高一【数学(人教B版)】数学建模活动(1)-课后练习

模块综合测评(时间:120分钟总分为:150分)一、选择题:此题共8小题,每一小题5分,共40分.在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,如此实数k 的取值X 围为()A.(-12,12)B.(-12,0)C.(12,+∞)D.(-∞,-12){kx -y -1=0,x +2y -2=0,解得{x =41+2k ,y =2k -11+2k,∴41+2k >0且2k -11+2k <0,∴-12<k<12.2.(2020某某某某期末)在空间直角坐标系中,假如直线l 的方向向量为a =(1,-2,1),平面α的法向量为n =(2,3,4),如此()A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂α或l ∥αD.l 与α斜交a·n=1×2+(-2)×3+1×4=0,可知a⊥n.∴l∥α或l⊂α.3.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0,如此l1与l2的交点一定在()A.2x2+3y2=1(x≠0)上B.x2+2y2=1(x≠0)上C.2x2+y2=1(x≠0)上D.3x2+2y2=1(x≠0)上l1:y=k1x+1,∴k1=y-1x(x≠0);直线l2:y=k2x-1,∴k2=y+1x(x≠0).又k1k2+2=0,∴y-1x ·y+1x+2=0,整理得2x2+y2=1(x≠0),∴l1与l2的交点一定在2x2+y2=1(x≠0)上.4.假如双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,如此C的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√33bx±ay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=√22-12=√3,如此点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=√a2+b2=2bc=√3,即4(c2-a2)c2=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e=√c2a2=√4=2.5.圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,如此实数m的取值X围是()A.(1,3)B.(-1,1)C.(3,+∞)D.(-3,-1)∪(1,3)圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.又C 1圆心为(0,-m ),半径为√2,C 2圆心为(m ,0),半径为2√2,∴√2<√2|m|<3√2,即1<|m|<3,解得-3<m<-1或1<m<3.6.(2020某某池州模拟)MN 是正方体内切球的一条直径,点P 在正方体外表上运动,正方体的棱长是2,如此PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值X 围为() A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]O ,如此OM=ON=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵MN 为球O 的直径,∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1, ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1. 又点P 在正方体外表上移动,当P 为正方体顶点时,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最大,最大值为√3; 当P 为内切球与正方体的切点时,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,最小值为1,∴PO⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1∈[0,2], 即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值X 围为[0,2]. 7.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,假如以双曲线C 的右焦点F 为圆心、以2为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),如此双曲线C 的离心率为()A.√3B.2C.√5D.3y=±ba x ,所以A (a ,b )或A (a ,-b ),因此|AF|=c=2,即√(2-a)2+b 2=2,整理可得a 2+b 2-4a=0.因为a 2+b 2=c 2=4,解得a=1,所以双曲线的离心率为e=ca=2.8.(2021某某某某一模)由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线轴的光线,经过抛物面的反射集中于它的焦点.用一过抛物线轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x 轴重合,顶点与原点重合,如图,假如抛物线过点A (14,1),平行于对称轴的光线经过点A 反射后,反射光线交抛物线于点B ,如此线段AB 的中点到准线的距离为()A.254B.258C.174D.2y 2=mx ,将A 的坐标代入可得12=14m ,可得m=4,所以抛物线的方程为y 2=4x ,可得焦点F (1,0),准线方程为x=-1,由题意可得反射光线过焦点(1,0),所以直线AB 的方程为y -01-0=x -114-1,整理可得y=-43(x-1),联立{y =-43(x -1),y 2=4x,解得{y 1=-4,y 2=1,代入直线方程可得{x 1=4,x 2=14,所以反射光线与抛物线的两个交点A (14,1),B (4,-4),所以AB 的中点为(178,-32),所以AB 的中点到准线的距离d=178+1=258.二、选择题:此题共4小题,每一小题5分,共20分.在每一小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,局部选对的得3分.9.点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),如此如下结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的一个法向量D.AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP⊥AB,故A正确;∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×4+2×2+(-1)×0=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP⊥AD,故B正确;由AP⊥AB,AP⊥AD,且AB∩AD=A,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的一个法向量,故C正确;由AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的法向量,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D错误.10.设F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1,F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点(M在x轴上方,N在x轴下方),c为双曲线的半焦距,O 为坐标原点.如此如下说法正确的答案是()A.点N 的坐标为(a ,b )B.∠MAN>90°C.假如∠MAN=120°,如此双曲线C 的离心率为√213D.假如∠MAN=120°,且△AMN 的面积为2√3,如此双曲线C 的方程为x 23−y 24=1y=bax ,代入圆x 2+y 2=c 2=a 2+b 2,解得M (a ,b ),N (-a ,-b ),故A 错误;由于A (-a ,0),M (a ,b ),N (-a ,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ,b ),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b 2<0,如此∠MAN>90°,故B 正确;假如∠MAN=120°,由余弦定理得4c 2=(a+a )2+b 2+b 2-2√(a +a)2+b 2·b cos120°,化简得7a 2=3c 2,即e=ca =√213,故C 正确;由△AMN 的面积为2√3,得12ab ×2=2√3,再由a 2+b 2=c 2,7a 2=3c 2,解得a=√3,b=2,即有双曲线C 的方程为x 23−y 24=1,故D 正确.11.过抛物线y 2=2px (p>0)焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,作AC ,BD 垂直抛物线的准线l 于C ,D 两点,其中O 为坐标原点,如此如下结论正确的答案是()A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA⃗⃗⃗⃗⃗ B.存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO⃗⃗⃗⃗⃗ 成立 C.FC⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.准线l 上任意一点M ,都使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确; 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得C (-p 2,y 1),D (-p2,y 2),又直线OA 的斜率k OA =y 1x 1=2p y 1,直线AD 的斜率k AD =y 1-y 2x 1+p2,设直线AB 方程为x=my+p2,代入抛物线的方程,可得y 2-2pmy-p 2=0,可得y 1y 2=-p 2,即有y 1(y 1-y 2)=y 12-y 1y 2=2px 1+p 2,如此k OA =k AD ,即存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,故B 正确; FC⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-p ,y 1)·(-p ,y 2)=y 1y 2+p 2=0,故C 正确;由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|,可得以AB 为直径的圆的半径与梯形ACDB 的中位线长相等,即该圆与CD 相切,设切点为M ,即AM ⊥BM ,如此AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 不正确.12.(2021某某海安检测)双纽线像数字“8〞,不仅表现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,如此如下结论正确的答案是()A.曲线C 经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C.曲线C 关于直线y=x 对称的曲线方程为(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2)D.假如直线y=kx 与曲线C 只有一个交点,如此实数k 的取值X 围为(-∞,-1]∪[1,+∞)y=0时,x 4=4x 2,解得x=0或2或-2,即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图像可知-2≤x ≤2,令x=±1,得y 2=2√3-3,不是整点,∴曲线C共经过3个整点,故A错误;x2+y2=4(x2-y2)≤4,曲线C上任取一点P(x,y)到原点的距离d=√x2+y2≤2,故B正确;x2+y2曲线C上任取一点M关于y=x的对称点为N,设N(x,y),如此M(y,x),M在曲线C上,∴(x2+y2)2=4(y2-x2),故C正确;y=kx与曲线C一定有公共点(0,0),∵y=kx与曲线C只有一个公共点,如此x4(1+k2)=4x2(1-k2),∴1-k2≤0,∴k≥1或k≤-1,故D正确.三、填空题:此题共4小题,每一小题5分,共20分.13.设向量a=(1,2,λ),b=(2,2,-1),假如cos<a,b>=4,如此实数λ的值为.9-122或27a=(1,2,λ),b=(2,2,-1),所以a·b=2+4-λ=6-λ,|a|=√1+4+λ2=√5+λ2,|b |=√4+4+1=3.假如cos <a ,b >=49,如此a ·b|a||b|=√5+λ2×3=49,化简得7λ2+108λ-244=0,解得λ=-1227或λ=2,如此实数λ的值为-1227或2.14.(2020某某某某期末)如图,在空间四边形OABC 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,H 是EF 上一点,且EH=14EF ,记OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如此(x ,y ,z )=;假如OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°,且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,如此|OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=.(38,12,18) √308OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +14EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+14×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x ,y ,z )=(38,12,18).∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°,且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=964|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+164|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2×12×18×cos60° =964+14+164+116=3064,∴|OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√308. 15.(2021某某某某检测)在△ABC 中,A ,B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点C 在椭圆上,且∠ABC=30°,(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,如此该椭圆的离心率为.,作平行四边形ABEC ,由(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AE ⊥BC , 故|AC|=|AB|=2c.又∠ABC=30°,∴|BC|=2×2c sin60°=2√3c.由椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2(1+√3)c ,故a=(√3+1)c ,∴离心率e=c a =√3+1=√3-12. 16.(2020某某某某期末)如图,光线从P (a ,0)(a>0)出发,经过直线l :x-3y=0反射到Q (b ,0),该光线又在Q 点被x 轴反射,假如反射光线恰与直线l 平行,且b ≥13,如此实数a 的最小值是.P 关于直线l 的对称点P'(m ,n ),直线l 的斜截式方程y=13x ,所以{0+n2=13·a+m2,n -0m -a ·13=-1,解得{m =45a,n =35a, 所以点P'(45a,35a).根据两点式得到直线P'Q 的方程为y -035a -0=x -b 45a -b,整理可得3ax-(4a-5b )y-3ab=0.因为反射光线恰与直线l 平行,所以3a 4a -5b =-13,所以a=513b.又因为b ≥13,所以a ≥5,如此a 的最小值是5.四、解答题:此题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020某某某某期末)圆心为C 的圆经过点A (-4,1),B (-3,2),且圆心C 在直线l :x-y-2=0上.(1)求圆C 的标准方程;(2)过点P (3,-1)作直线m 交圆C 于M ,N 两点且|MN|=8,求直线m 的方程.由直线AB 的斜率k AB =1,AB 中点坐标为(-72,32),所以AB 垂直平分线的方程为x+y+2=0. 如此由{x +y +2=0,x -y -2=0,解得{x =0,y =-2,所以圆心C (0,-2),因此半径r=|AC|=5,所以圆C 的标准方程为x 2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C 到直线m 的距离d=√52-42=3,所以当直线m 斜率不存在时,其方程为x=3,即x-3=0;当直线m 斜率存在时,设其方程为y+1=k (x-3),如此d=√k 2+1=3,解得k=-43,此时其方程为4x+3y-9=0.所以直线m的方程为x-3=0或4x+3y-9=0.18.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.(1)借助向量证明平面A1BD∥平面B1CD1;(2)借助向量证明MN⊥平面A1BD.建立如下列图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,如此D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),∵DA1∴{DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{2x +2z =0,2x +2y =0,令x=-1,如此平面A 1BD 的一个法向量m =(-1,1,1).同理平面B 1CD 1的一个法向量为n =(-1,1,1),∴m ∥n ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)∵M ,N 分别为AB ,B 1C 的中点,∴M (2,1,0),N (1,2,1),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥m , ∴MN ⊥平面A 1BD.19.(12分)如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=6,点E ,F 分别在AD ,BC 上,且AE=1,BF=4,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A'EFB',使点B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上.(1)求证:平面B'CD ⊥平面B'HD ;(2)求证:A'D ∥平面B'FC ;(3)求直线HC与平面A'ED所成角的正弦值.ABCD中,CD⊥DE,点B'在平面CDEF上的射影为H,如此B'H⊥平面CDEF,且CD⊂平面CDEF,∴B'H⊥CD.又B'H∩DE=H,∴CD⊥平面B'HD.又CD⊂平面B'CD,∴平面B'CD⊥平面B'HD.A'E∥B'F,A'E⊄平面B'FC,B'F⊂平面B'FC, ∴A'E∥平面B'FC.由DE∥FC,同理可得DE∥平面B'FC.又A'E∩DE=E,∴平面A'ED∥平面B'FC,∴A'D∥平面B'FC.,过点E作ER∥DC,过点E作ES⊥平面EFCD,分别以ER ,ED ,ES 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.∵B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上,∴设B'(0,y ,z )(y>0,z>0).∵F (3,3,0),且B'E=√10,B'F=4,∴{y 2+z 2=10,9+(y -3)2+z 2=16,解得{y =2,z =√6,∴B'(0,2,√6),∴FB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1,√6), ∴EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14FB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-34,-14,√64.又ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,5,0), 设平面A'DE 的法向量为n =(a ,b ,c ),如此有{n ·EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-3a -b +√6c =0,5b =0,解得b=0,令a=1,得平面A'DE 的一个法向量为n =(1,0,√62). 又C (3,5,0),H (0,2,0),∴CH⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-3,0), ∴直线HC 与平面A'ED 所成角的正弦值为sin θ=|cos <CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√1+0+64×√9+9+0=√55. 20.(12分)抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M 在抛物线C 上,点A (-2p ,0).假如当MF ⊥x 轴时,△MAF 的面积为5.(1)求抛物线C 的方程;(2)假如∠MFA+2∠MAF=π,求点M 的坐标.当MF ⊥x 轴时,点M (p 2,±p),F (p2,0),如此|AF|=p 2+2p=5p 2,|MF|=p ,∴S △MAF =12|AF|·|MF|=12×5p 2×p=5,解得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.(2)设M (x 0,y 0),由(1)可知A (-4,0),F (1,0),∴|AF|=5.∵∠MFA+2∠MAF=π,在△FAM中,有∠MFA+∠MAF+∠AMF=π,∴∠MAF=∠AMF,∴|FA|=|FM|.=x0+1,又|MF|=x0+p2∴x0+1=5,∴x0=4,∴y0=±4.故点M的坐标为(4,4)或(4,-4).21.(12分)(2021某某某某模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,BC=CD=2,AB=4.M,N分别是AB,AD的中点,且PD⊥NC,平面PAD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD;,求平面PNC与平面PNM的夹角的大小.(2)三棱锥D-PAB的体积为23DM,如此DC∥BM且DC=BM,所以四边形BCDM为平行四边形,所以DM∥BC且DM=BC,所以△AMD是等边三角形,所以MN ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ∩平面ABCD=AD ,所以MN ⊥平面PAD. 因为PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥MN.又因为PD ⊥NC ,且MN ∩NC=N ,MN ⊂平面ABCD ,NC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥平面ABCD.BD ,如此BD ∥MN ,所以BD ⊥AD ,BD ⊥PD.在Rt △DAB 中,DA 2+DB 2=AB 2,又AD=2,AB=4,所以DB=2√3,故△DAB 的面积为S △DAB =12·DA ·DB=2√3. 由等体积法可得V D-PAB =V P-DAB =13·PD ·S △DAB =13·PD ·2√3=23,所以PD=√33. 建立空间直角坐标系如下列图,如此D (0,0,0),N (1,0,0),C (-1,√3,0),M (1,√3,0),P (0,0,√33), 所以PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√33),NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3,0),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 设平面PNC 的法向量为n =(x ,y ,z ),如此有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -√33z =0,-2x +√3y =0,令x=1,如此y=2√33,z=√3, 所以平面PNC 的一个法向量n =(1,2√33,√3). 设平面PNM 的法向量为m =(a ,b ,c ),如此有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0, 即{a -√33c =0,√3b =0,解得b=0, 令a=1,如此c=√3,所以平面PNM 的一个法向量m =(1,0,√3). 所以n ·m =1+3=4,|n |=4√33,|m |=2,所以|cos <n ,m >|=|n ·m||n||m|=4√33×2=√32, 如此平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小为30°.22.(12分)(2020某某某某期末)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点P (2,1),且离心率为√32,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M. (1)求椭圆C 的方程;(2)假如∠APB 的角平分线与x 轴垂直,求PM 长度的最小值.因为椭圆经过点P ,且离心率为√32, 所以{22a 2+12b 2=1,c a=√32,其中a 2=b 2+c 2,解得{a 2=8,b 2=2, 所以椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)因为∠APB 的角平分线与x 轴垂直,所以直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数. 设直线PA 的斜率为k (k ≠0),如此直线PA 的方程为y=k (x-2)+1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k(x -2)+1,x 28+y 22=1,得(1+4k 2)x 2+8k (1-2k )x+16k 2-16k-4=0, 所以2x 1=16k 2-16k -41+4k 2,即x 1=8k 2-8k -21+4k 2,y 1=k (8k 2-8k -21+4k 2-2)+1=-4k 2-4k+11+4k 2,即A(8k2-8k-21+4k2,-4k2-4k+11+4k2),同理可得B(8k2+8k-21+4k2,-4k2+4k+11+4k2),如此M在直线x+2y=0上,所以PM的最小值为P到直线x+2y=0的距离,即d=√5=4√55,此时M(65,-35)在椭圆内,所以PM的最小值为4√55.。

数学建模活动：周期现象的描述【学习目标】通过体验将实际问题抽象为三角函数模型并用三角函数知识加以解决的过程，逐步提高将实际问题抽象为数学模型的能力——即数学建模思想。

【学习重难点】能将某些实际问题抽象为数学模型，体会数学建模的过程。

【学习过程】一、自主学习1．三角函数模型应用的步骤：三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决。

步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题。

这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式。

2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。

错误!解答三角函数应用题应注意四点：（1）三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系。

（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题。

（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题。

（4）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器。

基础自测：二、基础自测1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F（t）＝50＋4in错误!（t≥0），则在下列哪个时间段内人流量是增加的（）。

A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20212．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t（）时离开平衡位置的位移1（cm）和2（cm）分别由下列两式确定：＝5in错误!，2＝5co错误!。

人教版高中数学必修1课后习题答案人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案人教版高中数学必修1课后习题答案人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案人教版高中数学必修1课后习题答案人教版高中数学必修1课后习题答案人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
欢迎来主页下载---精品文档
人教版高中数学必修1课后习题答案精品文档。

§1走近数学建模§2数学建模的主要步骤§3数学建模活动的主要过程必备知识基础练知识点一建立数学模型1．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血液量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．血流量Q是单位时间流过的血量，脉博率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比．下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据．系，讨论你模型中的假设，并用上表中的数据检验模型．知识点二数学建模的主要步骤2．超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸卷，如图，两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？知识点三数学建模的主要过程3．在意外发生的时候，建筑物内的人员是否能尽快的疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的最大问题．根据学校情况，选一角度并提出问题，完成开题报告．关键能力综合练1．甲、乙两个快递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点).如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？2．国际象棋中马的行走方式为“日”字形的对角线，如图甲中虚线所示．问能否以一马的跳步完全覆盖图乙的“棋盘”，使接触每个方格恰好一次？(允许从任一方格出发)核心素养升级练1．在商场中，我们经常可以看到同一种商品会有多种大小不同的型号，其价格也各不相同．对比型号和价格，我们很容易发现：当商品的“量”增加时，价格也会增加；但是价格的增加与“量”的增加是不成比例的，也就是说你买的商品的“量”越多，商品的平均价格越低，有人认为这是商家的营销策略，买得越多越划算，这样顾客往往倾向于购买大包装的商品．大包装的商品真的是薄利多销吗？就这一问题通过调查、分析、研究，完成选题，开题报告．§1走近数学建模§2数学建模的主要步骤§3 数学建模活动的主要过程必备知识基础练1．解析：建模过程如下：(1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E 与身体的表面积S 成正比，可以表示为E ＝p 1S .又因为动物体内消耗的能量E 与通过心脏的血流量Q 成正比，可以表示为E ＝p 2Q .因此得到Q ＝pS ，其中p 1，p 2和p 均为正的比例系数．另一方面，因为体积V 与体重W 成正比，可以表示为V ＝r 1W ；又因为表面积S 大约与体积V 的23次方成正比，可以表示为S ＝r 2V 23，因此得到S ＝rW 23 ，其中r 1，r 2，r 为正的比例系数．所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q ＝k 1W 23，其中k 1为正的比例系数．(2)根据脉搏率的定义f ＝Qq，再根据生物学假设q ＝cW (c 为正的比例系数)，最后得到f＝Q q ＝k 1W 23cW，也就是f ＝kW －13 ，其中k 为正的待定系数． 脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的13次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系．下图是以ln W 和ln f 为坐标的散点图．可以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为ln f ＝ln k －ln W3.2．解析：合算就是纸的量多，因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算，为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯(即小圆)上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算．证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分别为r ，R ，大圆内与小圆相切的弦长为d ，无芯纸卷截面的直径为D ，于是，(d2)2＝R 2－r 2，当D ＝d 时，S 有芯＝π(R 2－r 2)＝π(d 2 )2＝π(D 2 )2＝S 无芯，当D ＞d 时，S 有芯＝π(R 2－r 2)＝π(d 2 )2＜π(D 2 )2＝S 无芯． 当D ＜d 时，S 有芯＝π(R 2－r 2)＝π(d2 )2＞π(D2 )2＝S 无芯． 3．解析： 要解决的问题在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用时间选题的原因及意义 建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议 建模问题的可行性分析教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数． 基本模型、解决问题的大体思路和步骤做出合理假设，列出有关的参数．队列中人与人之间的距离将为常数，记为d ，队列行进的速度也是常数v ，令第i 个教室中的人数为n i ＋1人，第i 个教室的门口到前一个教室的门口的距离为L i ，教室门的宽度为D .疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计．T 1，2＝⎩⎪⎨⎪⎧（L 1＋L 2＋D ＋n 2d ）/v ，（n 1＋1）d ≤L 2＋D ，[L 1＋（n 1＋n 2＋1）d ]/v ，（n 1＋1）d ＞L 2＋D预期结果和结果呈现方式 建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告参考文献 《数学模型与数学建模》 北京师范大学数学科学学院其他说明关键能力综合练1．解析：由题图看出，只有A，C两个奇点，根据一笔画定理，甲从A出发，可以不重复地一次走完所有街道，而乙从B出发走完所有街道回到C点必须重复一段街道，故甲先回到邮局．2．解析：问题是要确定题图乙是否有一条哈密尔顿路．把图重画，使顶点的布置更清楚．删去次数为2的顶点a(棋盘的角)以及4个顶点b以获得两个回路(见图丙)；以c与d分别标记此两回路的顶点．再把此两回路画成不相交的，见图丁．每个顶点b邻接于一顶点c与一顶点d.删去4个顶点b产生一个具有6个分支的图：两个不同的回路(分别以c与d为顶点)以及4个标号为a的顶点，于是可知原图中一条依次经过全部顶点的路线应是不存在的，即没有哈密尔顿路．所以，题图乙的棋盘不能像问题规定的那样为一马所跳遍．核心素养升级练1．解析：要解决的问题到商场买牙膏，从划算的角度讲，同一品牌的牙膏我们是买小包装的好，还是大包装的好呢？解决问题的方法同一品牌的牙膏形状是相似的，通过比例建立价格与质量的函数关系相关问题分析及其假设我们设商品的价格为y(元)，质量为x(g)，看能否找出y与x的函数关系式：y＝f(x).为了方便叙述，我们引入“∝”这一符号，当y与x成比例，即y＝kx(k为常数)时，记作y∝x建模求解的主要过程设商品的成本为P(元)，一般来说，商品价格＝商品成本×(1＋利润率)，所以有y∝P.而商品的成本主要分为生产成本和包装成本两部分，分别设为P1和P2，即有y∝(P1＋P2).商品的生产成本P1与商品的质量x成比例，即P1∝x；而商品的包装成本P2与商品的表面积S成比例，即P2∝S，将x ＝120代入，得y ＝21.57，与实际价格21.60元相差0.03；再将x ＝180代入，得y ＝28.77，与实际价格28.30元相差0.47元．因此，我们推导出来的函数表达式还是比较准确的． 这一步得到单位质量价格y ′＝0.0225＋0.7756x－13，由几何画板做出y ′－x 的关系图为可以看出随牙膏质量的增加，单位质量价格的减小量在减少，因此不能盲目的认为越大的包装越便宜全组共同制定研究计划商讨确定数学模型。

3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点最新课程标准：1.会利用所学知识,解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题.2.掌握求解函数应用题的基本步骤,培养学生的数学应用意识.知识点函数模型(1)一次函数模型解析式：y＝kx＋b.(2)二次函数模型①一般式：y＝ax2＋bx＋c.②顶点式：y＝a(x－h)2＋k,其中顶点坐标为(h,k)．(3)分段函数模型有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它,由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．状元随笔(1)在函数建模中,通常需要先画出函数图像,根据图像来确定两个变量的关系,选择函数类型．(2)函数模型在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0；x表示件数时,x≥0,且x∈Z等．在解答时,必须要考虑这些实际意义．[基础自测]1．一个等腰三角形的周长是20,则底边长y是关于腰长x的函数,其解析式为( )A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)答案：D2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每个涨价1元时,其销售量就会减少20个,为了获得最大的利润,其售价应定为( )A．110元/个 B．105元/个C．100元/个 D．95元/个解析：设每个商品涨价x元,利润为y元,则销售量为(400－20x)个,根据题意,有y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.所以当x＝5时,y取得最大值,且为4 500,即当每个涨价5元,也就是售价为95元/个时,可以获得最大利润为4 500元．答案：D3．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y ＝x 2－80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( )A ．52B ．52.5C ．53D ．52或53解析：因为利润＝收入－成本,当产量为x 件时(x∈N),利润f(x)＝25x －(x 2－80x),所以f(x)＝105x－x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －10522＋10524,所以x ＝52或x ＝53时,f(x)有最大值．答案：D4．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示,试分析图像,要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,那么每天至少应售出________张门票．解析：由题图知,盈利额每天要超过 1 000元时,x∈(200,300]这一区间,设y ＝kx ＋b(k≠0),将(200,500),(300,2 000)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝－2 500，即y ＝15x －2 500.由15x －2 500>1 000,得x>7003,故至少要售出234张门票,才能使游乐场每天的盈利额超过1 000元．答案：234题型一 一次函数模型的应用[经典例题]例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y ＝6x ＋30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( )A ．2 000套B ．3 000套C ．4 000套D ．5 000套(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法： ①买一个茶壶赠一个茶杯；②按总价的92%付款．某顾客需要购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠？【解析】 (1)因利润z ＝12x －(6x ＋30 000),所以z ＝6x －30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套．(2)由优惠办法①可得函数解析式为y 1＝20×4＋5(x －4)＝5x ＋60(x≥4,且x∈N)．由优惠办法②可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4,且x∈N)．y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4,且x∈N),令y1－y2＝0,得x＝34.所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同；当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法①更省钱；当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱．【答案】(1)D (2)见解析方法归纳(1)一次函数模型的实际应用：一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则．(2)一次函数的最值求解：一次函数求最值,常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图像或其单调性来求最值．跟踪训练1 若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的( )解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能是D项,更不可能是A、C两项．故选B 项．答案：B题型二二次函数模型的应用[经典例题]例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润？最大利润是多少？【解析】(1)根据题意,得y＝90－3(x－50),化简,得y＝－3x＋240(50≤x≤55,x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55,x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200,当x ＝4.75时,L(x)max ＝10.781 25(万元)； 当x>5时,L(x)<12－1.25＝10.75(万元)． ∴生产475台时利润最大． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤5，4.75x －x22－0.5≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x>5，12－0.25x≥0，得5≥x≥4.75－21.562 5≈0.11或5<x≤48, ∴产品年产量在11台到4 800台时,工厂不亏本．状元随笔 本题考查分段函数问题,生产不超过500台时,产量等于销售量；产量超过500台时,销售量为一个常数500台．课时作业 21一、选择题1．某种生物增长的数量y(个)与时间x(小时)的关系如下表：x/个 1 2 3 … y/小时138…下面函数解析式中,能表达这种关系的是( ) A ．y ＝x 2－1 B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x －1D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2 答案：D2．商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率⎝ ⎛⎭⎪⎫销售价－进价进价×100%由原来的r%增加到(r ＋10)%,则r 的值等于( )A ．12B ．15C ．25D ．50解析：设原销售价为a,原进价为x,可以列出方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a －x x ×100%＝r100，a －x (1－8%)x (1－8%)×100%＝10＋r100，解这个方程组,消去a,x,可得r ＝15. 答案：B3．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元解析：由题意,知纳税额y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x≤800，0.14(x －800)，800<x≤4 000，0.112x ，x>4 000.由于此人纳税420元,所以800<x≤4 000时,令(x －800)×0.14＝420,解得x ＝3 800,x>4 000时,令0.112x ＝420,解得x ＝3 750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元．故选C.答案：C4．在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y ＝f(x),另一种是平均价格曲线y ＝g(x),如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图像,实线表示y ＝f(x),虚线表示y ＝g(x),其中可能正确的是( )解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系,可知,当即时价格升高时,对应平均价格也升高；反之,当即时价格降低时,对应平均价格也降低,故选项C 中的图像可能正确．答案：C 二、填空题5．经市场调查,某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t ＋100,价格为g(t)＝t ＋4,则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t 的函数解析式为S(t)＝________.解析：日销售额＝日销售量×价格,故S ＝f(t)×g(t)＝(2t ＋100)×(t＋4)＝2t 2＋108t ＋400,t∈N. 答案：2t 2＋108t ＋400,t∈N6．在某种金属材料的耐高温实验中,温度y 随时间t 的变化情况如图所示,给出下面四种说法： ①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后的温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(只填序号)解析：前5分钟温度增加的速度应越来越慢,因为此段内曲线越来越“缓”,故②正确；5分钟后,对应曲线是水平的,说明温度不变了,故④正确．答案：②④7．某商品进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个；若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个________元．解析：设涨价x 元,销售的利润为y 元,则y ＝(50＋x －45)(50－2x)＝－2x 2＋40x ＋250＝－2(x －10)2＋450,所以当x ＝10,即销售价为60元时,y 取得最大值．答案：60 三、解答题8．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内,全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．(1)设学生数为x 人,甲旅行社收费为y 甲元,乙旅行社收费为y 乙元,分别写出两家旅行社的收费y 甲,y乙与学生数x 之间的解析式；(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样？ (3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？ 解析：(1)y 甲＝120x ＋240(x∈N ＋),y 乙＝(x ＋1)×240×60%＝144(x ＋1)(x∈N ＋)．(2)由120x ＋240＝144x ＋144,解得x ＝4,即当学生数为4时,两家旅行社的收费一样． (3)当x<4时,乙旅行社更优惠；当x>4时,甲旅行社更优惠．9．某企业实行裁员增效．已知现有员工a 人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元,据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗人员每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的34,设该企业裁员x 人后年纯收益为y 万元．[尖子生题库]10．为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品．已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位：百件)与销售价p(单位：元/件)之间满足关系式：q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2p ＋140，40≤p≤58，－p ＋82，58<p≤81.该企业职工每人每月工资为1 200元,其他经营性费用为每月13 200元．(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p 为52元/件,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数． (2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款？解析：(1)设该企业职工人数为t,依题意当p ＝52时,q ＝36,则(52－40)×36×100＝1 200t ＋13 200,∴t＝25.即该企业有25名职工．(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)＝⎩⎪⎨⎪⎧100(－2p ＋140)(p －40)－1 200×20－13 200(40≤p≤58)，100(－p ＋82)(p －40)－1 200×20－13 200(58<p≤81).。

一、单选题1. 我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t （单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：）A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h2. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A．6升B．8升C．10升D．12升3. 下列说法正确的是（）A．数学探究活动是数学建模B．用数学的思想方法分析、解决了实际问题的过程就是数学建模C．数学建模的第一步是对数学问题进行抽象概括D．数学建模的对象是现实世界中的实际问题4. 某生产厂家的生产总成本y（万元）与产量x（件）之间的关系式为，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为（）A．52 B．53或54 C．53 D．52或535. 一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是（）A．B．C．D．6. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细．现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃．设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位）的图像大致是（）.A．B．C．D．二、填空题7. 某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少________副.8. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元/超过但不超过的部分6元/超过的部分9元/若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.9. 经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100，价格为g(t)=t+4，则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为S(t)=_____.10. 某游乐场每天的盈利额y(单位:元)与售出的门票数x(单位:张)之间的函数关系如图所示，试分析图像，要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出_____张门票.三、解答题11. 某列火车从A地开往B地，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开A地2h时火车行驶的路程.12. 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有500名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，维护人员的年人均投入调整为万元．(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？(2)若对任意，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数的取值范围．13. 小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是通过实验统计了旋钮的转角为、、、、时，烧开一壶水所耗燃气情况：18 36 54 72 90旋钮的转角（单位：度）0.130 0.122 0.139 0.149 0.172所耗燃气量（单位：）请选择合适的函数模拟拟合以上数据，由此计算：旋钮的转角为多少度时，烧开一壶水所耗然气最少？最少燃气为多少立方米？14. 苍苍黑土，漭漭龙江．北国骊珠，普育名庠．2023年10月6日，哈三中将迎来建校百年庆典．某公司为哈三中百年校庆设计了文创产品，并批量生产进行售卖．经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，产品销售周可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个吉祥物还需要投入其他成本0.5万元．(1)写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；(2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？。

3。

3 函数的应用（一)3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点素养目标·定方向课程标准学法解读理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题。

1．领会教材中的五个例题，能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型．2．解决数学应用题的关键是建模，顺利建立函数模型并解决问题要具备以下能力:阅读理解能力，逻辑推理能力，计算能力.必备知识·探新知基础知识1．常见的函数模型（1）一次函数模型形如y＝kx＋b（k≠0）的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图像解题时,应注意：①一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数为负)两种情况;②一次函数的图像是一条直线．(2)二次函数模型形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．思考：一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际应用问题中，定义域一定是全体实数吗？提示:不一定．在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时,必须要考虑这些实际意义．(3）分段函数模型这个模型的实质是一次函数、反比例函数(形如y＝错误!,k≠0)、二次函数中两种及以上的综合．（4）对勾函数模型这个模型的实质是一次函数与反比例函数（形如y＝错误!，k≠0）模型的综合,解决此类问题的最值可用均值不等式求解．基础自测1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0。

20元（不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0。

10元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话550 s，应支付电话费(B) A．1。

00元B．0.90元C．1.20元D．0。