石家庄二南自主招生数学试题

第一套：满分120分2020-2021年石家庄市第二中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。

2020年河北省石家庄市二中南校区小升初数学试卷一、选择题（共8分）（共8题；共8分）1．（1分）1235×6788与1234×6789的差值是（）A．5444B．5454C．5544D．55542．（1分）已知甲的12%为13，乙的13%为14，丙的14%为15，丁的15%为16，则甲、乙、丙、丁四个数中最大的数是（）。

A．甲B．乙C．丙D．丁3．（1分）某市一条大街长7200米，从起点到终点共设有9个车站，那么每两个车站之间的平均距离是（）A．780米B．800米C．850米D．900米4．（1分）飞行员前4分钟用半速飞行，后4分钟用全速飞行，在8分钟内一共飞行了72千米，则飞机全速飞行的时速是（）A．360千米B．540千米C．720千米D．840千米5．（1分）某单位召开一次会议，会期10天。

后来由于议程增加，会期延长3天，费用超过了预算．仅食宿费用一项就超过预算20%，用了6000元。

已知食宿费用预算占总预算的25%，那么总预算费用是（）A．18000元B．20000元C．25000元D．30000元6．（1分）一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元，那么原价是（）A．490元B．500元C．520元D．560元7．（1分）一个游泳池，甲管放满水需6小时，甲、乙两管同时放水，放满水需4小时。

如果只用乙管放水，则放满水需（）A．8小时B．10小时C．12小时D．14小时8．（1分）甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要（）A．60天B．180天C．540天D．1620天二、填空题（共18分）（共5题；共18分）9．（3分）一个三角形三个内角和的度数比是2：3：5，这是三角形．10．（3分）一种盐水，盐的含量占盐水的．这种盐水含水90千克，含盐千克．11．（3分）若是最简真分数，是假分数，则x定等于．12．（3分）一圆形水池，直径为30米，沿着池边每隔5米栽一棵树，最多能栽棵．13．（3分）妈妈买8只茶杯，付了100元，找回m元，一只茶杯元．三、计算和解方程（共32分）（共4题；共32分）14．（6分）计算.（1）437+399（2）×67+33×（3）÷[÷（+）]（4）46×8﹣120÷15（5）+（﹣）×（6）（12.5×8﹣40）÷0.615．（9分）解方程.（1）x﹣x＝（2）42：＝x：（3）3x÷0.5＝1.5（4）17+x＝3016．（9分）求下面各图形的面积．（单位：分米）17．（8分）计算下面图形的表面积和体积.四、解决生活问题（共5题；共42分）18．（8分）水泥厂仓库里有水泥600吨，甲车队一次可以运走总数的12%，乙车队一次可运走总数的20%，如果让两个车队一起来运，一次共运走多少吨水泥？19．（8分）修一条公路，甲队修了全长的，乙队和丙队修路的比是3：5，已知甲队比乙队多修24米，这条公路全长多少米？20．（8分）某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，其中一件盈利20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？21．（8分）有一个两位数，如果用它去除以个位数字，商为9余数为6，如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和，则商为5余数为3，求这个两位数．22．（10分）一位科技发明家被约到科学会堂做报告，科技站通知发明家在某时刻等候汽车接他，这位发明家想到还有一件事要办理，不等小汽车来就提前出门了，沿着来接他的小汽车行驶路线走，行了30分钟，正好遇到来接他的小汽车，然后乘车往科学会堂，结果比约定的时刻提前10分钟到达，问：（1）这位科技发明者比约定时刻提前多少分钟出门？（2）小汽车的速度是这位科技发明者步行速度的多少倍？2020年河北省石家庄市二中南校区小升初数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8分）（共8题；共8分）1．（1分）1235×6788与1234×6789的差值是（）A．5444B．5454C．5544D．5554【分析】把1235看成1234+1，6789看成6788+1，然后再根据乘法分配律进行简算即可。

2018年石家庄二中南小升初入学考试数学试卷一．判断题（正确打上“√”，错误打上“×”，每小题2分，共12分）1．长方形有4条对称轴．．（判断对错）2．有一个角是40°的等腰三角形，它的另两个角是40°、100°．．（判断对错）3．两个数的乘积是1，这两个数一定互为倒数．．（判断对错）4．中国北京获得了2008年奥运会的主办权，这一年有366天．．（判断对错）5．小龙制作零件，今天比昨天多做2％，则昨天比今天少做2％．．（判断对错）6．一个自然数不是质数就是合数．．（判断对错）二．填空题（每小题3分，共30分）7．等底等高的三角形与平行四边形的面积之比是．8．因为A：5=7：B所以A和B成比例．9．在比例尺1：4500000的地图上，量得甲乙两地的距离为2厘米，实际距离约为千米．10．除数是57，被除数与商的差是14，被除数是．11．大、小两个圆的半径分别是5厘米和3厘米，大小两个圆的面积的比是．12．一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是．13．将一个底面积为6平方分米高为12分米的圆柱体木料削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体的体积是．14．钟面上6：15，时针与分针的最小夹角是度．15．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y=2x﹣10来表示（y 表示码数，x表示厘米数）．小明新买了一双37码的凉鞋，鞋底长厘米．三．计算（写出过程，每小题6分，共18分）16．（1）3.6÷0.4+1.3×5（2）6.8÷4-1.2×25%+4×0.2517.110119901177211556113421113019201712156131+++++++++四．列式计算（每小题8分，共40分）18．列式计算：8比x 的25%多0.4，求x ．19．龙门学校食堂五月份烧煤9.3吨，六月份烧煤9吨，两个月平均每天烧煤多少吨？20．小鱼和小龙都积攒了一些零用钱．他们所攒钱的比是5：3，在“支援灾区”捐款活动中小鱼捐26元，小龙捐10元，这时他们剩下的钱数相等．小鱼原来有多少钱？21．客车由甲城开往乙城要10小时，货车由乙城开往甲城要15小时，两车同时从两城相向开出，相遇时客车比货车多行80千米，甲乙两城之间的公路长多少千米？22．希望小学要买60个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可选择．三个商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠办法不同：甲店：满十送二，即买10个足球赠送2个，不足10个不赠送；乙店：每个足球降价20%出售；丙店：购物满200元，返还现金30元．到这三个商店买足球分别需要多少钱？为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买？2018年石家庄二中南小升初入学考试数学试卷参考答案与试题解析一．判断题（正确打上“√”，错误打上“×”，每小题2分，共12分）1．长方形有4条对称轴．错误．（判断对错）【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行解答．【解答】解：因为长方形分别沿长和宽的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则长方形是轴对称图形，长和宽的中线所在的直线就是对称轴，所以长方形有2条对称轴；故答案为：错误．2．有一个角是40°的等腰三角形，它的另两个角是40°、100°．．（判断对错）【分析】已知给出了一个内角是40°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，即40度角是顶角和底角两种情况分析即可．【解答】解：（1）当这个角是顶角时，则它的另外两个角的度数都是：（180°-40°）÷2=70°；（2）当这个角是底角时，则它的另外两个角的度数是：40°和180°-40°-40°=100°；故答案为：错误.3．两个数的乘积是1，这两个数一定互为倒数．√．（判断对错）【分析】根据倒数的定义进行判断即可．【解答】解：由倒数的定义可知，两个数乘积是1的数互为倒数；所以乘积是1的两个数互为倒数是正确的．故答案是：√．4．中国北京获得了2008年奥运会的主办权，这一年有366天．√．【分析】判断出2008年是闰年还是平年，闰年有366天，平年有365天．【解答】解：2008÷4=502；没有余数，所以2008年是闰年，全年有366天．故答案为：√．5．小龙制作零件，今天比昨天多做2％，则昨天比今天少做2％．．（判断对错）【分析】计算百分数，单位1不同，所以得到的百分数也不相同．【解答】解：把昨天看作单位1，由题意可得今天为102%，则昨天比今天少的百分数应为：2%÷102%≈4%．故答案为：错误．6．一个自然数不是质数就是合数．×．【分析】根据质数、合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．1既不是质数也不是合数．由此解答．【解答】解：自然数根据因数个数的多少可以分为：质数、合数和1三类．因此，一个自然数不是质数就是合数．此说法错误．故答案为：×．二．填空题（每小题3分，共30分）7．等底等高的三角形与平行四边形的面积之比是1：2．【分析】根据三角形的面积是与它等底等高平行四边形的面积的，把等底等高平行四边形的面积看做1份，三角形的面积就相当于份，进而写比并化简即可．【解答】解：：1=1：2；故答案为1：2．8．因为A：5=7：B所以A和B成反比例．【分析】因为A：5=7：B，根据比例的基本性质，可将比例改写成AB=35，35是一个常数，也就是说A和B的乘积一定，所以A和B成反比例．【解答】解：因为A：5=7：B，所以AB=35，35是一个常数，也就是说A和B的乘积一定，所以A和B成反比例；故答案为：反．9．在比例尺1：4500000的地图上，量得甲乙两地的距离为2厘米，甲乙两地的实际距离约为90千米．【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求出嘉兴到上海的实际距离．【解答】解：2÷，=9000000（厘米）=90（千米）；答：甲乙两地实际距离是90千米．故答案为：90．10．除数是57，被除数与商的差是14，被除数是14.25．【分析】根据除数是57，被除数与商的差是14，可得被除数÷商=57，被除数﹣商=14，可以设商为x，则被除数是57x，根据题意，列出方程，然后解答即可．【解答】解：设商为x，57x﹣x=1456x=1456x÷56=14÷56x=0.250.25×57=14.25答：被除数是14.25．故答案为：14.25．11．大、小两个圆的半径分别是5厘米和3厘米，面积的比是25：9．【分析】根据圆的周长和面积公式，分别求出大小圆的周长和面积，再根据比的意义，就可求出大小两个圆的周长的比和面积比．【解答】解：大圆的面积是：π×52=25π（平方厘米），小圆的面积是：π×32=9π（平方厘米）．大小两个圆的面积的比是：25π：9π=（25π÷π）：（9π÷π）=25：9．故填：5：3，25：9．12．一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是245立方厘米．【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加2厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大2厘米，因此增加的56平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长=（56÷4）÷2=7厘米，由于长比高多2厘米，那么高=7﹣2=5厘米，由此解答．【解答】解：增加的1个面的面积：56÷4=14（平方厘米）；长方体的长（宽）：14÷2=7（厘米）；长方体的高：7﹣2=5（厘米）；体积：7×7×5=245（立方厘米）；答：原来这个长方体的体积是245立方厘米．故答案为：245立方厘米．13．将一个底面积为6平方分米高为12分米的圆柱体木料削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体的体积是24立方分米．【分析】根据圆柱体与圆锥体积之间的关系，等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的，由此根据公式解答．【解答】解：圆锥的体积：6×12×=24（立方分米）；答：削去部分的体积是48立方分米，削成的圆锥的体积是24立方分米．故答案为：24立方分米．14．钟面上6：15，时针与分针的最小夹角是97.5度．【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【解答】解：因为“6”至“3”的夹角为30°×3=90°，时针偏离“6”的度数为30°×41=7.5°，所以时针与分针的夹角应为90°+7.5°=97.5°．答：6：15，时针与分针的最小夹角是97.5°．故答案为：97.5．15．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y=2x ﹣10来表示（y 表示码数，x 表示厘米数）．小明新买了一双37码的凉鞋，鞋底长23.5厘米．【分析】根据“码”和“厘米”之间的关系y=2x ﹣10，可得x=（y +10）÷2，进而把x=26厘米和y=37码分别代入关系式，计算即可得解．【解答】解：当y=37码时，x=（y +10）÷2=（37+10）÷2=23.5．答：小明新买了一双37码的凉鞋，鞋底长23.5厘米．故答案为：23.5．三．计算题（写出过程，每小题6分，共18分）16.（1）15.56.595×1.3+0.4÷3.6=+=（2） 2.411.410.3-1.70.25×4+25%×1.2-4÷6.8=+=+=17.229100111-21100111-101101-91...41-3131-21210191110190172156142130120112161191715131197531110119901177211556113421113019201712156131=+=+++++⨯+=++++++++++++++++++=+++++++++（）（）（）（四．解答题（每小题8分，共40分）18．列式计算：8比x 的25%多0.4，求x ．【分析】根据题意数量间的相关系为8﹣X 的25%=0.4，列并解方程．【解答】解：8﹣25%X=0.4X=30.4．答：x 是30.4．19．龙门学校食堂五月份烧煤9.3吨，六月份烧煤9吨，两个月平均每天烧煤多少吨？【分析】解答此题的关键是弄清每月是多少天，五月是大月有31天，六月是小月有30天，由此解答即可．【解答】解：（9.3+9）÷（31+30），=18.3÷61，=0.3（吨）；答：两个月平均每天烧煤0.3吨．20．小鱼和小龙都积攒了一些零用钱．她们所攒钱的比是5：3，在“支援灾区”捐款活动中小鱼捐26元，小龙捐10元，这时她们剩下的钱数相等．小鱼原来有多少钱？【分析】因为她们剩下的钱数相等，所以小鱼比小龙多捐的钱数等于原来小鱼比小龙多攒的钱数，求出1份的钱数，即可求出小鱼原来的钱数．【解答】解：26﹣10=16（元），16÷（5﹣3）=8（元），8×5=40（元）；或：（26﹣10）÷（5﹣3）×5=16÷2×5，=8×5，=40（元）；答：小鱼原来有40元钱．21．客车由甲城开往乙城要10小时，货车由乙城开往甲城要15小时，两车同时从两城相向开出，相遇时客车比货车多行80千米，甲乙两城之间的公路长多少千米？【分析】把甲乙两城之间的公路长看做单位“1”，由此得出客车和货车的速度分别为：，根据题意先求得客车比货车每小时多行的长度即可解决问题．【解答】解：把甲乙两城之间的公路长看做单位“1”，则：客车的速度为：1÷10=，货车的速度为：1÷15=，甲乙两车的相遇时间为：1÷（+）=6（小时）客车比货车每小时多行：80÷6=340（千米）甲乙两城之间的公路长：340÷（），=340÷，=340×30，=400（千米）；答：甲乙两城之间的公路长400千米．22．希望小学要买60个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可选择．三个商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠办法不同：甲店：满十送二，即买10个足球赠送2个，不足10个不赠送；乙店：每个足球降价20%出售；丙店：购物满200元，返还现金30元．到这三个商店买足球分别需要多少钱？为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买？【分析】可分别计算出购买60个足球，甲乙丙三个商店各需多少钱，利用到甲店只需买50个就会赠送10个，所需费用即可求出，到乙店购买每个足球降价20%，即可得出所需费用为：25×（1﹣20%×）60，根据到丙店购物每满200元，返还现金30元，得出购买足球个数应为8的倍数，才会返还现金，进而求出，然后比较哪个更省钱．【解答】解：甲：50×25=1250（元）；乙：60×25×（1﹣20%），=1500×0.8，=1200（元）；丙：60×25=1500（元），1500÷200=7.5（个），1500﹣30×7=1290（元）；1200元＜1250元＜1290元，所以乙最划算；答：到乙店购买便宜，最划算．。

重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3 二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函数y=的自变量x的取值范围是．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=，a2012=．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3考点：解一元一次不等式组．分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．解答：解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．故选B．点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．分析：列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．解答：解：共有36种情况，落在直线y=﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r考点：圆锥的计算；弧长的计算．专题：压轴题．分析：让扇形的弧长等于圆的周长即可．解答：解：根据扇形的弧长等于圆的周长，∴扇形弧长等于小圆的周长，即：=2πr，解得R=4r，故选D．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．解答：解：正方形中，S阴影=a2﹣b2；梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题；压轴题．分析：由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．解答：解：由题意得，解得，∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，∴，解得：﹣3，又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，故选B．点评：考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．考点：一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：新定义．分析：根据题意可得y=3⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．解答：解：由题意得y=3⊕x=，当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，故答案为：点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，故答案为：π点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．函数y=的自变量x的取值范围是x＜﹣1或x≥4．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．解答：解：由题意得，x2﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，解得，x＜﹣1或x≥4，故答案为：x＜﹣1或x≥4．点评：本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为a2．考点：正多边形和圆．分析：由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．解答：解：如图所示：∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，∵边长为a的正三角形各边三等分，∴小正三角形的边长为a，∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a=a2，∴新的正六边形的面积=a2×6=a2；故答案为：a2．点评：此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为60°，cos∠ABC=．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．解答：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；又∵∠A=∠CDB=30°，∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴cos∠ABC=．故答案为：60°．点评：此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为4．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．解答：解：由x2+3x+y﹣3=0得y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，∴x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=10，a2012=2025078．考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n个三角形数等于1到n的所有整数的和，然后计算n=2012的a的值．解答：解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，∴a10﹣a9=10∵a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+2+3+4，…∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．故答案为：10，2025078．点评：本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•+a=a+a=2a．当a=2时，原式=4a．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据题意得出△≥0，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1•x2=p+1，整理后得出（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，代入求出即可．解答：解：（1）△=（﹣1）2﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，即p的取值范围是p≤﹣；（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1•x2=p+1，∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，∴（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，∴[1﹣（p+1）]2+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，解得：p±2，∵p≤﹣，∴p=﹣2．点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关键，题目比较典型．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．解答：解：（1）当0≤x＜100时，y=60；当x≥100时，设y=kx+b，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则，，∴y=；（2）∵250＞100，∴当x=250件时，y=﹣×250+=50元，∴批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是：50×250=12500元；（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣350）2+，∴当一次性批发350件时，所获利润最大，最大利润是元．点评：本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），将A、C两点的坐标代入y=ax2+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．解答：解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），∵抛物线y=ax2+c（a＞0）经过A、C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4；（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=x﹣2，当x=0时，y=﹣2，∴点M的坐标是（0，﹣2）；（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3），∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），∴MN=1，BN=1，ON=3，∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，∴S△PAD=S△ABM=2．∵S△PAD=AD•|y P|=2，AD=4，∴|y P|=1．当P点纵坐标为1时，x2﹣4=1，解得x=±，∴P1（，1），P2（﹣，1）；当P点纵坐标为﹣1时，x2﹣4=﹣1，解得x=±，∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（，1），P2（﹣，1），P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）．点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b 交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；（2）如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直线经过点A（3，0）时，则b=若直线经过点B（3，1）时，则b=若直线经过点C（0，1）时，则b=1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时E（2b，0）∴S=OE•CO=×2b×1=b；（2）若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2此时E（3，），D（2b﹣2，1），∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]=b﹣b2，∴S=；（3）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，D（2b﹣2，1），对于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，则E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，∴a=，∴S四边形DNEM=NE•DH=．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3 二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函数y=的自变量x的取值范围是．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=，a2012=．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3考点：解一元一次不等式组．分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．解答：解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．故选B．点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．分析：列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．解答：解：共有36种情况，落在直线y=﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r考点：圆锥的计算；弧长的计算．专题：压轴题．分析：让扇形的弧长等于圆的周长即可．解答：解：根据扇形的弧长等于圆的周长，∴扇形弧长等于小圆的周长，即：=2πr，解得R=4r，故选D．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．解答：解：正方形中，S阴影=a2﹣b2；梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题；压轴题．分析：由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．解答：解：由题意得，解得，∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，∴，解得：﹣3，又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，故选B．点评：考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．考点：一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：新定义．分析：根据题意可得y=3⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．解答：解：由题意得y=3⊕x=，当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，故答案为：点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，故答案为：π点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．函数y=的自变量x的取值范围是x＜﹣1或x≥4．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．解答：解：由题意得，x2﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，解得，x＜﹣1或x≥4，故答案为：x＜﹣1或x≥4．点评：本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为a2．考点：正多边形和圆．分析：由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．解答：解：如图所示：∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，∵边长为a的正三角形各边三等分，∴小正三角形的边长为a，∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a=a2，∴新的正六边形的面积=a2×6=a2；故答案为：a2．点评：此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为60°，cos∠ABC=．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．解答：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；又∵∠A=∠CDB=30°，。

石家庄二中自主招生 数学试题（时间：70分钟 满分：120分）一．选择题（每小题2分，共36分） 1．下列计算正确的是（ ） A.622a a a =+ B.432a a a =• C.()422a a =- D ．()1122+=+a a2 ．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：通话时间x/min 0<x ≤5 5<x ≤1010<x ≤1515<x ≤20频数（通话次数）201695则通话时间不超过15min 的频率为（ ） A ．0.1 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.93．两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩 哪一位更稳定，通常还需要比较他们的成绩的（ ） A ．众数 B ．中位数 C ．方差 D ．以上都不对4．如图所示的三棱柱的主视图是（ ）5．若点A （a ，b ）， 在反比例函数xy 2=的图像上，则代数式ab-4的值为（ ）A ．2B ．0C ．2D ．66．在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有（ ） A ．5个 B ． 2个 C ．3个 D ．4个 7．菱形ABCD 中， AB=5，∠BCD=1200，则对角线BD 的长是（ ）A ．20B ．10C ．35 D.58．将抛物线x x y 22-=向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A ．2x y = B ．()22-=x y C ．22-=x y D ．22+=x y9．如图所示，AB 为 O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与 O 交于点C ，BD 为 圆O 的直径，连接CD ．若∠A=300， 圆O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．334-πB ．3234-πC ．3-πD ．332-π10．如图所示，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB=2km ，从A测得船C 在北偏东450的 方向，从B 测得船C 在北偏东22.50的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（ ） A ．4km B ．（22+） km C ．22km D ．（24-）km11．如图所示，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的 长分别为（ ） A ．2 、3π B ．32、πC ．3、32πD ．32 、34π12．已知函数322+-=x x y 在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥ 1B ．0≤m ≤2C ．1≤m ≤2D ．m ≤2 13．设b>0，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一： 则a 的值为（ ）A ．251-- B ．251+- C ．1 D ．-114．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6 时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10y x B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=103y x C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=104y x D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=105y x15．如果实数x,y 满足()()11122=++++y y xx ，那么x+y的值为（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．216．植树节某班20名在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）A ．（1）和（20）B ．（9）和（10）C ．（9）和（11）D ．（10）和（11） 17．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填 写方法共有（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．2418．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

【冲刺实验班】河北石家庄二中2019中考提前自主招生数学模拟试卷(1)附解析重点高中提前招生模拟考试数学试卷（1）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列等式中，不一定成立的是（）A．=2B．C．a=﹣D．2．中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，2014年1月14日银行间外汇市场人民币汇率中间价为：1美元对人民币6.0930元，某上市公司持有美元资产为980万美元，用科学记数法表示其美元资产折合成人民币为（）元（保留两位有效数字）A．5.97×107B．6.0×107C．5.97×108D．6.0×1083．如图，一条信息可通过网络线由上（A点）往下（沿箭头方向）向各站点传送，例如信息要到b2点可由经a1的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条传送途径，则信息由A点传达到d3的不同途径中，经过站点b3的概率为（）A．B．C．D．4．已知x+y=，|x|+|y|=5，则x﹣y的值为（）A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（a、b、c为常数），则函数y=（4ac﹣b2）x+abc和y=在同一平面直角坐标系中的图象，可能是（）A．B．C．D．6．关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的同号实数根，则m的取值范围是（）A．m且m≠0 B．﹣C．﹣且m≠0 D．07．由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续两次以不同的价格在同一公司购进了A型香米，两次的购买单价分别为a、b（a＜b，单位：元/千克），小王的采购方式为：每次购进c千克大米；小李的采购方式为：每次购进d元的大米（d＞c），若只考虑采购单价，下列结论正确的是（）A．小王合算B．小李合算C．一样合算D．无法确定谁更合算8．函数y=|x2+2x﹣3|图象的草图如图所示，则关于x的方程|x2+2x﹣3|=a（a为常数）的根的情况，描述错误的是（）A．方程可能没有实数根B．方程可能有三个互不相等的实数根C．若方程只有两个实数根，则a的取值范围为：a=0D．若方程有四个实数根，记为x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=﹣49．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF=2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB于点G，则S四边形AGFH：S△BFC=（）【冲刺实验班】河北石家庄二中2019中考提前自主招生数学模拟试卷(1)附解析A．1：10 B．1：5 C．3：10 D．2：510．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF=3，FB=，则tan∠DEH=（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共10小题，每题4分）11．计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣2×+（tan60°﹣2）2013（4sin30°+）2014+=．12．已知实数x，y满足方程（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，则y x=．13．如图，正方体（图1）的展开图如图2所示，在图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段；请在图2中画出CM、CN、MN这三条线段．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连结CE交DB、DF于G、H，则EG：GH：HC=．15．已知直线l1：y=x﹣a﹣3和直线l2：y=﹣2x+5a相交于点A（m，n），其中a为常数，且m ＞n＞0，化简|1﹣a|﹣=．16．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，4），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为．17．若y关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a（a为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点，则a可取的值为．18．如图，已知圆O的面积为3π，AB为圆O的直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD的最小值是．19．已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内的点P1、P2、P3、…、P2015在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2015，纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015的长度是．20．将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是．【冲刺实验班】河北石家庄二中2019中考提前自主招生数学模拟试卷(1)附解析三．解答题（共6小题，共70分）21．若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．22．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．23．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．24．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，O 为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆的半径；（3）设△MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由．25．（1）已知n=﹣那么1+2+3+…+n=﹣+﹣+﹣+…+﹣，即1+2+3+…+n=﹣=．模仿上述求和过程，设n2=﹣，确定a与b的值，并计算12+22+32+…+n2的结果．（2）图1中，抛物线y=x2，直线x=1与x轴围成底边长为1的曲边三角形，其面积为S，现利用若干矩形面积和来逼近该值．①将底边3等分，构建3个矩形（见图2），求其面积为S3；②将底边n等分，构建n个矩形（如图3），求其面积和S n并化简；③考虑当n充分大时S n的逼近状况，并给出S的准确值．（3）计算图4中抛物线y=2x2与直线y=2x+4所围成的阴影部分面积．26．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；【冲刺实验班】河北石家庄二中2019中考提前自主招生数学模拟试卷(1)附解析（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且，求这时点P的坐标．重点高中提前招生模拟考试数学试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列等式中，不一定成立的是（）A．=2B．C．a=﹣D．【考点】65：分式的基本性质；73：二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、左边==2=右边，故本选项正确；B、当c=0时，无意义，故本选项错误；C、左边=a=a=﹣=右边，故本选项正确；D、左边===右边，故本选项正确．故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．2．中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，2014年1月14日银行间外汇市场人民币汇率中间价为：1美元对人民币6.0930元，某上市公司持有美元资产为980万美元，用科学记数法表示其美元资产折合成人民币为（）元（保留两位有效数字）A．5.97×107B．6.0×107C．5.97×108D．6.0×108【考点】1L：科学记数法与有效数字．【分析】根据汇率可求980万美元折合成人民币的钱数，再保留两位有效数字即可求解．【解答】解：980万美元=980000美元，980000×6.0930≈6.0×107元．故选：B．【点评】此题考查了科学记数法与有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

石家庄市二中南校区小升初入学考试数学试卷一、填空题（每题5分，共15题，共75分）1．（5分）用24厘米的铁丝围成一个直角三角形，这个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个直角三角形斜边上的高是________厘米.2．（5分）一次考试中，总人数的又3人得了3分，总人数的人得了4分，总人数的又5人得了5分，其余人都得2分，已知得2分的人数和得5分的人数一样多，则有人得了4分3．（5分）两个相同的玻璃杯，都装满了糖水，糖与水的质量比分别是1：7和1：9，现将这两杯糖水混合，混合后糖水的含糖率是%4．（5分）10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总质量最少为克5．（5分）在信息时代，信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“叠3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是6．（5分）用0﹣9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是7．（5分）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如右图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是平方厘米．8．（5分）如图，C、D为AB的三等分点，8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，在经过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走，甲、乙在C相遇时丙恰好走到D点，甲、丙8：30相遇时乙恰好到A．那么丙出发时是8点分9．（5分）在方框里分别填入两个相邻的自然数，使下式成立□＜+++…+＜□10．（5分）计算：3.625+0.﹣1＝11．（5分）盒子中装有很多相同的，但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球，为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球次12．（5分）甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元，付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付，付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲元13．（5分）张老师带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了25%，结果他带的钱恰好可以比原来多买25支，那么降价前这些钱可以买签字笔支．14．（5分）有一个圆柱体，高是底面半径的3倍，将它如图分成大、小两个圆柱体，大圆柱体的表面积是小圆柱体的表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的倍．15．（5分）某岛国的一家银行每天9：00﹣17：00营业，正常情况下，每天9：00准备现金50万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也都一样，到17：00下班时有现金60万元．如果每小时的提款量是正常情况的4倍，而存款量不变的话，14：00银行就没有现金了：如果每小时提款量是正常情况的10倍，而存款量减少到正常情况一半的话，要使17：00下班时银行还有现金50万元，那么9：00开始营业时需要准备现金万二、计算题（每小题5分，共4题，共20分）16．（5分）计算：1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×117．（5分）计算：++…+18．（5分）求未知数：x+1＝x﹣19．（5分）解方程：＝1+三、解答题（每题10分，共5题，共50分）20．（10分）如图，三角形ABC中，AF：FB＝BD：DC＝CE：AE＝4：3，且三角形ABC的面积是74，求三角形GHI的面积．21．（10分）在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距50米的A、B两地，相背出发，相遇后，乙返回，甲方向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之一，当乙回到B地时，甲刚好回到A地，此时他们都按现有速度与方向前进，请问：当甲再次追上乙时，甲一共走了多少米？22．（10分）某工地用三种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10：7：6，速度比为3：4：5，运送土方的路程之比为15：14：14，三种车的辆数之比为10：5：7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，又干了15天才完成任务．求甲种车完成的工作量与总工作量之比．23．（10分）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完，在这7天里，第2群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？24．（10分）有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍．如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降 2.4%：如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度．请问：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是多少？它们的浓度分别是多少？2019年石家庄市二中南校区小升初入学考试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共15题，共75分）1．（5分）用24厘米的铁丝围成一个直角三角形，这个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个直角三角形斜边上的高是多少厘米？【解答】解：3+4+5＝12（份），24×＝6（厘米），24×＝8（厘米），24×＝10（厘米），8×6×＝24（平方厘米），24×2÷8＝6（厘米）；答：斜边上的高是12厘米．2．（5分）一次考试中，总人数的又3人得了3分，总人数的人得了4分，总人数的又5人得了5分，其余人都得2分，已知得2分的人数和得5分的人数一样多，则有195人得了4分【解答】解：（3+5+5）÷（1﹣）＝13÷＝780（人）780×＝195（人）答：有195人得了4分．故答案为：4．3．（5分）两个相同的玻璃杯，都装满了糖水，糖与水的质量比分别是1：7和1：9，现将这两杯糖水混合，混合后糖水的含糖率是11.25%【解答】解：设每杯的质量为“1”，则第一杯中糖占糖水的，第二杯中糖占糖水质量的（+）÷（1+1）＝11.25% 答：混合后糖水的含糖率是11.25%．故答案为：11.25．4．（5分）10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总质量最少为1023克【解答】解：10个砝码的重量分别为：1克、2克、4克、8克、16克、32、64、128、256、512克时满足题意，所以这堆砝码的总重量至少为：1+2+4+8+16+32+64+128+258+512＝1023（克）．故答案为：1023．5．（5分）在信息时代，信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“叠3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是2009【解答】解：2﹣1＝1，7×3＝21，4﹣1＝3，1×3＝3，5﹣1＝4，8×3＝24，所以第一次加密后的密码是7118，7﹣1＝6，2×3＝6，1﹣1＝0，0×3＝0，8﹣1＝7，9×3＝27，所以明码是2009．故答案为：2009．6．（5分）用0﹣9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是99【解答】解：4+6+8+9+10+27+35＝994+6+8+9+15+27+30＝99故答案为：99．7．（5分）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如右图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是230平方厘米．【解答】解：5×5×6+2×2×4×4+1×1×4×4，＝230（平方厘米），答：这个立体图形的表面积是230平方厘米．故答案为：230．8．（5分）如图，C、D为AB的三等分点，8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，在经过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走，甲、乙在C相遇时丙恰好走到D点，甲、丙8：30相遇时乙恰好到A．那么丙出发时是8点16分【解答】解：8：30﹣8：12＝18（分钟）18÷3×2＝12（分钟）12+12＝24（分钟）24×3＝72（分钟）8：30﹣8：24＝6（分钟）6×3＝18（分钟）1÷（）＝24（分钟）丙出发的时间为：8：24﹣24÷3＝8：16答：丙出发时是8点16分．故答案为：16．9．（5分）在方框里分别填入两个相邻的自然数，使下式成立□＜+++…+＜□【解答】解：∵×50＜+++…+＜×50，∴＜+++…+＜，∵在方框里需要填入两个相邻的自然数，∴0＜+++…+＜1．故答案为：0、1．10．（5分）计算：3.625+0.﹣1＝【解答】解：0.＝＝，3.625+0.﹣1＝3+﹣1＝3﹣（1﹣）＝3﹣＝．故答案为：．11．（5分）盒子中装有很多相同的，但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球，为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球25次【解答】答：根据分析可得，+＝3+3＝6（种）6×4+1＝25（次）答：至少需要摸球25次．故答案为：25．12．（5分）甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元，付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付，付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲2元【解答】解：总价为n2，由题意的，总价的十位数上为奇数，所以个位数上必定为6．所以最后一轮乙支付了6元，甲支付了10元．所以乙需要给甲（10+6）÷2﹣6＝2（元）答：按照约定，乙需要再给甲2元．故答案为：2．13．（5分）张老师带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了25%，结果他带的钱恰好可以比原来多买25支，那么降价前这些钱可以买签字笔75支．【解答】解：设原来可以买x支，则现在买了（x+25）支，1×x＝（x+25）×（1﹣25%）x＝75．答：降价前这些钱可以买签字笔75支．故答案为：75．14．（5分）有一个圆柱体，高是底面半径的3倍，将它如图分成大、小两个圆柱体，大圆柱体的表面积是小圆柱体的表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的11倍．【解答】解：设这个圆柱体底面半径为r，那么高为3r，小圆柱体高为h，则大圆柱体高为（3r﹣h）；因为大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍，所以h＝，则大圆柱的高是r，又由于两圆柱体底面积相同，所以大圆柱的高是小圆柱高的：r÷＝11，因为大小圆柱的底面积相同，所以高的比就是体积的比．所以大圆柱的体积是小圆柱体积的11倍．故答案为：11．15．（5分）某岛国的一家银行每天9：00﹣17：00营业，正常情况下，每天9：00准备现金50万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也都一样，到17：00下班时有现金60万元．如果每小时的提款量是正常情况的4倍，而存款量不变的话，14：00银行就没有现金了：如果每小时提款量是正常情况的10倍，而存款量减少到正常情况一半的话，要使17：00下班时银行还有现金50万元，那么9：00开始营业时需要准备现金330万【解答】解：9：00﹣17：00是8个小时，9：00﹣14：00是5个小时（60﹣50）÷8＝1.25（万元/时）50÷5＝10（万元/时）提款速度为：（10+1.25）÷（4﹣1）＝3.75（万元/时）需要准备现金：（3.75×10﹣5÷2）×8+50＝330（万元）答：开始营业时需要准备现金330万．二、计算题（每小题5分，共4题，共20分）16．（5分）计算：1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×1【解答】解：1×100+2×99+3×98+…+99×2+100×1＝1×（101﹣1）+2×（101﹣2）+3×（101﹣3）+…+99×（101﹣99）+100×（101﹣100）＝1×101+2×101+3×101+…+99×101+100×101﹣1×1﹣2×2﹣3×3﹣…﹣99×99﹣100×100＝（1+2+3+…+99+100）×101﹣（12+22+32+…992+1002）＝（100+1）×100÷2×100×101﹣100×（100+1）×（100+2）÷6＝5050×101﹣100×101×102÷6＝510050﹣338350＝17170017．（5分）计算：++…+【解答】解：++…+＝（1+）+（1+）+…+（1+）＝1×17+（++…+）＝17+×（1﹣+﹣+…+﹣）＝17+×（1﹣）＝17+＝17+＝1718．（5分）求未知数：x+1＝x﹣【解答】解：x+1＝x﹣x＝19．（5分）解方程：＝1+【解答】解：＝1+x＝3三、解答题（每题10分，共5题，共50分）20．（10分）如图，三角形ABC中，AF：FB＝BD：DC＝CE：AE＝4：3，且三角形ABC的面积是74，求三角形GHI的面积．【解答】解：如图，连接BG，设△AGC的面积为12份，根据燕尾定理，S△AGC：S△BGC＝AF：FB＝4：3＝12：9，S△AGB：S△AGC＝BD：DC＝4：3＝16：12，得△BGC的面积为9份，△ABG的面积为16份，则△ABC的面积为9+12+16＝37（份），因此△AGC的面积为74÷37×12＝24，同理连接AI、CH得△ABH的面积为74÷37×12＝24，△BIC的面积为74÷37×12＝24，所以△GHI的面积为74﹣24×3＝2．21．（10分）在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距50米的A、B两地，相背出发，相遇后，乙返回，甲方向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之一，当乙回到B地时，甲刚好回到A地，此时他们都按现有速度与方向前进，请问：当甲再次追上乙时，甲一共走了多少米？【解答】解：1+＝1：（）＝25：24490×＝250（米）490﹣250＝240（米）490﹣250﹣50＝190（米）240：190＝24：19（米）答：当甲再次追上乙时，甲一共走了2602米．22．（10分）某工地用三种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10：7：6，速度比为3：4：5，运送土方的路程之比为15：14：14，三种车的辆数之比为10：5：7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，又干了15天才完成任务．求甲种车完成的工作量与总工作量之比．【解答】解：甲、乙、丙三种车工作时间之比为20：25：25＝4：5：5三种车各一辆完成的工作量之比为：：＝14：14：15甲、乙、丙三种车完成的工作量之比为（14×10×4）：（14×5×5）：（15×7×5）＝112：70：105甲种车完成的工作量与总工作量之比为112：（112+70+105）＝112：：287＝16：：41答：甲种车完成的工作量与总工作量之比是16：41．23．（10分）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完，在这7天里，第2群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？【解答】设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷可得方程：2×15X＝2×3Y+3，10X＝2Y+1①5×15X＝7×5Y+515X＝7Y+1②由①得：10X×1.5＝（2Y+1）×1.5即为：15X＝3Y+1.5代入②得：3Y+1.5＝7Y+1Y＝0.125把Y＝0.125代入①得：10X＝2×0.125+1X＝0.125设第2群牛有n头，可得方程7×0.125n＝7×7×0.125+7 n＝15答：第二群牛有15头．24．（10分）有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍．如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降 2.4%：如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度．请问：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是多少？它们的浓度分别是多少？【解答】解：设乙溶液的浓度为x%，甲乙丙三种溶液的质量分别为：A．B．C，则有：甲的浓度为：（x+6），丙的浓度为，依题意有如下关系：①2.4A＝3.6B2A＝3B②B＝③6A＝整理三个式子得：x＝4，甲的浓度为：4%，乙的浓度为：10%，丙的浓度为1%．A：B：C＝3：2：6答：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是：3：2：6，甲的浓度为：4%，乙的浓度为：10%，丙的浓度为1%。

2018年石家庄二中南小升初入学考试数学试卷一．判断题（正确打上“√”，错误打上“×”，每小题2分，共12分）1．长方形有4条对称轴．．（判断对错）2．有一个角是40°的等腰三角形，它的另两个角是40°、100°．．（判断对错）3．两个数的乘积是1，这两个数一定互为倒数．．（判断对错）4．中国北京获得了2008年奥运会的主办权，这一年有366天．．（判断对错）5．小龙制作零件，今天比昨天多做2％，则昨天比今天少做2％．．（判断对错）6．一个自然数不是质数就是合数．．（判断对错）二．填空题（每小题3分，共30分）7．等底等高的三角形与平行四边形的面积之比是．8．因为A：5=7：B所以A和B成比例．9．在比例尺1：4500000的地图上，量得甲乙两地的距离为2厘米，实际距离约为千米．10．除数是57，被除数与商的差是14，被除数是．11．大、小两个圆的半径分别是5厘米和3厘米，大小两个圆的面积的比是．12．一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是．13．将一个底面积为6平方分米高为12分米的圆柱体木料削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体的体积是．14．钟面上6：15，时针与分针的最小夹角是度．15．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y=2x﹣10来表示（y 表示码数，x表示厘米数）．小明新买了一双37码的凉鞋，鞋底长厘米．三．计算（写出过程，每小题6分，共18分）16．（1）3.6÷0.4+1.3×5（2）6.8÷4-1.2×25%+4×0.2517.110119901177211556113421113019201712156131+++++++++四．列式计算（每小题8分，共40分）18．列式计算：8比x 的25%多0.4，求x ．19．龙门学校食堂五月份烧煤9.3吨，六月份烧煤9吨，两个月平均每天烧煤多少吨？20．小鱼和小龙都积攒了一些零用钱．他们所攒钱的比是5：3，在“支援灾区”捐款活动中小鱼捐26元，小龙捐10元，这时他们剩下的钱数相等．小鱼原来有多少钱？21．客车由甲城开往乙城要10小时，货车由乙城开往甲城要15小时，两车同时从两城相向开出，相遇时客车比货车多行80千米，甲乙两城之间的公路长多少千米？22．希望小学要买60个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可选择．三个商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠办法不同：甲店：满十送二，即买10个足球赠送2个，不足10个不赠送；乙店：每个足球降价20%出售；丙店：购物满200元，返还现金30元．到这三个商店买足球分别需要多少钱？为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买？2018年石家庄二中南小升初入学考试数学试卷参考答案与试题解析一．判断题（正确打上“√”，错误打上“×”，每小题2分，共12分）1．长方形有4条对称轴．错误．（判断对错）【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行解答．【解答】解：因为长方形分别沿长和宽的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则长方形是轴对称图形，长和宽的中线所在的直线就是对称轴，所以长方形有2条对称轴；故答案为：错误．2．有一个角是40°的等腰三角形，它的另两个角是40°、100°．．（判断对错）【分析】已知给出了一个内角是40°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，即40度角是顶角和底角两种情况分析即可．【解答】解：（1）当这个角是顶角时，则它的另外两个角的度数都是：（180°-40°）÷2=70°；（2）当这个角是底角时，则它的另外两个角的度数是：40°和180°-40°-40°=100°；故答案为：错误.3．两个数的乘积是1，这两个数一定互为倒数．√．（判断对错）【分析】根据倒数的定义进行判断即可．【解答】解：由倒数的定义可知，两个数乘积是1的数互为倒数；所以乘积是1的两个数互为倒数是正确的．故答案是：√．4．中国北京获得了2008年奥运会的主办权，这一年有366天．√．【分析】判断出2008年是闰年还是平年，闰年有366天，平年有365天．【解答】解：2008÷4=502；没有余数，所以2008年是闰年，全年有366天．故答案为：√．5．小龙制作零件，今天比昨天多做2％，则昨天比今天少做2％．．（判断对错）【分析】计算百分数，单位1不同，所以得到的百分数也不相同．【解答】解：把昨天看作单位1，由题意可得今天为102%，则昨天比今天少的百分数应为：2%÷102%≈4%．故答案为：错误．6．一个自然数不是质数就是合数．×．【分析】根据质数、合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．1既不是质数也不是合数．由此解答．【解答】解：自然数根据因数个数的多少可以分为：质数、合数和1三类．因此，一个自然数不是质数就是合数．此说法错误．故答案为：×．二．填空题（每小题3分，共30分）7．等底等高的三角形与平行四边形的面积之比是1：2．【分析】根据三角形的面积是与它等底等高平行四边形的面积的，把等底等高平行四边形的面积看做1份，三角形的面积就相当于份，进而写比并化简即可．【解答】解：：1=1：2；故答案为1：2．8．因为A：5=7：B所以A和B成反比例．【分析】因为A：5=7：B，根据比例的基本性质，可将比例改写成AB=35，35是一个常数，也就是说A和B的乘积一定，所以A和B成反比例．【解答】解：因为A：5=7：B，所以AB=35，35是一个常数，也就是说A和B的乘积一定，所以A和B成反比例；故答案为：反．9．在比例尺1：4500000的地图上，量得甲乙两地的距离为2厘米，甲乙两地的实际距离约为90千米．【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求出嘉兴到上海的实际距离．【解答】解：2÷，=9000000（厘米）=90（千米）；答：甲乙两地实际距离是90千米．故答案为：90．10．除数是57，被除数与商的差是14，被除数是14.25．【分析】根据除数是57，被除数与商的差是14，可得被除数÷商=57，被除数﹣商=14，可以设商为x，则被除数是57x，根据题意，列出方程，然后解答即可．【解答】解：设商为x，57x﹣x=1456x=1456x÷56=14÷56x=0.250.25×57=14.25答：被除数是14.25．故答案为：14.25．11．大、小两个圆的半径分别是5厘米和3厘米，面积的比是25：9．【分析】根据圆的周长和面积公式，分别求出大小圆的周长和面积，再根据比的意义，就可求出大小两个圆的周长的比和面积比．【解答】解：大圆的面积是：π×52=25π（平方厘米），小圆的面积是：π×32=9π（平方厘米）．大小两个圆的面积的比是：25π：9π=（25π÷π）：（9π÷π）=25：9．故填：5：3，25：9．12．一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是245立方厘米．【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加2厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大2厘米，因此增加的56平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长=（56÷4）÷2=7厘米，由于长比高多2厘米，那么高=7﹣2=5厘米，由此解答．【解答】解：增加的1个面的面积：56÷4=14（平方厘米）；长方体的长（宽）：14÷2=7（厘米）；长方体的高：7﹣2=5（厘米）；体积：7×7×5=245（立方厘米）；答：原来这个长方体的体积是245立方厘米．故答案为：245立方厘米．13．将一个底面积为6平方分米高为12分米的圆柱体木料削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体的体积是24立方分米．【分析】根据圆柱体与圆锥体积之间的关系，等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的，由此根据公式解答．【解答】解：圆锥的体积：6×12×=24（立方分米）；答：削去部分的体积是48立方分米，削成的圆锥的体积是24立方分米．故答案为：24立方分米．14．钟面上6：15，时针与分针的最小夹角是97.5度．【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【解答】解：因为“6”至“3”的夹角为30°×3=90°，时针偏离“6”的度数为30°×41=7.5°，所以时针与分针的夹角应为90°+7.5°=97.5°．答：6：15，时针与分针的最小夹角是97.5°．故答案为：97.5．15．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y=2x ﹣10来表示（y 表示码数，x 表示厘米数）．小明新买了一双37码的凉鞋，鞋底长23.5厘米．【分析】根据“码”和“厘米”之间的关系y=2x ﹣10，可得x=（y +10）÷2，进而把x=26厘米和y=37码分别代入关系式，计算即可得解．【解答】解：当y=37码时，x=（y +10）÷2=（37+10）÷2=23.5．答：小明新买了一双37码的凉鞋，鞋底长23.5厘米．故答案为：23.5．三．计算题（写出过程，每小题6分，共18分）16.（1）15.56.595×1.3+0.4÷3.6=+=（2） 2.411.410.3-1.70.25×4+25%×1.2-4÷6.8=+=+=17.229100111-21100111-101101-91...41-3131-21210191110190172156142130120112161191715131197531110119901177211556113421113019201712156131=+=+++++⨯+=++++++++++++++++++=+++++++++（）（）（）（四．解答题（每小题8分，共40分）18．列式计算：8比x 的25%多0.4，求x ．【分析】根据题意数量间的相关系为8﹣X 的25%=0.4，列并解方程．【解答】解：8﹣25%X=0.4X=30.4．答：x 是30.4．19．龙门学校食堂五月份烧煤9.3吨，六月份烧煤9吨，两个月平均每天烧煤多少吨？【分析】解答此题的关键是弄清每月是多少天，五月是大月有31天，六月是小月有30天，由此解答即可．【解答】解：（9.3+9）÷（31+30），=18.3÷61，=0.3（吨）；答：两个月平均每天烧煤0.3吨．20．小鱼和小龙都积攒了一些零用钱．她们所攒钱的比是5：3，在“支援灾区”捐款活动中小鱼捐26元，小龙捐10元，这时她们剩下的钱数相等．小鱼原来有多少钱？【分析】因为她们剩下的钱数相等，所以小鱼比小龙多捐的钱数等于原来小鱼比小龙多攒的钱数，求出1份的钱数，即可求出小鱼原来的钱数．【解答】解：26﹣10=16（元），16÷（5﹣3）=8（元），8×5=40（元）；或：（26﹣10）÷（5﹣3）×5=16÷2×5，=8×5，=40（元）；答：小鱼原来有40元钱．21．客车由甲城开往乙城要10小时，货车由乙城开往甲城要15小时，两车同时从两城相向开出，相遇时客车比货车多行80千米，甲乙两城之间的公路长多少千米？【分析】把甲乙两城之间的公路长看做单位“1”，由此得出客车和货车的速度分别为：，根据题意先求得客车比货车每小时多行的长度即可解决问题．【解答】解：把甲乙两城之间的公路长看做单位“1”，则：客车的速度为：1÷10=，货车的速度为：1÷15=，甲乙两车的相遇时间为：1÷（+）=6（小时）客车比货车每小时多行：80÷6=340（千米）甲乙两城之间的公路长：340÷（），=340÷，=340×30，=400（千米）；答：甲乙两城之间的公路长400千米．22．希望小学要买60个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可选择．三个商店足球的价格都是25元，但各个商店的优惠办法不同：甲店：满十送二，即买10个足球赠送2个，不足10个不赠送；乙店：每个足球降价20%出售；丙店：购物满200元，返还现金30元．到这三个商店买足球分别需要多少钱？为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买？【分析】可分别计算出购买60个足球，甲乙丙三个商店各需多少钱，利用到甲店只需买50个就会赠送10个，所需费用即可求出，到乙店购买每个足球降价20%，即可得出所需费用为：25×（1﹣20%×）60，根据到丙店购物每满200元，返还现金30元，得出购买足球个数应为8的倍数，才会返还现金，进而求出，然后比较哪个更省钱．【解答】解：甲：50×25=1250（元）；乙：60×25×（1﹣20%），=1500×0.8，=1200（元）；丙：60×25=1500（元），1500÷200=7.5（个），1500﹣30×7=1290（元）；1200元＜1250元＜1290元，所以乙最划算；答：到乙店购买便宜，最划算．。

河北省石家庄市第二中学（南校区）2020届高三数学下学期教学质量检测模拟试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数3213iz i-+=++则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 整理成z a bi =+ 的形式,从而可求复数在复平面内对应的点. 【详解】复数()()()()3133222131313i i iz i i i i -+--+=+=+=+++-,则复数z 在复平面内对应的点()2,1在第一象限.故选:A【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的几何意义.2.设集合{}{}2|3,|4P x x Q x x =>=>,则下列结论正确的是（ ） A. Q P ⊆B. P Q ⊆C. P Q =D.P Q R =【答案】B 【解析】 【分析】分别解出23,4x x >>,即可判断两个集合的关系.【详解】解:集合{|}{33|P x x x x ＝＞＝＜﹣或3}x ＞,2{|}{42|Q x x x x ＝＞＝＜﹣或2}x ＞ P Q ∴⊆故选:B.【点睛】本题考查了绝对值不等式,考查了二次不等式,考查了集合的关系.判断集合关系前,一般需要对已知集合进行化简,通过解方程、解不等式、画图像等进一步明确元素. 3.若224,2()3,63a b log c log ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c ＜＜ B. a c b ＜＜C. c b a ＜＜D. b c a ＜＜【答案】B 【解析】 【分析】判断a 与1的大小关系,由46c log log ＝＝,,1b c 的大小关系,从而可选出正确答案.【详解】解:由已知可得419a =<,2log 31b =>,46c log log ＝＝222log 2log log 3<<, 1c b ∴<<.即b c a >>.故选:B.【点睛】本题考查了对数的运算,考查了对数函数的性质.两个对数型的数比较大小时,若底数一样,则构造对数函数,通过单调性判断;若真数一样,则可画对数函数的图像来比较;若底数和真数都不相同,则通过比较中间值来比较两数的大小.4.若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 5D. 3【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D.【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.5.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗.如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为（ ）立方分米.A. 40B.853C. 30D.733【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原出几何体,即可分析最小长方体的长宽高,从而可求出长方体的体积. 【详解】由三视图还原,原几何体如图,要加工成如图所示散斗,则长方体木料长的最小值为4,宽的最小值为4,高的最小值为52， 则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米. 故选:A.【点睛】本题考查了由三视图还原几何体,考查了几何体体积的求法.本题的关键在于对最小体积的理解.难点则为由三视图还原出几何体.6.不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ） A.314B.37C.67D.1328【答案】B 【解析】 【分析】先求出基本事件的总数28C ,再求出满足要求的基本事件的个数1162m C C =,则由古典概型可求概率.【详解】解:由题意知,本题中基本事件总数2828n C ==,取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数:116212m C C ==.则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m P n ===. 故选:B.【点睛】本题考查了古典概型.求古典概型时,需要求出试验总的基本事件个数,以及满足要求的基本事件个数.常用的方法有列举法、排列组合法.在运用列举法时,通过明确写出每一个基本事件,从而得到数量,进行求解,有些题目这样做可能用时较长;有的问题我们可以结合排列组合的思想去求基本事件的个数,这样往往能提高做题速度.7.已知F 是抛物线2:8C y x ＝的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若2MF FN =，则MF 的值为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程,可求出焦点()2,0F .由2MF FN =可知13NF MN =,从而3326MA OF ⨯＝＝＝,继而可求出MF .【详解】解:由抛物线的方程可得焦点()2,0F ,准线方程为:2x =-.作MA 垂直于y 轴交于A 因为2MF FN =,所以可得F 为线段MN 的三等分点,即13NF MN =. 由NFO NMA ∆∆,所以13OF MA =,即3326MA OF ⨯＝＝＝,所以628MF =+=故选:A.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,考查了抛物线的定义.对于抛物线中焦点弦问题,在求长时,首先考虑抛物线的定义,其次才是联立抛物线与焦点弦直线方程,代入弦长公式进行求解.本题的关键是长度的转化.8.某函数的部分图象如下图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（ ）A. sin 2sin 2xxy e =B. cos2cos 2xxy e =C. cos2cos 2xx y e=D.cos cos xx y e =【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象判断奇偶性，排除选项A ，根据周期性，排除选项D ，利用x ∈R 时，()f x 的值恒大于等于0，排除B ，则答案可求.【详解】根据函数()f x 的部分图象，可得该函数的图象关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 而A 中的函数sin 2sin 2xxy e=为奇函数，故排除A ；再根据图像可知()f x 的最小正周期4T <，而cos cos xx y e=的最小正周期是2π，大于4，故排除D ；又当x ∈R 时， ()f x 的值恒大于等于0，故排除B.所以C 选项是正确的.【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的基本性质和赋值法排除选项是常用方法，属中档题.9.如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择,C D 两观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45,30并测得120BCD ∠=，,C D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是（ ）A. 300mB. 600mC.D.【答案】B 【解析】 【分析】设AB x =,则,BC AB x BD =＝＝,在BCD ∆中,结合余弦定理可列关于x 的方程,求出后即可得到AB 的长.【详解】解:设AB x =,由图利用直角三角形的性质可得:,BC AB x BD =＝＝.在BCD ∆中,由余弦定理可得:22236002600120x x xcos +⨯＝﹣ 化为:23001800000x x ﹣﹣＝,解得600x ＝. 故选:B .【点睛】本题考查了解三角形.已知两角及一角的对边,常利用正弦定理解三角形;已知两边及其夹角或者三边,常利用余弦定理解三角形.10.已知函数()22f x cosx sinx sin x +＝,给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增； ③函数()f x 的最小正周期为π. 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 讨论x的取值范围,去掉绝对值号,从而得到()30,2,222, 2sin2,2,222x k kf x k Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,结合图象即可判断三种命题的正确与否.【详解】解:()32cos sin sin2,2,222222cos sin sin2,2,222x x x x k kf x cosx sinx sin xx x x x k kππππππππ⎧⎡⎤-+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦+=⎨⎡⎫⎪+∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩＝30,2,222,2sin2,2,222x k kk Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,其大致图象如图所示①()f x的图象不关于直线4xπ=对称,即①错误;②()f x在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,即②正确;③()f x的最小正周期为2π,即③错误. 故选:B.【点睛】本题考查了分段函数,考查了三角函数的性质.对于含有绝对值的函数,在研究其性质时,通常讨论自变量的取值范围,将绝对值号去掉,从而得到分段函数.对于分段函数,最常用的方法就是画图像研究性质.本题使用了数形结合的数学思想.关键是去掉绝对值号.11.已知ABC∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD∆与Rt BCD∆）组成的三角形，如图所示.其中，45CAD∠＝,60BCD∠＝，现将Rt ACD∆绕斜边AC旋转至1D AC∆处（1D不在平面ABC上）.若M为BC的中点，则在ACD∆旋转过程中，直线1AD与DM 所成角θ( )A. (0,45)θ∈B. (0,45]θ∈C. (0,60]θ∈D.(0,60)θ∈【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析出1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值为60,但取不到60.进而可求出θ的取值范围.【详解】解:作//AP DM ,1AD 可以看成以AC 为轴线，以45为平面角的圆锥的母线.由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值 则1PAD ∠的最大值为451560︒︒+=， 此时，1D ∈平面ABC .1D 不在平面ABC 上,()10,60PAD ∴∠∈.∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角()0,60θ∈.故选:D.【点睛】本题考查了线线所成角.本题的难点在于分析出线线所成角上下限.对学生的空间想象能力有一定的要求.12.设符号{}min x y z ，，表示,,x y z 中的最小者，已知函数()22{||,}2,f x min xx x +＝﹣则下列结论正确的是（ ）A. [)()()0,,2x f x f x ∀∈+∞->B. [)()()1,,2x f x f x ∀∈+∞->C. ()()(),x R f f x f x ∀∈≤D. ()()(),x R ff x f x ∀∈>【答案】C 【解析】 【分析】分别画出22,,2y x y x y x =-==+的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.【详解】解:如图所示:由题意可得A 中，[]()2,0,1()2,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩. B 中，当12x ≤≤时，120x ≤≤﹣﹣，()()()222f x f x x f x --≤-＝＝. 当23x ≤＜时，021x -≤＜，()()22f x x f x -≤-=.当34x ≤＜时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=. 当4,22x x ≤-≥，恒有()()2f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[)()0,,x f x x ∈+∞≤.令()t f x =，则0t ≥所以()f t t ≤，即()()()f f x f x ≤，故C 正确，D 不正确.故选:C.【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画()y f x = 的函数图象时，一般地，先画出()y f x = 的图象，再将x 轴下方的图象向上翻折即可.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.函数ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为_____． 【答案】210x y --= 【解析】 【分析】根据导数，先求得切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程. 【详解】函数ln y x x =+则1'1y x=+由导数几何意义可知112k =+=根据点斜式可得直线方程为()121y x -=⨯- 化简可得210x y --= 故答案为：210x y --=【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 14.已知向量,a b 满足2,1a b ==，若()()a ab b a b ⋅++⋅-的最大值为1，则向量,a b 的夹角θ的最小值为__________，2a b +的取值范围为__________． 【答案】 (1). 23π(2). []0,2 【解析】分析：由题意()()1a a b b a b ⋅++⋅-≤，求得23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，再利用向量的模的计算公式，即可求解.详解：由题意2,1a b ==，则()()22234cos 1a a b b a b a a b b θ⋅++⋅-=+⋅-=+≤， 解得11cos 2θ-≤≤-，所以23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，所以[]222|2|4488cos 0,4a b a a b b θ+=+⋅+=+∈，所以[]20,2a b +∈.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15.飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀.某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是_____ 【答案】124125【解析】 【分析】先求出该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率.【详解】解:由题意知，该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率为03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是：030341124155125P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:124125. 【点睛】本题考查了独立事件的概率计算.利用对立事件的概率之和为1，可以减少本题的计算量.16.已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点()0,6N ，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为_____【答案】2 【解析】 【分析】求出左右焦点的坐标()()3,0,'3,0F F -，从而可求NF ==长最小转化为求'MN MF +的最小值.当P 在左支上运动到,,'M N F 共线时'MN MF +取得最小值'NF =.【详解】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线C 可得()()3,0,'3,0F F -，NF ==，FMN ∆周长为MN MF NF MN MF ++=++由双曲线的定义可得'22MF MF a -==，即有'2MN MF MN MF +=++. 当P左支上运动到,,'M N F 共线时，'MN MF +取得最小值'NF =则有FMN ∆周长的最小值为22+=. 故答案为: 2.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17.已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*nn na c n Nb =∈，，证明：12...2n c c c +++<. 【答案】（1）n a n =;2nn b =;(2)证明见解析.【解析】 【分析】（1）用1a 和d 将已知22a =，36S a =表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+可得()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）用错位相减法求出{}n c 的前n 项和212 (222)n n nT =+++，即可证明不等式. 【详解】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a n n =+-=.因为()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+① 所以当2,n n N *≥∈ 时，()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+.②①﹣②得：()()12224n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得12nn b b -=（常数）. 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1222n n n b -=⨯=.证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==.所以212 (222)n n n T =+++①， 故231112 (2222)n n nT +=+++②①﹣②得： 23111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-==---.所以112222n n nn T -=--<.即12...2n c c c +++<. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法.对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化1. 18.如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，点M 、E 分别是PA 、PD 的中点(1)求证：CE //平面BMD(2)点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2）5cos 3θ=. 【解析】 【分析】(1) 连接ME ，通过对边关系得到四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM ，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA 的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角. 【详解】（1）连接ME ，因为点,M E 分别是,PA PD 的中点，所以1,2ME AD ME AD =，所以,BC ME BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM .又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂平面BMD ,所以CE 平面BMD .（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1,1,12CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,0,1CE =-设平面CEQ 的法向量为(),,n x y z =，列方程组求得其中一个法向量为()2,1,2n =，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是2sin 3θ==，进而求得cos θ=. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．19.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右顶点分别为A 、B ，且AB 4=，椭圆C 的（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AMF ∆面积是BME ∆面积的5倍，求m 的值.【答案】（1）2214x y +=;（2）12m =±.【解析】 【分析】（1）由AB 4=可求a ，c ，由222a b c =+可求b ，进而可求标准方程. （2）由()()1,0M m m ≠可求出直线AM 与BM 的方程，与椭圆方程联立，进而可求E 、F的纵坐标，由面积关系可得22412541494m mm m m =-++，从而可求m 的值.【详解】解：（1）由题意可得：22224a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴ 椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）()()()1,,2,0,2,0M m A B -，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴ 直线AM 的方程为：()23my x =+.联立直线和椭圆的方程 ()222314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+，同理可得2414F my m =+， 5AMF BME S S ∆∆=，即()()5ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-.54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-22412541494m m m m m ∴=-++ ，又0m ≠，42161630m m ∴+-=，解得214m =或34因为点M 在椭圆内，所以234m <.214m ∴=，12m ∴=±.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题.本题第二问的关键在于求出交点的纵坐标，以此为三角形的高列出方程.本题的易错点在于忽略点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内这一条件，从而未对m 的值进行取舍.20.BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.参考公式： ()()()()221112222111ˆ1.()ˆnnnii ii i ii i i n nniiii i i yyxx y y x ynxyR yy xx n bxx ======----=-==---∑∑∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-.ˆˆˆi i ie y bx a =--. 参考数据：8178880i i i x y ==∑，821226112ii x ==∑，168x =，58.5y =，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）填表见解析;20.90R ≈;（2）ˆ0.67555.9yx =-. 【解析】 【分析】（1）由表中的数据可求出线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，进而可完善所给表格，求出所有残差值.由()22121ˆ1()nii i n ii yyR y y ==-=--∑∑即可求出贡献值2R .（2）计算修订后8'177496i ii x y==∑以及'57.5y =，代入到818221ˆi ii ii x ynxyxx bn ==-=-∑∑，ˆˆ'ay bx =-进而可求出线性回归方程.【详解】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，计算6570.816975.9ˆ 2.3e=-⨯+=-，7500.815875.9ˆ0.5e =-⨯+=-，8660.817375.ˆ9 3.5e=-⨯+=.完善下列残差表如下， e 计算()()22121ˆ1110.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.250.90226()ni i i nii y yR yy ==-=-=-⨯+++++++≈-∑∑ ，所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈.（2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y = 由8178880i ii x y==∑，计算修订后8'178880173661735877496i i i x y =-⨯+⨯==∑又821226112ii x ==∑，168x =，修订后()1'858.5665857.58y =⨯⨯-+=. 所以818222177496816857.50.6ˆ752261128168i ii ii x ynxyxbnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ'57.50.67516855.9ay bx =-=-⨯=-. 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解.易错点在于符号的规范书写，关键在于计算的精度和速度.合理代入已知的数据会大大减少计算量. 21.已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln ≈：） 【答案】（1）4e;（2）1- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得02222b a ax aaln a ∴＝-=﹣，因此()222220a a a b ln a a =>﹣，()22222,0g a a a ln a a =﹣＞利用导数研究其单调性，即可求出()g x 的最大值，即求出ab 的最大值.（2）根据题意，关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=利用导数得到存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈-⎪⎝⎭.则要使得关于t 的方程22ln 0)t ta t t-=(＞有两个不同的解，则()0a h t <，当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝经验证()p t 有两个不同的零点，即可证明.【详解】解：（1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b +，2'()a f x ax b =+，02'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=>. 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ 令'()0g a >得，02a <<；令'()0g a <得，2a >.()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. ()g a ∴的最大值为4e g =⎝⎭.则ab 的最大值为4e. （2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点,等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根. 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解， 即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=, 则2222ln '()t t h t t --=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t +=. 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭.要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <.当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+ 可知()p t在10,4⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在14⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，又2(1)0,0,()20p p p e e e =>=-+<⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-.【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，以及函数与方程的关系.对于()()()f x h x g x =- 型的函数，()f x 的零点个数就等同于(),()g x h x 图像的交点个数.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22..极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为cos 3a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点,,,A B C D .（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()f OA OB OC OD α⋅+⋅＝，当63ππα≤≤时，求()fα值域.【答案】（1）2a =，1C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=;2C的直角坐标方程为40x +-=;（2）⎡⎣.【解析】 【分析】（1）由4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得22cos sin ρρθθ+＝进而可求1C 的直角坐标方程; 把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=，由题意知，该直线过(，则可求出2a =.（2）4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝，则2)6(f OA OB OC OD ααπ⎛⎫⋅⋅=++ ⎪⎝⎭＝，结合63ππα≤≤则可求出62652πππα≤+≤，进而可求值域.【详解】解：（1）1C ：4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ+＝，化为直角坐标方程为()(2214x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=.因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20x a +-=经过圆心(解得2a =，故2C 的直角坐标方程为40x +-=. （2）由题意可得，当63ππα≤≤时，4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝则16sin cos 16cos )sin 33(f OA OB OC OD ππααααα⎛⎫⎛⎫⋅⋅=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ 28sin 28sin 212sin 2236ππααααα⎛⎫⎛⎫=--=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当63ππα≤≤时，62652πππα≤+≤，则26πα⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故()fα的值域为⎡⎣.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的值域求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时，代入公式sin ,cos y x ρθρθ== 即可；对于()sin()f x A x ωϕ=+ 在求值域时，往往先求出x ωϕ+的取值范围，结合正弦函数的图像和性质，即可求出所求值域. 23.已知函数．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b c m ++=时，求212121a b c +++【答案】（1）223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）23【解析】 【分析】（1）根据x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式 （2）利用基本不等式的合理利用求最大值 【详解】（1）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤<②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤< ③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤ 综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=则2221a b c ++=，设x y z ===222x y xy +≥ 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=2=4442121213332222a b c ⎛⎫++++++ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当16a b c ===时取得最大值法三：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =12a b c ∴++=2121214a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知：()())2222222111111++⨯++≥++即：)211121≤≤当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===时，取得最大值【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用。

自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 如果函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，那么\( f(2) \)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 5答案：A3. 圆的面积公式是？A. \( \pi r^2 \)B. \( 2\pi r \)C. \( \pi d \)D. \( \pi r \)答案：A4. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \)D. \( -\frac{1}{5} \)答案：A5. 以下哪个数是无理数？A. \( \sqrt{2} \)B. 1.5C. 0.333...D. 1答案：A6. 一个等差数列的首项是3，公差是2，第10项是多少？A. 23B. 21C. 19D. 17答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。

答案：52. 函数\( g(x) = 2x - 1 \)的反函数是______。

答案：\( g^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2} \)3. 一个数的平方根是4，这个数是______。

答案：164. 已知\( \tan(\theta) = 3 \)，求\( \sin(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。

答案：\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)5. 一个等比数列的首项是2，公比是3，第5项是多少？答案：162三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：\( |x - 5| < 4 \)。