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解惑：同学们在研究空间几何体的外接球与内切球时，常常因缺乏空间想象能力而感到束手无策.事实上，有时无需画出球体，只需找出球心和半径即可，或者画出球的大圆转化为平面几何问题.本文举几个简单的例子，希望给同学们一些帮助。
一、外接球
在考查几何体的外接球时，常常以正方体、长方体、三棱锥为基本模型。
二、内切球
空间几何体的内切球问题，常常转化为球心到平面的距离为球的半径解答。
在高考中，对空间几何体的考查常常与球结合，以几何体的外接球和内切球为载体，考查几何体的三视图，柱、锥、台、球的体积与表面积的计算，考查考生的空间想象能力.有时采用割补法或转化为平面几何问题解答，也可能与正、余弦定理、基本不等式等知识相结合进行考查。
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。
1. 求立方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。
2. 求正方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。
3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。
4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。
5. 求球的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。
6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。
7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。
8. 求四面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。
9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。
10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。
以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。
希望能对你有所帮助。
内切球与外接球半径求法思路破解（方法汇总） 先砍10刀试试！1. 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若球的体积为92π，则正方体的棱长为____。
2. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为___3. 已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为___4. 若所有侧棱长均为1的正四面体的内切球与外接球半径分别为.r R ，求它们的比值为___5. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，时，其高的值为_____6. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为___7. 一个三棱柱的底面为正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面都相切，那么这个三棱柱的表面积为___8. 在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π,则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积_____________。
9. 正四棱锥S ABCD -点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .10. 正四棱锥O ABCD -的体积2，则以O 为球心，为OA 半径的球的表面积___如果上述10道题你做的很不顺畅，那么下边的这些总结，可要收好了！有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。
我们就这部分问题，尽量总结全面。
1．内切球和外接球的基本定义;立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。
基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。
立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。
基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。
2.长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2222c b a R ++=3.正方体的外接球：正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。
外接球和内切球问题总结归纳外接球和内切球问题总结归纳在几何学中，外接球和内切球问题是一个重要的概念。
它们不仅在数学领域有着重要的应用，同时也被广泛运用在物理学、工程学以及计算机科学等领域。
本文将对外接球和内切球问题进行深入探讨，从基础概念到应用实例，帮助读者全面理解这一主题。
一、外接球和内切球的定义1. 外接球外接球是指一个球与给定的多边形的所有顶点相切于球面的情况。
在数学中，外接球常常与三角形、四边形等几何图形相关联，其特点是与多边形的各个顶点相切，并且球心通常位于多边形的某个重要位置。
2. 内切球内切球则是指一个球完全被给定的多边形所包围，且球与多边形的边界相切。
在实际应用中，内切球往往能够最大化地利用多边形所包围的空间，因此在工程设计和优化问题中具有重要意义。
二、外接球和内切球的性质1. 外接球的性质外接球的半径通常与多边形的边或者角有着特定的关系。
以三角形为例，外接圆的半径等于三角形三条边的乘积除以其周长的两倍。
这一性质在计算三角形的外接圆时具有重要意义，同时也为几何问题的解决提供了基础。
2. 内切球的性质内切球的半径与多边形的边界有着紧密的联系。
以正方形为例，内切圆的半径等于正方形的边长的一半。
这一性质在优化问题中有着重要的应用，能够帮助设计者最大化地利用空间，提高效率和节约成本。
三、外接球和内切球的应用1. 工程设计外接球和内切球在工程设计中有着广泛的应用。
例如在建筑设计中，内切球可以帮助设计者合理利用建筑空间，提高使用效率；在机械设计中，外接球则可以帮助设计者确定零部件的匹配度和适用性。
2. 计算机科学外接球和内切球也在计算机科学领域有着重要的应用。
例如在计算机图形学中，外接球和内切球经常被用来描述物体的外形和几何特征，同时也可以用于物体的碰撞检测和三维建模。
个人观点和总结外接球和内切球作为一个基础的数学概念，在几何学、工程学和计算机科学等领域有着重要的应用。
通过对外接球和内切球的定义、性质和应用进行深入探讨，我们可以更好地理解其在实际问题中的作用和意义，进一步拓展其在更多领域的应用。
八个超强模型——彻底解决立体几何的外接球和内切球问题摘要本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。
每个模型都具有独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题，为立体几何的研究提供了有力的工具和方法。
引言在立体几何中，外接球和内切球问题是非常常见的问题。
求解这些问题通常需要借助一些数学模型和方法。
本文介绍了八个超强模型，这些模型在解决外接球和内切球问题方面表现出色。
模型一：球心法线模型该模型基于球的法线方程，通过求解法线方程的交点来得到球心坐标。
利用该模型可以快速准确地求解外接球和内切球的球心坐标。
模型二：点坐标向量模型该模型利用点的坐标向量来表示球心坐标，通过计算坐标向量的运算得到球心坐标。
该模型适用于各种类型的球体，求解效果良好。
模型三：坐标平移模型该模型基于坐标平移的概念，通过平移球心坐标来求解外接球和内切球的球心坐标。
该模型简单易懂，适用于多种立体几何结构。
模型四：线段接触模型该模型利用线段的接触点来求解外接球和内切球的球心坐标。
通过求解线段接触点的几何关系，可以得到球心坐标。
该模型适用于特定的立体几何结构。
模型五：平面交线模型该模型基于平面交线的概念，通过求解平面交线的方程来得到球心坐标。
该模型对于立体几何结构较复杂的情况下求解效果较好。
模型六：圆心半径模型该模型通过求解球的圆心和半径来得到球心坐标。
该模型适用于已知球的圆心和半径的情况下求解。
模型七：曲线拟合模型该模型通过对曲线进行拟合来得到球心坐标。
该模型适用于曲线较为复杂的情况下求解。
模型八：图像处理模型该模型利用图像处理的方法来得到球心坐标。
通过处理球体的图像，可以得到球心坐标。
该模型适用于图像处理技术较为成熟的情况下求解。
结论本文介绍了八个超强模型，这些模型可以用来彻底解决立体几何中的外接球和内切球问题。
每个模型都有其独特的特点和优势，能够有效地求解球的外接和内切问题。
这些模型为立体几何的研究提供了有力的工具和方法，有助于推动该领域的发展。
正方体的外接球与内切球问题简介
本文讨论正方体的外接球与内切球问题。
外接球问题
正方体的外接球是指一个球，它能够刚好与正方体的每个顶点接触，并且球心在正方体外部。
解决正方体的外接球问题可以采用以下步骤：
1. 首先找到正方体的对角线长度，记为d。
2. 外接球的直径等于正方体的对角线长度，即2d。
3. 外接球的半径等于直径的一半，即d。
因此，正方体的外接球的半径等于对角线长度的一半。
内切球问题
正方体的内切球是指一个球，它能够刚好与正方体的每个面接触，并且球心在正方体内部。
解决正方体的内切球问题可以采用以下步骤：
1. 首先找到正方体的边长，记为a。
2. 内切球的直径等于正方体的边长，即a。
3. 内切球的半径等于直径的一半，即a/2。
因此，正方体的内切球的半径等于边长的一半。
总结
通过上述讨论，我们得出了正方体的外接球和内切球的半径计算方法。
这些结果可以在几何学和物理学中得到应用。
希望本文能够帮助您理解正方体的外接球与内切球问题。
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以上为回答内容, 仅供参考。
2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题一、基础知识与概念：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆.大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大） ；小圆：截面不过球心.球心和截面圆心的连线垂直于截面. 2 2 2 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：R =d +r .几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切. 二、多面体的外接球（球包体）模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）1. 2. 3. 4. 球 包 直 柱球包正方体球 包 直 锥球包长方体球包四棱柱球包三棱柱球径公式：R =」（m +r 2杠2丿 （r 为底面外接圆半径）模型2: “顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥球径计算方程：（h -R ）2 +r 2 = R 2 =h 2-2hR + r 2=0二 R =42h（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地， （1） 边长为a 正四面体的外接球半径：（2） 底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径： R =（3） 底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径： R =例：1. （2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为兀 C. 2—二....... X y :r = ------- CJr = ------3■沁-2/工4买£ f"'I ™得*”心,V= R =A=5，所以球的体积—4 3三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上.两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心.例2: 1•已知边长为2J 3的棱形ABCD 中，N =60。
立体几何外接球及内切球问题一、球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 例 1： 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ） A ．B ．C ． D1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3球与正棱柱：①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ； 如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心。
根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R 。
立体几何中内切球和外接球问题题目：探索立体几何中的内切球和外接球问题在立体几何中，内切球和外接球问题是一个引人深思的话题。
通过对这个主题的深入探讨，我们可以更好地理解立体几何的原理和性质。
本文将围绕内切球和外接球问题展开讨论，从基本概念到数学推导，深入剖析这一有趣而重要的话题。
1. 内切球和外接球的定义在立体几何中，内切球和外接球分别是指一个球体在一个立体图形内部与其接触，以及一个球体在一个立体图形外部与其接触。
这两个概念可以应用在各种几何图形中，如圆柱体、圆锥体甚至更为复杂的多面体。
内切球和外接球不仅在几何形状中具有重要意义，还在工程学、艺术设计等领域有着广泛的应用价值。
2. 内切球和外接球的性质内切球和外接球在几何中具有许多有趣的性质。
内切球和外接球的半径之比有一定的规律，可以通过数学推导得出。
内切球和外接球的位置关系也有一定的特点，可以通过几何推理进行证明。
这些性质的深入理解有助于我们更好地应用立体几何知识解决实际问题。
3. 内切球和外接球的数学推导从数学角度来看，内切球和外接球问题涉及到许多重要的数学定理和方法。
通过数学推导，我们可以得到内切球和外接球的半径之比、位置关系等具体数学表达式。
这些推导过程需要运用到圆、球体的性质，以及立体几何的相关知识，是一个不可或缺的数学推理过程。
4. 个人观点和理解在我看来，内切球和外接球问题是立体几何中的一个精彩而复杂的主题。
通过对这个问题的探讨，我深刻地感受到数学的美妙和奥妙。
数学不仅是一门实用的科学，更是一个充满乐趣和挑战的学科。
通过不断地学习和探索，我们可以更好地理解立体几何的原理和应用，为我们的工程、设计和科学研究提供有力的支持。
内切球和外接球问题是立体几何中的一个重要而有趣的话题。
通过深入探讨这个主题，我们可以更好地理解立体几何的原理和应用，为我们的学习和工作带来更多的乐趣和启发。
希望本文的内容能够对您有所帮助，也希望您能够对立体几何有着更深入的理解和探索。
高中数学立体几何中的外接球与内切球问题
在高中数学的立体几何中，外接球与内切球问题是一个重要的探讨点。
这个问
题涉及到如何在一个给定的立体图形中，找到一个外切于该图形的球和一个内切于该图形的球。
首先，让我们来看外接球问题。
在立体几何中，给定一个多面体，如正方体或
正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好外接于该多面体的每一个面上。
所谓外接，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的外接圆心。
以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的外
接圆心恰好位于该正方形的中心点。
因此，我们可以得出结论：正方体的外接球的圆心与该正方体的每个面的外接圆心重合。
接下来，让我们来看内切球问题。
在立体几何中，给定一个多面体，如正方体
或正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好内切于该多面体的每一个面上。
所谓内切，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的内切圆心。
以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的内
切圆心恰好位于该正方形的中心点。
因此，我们可以得出结论：正方体的内切球的圆心与该正方体的每个面的内切圆心重合。
总结起来，对于任何一个给定的多面体，我们可以找到一个外接球和一个内切球。
外接球的圆心与每个面的外接圆心重合，而内切球的圆心与每个面的内切圆心重合。
这个问题在高中数学的立体几何中十分重要，理解了外接球和内切球的性质，可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。
2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与切球问题一、基础知识与概念：1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面．3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+．4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的切球：球与几何体的各个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体）模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球包 直柱球径公式：222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， （r 为底面外接圆半径）球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱球包直锥三棱锥四棱锥r速算模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥球径计算方程：()222h R r R -+=2222202h r h hR r R h+⇒-+=⇒=，（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地，（1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =______________．（2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =__________． （3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =__________．例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．B ．C ．D ．【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1h =，1R =，底面半径为r ，则由222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得：222213124r r ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭，234V r h ππ==．2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．B ．C ．D ．【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，h a =，33r a =，222222724312h a a a R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 所以该球的表面积2227744123a a S R ππ==⨯=．答案B ． 3．（2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A ．B ．C ．D ．【解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥”，4h =，2222r ==，则221629284h r R h ++===， 所以2818144164S R πππ==⨯=，答案：A ． 4．（2013年全国卷I 第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π【解析】设水面与球的接触点（切点）为P ，球心为O ，则PO 垂直于正方体的上表面，依题意P 到正方体上表面的距离为2h =，球与正方体上表面相交圆的半径4r =，有：()2222R r R -+=，2454r R +⇒==，所以球的体积3450033V R ππ==． 三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上．π34π2π4πa 2a π273a π2113a π25a π814π16π9π274π两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心．例2：1．已知边长为23的棱形ABCD 中，60∠=︒，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120︒，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π2．在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为___________．3．在边长为1的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线将菱形折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为_____________． 四、正多面体的切球（体中球）锥体的切球：R =____________．圆锥的切球：R =边长为a 的正方体： 2aR =等边圆柱（母线a ）： R =2a ． 边长a 的正八面体：R =五、正多面体的“切边球”（与所有的棱都相切的球）正四面体边长为a ，球半径R =正方体边长为a ，球半径R =正四面体边长为a ，球半径R =例3：1．一个球的外切正方体的全面积为6，则球的体积为_________．2．某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的切球的表面积为_______．3．（2016年全国卷III 第10题）在封闭的直三棱柱有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是A ．B ．C ．D ．【解析】考查直三棱柱中截面的切圆为球的大圆的情景，有()13681068222AA R R ++=⨯⇒=>=，故当球半径为111ABC A B C -4π92π6π323π32时球的体积最大为344273382V R πππ9==⨯=．答案B ． 练习：1．（2015年全国卷II 第9题）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为A ．B ．C ．D ． 2．（2016年市5月质检）三棱锥S ABC -中，SB ⊥平面ABC ，5SB =，ABC ∆是边长为3的正三角形，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．5πC ．9πD ．12π 3．（2014年卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2013年卷理10）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）A ．3172B ．210C ．132D ．3105．（2012年全国新课标卷第11题）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A ．B ．C ．D ．6．在正三棱锥P ABC -中，3PA PB PC ===，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．πB ．3πC ．4πD ．43π7．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．323πB ．4πC ．2πD ．43π8．（2017年省质检）．空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且,EF AB EF CD ⊥⊥，若8,4AB CD EF ===，则该球的半径等于A ．65216B ．6528C ．652D ．659．若三棱锥P ABC -的最长的棱2PA =，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是__________．10．（2008年高考卷理14）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3DA AB BC ===，则球O 的体积为____________．A B O 90AOB ∠=︒C O ABC -O 36π64π144π256πS ABC -O ABC ∆1SC O 2SC =2636232211．（2016年东北三省三校联考）三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，120ACB ∠=︒，23CA CB ==，14AA =，则这个球的表面积为____________．12．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，且三棱柱111ABC A B C -的体积为3，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为_________．13．在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是____________．14．在三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，5AD BC ==，7AC BD ==，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为__________．15．（2017年卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．16．（2017年卷）如图，在圆柱12O O 有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是_____________．。
