微分方程模型1基础知识共73页文档

微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。

这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。

微分方程模型1.1微分方程模型简介对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或者变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。

所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。

微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。

把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1•、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系；2•、找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）；3•、运用这些规律列出方程和定解条件。

2.1微分方程模型运用实例例1:发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。

火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。

首先解决第一个问题：为什么不能用一级火箭发射人造卫星，下面用三个数学模型回答这个问题：（1 ）卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度。

首先将问题理想化，假设：（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；（ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。

建模与求解：设地球半径为R，质量为M ;卫星轨道半径为r，卫星质量为m。

根据假设（"）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为GMmF—(1)r其中G为引力常数。

为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得GMm 亠m2 mg 2 或GM 二R g R再代入（1）式，得根据假设（i ）,若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为 因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有（R ^ mv 2mg — I =——r由此便推得卫星距地面为 （r 一 R ）km ，必须的最低速度的数学模型为 （3）取 R= 6400km ，r -R= 600km ，代入上式，得v 7.6km/s即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6km/s 。

微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支，用于描述变量之间的关系以及其之间的变化规律。

其在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。

下面将介绍微分方程的全部知识点。

一、基本概念和分类：1. 微分方程的定义和形式。

2. 微分方程的阶数和线性性。

3. 独立变量和因变量的概念。

4. 常微分方程和偏微分方程的区别。

二、常微分方程：1. 一阶常微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、一阶伯努利方程、可化为可分离变量的方程。

2. 高阶常微分方程的解法：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、二阶常系数齐次方程的特征方程、二阶线性非齐次方程的特解法。

3. 微分方程的解的存在唯一性定理。

4. 常微分方程的初值问题和边值问题。

三、偏微分方程：1. 常见的偏微分方程类型：椭圆型、抛物型、双曲型方程。

2. 二阶线性偏微分方程的分类和通解求法。

3. 常用偏微分方程的具体应用：热传导方程、波动方程、扩散方程等。

四、数值解法：1. 欧拉法和改进的欧拉法。

2. 龙格-库塔法。

3. 有限差分法和有限元法。

五、应用领域：微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有广泛的应用。

例如：1. 牛顿运动定律中的微分方程。

2. 电路中的微分方程。

3. 生物种群数量变化的微分方程。

4. 经济增长模型中的微分方程。

总结：微分方程是数学中一个重要的分支，主要包括基本概念和分类、常微分方程、偏微分方程、数值解法以及应用领域等知识点。

掌握微分方程的解法和应用，对于理解自然和社会现象的规律具有重要作用。

微分方程全部知识点微分方程是数学中的一个重要分支，其概念和应用涵盖广泛，包括生物学、物理学、化学、工程学等众多领域。

本文将重点介绍微分方程的基本概念、分类以及解法，并列出相关的参考内容。

一、基本概念微分方程是描述自变量与其导数之间关系的数学方程。

其中，自变量通常为时间，而导数表示系统在不同时间点的状态。

微分方程可以分为两类：一类是常微分方程，另一类是偏微分方程。

二、分类常微分方程是指导数只包含一个自变量的微分方程，按照阶数和形式可以分为以下几类：1. 一阶常微分方程：dy/dx = f(x, y)2. 可分离变量的一阶常微分方程：dy/dx = g(x)h(y)3. 线性一阶常微分方程： dy/dx +p(x)y = q(x)4. Bernoulli方程：dy/dx +p(x)y = q(x)y^n5. 二阶线性常微分方程：d²y/dx² +p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)偏微分方程用于描述多元函数的导数关系，并且可表示为含有多个未知函数的方程。

按照阶数和形式可以分为以下几类：1. 热方程：u(x, t) = α∂u/∂t + β∂²u/∂x²2. 波动方程：u(x, t) = α∂²u/∂t² + β∂²u/∂x²3. 椭圆方程：u(x, y) = ∑a_ij(∂²u/∂xi∂xj) + ∑b_i(∂u/∂xi) + c(x, y)三、解法常微分方程解法主要有以下几种方式：1. 可分离变量法：将常微分方程化为两个函数的乘积。

2. 齐次方程：将方程中所有项除以后，引入一个新的函数y = ux。

3. 一阶线性方程：利用积分因子将一阶线性微分方程约化为可积函数的形式。

4. Bernoulli方程、Riccati方程和其他特殊方程的解法。

偏微分方程解法主要有以下两种方式：1. 分离变量法：把问题转化为一系列常微分方程。

微分方程基础知识微分方程是数学中一种重要的工具，用来描述变量之间的关系及其随时间（或其他独立变量）的变化规律。

微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等众多领域中，是这些科学研究中不可或缺的一部分。

本文将介绍微分方程的基础知识，包括微分方程的定义、分类、常见的解法以及应用实例。

1. 微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。

一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0\]其中，$x$ 是自变量，$y$ 是未知函数。

2. 微分方程的分类根据微分方程中未知函数与其导数的最高阶数，微分方程可分为以下几种基本类型：2.1 一阶微分方程一阶微分方程中最高阶导数为一阶，通常以一阶常微分方程为主要研究对象。

一阶微分方程的一般形式为：\[F(x, y, y') = 0\]其中，$y'$ 表示 $y$ 对 $x$ 的导数。

2.2 二阶及高阶微分方程二阶及高阶微分方程中最高阶导数为二阶及以上。

例如，二阶微分方程一般形式为：\[F(x, y, y', y'') = 0\]3. 微分方程的解法3.1 可分离变量的微分方程对于形如 $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ 的可分离变量的微分方程，可以通过分离变量并逐步求解得到解。

具体步骤如下：- 将方程改写为 $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$，即将 $y$ 相关项移到一边，将 $x$ 相关项移到一边；- 对两边同时积分，得到 $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$；- 对右边的积分进行求解，得到 $\int \frac{dy}{g(y)}=F(x)+C$，其中 $F(x)$ 是积分后的函数，$C$ 为常数项；- 对左边的积分进行求解，得到 $G(y)=F(x)+C$，其中 $G(y)$ 表示$\int \frac{dy}{g(y)}$ 的反函数；- 然后得到 $G(y)=F(x)+C$，通过代入初始条件解出常数项 $C$，进而得到方程的特解。