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万有引力定律及引力常量的测定-知识探讨合作与讨论(一)开普勒认为,行星绕太阳转.但我们日常看到的是太阳从东方升起,又落到西方,也就是说,我们看到的现象似乎是太阳绕着地球转,这种现象的原因是___________.我的思路：这是由于相对运动的结果.(二)开普勒第二定律的内容是：对于每一个行星而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积.结合开普勒第一定律,讨论行星在椭圆运动中,在远日点速度最小还是在近日点速度最小.我的思路：因为行星在绕太阳运动时,轨道是椭圆,近日点的行星与太阳的距离小,连线扫过的面积不变,所以近日点速度大.思考过程1.行星运动的三大规律(开普勒三定律)(1)所有的行星分别在不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳处在这些椭圆的一个焦 点上.(2)对每个行星而言,行星和太阳的连线在任意相等的时间内扫过的面积都相等(“面积速度”不变).(3)所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.其表 达式: R 3/T 2=k ,其中R 是椭圆轨道的半长轴,T 是行星绕太阳公转的周期,k 是一个与行星无关的常量.2.万有引力定律(1)万有引力：宇宙间任何有质量的物体之间的相互作用.(2)万有引力定律：宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间的引力大小,跟它们质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比.F =G 2r Mm 式中：G 为万有引力常量G =6.67×10－11 N ·m 2/kg 2,r 为两物体的中心距离,引力是相互的(遵循牛顿第三定律).(3)万有引力定律中的距离r ,其含义是两个质点间的距离.两个物体相距很远,则物体一般可以视为质点.但如果是规则形状的均匀物体相距较近,则应把r 理解为它们的几何中心的距离.例如物体是两个球体,r 就是两个球心间的距离.(4)在质量为M 、半径为R 的地球表面上,如果忽略地球自转的影响,质量为m 的物体的重力加速度g ,可以认为是地球对它的万有引力产生的,由万有引力与牛顿第二定律得: G 2RMm =mg 则该天体的重力加速度为g =2R GM 由此式可知,离地球表面的距离越大,重力加速度越小.3.万有引力常量引力常量G =6.67×10－11 N ·m 2/kg 2的测出使得万有引力定律有了实际的应用价值.例如可以用测定地球表面重力加速度的方法测定地球的质量.正是因此卡文迪许被称作“能称出地球质量的人”.卡文迪许扭秤的最大特点是应用扭转力矩和平面镜等放大措施,正是这些措施才使得常规物体的如此小的万有引力得以测出.例题解析【例1】 据媒体2002年10月7日报道,天文学家在太阳系的九大行星之外又发现了一颗比地球小得多的新的小行星,而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年.若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆,那么它与太阳间的距离是地球与太阳间距离的多少倍？解析：设地球绕太阳公转的轨道半径为r ,周期为t =1年；新行星的半径为R ,周期为T =288年.据开普勒第三定律,对地球和这颗新行星可列出关系式：r 3/t 2=R 3/T 2代入数据可得R /r =43.6倍.点评：开普勒第三定律计算轨道半径和周期等量,简单方便.【例2】 已知地球表面的重力加速度为g ,地球半径为R ,万有引力常量为G ,如果不考虑地球自转的影响,用以上各量表示地球的平均密度是多少？解析：由万有引力定律得：G2R Mm =mg 又因为球体的体积为V =4πR 3/3 所以ρ=π43g . 点评：求天体密度的一般思路是,先求天体质量M ,再根据球体的体积公式V =4πR 3/3求天体的体积(一般把天体看成球体),最后由ρ=M /V 求出天体的密度.规律总结规律：开普勒三定律,万有引力定律.知识：万有引力常量.方法：(1)重力加速度的推导：在质量为M 、半径为R 的地球表面上,如果忽略地球自转的影响,质量为m 的物体的重力加速度g ,可以认为是地球对它的万有引力产生的,由万有引力与牛顿第二定律得:G 2RMm =mg 则该天体的重力加速度为g =2R GM 由此式可知,离地球表面的距离越大,重力加速度越小.(2)万有引力常量的测量过程：英国物理科学家牛顿发现了万有引力定律之后.他就专门设计了好几个实验,想先测出两个物体之间的引力,然后来计算地球的质量.可是,因为一般物体之间的引力非常弱小,牛顿的实验都失败了.牛顿去世后,还有一些科学家继续研究这个问题.其中以卡文迪许的实验最为成功.1750年6月的一天,正在着手进行引力测量的卡文迪许,得到一个好消息：剑桥大学一名叫约翰米歇尔的科学家,在研究磁力的时候,使用了一种很巧妙的方法,测出了力的微小变化.卡文迪许立即赶去向他请教.原来,米歇尔的实验装置是这样的：用一根很细的石英丝把一块条形磁铁横吊起来,然后用另一块磁铁慢慢去吸引它.当磁力开始产生作用的时候,石英丝便会发生偏转,这样,磁引力的大小就可清楚地显示出来了.卡文迪许从中得到启发,也仿照米歇尔的办法,做了一套新的实验装置：用一根石英丝横吊着一根细杆,细杆的两端各安着一个小铅球,另外再用两只大球,分别移近两只小球.卡文迪许想,当大球与小球逐渐接近时,由于引力的作用,那两只吊着的小铅球必定会发生摆动,这样就可以测出引力的大小了.可是,这个实验失败了.卡文迪许陷入了沉思.他想,是不是因为两球之间的引力太小,肉眼观测不出来呢？能不能将它放大,变得明显一些呢？后来,他终于找到一个十分巧妙的办法：在石英丝上安上一面小镜子,把一束光照射在镜面上,镜面又把光线反射到一根刻度尺上.这样,石英丝一旦有一点点极细微的扭动,镜面上的反射光就会在刻度尺上明显地表示出来,扭动被放大了.1798年,他终于测得两球间的引力,求出了“引力常量”的数值,从而算出地球的质量为5.976×1024 kg,相当于60亿亿吨！为了推算地球的质量,卡文迪许几乎耗尽了毕生的精力,前后花了五十年时间.当他求得这个数值的时候,他已经是一个六十七岁的老人了.。
科学研究方法--万有引力常数G 的自由落体法精确测量我们从伽利略的自由落体实验到牛顿自然哲学数学原理的发表，感受微积分带给我们的方向，到经典物理大厦的倒塌，爱因斯坦的相对论的产生，到如今的拓扑学和计算机的出现，这每一次的看似新知识的出现，都出现着新的科学研究方法的变革，认识世界的方法，认识客观世界的基本思维方法。
现在我们真实的感受下科学研究方，我们客观的认识一下研究新事物的一种思维方法。
万有引力常数G 是一个与理论物理、天体物理和地球物理等密切相关的物理学基本常数, 它的精确测量在引力实验乃至整个实验物理学中占据着特殊地位. 尽管两个多世纪以来科学家们为此竭尽全力, 但G 的测量精度仍然是物理学基本常数中最差的. 现在我们认识实验室测量万有引力常数G 。
测G 的困难在过去的200 多年中, 人们在万有引力常数G 的测量过程中付出了极大的努力, 但引力常数G 测量精度的提高却非常缓慢, 几乎是每一个世纪才提高一个数量级. 这一领域的研究进展之所以如此缓慢,其原因是众所周知的. 首先, 万有引力是自然界四种基本相互作用力中最微弱的。
例如, 一个电子与一个质子之间的电磁相互作用约是它们之间的万有引力相互作用的1039倍。
微弱的引力信号极易被其他干扰信号所湮没, 因此在实验中必须克服电磁力、地面振动、温度变化等因素对实验的干扰, 测量必须在一些采取特别措施的实验室进行。
其次, 万有引力是不可屏蔽的, 因此检验质量必然会受到除了实验专门设置的吸引质量以外的其他物体的引力干扰, 比如实验仪器、实验背景质量、实验人员等. 另外, 移动的质量体, 如实验室附近驶过的车辆以及行人都会给实验带来引力扰动. 即使在十分偏僻安静的实验室,云层气压、雨雪等天气的变化等都会干扰测量结果。
第三, 到目前为止, 还没发现G 与任何其他基本常数之间存在确定的联系, 因此不可能用其他基本常数来间接确定G 值, 只能根据牛顿万有引力定律。
万有引力实验方法和原理万有引力实验是用于验证牛顿万有引力定律的实验。
其基本原理是利用物体间的引力相互作用来观察和测量物体的运动轨迹和力的大小。
以下是一个经典的万有引力实验方法和原理的简要说明：
实验方法：
首先，选择两个物体，其中一个物体固定不动，作为重力中心或者作为固定坐标系的参考对象。
接下来，让第二个物体以某种方式自由运动，例如在一个支架上摆动的方式，或者在一个轨道上自由运动的方式。
观察和记录第二个物体的运动情况，如振幅、周期、轨迹等。
基本原理：
牛顿万有引力定律表明，任意两个物体之间的引力与它们之间的质量乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
根据万有引力定律，第一个固定的物体对第二个自由运动的物体产生引力。
这个引力会使得第二个物体发生加速度，并改变其运动状态。
通过观察和测量第二个物体的运动特征，如振动
周期、轨迹的形状等，可以推断这些特征与引力的关系，从而验证万有引力定律的成立。
万有引力定律及引力常量的测定教案一、教学目标：1. 让学生了解万有引力定律的内容及适用范围。
2. 掌握引力常量的测定方法。
3. 能够运用万有引力定律解决实际问题。
二、教学内容：1. 万有引力定律的发现：介绍牛顿发现万有引力定律的过程。
2. 万有引力定律的内容：力的概念、万有引力定律的公式及其含义。
3. 万有引力定律的适用范围：讨论万有引力定律适用的条件。
4. 引力常量的测定：介绍引力常量的测定方法，如卡文迪许实验。
5. 引力常量的数值：给出引力常量的具体数值。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：万有引力定律的内容及其适用范围，引力常量的测定方法。
2. 教学难点：万有引力定律的公式及其含义，引力常量的测定方法。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解万有引力定律的发现、内容、适用范围以及引力常量的测定方法。
2. 使用案例分析法，分析实际问题，巩固万有引力定律的应用。
3. 运用讨论法，引导学生思考万有引力定律的局限性。
五、教学过程：1. 导入：以牛顿发现万有引力定律的故事引入新课。
2. 讲解：详细讲解万有引力定律的内容、适用范围和引力常量的测定方法。
3. 案例分析：给出实例，让学生运用万有引力定律解决问题。
4. 讨论：引导学生思考万有引力定律在实际应用中的局限性。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、案例研究：天体运动与万有引力定律1. 目的：通过分析天体运动的实例，加深对万有引力定律的理解。
2. 内容：讨论地球绕太阳公转、月球绕地球公转等天体运动的规律，并用万有引力定律解释这些现象。
3. 方法：采用观察法、分析法，结合天文学知识，探讨万有引力定律在天体运动中的应用。
七、实验演示：引力常量的测定1. 目的：通过实验演示，让学生亲手操作，加深对引力常量测定方法的理解。
2. 内容：进行卡文迪许实验，测定引力常量的数值。
3. 方法：实验操作法、数据处理法，引导学生观察实验现象，记录数据，并分析结果。
实验简介 测量万有引力常数G的物理意义是极大的。然而在自然界中万有引力非常微小，对于G的测量需要非常精确的方法。1798年卡文迪许（S. H. Cavendish）用扭秤法测量了两个已知质量球体之间的引力，成为精确测量万有引力常数第一人。19世纪，坡印亭（Poynting）和坡依斯(Boys)又对卡文迪许的实验做了重大改进。随着科学技术的发展，现在公认的万有引力常数Ｇ的值为 。
测量引力常数G的意义是极大的。例如，根据牛顿运动定律和万有引力定律可以推算出太阳系中天体的运动情况（与天文观测结果几乎完全一致）；可以根据万有引力定律和卡文迪许实验所算出的G值来确定地球的质量，算出地球的质量和体积，就可以推断出地球内部的物质密度，获得地核性质方面的知识等。
因为G的数值非常微小，所以在地球表面上物体之间的引力很微小，以至于通常可以忽略。因此卡文迪许扭秤法测量万有引力常数G的实验是一个非常精致的实验。时至今日，这个实验的思构思、思想、实验方法仍具有现世的指导意义，并被广泛使用。本实验要求学生：
1. 掌握在扭秤摆动中求平衡位置的方法。 2. 掌握如何通过卡文迪许扭秤法测量万有引力常数。
实验原理
根据牛顿万有引力定律，间距为r, 质量为 m1 和m2 的两球之间的万有引力F方向沿着两球中心连线，大小为
其中G为万有引力常数。 (1)
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2008-3-6file://C:\WINDOWS\Temp\~hh54F4.htm 实验仪器如卡文迪许扭秤法原理图所示。卡文迪许扭秤是一个高精度的仪器，非常灵敏，为保护仪器和防止外界干扰影响实验测量，扭秤被悬挂在一根金属丝上，装在镶有玻璃板的铝框盒内，固定在底座上。
实验时，把两个大球贴近装有扭秤的盒子，扭秤两端的小球受到大球的万有引力作用而移近大球，使悬挂扭秤的悬丝扭转。激光器发射的激光被固定在扭秤上的小镜子反射到远处的光屏上，通过测量光屏上扭秤平衡时光点的位置可以得到对应的扭转角度, 从而计算出万有引力常数 G。
假设开始时扭秤扭转角度，把大球移动贴近盒子放置，大小球之间的万有引力为F，小球受到力偶矩N =2 Fl而扭转，悬挂扭秤的金属丝因扭转产生与力偶矩N相平衡的反向转矩N’= K(/2)，扭秤最终平衡在扭角的位置：
F =G M m / d2 2F l= K( /2)
其中 K是金属悬丝的扭转常数，M是大球的质量，m是小球的质量，d 是大球小球的中心的连线距离，l 是小球中心到扭秤中心的距离。
由转动方程可求得悬丝的扭转常数:通过转动惯量I 和测量扭秤扭转周期T 就可以得到金属丝的扭转系数K
页码，2/12实验简介2008-3-6file://C:\WINDOWS\Temp\~hh54F4.htm 假设小球相对大球是足够轻，那么转动惯量 因此扭转角
当大球转动到相反的对称位置后，新平衡位置是 , 因此平衡时的总扭转角为 通过反射光点在光屏上的位移S可以得到悬丝扭转角度。由于万有引力作用很弱，使得扭秤平衡时扭转角很小，此时可以认为：
，其中D 是光屏到扭秤的距离。 因此万有引力常数 。 万有引力常数G 计算公式的修正： 由卡文迪许扭秤法原理图可知，小球受到大球M1作用F 的同时也受到斜后方另一个大球M2 的作用力 f,考虑f作用时，G 值应修正为
, 其中 。
图2 扭秤的偏移和时间曲线
. (3)页码，3/12实验简介2008-3-6file://C:\WINDOWS\Temp\~hh54F4.htm
实验仪器 卡文迪许扭秤，激光发射器， 光屏，米尺，秒表，电源。
卡文迪许扭秤:
卡文迪许扭秤被放在镶有玻璃板铝盒内，固定在底座上们，内部主体结构见图。
长约16cm的青铜材料悬丝通过连接片与上、下螺杆连接。扭丝转角调整螺母用于调节扭秤平衡中心的位置，上面的刻度可读出平衡点偏离中心角度。
在下螺杆上装有反射激光的镜子盒相距10cm、质量20g的两个小球。仪器的侧面有一个锁紧螺钉，逆时针转动可向上举起扭秤，使悬丝处于松弛休息状态，顺时针松开时扭秤被放下，可以自由转动,通过鼠标双击切换螺钉状态。底座上有放置大球的可旋转支撑架，可使大球靠近或离开小球。需要调节大球的位置时，在大球上单击鼠标左键，支撑支架带动大球一起向左转动，单击鼠标右键则使得向右转动。底座下面装有调整仪器水平的三个调节旋钮。
激光器:
页码，4/12实验简介2008-3-6file://C:\WINDOWS\Temp\~hh54F4.htm 通过鼠标单击“Power”按钮使得激光器打开或者关闭。 秒表：
电子停表的机芯采用电子元件组成，利用石英振荡频率为基准。其显示装置通常有6位液晶显示，计时时分别显示分、秒、百分之秒各位的数值。电子停表通常有“start/stop(启动/停止)”和“Reset(复位)”按钮。“start/stop”按钮具有开始计时、停止计时和累加计时的功能；“Reset”按钮用于将显示的计时复位为0。通过鼠标在按钮位置的单击显示按动按钮的动作。
页码，5/12实验简介2008-3-6file://C:\WINDOWS\Temp\~hh54F4.htm
实验内容
1. 选择主菜单中的“开始实验”选项开始实验。
2. 在开始实验显示的实验场景中，在卡文迪许扭秤位置鼠标左键双击打开扭秤调节窗口，激光器位置双击打开激光器窗口，光屏位置双击打开放大的光屏读数窗口，场景中鼠标右键单击实验窗口弹出选择菜单。
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2008-3-6file://C:\WINDOWS\Temp\~hh54F4.htm选择“实验场景测量”显示实验场景示意图，通过读取鼠标的位置测量两个小球间距 ，反射镜和光屏之间距离D, 贴近盒子的大球中心到对应小球中心之间距离d。
3. 如卡文迪许扭秤法原理图所示，按下列方法调整扭秤位于盒子的中央。
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2008-3-6file://C:\WINDOWS\Temp\~hh54F4.htmz 打开激光器电源：双击电源弹出放大的激光器电源面板。鼠标单击开关打开电源，可以看见激光被镜子反射到远处的光屏上。
z
确定平衡位置C：鼠标双击实验窗口中的卡文迪许扭秤进行调节。
通过右键菜单可打开卡文迪许扭秤顶视图。通过的鼠标调节扭丝转角调节旋钮，可对扭秤初始转角进行粗调。
双击锁紧螺钉使得扭秤下落，并且作最大振幅的扭转振动（撞击玻璃板）。记录此时光点在光屏两端最远点的位置x1, x2 。 Xc = (x1+ x2)/2。
z 确定实际平衡位置C’：当扭秤振动衰减到不接触盒子两边玻璃板后, 按 下图2 曲线记录下光屏两端光点运动的最远点位置.
z 平衡位置Xc’可以按照下面方法计算得到: (Xc’ –x2) / (x1 –Xc’) = (x3 –Xc’) / (Xc’ –x2) 或 Xc’= (x –x1x3) / (2x2 –x1 –x3)
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2008-3-6file://C:\WINDOWS\Temp\~hh54F4.htm如果如果Xc = Xc’,那么扭秤就基本平衡了. 否则需要调整扭角度调整旋钮，直到Xc= Xc’：鼠标右键扭秤窗口弹出菜单，选择扭秤顶视图显示扭秤顶端。通过单击鼠标右键
或者左键旋转“扭角调整”旋钮到合适位置。
4. 测扭秤的固有振动周期T: 将大球放置在支撑架上，支撑架旋转臂垂直于扭秤，此时扭秤受力平衡。双击锁紧螺钉使得扭秤下落，等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，用秒表记录光点连续摆动4个周期所需时间。实验窗口鼠标右键弹出菜单，选择“显示秒表”。
测量万有引力作用下光点的位移S: 5. 在扭秤窗口选择“前视图”，通过在扭秤上大球位置单击鼠标右键或者左键转动大球，使得大球按照卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置贴近盒子。
6. 等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置a1,a2,a3,a4,a5,a6。则光点静止时位置坐标A可由下述平均法计算：
,
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2008-3-6file://C:\WINDOWS\Temp\~hh54F4.htm , 7. 转动大球到反向对称位置（卡文迪许扭秤法原理图中虚线大球的位置），等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置b1,b2,b3,b4,b5,b6。则光点静止时位置坐标B可由上述平均法计算：
8. 在把大球转到卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置，等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置a’1,a’
2,a’3,a’4,a’5,a’6。 求出A’。
由A,B,A’可算出2组位移量: , , 平均值 。 9. 计算万有引力常数G。
实验指导 z 实验重点、难点： 1. 体会卡文迪许扭秤测量万有引力常数实验的设计思想，掌握利用转换法和光学放大原理去测量微小力的方法。
2. 实验中要校正好扭秤的平衡中心，使得整扭秤位于盒子的中央（扭秤反射的光点尽量落在光屏的0点附近），避免给后续测量造成读数困难。
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