函数符号的故事

函数符号的故事论文1000字一、省略号过去。

未来。

永恒。

它们被人生省略了。

记忆的录像带回放着,我的头脑却始终混乱。

过去的一切一切,我忘却了许多,零零碎碎的记忆,使我的人生变得残缺不全。

我只能用省略号来代替它们,代替我无法想起的美好。

未来!我们都在懂憬。

想像着自己在什么什么时候会变成什么,会拥有什么,会遇见什么。

可是,那只能是想,并不能确定那就是我们的未来。

因此,当别人问我未来会怎样,我只会给他一串省略号。

我不敢去奢想。

永恒!永远到底有多远?谁能给谁永远?永。

远。

很长很长的一段时间罢?直至生命的结束?那是一个怎样的概念?我不清楚,因为我从来没得到过永恒。

一种模模糊糊的理解:一次无休止的进行。

因此,当别人再对我提起永恒时,我只能用省略号代表我的心情:我不相信永恒!不可能有永恒!那只是个天真的幻想!庞二、感叹号它修饰着烦闷,气愤,还有快乐。

最近的心情好烦好顽,导致我每天在本子上画着N个感叹!又大,又密,很似我的心。

这个时候,什么事都进不去。

倘若某人突然想死了,闯进我的思维,我会马上给他个大大的感叹号,把他压得喘不过气来!接着继续整理我的神经系统。

愤怒时,说什么话所带的语气都很强烈,因此不得不用上一个大感叹,向惹怒你的人示威!哼!小样的!你不想活了啊?!敢和老娘撒野!对方或许有骨气,撒野撒到底,那感叹号就奉陪到底,或者会夹着尾巴临阵脱逃。

这里呢,只是余怒未消。

感到快乐的时候心情当然好了,可是我似乎很久没触碰到过它了。

先笑笑吧!哈哈!呵呵!嘿嘿!嘻嘻!但这样的话,应该很容易被人误认为是疯子。

算了,笑自己的!让别人说去吧!我们好人不会去和他们计较的!瑞士数学家、物理学家和机械师。

他在数学的许多领域都有重大发现。

此外，他还在力学、光学和天文学方面做出了突出贡献。

数学中有十几个术语以他的名字命名；他有“数学英雄”的美誉。

XXX的名字几乎可以在每一个数学领域看到——初等几何的XXX线、多面体的XXX定理、三维解析几何的XXX变换公式、数论的XXX函数、变分法的XXX方程、复变函数的XXX公式...XXX也是数学史上最多产的数学家。

趣谈数学文化史之数学符号发展史数学并非是一门枯燥的学科，广大小学生朋友们一定要掌握科学的学习方法。

以下是查字典数学网小学频道为大家提供的数学文化史之数学符号发展史，供大家学习参考时使用！数学是上帝用来书写宇宙的文字—伽利略符号常常比发明它们的数学家更能推广。

—F·克莱茵教学也是一种语言，且是现存的结构与内容方面最完美的语言。

……可以说，自然用这个语言讲话超世主已用它说过话，而世界的保护者继续用它讲话。

—C·戴尔曼人总想给客观事物赋于某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、文化、艺术、……符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的。

文字是用声音和形象表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”。

这些符号的组合便是语言。

人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号，“艺术符号学”这门新兴学科应运而生了，它是美学的一个部分。

1961年，苏联数学家科尔莫哥洛夫把统计学分析应用到诗歌语言研究中，把语言中的转换和其他符号学系统中的转换相比较，论述了符号学的一般意义。

符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力。

没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的。

数是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。

正如没有文字，语言也难以发展一样。

几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。

古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展;十七、十八世纪欧洲数学的兴起、我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得当与否，简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，都是何等方便!反之，没有符号或符号不恰当、不简练，是必影响到数学的推理和演算。

然而，数学符号的产生(发明)、使用和流传(传播)却经历了一个十分漫长的过程。

高一学生研究性课题汇总（可用于综合评价）高一语文学科研究性学习课题名称：1、李白诗歌的月亮情结2、古典诗歌中的爱国情怀3、古典诗歌中的题材研究高一数学组参考选题：1、函数产生的社会背景2、函数概念发展的历史过程3、函数符号的故事4、数学家与函数（众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒，伽利略，笛卡尔，牛顿，莱布尼兹，欧拉等，可以选取一位或者多位数学家，说明他们对函数发展作出的贡献，感受数学家的精神）目的：了解函数形成和发展的历史，体验合作学习的方式高一英语研究性课题：1、英语词汇的奥秘2、西方国家节日谈趣3、英语中的动物习语高一物理学科研究性学习课题名称：1、牛顿第一定律物理学史的探究2、伽利略对自由落体运动的研究3、力学单位制的发展过程4、生活中的超重失重现象的分析高一化学研究性课题：1.食品中的添加剂2.燃料电池发展前景及利用3.酸雨与人体健康.高一生物研究性课题：1. 病毒与生命科学，了解病毒相关知识以及病毒在生命科学中的重要作用。

2.关于健康饮水方法的研究，水是生命之源，怎样饮水才有利于身体健康？3.广告中的生物学知识，你知道的商品广告中有哪些生物学知识？有兴趣的话我们一起来研究吧！高一政治研究性课题：1.人民币知识探究，了解我国法币的发展，学会分析人民币发行的规律。

2.猪肉价格上升的短期影响，通过调查问卷，了解猪肉价格上升对生活、生产的影响，提升学生关注国计民生。

3.高一学生消费的心理调查，通过问卷案例了解学生消费心理，对学生消费心理进行分析和引导。

高一历史研究性课题：1.关于李鸿章的评价问题2.智能手机史及其核心参数研究3.美国总统选举程序述略高一地理研究性课题：1.（某地）水资源利用中问题及对策，通过收集资料数据，了解（某地）水资源状况、利用现状、存在的问题及解决办法。

2.太阳辐射在地球表面的时空分布规律，运用所学知识、查询相关资料，分析和总结太阳辐射在地球表面的时间和空间分布规律。

六年级数学小故事爱的双关语有一天哈地乘了一辆出租汽车去看他，这车牌号码是1729。

哈地对拉玛奴江讲出了这个数字，看来没有甚麼意义。

可是拉玛奴江想一下马上回答：「这是最小的整数能用二种方法来表示二个整数的立方的和。

」(1729=13+123=93+103) 拉玛奴江被称为数学的预言家，他死后已经有五十四年了，可是他的一些预测的结果，还是目前数学家正想法证明的。

华罗庚小故事华罗庚，中国现代数学家。

生于江苏省金坛县。

在日本东京逝世。

华罗庚1924年初中毕业之后，在上海中华职业学校学习不到一年，因家贫辍学，他刻苦自修数学，1930年在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到专家重视，被邀到清华大学工作，开始了数论的研究，1934年成为中华教育文化基金会研究员。

1936年作为访问学者去英国剑桥大学工作。

1938年回国，受聘为西南联合大学教授。

1946年应苏联普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。

1948年始，他为伊利诺伊大学教授。

1950年回国，先后任清华大学教授、中国科技大学数学系主任、副校长，中国科学院数学研究所所长、中国科学院应用数学研究所所长、中国科学院副院长等。

华罗庚还是第一、二、三、四、五届全国人大常委会委员和政协第六届全国委员会副主席。

华罗庚是国际上享有盛誉的数学家，他在解析数论、矩阵几何学、多复变函数论、偏微分方程等广泛数学领域中都做出卓越贡献，由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法都用他的名字命名。

为了推广优选法，华罗庚亲自带领小分队去二十七个省普及应用数学方法达二十余年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设做出了重大贡献。

O的故事大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。

他们使用罗马数字。

罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。

在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字。

而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。

牛顿发明微积分的故事众所周知，牛顿是一位具有卓越才华的科学家和数学家。

他在数学领域的杰出成就之一就是发明了微积分。

微积分是现代数学和物理学的基石，对于我们理解自然界和解决实际问题有着重要的作用。

本文将向您讲述牛顿发明微积分的故事。

1. 牛顿的求导理论牛顿发明微积分的起点是他对变化率的研究。

在物理学中，变化率指的是物体运动的速度、物质的流动速度等概念。

牛顿深入研究了这一问题，并提出了求导的理论。

他首次引入了“流量”的概念，即单位时间内通过一定面积的流体量。

通过求解流量的极限，牛顿定义了导数的概念，并成功地解释了物体运动的加速度和速度之间的关系。

2. 牛顿的积分理论在对变化率进行深入研究后，牛顿对积分进行了探索。

他观察到许多实际问题可以通过累积过程的描述来解决。

他引入了“累计量”的概念，即通过对连续变量的数量进行累积得到的总量。

牛顿通过求解累积量的极限，提出了积分的概念。

他成功地将积分应用于实际问题的求解，为后来的科学研究奠定了基础。

3. 牛顿的微积分基本定理牛顿发现了微积分的基本定理，即导数与积分之间的关系。

他指出，如果一个函数在某一区间内的导数存在，那么该函数在该区间内的积分也存在，并且两者之间存在着简单的关系。

这一发现揭示了微积分的内在联系，使得微积分在数学领域的地位更加巩固。

4. 牛顿对微积分应用的贡献牛顿对微积分的发明不仅仅停留在理论层面，他还将微积分应用于实际问题的解决中。

例如，他利用微积分的方法解决了行星运动的问题，提出了著名的万有引力定律。

牛顿的这一贡献不仅在当时引起了轰动，也为后来的科学家提供了重要的启示和研究方向。

5. 牛顿与莱布尼茨的争议在牛顿发明微积分的同时，德国数学家莱布尼茨也独立地发明了微积分。

由于两人在发明过程中使用的符号和术语略有不同，因此引发了争议。

不过，历史学家普遍认为牛顿和莱布尼茨都在微积分的发展中做出了不可磨灭的贡献，并将其共同归功于微积分的发明。

总结：通过对牛顿发明微积分的故事的讲述，我们可以看到牛顿的天才和创造力。

3-10故事敉学2021年第3期莱布尼茨还是欧拉？—谈函数概念的历史发展姚少魅1张浩2(1.北京市第八十中学，北京100102; 2.北京市朝阳区教育研究中心，北京100021)1引言：源自两本教科书的疑问函数是中学数学最基本的概念之一，是贯 穿高中数学课程的一条主线，同时也是现代数 学最重要的概念之一，它是描述客观世界中变 量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.哥廷根数学学派的创始人、德国数学家F •克莱因（Felix Klein, 1849-1925)称函数是 数学的灵魂，他强调用近代数学观点改造中学 数学内容,并提出用“函数观念和几何直观作 为数学教学的核心”，以函数为核心概念的教 材结构体系是学生理解数学、应用数学解决问 题的典型载体[1]，他在19世纪末领导的德国 数学教育改革的口号就是“用函数来思考”(func-tional thinking)⑵.同样来自德国的语言学家洪堡特认为“语 言决定人的世界观”，数学语言作为一种特殊 的语言也影响了人的世界观.数学符号作为数 学语言的重要组成部分，其含义明确、表达简 明、使用方便，并且还体现了数学的特征:形式 化、抽象化、符号化.没有数学符号，数学就难 以快速发展，科学的发展也会步履维艰.关于函数符号的创立,2019年人教A版普 通高中教科书数学必修第一册（简称人教A版 新教材）在3. 1.1节（第62页）给出函数概念 时介绍道:“函数符号y=/(幻是由德国数学家 莱布尼茨在18世纪引人的.”在之前的人教A 版教材1.2. 1节也有同样的介绍.2019年人教 B版普通高中教科书数学必修第一册（简称人 教B版新教材）在拓展阅读《函数定义的演变 过程简介》中称：“欧拉于1734年首先使用字 母/表示函数.”人教社的这两本教科书中出现了不一致 的说法，哪个说法准确呢？函数符号/到底是谁最先使用的？莱布尼茨还是欧拉？莱布尼 茨和欧拉在函数概念发展中起到了怎样的作 用？还有哪些数学家对函数概念的形成起到 了关键作用？2函数的概念发展简史二十世纪六十年代，我国数学史学家杜石 然先生在《函数概念的历史发展》一文中介绍 了函数概念经历了六次扩张，其中提到17世纪 末莱布尼茨（G_W.Leibniz,1646- 1716)引入 了函数的概念，但他把函数理解为幂的同义词，而函数符号/(幻是欧拉（L.Euler，1707 - 1783)于1734年首先引人的[3].杜石然先生的 说法参考的是苏联大百科全书“数学符号”这 一词条.关于函数符号的引人，M •克莱因（M. Kline, 1908 - 1992)在《古今数学思想》中写 道:“在函数的符号表示方面，约翰•伯努利 1718年用％表示;c的函数，Leibniz同意这样 做.记号/(幻是欧拉于1734年首先引进的.”[4]徐品方、张红的《数学符号史》在介绍函 数符号史时将函数的概念发展分成七次扩张，称欧拉在1734年的著作中就用/(子+ c)表示f + C的任意函数，并称“这是数学史上首次用/(幻表示％的函数，一直沿用至今”，此外拉 丁语函数“function” 一词最早作为专门数学术 语使用的是莱布尼茨[5].世界著名数学史学家 卡尔•博耶（Carl B.Boyer, 1906-1976)在《数 学史》中称“莱布尼茨不是现代函数记号的发 明者，但‘函数’这个词要归功于他，这个词跟今天所使用的在很大程度上是一样的意义，，[6]由此可见，针对前面在两本教科书中发现 的问题已经有了一个确定的回答，函数符号/2021年第3期3-11故爹軋学最先是欧拉使用的，而莱布尼茨最早使用了 “function”一词表示函数的含义•亨利•庞加莱曾说：“如果我们想要预测 数学的未来，那么适当的途径是研究这门学科 的历史和现状.”在《普通高中数学课程标准 (2017年版）》中对于“函数的形成与发展”这 部分内容提出了以下要求：“收集、阅读函数的 形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函 数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件 及其对人类文明的贡献.”因此,尽管前面的问 题已经得到回答，但是我们仍想对教材中出现 的有关函数概念的数学文化和数学史做一些 深人的探讨.2- 1教科书中的函数发展史首先给出各版本的教材对函数概念发展 的简介，按照原文出现的历史人物及贡献将部 分节选内容列举如下.人民教育出版社A版高中数学必修第一 册(2019年出版>《函数概念的发展历程》：莱布尼茨：“function”一词最初由德国数学 家莱布尼茨在1692年使用.李善兰：在中国，清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积 拾级》中首次将“function”译做“函数”•约翰•伯努利：瑞士数学家约翰.伯努利 强调函数要用公式表示.欧拉：瑞士数学家欧拉将函数定义为“如 果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数狄利克雷:德国数学家狄利克雷在1837年 时提出：“如果对于x的每一个值总有一个完全确定的值与之对应，那么;K是;c的函数.”说明：与人教A版旧教材的内容完全相同.人民教育出版社B版普通高中教科书数 学必修第一册（2019年出版）《函数定义的演 变过程简介》：莱布尼茨：“函数”一词是莱布尼茨创造 的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段 长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系.欧拉：欧拉于1734年首先使用字母/表示 函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另 一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也 随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数.黎曼：1851年，德国数学家黎曼给出的函 数定义是:假定z是一个变量，它可以逐次取所 有可能的实数值.如果对它的每一个值，都有 未知量W的唯一的一个值与之对应，则M；称为 Z的函数.布尔巴基学派：1939年，法国布尔巴基学 派在集合论的基础上给出了函数的定义……人民教育出版社B版高中数学必修第一 册（旧教材）《函数概念的形成与发展》：笛卡儿：当时人们把函数理解为变化的数 量关系，把曲线理解为几何形象.法国哲学家、数学家笛卡儿引入了坐标系，创立了解析几何.他把几何问题转化为代数问题.牛顿：英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿，以流数来定义描述连续量----流量(fluxion)的变化率，用以表示变量之间的关系.因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那 个时代函数的概念.莱布尼茨：函数（function)—词首先是由德 国哲学家莱布尼茨引入的，他用函数一词来表 示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并 引入了常量、交量、参变量等概念.欧拉：瑞士数学家欧拉于1734年引入了函 数符号/(*)，并称变量的函数是一个解析表达 式，认为函数是由一个公式确定的数量关系.狄利克雷：直到1837年，德国数学家狄利克 雷放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和 运算组成的表达式的观点,提出了 y=/U)是;c 与y之间的一种对应的现代数学观点.李善兰：1859年我国清代数学家、天文学 家、翻译家和教育家李善兰第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今•江苏凤凰教育出版社高中数学必修第一 册《函数概念的形成与发展》：笛卡儿：1637年，法国数学家笛卡儿在《几 何学》中第一次提到“未知和未定的量”，涉及 了变量，同时也引入了函数的思想.莱布尼茨=1692年，德国数学家莱布尼茨 最早使用“函数”这个词，他用“函数”表示随着3-12故f敉学2021年第3期曲线的变化而改变的几何量，如切线和点的纵 坐标等•约翰•伯努利：1718年，瑞士数学家约翰•伯努利给出函数新的解释：“由变量x和 常量用任何方式构成的量都可以叫作尤的函数•，，欧拉：1755年，瑞士数学家欧拉给出了函 数的如下定义……狄利克雷：1837年，德国数学家狄利克雷 认为：“如果对于x的每一个值总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”李善兰：1859年，我国清朝数学家李善兰 将function —词译成“函数”，并给出定义：“凡 此变数中函彼变数者，则此为彼之函数• ”这里 的“函”，是包含的意思.在国外的数学书上，习惯将函数（即对应关系）记为/,而在国内的数 学书上，通常将函数写为/(*).北京师范大学出版社高中数学必修第一 册《函数概念的起源>:伽利略：意大利科学家伽利略第一个提出 了函数或称为变量关系的这一概念.莱布尼茨：“function(函数）”这个词作为 数学术语，最初是由微积分奠基人之一、德国 哲学家、数学家莱布尼茨在1673年的手稿中首 次使用的.李善兰：1859年，我国清代数学家李善兰 在翻译《代数学》时，把“function”译为“函数以上不同版本教材中，莱布尼茨和欧拉都 经常出现，那么在函数概念发展的历程中，教 材中提到的这些人物做出了哪些贡献,还有哪 些关键人物呢？为了对函数概念有更全面的 理解，也方便师生在撰写函数发展过程的小论 文时参考，我们以人物为线索，简要回顾函数 概念发展的几种学说，不同历史阶段更多数学 家对函数的理解还可参考文[7].2.2变量说对运动与变化的研究是函数概念产生的 直接原因.16世纪以来，由于人们对地球运动、天体运动以及如何测量时间等实际问题的需 要，使得自然科学转向对运动的研究以及对各 种变化过程和各个变化着的量之间关系的研 究,因此数学中出现了“变量”的概念.从此，数 学从漫长的常量数学时期进展到变量数学时期，也就是从研究“数”变为了研究“函数尽管初中教材已经出现函数的概念，但直到高中 教材函数一章的全面介绍，中学数学才真正从 对数的研究转变为对函数的研究.函数概念的 发展离不开微积分观念的发展,要研究运动变 化过程自然离不开“微分”，因此学生在高中接 触导数与微积分之后，也正式跨入了近代数学 的大门.笛卡儿、费马、牛顿众所周知，笛卡儿与费马是解析几何的奠 基者，他们引入了坐标系，使代数表达式和平 面上的几何图形相对应，从而可以将几何问题 转化为代数问题来研究.但事实上，他们也是 函数概念的奠基人，他们提出了坐标U,y)中X和y具有某种关系，如费马所说“每当我们找 到两个未知量的等式，我们就有一条轨迹，它 描写的不外乎是一条直线或曲线”，这里出现 的轨迹和曲线就是早期函数的类似物.牛顿首次用专门术语genita(拉丁文）描述 了从一个量中得到的另一个量.牛顿称他的变 量为流数.牛顿为函数概念的发展作出的最大 贡献在于他使用了幂级数，幂级数对函数概念 的后续发展非常重要.莱布尼茨北师大版新教材中称“function(函数）”这 个词作为数学术语最初是由德国数学家莱布 尼茨在1673年的手稿中首次使用的，而人教A 版新教材、苏教版新教材均称莱布尼茨于1692 年最早使用“函数”这个词.事实上，这两个事 实是不矛盾的.莱布尼茨在1673年的一篇手稿《反切线或 函数方法》(M ethodus tangentium inversa,seu de fuctionibus)中首先使用了 “function”的拉丁文，但这个词并不表示函数的含义.术语“function”首次出现在印刷品上是莱布尼茨在1692年发 表的论文《De linea ex lineis num ero infinitis ordinatim ductis》，这篇文章中也包含了许多现 在常用的其他数学术语在1694年莱布尼 茨的另一篇论文中也出现了函数，他用函数表 示任何一个随着曲线上的点变动而变动的几 何量，如曲线上点的坐标、弦、切线、法线等.莱布尼茨的函数定义过分限制在几何领 域.事实上，作为微积分的奠基人，牛顿和莱布2021年第3期故学敉学3-13尼茨当时所研究的微积分并不是现代意义下 基于函数的微积分，而是基于几何学的微积分.约翰•伯努利之后，莱布尼茨的学生约翰•伯努利（J. Bernoulli，1667- 1748)使用了函数这个术语•1698年7月，莱布尼茨在给约翰•伯努利的信 中写道:“我很高兴你在我的意义下使用函数 这个术语.”伯努利在1698年8月的回信中说: “为了表示某个不定量x的函数，我喜欢使用 相应的大写字母Z或希腊字母f这样我们就 可以同时看到这个函数所依赖的不定量.”在 同一封信中，他使用了符号A： = a:和X= 之 后，函数的概念逐渐脱离几何.1718年，伯努利首次明确给出函数的正式 定义:“一个变量的函数是指由这个变量和常 数以任意一种方式构成的量.”他试验过几种 表示z的函数的符号，其中用数学符号_表示 函数是最接近现代记法的一种.“变量”一词也 是这时引人的.伯努利的这个定义脱离了几何 语言,但他没有解释“以任意一种方式构成”的含义.欧拉下一位关键人物是欧拉，他是约翰•伯努 利的学生.在约翰•伯努利的基础上，欧拉在 18世纪30年代发表的一篇论文中用j i— + c)表7K— + c的任意函数，之后在1748 \a)a年出版的《无穷分析引论》中使用了伯努利的 定义，并且首次用“解析式”[9]来定义函数，把 一个变量z的函数看作由该变量2和一些常数 以任何方式构成的解析表达式，如a + 3z，az -欧拉在这本书的前言中说数学分析就是研 究变量及其函数的一门学科，并且他认为微积 分是关于函数的，而不是关于曲线的.这是欧 拉的“解析式”定义.1755年，欧拉在他的《微分学原理》中给出 了新的函数定义：“如果某些量以如下方式依 赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也 发生变化，则称前一些量是后一些量的函数.”这是欧拉的“依赖关系”定义.总之,欧拉是第一位突出函数概念的数学家，欧拉还对函数进行了分类，使用了“代数函 数”“超越函数”“单值函数”“多值函数”等术 语，他定义的函数关系可以用诸如多项式、正 弦、对数表达的解析式或解析式的积分来表示.欧拉的定义涉及到刻画两个变量之间的变 化关系，人们通常称欧拉的定义为函数的“变 量说欧拉对函数发展的更多贡献可参考文[10].欧拉及同时代的其他数学家都认为函数 是通过一个解析式表达出来的，根据他们的 观点，不能被称为一个函数.在这一时期，使用解析 式来定义函数的观点的著名数学家还有很多，以下简述其中几位.丹尼尔•伯努利在研究弦振动方程时，获 得了一个称为三角级数（即后来的Fourier级 数）形式的解，伯努利从物理的眼光相信所有 的函数都可以表示为三角级数的形式.拉格朗日在《解析函数论》（1797年）中称 一个或几个量的函数是指任意一个适于计算 的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中……一般地，我们用字母/或F放在一个变 量的前面以表示该变量的任意一个函数，即表 示依赖于这个变量的任何一个量，它按照一种 给定的规律随着那个变量一起变化.拉格朗曰 在这本书中以幂级数为出发点，将函数概念限 制为解析函数.德摩根在1837年的《代数学》中将函数定 义为以任意方式包含x的表达式.1851年，罗密士在《解析几何与微积分基础》中称：“若一 个变量等于含有另一个变量的代数式，则称第 一个变量为第二个变量的函数.”英国传教士 伟烈亚力（A.Wylie,1815 - 1887)和清代数学 家李善兰（1810 - 1882)翻译的《代数学》和《代 微积拾级》（即《解析几何与微积分基础》）这 两本书采用的都是函数的“解析式”定义，因此 他们将变量翻译为变数，包含变数的表达式翻 译为“函数”，意为“一个式子中含有数字符号”，其中“函”与“含”意义相同.李善兰将函 数符号“/”用“函”表示，从而函数y =/U)用3-14故学敉学2021年第3期汉字化符号表示成“地=函（天）”•《代数学》中函数定义为:“凡式中含天，为天之函数”（中国古代以天地人物表示未知数），《代微积拾 级》中称“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函 数”，这就是中文数学名词“函数”的由来.当代 数学大家丘成桐认为《代数学》和《代微积拾 级》是清末西方代数学译著中最重要的两本译 著,因为它们给中国传统数学带来了西方符号 表示的理论体系和系统化的微积分理论人教A版教材称“在中国，清代数学家李 善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的 《代微积拾级》中首次将‘function’译做‘函数’”，而北师大版新教材称“1859年，我国清 代数学家李善兰在翻译《代数学》时，把 ‘function’译为‘函数那么李善兰究竟是在《代数学》还是《代微积拾级》中最早把function 翻译成函数的呢？事实上，这两本书可能是同 时进行翻译的，并且都是在1859年于墨海书馆 出版的.因此，更确切的说法是：1859年，我国 清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力在 合译《代数学》与《代微积拾级》时首次将“function”译为“函数”■徐品方、张红在《数学 符号史》中使用了这种说法[5].用函数的解析式定义有很大的局限性，比如某些变量之间的对应关系无法用解析式表 达.更多关于解析式定义的内容，我们推荐读 者阅读文[9].2.3对应说1755年，欧拉就给出了函数的“依赖关系”定义，这种定义也逐渐演变为“对应说之后，傅里叶摆脱了欧拉单一解析式定义的束缚，柯 西、狄利克雷和黎曼等给出了函数的现代定义.傅里叶法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768 _ 1830)在研究热传导方程的解时，得到结论:在 不同的区间一个三角级数的和可用不同的算 式表达.他认为函数是否由单一解析式给出并 不重要，他在1822年《热的解析理论》中给出 函数的如下定义：“函数/(幻代表一系列的值 或纵坐标，它们中的每一个都是任意的.对于 无限多个给定的横坐标a：的值，有同样多个纵 坐标/U).……我们不假定这些纵坐标要服从一个共同的规律.”柯西法国数学家柯西（A.Cauchy, 1789-1857) 指出了拉格朗日用幂级数定义函数的局限，他 研究了函数丄f(x) = j e，2>以 〇，[0，A t = 0,并证明/U)在X= 0处的各阶导数均为0，但按 照泰勒级数给出的函数/(；«) = 0 + 0% + Ox2 + 0不是原来的函数.1823年，柯西用关系给出了 函数的定义：“在某些变量之间存在着一定的 关系，只要其中某一变量的值给定了，其他变 量的值可随之而确定时,则将最初的变量叫自 变量，其他各变量就叫做函数.”狄利克雷1837年，德国数学家狄利克雷（L. Dirichlet, 1805- 1859)改进了傅里叶的定义，给出了函数的以下定义：“如果对于给定区间 上的每一个x的值,有唯一有限的y的值同它 对应，那么y就是X的一个函数.至于在整个区 间上y是否按照一种规律依赖于^或者y依 赖于x是否可用数学运算来表达，那都是无关 紧要的.”由此，函数可以理解为一个规则，变量x的值固定了,按照这个规则确定了（或对应着）唯 一的一个y值.函数的这个定义打破了十八世 纪占统治地位的函数只能由一个解析式来表 达的想法，狄利克雷在研究傅里叶级数的收敛 性问题时出现了狄利克雷函数1，x是有理数，〇,^是无理数，这样定义的对应关系在狄利克雷的意义下成 为函数.狄利克雷的函数定义已经接近中学教 科书中的函数概念[121.自狄利克雷的工作之后，出现了大量的 “病态”函数，分析学的特征也出现了变化.17 世纪以来，分析学被认为可以应用于“所有”函数，从狄利克雷开始，分析学转向研究特定的2021年第3期故錄学3-15函数类，如连续函数、可微函数、可积函数、单 调函数等.而一些数学家也开始研究一些不规 则的函数，如魏尔斯特拉斯（Weierstrass, 1815 - 1897)在1872年给出的著名的处处不可 微的连续函数.黎曼1851 年，黎曼（B.Riemann，1826- 1866) 给出的函数定义是:“假定z是一个变量，它可 以逐次取所有可能的实数值，若对它的每一个 值，都有不定量w的唯一的值与之对应，则称w 为z的函数.”狄利克雷和黎曼的定义中采用了“唯一的 一个值与之对应”，通常这样的定义称为函数 的“对应说”，这样函数的概念从“变量说”转变 为“对应说”，我国现行高中教科书大多采用这 样的定义[13].因此，用“对应说”定义函数，主要关心的 是对应的结果，而不是过程，对应法则是手段，对应结果才是目的[14].相同的对应关系可以有 不同的式子来表达，在这一点上，柯西给出了—个很简单的例子，/(幻：广’也可[-X, X< {)以用y u) = #或y u) = 来表示.我们还可以举出其他初等例子，比如y = (a; - I)2 -x2 +2尤与y= sin2x +cos2尤是同一*个函数；y = 和〇0) = {丨’，x是同一个函数，等等.此外，对于函数{〇, 11)与;r= e|〇,i|),由于对应法则不同，它们貌似是两个不同的函数,但仔细分析，它们的定义域相同，并且一旦变量*的值固定，按照这两个解析式给出的规则都确定了相同 的y值，因此这“两”个函数是同一个函数.2.4关系说1874年，康托尔开创了集合论，到20世纪 初,集合论的思想与方法渗透到数学的各个领 域.在建立集合论之后，函数定义又以集合对 应的方式进行了改写.1888年，戴德金把函数定义为集合间的映 射，而映射指一种规则:在这种规则少下，系统 S(即集合S)中的任意元素s对应于确定的对象少⑴.1904年,J.Tannery给出了基于集合论的 函数定义：考虑不同的数组成的一个集合，这 些数可作为赋予字母x的值，则x称为一个变 量，设x的每一个值对应于一个数，后者可作为 赋予字母y的值，则我们称y是由集合所确定 的*的函数.1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基 础上，给出的函数定义如下:设£和F是两个 集合，它们可以不同，也可以相同.£中的变元 和/^中的变元;K之间的一个关系称为一个函 数关系，如果对于每一个* e都存在唯一的y e F,它满足于；c给定的关系，称这样的运算 为函数.它以上述方式将与x有给定关系的元 素y e F与每一个元素;c E £相联系，称y是函 数在元素;c处的值，函数值由给定的关系所确定•布尔巴基学派还给出了函数用笛卡尔积 子集（有序对）来定义的方法，这个定义也可以 在《普通高中数学课程标准（2017年版）》案例 2中找到:设F是定义在集合X和y上的一个 二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一 个x e Z，都存在唯一的y e I使得(*，y) e F.但课程标准在此处未明确二元关系的定义，实际上集合X和F上的一个二元关系f指集合 尤和r的笛卡尔积尤x丨（X，y)丨* e Z，y e W的一个子集这个定义可以用形式化的语言描述如下:设X和F为两个集合，任意a;e尤,存在y使得U,y)e若(*，y)e F且e F蕴含y=z，则称F是集合Z到 集合y的函数.以“关系”为桥梁，通过集合来定义函数称 为函数的“关系说“关系说”通过附加条件避 免了交代“对应关系”，国外的一些中学教材[15]也有采用.另外，布尔巴基学派是研究数 学结构的先驱，最早用集合论语言刻画了数学 结构.在20世纪，将任意集合之间的映射作为 函数的概念逐渐占据主导地位.现代范畴论的 奠基人麦克莱恩（S.MacLane，1909 - 2005) 1986 年在《Mathematics:Form and Function》一-书中详细探讨了函数的各种“直观”看法，使用 有序数对给出了一个形式化定义，并用—。

数学符号的来历例如加号曾经有好几种，现在通用“＋”号。

“＋”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。

十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（加的意思）的第一个字母表示加，草为“μ”最后都变成了“＋”号。

“－”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了“－”了。

也有人说，卖酒的商人用“－”表示酒桶里的酒卖了多少。

以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“－”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“＋”号。

到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“＋”用作加号，“－”用作减号。

乘号曾经用过十几种，现在通用两种。

一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。

德国数学家莱布尼茨认为：“×”号象拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“·”号。

他自己还提出用“п”表示相乘。

可是这个符号现在应用到集合论中去了。

到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号。

他认为“×”是“＋”斜起来写，是另一种表示增加的符号。

“÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。

直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除线）表示除。

后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。

平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√”表示根号。

“√”是由拉丁字线“r”变，“——”是括线。

十六世纪法国数学家维叶特用“＝”表示两个量的差别。

可是英国牛津大学数学、修辞任意号如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），∵因为，（一个脚站着的，站不住）∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n 个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。

函数符号的故事函数符号，作为数学中的重要概念之一，承载着丰富的内涵和深刻的数学思想。

它不仅是数学家们智慧的结晶，更是数学发展历程中的重要标志。

那么，函数符号的故事究竟是怎样的呢？要探寻函数符号的故事，首先我们需要回到17世纪。

当时，数学家们对于变化的研究日益深入，他们开始关注自变量和因变量之间的关系。

在这个背景下，数学家们开始使用符号来表示这种关系，这就是函数符号的雏形。

最初，函数符号并不像今天这样简洁明了，而是经过数学家们的不断探索和完善，逐渐演变成了我们现在所熟知的形式。

随着时间的推移，函数符号逐渐被纳入到数学体系之中，成为了数学研究的重要工具。

它不仅在微积分、代数、几何等多个数学领域中发挥着重要作用，更是在物理学、工程学等应用科学中扮演着重要角色。

可以说，函数符号的发展与数学的发展息息相关，它的故事也是数学发展史的重要组成部分。

在函数符号的故事中，我们还可以看到数学家们对于函数概念的深刻理解和丰富内涵的挖掘。

通过对函数符号的研究，数学家们逐渐揭示了函数的性质和规律，为函数论的发展奠定了坚实的基础。

同时，函数符号的故事也反映了数学家们在实际问题中运用函数的智慧和创造力，为人类社会的发展做出了重要贡献。

除此之外，函数符号的故事还包含着数学思想的传承和创新。

在数学发展的历程中，数学家们不断地对函数符号进行探索和发展，推动了函数论的不断完善和深化。

他们不断提出新的概念、新的方法，丰富了函数符号的内涵，拓展了函数理论的应用领域，为数学的发展注入了新的活力。

综上所述，函数符号的故事是数学发展史上的重要篇章，它承载着数学家们的智慧和创造力，反映了数学思想的传承和创新。

通过对函数符号的故事的探究，我们不仅可以更深入地理解函数的本质和作用，更可以感受到数学发展的历程和数学家们的辛勤付出。

函数符号的故事，不仅是数学的故事，更是人类智慧的结晶，它将继续激励着数学家们不断前行，为数学的发展作出新的贡献。