正交试验设计方法

第5章正交试验设计方法

5. 1试验设计方法概述

试验设计是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到 的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。试验设计方法主要讨论如何合理地安 排试验以及试验所得的数据如何分析等。

例5-1某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水 平进行试验（见表5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。

对此实例该如何进行试验方案

的设计呢？ 表5-1因素水平

很容易想到的是全面搭配法方

案（如图5-1所示）： 水平 因素 温度。C 压力Pa 加碱量kg

符号 T P

m

此方案数据点分布的均匀性极

好，因素和水平的搭配十分全面，唯 1

............................................................... . 2

一的缺点是实验次数多达33 = 27次 3 T1(80 ) P1(5.0) m 1(2.0)

T2(100) p2(6.0) m2(2.5)

T3(120) p3(7.0) m3(3.0)

每因素有3个水平）。因素、水平数

愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需36 = 729次实验，显然 难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。

图5 — 1全面搭配法方案

试验设计方法常用的术语定义如下。

试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）。 例1的试验指标为合格产品的产量。

因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些 原因。如例1的温度、压力、碱的用量。

水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如例1的温度有3个水平。

温度用T表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为孔、T2、T3。

常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平 单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计

法等。可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定的特点。所面对的任 务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。由于篇幅的限制，我们只讨 论正交试验设计方法。

5. 2正交试验设计方法的优点和特点

用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。其特点为：①完成试验要求 所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、 回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。

从例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次实验。那么采用简单比较法方案又如 何呢？

先固定T1和p1，只改变m，观察因素m不同水平的影响，做了如图2-2 (1)所示的三 次实验，发现m=m2时的实验效果最好(好的用 口 表示)，合格产品的产量最高，因此 认为在后面的实验中因素m应取m2水平。

咨 ----- A ------ ------ 项］ £ --------- ------ --- Pi 压 ----------- 临 --- --- 坯

--- 肉 I ------ 此 ---

啊 --- 口3 --- Ti

(1) ( 2) 3 )

图5-2简单比较法方案

固定T1和m2,改变p的三次实验如图5-2 (2)所示，发现p = p3时的实验效果最好， 因此认为因素P应取P3水平。 3

固定？3和皿2,改变T的三次实验如图5-2 (3)所示，发现因素T宜取T2水平。

因此可'以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为Tp m :与全面搭配

2 3 2

法方案相比，简单比较法方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，简 单比较法方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变m值(或p值，或T值)的三次实 验中，说m (或p或T )水平最好是有条件的。在T尹T，p尹p时，m水平不是最好

2 3 2 1 1 2

的可能性是有的。②在改变m的三次实验中，固定T =T2, p =p3应该说也是可以的，是 随意的，故在此方案中数据点的分布的均匀性是毫无保障的勺。③用这种方法比较条件好坏 时，只是对单个的试验数据进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的 干扰。

运用正交试验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分 布均匀，结论的可靠性较好。

正交试验设计 方法是用正交表来安排试验的。对于例1适用的正交表是L9 (34)， 其试验安排见表5-2。

所有的正交表与L9 (34)正交表一样，都具有以下两个特点：

(1) 在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L9 (34)中，每一列有三 个水平，水平1、2、3都是各出现3次。

(2) 表中任意两列并列在一起形成若干个数字对，不同数字对出现的次数也都相同。 在表L9(34)中，任意两列并列在一起形成的数字对共有9个：(1,1 )，(1,2)，(1,3)，(2,1)， (2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，每一 个数字对各出现一次。

试验安排表

表5- 2

____ 歹.号 __________ 1 ______ 2 __________ 3 __________ 4

试验号 因素 ________ 温度。C ______ 压力Pa ______ 加碱量kg ________________

符号 T ________ p m ____________________

1 1(T1) 1 (P1) 1 (m1) 1

2 1(T1) 2 (P2)

2 (m2) 2

3 1(T1) 3 (P3) 3 (m3) 3

4 2(T2) 1 (p1) 2 (m2) 3

5 2(T2) 2 (P2) 3 (m3) 1

6 2(T2) 3 (P3) 1 (m1) 2

7 3 (T3) 1 (P1) 3 (m3) 2

8 3(T3) 2 (P2) 1 (m1) 3

9 3 (T )

3 3 (P°) 2 (叫) 1

3 2

这两个特点称为正交性。正是由于正交表具有上述特点，就保证了用正交表安排的试 验方案中因素水平是均衡搭配的，数据点的分布是均匀的。因素、水平数愈多，运用正交 试验设计方法，愈发能显示出它的优越性，如上述提到的6因素3水平试验，用全面搭配 方案需729次，若用正交表L27(313)来安排，则只需做27次试验。

在化工生产中，因素之间常有交互作用。如果上述的因素T的数值和水平发生变化 时，试验指标随因素p变化的规律也发生变化，或反过来，因素p的数值和水平发生变化 时，试验指标随因素T变化的规律也发生变化。这种情况称为因素T、p间有交互作用，记 为 TXp。

5. 3正交表

使用正交设计方法进行试验方案的设计，就必须用到正交表。正交表请查阅有关参考书。

5.3.1各列水平数均相同的正交表

各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表。这类正交表名称的写法举例如下:

各列水平均为2的常用正交表有：L4 (23)，L8 (27)，L12(211 )，L16 (2i5)，L20⑵9)， L32(231 )。

各列水平数均为3的常用正交表有：L9 (34)，L27 (313)。

各列水平数均为4的常用正交表有：L16 (45)

各列水平数均为3的常用正交表有：L25 (56)

5.3.2混合水平正交表 正交表的列数

每一列的水平数

实验的次数 正交表的代号 各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一个混合水平正交表名称 的写法：

L8(41 X24)

---------- 2水平列的列数为4

---------------- 4水平列的列数为1

I ----------- 实验的次数

I ------------- 正交表的代号

L 8 (41 X24)常简写为L8 (4X24)。此混合水平正交表含有1个4水平列，4个2水 平列，共有1+4=5列。

5.3.3选择正交表的基本原则

一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用的L表。在确定因素的水 平数时，主要因素宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。

(1) 先看水平数。若各因素全是2水平，就选用L(2*)表；若各因素全是3水平，就 选L(3*)表。若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。

(2) 每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的正交表是否足够大，能 否容纳得下所考虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须 至少留一个空白列，作为“误差，，歹L在极差分析中要作为“其他因素，，列处理。

(3) 要看试验精度的要求。若要求高，则宜取实验次数多的L表。

(4) 若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选 实验次数太多的L表。

(5) 按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若无正好适用的正交表可选， 简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。

(6) 对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，选择L表时常为 该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的 因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析 进行显著性检验时再做结论。这样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。

5.3.4正交表的表头设计

所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在正交表中该放在哪一列的 问题。

(1) 有交互作用时，表头设计则必须严格地按规定办事。因篇幅限制，此处不讨论， 请查阅有关书籍。

(2) 若试验不考虑交互作用，则表头设计可以是任意的。如在例5-1中，对L9 (34) 表头设计，表5-3所列的各种方案都是可用的。但是正交表的构造是组合数学问题，必须满 足5.2中所述的特点。对试验之初不考虑交互作用而选用较大的正交表，空列较多时，最好

仍与有交互作用时一样，按规定进行表头设计。只不过将有交互作用的列先视为空列，待

表5- 3 L9 ( 3 4)表头设计方案

列 号 1 2 3 4

1 T P m 空

方案 2 空 T p m