一元二次方程解法综合练习PPT

(x个-1队) 各赛1
场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
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方程① ② ③有什么(shén me)特点？
x2＋2x－4=0 ① x2－75x+350=0 ②
③
（１）这些方程的两边都是整式
（２）方程中只含有一个未知数
（3）未知数的最高次数是2.
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P28 2. 7.
1.根据下列问题(wèntí)列方程，并将其化成一元二次 方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是6.28m2 ，求半径（≈3.14）
（2）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积 是9cm2 ，求较长的直角边的长。
（3）参加聚会的每两人都握了一次手，所有人共 握手10次，有多少人参加聚会？
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P28 1
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数(chángshù)项 及它们的系数：
⑴ 3x2 1 6x
⑵ (x 2)(x 3) 8
⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
?
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1.一元二次方程的概念(gàiniàn)
（1）x3－２ｘ2＋５＝０；
（２）
（3）２x（12ｘ＋１1x）2＝３2（ｘ＋0１）；
（4）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１； （5）ax2＋bx＋c＝０
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一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其 中(qízhōng)ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次

（1） (x10)2 3 ——直接开平方法 （2） 2x26x30 ——配方法
（3） 9x21 0x40 ——公式法 （4） 2x25x0 ——因式分解法
（1）(x10)2 3——直接开平方法
解：(x10)2 3 两边开平方
x10 3
x10 3 或 x103 x1103， x2103
分析：根据方程的解的定义, 如果m是
方程 ax2bxc0(a0)的根就有
am 2bm c0
解：因为a是方程 x23x10的根，
所以 a 2 3 a 1 0 即 a 2 1 3 a
a2 0
a2 1 0
3a 0
即a0
2 a 2 5 a 2 3 2 ( a 2 3 a 1 ) a 4 3
分析：从图中可以看出，四块小试验田的面
积与两条道路所占的面积的和等于整个矩形
田地的面积。这是本题的相等关系。关键是
如何把两条道路所占的面积表示出来。设道 路的宽为xm，则横向道路面积为32xm 2，纵 向道路面积为20xm 2 ，但两条道路的 面积和并不等于阴影
部分的面积，而是多
了一个宽为xm的小正 方形的面积。所以，
3
3
12＞0
模仿上述方法解答下面问题。
求证：
（1）对于任何实数x，均有：2x24x3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式 3x2 5x1的
值总大于 2x24x7的值。
解：
（1）2x2+4x+3=2 (x+1)2+1 ∵x不论为何实数，(x+1)2总是非负数 ∴2x2+4x+3>0
（2）(3x2-5x-1) – (2x2-4x-7)

第二十一章 一元二次方程
第6课时 一元二次方程的解法综合及根的判别式
1.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根,
则b2－4ac满足的条件是( C )
A.b2－4ac>0
B.b2－4ac<0
C.b2－4ac＝0
D.b2－4ac≥0
2.(2020沈阳改编)一元二次方程x2－2x＋1＝0有两个
解:x2－7x＋10＝0, a＝1, b＝－7, c＝10. ∵b2－4ac＝9>0,
涵涵的作业
－b±
∴x＝
b2－4ac ＝ 7±3,
2a
2
∴x1＝5,x2＝2,
∴当腰为 5,底为 2 时,等腰三角形的三条边为 5,5,2;当腰为 2,底
为 5 时,等腰三角形的三条边为 2,2,5.
探究应用:请解答以下问题: 已知等腰三角形 ABC 的两边是关于 x 的方程 x2－mx＋m － 1＝0
为腰时,
1 2
＋ 1 < 3 ,∴ 1 , 1 , 3 不能构成三角形;当 3
2 2 222
2
为腰时,等腰三角形的三边为 3 , 3 , 1 ,此时周长为 3 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 7.
222
2222
答:当 m＝2 时,△ABC 的周长为7.
2
(2)若△ABC 为等边三角形,则方程有两个相等的实数根,
(3)(y－1)2－2y(y－1)＝0(因式分解法).
y1＝1,y2＝－1
6.(北京中考)关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根,且m为 正整数,求m的值及此时方程的根.
解:∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根, ∴b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0,解得m≤1,

回顾与复习
你还认识“老朋友” 吗
你还能规范解下列方程吗?
(2) x2=4.
(3) (x+2)2=5.
(4) (x-1)2=4
独立 作业
2. 解下列方程:
你还认识“老朋友” 吗

(1). (x-1)2=4 (2). 4-(x-1)2=0 (3). (x-1)2-4 =0 (4). x2 -2x-1 = 4.
九年级数学(上)第三章 一元二次方程
1.配方法(2)一元二次方程的解法
回顾与复习
平方根的意义:
旧意新释:
2
你还认识“老朋友” 吗
x2=5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 解方程 (1)
解 : 1.x 5. x 5,
x1 5
老师提示: 这里是解一元二次方程的 基本格式,要按要求去做.
x2 5
结束寄语
下课了!
• 配方法是一种重要的数学方 法——配方法,它可以帮助你 到达希望的顶点. • 一元二次方程也是刻画现实 世界的一个有效数学模型.
解这个方程,得 x1 ＝1
26m
x2 ＝60 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为1m.
挑战 自我
知识的升华
x2 +12x+ 25 = 0; x2 +4x =1 0; x 2 –6x =11; x2 –2x-4 = 0.
2. 解下列方程:

(1). (2). (3). (4).
你能解:（x+1)2+2(x+1) = 8 吗？
x a b
独立作业
知识的升华
1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部 分的面积为850m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得

方式的结构特征，当二次项系数为1时， 常数 项是一次项系数一半的平方．
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )

12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数 根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别 式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__． 练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个 不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0

k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项 系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1； 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.