必修5第二章第4-5节等比数列;等比数列的前n项和-31

年 级 高一 学 科 数学版 本人教新课标A 版课程标题 必修5第二章第4-5节等比数列；等比数列的前n 项和编稿老师 王志国 一校 林卉二校黄楠审核王百玲一、学习目标：1. 通过实例，理解等比数列的概念；2. 探索并掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式；3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等比数列与指数函数的关系。

二、重点、难点：重点：等比数列的概念，等比数列的通项公式与前n 项和的公式。

难点：等比数列前n 项和公式的推导，用有关知识解决相应的问题。

三、考点分析：等比数列与等差数列在高考中占有同等重要的地位，是高考出题的重点。

客观性的试题考查对等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基础运算的要求比较高，解答题大多以数列知识为工具进行综合能力的考查。

A B C 等比数列等比数列的概念√ 等比数列的通项公式与前n 项和公式√1. 等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠1，2，4，8，16，…2； ① 5，25，125，625，…； ② 1， ,81,41,21--；③对于数列①，2;211==--n nn n a a a （n≥2）对于数列②，5;51==-n nnn a a a （n≥2） 对于数列③，21;21)1(111-=⋅-=--+n n n n n a a a （n≥2）如：数列对于数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。

（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2. 等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a qa a n n 说明：（1）由等比数列的通项公式可知：当公比1q =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）由等比数列的通项公式可知：若{}n a 为等比数列，则m nm na q a -=。

3. 等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4. 等比数列的前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q-=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q ，不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

知识点一：等比数列例1. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21B. 22C.2 D.2思路分析：题中有两个等式，利用通项公式列两个关于首项和公比的方程，要注意到公比为正这个条件，对结果进行取舍。

解答过程：设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q⋅=，即22q=，又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以2q =，故211222a a q ===，选B 。

解题后的思考：等比数列中最重要的两个参数就是首项和公比，求这两个参数的关键是列两个方程。

例 2. 若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a = ；前8项的和8S = ．（用数字作答）思路分析：解本题得关键为要通过12n n a a +=得出这是一个等比数列，公比为2． 解答过程：，易知882125521S -==-，∴第一空应填16，第二空应填255．解题后的思考：本题主要考查简单的递推数列及数列求和的问题。

属于基础知识、基本运算的考查。

知识点二：等比数列的前n 项和例3. 设等比数列{n a }的前n 项和为S n 。

若a 1=1，S 6=4S 3，则4a =思路分析：欲求a ，关键先要求出公比。

解答过程：本题考查等比数列的性质及求和运算，由a 1=1，S 6=4S 3得q 3=3，故a 4=a 1q 3=3，所以，应填3解题后的思考：将q 3看成一个整体来求解可简化运算，要将整体法熟记于心。

例4. 等比数列{}n a 中，已知142,16a a == （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

思路分析：第一问求通项公式关键是求首项和公比，第二问关键是求数列{}n b 的通项公式。

解答过程：（I ）设{}n a 的公比为q ，由已知得3162q =，解得2q =。

所以，2nn a =。

（Ⅱ）由（I ）得38a =，532a =，则38b =，532b = 设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11612b d =-⎧⎨=⎩从而1612(1)1228n b n n =-+-=- 所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-解题后的思考：如果同一题中出现两个数列，则解题的关键在于弄清相同项在不同数列中的项数。

知识点三：等比数列及其前n 项和的综合应用例5. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+。

（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式。

思路分析：第（I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找b n 与b n-1间的关系即可． 第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=⋅，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数)，主要的处理手法是两边同除以1n q +．解答过程：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．①则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=- ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列． （II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等差数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ 解题后的思考：本题作为高考题主要考查构造新数列，一改往年将用放缩法解数列结合不等式问题作为压轴题的命题模式。

具有让考生重视教材和基础知识、基本方法技能、两纲导向的作用，要引起重视。

例6. 等比数列{n a }的前n 项和为S n ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q ； （2）若1a －3a ＝3，求S n思路分析：由1S ，3S ，2S 成等差数列得23S =1S +2S ，然后列出关于q 的方程。

加上第（2）问中的等式，可解出1a ，那么S n 也就可以求出来了。

解答过程：（1）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ 由于01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21－=q（2）由已知可得321211=--）（a a 故41=a 从而解题后的思考：本题主要考查等差数列的中项，等比数列的通项公式及前n 项和等基本知识。

例7. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数）的图象上．（1）求r 的值； （2）当b=2时，记1()4n nn b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 思路分析：由点(,)n n S 均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数）的图象上得到n S 的表达式，再求n a ，进而求出r 和n b ，n T 即可。

解答过程：因为对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数）的图象上，所以得nn S b r =+，当1n =时，11a S b r ==+， 当2n ≥时，1111()(1)nn n n n n n n a S S b r br b b b b ----=-=+-+=-=-，又因为{n a }为等比数列， 所以1r =-，公比为b ，故1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=，111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++①②①②两式相减，得12311422n n n +++=-- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-解题后的思考：本题主要考查等比数列的定义，通项公式，及已知n S 求n a 的基本题型，并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T ．等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等比数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=；②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅，也就是：=⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321。

③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++一、预习新知现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。