高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第72课平行与垂直的综合应用 Word版含解析

随堂巩固训练(72)1. 已知平面α，β都与γ垂直，且α∩β＝l，则直线l与平面γ的关系为垂直.解析：由题意设α∩γ＝m，β∩γ＝n.因为α∩β＝l，所以在l上任取一点P，过点P在平面α内作PA⊥m，过点P在平面β内作PB⊥n.因为α⊥γ，α∩γ＝m，所以PA⊥γ.因为β⊥γ，β∩γ＝n，所以PB⊥γ，所以PA，PB重合，即l，所以l⊥γ.2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为平行.解析：连结AC，BD，交点为F，连结EF，在△BDD1中，E，F分别为DD1，BD的中点，所以EF∥BD1.又因为EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.3. 已知平面α∥平面β，直线m⊂α，则m∥β一定成立，理由为因为平面α∥平面β，所以平面α，β没有公共点.因为直线m⊂α，所以直线m与平面β没有公共点，所以直线m∥平面βＷ.4. 下列命题中正确的是②④.(填序号)①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.解析：平行于同一直线的两个平面平行或相交，故①错误；平行于同一平面的两个平面平行，由平面平行的性质定理，可知②正确；垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故③错误；垂直于同一平面的两直线平行，故④正确.5. 设不同的直线m，n和不同的平面α，β，则下列命题中正确的是②.(填序号)①若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；②若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；③若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；④若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥β.解析：对于①，因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α.又n⊥β，所以α∥β，故①错误；对于②，因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，则α⊥β，故②正确；对于③，根据面面平行的判定定理可知，必须是两条相交直线分别平行，结论才成立，故③错误；对于④，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α.又n⊂β，所以α∥β不一定成立，故④错误.6. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.其中，真命题的序号是②.解析：若m⊂β，α⊥β，则根据空间中线面的位置关系可知，m⊥α或m∥α或m⊂α或m与α相交，故①为假命题；若m∥α，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故②为真命题；若α⊥β，α⊥γ，则根据空间中平面与平面的位置关系可知β∥γ或β与γ相交，故③为假命题；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则根据三棱柱的三个侧面可得α与β相交，根据四棱柱的四个侧面可得α∥β，故④为假命题.7. 已知α，β为两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线不一定与另一平面垂直；若m⊂α，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.8. 过△ABC所在平面α外一点P作PO⊥平面α，垂足为O，连结PA，PB，PC，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心.解析：由题意得，过△ABC所在平面α外一点P作PO⊥平面α，垂足为O，且PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心.9. 已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可由上述条件推出的结论有②④.(填序号)①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.解析：因为α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，所以β与γ相交，但不一定垂直，m与β相交，但不一定垂直，故①③错误；由面面垂直的性质，知l⊥α，故②正确；由面面垂直的判定定理，知α⊥β，故④正确.10. 对于平面α与平面β，有下列条件：①平面α，β都垂直于平面γ；②平面α，β都平行于平面γ；③平面α内不共线的三点到平面β的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥α，m∥β；⑤l，m是异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.则可判定平面α与平面β平行的条件是②⑤.(填序号)解析：对于①，由长方体过同一个顶点的三个侧面，可知垂直于同一个平面的两个平面可能相交，故①不正确；对于②，由两个平面互相平行的定义，可得平行于同一个平面的两个平面互相平行，故②正确；对于③，若平面α内不共线的三点不在平面β的同一侧，则平面α与平面β相交，故③不正确；对于④，若l，m为两条平行线，且l∥α，m∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故④不正确；对于⑤，若l，m是异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α∥β，故⑤正确.11. 如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点.求证：(1) AO⊥CD；(2) 平面AOF⊥平面ACE.解析：(1) 因为△ABE为等边三角形，O是BE的中点，所以AO⊥BE.又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，AO⊂平面ABE，所以AO⊥平面BCDE.因为CD⊂平面BCDE，所以AO⊥CD.(2) 连结BD.因为四边形BCDE为菱形，所以CE⊥BD.因为O，F分别为BE，DE的中点，所以OF∥BD，所以CE⊥OF.由(1)可知，AO⊥平面BCDE，因为CE⊂平面BCDE，所以AO⊥CE.因为AO∩OF＝O，AO，OF⊂平面AOF，所以CE⊥平面AOF.又因为CE⊂平面ACE，所以平面AOF⊥平面ACE.12. 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点.求证：(1) AB∥平面DEG；(2) BD⊥EG.解析：(1) 因为AD∥EF，EF∥BC，所以AD∥BC.又因为BC＝2AD，G是BC的中点，所以AD＝BG，所以四边形ADGB是平行四边形，所以AB∥DG.因为AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，所以AB∥平面DEG.(2) 过点D作DH∥AE，交EF于点H，连结GH，BH.因为EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，所以EF⊥AE，EF⊥BE.又AE⊥EB，EB∩EF＝E，EB，EF⊂平面BCFE，所以AE⊥平面BCFE，所以DH⊥平面BCFE.因为EG⊂平面BCFE，所以DH⊥EG.因为AD∥EF，DH∥AE，所以四边形AEHD是平行四边形，所以EH＝AD＝2.又EH∥BG，EH⊥BE，EH＝BE＝BG＝2，所以四边形BGHE为正方形，所以BH⊥EG.又BH∩DH＝H，BH，DH⊂平面BHD，所以EG⊥平面BHD.因为BD⊂平面BHD，所以BD⊥EG.13. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝PD，PA⊥AB，N是棱AD 的中点.(1) 求证：平面PAB⊥平面PAD；(2) 求证：PN⊥平面ABCD；(3) 在棱BC上是否存在动点E，使得BN∥平面DEP？并说明理由.解析：(1) 在矩形ABCD中，AB⊥AD.又因为AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2) 在△PAD中，PA＝PD，N是AD的中点，所以PN⊥AD.由(1)知AB⊥平面PAD，PN⊂平面PAD，所以AB⊥PN.又因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD.(3) 在棱BC上存在点E，使得BN∥平面DEP，此时E为BC的中点.理由如下：假设存在点E，使得BN∥平面DEP.因为BN⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PDE＝DE，所以BN∥DE.因为N是AD的中点，所以E为BC的中点，故假设成立，且E为BC的中点.总结：解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论；第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步；反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒：(1) 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2) 这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.。

∴EF∥平面PAD， ∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF， ∴平面BEF∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形， ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD， ∵E和F分别是CD和PC的中点， ∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF， ∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
所以A1C⊥BC，A1C⊥AC， 在Rt△ABC与Rt△A1BC中， 因为A1B＝AB，BC＝BC， 所以Rt△ABC≌Rt△A1BC， 所以A1C＝AC. 设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x， 所以 O 为 CC1 中点，OC1＝12AA1＝1，
又因为A1C⊥AC， 所以 A1C2＋AC2＝AA21， 即 x2＋x2＝22，解得 x＝ 2， 所以 A1O＝ A1C21－OC21＝ 22－12＝1， 所以四棱锥A1－BB1C1C的高为1.
知识梳理 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作 垂直于棱l 的射线OA和OB，则射线OA 和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围： [0，π] .
(2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P 所成角的余弦值；
过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E，如图， 则PE∥AA1， ∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角. 在Rt△AA1D1中， ∵∠AD1A1＝60°， ∴∠A1AD1＝30°， ∴A1B1＝A1D1＝12AD1＝2，

(3) 设 直 线 l 的 方 向 向 量 为 ν ， 平 面 α 的 法 向 量 为 u ， 则 l∥α 或 l α
⇔ ν⊥u 。
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β ⇔
u1∥u。2
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1) 设 直 线 l1 和 l2 的 方 向 向 量 分 别 为 ν1 和 ν2 ， 则 l1⊥l2⇔__ν1_⊥__ν2____⇔__ν1_·_ν2_＝__0 ____。
②异面直线的夹角：当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A 作AB∥l2，我们把 直线l1和直线AB 的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角。
设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1 与 l2 的夹角 θ
s1 与 s2 的夹角〈s1，s2〉
范围 求法 关系
__0_<__θ_≤__π2 ____ cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|
已知平面 π1 和 π2 的法向量分别为 n1 和 n2， 当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面 π1 与 π2 的夹角等于_〈__n_1_，__n_2〉__；
当π2<〈n1，n2〉≤π 时，平面 π1 与 π2 的夹角等于_π_－__〈__n__1，__n__2_〉___。
5．距离的计算 (1)点到直线的距离 空间一点A到直线l的距离的算法框图如图：
(2)平行直线间的距离 求平行直线间的距离通常转化为求 点到直线的距离 。 (3)点到平面的距离 空间一点A到平面π的距离的算法框图如图：
基础自测
[判一判] (1)直线的方向向量是唯一确定的。( × ) 解析 错误。直线的方向向量有无穷多个，不是唯一确定的。 (2) 两 不 重 合 直 线 l1 和 l2 的 方 向 向 量 分 别 为 ν1 ＝ (1,0 ， － 1) ， ν2 ＝ ( － 2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行。( √ ) 解析 正确。因为ν2＝－2ν1，所以ν1与ν2共线，所以l1与l2的位置关系 是平行。

[考纲传真] １．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.２．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．１．直线与平面垂直（１）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直．（２）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直错误!⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行错误!⇒a∥b（１）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．（２）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（３）范围：[0，π]．３．平面与平面垂直（１）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（２）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直错误!⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面错误!⇒l⊥α１．直线与平面垂直的五个结论（１）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.（２）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（３）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．（５）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．２．三种垂直关系的转化[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. （）（２）垂直于同一个平面的两平面平行．（）（３）直线a⊥α，b⊥α，则a∥Ｂ．（）（４）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. （）[答案] （１）×（２）×（３）√（４）×２．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件A[l⊥α⇒l⊥m，l⊥n；反之，不一定成立，因为m，n不一定相交，故选Ａ．]３．（教材改编）下列命题中不正确的是（）Ａ．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βＢ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βＣ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βＤ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γA[A错误，l与β可能平行或相交，其余选项均正确．]４．（教材改编）如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．４[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PＣ．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]５．（教材改编）在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.（１）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；（２）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．（１）外（２）垂[（１）如图，∵PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，在R t△POA中，OA２＝PA２—PO２，同理OB２＝PB２—PO２，OC２＝PC２—PO２.又PA＝PB＝PC，故OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．（２）由PA⊥PB，PA⊥PC可知PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，又PO⊥BC，∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC，同理BO⊥AC，CO⊥AB．故O是△ABC的垂心．]直线与平面垂直的判定与性质【例１】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：（１）CD⊥AE；（２）PD⊥平面ABE.[证明] （１）在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CＤ．又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴CD⊥平面PAＣ．而AE平面PAC，∴CD⊥AE.（２）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PＡ．∵E是PC的中点，∴AE⊥PＣ．由（１）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AＢ．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PＤ．又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE，∴PD⊥平面ABE.[规律方法] 证明直线和平面垂直的常用方法（１）利用判定定理．（２）利用判定定理的推论（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）．（３）利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）．（４）利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．（５）重视平面几何知识，特别是勾股定理的应用．点C为圆O上一点，且BC＝错误!AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB．求证：PA⊥CD．[证明] 因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在R t△ACB中，由错误!AC＝BC，得∠ABC＝３0°.设AD＝１，由３AD＝DB，得DB＝３，BC＝２错误!，由余弦定理得CD２＝DB２＋BC２—２DB·BC cos ３0°＝３，所以CD２＋DB２＝BC２，即CD⊥AＢ．因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD．平面与平面垂直的判定与性质【例２】（２0１8·北京高考节选）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E 是AD的中点．求证：（１）PE⊥BC；（２）平面PAB⊥平面PCD．[证明] （１）∵PA＝PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD．又ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴PE⊥BＣ．（２）因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD．又PA⊥PD，所以PD⊥平面PAＢ．又PD平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD．[规律方法] １．判定面面垂直的方法（１）面面垂直的定义；（２）面面垂直的判定定理（a⊥β，aα⇒α⊥β）．２．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（１）证明：平面AEC⊥平面BED；（２）若∠ABC＝１２0°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为错误!，求该三棱锥的侧面积．[解] （１）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED．又AC平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED．（２）设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝１２0°，可得AG＝GC＝错误!x，GB＝GD＝错误!.因为AE⊥EC，所以在R t△AEC中，可得EG＝错误!x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝错误!x.由已知得，三棱锥E­ACD的体积V E­ACD＝错误!×错误!AC·GD·BE＝错误!x３＝错误!，故x＝２．从而可得AE＝EC＝ED＝错误!.所以△EAC的面积为３，△EAD的面积与△ECD的面积均为错误!.故三棱锥E­ACD的侧面积为３＋２错误!.平行与垂直的综合问题【例３】如图１，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝２CD，DE⊥AB，沿DE将△AED 折起到△A１ED的位置，连接A１B，A１C，M，N分别为A１C，BE的中点，如图２．图１图２（１）求证：DE⊥A１B；（２）求证：MN∥平面A１ED；（３）在棱A１B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A１BC？若存在，求出错误!的值；若不存在，说明理由．[解] （１）证明：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝２CD，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A１ED的位置，∴DE⊥A１E，DE⊥BE，∵A１E∩BE＝E，∴DE⊥平面A１BE，∵A１B平面A１BE，∴DE⊥A１Ｂ．（２）证明：取CD中点F，连接NF，MF，∵M，N分别为A１C，BE的中点，∴MF∥A１D，NF∥DE，又DE∩A１D＝D，NF∩MF＝F，DE平面A１DE，A１D平面A１DE，NF平面MNF，MF平面MNF.∴平面A１DE∥平面MNF，∴MN∥平面A１ED．（３）取A １B的中点G，连接EG，∵A１E＝BE，∴EG⊥A１B，由（１）知DE⊥平面A１BE，∵DE∥BC，∴BC⊥平面A１BE，∴EG⊥BC，又A１B∩BC＝B，∴EG⊥平面A１BＣ．故棱A１B上存在中点G，使得EG⊥平面A１BC，此时错误!＝１．[规律方法] 证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．点D），延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A１­BCD，如图２所示．V 图１图２（１）若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A１EF；（２）求证：BD⊥A１F；（３）若平面A１BD⊥平面BCD，试判断直线A１B与直线CD能否垂直？请说明理由．[解] （１）证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF.又EF平面A１EF，DM平面A１EF，所以DM∥平面A１EF.（２）证明：因为A１E⊥BD，EF⊥BD，且A１E∩EF＝E，所以BD⊥平面A１EF.又A１F平面A１EF，故BD⊥A１F.（３）A１B与CD不能垂直．因为平面A１BD⊥平面BCD，平面A１BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF平面BCD，∴EF⊥平面A１BD．∴EF⊥A１B，又EF∥DM，∴A１B⊥DM.若A１B⊥CD，则A１B⊥平面BCＤ．所以A１B⊥BD，这与∠A１BD为锐角矛盾．所以A１B与CD不能垂直．１如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.２如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.３如果α∥β，mα，那么m∥β.４如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）２３４[根据相关知识，对四个命题逐个判断．对于１，α，β可以平行，可以相交也可以垂直，故错误．对于２，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于３，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于４，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）如图，边长为２的正方形ABCD所在的平面与半圆弧错误!所在平面垂直，M是错误!上异于C，D的点．（１）证明：平面AMD⊥平面BMC；（２）当三棱锥M­ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．[解] （１）证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因为M为错误!上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMＣ．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMＣ．（２）以D为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.当三棱锥M­ABC体积最大时，M为错误!的中点．由题设得D（0,0,0），A（２,0,0），B（２,２,0），C（0,２,0），M（0,１,１），错误!＝（—２,１,１），错误!＝（0,２,0），错误!＝（２,0,0）．设n＝（x，y，z）是平面MAB的法向量，则错误!即错误!可取n＝（１,0,２）．错误!是平面MCD的法向量，因此cos〈n，错误!〉＝错误!＝错误!，sin〈n，错误!〉＝错误!.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是错误!.。