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附录1：矢量

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第1章(矢量分析)

第1章(矢量分析)

矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。

矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。

矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。

如：温度、质量、角度、长度等。

如：力、速度、电场强度、力矩等。

矢量的模：矢量的大小。

矢量的模记为：或。

A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。

即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。

FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。

能不能平移？下面只讨论自由矢量。

如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。

U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。

i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。

R A A e A 三个：、和。

R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。

ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。

e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。

大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础

大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
Ax Bx Ay B y Az Bz
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x

o
R y R

参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。

第1章 矢量简介

第1章 矢量简介

二、矢量在直角坐标系中的正交分解
1. 直角坐标系 i 、j 、k 是一组分别沿着x
轴，y轴和z轴的单位矢量，称
为直角坐标系O-xyz的基矢。
i 、j 、k i 、j 、k
三个单位矢量之间 两两垂直（正交） 三个单位矢量满足右手螺旋关系
2.矢量在直角坐标系中的正交分解
A B A (B)
所以两个矢量相减和两个矢量相加一样，也可以 用平行四边形法则和三角形法则。
两个矢量相减的平行四边形法则： 以 A 及 B 为邻边作平行四边形，则对角线所表示 的矢量即为 A B 矢量。 B A B 以 A 及 B 为邻边的平 行四边形，一条对角线 是两个矢量的和，而另 A 一条对角线则是矢量之 B 差。 A B
0
正交特性可表示为：
i j j k k i 0 er e 0


2
2.矢量 A 与某单位矢量的标积即为矢量 A 沿该单位 矢量方向的投影。
A Ax i Ay j Az k A i Axi Ay j Az k i Ax 同理： A j Ax i Ay j Az k j Ay 同理： A k A i A j A k k A x y z z
2.矢量： 有些物理量除了知道他们的大小及单位外，还必须 指明其方向。这种除了大小和单位外，还具有方向， 并且加法遵从平行四边形法则的量称为矢量。 如位移、速度、加速度等都是矢量。 3.矢量的表示法： 书本中用黑体字来表示矢量，如 A、B、C
书写是用
A、B、C
来表示矢量

矢量1

矢量1

Ay Ax AZ cos α = , cos β = , cos γ = A A A
j
i
矢量
五、矢量运算 设有两矢量： A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + B y j + Bz k
1.和与差： A ± B = ( Ax ± B x )i + ( Ay ± B y ) j + ( Az ± B z )k 2.矢量与标量相乘： CA = CAx i + CAy j + CAz k = CAA0
C < 0, CA与A方向相反
B
3. A B
标积（点乘）
α
A
A B = AB cos α
标积为标量，等于 B 在 A 上的投影与A的乘积
矢量
若A B α = 0, π A B = ± AB A⊥ B α =
π
2
A B = 0
∴i i = j j = k k = 1
i j = j k = k i = 0
单位矢量：若有一矢量 A0与A同向， 且A0 = 1, 则A0 称为 A的单位矢量。 A = AA0
在几何作图上，用带箭头的有向线段表示矢量。线段的 长度表示大小。方向表示矢量的方向。 如：速度大小5m/s,方向为东北方向。 v
450
东
矢量
三、矢量加减 C=A+B 遵循平行四边形法则、矢量平移不变
矢量
如： 1. F = Fx i + Fy j + Fz k
I = ∫ Fx dti + ∫ Fy dtj + ∫ Fz dtk
t1 t1 t1 t2 t2 t2
2. F dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz

矢量分析

矢量分析

1.2.2矢量的数乘（矢量与数的乘法）
实数与矢量的乘积，结果是一个矢量 A A A = A
0, A与A方向相同 0, A与A方向相反 0, A 0 1, A A，A的反向矢量
o x
y

r
附录2:圆柱坐标系
梯度
1 er e ez r r z
散度 a 1 (ra ) 1 ( a ) az r r r r z 1 1 旋度 er e ez
r a r ar ra r z az
矢量的三维空间表示(空间直角坐标系）
z
2 2 2 Ax Ay Az
Ay Ax Az cos , cos , cos A A A
cos cos cos 1
2 2 2
两个矢 量相等 的条 件 1、矢量的模相等， 2、矢量的方向相同。
位置矢量(Position Vector)
er cos sin e sin cos e 0 0 z i cos sin j sin cos k 0 0
0 i 0 j k 1 0 er 0 e 1 ez
大小： A B sin AB sin C 方向： A, B, 右手定则 C
A A 0, A B B A, A (B C) A B A C

C A B
C C O
A= Axi + Ay j + Az k , B = Bxi + By j + Bz k

大学物理：矢量 (VECTOR)

大学物理：矢量 (VECTOR)

设
A
2a
3b ,
B
3a
b,
a
2,
b
1
解.
(a,b)
,
求A B,
3
Pr
jA B,
A B (2a 3b) (3a b)
Pr
jB A .
6
a
2
7a
b
3
b
2
28
2 A
A
A
37,
2 B
BB
31,
Pr
jA B
A B
A
28 , 37
Pr
jB A
A B
两矢量A和B的矢量差C可看成为矢量A和矢量(-B)的矢量和
B -B
A
或者直接三角形减法
B A
C
B C
A
物理教研室，药大
2.3 多个矢量的加法
n
F F1 F2 Fn Fi
i 1
逐个矢量相加，可以采用多边形法则
A2
A4 An-1
A1
A3
An
O
2.4矢量加法的性质：
交换律(commutative
3) 两个矢量的夹角
cos A B
AB
4) 性质：
交换律(commutative law): 分配律(distributive law): 结合律(associative law):
AB B A ( A B) C AC B C ( A B) A (B), 为实数
物理教研室，药大
例3.
矢量和标量乘 矢量和矢量乘
结果是一个矢量。大小、方向？ 结果是一个标量。大小？ 结果是一个矢量。大小、方向？
物理教研室，药大

1. 矢量及其运算

机动 目录 上页 下页 返回
5
结束
二、矢量的线性运算
1. 矢量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a a (b c )
c bc b
b ab
三角形法则:
ab a
ab
a 运算规律 : 交换律
b
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
机动 目录 上页
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 x y , , B 1 1 z1 z 2 o z 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
称为点 M 的坐标 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
14
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
坐标轴 :
o
y
x轴 y轴 z轴
y0 z0 z0 x0 x0 y0
x
坐标面 : xo y 面 z 0
12
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. z z 轴(竖轴) Ⅱ • 坐标原点 Ⅲ • 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
面 x o z
yoz 面 y
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
o xoy面
x轴(横轴) Ⅷ
x
y轴(纵轴) Ⅵ
Ⅴ
a∥ b
当 0 时, a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, AB a , A D b ,

矢量1





B

ds
S
研究了矢量在闭合面的性质，面上某个点处矢量的 性质如何研究呢？
§1.3.1
A S AnS
自然现象中的通量 A
S
n

AS cos
25
散度定义：单位体积的净流散通量 Divergence——div
divA
lim


A

ds

“求模”： A A A
“判断正交”： A B 0
标量积的结
果是个标量！
8
§1.1
矢量运算 标量积
标量积的应用：证明“三角形余弦定理”
C
B
A
C A2 B2 2AB cos
思路：C边的长度就是矢量 C 的“模”
C AB
C C C C (A B)(A B) 9
B

Bcos
A
z
Z
P(X, Y, Z) r az
ax O
X
Y ay y
x
• 直角坐标系中的单位矢量有下列关系：

ax

a
y

a
x

a
z

ay

a
z

0
ax ax ay ay az az 1
• 直角坐标系中两矢量点积的计算公式：
A Axax Ayay Azaz ,
直角系中

ax
x

ay
y
az
z
直角系中u

ax
u x
ay

理论力学第1节 矢量法


• 运动轨迹：动点M在运动过程中，其矢径 r 的端点
将在空间划出一条连续曲线，又称为矢端曲线。
二、速度矢量 动点M的速度矢量等于它的矢
径r对时间t的一阶导数，即
v dr r dt
Mv a
r o
• 点的速度矢量方向沿着矢径 r 的矢端曲线的切线，
即沿动点运动轨迹的切线，并与动点运动的方向一 致。 • 速度的大小称为速率，单位为m/s。
三、加速度矢量
点的加速度表征了速度大小 和方向的变化。其等于该点的 速度矢量对时间的一阶导数， 或等于矢径对时间的二阶导数， 即
a dv v r dt
Mv a
r o
• 点的加速度矢量方向指向点的矢端曲线的凹侧，对 于加速度，我国法定计量单位为m/s2。
同一个物体相对于不同的参考系有不同的运动。
• 瞬时和时间间隔： 瞬时是指某一具体时刻，抽象为时间坐标轴上
的一个点。 时间间隔是两个瞬时之间的一段时间，或时间
坐标轴上的一个区间。
几何法和分析法： 运动的描述方法的两种形式。
几何法： 建立各瞬时描述运动的矢径、速度、加速度等
矢量之间的几何关系。 分析法：
从建立运动方程出发，通过数学求导获得速度 与加速度及运动特性。
一、位置矢量 设动点M沿某空间曲线运动，
Mv
选取参考系上固定点O为坐标原
点，自点O向动点M作矢量 r ，
a r
称 r 为点M相对原点O的位置矢 量，简称矢径。当动点M运动时， o
矢径 为时r 间 t 的单值连续函数，
即
பைடு நூலகம்
r r(t)
点的矢量形式运动方程
第二篇 运动学
• 运动学：从几何观点描述物体的机械运动，只阐明 运动过程中的几何特征及各运动要素之间的关系， 完全不涉及运动的物理原因。即研究物体运动的轨 迹、运动方程、速度与加速度等内容。

第1章-矢量分析


⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
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A B AB cos BA cos B A
（2）标积遵守分配律，即
( A B) C A C B C
3、矢量的矢积 两矢量相乘得到一个矢量的叫做矢积（或称叉乘）。 A和B的矢积用符号 A×B 表示，并定义它为另 一矢量 C，即
C A B
矢量 C 的大小为
七. 矢量函数的积分
已知
dA B (t ) Bx (t )i B y (t ) j Bz (t )k dt
这里三个标量函数
Bx (t )、By (t )、Bz (t )
分别代表
d Ax d Ay d Az 、 、 dt dt dt
所以，将 B(t ) 对时间 t 求积分，可改变为将
例如：速度
dr d x dy dz v i j k dt dt dt dt
加速度
d vy d v d vx d vz a i j k dt dt dt dt d r d x d y d z 2 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt
2 2 2 2
矢量函数的导数的简单公式： d dA dB （1） ( A B) dt dt dt （2）当C是常量，则
预备 数学知识
矢量 及其运算
一. 标量和矢量 标量：m、t、V 、 S 矢量： r、v、a、F 1单位 矢量通常用黑体字母 A 或上方带有箭头“”的 A 字母 A 来表示，在作图 时，常用有向线段表示。 负矢量 将一矢量平移后，它的大小 和方向都保持不变。
A A
A
－A
负矢量
A
B
B
B
二. 矢量的模和单位矢量 矢量的大小称为矢量的模。矢量 A 的模常用符号 | A | 或 A 表示。
B
四. 矢量合成的解析法 在三维直角坐标系 （oxyz）中，任一矢量A 都可沿坐标轴方向分解
z Az
A Ax i Ay j Az k
矢量 A 的模
k Ax

A

Ay y
i j
A A A A
2 x 2 y
2 z
x
矢量 A 的方向则由这矢量与坐标轴 的夹角、、 来确定：
Ax cos , A
Acos
B
B

A

Bcos A
此式表明：标积 A B 等于矢量A在B矢量方向上的投 影 Acos 与矢量B的模的乘积，也等于矢量B在A矢 量方向上的投影 Bcos 与矢量A的模的乘积 。 结论： （1）当 ＝0，即A 、B两矢量平行时，cos ＝1，所 以 A∙B = A B 当A和B相等，且 ＝0 时， A B = A" （2）当 = / 2时， cos ＝0，所以 A B = 0 （3）在直角坐标系中，单位矢量 i、j、k具有正交 性，即
此式在数值上恰好等于以 A、B、C 三矢量为棱边 的六面体的体积。
(2)
A ( B C ) B (C A) C ( A B) A (C B) B ( A C ) C ( B A)
（3） （4）
A ( B C ) B( A C ) C ( A B )
Ay B y (t ) d t ,
例如： 已知加速度 a ，求速度 v
v adt
t1
t2
功
W F d l
1. 矢量的加法
A

A+B=C
两矢量合成的 平行四边形法则
A C B
B B A C
两矢量合成的 三角形法则：
C B
A
多个矢量相加， 例如求A、B、C、D 的合矢量 2. 矢量的减法 矢量的减法是按矢 量加法的逆运算来定 义的。
D
C
B A
A－B = A+ (－B )
A A-B A B A B A-B
－B
ii j j kk 0 i j k, j k i, k i j
A、B两矢量求矢积为
A B ( Ax i Ay j Az k ) (Bx i By j Bz k ) ( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
Bx (t )、By (t )、Bz (t )分别对时间 t 求积分，即
A B d t B x d ti B y d t j B z d t k
A B d t Ax i Ay j Az k
上式中的
Ax、Ay、Az分别是下面的三个积分，
Ax Bx (t ) d t , Az Bz (t ) d t ,
C = A ×B
C AB sin
矢量C 的方向垂直于A和 B所在的平面，其指向可用 右手螺旋法则确定。
例如：力矩
A
B
M rF
矢积具有如下性质： (1) A B B A （2）如果矢量A和B是平行或反平行，即它们之间 的夹角 为 0°或180°时，A×B ＝ 0 （3）矢积遵守分配律，即 C ( A B) C A C B （4）在直角坐标系中，单位矢量之间的矢积为
如果矢量 e A 的模等于 1 ，且方向与矢量 A 相 同，则称 e A 为矢量A方向上的单位矢量。引进了 单位矢量以后，矢量 A 可以表示为
A A e A Ae A
在三维直角坐标系( oxyz )中，通常用 i、j、k 分别表示沿 x、y、z 三个坐标轴正方向的单位矢 量。
三. 矢量的加法和减法
A A2 (t t ) A1 (t )
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k 这里注意：单位矢量 i、j、k 是常矢量，而 Ax (t )、Ay (t )、Az (t ) 是t 的函数，且都是可导的。则 d Ay d Az d A d Ax i j k dt dt dt dt
A、B两矢量的矢积可表示为行列式
i A B Ax Bx
j Ay By
k Az Bz
4、三个矢量的混合积 （1）
Α ( B C ) Ax ( By Cz Bz C y ) Ay ( Bz Cx BxCz ) Az ( BxC y By Cx )
Ax Bx Cx Ay By Cy Az Bz Cz
A B AB cos
i i j j k k 1 i j jk k i 0
A 、B两矢量求标积有
A B ( Ax i Ay j Az k ) (Bx i By j Bz k )
Ax Bx Ay By Az Bz
从标积的定义可以得到标积的如下性质： （1）标积遵守交换律，即
A ( B C ) A (C B) (C B) A ( B C ) A
六. 矢量函数的导数 设在时刻 t，该矢量为 A1 (t ) ，在时刻 t + t，这矢 量为 A2 (t t ) 。那么在t时间间隔内，其增量为 当 t 0 时， A/ t 的极限值为 A d A lim t 0 t dt 矢量函数的导数常用其分量函数的导数来表示
五. 矢量的乘积 1、矢量的数乘 一个数 m和矢量A相乘，得到另一个矢量 mA， 其大小是mA ，如果m>0，mA的方向与A相同；如果 m<0，则mA的方向与A相反。 2、矢量的标积 两矢量相乘得到一个标量的叫标积（或称点乘）. 设A、B为任意两个矢量，它们的夹角为 ，则
A B AB cos
d dA (CA) C dt dt
（3）当f（t）是 t 的可微函数，则
d d A d f (t ) [ f (t ) A(t )] f (t ) A dt dt dt
（4） （5）
d dB dA ( A B) A B dt dt dt
d dB dA ( A B) A B dt dt dt
cos
Ay A
,
Az cos A
运用矢量的坐标表示 式可以使矢量的加减运 算得到简化。
y
C
B
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
o


A

By Ay
Ax
Bx
x
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k