深圳大学高等数学A2补充题答案及自测题答案

高数A2试题参考答案一、填空题：1. 2222xdx ydy x y ++ ；2. 110(,)dy f x y dx ⎰；； 4. (3,3)- 5. 22x Ce -+二、选择题：1).D 2).A 3) C . 4).C 5).B 三、计算题：（共21分）1、略解：123uyf f f x∂'''=++∂ 221112132232332222uy f yf yf f f f x∂''''''''''''=+++++∂ 2、略解：D⎰⎰ 220sin d d πππθρρρ=⎰⎰=26π-3、略解：补上曲面1∑：0,z =(,)x y ∈22:x y R +≤xy D ，取上则 有高斯公式得333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ =11333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy ∑+∑∑++-++⎰⎰⎰⎰=-32222222()03sin Rx y z dv d d d ππθϕρρϕρΩ++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 565R π=-4、略解：补上OA:0,y x =从0到4。

设L 与OA 所围成的区域为D ， 则2222(2)(2)(2)(2)LL OAy xy dx x x y dy y xy dx x x y dy +++++=++++⎰⎰-22(2)(2)OAy xy dx xx y dy ++++⎰=4[22(21)]0Dx x dxdy dx +-+-⎰⎰⎰2Ddxdy π==⎰⎰5、略解：方程20y y y '''--=的特征方程为2r -r-2=0，其根为121,2r r =-=， 故微分方程20y y y '''--=的通解为212x x y C e C e -=+1λ=不是特征方程的根，故设x y ae *=，代入原方程可得1a =- 22x y y y e '''--=的一个特解为x y e =-6、略解：从点A （1，1）到点B （2，2）的方向的方向余弦为cos 22sin αα==在点A （1，1）处4,2,z zx y∂∂==∂∂cos sin z z zl x xαα∂∂∂=+=∂∂∂ (1,1)|42grandz i j =+7、略解：(1)lim1(1)n n n n n ρ→∞-==+ ，∴级数的收敛半径11R ρ==。

高等数学期末复习题库第八章空间解析几何和向量代数一、选择题1、设向量(2,,1)a t = ，()1,-1,2b = ，若a b ⊥，则t =()(A)4(B)2(C)4-(D)22、已知向量)4,1,1(,-=⊥a b a，)1,,2(-=m b ，则=m ()；(A)1(B)1-(C)2(D)2-3、设向量(1,1,1)a =- ，(4,2,2)b =-，则向量a 与向量b 的关系是()(A)//a b (B)a b ⊥ (C)a b < (D)||||a b < 4、设向量2,24,a i mj k b i j nk =++=++ 若//a b，则()(A)2,1m n ==(B)2,4m n ==(C)1,1m n ==(D)1,2m n ==5、向量()1,,2a m = ，()2,4,b n = ，若//,a b，则()(A)2,1m n ==(B)2,4m n ==(C)1,1m n ==(D)1,2m n ==6、向量()2,1,a k =-，()3,2,1b =-- ，相互垂直，则k =()(A)4(B)1-(C)3(D)27、下面方程为圆柱面的方程是()(A)z =(B)222z x y=+(C)224x y +=(D)2221324x y z +-=8、下列方程的图形为旋转抛物面的是（）(A)z =(B)221x y +=(C)z =(D)22z x y =+9、将yoz 坐标面上的抛物线2z y =绕z 轴旋转一周而成的旋转抛物面的方程是()(A)z =(B)22z x y =+(C)z =(D)22=1x y +10、下列方程的图形为旋转抛物面的是()(A)22z x y =+(B)z =(C)z =(D)22=9x y +11、下面说法正确的是()(A)22z x y =+是旋转抛物面，z =是圆锥面(B)2224x y z ++=是旋转面，222z x y =+是球面(C)224x y +=是圆柱面，22z x y =+是旋转抛物面(D)22x y z -=旋转抛物面，222z x y =+是圆柱面12、过点()3,1,1-且与平面24120x y z ---=平行的平面方程是()(A)241311x y z -++==-(B)311241x y z --+==--(C)243=0x y z ---(D)247=0x y z ---13、直线11111x y z -+==-与平面2+2x y z -=的位置关系是()(A)平行(B)垂直(C)夹角为4π(D)夹角为4π-14、过点()12,4-，且与平面2340x y z -+-=垂直的直线方程是()(A)2312=0x y z ++-(B)244=0x y z -+-(C)124231x y z -+-==-(D)231124x y z -+-==-二、填空题1、过点(2,1,3)-且与平面2340x y z -+=垂直的直线方程为.2、过点(1,2,3)-且与直线3123x yz -==--垂直的平面方程为.三、解答题1、设(1,2,1),(2,1,3)a b =-= ，求(2)a a b ⋅+及a b ⨯ .2、设(2,1,3),(1,1,2)a b =-=- ，求a b ⋅ 及a b ⨯.3、设(0,1,4),(2,1,1)a b =-=-，求3a b ⋅ 及||a b ⨯ .4、设平面通过点(1,2,1)-且与两向量(1,0,1),(1,1,0)a b =-=都平行，求该平面的方程.5、一平面过点()2,-4,1且垂直与平面231x y z ++=与651,x y z -+=求该平面方程.6、求过点()0,2,4且与两平面21x z +=和32x y -=平行的直线方程.7、求垂直于两平面30x y z --+=与210x y z +--=且通过点()1,-2,-1的平面方程.8、一平面过原点且垂直于平面231x y z ++=与651,x y z -+=求该平面方程.9、求过点(1,2,1)且垂直于平面21x y z --=与20x y z --=的平面方程.第九章多元微分学一、选择题1、设函数2(,)2f x y x =+，则(1,1)'=y f ().(A)3(B)2(C)1(D)122、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处可偏导，则()(A)(),f x y 在点()00,x y 处可微(B)()()0000,=,0x y f x y f x y ''=时，(),f x y 在点()00,x y 处必有极值(C)(),f x y 在点()00,x y 处有极值时，必有()()0000,=,0x y f x y f x y ''=(D)(),f x y 在点()00,x y 处连续3、设(,)f x y 偏导数存在，则00000(2,)(,)lim x f x x y f x y x∆→-∆-=∆()(A)002(,)f x y '-(B)002(,)f x y '(C)001(,)2f x y '-(D)001(,)2f x y '4、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处存在连续偏导数，则()(A)()()0000,=,0x y f x y f x y ''=(B)(),f x y 在点()00,x y 处必有极值(C)(),f x y 在点()00,x y 处可微(D)(),f x y 在点()00,x y 处不连续5、设()z f ax by =+，且f 可微，则()(A)z z x y ∂∂=∂∂(B)z z x y ∂∂=-∂∂(C)z za b x y ∂∂=∂∂(D)z z ba x y∂∂=∂∂6、考虑二元函数(),f x y 的下面四条性质：(1)(),f x y 在()00,x y 处连续(2)(),x f x y '、(),y f x y '在()00,x y 处连续(3)(),f x y 在()00,x y 处可微(4)()00,x f x y '、()00,y f x y '存在若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是().(A)()()()231⇒⇒(B)()()()321⇒⇒(C)()()()341⇒⇒(D)()()()314⇒⇒7、设函数(),z f x y =且()()0000,=,0,x y f x y f x y ''=则函数(),f x y 在点()00,x y 处()(A)必有极值，可能是极大值，也可能是极小值(B)必有极大值(C)可能是极值，也可能无极值(D)必有极小值8、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下面结论错误的是()(A)()()()00,,,limx y x y f x y →在()00,x y 存在(B)(),x f x y '、(),y f x y '在()00,x y 处连续(C)函数(),f x y 在()00,x y 处连续(D)()00,x f x y '及()00,y f x y '存在9、设函数2xz y =在点()11，处的全微分是()(A)2dz dx dy =-(B)2dz dx dy =+(C)2dz dx dy=+(D)2dz dx dy=-10、若(),,zf x y z xy x=+-则()1,0,1x f 等于()(A)0(B)1(C)1-(D)2-11、曲线221z x y y ⎧=+⎨=⎩在点()0,1,1处的切线对于x 轴的倾角是()(A)0(B)4π(C)3π(D)2π12、二元函数(),f x y 在()00,x y 处两个偏导数()00,x f x y '、()00,y f x y '存在是(),f x y 在()00,x y 处连续的()(A )充分而非必要条件(B )必要而非充分条件(C )充分必要条件(D )既非充分也非必要条件13、设函数yz x =，则(,1)|e zy∂=∂()(A)e(B)1e(C)1(D)014、若函数(),z f x y =在()00,x y 处可微，且()00,0x f x y '=，()00,0y f x y '=，则(),f x y 在()00,x y 处()(A)必有极值，可能是极大值，也可能是极小值(B)可能有极值，也可能无极值(C)必有极大值(D)必有极小值15、设33z x x y =--，则它在点(1,0)处()(A)取到极小值(B)取不到极值(C)取到极大值(D)无法判断是否有极值二、填空题1、函数21z x y=+的定义域为.2、函数)2ln 21z y x =-+的定义域为.3、函数()1ln z x y =+的定义域为.4、()()(),2,0sin 3lim2x y xy y→=.5、()(),0,1lim x y →=.6、()()(),2,0sin lim x y xy y→=.7、()(),0,3tan lim x y xyx →=.8、()()(),2,0ln 1lim x y xy x→+=.9、设函数(),z f x y =，在点()00,x y 具有偏导数，且在点()00,x y 处有极值，则()00,y f x y '=.10、曲线221z x y x ⎧=+⎨=⎩，在点()1,0,1处的切线对于y 轴的倾角为.三、解答题1、设函数2ln 5xyz xy e =+-，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.2、设22(,,)xy z f x y e x y =+-，其中f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂.3、设(),z z x y =由方程30z y xyz e -+=所确定，求z x ∂∂，,z dz y∂∂4、设函数2sin()yz xy x xe =-+，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.5、设223(,)xy z f x y e =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂.6、设(),z z x y =由方程2230z x yz e y --=所确定，求z x ∂∂，,z dz y ∂∂7、设(),z z x y =由方程点220z y x z e ++=所确定，求z x ∂∂，zy∂∂及.dz 8、设()22,xyz f x y e=-，其中f 具有一阶偏导数，求z x ∂∂，.z y∂∂9、设44224z x y x y =++，求z x ∂∂，z y∂∂及y x z∂∂∂2.10、设()22,z f x y xy =-，其中f 具有一阶偏导数，求z x ∂∂，.zy∂∂11、设(),z z x y =由方程点0z e xyz -=所确定，求z x ∂∂，z y∂∂.12、设()2222,u f xy z x y z =++，其中f 具有一阶偏导数，求u u x y∂∂∂∂，.13、设44224z x y x y =+-，求dz ，yx z∂∂∂2.14、设()2cos z x y xy =-，求z x ∂∂，z y ∂∂及yx z∂∂∂2.15、设(),z z x y =由方程点33340x y z xyz +++=所确定，求z x ∂∂，zy∂∂及.dz 16、求二元函数2126332--++-=y x y x z 的极值.17、求二元函数8632+-+=xy y x z 的极值.18、求函数33124z x y xy =+-+的极值.19、求函数22685z x x y y =--++的极值.20、求函数333z x y xy =+-的极值点与极值.21、求二元函数46332--+=xy y x z 的极值.四、应用题与证明题1、设()22,z f x y =+其中f 是可微函数，求证：0.z z y x x y∂∂-=∂∂2、设11,x y z e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=求证：222.z zx y z x y∂∂+=∂∂3、设yxz xe =，求证：.z z xy z x y∂∂+=∂∂4、设z =，求证：22220.z zx y∂∂+=∂∂5、设(),z z x y =由(),0F x z y z ++=所决定，其中(),F u v 具有一阶偏导数，求证：1.z z x y∂∂+=-∂∂6、设(),yz xyf u u x==，且()f u 可导，求证：2.z z xy z x y∂∂+=∂∂第十章二重积分一、选择题1、设1{(,)0,01}2D x y x y =≤≤≤≤，则=⎰⎰+Dy x y x e d d 2().(A)1(1)2e -(B)1e -(C)2(1)e -(D)21(1)2e -2、交换二次积分的顺序⎰⎰-xy y x f x 1010d ),(d =()；(A)⎰⎰110d ),(d yxy x f y (B)⎰⎰yxy x f y 11d ),(d (C)⎰⎰-yxy x f y 1010d ),(d (D)⎰⎰-1110d ),(d yxy x f y 3、设(,)f x y 是连续函数,210(,)=⎰⎰xx dx f x y dy ()(A)110(,)⎰⎰ydy f x y dx(B)10(,)⎰y dy f x y dx(C)1(,)⎰y dy f x y dx(D)11(,)⎰⎰dy f x y dx4、二次积分()1201,xdx f x y dy -⎰⎰更换积分次序后为()(A)()2110,dy f x y dx ⎰⎰(B)()2210,y dy f x y dx -⎰⎰(C)()1201,ydy f x y dx-⎰⎰(D)()2212,ydy f x y dx-⎰⎰5、二次积分()1,xdx f x y dy ⎰⎰更换积分次序后为()(A)()100,xdy f x y dx⎰⎰(B)()11,ydy f x y dx⎰⎰(C)()1,y dy f x y dx⎰⎰(D)()1,xdy f x y dx⎰⎰二、填空题1、设D 是由422≤+y x 所确定的闭区域，则=⎰⎰Dy x d 5d .2、设平面区域是由1,==y x y 与y 轴所围成，则=⎰⎰Dy x d 4d .3、设平面区域D 是由224x y +=y 轴所围成，则3Ddxdy =⎰⎰.4、设平面区域D 是由,4y x y ==与y 轴所围成，则2Ddxdy =⎰⎰.5、设平面区域D 是由直线220x y -+=与x 轴及y 轴所围成，则2Ddxdy =⎰⎰.6、设平面区域D 是由直线240x y -+=与x 轴及y 轴所围成，则4Ddxdy =⎰⎰.三、解答题1、计算22(2)DI x y d σ=+-⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围的闭区域.2、计算DI σ=⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围的闭区域.3、计算二重积分22,x y Ded σ--⎰⎰其中D 是由22+y 1x =及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.4、计算二重积分22,xy De d σ+⎰⎰其中D 是由22+y 1x y x ==，和0x =在第一象限围成的闭区域.5、计算二重积分,Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由坐标轴，直线=1x y +所围成的闭区域.6、计算二重积分,Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由直线=2y x +、=y x 、=4x 和y 轴所围成的闭区域.四、应用题与证明题1、已知一元函数f 连续，证明()()()21100.y xdy f x dx e e f x dx =-⎰⎰2、证明：()()()ln 12211.2exydx xf y dy e e f y dy =-⎰⎰⎰3、计算以xoy 面上的圆221x y +=围成的闭区域为底，221z x y =++为顶的曲顶柱体的体积.第十二章无穷级数一、选择题1、设正项级数1n n u ∞=∑，当1lim n n n uu +→∞=()时，级数1n n u ∞=∑收敛.(A)1(B)12(C)2(D)32、若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数不收敛的是()(A)1(10)∞=+∑nn u (B)110∞=+∑nn u (C)10∞=∑nn u(D)110∞=∑nn u3、若级数1n n u ∞=∑收敛（0n u ≠），则必有()(A)211()n n u n ∞=+∑收敛(B)1(1)nnn u∞=-∑收敛(C)1||n n u ∞=∑收敛(D)211()n n u n∞=+∑发散4、幂级数211(1)n n n x ∞-=-∑在（－1，1）内的和函数()s x =()(A)21x x -+(B)21x x --(C)221x x -+(D)221x x --5、幂级数11(1)n nn x ∞-=-∑在（－1，1）内的和函数()s x =()(A)1x x-(B)1x x -+(C)1x x+(D)1x x--6、幂级数12(1)1(1)n n n x∞--=-=∑()(A)211x -，11x -<<(B)211x +，11x -<<(C)211x-，x -∞<<∞(D)211x+，x -∞<<∞7、幂级数11(1)nn n x ∞-=-=∑()(A)11x -，11x -<<(B)11x +，11x -<<(C)11x -，11x -<<(D)11x -+，11x -<<8、幂级数0(1)nn n x ∞=-=∑()(A)11x -，11x -<<(B)11x +，11x -<<(C)11x -，11x -<<(D)11x -+，11x -<<二、填空题1、判断正项级数1(2n ∞=+∑的敛散性（收敛还是发散）.2、判断正项级数1n ∞=的敛散性（收敛还是发散）.3、幂级数113n n n x n ∞=⋅∑的收敛半径为.4、幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛区间为，和函数为.5、函数3x e 展开为麦克劳林级数是.6、函数12x-展开为麦克劳林级数是.三、解答题1、判定级数1(1)nn ∞=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？2、判定级数12/311(1)n n n ∞-=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3、判定级数1(1)n n ∞=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？4、求幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛半径、收敛区间及和函数.5、求幂级数1111n n x n ∞-=+∑的收敛半径、收敛区间.6、求幂级数112n nn x n ∞=⋅∑的收敛半径、收敛区间.。

（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）（1）2xy ；（2）312xxy C eC e -=+ ；（3）0；（4）2π；（5）0(11)n n x x ∞=-<<∑。

二、选择题（每小题3分，共15分）B ； B ； A ；C ； D三、计算题（每小题7分，共21分）1、解：22()1()dz dyx y x y dx x y dx∂∂=⋅+⋅∂∂ -----------------3分 22x xy x e =+ -----------------2分 2(2)x x x e =+ -----------------2分2、解：21122xDxydxdy xdx ydy =⎰⎰⎰⎰ -----------------3分221122xy x dx ⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰-----------------2分 231()x x dx =-⎰ -----------------1分94=-----------------1分 3、解：设 2P x y =-，Q y z =+，R z = -----------------1分2,1,1P Q Rx y z∂∂∂===∂∂∂ -----------------1分 (2)()x y dydz y z dzdx zdxdy ∑-+++⎰⎰(211)dxdydz Ω=++⎰⎰⎰ -----------------3分12π= -----------------2分四、计算题（每小题7分，共21分） 1、解：设24P x y =-+，536Q y x =+-。

3,1Q Px y∂∂==-∂∂ -----------------2分 利用格林公式，有()DQ Pdxdy x y∂∂=-∂∂⎰⎰原式 -----------------2分 4Ddxdy =⎰⎰ -----------------2分12= -----------------1分2、解： ()1,()x P x Q x e -==， -----------------2分()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰()dx dxx e e e dx C --⎰⎰=+⎰ -----------------3分()x e x C -=+ -----------------2分3、（1）解： (1,1,2)(1,1,2)()|3x f y z =+=(1,1,2)(1,1,2)()|3y f x z =+=(1,1,2)(1,1,2)()|2z f x y =+= -----------------1分(1,1,2)(1,1,2)(,,)f f f gradf x y z i j k xy z ⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭ -----------------1分332i j k =++-----------------2分（2）设其方向为l ，与l 同向的单位向量为：11(cos,cos,cos )(,)343222πππ=(1,1,2)(1,1,2)11222ff f f lx y z ⎛⎫∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ -----------------1分1133222=⨯+⨯1(52=+ -----------------2分 五、计算题（每小题8分，共16分）（1）解： 收敛半径13l i m 33n n n R +→∞==， ---------------4分故收敛域区间为(3,3)-。

10 级高数 A2 期末考试题及答案一、填空题（每题 3 分，共 24 分）1.微分方程 y4y 5 y0 的通解为y C1e5x C2e x.2.设函数z2x 2 3 y 2，则全微分dz___ 4xdx 6 ydy ______．椭球面 x22y 22z2 5 在点（1，，）处的切平面方程为___ x 2y 2 z 5 _3114.设积分区域D : x2y2 4 ，则二重积分 f (x, y)dxdy 在极坐标下化为二次积分为D22, r sin)rdr _________d f ( r cos005.设积分区域为Ω: 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1，则三重积分2dxdydz____16 _____Ω6.设 L 是圆周x2y2 2 ，则对弧长的曲线积分( x 2y2 )ds____ 4 2 _____L7. 无穷级数u n 123的通项 u n__n___. 2341n 1n8. 函数f ( x)1展开成 x 的幂级数为_____(2)n x n_____. 12x n 0二、计算下列各题（每题7 分，共 63 分）1、求微分方程(1 x)dx (1 y)dy0的通解.解：分离变量： (1 x) dx (1 y)dy两边积分，得通解x 1 x2y 1 y2C222、设函数zy3x2 2 y2z，z，2 z cos，求x y x y xz y(y y y6x解：sin2 ) 6 xx 2sinx x x x3、设函数z f3x, x y,其中 f 是可微函数 ,求z，z. x y解：z 3 f 1f 2 ， z f 2xy4、求函数 f (x, y) 5x 24 xy y 22x1的极值 .求偏导数f x 10x 4 y 2 ， f y4x 2 y令 f x， f y0 解得驻点 x1, y 2求二阶偏导数fxx10 ， f yy 2 ， f xy4 ，于是有 ACB 2 4 0，且A所以，在点 ( 1, 2) 处，函数取极小值 f (1, 2) 05、计算二重积分I(x 2 y 1)dxdy ，其中 D 是由直线 yx ， y 2x 及 yD 轴所围成的区域 .1 2 x (x 2 y1)dy12 x32x 2)dx7解：原式 =dx(2 x2x66、计算对坐标的曲线积分(1 3 y) dx (1 2x y)dy ，其中 L 为从 A(2,0) 到 B( 2,0) 的L上半圆周 y4x 2 ，取逆时针方向 .解： P 1 3y, Q 1 2x yP 3,Q2 ，QP 1yxxy补线： L 1 : y0, x 从 -2 到 2(1 3y) dx (1 2 x y)dy24 则dxL 12由格林公式，(13 )(1 2)2L L 1y dxx y dydxdyD于是， IL L 1 L 1247．用高斯公式计算积分I (x z)dydz (x y)dzdx ( y z)dxdy ，其中曲面为圆柱面 x 2y 21 及平面 z 0, z 3 所围成的圆柱体的整个边界曲面的外侧。

高等数学（A2）综合测试（一）(时间：120分钟)一、填空题（24分）1 21. 设442u x y x y =+−，则22________.u x ∂=∂ 2. 设函数在点(1,1,1)沿的方向导数u xyz =(2,1,1)l =G (1,1,1)u l ∂=∂【 】.323. 曲面上点（1,-2,1）处的切平面方程为222321x y z ++=222___________________.u x∂=∂ 4. 若级数收敛，则.1(21)n n u ∞=−∑lim ____________n n u →∞=5. 设曲线L 是沿逆时针方向的圆周 则224,x y +=Lxdy ydx −∫v = 。

6. 下列级数收敛的是【 】.A. n ∞=B. 21(1)5n n n n∞=−+∑ C. n n ∞= D. 111nn n ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑ 7. 已知平面区域D ：,01,a x b y ≤≤≤≤又()1,D yf x d σ=∫∫ 则()b af x dx =∫【 】.A. 1B. 2C. 0D. 0.58. 设L 为圆周则223,x y +=∫v = . 二、解答下列各题（56分）1. 设 求2222,sin ,x y z u e z x y ++==,u u x y ∂∂∂∂. 2. 设函数2ln sin 2yz y u x y e =++，求全微分. du 3. 求由方程33z x 1yz −=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（2,1,1）处的全微分.4. 设,,xy x z f e y −⎛⎞=⎜⎝⎠⎟ 且f 具有二阶连续偏导数，求22,z z xx ∂∂∂∂. 5. 计算(D,x σ+∫∫其中D: 221x y +≤.6. 计算，其中由zdv Ω∫∫∫Ω2z x 2y =+及平面1z =所围成的闭区域.7. 计算222(1)(2),Lx y dx x x y dy −+++∫L ：从沿上半圆(4,0)A y =的一段圆弧.(0,0)O 8. 计算其中Σ是曲面,zdxdy Σ∫∫22z x 2y =+介于0z =及1z =之间的部分的外侧.三、解答下列各题（20分）1. 判定级数21(1)3nn n n ∞=−∑的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 2. 求幂级数1n n x n ∞=∑的收敛域及和函数()s x ，并计算和11(3)n n n ∞=−∑. 3. 将函数21()2f x x x =−−展开为x 的幂级数. 4. 设(),0f x x x π=≤≤，将()f x 展开为正弦级数，（1）求的值；（2）记1sin n n b n ∞=∑x 2b 1()sin n n s x b ∞==∑nx ，则()s π= .。

1、1．设是平面上以三点和为顶点的三角形区域，是的第一象限部分，则( A )。

（A）；（B）；（C）；（D）。

2.下列级数中发散的级数是（C ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

3.设幂级数在处条件收敛，则该级数在处是（ A ）。

（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）以上结论都不对。

4.设在展开成正弦级数为，且，则（ C ）。

（A）；（B）；（C）；（D）以上结论都不对。

二 5.设闭区域由曲线与所围成，则。

6. 设曲线方程为，则。

7. 将展开成的幂级数为。

8. 设，则。

三9.分别用先二后一和柱坐标的方法计算三重积分，其中是由曲面及所围成的闭区域。

解先二后一1柱坐标的柱坐标为，则=10.设为锥面及平面所围成闭区域的边界曲面，计算。

解：如图，其中，故=+=+11. 设为从点沿曲线到点的弧，其中 为正的常数，计算。

解;作辅助线，若设与所围闭区域为，则，故12. 设是球面的上侧，计算。

解；作曲面，朝下。

则其中（先二后一）由，朝下，有，故13. 求幂级数的收敛域及和函数。

解由，可知幂级数收敛半径为1，且与均发散，故幂级数收敛域为。

当时故当时四、（10分）。

14.常数取什么值使得在平面存在二元函数满足，且，并求出函数。

解（1）设，故取值使得等式成立，即成立时存在二元函数满足条件，故，且O（0，0）B（x，y）A（x，0）其中五、（每小题4分，共8分）。

15．计算积分，其中为圆周。

解：注意到，取做曲线方向为逆时针，设曲线围成复连通区域为，显然在满足格林公式条件，故，可得，其中为所围区域。

16．判别级数的敛散性，并给出理由。

解：显然级数是正项级数且注意到，故收敛，故也收敛。

描述[←1]。

《高等数学》考试试卷A一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．幂级数1(1)3nnn x ∞=-∑的收敛域为（ ）； A (2,4]- B [2,4)- C (2,4)- D [2,4]-2．极限2(,)(0,2)1cos()limx y xy x y →-=（ ）；A 0 B12C 1D 2 3．设322(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩，则(0,0)y f '=（ ）；A 3B 1C 0D 不存在 4．直线321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩ 与平面4220x y z -+-=的位置关系是（ ）；A 与平面斜交B 平行C 在平面上D 垂直5．设L 是曲线31y x =+上点(0,1)A 到点(1,4)B 的一段弧，则Lxyds =⎰（ ）.B 92二、填空题（每小题3分，共15分)1．动点(,,)M x y z 到平面yOz 的距离与到(1,2,1)-的距离相等，则该动点(,,)M x y z 的轨迹方程为 ；2. 设2sin()z x y =，则2zx y∂=∂∂ ； 3. 改变二次积分的积分次序2220(,)y y dy f x y dx =⎰⎰；4. 已知级数1nn aa ∞==∑，则级数11()n n n a a ∞+=+=∑ ；5. 设∑是锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面,则曲面积分22()x y dS ∑+=⎰⎰ .三、计算与解答题(每小题8分，共64分)1、计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由2y x =，0y =，2x =所围成的闭区域.2、设(,)xz f x y y=+，且f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.3、求过点(1,1,1)且平行于向量(1,1,2)a =-和(1,2,3)β=-的平面的方程.4、求过点(0,1,2)且与平面3410x y z -+=垂直相交的直线方程．5、计算22Lxydx x dy +⎰，其中L 是22y x =+上从点(0,2)A 到点(2,6)B 的一段弧.6、将给定的正数a 分为三个正数之和，问这三个数各为多少时，它们的乘积最大？7、计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z xy =+及平面4z =所围成的闭区域．8、求幂级数211n n nx∞-=∑的和函数.四、证明题（6分）已知lim 1n n u →∞=，证明级数 1111n n+n ()u u ∞=-∑收敛．。

精心整理10级高数A2期末考试题及答案一、填空题（每题3分，共24分）1. 微分方程054=-'-''y y y 的通解为 x x e C e C y -+=251 .二、计算下列各题（每题7分，共63分）1、求微分方程0)1()1(=+-+dy y dx x 的通解. 解：分离变量：dy y dx x )1()1(+=+两边积分，得通解 C y y x x ++=+2221212、设函数2223cos y x x y z -+=，求x z ∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2 解：x x y xy x x y x y x z 6sin 6)(sin 22+=+-⋅-=∂∂6、计算对坐标的曲线积分⎰+-+-L dy y x dx y )21()31(，其中L 为从)0,2(A 到)0,2(-B 的上半圆周24x y -=，取逆时针方向. 解：y x Q y P +-=-=21,31 2,3-=∂∂-=∂∂x Q y P ，1=∂∂-∂∂y P x Q补线：x y L ,0:1=从-2到2则⎰+-+-1)21()31(L dy y x dx y 422==⎰-dx 由格林公式，π2)21()31(1==+-+-⎰⎰⎰+D L L dxdy dy y x dx y 于是，-=I 42-=π 所以，当1<x ，即11<<-x 时，级数收敛。

收敛区间为)1,1(-三、（本题9分）某厂要用铁板做成一个体积为38m 的有盖长方体水箱。

问当长、宽、高分别取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

解：设水箱的长宽高分别为z y x ,,，则水箱的表面积为xz yz xy S 222++=题目欲求函数xz yz xy S 222++=在满足条件8=xyz 时的最小值。

令)8(222-+++=xyz xz yz xy L λ，则由022=++=yz z y L λ，。

AC1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (1,2,3)A - 第IV 卦限 (2,3,B - 第V 卦限 (2,3,4)C -- 第VIII 卦限 (2,3,1)D --第III 卦限． 2． 证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形． 证明：如图所示 MC AM = MD BM ==+=+=∴AD 与BC 平行且相等，结论得证．3．已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M 的模，方向余弦和方向角以及平行于向量12M M 的单位向量． 解： k j 2i 21+--=M M2)21()02()34(222=-+-+-=方向余弦：21cos -=α，22cos -=β，21cos =γ． 方向角：32πα=，43πβ=，3πγ=． 平行于向量21M M 的单位向量是k 21j 22i 21±． 4．设=3+5+8m i j k ,=2n i 47-j-k ,=5+p i j 4-k ,求=4+3a m n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量． 解：因为p n 3m 4a -+=k15j 7i 13)k 4j i 5()k 7j 4i 2(3)k 8j 5i 3(4++=-+---+++=所以在x 轴上的投影为13a =x ． 在y 轴上的分向量为j 7．1．已知1(1,1,2)M -，2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求同时与12M M ，23M M 垂直的单位向量．解：k j 4i 221-+=M M ，k 2j 232+-=M M ，设所求向量为),,(c b a b =，因为21M M b ⊥ ，所以 042=-+c b a因为32M M b ⊥，所以 022=+-c b ， 因为1||=b ，所以1222=++c b a求得173±=a ，172=b ，172=c故所求单位向量为)172,172,173(±=be方法二：所求向量)4,4,6(2201422221--±=--±=⨯±=kj iM M M M b故)172,172,173(161636)4,4,6(||±=++--±==b b e b2．设{}=3,5,-2a ，{}=2,1,4b ，问λ与μ有怎样的关系能使+λμa b 与z 轴垂直．解：)k 4j i 2()k 2j 5i 3(b i +++-+=+μλμλk )42(j )5(i )23(μλμλμλ+-++++=因为与z 轴垂直，所以μλμλ2042=⇒=+-．3．设=2+m a b ，=k +n a b ，其中=1a ，=2b ，且⊥a b ． (1) k 为何值时，⊥m n ；(2) k 为何值时，m 与n 为邻边的平行四边形面积为6？解：(方法一) 设},,{z y x a a a a =，},,{z y x b b b b = ，由题意已知1222=++z y x a a a ，4222=++z y x b b b ，0=++z z y y x x b a b a b a}2,2,2{z z y y x x b a b a b a m +++= ，},,{z z y y x x b ka b ka b ka n +++=(1) 已知n m⊥，所以0))(2())(2())(2(=++++++++z z z z y y y y x x x x b ka b a b ka b a b ka b a求得 2-=k ．(2) 根据题意，||6n m⨯=，得1-=k ，或5=k ．(方法二) (1) n m ⊥ ，0 =⋅∴n m ⇒0)()2(=+⋅+b a k b a ⇒0||||222=+b a k⇒042=+k ⇒2-=k .(2) 6 =S ，6|| =⨯∴n m ⇒6|)()2(|=+⨯+b a k b a⇒6|)()(2|=⨯-⨯b a k b a ⇒6|||2|=⨯⋅-b a k⇒6|||||2|=⋅⋅-b a k ⇒3|2|=-k ⇒51=-=k k 或.§7—31．一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点坐标为),,(z y x ，根据题意，有222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x等式两边平方，然后化简得 0631044=-++z y x ． 2．求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：设球面上点的坐标为),,(z y x ，根据已知条件，得222222)20()30()10()2()3()1(++-+-=++-+-z y x整理得 0462222=+--++z y x z y x ． 3．画出下列方程所表示的曲面： (1) 22244x y z ++=； 解：椭球抛物面 (2) 22240x y z +-=； 解：圆锥面(3) 22349z x y =+．解：旋转抛物面§7—41．画出下列曲线在第一卦限内的图形：(1) 12x y =⎧⎨=⎩；解：(2) 0z x y ⎧⎪=⎨-=⎪⎩解：(3) 222222x y a x z a⎧+=⎨+=⎩．解：2．方程组221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？ 解：在平面解析几何中，表示椭圆22149x y +=与直线3y =(其实是过点(0,3)的一条切线)的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面22149x y +=与其切平面3y =的交线(直线).3．求由上半球面z =220x y ax +-=及平面0z =所围成的立体，在xOy 面和xOz 面上的投影．解：想象该立体的形状，知向xoy 面上的投影柱面的方程为ax y x =+22，即为圆柱面222)2()2(ay a x =+-，故该立体在xoy 面上的投影为圆面： ⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-0)2()2(222z a y a x ．消去y ：222y x a z --=，在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==+0222y az x柱面022=-+ax y x 在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==-002y ax x故在xoz 面上的投影是⎩⎨⎧=≥≥≤+0,0 ,222y x z a z x .§7—51．求通过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程． 解：设所求平面方程为0573=++-D z y x ，因为过点)1,0,3(-，所以0)1(*50*73*3=+-+-D ，得4-=D ，故所求平面方程为04573=-+-z y x2．求过点0(2,9,6)M -且与连接坐标原点及点0M 的线段0OM 垂直的平面方程． 解：由条件 }6,9,2{0-=OM 与平面垂直，所以}6,9,2{-=n，所求平面方程为0)6(6)9(9)2(2=+--+-z y x ， 即0121692=--+z y x ．3．求平面2250x y z -++=与各坐标面的夹角余弦． 解：与xoy 平面的夹角余弦为319|1*10*)2(0*2|cos 1=+-+=θ 与xoz 平面的夹角余弦为329|0*11*)2(0*2|cos 2=+-+=θ与yoz 平面的夹角余弦为329|0*10*)2(1*2|cos 3=+-+=θ§7—61．求过点(4,1,3)-且平行于直线3125x z y --==的直线方程． 解：设所求直线为l ，直线5123-==-z y x 的方向向量为)5,1,2(，则直线l 的方向向量为)5,,2(t t t ， 故所求直线方程为53124-=+=-z y x ． 2．求过两点1(3,2,1)M -和2(1,0,2)M -的直线方程．解：所有直线L 过点1M ，2M 两点，则L M M //21，故可取21M M s =，即}1,2,4{}12,20,31{21-=-+--==M M s所以所求直线方程为：121202313--=++=---z y x ，即112243-=+=--z y x ．3．求点(1,2,0)-在平面210x y z +-+=上的投影．解：过点)0,2,1(-且垂直于平面的直线方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y tx 0221，代入平面方程中，01)()22(2)1(=+--+++-t t t ，得32-=t ，代入直线的参数方程，得35-=x ，32=y ，32=z ，即投影点为)32,32,35(-．第八章 多元函数微分法及其应用§8-11.求函数22(,,)arcsin x y f x y z z+=的定义域.解：要使函数有意义，须0z ≠，且221.x y z+≤ 即, 22,0x y z z +≤≠ 或 22,0.z x y z ≤-≠－ 2．求极限：2001cos()lim.()x y x y x y →→-++ 解：(方法一) 22200002sin 1cos()112lim lim .()422x x y y x yx y x y x y →→→→+-+==++⎛⎫ ⎪⎝⎭(方法二) 2121lim cos 1lim 22020==-=→→=+t t tt t t ty x 原式. §8-21．设2,y z u x +=求一阶偏导数. 解：22221();ln ;2ln .y z y z y z u u uy z x x x zx x x y z+-++∂∂∂=+==∂∂∂ 2．设2ln(sin )z x y =+，求偏导数,z z x y ∂∂∂∂及2.z x y∂∂∂解：2222222cos 22cos ;;.sin sin sin (sin )z x z y z x x yx x y y x y x y y x y x y ⎛⎫∂∂∂∂====- ⎪∂+∂+∂∂∂++⎝⎭ §8-3设xz u y =，求du . 解：1ln ;;ln .xz xz xz u u uzy y xzy xy y x y z-∂∂∂===∂∂∂1ln ln .xz xz xz u u udu dx dy dz zy ydx xzy dy xy ydz x y z-∂∂∂∴=++=++∂∂∂ §8-41． 设(,)x z f x y =，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.解：令,.xu x v y==则''''12121;z du v f f f f x dx x y ∂∂=⋅+⋅=+∂∂''222;z v xf f y y y∂∂=⋅=-∂∂ ''2''''''''121221222222231111.f f z z x x f f f f f f x y y x y y y y y y y y y⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫==+=-+=--- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2. 设22x y z e +=，其中cos y x =，求dzdx. 解：令22,.u x v y ==则222222222-2s i n x y x y x y x y d z u v d y e e x e y ex d x xy d x++++∂∂=⋅+⋅⋅=∂∂22cos (2-sin2).x xex x +=§8-51．设ln x zz y=，求22,z z x x ∂∂∂∂.解：设(,,)ln .xz F x y z z y =-则211,,.x y z x zF F F z y z+===-由隐函数存在定理，得22223;()1.()()x z F z zx F x zz z x z z z z z z x x x x x x x z x z x z ∂=-=∂+∂∂⎛⎫+-+ ⎪∂∂∂∂-∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪∂∂∂∂+++⎝⎭⎝⎭2．设(,)F u v 可微，0F F ab u v∂∂+≠∂∂，证明由22(,)0F x az y bz --=所确定的函数(,)z z x y =满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. (方法一) 证明：设22,.u x az v y bz =-=-则2;2;.x u y v z u v F xF F yF F aF bF ===-- 由于0F F ab u v∂∂+≠∂∂，于是，由隐函数存在定理，得 22;.y x u v z u v z u vF F xF yF z zx F aF bF y F aF bF ∂∂=-==-=∂+∂+从而，222.u vu vxy aF xy bF z z aybx xy x y aF bF ⋅+⋅∂∂+==∂∂+ 证毕.（方法二） 证明：方程22(,)0F x az y bz --=两边分别对x ,y 求导：（注意),(y x z z =）对x 求导：0)()2(21=∂∂-+∂∂-x z b F x z a x F ⇒2112bF aF xF x z+=∂∂ 对y 求导：0)2()(21=∂∂-+∂∂-y zb y F y z a F ⇒2122bF aF yF y z +=∂∂ 从而满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. §8-61．求曲线2244x y z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线方程，并问该切线与x 轴的正向所成的角度是多少？解：(方法一) 设22(,,),(,,) 4.4x y F x y z z G x y z y -=-=- 于是，曲线在点(2,4,5)处的切向量为z y x z x y 000000y x x y F F F - -1 1 -,,,,(1,0,1).2222 G G G 1 00 00 1y x z y z x F F F t G G G ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴切线方程为：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩另外，x 轴上的单位向量为(1,0,0)i =.由两向量夹角余弦公式得：cos 2i t i t θ⋅===⋅.∴切线与x 轴的正向所成的角度是.4πθ== (方法二) 设切向量)5,4,2(},,1{x z x y t ∂∂∂∂=⇒}1,0,1{}2,0,1{)5,4,2(==xt 所以切线方程为 ：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩ 另外设该切线与x 轴正向所成角为α，则αtan =∂∂x z ⇒2tan x=α代入点)5,4,2(1tan =⇒α，所以4πα=.2．证明曲面3xyz a =的切平面与坐标面所围成的四面体的体积为一个常数.证明：设3(,,).F x y z xyz a =- 则;;.x y z F yz F xz F xy ===于是，曲面3xyz a =在它上面任意一点000(,,)x y z 处的切平面方程为：000000000()()()0.y z x x x z y y x y z z -+-+-= 即 000000003.xy z yx z zx y x y z ++= 易知，该切平面在,,x y z 轴上的截距分别为：0003,3,3.x y z则，切平面与坐标面所围成的四面体的体积为 30000001199333.3222V x y z x y z a =⋅⋅⋅⋅== 证毕.§8-71. 求22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数的最大值. 解：由已知，有2;22;2.x y z f x f y z f y =-=+=(1,2,1)(1,2,1)(2,22,2)(2,6,4).gradf x y z y ∴=-+=-而，22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数在沿(,,)f x y z 在该点的梯度方向取得最大值，最大值即为梯度的模.∴最大值为(1,2,1)gradf ==2.求222ln()u x y z =++在点(1,2,1)-处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.解：向量(9,4,14)(5,1,2)(4,3,12)-=的方向即是l 的方向.于是，与l 同向的单位向量4312(,,).131313l e = 222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)21;322 ;321 .31423112231331331339u xx x y z u yy x y z u zz x y z u l -------∂==∂++∂==∂++∂==-∂++∂∴=⋅+⋅-⋅=-⋅∂§8-81．将正数a 分成三个正数,,x y z 之和，使得2u xyz =最大. 解：即是求2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的最大值.构造拉格朗日函数：2(,,,)().L x y z xyz x y z a λλ=+++-求解方程组220020x y z L yz L xz L xyz x y z a λλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩得：,,.442a a a x y z ===这是2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的唯一可能极值点，而2u xyz =的最大值一定存在.故，,,442a a a x y z ===就是满足条件的a 的分解，此时，4.64a u =2．求函数ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值.解：构造拉格朗日函数2222(,,,)ln ln 3ln (5).L x y z x y z x y z r λλ=+++++-求解下列方程组22221201203205x yz L x x L y y L z z x y z rλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪++=⎩得：,,.x r y r z r ==这是唯一可能的极值点，而最大值一定存在.故，ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值在,,x r y r z ===时取得，最大值为5ln .第九章 重积分§9－11．估计积分的22()DI x y dxdy =+⎰⎰值，其中22: 1.D x y +≤解：在区域D 上，有220 1.x y ≤+≤区域D 的面积21.S ππ=⋅= 由估值定理得：001.I πππ=⋅≤≤⋅= 2．比较积分2()Dx y dxdy -⎰⎰与3()Dx y dxdy -⎰⎰的大小，其中D 由0,x =0,1y x y ==+所围.解：区域D 可以表示为：01,10.x x y ≤≤-≤≤则在区域D 上有： 1.x y -≤从而，32()()x y x y -≤-在D 上成立.32 ()().DDx y dxdy x y dxdy ∴-≤-⎰⎰⎰⎰3．2224,:,0,0,Ddxdy D x y R x y π=+≤≥≥⎰⎰则________.R =解：区域D 是半径为R ，圆心在原点的四分之一圆域.由已知，D 的面积为：4.Ddxdy π=⎰⎰4.∴=§9－2 1．110sin _________.yxdy dx x=⎰⎰ 解：积分区域{}(,)01,1.D x y y y x =≤≤≤≤把D 视作X-型区域，则{}(,)01,0.D x y x y x =≤≤≤≤于是，[]1111100000sin sin sin cos 1cos1.x yx x x dy dx dx dy xdx x x x x==⋅=-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 2．{}22,(,)1,0,0,_____.DI xdxdy D x y x y x y I ==+≤≥≥=⎰⎰则1111(); (); (); ()A dx xdy B dx C dx D ⎰⎰⎰⎰解：将D 视为X-型区域：{(,)01,0.D x y x y =≤≤≤≤100. ().I dx C ∴=⎰故，选3．cos 20(cos ,sin )______.d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰110000111() (,); () (,);() (,); () (,)A dy f x y dxB dx f x y dyC dy f x y dxD dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰⎰解：由已知，在极坐标系中，积分区域D:0,0cos .2r πθθ≤≤≤≤则在直角坐标系中，积分区域D：01,0x y ≤≤≤≤1(,).().dx f x y dy B ⎰于是，原式＝故，选4．求D⎰⎰，D 由,1,1y x x y ==-=所围. 解：积分区域D 可视作X-型区域：11, 1.x x y -≤≤≤≤()13111222111311212311(1).32x Dx dx x y dxx dx ---⎡⎤∴==-+-⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算{}22,(,)0,2.DI D x y y x x y x ==≤≤+≤解：在极坐标系中，积分区域D 可以表示为：0,02cos .4πθρθ≤≤≤≤那么，2cos 232444000088cos (1sin )sin 339I d d d d πππθθρρθθθθ===-=⎰⎰⎰⎰ §9－31．计算xyzdV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解：令sin cos ,sin sin ,cos .x r y r z r ϕθϕθϕ===则Ω可以表示为：0,0,0 1.22r ππθϕ≤≤≤≤≤≤于是，有122201352200sin cos sin sin cos sin 1111 =sin cos sin cos .24648xyzdV d d r r r r dr d d r dr ππππθϕϕθϕθϕϕθθθϕϕϕΩ=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．zdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由221()22z x y z =+=与所围.解：将Ω投影在z 轴上得投影区间[0,2].取[0,2]z ∀∈，过(0,0,)z 作平行 于xoy 面的平面，该平面与Ω的交面记为,z D 则{}22(,,)2.z D x y z x y z =+≤ 于是，220016()2.3z D zdxdydz zdxdy dz z zdz ππΩ==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3．xdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由z z ==所围的第一卦限部分.解：令cos ,sin .x r y r θθ==将Ω投影在xoy 面上得投影区域：(,)0,0.22xy D r r πθθ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎪⎩⎭过(,)xy r D θ∀∈作平行于z 轴的直线，该直线从)z r =即z＝进入Ω内，由z z ==即从Ω穿出. 则Ω可以表示为：0,022r r z πθ≤≤≤≤≤≤ 于是，有22200sin 22400cos cos )111 =sin cos .16163216rr xdxdydz d rdz d r drd πππϕθθθθπϕϕϕΩ==⋅=⋅--=-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰令第十章 曲线积分与曲面积分§10－11．设L为下半圆周y =22()________.L x y ds +=⎰ 解：(方法一)L的参数方程为：cos ,2.sin x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩则.ds d θθ==于是，222().L x y ds d ππθπ+==⎰⎰ (方法二) ππ=⋅⋅==+⎰⎰≤=+12211)()0(1:2222ds dsy x Ly y x L L. 2．xyzds Γ⎰，其中Γ为2cos 2sin ,0.4x ty t t z t π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩解：由已知，得.ds ==于是，444044002cos 2sin sin 2cos 2 cos 2cos 22xyzds t t t t tdt td tt t tdt πππππΓ=⋅⋅=⋅=⎤=-=⎥⎦⎰⎰⎰§10－21．(2)L a y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-上对应于t 从0到2π的一段弧. 解：由已知，(sin ):,02.(1cos )x a t t L t y a t π=-⎧⎨=-⎩从变到那么，[]20222(2)(2cos )(1cos )(sin )sin sin 2.La y dx xdy a a a t a t a t t a t dt a t tdt a πππ-+=-+⋅-+-⋅==-⎰⎰⎰§10－31．设L 为1x y +=的反时针方向，则2(2)()_.y x Lxy e dy y y e dx -+-+=⎰()0; ()2; ()4; ()1.A B C D解：记L 所围的区域为D ，易知D.由已知，2,2.x y P y y e Q xy e =-+=- 则，221 1.Q P y y x y∂∂-=-+=∂∂ 由格林公式，得2(2)()1 2.y x LDxy e dy y y e dx dxdy -+-+==⎰⎰⎰故，选(B).2．22L xdy ydxx y-+⎰，L 经上半椭圆221(0)4x y y +=≥从(2,0)(2,0)A B -→.(方法一) 解：选适当的0r >,构造上半圆周222(0)x y r y +=≥，设它与x 轴的两个交点为(,0),(,0),C r D r -其方向为从D 到C.则L BD DC CA +++构成分段光滑封闭曲线，记其所围成的区域为Ω.由已知，22222222222222,. 0.()()y x Q P y x y x P Q x y x y x y x y x y -∂∂--==-=-=++∂∂++则，由格林公式，得220.L BD DC CA xdy ydxQ P dxdy x y x y +++Ω⎛⎫-∂∂=--= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 则，22222222.LBD DC CA xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y ⎛⎫---- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ＝－＋＋ 而，cos :,2:,0:,--2.0sin 0x x x r x x BD x r DC CA x r y y r y θθπθ===⎧⎧⎧→→→⎨⎨⎨===⎩⎩⎩从；从；从 于是，2222222000; 0; .r BD CA DC xdy ydx xdy ydx xdy ydxdx d x y x y x yπθπ---=====+++⎰⎰⎰⎰⎰ 故，.π原式＝－(方法二) 解：x y Q P = ，∴该曲线积分与路径无关，选择路径上半圆4:22=+y x l .πθθθθππ-==+=+-=+-⎰⎰⎰⎰d d y x ydxxdy y x ydx xdy lL0022222214sin 4cos 4. 3．22321(1)L y x ydx dy x x ++-⎰，L 沿2241x y y +-=的反时针方向从(1,0)(2,1)A B →.解：构造辅助折线BCA ，其中点C(1,1). 则L BCA +为一分段光滑的封闭曲线，记其所围成的区域为D.由已知，2232331(1)22,. 0.y x y Q P y yP Q x x x y x x ++∂∂==-=-=∂∂则－由格林公式得：22321(1)0.L BCA y x ydx dy x x +++-=⎰ 于是，22321(1)L y x y dx dy x x ++-⎰＝22321(1)BCA y x y dx dy x x++--⎰. 对于22132321(1)23:,2 1. .14BC x x y x y BC x dx dy dx y x x x =⎧++∴-==-⎨=⎩⎰⎰从变到 对于22032111(1):,10. (2) 1.x y x y CA y dx dy y dy y y x x =⎧++∴-=-=⎨=⎩⎰⎰从变到 31(1).44-+=-故，原式＝-4．设L 为222x y a +=的反时针方向，则22()()__.Lx y dx x y dyx y +--=+⎰解：取适当的0r >，构造222:l x y r +=，为顺时针方向.记L 与l 围成的区域为D. 由已知，2222(),. 0.x y x y Q PP Q x y x y x y+--∂∂==-=++∂∂则 由格林公式得：22()()0.L lx y dx x y dyx y++--=+⎰ 于是，222220()()()()(1)2.Ll x y dx x y dy x y dx x y dyd x y x y πθπ+--+--=-=-=-++⎰⎰⎰方法二：π2)2()()()()(2222-=-=--+=+--+⎰⎰⎰⎰dxdy a a dy y x dx y x y x dy y x dx y x DL L . §10－4222222.0(0).dS z z H x y R H x y z ∑∑==+=>++⎰⎰其中是介于平面及之间的圆柱面 解：记右半柱面为1:y ∑==1∑在xoz 面上的投影区域为：{}(,),0.xz D x z R x R z H =-≤≤≤≤记左半柱面为2:y ∑==2∑在xoz 面上的投影区域为也是xz D .那么，1222222222222222212()122arctan .xz D RHdS dS dS x y z x y z x y z x R x z HR dz R z Rπ∑∑∑-=+=+++++++-+=⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§10－51．2222,.zdxdy x y z a ∑∑++=⎰⎰为的外侧解：记上半球面为1:z ∑=取上侧.记下半球面为2:z ∑=取下侧.它们在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y a =+≤12320422.3xyD a zdxdy zdxdy zdxdy d d ππθρ∑∑∑+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝=2.(),0(0).x y dxdy z z z h h ∑-∑==>⎰⎰为圆锥面与之间的下侧解：∑在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y h =+≤22()()(cos sin )0.xyhD x y dxdy x y dxdy d d πθρθθρ∑--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝－§10－61．2(2)-2,z x dydz zdxdy ∑+⎰⎰其中∑为221()2z x y =+介于0z =与2z =之间部分的下侧.解：构造辅助平面2212(4)z x y ∑=+≤：，取上侧.则1∑+∑构成分片光滑的封闭曲面，记其所围成的空间区域为Ω. 由已知，22, 0, 2.P z x Q R z =+==-于是，0.P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂ 由高斯公式，得 ：12(2)-200.z x dydz zdxdy dv ∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰于是，1122(2)-2(2)-224416.zx dydz zdxdy z x dydz zdxdy zdxdy ππ∑∑∑+=-+==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为2222(0)x y z a a ++=>的外侧.解：记∑所围成的空间区域为Ω. 由已知，333, , .P x Q y R z ===于是，2223().P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂ 由高斯公式，得33322252403()12 3sin .5ax dydz y dzdx z dxdy xy z dxdydzad d d πππθϕϕρρ∑Ω++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§11-1 1．判定级数∑∞=15n nn的收敛性． 解：n n n s 552512+++=, 1325525151++++=n n n s 12551515151+-+++=-n n n n n s s 1155115151++---=n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=++115)5151(4545n n n n s 165lim =∞→n n s ，故该级数收敛． 2．判定级数∑∞=-1717n n n 的收敛性．解：01717lim lim ≠=-=∞→∞→n n n n n u通项不以0为极限，从而该级数发散． §11-21．判定级数∑∞=151tan3n n n 的收敛性． 解：因为 15351tan3lim=∞→nn n n n ，而级数∑∞=153n n n收敛，根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛．2．判断级数∑∞=++1311n n n 的收敛性．解：33111nn n <++，而级数∑∞=131n n收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．3．判断级数)0( ,111>+∑∞=a an n的收敛性． 解：当1=a 时，级数发散．当1>a 时，n n a a 111<+，而级数∑∞=11n na 收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．当1<a 时，111lim=+∞→nn a ，原级数发散． 所以当1>a 时收敛，1≤a 时发散．4．判断级数∑∞=16!n n n 的收敛性．解：因为0)1(lim !)!1()1(lim lim66661=⋅+=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n u u n n nn n ，所以根据比值审敛法知此级数收敛．5．判断级数nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1sin π的收敛性．解：因为0)(lim )(sin lim lim ≠∞===∞→∞→∞→n n n n n n n n nn n n u ππ，所以通项不以0为极限，从而级数发散．6．判断级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1312n n n n n 的收敛性．解：因为133)1(lim 3)1(limlim 2<=+=+=∞→∞→∞→e n n n n u nn nn n n n n n ，所以根据根值审敛法知此级数收敛．7．判断级数是条件收敛还是绝对收敛 (1)∑∞=--221ln 1)1(n n n ； 解：因为∑∞=22ln 1n n 发散，而∑∞=--221ln 1)1(n n n 为交错级数，其收敛，所以此级数是条件收敛．(2) ()22cos4ln n n n n π∞=∑． 解：因为22)(ln 1|)(ln 4cos|n n n n n ≤π，而级数∑∞=22)(ln 1n n n 收敛，所以此级数是绝对收敛． 8．设级数∑∑∞=∞=11,n n n n b a 都收敛，且n n n b c a ≤≤，证明级数∑∞=1n n c 也收敛．证明：因为n n n b c a ≤≤，所以0≥-≥-n n n n a c a b ．又因为∑∑∞=∞=11,n n n n b a 收敛，所以∑∞=-1)(n n n a b 收敛，根据比较审敛法知级数∑∞=-1)(n n na c收敛，从而∑∞=1n n c 也收敛．§11-31．求幂级数()∑∞=--1131n n nn nx 的收敛半径与收敛域． 解：因为31|31)1()1(31)1(|lim ||lim 111=-+-==-+∞→+∞→nn a a nn n nn nn n ρ，所以收敛半径31==ρR ． 对于端点3=x ，级数为交错级数()∑∞=--1111n n n收敛； 对于端点3-=x ，级数∑∞=-1)1(n n 发散．因此，收敛域是]3,3(-． 2．求幂级数∑∞=-+112)1(n n x n n 的和函数． 解：先收敛域．由12)1(2)2)(1(lim ||lim 1=+++==∞→+∞→n n n n a a n nn n ρ，得收敛半径11==ρR ．在端点1=x 处，幂级数成为∑∞=+12)1(n n n 发散；在端点1-=x 处，幂级数成为∑∞=-+-112)1()1(n n n n 发散．因此收敛域为)1,1(-=I ． 设和函数为)(x s ，即∑∞=-+=112)1()(n n x n n x s ，)1,1(-∈x ． 0)0(=s逐项积分，得∑∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=∞=-+=+=+=11100110212)1(2)1()(n n n n x x n n xx n dx x n n dx x n n dx x s 再逐项积分，得)1(222121101x x x dx x n n n x n n -==+∑⎰∑∞=+∞=． 则32)1(1))1(2()(x x x x s -=''-=，)1,1(-∈x ． §11-41．将()21x e +展成x 的幂级数． 解：∑∞=++=++=+022!22121)1(n nn xxxx n e e e )(+∞<<-∞x2．将函数xx f +=51)(展成()1-x 的幂级数． 解：∑∞=--=-+⋅=-+=+06)1()1(61)61(1161)1(6151n nnn x x x x )66(<<-x §11-71．将函数()ππ≤≤-=x x x f 2)(展开为傅里叶级数，并求级数∑∞=--121)1(n n n 的和． 解：2)(x x f =在[]ππ,-上满足收敛定理的条件且为偶函数，故22032d 1ππππ==⎰-x x a⎰⎰==-πππππ022cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰-=ππππ002s i n 2|]s i n [2x d xx n x x 24)1(c o s 4nn nx n n -=⋅=ππ ()[]πππ, ,cos 4131222-∈-+=∑∞=x nx n x n n有()[]∑-∈-+-=--πππ , ,cos 11242122x nx n x n令0=x ，有 12)1(2121π=-∑∞=-n n n 2．将函数()πππ≤≤-=x - ,24)(xx f 展开为傅里叶级数． 解：24)(xx f -=π，在[]ππ ,-上满足收敛定理，所以2d 241-0πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x a()nx nx x b x nx x a nn n 1d sin 2410d cos 241--=⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰-ππππππππ故 ()()ππππ, ,sin 14241-∈-+=-∑∞=x nx n x n n3．将函数()π≤≤=x e x f x 0 ,)(展为以π2为周期的余弦级数．解：对函数)(x f 作偶延拓，⎩⎨⎧≤≤<≤-=-ππx e x e x F xx 0 ,0,)( 则)(x F 是满足收敛定理的偶函数，故()()[]()1112d cos 212d 202000+--==-===⎰⎰n e x nx e a e x e a b nxn xn ππππππππ在[]π ,0∈x 内，)()(x f x F =，故有()[][]ππππ,0 ,cos 11121)(12∈+--+-=∑∞=x nx n ee xf n n x4．将函数()()ππ<<-=x x x x f 0 ,)(展为以π2为周期的正弦级数．解：对函数)(x f 作奇延拓()()⎩⎨⎧≤<-+<<-=0 ,0,)(x πx x x x x x F πππ 则)(x F 是满足收敛定理的奇函数，知, ,2 ,1 ,0 ;00 ===n a a n()()[]. ,2 ,1 ,114d sin 23=---===⎰n n x nx x x b nn ππππ故在()π ,0∈x 内，)()(x f x F =，即()()()ππ,0 ,12sin 1218)(13∈--=∑∞=x x n n x f n§11-8将函数()22 ,)(2<<--=x x x x f 展为以4为周期的傅里叶级数．解：()38d 2122-20=-=⎰x x x a ()().,2 ,1 ,116d 2x n cos 2122222 =-=-=⎰-n n x x x a nn ππ()()n n n x x n x x b 14d 2sin 21222-=-=⎰-ππ故()()2 ,2 ,2sin 42cos 161341n 222-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=-∑∞=x x n n x n n x x n ππππ.§12—1 1．写出微分方程=y y e x '-的积分曲线的所有拐点满足的方程．解：因为x e y y -='，所以1-'=''y e y y ，即1)(--=''x e e y y y ． 由拐点的定义知，拐点满足0=''y ，即01)(=--x e e y y 所以所求方程为01)(=--x e e y y ． 即 2ln )4ln(2-++=x x y ．2．求出双曲线222x y ax -=所满足的微分方程．解：求导，得a y y x 222='- (1)由ax y x 222=-，得xy x a 222-=，代入(1)式，得22222y x y xy x -='-即所求微分方程为 222y x y xy +='．§12—2利用分离变量方法解下列方程： 1．22()()0xyx dy x y y dx ++-=，(1)1y =．解：分离变量后得 dx xx dy y y 2211-=+，两端积分⎰⎰-=+dx xx dy y y 2211， 得 C x x y y +-=+2||ln ||ln 222， 将1)1(=y 代入，得1=C ．方程的解为：1||ln )(2122=++xyy x ． 2．12y x y'=+．解：若把所给方程变形为y x dydx+=2即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解．也可用变量代换来解所给方程：令u y x =+2，则x u y 2-=，2-=dxdu dx dy ，代入原方程，得 u dx du 12=-，u u dx du 12+= 分离变量得dx u udu=+12， 两端积分得 1|12|ln 4121C x u u +=+-．以y x u +=2代入上式，得 1|124|ln 4121C x y x y x +=++-+即 y Ce y x 2124=++，其中142C y e C -±=． §12—3利用齐次方程方法解：22()x xy y xy y '+=+．解：原方程可写成111)(2+++-=yx xy y x dxdy因此是齐次方程．令u x y =，则 ux y =，dxdu x u dx dy +=， 于是原方程变为 1111)1(2+++-=+uu udxduxu ，即 uu dx du x +-=112， 分离变量，得 x dxudu u =-+21)1(， 两端积分，得 C x u u +=--||ln )1(arcsin 212．以xy代上式中的u ，便得所给方程的通解为 C x xy x y =---||ln 1arcsin 22．§12—4利用线性方程或伯努利方程解法解 1．3yy x y '=+．解：将方程化为21y x ydy dx =-． 这是一个非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．01=-x y dy dx ，ydyx dx =，Cy x =． 用常数变易法，把C 换成u ，即令 uy x =， (1)那么u y u dydx+'=， 代入所给非齐次方程，得 y u ='两端积分，得 C y u +=22． 再把上式代入(1)式，得 y C y x )2(2+=．2．242x y xy xe-'+=解：以y 除方程的两端，得2242121x xe xy dxdyy--=+， 即 22422121x xe xy dxdy-=+， 令21y z =，则上述方程成为22x xe xz dxdz-=+． 这是一个线性方程，它的通解为 22221x e Cez x x --+=． 以21y 代z ，得所求方程的通解为 222)21(2x C ey x +=-．§12—6利用降阶法解高阶微分方程 01=--''+'''x y y x ． 解：令p y =''，则dx dp p y ='='''，原方程化为 xp x p 111+=+'，此一阶线性方程的通解为 x C x p 1)2)1((2++= 故 32123||ln 212C x C x x C x x y ++++=． §12—71．下列函数组是线性相关还是无关？为什么? (1)x e ，1x e +；解：因为e ee x x 11==+为常数，故函数组是线性相关．(2) 1，sin x ，cos2x ．解：线性无关．2．验证:5112x y e =是非齐次方程532x y y y e '''-+=的解及x e y =1，x e y 22=，x e y 233=是对应的齐次方程的解．并写出非齐次方程532x y y y e '''-+=的通解． 解：x e y 5125='，xe y 51225=''，将y y y ''',,代入方程的左边，得 右边==+-x x x x e e e e 5555121212531225． x e y ='1，x e y =''1，代入方程，得 023=+-x x x e e e ． x e y 222='，xey 224=''，代入方程，得 0264222=+-x x x e e e ． x e y 236='，x ey 2312=''，代入方程，得 061812222=+-x x x e e e 非齐次方程的通解为 xx x e e C e C y 5221121++=． §12—81．(5)(4)(3)690y y y -+=，求它的通解．解：所给微分方程的特征方程为 096345=+-r r r ，其根31=r (重根)，02=r (三重根)因此所给微分方程的通解为 )(5432321x C C e x C x C C y x ++++=2．求微分方程430y y y '''-+=的积分曲线，设它在点0(0,2)M 与直线2240x y -+=相切． 解：所给微分纺车功能的特征方程为 0342=+-r r其根31=r ，12=r ，因此所给微分方程的通解为x x e C e C y 231+=． 此方程过点)2,0(0M ，即212C C +=，且1)0(='y ，即2131C C += 求得211-=C ，252=C ．所求积分曲线为x x e e y 25213+-=． §12—91．求x e x x y y y 32)(23+=+'-''的通解．解：与所给方程对应的齐次方程为023=+'-''y y y ，它的特性方程为 0232=+-r r ，得21=r ，12=r ．由于这里3=λ不是特征方程的根，所以应设特解为x e b x b x b y 32120*)(++=，把它代入所给方程，得x x b b b x b b x b +=+++++22011020223)26(2比较两端x 同次幂的系数，得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=1121022312612210201100b b b b b b b b b 因此求得一个特解为x e x x y 32*)121(+-=，从而所求的通解为x x x e x x e C e C y 32221)121(+-++=2．求44(sin 2cos2)y y x x ''+=+，满足()()2y y πππ'==之特解． 解：与所给方程对应的齐次方程为04=+''y y ，它的特征方程为042=+r ．由于这里i i 2=+ωλ是特征方程的根，所以应设特解为 )2c o s 2s i n (*x b x a x y +=．把它代入所给方程，得 x x x b x a 2cos 42sin 42sin 42cos 4+=-， 比较两端同类项的系数，得1=a ，1-=b ．于是求得一个一个特解为 )2cos 2(sin *x x x y -=，从而所求的通解为)2cos 2(sin 2sin 2cos 21x x x x C x C y -++=．将πππ2)()(='=y y 代入y 及y '，得π31=C ，212=C ． 故所求特解为 )2cos 2(sin 2sin 212cos 3x x x x x y -++=π．自测题一一. 填空题1. 设矢量,a b 的模分别是22a =,2b =, 则()22a b a b ⨯+⋅= . 2. 过点(1,2,-1)与矢量1{1,2,3}s =--及2{0,1,1}s =--平行的平面方程是 . 3. 设1y z x +=, (其中0,1x x >≠), 则dz = .4. 函数(,)f x y 在点()00,x y 可微是(,)f x y 在点()00,x y 可偏导的 条件.5. 若13y =, 223y x =+, 233x y x e =++都是微分方程: ''()'()()y p x y q x y f x ++=的解(其中()0f x ≠,()p x ,()q x ,()f x 都是已知的连续函数), 则此微分方程的通解为 .6. 微分方程''4'290y y y ++=的通解是 .二. 选择题1. 设矢量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯, 则( )(A) 必有0a = (B) 必有0b c -=(C) 当0a ≠时, 必有b c = (D) 必有()a b c λ=-, (λ为常数) 2. 方程22480y z z +-+=表示( )(A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 锥面 (D) 旋转抛物面3. 函数2222224,0(,)00xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩若若在原点(0,0)间断的原因为(,)f x y ( )(A) 在原点无定义(B) 在原点极限存在, 但在原点无定义 (C) 在原点极限不存在(D) 在原点极限存在, 但极限值不等于原点的函数值 4. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)处沿{}11,44L =的方向导数为( ) (A) 最大(B) 最小(C) 1 (D) 05. 微分方程''2'x y y y xe -++=的特解*y 应有的形式为( ) (其中,a b 为待定常数). (A) ()x ax b e -+(B) 2()x ax bx e -+(C) 32()x ax bx e -+(D) x ae -6. 函数sin y c x =-(其中c 是任意常数)是微分方程22sin d yx dx =的( ) (A) 通解(B) 特解(C) 解, 但既不是通解, 也不是特解 (D) 不是解三. 解答题1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅求'(1,1)x f .2.已知,,a b c 为单位向量, 且满足0a b c ++=, 计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅.3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂.4.设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z y x x y∂∂-∂∂5.求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.6.求曲面228xy +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.7.设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.8.设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .9.=.10.在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离.自测题一参考答案四. 填空题 1. 2 2. (1)(2)(1)0x y z --+--+= 3. [](1)ln y x y dx x xdy ++ 4. 充分5.2123x y C x C e =++6. ()212cos5sin5x y e C x C x -=+五. 选择题 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 C六. 解答下列各题.1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f . 解：2(,1)f x x =，'(,1)2x f x x ∴=， '(1,1)2x f ∴=2. 已知,,a b c 为单位向量, 且满足0a b c ++=, 计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅. 解：0a b c ++=，()0a a b c ∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅=；同理， ()0b a b c ⋅++=， 10a b b c ∴+⋅+⋅=；()0c a b c ⋅++=， 10a c b c ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a +⋅+⋅+⋅=， 即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3. 设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂. 解：''''12121z x f x f y f f xyf f x y y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦， 2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322z x x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y yy y y x x xf f x yf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z yx x y∂∂-∂∂. 解：'22z x x f z ∂=∂-，''22z y f f zy yf z -+∂=∂-，''2xz xf fz z y y x x y f z-∂∂∴-=∂∂-。

深圳大学高等数学期末考试试卷第一部分：选择题（共50题，每题2分，共100分）1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(-1)的值。

2. 若函数y = f(x)的导函数为f'(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(x)的解析式为__________。

3. 求方程x^2 - 4x + 3 = 0的根。

4. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f'(x)的值。

5. 函数f(x) = x^3 + 2x^2 - x的零点个数为__________。

...第二部分：填空题（共10题，每题5分，共50分）1. 设函数f(x) = e^x，求f'(1)的值。

2. 函数y = ln(x)的反函数为__________。

3. 若函数y = f(x)在x = 2处取得极大值，则f'(2)的值等于__________。

4. 设函数y = f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 2，求f''(1)的值。

5. 函数y = cos(x)在区间[0, π/2]上的最大值为__________。

...第三部分：计算题（共5题，每题10分，共50分）1. 求不定积分∫(2x - 1)/(x^2 - x - 2)dx。

2. 求定积分∫[0, π] sin(x)dx的值。

3. 求曲线y = x^2 - 2x的弧长。

4. 求由曲线y = e^x与y = x^2 + 1所围图形的面积。

5. 求函数f(x) = e^x在x = 0处的三阶泰勒展开式。

...第四部分：证明题（共5题，每题20分，共100分）1. 证明二项式定理：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n。

2. 证明向量a = (1, 2)与向量b = (3, 4)的数量积为11。

高数A2复习题一、极限的概念与性质1. 定义极限的概念，解释左极限和右极限的区别。

2. 给出极限存在的几个基本性质，并举例说明。

3. 解释无穷小的概念，并说明无穷小与极限的关系。

二、极限的运算法则1. 列出极限的四则运算法则，并给出相应的证明。

2. 解释复合函数的极限运算法则。

3. 举例说明如何使用夹逼定理求解极限。

三、连续性与间断点1. 定义函数的连续性，并解释连续函数的性质。

2. 列举并解释函数的几种间断点类型。

3. 给出判断函数在某点连续性的常用方法。

四、导数的概念与性质1. 定义导数的概念，并解释导数的几何意义。

2. 列出导数的基本性质，包括和、差、积、商的导数公式。

3. 解释复合函数的导数公式，并给出证明。

五、高阶导数1. 解释高阶导数的概念，并给出求解高阶导数的一般步骤。

2. 举例说明如何求解复杂函数的高阶导数。

六、微分的概念与应用1. 定义微分的概念，并解释微分与导数的关系。

2. 列出微分的运算法则，并给出相应的证明。

3. 解释线性近似的概念，并举例说明其应用。

七、泰勒公式与麦克劳林公式1. 给出泰勒公式的一般形式，并解释其意义。

2. 列出几个常用函数的麦克劳林展开式。

3. 解释泰勒公式在近似计算中的应用。

八、不定积分的概念与性质1. 定义不定积分的概念，并解释原函数与不定积分的关系。

2. 列出不定积分的基本性质，包括线性性质和加法性质。

3. 解释不定积分与定积分的关系。

九、基本积分技巧1. 列出并解释几种基本的积分技巧，如换元积分法、分部积分法。

2. 举例说明如何使用这些技巧求解积分问题。

十、定积分的概念与计算1. 定义定积分的概念，并解释其几何意义。

2. 列出定积分的基本性质，并给出相应的证明。

3. 解释如何使用不定积分来计算定积分。

十一、定积分的应用1. 解释定积分在几何问题中的应用，如面积、体积的计算。

2. 解释定积分在物理问题中的应用，如质心、转动惯量等。

3. 举例说明定积分在实际问题中的应用。

一、单项选择题（每小题3分，共30分）请将答案填在下面表格内！切记！题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B C A C A D D 得分1、已知向量(1,1,0)MA = ，(1,0,1)MB =，则AMB ∠=（ ）。

(A) 3π (B)6π (C) 4π (D) 2π2、函数()y x f ,在点()00,y x 处可微分是()y x f ,在该点处连续的（ ）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要3、函数22y x z -=在点)1,1(沿方向(1,3)的方向导数为（ ）。

（A ）31+ （B ）31- （C ）6 （D ）74、曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程为（ ） （A ）23140x y z +++= （B ）23140x y z ++-= （C ）2370x y z +++=（D ）2370x y z ++-=5、设()y x f ,为连续函数，则二次积分⎰⎰11),(ydx y x f dy 交换积分次序后为（ ）。

(A) dy y x f dx x⎰⎰112),( (B) ⎰⎰11),(dy y x f dx (C) dy y x f dx x ⎰⎰201),( (D) ⎰⎰110),(ydy y x f dx6、Lxds =⎰（ ）其中L 为抛物线2y x =上01x ≤≤的弧段。

(A)()155112- (B) 551- (C)112 (D)()15518- 7、设∑为球面2222R z y x =++，则曲面积分=++⎰⎰∑dS z y x )(222（ ）。

(A)4R π (B)42R π (C)44R π (D)46R π 8、下列级数中，条件收敛的是（ ）。

（A ）()-+-=∞∑124131n n n n （B ）()-⎛⎝ ⎫⎭⎪-=∞∑12311n nn（C ）()--=∞∑11121n n n （D ）()--=∞∑11211n n n n 9、幂级数20n n n e x ∞=∑的收敛半径=R （ ）。

浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷（A ）卷（本试卷共四页）一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为（ ）A .极大值为8B ．极小值为0C .极小值为8D .极大值为02.二元函数(,)f x y 在点00(,)P x y 处 ①连续；②两个偏导数连续；③可微；④两个偏导数都存在，那么下面关系正确的是（ ）A ．③①④ B. ③②① C. ③④① D. ②③①3. 曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 4. 设⎰⎰σ=+Dy x d e I 22, 4:22≤+y x D , 则=I （ ）A.)1(24-πe B. )1(24-πe C. )1(4-πe D. 4e π 5. 设∑是球面2222x y z R ++=，则222dSx y z ∑++⎰⎰＝（ ） A. 24R π B. 4π C. 2R π D. π6. 若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 敛散性不能确定 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ，则M 的坐标是 ;2. 设22z xy u -=，则u 在)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ;3. 交换积分顺序，有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy______________________ ;4. 设椭圆L：13422=+y x 的周长为l，则⎰=+Lds y x 2)23(;5. 设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1．求过点M （4,-3,1）且与两直线：326-==zy x 和⎩⎨⎧=+-=+-+022012z x z y x 都平行的平面方程．2. 设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．3. 将函数1()f x x=展开为3x -的幂级数，并求收敛域. 4. 计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.5. 求曲线积分22(2)(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L是沿曲线1y =由点（0，1）到点（2，1）的弧段.6. 计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧.四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）1. 验证2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++在整个 xoy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y .2. 求幂级数115n n n n x ∞-=∑的收敛域、和函数以及数项级数15n n n∞=∑的和.五、证明题（4分）设∑∞=12n na收敛，证明级数1nn a n∞=∑绝对收敛.2011~2012学年第二学期《高等数学A2》期末试题（A ）卷参考答案一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）1．A; 2．D ; 3．A; 4．C; 5．B ； 6.B 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1. (-1,2,-2);2. 3.()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ;4. 12l ;5.32三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1. 1(6,2,3)s =-, 2121(2,1,4)201i j ks =-=----, ………2分取平面的法向量为12623(11,30,2)214ij kn s s =⨯=-=----- ………2分 所以平面方程为：11(4)30(3)(1)0x y z --++--=，即11301350.x y z -+-=…2分 2.121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂, ……………2分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 111222231.xf xyf f f y y''''''=+-- .………4分 3.解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ……………2分 因为∑∞=+=-011)1(n n nxx ，)1,1(-∈x , 所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ，即60<<x . ……………3分 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ，)6,0(∈x . ………1分4. 解：如图，选取柱面坐标系,此时⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以π112000d d d d d cos sin d xy x y z r r r r z θθθΩ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………3分=⎰⎰r r d d 2sin 213102πθθ=814)42cos (142π0=⋅-r θ. ………3分5. 解：令22P x y =-，2(sin )Q x y =-+,则2,Py∂=-∂1,Q x ∂=-∂ ………2分 选择:1BA y =由B （2，1）到A （0，1）,则由格林公式得 原式2222(2)(sin )(2)(sin )L BAABx y dx x y dy x y dx x y dy +=--++--+⎰⎰ ………2分22()(2)(sin )AB DQ Pdxdy x y dx x y dy x y∂∂=--+--+∂∂⎰⎰⎰220(2)Ddxdy x dx =-+-⎰⎰⎰2208(2)423Ddxdy x dx π=-+-=-+-⎰⎰⎰. ………2分6. 解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。

2018级第2学期高等数学考试试题一、填空题(本题20分，每小题4分)1、螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在xoy 面上的投影曲线方程为 .2、设)(),(x y g y x xy f z +=，其中g f ,均可微，则=∂∂xz. 3、设)cos sin (21x C x C e y x +=（21,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 了 . 4、二次积分=⎰⎰xxdy yydx sin 10 . 5、设L 为逆时针取向的圆周)0(222>=+R R y x ，则=+-⎰Lyx xdyydx 22 . 二、（10分）设平面π是过直线⎩⎨⎧=+--=+-0620223:z y x y x L 的平面，且点)1,2,1(M 到平面π的距离为1，求平面π的方程.三、（10分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++++=0 ,00 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x y x f ，（1）问),(y x f 在原点)0,0(处是否连续？ （2）问),(y x f 在原点)0,0(的偏导数是否存在？ （3）问),(y x f 在原点)0,0(处是否可微？ 四、（10分）设Ω是由22y x z +=及1=z 所围成的立体，计算⎰⎰⎰Ω++=dv yxzI 221.五、（共16分，每小题8分）（1）求函数z y x u 32+-=在条件632222=++z y x 下的极大值与极小值； （2）求圆锥面222y x z +=被柱面x y x 222=+截下有限限部分的面积. 六、（10分）计算⎰⎰∑++=dxdy r z dzdx r y dydz rx I 333，222z y x r ++=，其中∑取曲面2222a z y x =++的外侧)0(>a .七、（共14分，其中第1小题7分，第2小题7分）（1）计算⎰Γ--dz yz xzdy ydx 23，其中Γ为曲面z y x 222=+与平面2=z 的交线，从z 轴正向看逆时针方向.（2）求方程0)d 3(d )3(2323=-+-y y x y x xy x 的通解. 八、（10分）设)(r f u =，222z y x r ++=，)0(>r ，且函数u 满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ，求函数)(r f 的表达式.2018级第2学期高等数学考试试题参考答案一、1. ⎩⎨⎧==+0222z a y x ； 2. g x yf y yf x z '-+=∂∂2211； 3. 022=+'-''y y y ； 4. 1sin 1-；5. π2-.二、利用平面束方程，可得01022=-++z y x 或01634=-+z y . 三、（1）)0,0(0),(lim 0f y x f y x ==→→，所以),(y x f 在原点)0,0(处连续；（2）1)1sin 1(lim 1sinlim )0,0()0,(lim)0,0(202200=+=+=-=→→→x x xx x x xf x f f x x x x ，同理，1)0,0(=y f ，所以),(y x f 在原点)0,0(的偏导数存在； （3）ρyf x f f y x y x ∆-∆-∆→∆→∆)0,0()0,0(lim22222200)()()()(1sin ])()[(limy x y x y x y x y x y x ∆+∆∆-∆-∆+∆∆+∆+∆+∆=→∆→∆所以),(y x f 在原点)0,0(处可微.四、解法1（利用柱坐标）πθ20,10,1:≤≤≤≤≤≤Ωr z r ，⎰⎰⎰Ω+=dz rdrd r z I θ21⎰⎰⎰+=1102201r zdz dr r r d πθ⎰⎰+-=1102211r zdz rdr r r π)12ln 2(2-=π. 解法2（先二后一）222:,10:z y x D z z ≤+≤≤Ω，⎰⎰⎰++=zD dxdy y x zdz I 22111⎰⎰⎰+=zdr r r d zdz 022011πθ⎰+=102)1ln(dz z z π)12ln 2(2-=π. 五、（1）令)632(32),,,(222-++++-=z y x z y x z y x L λλ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+-==+=0632063042021222z y x L z L y L x L z y xλλλλ，解方程组得驻点)1,1,1(),1,1,1(21---M M ，且6)(1-=M u ，6)(2=M u .由于函数z y x u 32+-=在椭球面632222=++z y x 上连续，故函数z y x u 32+-=在点1M 取得极小值6-，在点2M 取得极大值6.（2）记221:y x z +=∑，222:y x z +-=∑，曲面在xOy 上的投影区域为x y x D xy ≤+22:，22y x x xz +=∂∂，22y x y yz +=∂∂，dxdy dxdy yzx z dS 2)()(122=∂∂+∂∂+=， 由对称性可得，π2222)()(12211122==∂∂+∂∂+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑dxdy dxdy y zx z dS S . 六、记曲面∑围成的立体为Ω，由于2222a z y x =++，所以⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++=yx z x z y z y x a z y x yx z x z y z y x I d d d d d d 1)(d d d d d d 323222ππ4343d d 3d 1333=⋅⋅==⎰⎰⎰Ωa a z y x a . 七、（1）解法1（利用Stokes 公式）取2:=∑z ，上侧，其法向量为}1,0,0{=n.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑Γ--=--=--∂∂∂∂∂∂=--dS dS z dS yzxz y z y x dz yz xzdy ydx )32()3(3100322ππ20455-=⋅⋅-=-=⎰⎰∑dS .解法2（利用参数方程直接计算）Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===2sin 2cos 2z t y t x ，π20→由t ，………………………（2）因为xQxy y P ∂∂=-=∂∂6，所以所给方程为全微分方程. ⎰-+-=),()0,0(2323)d 3(d )3(),(y x y y x y x xy x y x u224402303234141)d 3(d y x y x y y x y x x yx-+=-+=⎰⎰， 故所求通解为C y x y x =-+22446. 八、r x r f x r r f x u ⋅'=∂∂⋅'=∂∂)()(，3222222)()(r x r r f r x r f x u -⋅'+⋅''=∂∂，由对称性得 3222222)()(ry r r f r y r f y u -⋅'+⋅''=∂∂，3222222)()(r z r r f r z r f z u -⋅'+⋅''=∂∂，代入已知条件中得，0)(2)(='+''r f rr f ，02)()(=+'''r r f r f ，22ln ln )(ln c r r f '=+'， 22)(r c r f '='∴，从而12)(c r c r f +'-=，令22c c '-=，r c c r f 21)(+=∴.。

第二学期《高等数学A2》试题（A 卷）一、（24 分）试解下列各题： 1、（6分）计算二重积分23()Dx y dxdy +⎰⎰，其中22{(,)49}D x y x y =≤+≤. 2、（6分）求过点(1,2,1)与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩的平面方程。

3、（6分）计算2200limcos x xdx αα→⎰4、（6分）设向量 231a -=（，，）， (1,2,3)b =-, c (2,1,2)=,求同时垂直于a 和b , 且在向量c 上投影是14的向量d .二、（12分）设),(),,(v u y y v u x x ==是由方程组⎩⎨⎧=-=+01yv x y xu 所确定的隐函数，求u x ∂∂, u v y∂∂∂2三、（10分）已知函数()()yu yf x e xg xy =++，其中,f g 具有二阶连续导数，求2ux y∂∂∂。

四、（14分）1、将函数)(x f =22x ex 展开成x 的幂级数，并指出收敛区间。

2、求幂级数∑∞=+-+-111)1()1(n n n n n x 的和函数。

五、（12分）设32(,,)f x y z x xy z =--（1）求(,,)f x y z 在点0(1,1,0)P 处的梯度及方向导数的最大值； （2）问：(,,)f x y z 在哪些点的梯度垂直于x 轴。

六、（10分）设∑是由曲线2, (0z 2)0,z y x =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩绕z 轴旋转而成的曲面。

(1) 写出∑的方程.（2）计算24(1)(81)y dzdx z y dxdy ∑-++⎰⎰，其中∑取下侧.七、（10分）设t L 是沿动圆周222t y x =+逆时针方向，计算含曲线积分的极限：⎰++++→tL t dy ny mx dx by ax t )()(1lim 2，其中n m b a ，，，为常数。

八、（8分）求抛物面221z x y =++的一个切平面，使它与该抛物面及圆柱面22(1)1x y -+=所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程。