苏教版数学高二-湖南省攸县一中高二数学《数系的扩充与复数的概念》教案

高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【一】教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程(一)问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二)回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。

大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。

现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。

(三)类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?2、历史重现：3、探究复数的一般形式：(四)新的数集——复数集1.复数的定义(略)2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。

(五)复数的分类(六)复数相等的充要条件复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。

课后小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。

《第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析第一节数系的扩充和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．●教学目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．●教学重点（1）数系的扩充过程．（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．（3）复数的几何意义．●教学难点（1）虚数单位i的引进．（2）复数的几何意义．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩充和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义．●课标对本节内容的处理特点数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．（3）在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》要求“掌握”．从这上点上看，《课标》要求降低了．●教学建议1．关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议（1）课题的引入．教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：①在自然数集N中，方程10x+=有解吗？②在整数集Z中，方程21x=有解吗？③在有理数集Q中，方程2x＝2有解吗？④在实数集R中，方程．有解吗？（2）回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程．帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．可让学生思考如下问题：一一对应① 从自然数集N 扩充到实数集R 经历了几次扩充？② 每一次扩充的主要原因是什么？③ 每一次扩充的共同特征是什么？然后师生共同归纳总结：扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展．（3）提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程210x +=在新的数集中的解？（4）引入虚数单位i ．（5）学习复数的概念．（6）规定复数相等的意义．（7）研究复数的分类．（8）告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由： ① ,a bi c di a c b d +=+⇔==；在,a c b d ==两式中，只要有一个不成立，则a bi c di +≠+．② 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小．③ “不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：对于任意实数a ，b 来说，a b <，a b =，b a <这种情况有且只有一种成立； 如果,a b b c <<，那么a c <；如果a b <，那么a c b c +<+；如果,0a b c <<，那么ac bc <．2．关于“复数的几何意义”的教学建议（1）帮助学生认识复数的几何表示．复数的几何表示就是指用复平面内的点Z （,a b ）来表示复数z a bi =+．① 明确“复平面”的概念．② 建立复数集C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系，即 复数z a bi =+ 复平面内的点Z （,a b ）．（2）帮助学生认识复数的向量表示．复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z a bi =+．①认识复平面内的点Z （,a b ）与向量OZ 的一一对应关系．② 在相互联系中把握复数的向量表示：复数z a bi =+一一对应 一一对应 一一对应点Z （,a b ） 向量OZ（3）用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识．在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点（原点除外）一一对应，非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应．可通过一组练习题来强化这一认识．第二节 复数代数形式的四则运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算．●教学目标（1）掌握复数代数形式的加减运算法则．（2）了解复数代数形式的加减运算的几何意义．（3）理解复数代数形式的乘除运算法则．（4）体验复数问题实数化的思想方法．●教学重点（1）复数代数形式的加减运算及其几何意义．（2）复数代数形式的乘除运算．（3）复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用．●教学难点（1）复数代数形式的加减运算的规定．（2）复数代数形式的加减运算的几何意义的理解．（3）复数代数形式的乘除运算法则的运用．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第2课时研究复数代数形式的乘除运算．●课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四则运算，《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：（1）《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了数形结合思想方法；（2）《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法．●教学建议1．复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性．这种合理性应从数系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立．2．复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数减法和除法的运算法则．3．复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用21i =-，将它们归结为实数的四则运算．在具体运算情境中，引入共轭复的概念，明确公式22a bi a bi a b+-=+是复数除法中“分母实数化”的()()基础，不必让学生专门计忆复数除法法则．从而让学生体验复数问题实数化的思想方法．4．要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加减运算的几何意义．。

目标定位：数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需要．复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．《标准》在选修1-2与选修2-2中设计了数系的扩充与复数的引入的内容，突出数系的扩充过程，实现了基础教育数学课程中数系从实数到复数的又一次扩充．《标准》强调复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义，淡化烦琐的计算和技巧性训练，从而体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用，有助于发展学生的创新意识．引进虚数，把实数集扩充到复数集，这是中学课程里数的概念的最后一次扩充．虚数的引入，虽然最先是由于数学本身的需要，但也只有当复数表示平面上的点这一几何解释出现之后，在解决实际问题中才得到广泛的应用，复数才被人们承认并且巩固了下来．复数与平面向量有着密切的联系．复数的向量形式是它的几何意义之一；借助向量，我们可以得到复数的加法法则，并赋予其几何意义；复数减法的几何意义与向量减法也是一致的．这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．同时，复数作为一种新的“数学语言”也为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能．数系的扩充与复数的引入与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，删去了复数的三角形式以及复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等内容，突出了数系的扩充过程、复数的代数表示法、代数形式的四则运算以及加减运算的几何意义．教材解读：复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《标准》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一，也是高中数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．它们是数学思维能力的具体体现．数系的扩充与复数的引入具体地综合体现了上述数学思维过程．这些使得学生可以在以往具体经历各种数学思维方式的基础上，在更高层次上加以理解．本章教学内容虽然不多，但中学阶段重要的数学思想方法都有所体现．时，常用到待定系数法建立相应的方程组来解决．这充分体现了转化化归思想和方程思想．复数包括实数和虚数两部分，虚数还分纯虚数和非纯虚数．解决与复数概念有关的问题时，对虚部b的讨论十分关键．要合理地加以分类讨论，要注意不重复且不遗漏．复数的四则运算可类比实数运算来学习，但它不是实数运算合情推理的结果，而是一种“规定”，是新的定义．复数的四则运算本身也是一个建构的过程，其前提是对虚数单位i的两个规定，从而形成了一个具有公理化结构特点的小系统．公理化思想的有机渗透，对学生体会数学精神，感悟数学本质很有教育价值．。

第三章数系的扩充与复数的引用3．1数系的扩充(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数的单位；理解复数的有关概念与复数的分类，理解并掌握复数相等的定义．2．过程与方法体会实际需要与数学矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．3．情感、态度与价值观体会数学的发展来源于实践，又利于推动社会的发展进步和数学问题的解决，形成数学应用意识．●重点难点重点：对引入复数的必要性的认识，复数的基本概念和复数相等的充要条件．难点：虚数单位i的引入和复数的基本概念．为了突出重点，突破难点，多创设问题情境，引发学生的认知冲突，激发学生将实数系扩充的欲望，教师适度点拨引导，通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数“i”开始，复数的分类、复数的概念、复数的相等关键是抓住复数的代数形式，这样抓住突破问题的关键所在，有利于突破难点．(教师用书独具)●教学建议1．关于复数概念的教学关于复数概念的教学，建议教师很好地利用课本中解决x2＝－1这一问题，让学生了解复数引入的背景，很好地理解虚数单位i的意义，以及复数的形式，掌握复数的实部与虚部的概念．2．关于复数分类的教学关于复数分类的教学，建议教师从复数的实部与虚部出发，让学生掌握复数的分类取决于实部与虚部的取值，并且通过例题让学生能够熟练地对复数的分类进行判断，另外注意与以前学过的数的衔接．3．关于复数相等的充要条件的教学关于复数相等的充要条件的教学，建议教师在教学中先让学生自学，再进行点拨，使学生从练习中体会将复数相等的问题转化为方程组解的问题的思想，解决此类问题．●教学流程创设问题情境，结合知识点1、2中的问题引入复数的概念并分类，定义复数相等的充要条件．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握复数的概念、性质及应用.⇒通过例2及其互动探究，理解复数的分类；求解的关键是列出实部、虚部应满足的条件(方程或不等式)．⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握两个复数相等的充要条件.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识和数学思想方法.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.课标解读1.理解复数的基本概念、复数的代数表示(重点)．2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用(重点、难点)．3．实部、虚部的概念(易混点).复数的概念及代数表示【问题导思】若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗．【提示】有解，x＝±i.1．虚数单位我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：(1)i2＝－1；(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．复数、复数集(1)形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．复数的分类与复数相等1.复数的分类复数z＝a＋b i(a，b∈R)，当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z是虚数；当a＝0且b≠0时，z是纯虚数．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，特别地，若a＋b i＝0⇔a ＝b＝0．复数的概念判断下列命题是否正确？为什么？(1)若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；(2)当z∈C时，z2≥0；(3)若实数a与a i对应，则实数与纯虚数一一对应；(4)若a＞b，则a i＞b i.【思路探究】(1)理解复数的有关概念；(2)命题真假的判断，可根据复数的概念通过举反例的形式进行．【自主解答】(1)中，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，(1)是假命题．(2)错误，当且仅当z∈R时，z2≥0成立，但z＝i时，z2＜0.(3)错误，当a＝0时，a i＝0，此时不满足实数与纯虚数对应．(4)错误，两个复数不全是实数不能比较大小．1．数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立，这是特别应注意的，以防思维定势．2．在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件，利用举反例的形式否定一个命题是常用的方法．下列给出的四个命题：①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；④复数z＝－1＋i的虚部是i.其中，正确的命题个数是________．【解析】由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，∴①错．两个虚数不能比较大小(除非均为实数)，②错．当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0不是纯虚数，③错．复数z ＝－1＋i 的虚部是1不是i ，④错． ∴正确的命题个数是0. 【答案】 0复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 【思路探究】 复数的分类标准―→列出方程（不等式）（组）―→解出m ―→结论【自主解答】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2.∴当m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，解得m ＝－3. ∴当m ＝－3时，复数z 是纯虚数．1．本例中，极易忽略对m≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．若例题中的复数“z＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m)i ”改为复数“z＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i (a∈R )”，试求当a 为何值时，z 是实数？z 是纯虚数？【解】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．复数相等的充要条件已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，求实数x ，y 的值．【思路探究】 根据两复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等，列方程组求解． 【自主解答】 ∵x ，y 为实数，∴2x －1，y ＋1，x －y ，－x －y 均为实数，由复数相等定义，⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.因此实数x ＝3，y ＝－2.1．本题的解题关键是两复数相等的充要条件，要注意只有在代数形式下确定实部、虚部后才能运用复数相等的条件．2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．如果(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝(3x ＋2y)＋y i ，求实数x ，y 的值． 【解】 由两复数相等的充要条件知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴实数x ＝－1，y ＝2.对纯虚数的概念把握不准致误实数m 取何值时，复数z ＝m 2＋m －2m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数？【错解】 由题意得 m 2＋m －2m ＋3＝0， 解之得m ＝－2或m ＝1.∴当m ＝－2或m ＝1时，复数z 是纯虚数．【错因分析】 错解中忽略了“纯虚数的虚部不能为零”这一条件，从而产生了增解． 【防范措施】 1.复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )是纯虚数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，二者缺一不可．2．对复数分类时，切记复数的实部、虚部要都有意义． 【正解】 要使复数z 是纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝1，m ≠－2且m ≠－3，∴m ＝1. 故当m ＝1时， 复数z 是纯虚数．1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别 .对于纯虚数b i (b≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解，为利用方程思想提供了条件．3．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等．若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．如a ＋b i ＞0(a ，b ∈R )⇔a ＞0且b ＝0.1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________． 【解析】 2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i 的实部为－2. ∴所求复数z ＝2－2i . 【答案】 2－2i2．(2013·连云港高二检测)若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝________． 【解析】 由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，即1＋x i ＝y ＋2i ，根据两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i. 【答案】 2＋i3．若a －b －2i ＝1＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝________． 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，－2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，∴a 2＋b 2＝5. 【答案】 54．已知m∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ？(2)z 是虚数？(3)z 是纯虚数？【解】 (1)z ∈R 时，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.(2)z 为虚数时，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)z 为纯虚数时，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋2）m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2. 综上知，当m ＝－3时，z ∈R ；当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数；当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数．一、填空题1．设a ，b ∈R ，则“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的____条件．【解析】 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．【答案】 必要不充分2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a ＝________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4.【答案】 －43．(2013·张家港高二检测)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.【答案】 －14．若复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝b i ，a ，b 均为实数，且z 1＝z 2，则a －b ＝________． 【解析】 由z 1＝z 2，得a ＝0，b ＝2，∴a －b ＝－2. 【答案】 －25．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则有下列结论：①A ∪B ＝C ；②∁S A ＝B ；③A∩∁S B ＝∅；④B∪∁S B ＝C. 其中正确的是________．【解析】 ①显然错误；∁S A ＝{虚数}，故②错误；A∩∁S B ＝A ，故③错误；④正确． 【答案】 ④6．(2013·无锡市高二检测)设a∈R ，且a ＋2i 2为正实数，则a 的取值范围是________． 【解析】 a ＋2i 2＝a －2为正实数， ∴a －2＞0，则a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)7．下列说法正确的个数是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y)i ，其中x∈R ，y ∈∁CR ，其中C 为复数集，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ）； ②2＋i ＞1＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在．【解析】 ①中，由y ∈∁CR ，C 为复数集知，y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），不成立，故①错误；②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；③中，对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数，若a ＝－1，则(a ＋1)i 是0，不是纯虚数，故③错误；④中，实数的虚部为0，故④错误． 【答案】 08．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的值为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，log 2（x 2－3x －2）＞1，∴x ＝－2. 【答案】 －2 二、解答题9．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值． 【解】 由纯虚数的定义知，log 2(m 2－3m －3)＝0且log 2(m －2)≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2＞0且m －2≠1，解得m ＝4. 10．(2013·徐州高二检测)已知复数z ＝m(m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时，复数z 是(1)0 ；(2)纯虚数；(3)z ＝2＋5i?【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －1）＝0，m 2＋2m －3＝0.可得m ＝1；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －1）＝0，m 2＋2m －3≠0.可得m ＝0；(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －1）＝2，m 2＋2m －3＝5.可得m ＝2；综上：当m ＝1时，复数z 是0；当m ＝0时，复数z 是纯虚数；当m ＝2时，复数z 是2＋5i .11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，其中x ，y ∈R ，求复数z ＝y －x i.【解】 由题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝(3x ＋2y )＋y i ，∴(3x ＋2y )＋y i ＝(x ＋y )＋(x ＋3)i(x ，y ∈R )． 由复数相等定义，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝x ＋y ，y ＝x ＋3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∴复数z ＝2＋i.(教师用书独具)已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数k 的值．【自主解答】 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由两个复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0.解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴实数k 的值为±2 2.(2013·常州高二检测)求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 值．其中x ∈R ，y 是纯虚数．【解】 设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ， 即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4.因此x ＝－32，y ＝4i. 3．2复数的四则运算第1课时 复数的加法、减法、乘法运算(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能理解复数代数形式的加法、减法与乘法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法、乘法运算．2．过程与方法渗透转化思想，经历探究过程，提高数学运算能力．3．情感、态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．●重点难点重点：复数代数形式的加法、减法、乘法运算．难点：复数减法、乘法运算与算法的理解．复数的加(减)法、乘法运算法则均是作为“规定”给出的，在教学中，引导学生领会这样处理的合理性，加深对运算法则的理解．为了突破难点，类比实数的减法、类比多项式的合并同类项与乘法，减少不必要的公式记忆，减少运算错误．(教师用书独具)●教学建议1．关于复数加法、减法法则的教学类比多项式的合并同类项，应用复数的加法、减法法则的关键是确定复数的实部和虚部，然后是复数实部与实部，虚部与虚部的加、减运算，要正确运用法则．2．关于复数乘法运算的教学类比多项式的乘法法则，但要把i2化为－1，明确实数系的乘法公式在复数系仍然成立，不仅可以简化运算，而且为引出共轭复数提供实例支持，为进一步学习复数的除法做点准备．●教学流程创设问题情境，结合知识点1，2中的问题给出复数加(减)、乘法法则和共轭复数的定义，明确运算律．⇒通过例1及其变式训练，让学生掌握复数的加减运算.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握复数代数形式的乘法.⇒通过例3及其互动探究，理解共轭复数并掌握有关运算.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行学后反馈、矫正.课标解读1.掌握复数代数形式的加减运算(重点)．2．理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算(重点、难点)．3．掌握共轭复数的概念及应用(易错点).复数的加减法【问题导思】1．已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．复数的加法满足交换律和结合律吗？【提示】满足．2．若复数的z1，z2满足z1－z2＞0，能得到z1＞z2吗？【提示】不能，如(2＋i)－i＞0，但2＋i与i不能比较大小．1．复数的加法、减法法则(1)条件：z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(其中a，b，c，d均为实数)．(2)加法法则：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2．运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1．(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．复数的乘法与共轭复数【问题导思】1．复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？【提示】类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．2．复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积．【提示】两复数实部相等，虚部互为相反数；z1·z2＝a2＋b2，积为实数．3．是否存在复数z，使z＝z?【提示】存在，当z∈R时，z＝z.1．复数的乘法(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z32.共轭复数(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数z＝a＋b i的共轭复数是z＝a －b i．(2)关系：若z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数⇔a＝c且b＝－d．(3)当复数z＝a＋b i的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．复数的加法、减法运算已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y－2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2且z ＝13－2i ，求z 1，z 2.【思路探究】 着眼于(1)复数的加减运算法则，(2)复数相等的充要条件． 【自主解答】 z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. ∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.1．复数的加减法可以推广到多个复数连续加减．2．把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项．(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.【解】(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.(2)由z＋1－3i＝5－2i，得z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.复数的乘法运算(1)若复数(m2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m＝________．(2)(2012·重庆高考)若(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b ＝________．【思路探究】利用复数乘法及复数相等的充要条件．【自主解答】(1)∵(m2＋i)(1＋m i)＝m2－m＋(m3＋1)i，∵(m2＋i)(1＋m i)是实数，∴m3＋1＝0，则m＝－1.(2)∵a＋b i＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，∴a＝1，b＝3.∴a＋b＝4.【答案】(1)－1 (2)41．复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．第(2)题利用复数相等条件，求a，b.2．三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(1)设a∈R，且(a＋i)2·i为正数，则a＝________．(2)(2012·山东高考改编)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝________．【解析】(1)∵(a＋i)2·i＝[(a2－1)＋2a i]i＝－2a＋(a2－1)i.依题意－2a＞0且a2－1＝0，∴a＝－1.(2)设z＝x＋y i(x，y∈R)，则z(2－i)＝(x＋y i)(2－i)＝(2x＋y)＋(2y－x)i.从而2x ＋y ＋(2y －x )i ＝11＋7i ，∴2x ＋y ＝11且2y －x ＝7，从而x ＝3且y ＝5， 故z ＝3＋5i.【答案】 (1)－1 (2)3＋5i共轭复数的概念复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数．【思路探究】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，要求z ，关键在于求x ，y .根据共轭复数的性质、复数相等的充要条件，把复数的代数运算转化为实数运算．【自主解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ， ∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ， 因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i.得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.1．有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：(1)设z＝a＋b i，则z·z ＝a2＋b2；(2)z∈R⇔z＝z.2．紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．若把例题中复数z满足的条件改为“3z＋(z－2)i＝2z－(1＋z)i”，试求复数z.【解】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i.∵3z＋(z－2)i＝2z－(1＋z)i，∴3(a＋b i)＋(a－2－b i)i＝2(a－b i)－(1＋a＋b i)i，∴3a＋b＋(3b＋a－2)i＝2a＋b－(2b＋a＋1)i，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝2a ＋b ，3b ＋a －2＝－2b －a －1， 解之得a ＝0且b ＝15.故所求的复数z ＝15i.转化思想在复数求解中的应用(满分14分)已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .【思路点拨】 根据共轭复数的概念，设出z 和z 的代数形式，然后代入所给等式，利用两个复数相等的充要条件求解．【规范解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R ).2分 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，6分则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，12分所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.14分1．运用共轭复数的概念与复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．正确熟练地进行复数运算是解题的基础．2．求解复数问题，一般设出复数的代数形式，利用有关概念和性质，将复数问题转化为实数问题，复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法．1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如，(3－2i)＋2i ＝3.3．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．4．理解共轭复数的性质：(1)z∈R⇔z＝z.(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋b i)(a－b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．1．(2013·浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i )·(2－i )＝________． 【解析】 (－1＋i )(2－i )＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i . 【答案】 －1＋3i2．(2013·徐州高二检测)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则zz －z －1＝________． 【解析】 ∵z＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i )(1－i )＝2， ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i )－1＝－i . 【答案】 －i3．设复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i (x ，y ∈R )，若z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 【解析】 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )， 由复数相等定义，得x ＝2且y ＝8， ∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i. 【答案】 －1＋10i4．计算：(1)(1＋i )(1－i )＋(－1＋i )； (2)(－12＋32i )(32＋12i )(1＋i )．【解】 (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i . (2)原式＝[(－34＋34i 2)＋(34－14)i ](1＋i ) ＝(－32＋12i )(1＋i )＝－32－32i ＋12i －12＝－1＋32＋1－32i .一、填空题1．(2013·无锡高二检测)复数z 满足z －(1－i )＝2i ，则z 等于________． 【解析】 ∵z－(1－i )＝2i ， ∴z ＝1－i ＋2i ＝1＋i . 【答案】 1＋i2．若复数(1＋b i )(2＋i )是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝________． 【解析】 (1＋b i )(2＋i )＝(2－b)＋(2b ＋1)i ， 令2－b ＝0且2b ＋1≠0， ∴b ＝2. 【答案】 23．(2013·常州高二检测)设复数z 满足i (z ＋1)＝－3＋2i (i 为虚数单位)，则z 的实部是________．【解析】 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ∴－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，由复数相等定义，a ＋1＝2且b ＝3，∴a ＝1. 即z 的实部为1. 【答案】 14．(2012·湖南高考改编)复数z ＝i (i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是________． 【解析】 ∵z＝i (i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ， ∴z 的共轭复数是z ＝－1－i .【答案】 －1－i5．设f(z)＝z ，若z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f(z 1－z 2)＝________． 【解析】 ∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ， ∴z 1－z 2＝3＋4i －(－2－i )＝5＋5i ， ∵f(z)＝z ，∴f(z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i . 【答案】 5＋5i 6．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为________． 【解析】 ∵z 2＝(32－a i)2＝(34－a 2)－3a i ， ∴(34－a 2)－3a i ＝12－32i(a ∈R )， 则⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，3a ＝32，∴a ＝12.【答案】 127．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________． 【解析】 z 2＝t －i ，z 1·z 2＝(3＋4i )(t －i )＝(3t ＋4)＋(4t －3)i 是实数， ∴4t －3＝0，∴t ＝34.【答案】 348．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则复数z ＝p ＋q i (p ，q ∈R )等于________．【解析】 (－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0，整理得(q －p )＋(p －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧q －p ＝0，p －2＝0，∴p ＝q ＝2. 故z ＝p ＋q i ＝2＋2i. 【答案】 2＋2i 二、解答题 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i (a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，求z 1，z 2.【解】 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝(32a ＋33b )＋(a －b －1)i ＝4 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i.10．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z.【解】 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i 整理，得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i ，故有⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝－4，2x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， 所以复数z ＝1＋2i.11．已知复数z ＝(1－i )2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i (a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数．【解】 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ， 由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得 (1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， ∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i.(教师用书独具)已知复数z ＝1＋i ，实数a ，b 满足az ＋2bz ＝(a ＋2z )2成立，求a ，b 的值． 【自主解答】 az ＋2bz ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， ∴(a ＋2b )＋(a －2b )i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2. ∴所求实数a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.已知复数z 1满足z 1－2＝(1＋i )·i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2的值． 【解】 由z 1－2＝(1＋i )·i ＝(1＋i)(－i)＝1－i ， ∴z 1＝2＋(1－i)＝3－i ，∵z 2的虚部为2.∴可设z 2＝a ＋2i(a ∈R )．则z 1·z 2＝(3－i)(a ＋2i)＝(3a ＋2)＋(6－a )i 为实数． ∴6－a ＝0，即a ＝6，因此z 2＝6＋2i.第2课时复数的乘方与除法运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握复数的代数形式的乘方与除法运算法则，理解i n(n∈N*)的周期性．2．过程与方法通过复数除法的运算过程理解复数的除法运算实质是分母实数化问题．3．情感、态度与价值观通过对复数除法法则合理性的探究，让学生用联系的观点看问题，培养学生的探索精神．●重点难点重点：复数代数形式的乘方与除法运算．难点：复数除法运算及应用．为了突出重点，突破难点，将复数的除法作为乘法的逆运算，让学生相互交流，研讨得出除法运算法则；同时充分运用类比思想，将复数的除法与实数除法类比，复数的除法与根式除法的有理化类比．(教师用书独具)●教学建议1．关于复数代数形式的乘方、除法运算法则的教学教学时，建议教师采取类比的方法进行教学：类比多项式乘方进行复数乘方运算教学(但i 2要化为－1)，类比根式除法的分母有理化进行复数除法运算教学(利用分数的基本性质，把分子分母同乘以分母的共轭复数转化成复数乘法进行运算)．2．关于虚数单位i 的幂的周期性的教学教学时，建议教师对i 的幂的周期性加以归纳，对它的考查常和数列相结合，其周期是4，即i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．同时注意(1±i)2＝±2i ，1－i 1＋i＝－i ，1＋i1－i＝i 在简化运算中的应用． ●教学流程创设问题情境，根据问题归纳i n的性质，乘方运算与复数的除法运算法则.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握i n 的周期性及其应用，并注意简化运算.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握复数代数形式的除法运算（分母实数化）.⇒完成例3及其变式训练，熟练进行复数代数形式的四则运算，理解一些简单运算技巧.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.课标解读1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立(重点)．2．理解复数商的定义，能够进行复数除法运算(重点、难点)．3．了解i幂的周期性(易错点).复数的乘方与i n(n∈N*)的周期性【问题导思】1．若z∈C，则z2＝z2正确吗？【提示】不正确．若z＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2ab i，z2＝a2－b2－2ab i.2．计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测i n(n∈N*)的值是什么规律吗？【提示】i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n ＝1(n∈N*)．1．复数范围内正整数指数幂的运算性质设对任何z∈C及m，n∈N*，则z m z n＝z m＋n，(z m)n＝z mn，(z1z2)n＝z n1z n2.2．虚数单位i n(n∈N*)的周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ．复数的除法【问题导思】如何规定两复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)相除？ 【提示】 通常先把(a ＋b i )÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘c －d i ，化简后可得结果．把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，且x ＋y i ＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ．i 的运算特征计算下列各式的值．(1)1＋i ＋i 2＋…＋i2 012＋i2 013；(2)(1－1i)2 014＋(1－i)2 014.【思路探究】 (1)由等比数列求和公式与i 的周期性，(2)注意到(1±i)2＝±2i ，再利用复数乘方的运算律．【自主解答】 (1)1＋i ＋i 2＋…＋i2 012＋i2 013＝1－i 2 0141－i ＝1－i 21－i＝1＋i.(2)∵1－1i ＝1＋i 2i ＝1＋i ，且(1±i)2＝±2i.∴(1－1i )2 014＋(1－i)2 014＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i 3－21 007i 3＝0.1．虚数单位i 的性质： ①i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1(n∈N *)．②i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．2．复数的乘方运算，要充分适用(1＋i )2＝2i ，(1－i )2＝－2i ，1i＝－i 及乘方运算律简化运算．计算i2 006＋(2＋2i )8－(21－i )50.【解】 i 2 006＋(2＋2i )8－(21－i)50＝i4×501＋2＋[2(1＋i )2]4－[2（1－i ）2]25＝i 2＋(4i )4－i 25＝－1＋256－i ＝255－i .复数的除法(1)设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________．(2)(2012·课标全国卷改编)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是________【思路探究】 运用复数乘除运算法则与共轭复数的概念． 【自主解答】 (1)2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i )2＝2（1－i ）2＋2i ＝1＋i . (2)∵z＝－3＋i 2＋i ＝（－3＋i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝－5＋5i5＝－1＋i .∴z 的共轭复数z ＝－1－i . 【答案】 (1)1＋i (2)－1－i1．这类问题求解的关键在于“分母实数化”，类似于根式除法的分母“有理化”． 2．复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式．(1)设i 是虚数单位，则i 3（i ＋1）i －1等于________．(2)复数z 满足(1＋2i )·z ＝4＋3i ，则z ＝________．【解析】 (1)∵i ＋1i －1＝（1＋i ）2－（1－i ）（1＋i ）＝2i－2＝－i ，∴i 3（i ＋1）i －1＝i 3·(－i )＝－i 4＝－1.(2)∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）5＝10－5i5＝2－i ，∴复数z ＝2－i ＝2＋i . 【答案】 (1)－1 (2)2＋i复数四则运算的综合应用计算：(1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2； (2)（2＋2i ）3（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）.【思路探究】 解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．【自主解答】 (1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2＝（1＋23i ）i 1＋23i＋(5－1)－2i 2＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22（1＋i ）3（5－4i ）i（5－4i ）（1－i ）＝22（1＋i ）4i （1－i ）（1＋i ）＝22[（1＋i ）2]2·i 2＝2·(2i )2·i＝－42i .1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减. 2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用：(1)a ＋b i b －a i ＝（a ＋b i ）i b i －a i 2＝（a ＋b i ）i a ＋b i ＝i .利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；(2)记住一些简单结论如1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i ，(1±i )2＝±2i 等．计算：(1)3＋2i 2－3i ＋(－32－i 2)6；(2)－23＋i 1＋23i＋(21＋i )2＋（4－8i ）2－（－4＋8i ）24＋3i .【解】 (1)原式＝i （2－3i ）2－3i ＋i 6(－12＋32i )6＝i ＋i 2＝i －1.(2)原式＝i （23i ＋1）1＋23i＋22i ＋（4－8i ）2－[－（4－8i ）]24＋3i＝i ＋1i ＋（4－8i ）2－（4－8i ）24＋3i＝i ＋(－i )＋0＝0.复数集中错用判别式导致错误已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i )x ＋2＋k i ＝0有实根，求实数k 的值构成的集合．【错解】 ∵方程有实根，∴Δ＝(k ＋2i )2－4(2＋k i )＝k 2－12≥0，。

3.1 数系的扩充和复数的概念一、教学目标1．知识和技能目标（1）了解数系扩充的过程及引入复数的需要（2）掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件2．过程和方法目标（1）通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律（2）通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式3．情感态度和价值观目标（1）体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用（2）体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法二、教学重点.难点教学重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件 教学难点：虚数单位i 的引进和复数的概念三、学情分析从小学接触自然数到扩充至整数范围,进入初中阶段后学生认识到数系从整数到有理数再到实数的第二次扩充.因为现实的需要,高中阶段要进一步实现从实数系到复数系的第三次扩充.学生初次接触复数，会产生一种“虚无缥缈”的感觉.所以要有意识地将实数与复数进行类比学习,学会复数问题向实数问题转化的方法. 四、教学方法启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识五、教学过程（1）复习引入1．方程022=-x 在有理数系没有解，但当把数的范围扩充到实数系后，这个二次方程恰好有两个解：2±=x ；2．同学们在解一元二次方程02=++c bx ax 的时候，会遇到判别式042<-=∆ac b 的情况。

这时在实数范围内方程无解。

一个自然的想法是能否把实数系扩大，使这种情况下的方程在更大的数系内有解？（2）讲授新课（1）复数的概念①形如),(R b a bi a ∈+的数叫复数。

其中i 叫虚数单位。

全体复数所成集合叫复数集。

②复数通常用字母z 表示。

即z=),(R b a bi a ∈+。

其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部。

③),(R b a bi a ∈+与),(R d c di c ∈+相等的条件是c a =且.d b =（2）复数的分类⎩⎨⎧=≠=).0()0(),0(时为纯虚数当虚数实数复数a b b z（3）师生互动，继续探究复数的分类及复数相等条件的运用：例 1.已知,R m ∈复数,)12(1)2(2i m m m m m z -++-+=当m 为何值时: (1);R z ∈ (2)z 是虚数; (3)z 是纯虚数..,20,01201)2()3(.,121.01012)2(.,21,01012)1(:.0,0,0,0,0,0.,:222为纯虚数时或即且当为虚数时且即且当为实数时即且当解时为零当且仅当时为纯虚数当且仅当时为虚数当且仅当时为实数当且仅当应分别应用复数涉及复数的分类概念分析z m m m m m m z m m m m m z m m m m b a b a b b bi a -=≠-+=-+≠±-≠≠-≠-+±-=≠-=-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠=≠=+（4）复数相等的充要条件问1：a bi +什么时候等于0？（00a b ==且，由此得出两个复数相等的充要条件） 问2：如何根据第一问推导出两个复数a bi c di ++与相等的充要条件？总结：=a bi c di a c b d ++⇔==且六、知识应用，深化理解例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.1,010131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m m m z m m z m m -=⎩⎨⎧≠-=+≠≠-==-例2 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ． 4,25)3(112==⎩⎨⎧--==-y x y y x 解得解：由复数相等可知六、当堂检测1、已知x 是虚数,y 是纯虚数,且满足,)3()12(i y i y x -=-+-求.,y x2、①试问x 取何值时，复数i x x x x )23()2(22+++-+是实数？是虚数？是纯虚数？ ②解方程.040102=+-x x设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。

数系的扩充与复数的引入学习目标：1.理解复数的根本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示法及其几何意义；3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.重点：复数的概念，复数的代数运算及数系的扩充经典例题透析类型一：复数的有关概念例1．复数，试求实数a分别取什么值时，z分别为：〔1〕实数；〔2〕虚数；〔3〕纯虚数.思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.举一反三：【变式1】设复数z=a+bi〔a、b∈R〕，则z为纯虚数的必要不充分条件是〔〕A．a=0 B．a=0且b≠0 C．a≠0且b=0 D．a≠0且b≠0【变式2】假设复数是纯虚数，则实数的值为〔〕A.1 或2【变式3】如果复数是实数，则实数m=〔〕A．1 B．－1 C．D．【变式4】求当实数取何值时，复数分别是：〔1〕实数；〔2〕虚数；〔3〕纯虚数.类型二：复数的代数形式的四则运算2. 计算：(1) (2); (3)总结升华：熟练运用常见结论：1〕的“周期性〞〔〕 2〕3〕举一反三：【变式1】计算：〔1〕(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)〔2〕〔3〕〔4〕；【变式2】复数( )〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕【变式3】复数等于( )A. iB. -iC.D.【变式4】复数等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i类型三：复数相等的充要条件例3．x是实数，y是纯虚数，且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i，求x、y.思路点拨：因x∈R，y是纯虚数，所以可设y=bi〔b∈R且b≠0〕，代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.举一反三：【变式1】设x、y为实数，且【变式2】假设z∈C且(3+z)i=1(i为虚数单位)，则z=____.【变式3】设复数满足，则〔〕A．B．C．D．类型四：共轭复数例4．求证：复数z为实数的充要条件是思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念举一反三：【变式1】，复数与复数的共轭复数相等，求x，y.【变式2】假设复数z同时满足，〔i为虚数单位〕，则z=________.【变式3】复数z=1+i，求实数a、b使.类型五：复数的模的概念例5．数z满足z+|z|=2+8i，求复数z.举一反三：【变式】z=1+i，a，b为实数.〔1〕假设，求；〔2〕假设，求a，b的值.类型六：复数的几何意义例6．复数〔m∈R〕在复平面上对应的点为Z，求实数m取什么值时，点Z〔1〕在实轴上；〔2〕在虚轴上；〔3〕在第一象限.举一反三：【变式1】在复平面内，复数对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式2】复数()，假设所对应的点在第四象限，求的取值范围.【变式3】是复数，和均为实数，且复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围.【变式4】复数z对应的点在第一象限的角平分线上，求复数在复平面上对应的点的轨迹方程.。

高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案2篇High school mathematics elective 1-2 "number system expansi on and plural concept" teaching plan高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案2篇前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。

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本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】1、篇章1：高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案2、篇章2：高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案篇章1:高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程（一）问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》（二）回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。

《数系的扩充和复数的概念》教学设计一、教学内容从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.二、教材分析本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第一节第一课时《数系的扩充和复数的概念》.复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.三、教学目标：1、知识与技能目标：（1）了解引入复数的必要性；了解数系扩充的一般“规则”（2）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的意义.2、过程与方法目标：（1）通过数系的扩充历史，了解数系的扩充过程和引入复数的必要；（2）通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考与转化的能力。

数系的扩充和复数的概念【教学目标】1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．【教学难点】复数概念的理解．【教学过程】1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数 有理数 无理数 实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？3．组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12-=i ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．5．提出复数的概念根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*NZ Q R C ．【巩固练习】下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.1,010131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m m m z m m z m m -=⎩⎨⎧≠-=+≠≠-==-6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是由此容易得出：6cos 6sin ,,0,2,7212ππi i i i --+）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z ∈+-+=例2 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．分析：因为x ，y ∈R ，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值．4,25)3(112==⎩⎨⎧--==-y x y y x 解得解：由复数相等可知练习：.),(023)21(2的值求实数已知m R m i mi x i x ∈=--++【课堂游戏】【想一想】两个复数是否可以比较大小.【归纳总结】一、数系的扩充；二、复数有关的概念：1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部。

§3.1.1数系的扩充和复数的概念教案【教学目标】知识与技能：1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的概念，并能将复数归类.3.理解两个复数相等的充要条件，并会解决复数中含有字母的问题.过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法.2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念.情感态度与价值观:1.虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;2.初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题.【重点难点】重点:理解复数的概念，并能将复数归类．难点：理解两个复数相等的充要条件，并解决复数中含有字母的问题．【学法指导】1.回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及意义；2.思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础.【知识链接】前两个学段学习的数系的扩充：但是，数集扩到实数集R 以后，像12-=x 这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？【问题探究】探究一、复数的引入引导1：由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，并规定：（1）=2i 1-；（2）实数可以与i 进行加法和乘法运算：实数a 与数i 相加记为：i a +；实数b 与数i 相乘记为：bi ；实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加记为：bi a +；（3）实数与i 进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。

Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z.为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q.用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .N x 2=－1，x =?引导2:复数的有关概念：（1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写字母C 表示。

提问、引导：这个看起来像数而不是我们之前所认识的数的形式，我们该怎么处理呢？是尝试去挖掘它背后更深的内涵还是将其撇在一边，埋葬在历史的尘埃中呢？生一起动手操作，并提出疑问
提问：显然这个东西已经超出了实数的范围，面对这样的结果，我们应该怎么去解决？
引导：其实我们是有经验的，我们在历史上、在过去的学习上曾遇到相似的情况，或许通过回顾、类比过去，我们能够得到启发，找到解决问题的思想或方法。

教师层层引导，并提出问题
引导：引入新元素，数集不断扩大，方程得到求解，受此启发，我们也可以尝试引入新元素。

（四）扩充数系，形成概念
即复数的
（历史上，复数一开始也叫做虚数，因为数
学家们感觉它很“虚幻”，难以认识。

）
（五）完成数系扩充(图片展示)
(六)寻找几何解释
例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
例2 当实数m满足什么条件时，复数
是
+
+
(-
=
m
i
i
m
z)1。