第6章 曲线与曲面

步骤二、由各踏步的两侧，向下量出楼梯板的垂 直高度，即可连得楼梯底面的平螺旋面的两条边 缘螺旋线。 步骤三、量出栏杆高度，并画出扶手的V面投影。


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《道路工程制图习题集》解
6-4作出由圆周K绕轴O旋
转成的环面的两面投影， 并作出面上点A和点B的另 一投影，共有几解？
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《道路工程制图习题集》解
k'
a'
b1' O' b2'
a1 a2
O
a3 a4
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b
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6-3已知圆锥面上各点的
一个投影，求作点的其余 两个投影。
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(c') b' a' d'
c" b" a" (d")
c'
a b d
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分析：圆锥面上各点，即属于圆锥表面，有属于 圆锥上的相应的素线，同时还属于圆锥的纬圆。 点A在圆锥左前1/4的位置上，点B在前后对称线 的左部分，点C圆锥左后1/4的位置上，D点在圆 锥的底面上，右前1/4的位置上。 步骤一：纬圆法，根据点的投影三等关系，求点 A的其余两面投影。 步骤二：根据B点的特殊位置，直接求其投影。 步骤三：素线法，根据点的投影三等关系，求点C 的其余两面投影。 步骤四：根据D点的特殊位置，直接求其投影。

1
P(0) 2 2 1 P(1) 3 3 2 p(0) 0 0 1 p' (1) 1 0 0
1 P(0) P(1) 1 M h Gh 0 p(0) 0 p' (1)
x(t ) p(t ) y (t ) t n z (t )

a n t 1 a1 a0

cn T C b1 c1 b0 c0 bn
t [0,1]
将边界条件带入该矩阵方程，得
C Ms G
Q(0) P(1)
几何连续性
0阶几何连续性：与0阶参数连续性相同.是指曲线的几何位 置连接，即
p(1) Q(0)
1阶几何连续性：是指一阶导数在相邻段的交点处成比例， 则相邻曲线段在交点处切向量的大小不一定相等。
p (1) Q(0)
2阶几何连续性：是指在相邻段的交点处一阶、二阶导数均 成比例，则相邻曲线段在交点处曲率相等。
要设置足够的边界条件来得到所有系数的值。
描述参数曲线的边界条件有： 端点位置矢量、端点切线矢量、曲率等。对三次参数曲线， 用其端点矢量P(0),P(1).端点切线矢量
则三次Hermite样条曲线：
p (0), p(1)
p(t ) [t 3 t 2
ax b x t 1] cx d x
a y az a b b y bz 3 2 [t t t 1] T C c y cz c dy dz d
对上式求导，得
p(t ) [3 t 2 2t a b 1 0] c d
将边界条件代入，得

控制母线运动的点、线 和面称为定点、导线和 导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
s● (n)
n● s
纬线圆法
●s ●(n)
单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
s
条素线。
k
正圆锥面
正圆锥面 斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。

高等数学一教材章节第一章：函数与极限函数的定义与性质函数的概念函数的表示方法函数的分类一元函数的极限极限的定义极限的运算法则极限存在准则函数的连续性连续函数的定义连续函数的性质连续函数的运算法则第二章：导数与微分导数的概念与运算法则导数的定义导数的几何意义导数的运算法则高阶导数与隐函数的导数高阶导数的概念隐函数的导数高阶导数的计算微分中值定理与导数的应用罗尔定理拉格朗日中值定理函数单调性与极值第三章：积分与定积分不定积分不定积分的定义常见函数的不定积分不定积分的基本性质定积分的概念与性质定积分的定义定积分的基本性质定积分的几何意义牛顿-莱布尼茨公式与变限积分牛顿-莱布尼茨公式的推导变限积分的概念与运算法则曲线长度的定积分表示第四章：一元函数的应用或微分方程常微分方程常微分方程的概念一阶线性微分方程一阶齐次线性微分方程微分方程的应用因变量可分离的微分方程可化为一阶线性微分方程的方程可化为齐次微分方程的方程第五章：多元函数微分学多元函数的极限与连续性多元函数的极限定义多元函数的连续性定义多元函数的偏导数与全微分多元函数的导数与微分法多元函数的偏导数多元函数的全微分多元函数的隐函数及其导数多元函数的极值与条件极值多元函数的极值判定多元函数的条件极值第六章：重积分与曲线曲面积分二重积分的概念与性质二重积分的定义二重积分的性质与运算法则可求面积与可求平均值的关系三重积分与多重积分三重积分运算法则广义重积分多重积分的应用曲线积分与曲面积分第一类曲线积分的概念与计算第二类曲线积分的概念与计算曲面积分的概念与计算第七章：向量场与无散场、无旋场向量场的基本概念与性质向量场的概念向量场的性质与分类散度与无散场散度的概念与计算无散场的特点与判定旋度与无旋场旋度的概念与计算无旋场的特点与判定第八章：曲线积分与曲面积分的应用曲线积分的应用曲线积分在物理中的应用曲线积分在工程中的应用曲线积分在电磁学中的应用曲面积分的应用曲面积分在流体力学中的应用曲面积分在电场中的应用曲面积分在热传导中的应用第九章：常微分方程入门常微分方程的基本概念与解法常微分方程的定义与分类分离变量法与齐次方程法一阶线性微分方程的解法高阶微分方程与常微分方程组高阶微分方程的解法常微分方程组的概念与解法常微分方程在物理中的应用第十章：级数与幂级数级数的定义与性质级数的基本概念级数的运算法则级数的比较判别法幂级数的收敛性与展开幂级数的收敛半径幂级数的展开幂级数的应用函数项级数与傅里叶级数函数项级数的定义与性质函数项级数的收敛性傅里叶级数的基本概念与性质。