高中数学《垂直关系的性质》课件
- 格式：ppt
- 大小：13.76 MB
- 文档页数：65
下载文档原格式
合集下载
高中数学必修课件第一章垂直关系的性质
02
证明过程
03
首先，连接AC交BD于点O，连接EO。由于ABCD是正方 形，因此AC⊥BD。
04
由于PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC。因此，AC⊥平面 PDB。
05
由于E是PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA。因此 ，EO⊥平面PDB。
06
由于EF⊥PB且EO∩EF=E，所以PB⊥平面EFD。
01
02
03
垂直线定义
两条直线相交成90度角时 ，这两条直线互相垂直。
垂直符号
用符号"⊥"表示两条直线 垂直，如直线AB垂直于直 线CD，记作AB⊥CD。
垂直线段的性质
连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线 段最短。
垂直角概念与性质
垂直角定义
两条相交线中的任一个角 与它的邻补角互为垂直角 。
垂直线段最短的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
典型例题解题思路梳理
例题1
证明两条直线垂直。解题思路：根据垂直的定义，证明两条直线相交成90度角，或者利 用平面内两直线垂直的判定定理进行证明。
例题2
求点到直线的距离。解题思路：首先作点到直线的垂线，然后利用垂线段最短的性质，求 出点到直线的距离。
系。
注意事项
在应用垂直线段比例定理时，需 要注意直角三角形的斜边和直角 边的对应关系，避免出现错误。
垂直平分线性质
垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂 直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线。
垂直平分线性质
垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等。
垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点 ，在这条线段的垂直平分线上。
证明过程
03
首先，连接AC交BD于点O，连接EO。由于ABCD是正方 形，因此AC⊥BD。
04
由于PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC。因此，AC⊥平面 PDB。
05
由于E是PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥PA。因此 ，EO⊥平面PDB。
06
由于EF⊥PB且EO∩EF=E，所以PB⊥平面EFD。
01
02
03
垂直线定义
两条直线相交成90度角时 ，这两条直线互相垂直。
垂直符号
用符号"⊥"表示两条直线 垂直，如直线AB垂直于直 线CD，记作AB⊥CD。
垂直线段的性质
连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线 段最短。
垂直角概念与性质
垂直角定义
两条相交线中的任一个角 与它的邻补角互为垂直角 。
垂直线段最短的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
典型例题解题思路梳理
例题1
证明两条直线垂直。解题思路：根据垂直的定义，证明两条直线相交成90度角，或者利 用平面内两直线垂直的判定定理进行证明。
例题2
求点到直线的距离。解题思路：首先作点到直线的垂线，然后利用垂线段最短的性质，求 出点到直线的距离。
系。
注意事项
在应用垂直线段比例定理时，需 要注意直角三角形的斜边和直角 边的对应关系，避免出现错误。
垂直平分线性质
垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂 直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线。
垂直平分线性质
垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等。
垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点 ，在这条线段的垂直平分线上。
垂直关系的性质(最新课件)
1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1 都垂直的直线有( )条
A．1
B．2
C．3
D．无数条
解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满 足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则 l⊥C1D1， B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1. 同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这 是不可能的，因此只有DD1一条满足条件． 答案：A
3．(2011·郓城高一模块测试)如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥平面BPC. 求证：AB⊥BC. 证明：平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线． 如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂 足，则AD⊥平面CPB，又BC 平面CPB， 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以 PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB， 又AB 平面PAB，所以AB⊥BC.
[一点通] 线面平行和线面垂直是立体几何中经常 考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时 可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑 判定定理．
5．(2011·南昌第一次模拟)已知α、β是平面，m、n
是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.
《垂直关系的性质》课件ppt课件
3.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交，如果所成的二面角是__直_二__面__角___， 就说这两个平面互相垂直.
(2)定理
文字语言
图形语言
如果一个平
判 面经过另一
定 定
个平面的一
理 条_垂__线__，那
么这两个平
面互相垂直.
Aβ
B
α
符号语言
AB β AB⊥α ⇒β⊥α
文字语言
如果两个平面 性 互相垂直，那 质 么在一个平面 定 内垂直于它们 理 _交__线__的直线
AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点,又
PB=BC，PA=AB.
P ①求证：PC⊥平面BDE；
②若点Q是线段PA上任一点，判断BD、 Q·
·E
DQ的位置关系，并证明你的结论；
A
D
·
C
③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积. B
【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断. (2)①利用线面垂直的判定定理证明；②证明BD⊥平面PAC即可； ③根据VB-CED=VC-BDE，转化为求S△BDE及CE的长度. 【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CD∥AF，CF∥AB， 故A、C正确；因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥DF，又DF⊥AF， PA∩AF=A，故DF⊥平面PAF，即B正确.故选D.
(2)①由等腰三角形PBC，得BE⊥PC， ∵DE垂直平分PC，∴DE⊥PC， 又BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE. ②由①得，PC⊥BD，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD. 又PC∩PA=P，∴BD⊥平面PAC. ∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.
的平面角
射线所成的角叫作二面角的平面角.
《垂直关系的性质》课件
垂直关系的性质
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ， 那么a∥b吗？ a b′ b 已知：a⊥α,b⊥α 求证：a∥b α 证明：假设a和b不平行，设b与α交于点0,b′是经 过点0与α平行的直线 ∵a∥b′ 且 a⊥α ∴b′⊥ α ∵过一点作一平面的垂线有且只有一条 ∴b 与 b′重合 ∴a∥b
o
定理
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行
（直线和平面垂直的性质定理）
a b
a⊥α a∥ b b⊥α
}
α
由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找 一个平面，使如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC， 且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点 求证：DF∥平面ABC
结
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面
内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
证明：作AB的中点G，连接FG、GC ∵BE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC ∴BE∥CD 又∵GF∥BE 且GF＝1 ∴GF∥CD 且 GF＝CD ∴四边形CDFG为平行四边形 F ∴DF∥GC 且 G GC 平面ABC
E
H
D
B
C
∴DF∥平面ABC
A
问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？ 证明： 在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β 的平面角 ∵平面α ⊥平面β ∴∠ABC＝90° 即AB⊥BC 又AB⊥MN ∴AB⊥α
α
M A N B
β
C
定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
(平面与平面垂直的性质定理)
小
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ， 那么a∥b吗？ a b′ b 已知：a⊥α,b⊥α 求证：a∥b α 证明：假设a和b不平行，设b与α交于点0,b′是经 过点0与α平行的直线 ∵a∥b′ 且 a⊥α ∴b′⊥ α ∵过一点作一平面的垂线有且只有一条 ∴b 与 b′重合 ∴a∥b
o
定理
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行
（直线和平面垂直的性质定理）
a b
a⊥α a∥ b b⊥α
}
α
由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找 一个平面，使如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC， 且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点 求证：DF∥平面ABC
结
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面
内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
证明：作AB的中点G，连接FG、GC ∵BE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC ∴BE∥CD 又∵GF∥BE 且GF＝1 ∴GF∥CD 且 GF＝CD ∴四边形CDFG为平行四边形 F ∴DF∥GC 且 G GC 平面ABC
E
H
D
B
C
∴DF∥平面ABC
A
问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？ 证明： 在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β 的平面角 ∵平面α ⊥平面β ∴∠ABC＝90° 即AB⊥BC 又AB⊥MN ∴AB⊥α
α
M A N B
β
C
定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
(平面与平面垂直的性质定理)
小
垂直关系的判定及其性质ppt课件演示文稿
题型三 面面垂直 【例3】 (2011· 聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形 ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：平面DEF⊥平面BEF.
(1)如图，设AC∩BD＝O，连接OE，由题意得EM＝ EF＝ AC＝AO. 2 2 ∵EM∥AO， ∴四边形EOAM为平行四边形，EO∥AM. ∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE. ∴AM∥平面BDE. (2)如图，连接DM，BM，MO.∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面ACEF⊥平面 ABCD，∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，∴AF⊥AD，EC⊥DC，又四 边形ABCD为菱形， ∴AD＝DC，∴DF＝DE. 又点M是EF的中点，∴ DM⊥EF. 1 ∵BD＝2AF，∴DO＝2 BD＝AF＝MO， ∴∠DMO＝45°，同理，∠BMO＝45°， ∴DM⊥BM. 又EF∩BM＝M，∴DM⊥平面BEF.
1
1
变式3-1 (2011· 江苏海安如皋联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以 AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD， 而BD⊂平面ABCD，于是BD⊥A1A. 因为AC、A1A⊂平面A1ACC1且AC交A1A于点A， 所以BD⊥平面A1ACC1. 因为BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面 A1ACC1.
2. 平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ________，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的________，则这 两个平面互相垂直． (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __________的直线垂直于另一个平面．
垂直关系课件
2．面面垂直的性质 (1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 平面．此种方法要注意“平面内的直线”． (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直
于第三个平面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AC＝BC，点D是AB的中点． (1)求证：BC1∥平面CA1D； (2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B. 证明： (1)连结AC1交A1C于E， 连结DE，
化的关系和没有变化的量．把平面图形的垂直关系运用到空间图形中去， 又将空间中的有关问题放到平面中去计算，常可以使问题得以顺利解 决．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
如图(1)，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，
∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且 使平面PBD⊥平面BCD，如图(2)．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．
又D是AB的中点，∴在△ABC1中，DE∥BC1. 又DE平面CA1D，BC1⃘平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D. (2)∵AC＝BC，D为AB的中点，
∴在△ABC中，AB⊥CD.
又AA1⊥平面ABC，CD平面ABC， ∴AA1⊥CD.又AA1∩AB＝A， ∴CD⊥平面AA1B1B. 又CD平面CA1D，
∴AD⊥平面PGB.∵PB Nhomakorabea面PGB， ∴AD⊥PB.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
垂直关系的判定优秀课件
例2 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点， 求证：AD⊥PC.
P
D
C
A
B
例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直
棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 当底面四边形ABCD满足什么条件时，
有A1C⊥B1D1，说明你的理由.
A1
D1
B1
C1 A
D
B
C
问题提出
思考1:空间两条直线垂直是怎样定 义的？直线与平面垂直是怎样定义 的？
思考2:什么叫直二面角？如果两个 相交平面所成的四个二面角中，有 一个是直二面角，那么其他三个二 面角的大小如何？
思考3:如果两个相交平面所成的二 面角是直二面角，则称这两个平面 互相垂直.在你的周围或空间几何体 中，有哪些实例反映出两个平面垂 直？
垂直关系的判定
问题提出
1.前面我们全面分析了直线与平面平行 的概念、判定和性质，对于直线与平面 相交，又有哪些相关概念和原理？我们 有必要进一步研究.
2.直线与直线存在有垂直关系，直线与 平面也存在有垂直关系，我们如何从理 论上加以认识？
知识探究（一）：直线与平面垂直的概念
思考1：田径场地面上 竖立的旗杆与地面的位 置关系给人以什么感觉？ 你还能列举一些类似的 实例吗？
巩固练习
练习1 如图，空间中直线b和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三 边AB的位置关系是（ ） A平行 B垂直 C 相交 D不确定
理论迁移
例1 已知 a//b,a .求证：b .
a
b
c
α
d
巩固练习
练习2 圆O所在一平面为，AB是圆O 的直 径，C 是圆周上一点,且 PA AC, PA AB,求 证： （1）PA BC （2）BC 平面PAC （3）图中哪些三角形 是直角三角形。
高中数学必修2课件：第一章 6 垂直关系的性质
6．2 垂直关系的性质
预习课本P39～41，思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？
1．直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 平行 ． (2)图形语言：
[活学活用] 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足 为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB. 求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l.
(1)如图，在菱形ABCD中， 连接BD， 由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG. 而PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平 面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
[证明]
如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，且AD⊥PC， ∴AD⊥平面PBC， 又BC 平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC.BC 平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC 平面PAC，∴BC⊥AC.
预习课本P39～41，思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？
1．直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 平行 ． (2)图形语言：
[活学活用] 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足 为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB. 求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l.
(1)如图，在菱形ABCD中， 连接BD， 由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG. 而PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平 面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
[证明]
如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，且AD⊥PC， ∴AD⊥平面PBC， 又BC 平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC.BC 平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC 平面PAC，∴BC⊥AC.
高中数学最新课件-垂直关系的性质002 精品
• (4)简记为：线面垂直⇒线线平行．
• 拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条 直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该 平面内的所有直线；②两条平行线中的一条 垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平 面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
2．平面与平面垂直的性质定理 (1)定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
本例若改为：α∩β＝l，E 是 α，β 外一点，EA⊥α 于 A， EB⊥β 于点 B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l， ∵EB⊥β，∴EB⊥l， 又 EA∩EB＝E，∴l⊥面 EAB. 同理可证：a⊥面 EAB. ∴a∥l.
•面面垂直性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 1 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝2BE. 求证：EA⊥平面 ABCD.
• 1.下列说法正确的是(
)
• A．垂直于同一条直线的两条直线平行 • B．垂直于同一条直线的两条直线垂直 • C．垂直于同一个平面的两条直线平行 • D．垂直于同一条直线的直线和平面平行 • [答案] C • [解析] 在空间中，垂直于同一条直线的两条
2．(2015· 浙江高考)设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两 条不同的直线，且 l α，m β.( A．若 l⊥β，则 α⊥β C．若 l∥β，则 α∥β ) B．若 α⊥β，则 l⊥m D．若 α∥β，则 l∥m
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
立体几何初步
第一章
§6 6.2 垂直关系
垂直关系的性质
1
课前自主预习3易错Fra bibliotek难辨析2
两个平面垂直的判定和性质(一)课件
两个平面垂直的判定和性 质(一)ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定和性质的关联 • 两个平面垂直的判定和性质的实例
分析
01
CATALOGUE
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
证明过程
首先，设$a perp beta$，$b perp beta$。由于$a$、$b$是平面$alpha$内的两条相交直线，根据直线与平面 垂直的性质，我们可以得出$a perp alpha$和$b perp alpha$。因此，平面$alpha$内的任意直线都与平面 $beta$垂直。所以，我们证明了如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。
实例的分析和解答
分析1
高楼大厦的垂直关系 - 通过几何定理 和三角函数，分析高楼大厦的垂直关 系。
分析2
桌子的平面和地面 - 利用直角三角形 的性质，证明桌子平面与地面的垂直 关系。
实例的总结和反思
总结
通过以上两个实例，我们了解到两个平面垂直的判定和性质在实际生活中的应用。在分 析过程中，我们运用了多种数学工具和方法，如几何定理、三角函数和直角三角形的性
THANKS
感谢观看
质等。这些工具和方法为我们提供了解决问题的有效途径。
反思
在实例分析中，我们发现两个平面垂直的判定和性质在实际应用中具有广泛性。这不仅 限于高楼大厦和桌子，还可以应用于其他许多场景，如建筑、机械、工程等。因此，深 入学习和掌握这一知识点对于拓宽我们的数学应用能力和解决实际问题具有重要意义。
CATALOGUE
目 录
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定和性质的关联 • 两个平面垂直的判定和性质的实例
分析
01
CATALOGUE
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
证明过程
首先，设$a perp beta$，$b perp beta$。由于$a$、$b$是平面$alpha$内的两条相交直线，根据直线与平面 垂直的性质，我们可以得出$a perp alpha$和$b perp alpha$。因此，平面$alpha$内的任意直线都与平面 $beta$垂直。所以，我们证明了如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。
实例的分析和解答
分析1
高楼大厦的垂直关系 - 通过几何定理 和三角函数，分析高楼大厦的垂直关 系。
分析2
桌子的平面和地面 - 利用直角三角形 的性质，证明桌子平面与地面的垂直 关系。
实例的总结和反思
总结
通过以上两个实例，我们了解到两个平面垂直的判定和性质在实际生活中的应用。在分 析过程中，我们运用了多种数学工具和方法，如几何定理、三角函数和直角三角形的性
THANKS
感谢观看
质等。这些工具和方法为我们提供了解决问题的有效途径。
反思
在实例分析中，我们发现两个平面垂直的判定和性质在实际应用中具有广泛性。这不仅 限于高楼大厦和桌子，还可以应用于其他许多场景，如建筑、机械、工程等。因此，深 入学习和掌握这一知识点对于拓宽我们的数学应用能力和解决实际问题具有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
提示：C 因为 l⊥AB，l⊥AC，AB α，AC α，且 AB∩AC＝A，所 以 l⊥α，同理可证 m⊥α，所以 l∥m.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
3．若 m、n 表示直线，α 表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为
()
① mm∥⊥nα⇒n⊥α； ② mn⊥⊥αα⇒m∥n；
(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面
□09 垂直于另一个平面
(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线
□10 平行于另一个平面或在另一个平面内
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
【即时小测】 1．思考下列问题 (1)一般地，如果直线 a⊥α，直线 b⊥α，这时，a 和 b 平行吗？你能给 出证明吗？ 提示：a 和 b 平行．证明如下： 如图，假定 a 和 b 不平行．
平面角，因为平面 α⊥平面 β，所以∠ABC＝90°，即 AB⊥BC，
又已知 AB⊥MN，从而 AB⊥α.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
2．△ABC 所在的平面为 α，直线 l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC，m⊥AC， 则直线 l，m 的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
作 DF⊥AC 于点 F，平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，
∴DF⊥平面 PAC.又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G，
同理可证 DG⊥AP，DG、DF 都在平面 ABC 内且交点为 D，∴PA⊥平
面 ABC.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线， ∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
2．平面与平面垂直的性质定理
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
3．平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点□08 垂直于第二个平面
的直线在第一个平面内．
A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．不能确定
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示：A 由 AC⊥BC1，AC⊥AB， 得 AC⊥平面 ABC1，
又 AC 平面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面 ABC. ∴C1 在底面 ABC 上的投影 H 必在交线 AB 上．
m⊥α
③
n∥α
⇒m⊥n;
m∥α ④ m⊥n⇒n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4 提示：C ①②③正确，④中 n 与平面 α 可能有：n⊂α 或 n∥α 或相交(包 括 n⊥α)．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
4．在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点 C1 在 底面 ABC 上的投影 H 必在( )
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
例 1 如图，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足 为 B，直线 a β，a⊥AB.求证：a∥l.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
[证明] 因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l α， 所以 l⊥EA.同理 l⊥EB.又 EA∩EB＝E， 所以 l⊥平面 EAB.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
(2)一般地，平面 α⊥β，α∩β＝MN，AB β，AB⊥MN 于点 B，这时， 直线 AB 和平面 α 垂直吗？你能给出证明吗？
提示：直线 AB 和平面 α 垂直．证明如下：
如图，在平面 α 内作直线 BC⊥MN，则∠ABC 是二面角 α－MN－β 的
课后课时精练
答案
例 2 已知平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC， E 为垂足．
(1)求证：PA⊥平面 ABC； (2)当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
[证明] (1)如图，在平面 ABC 内取一点 D，
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固为 A，B. 过点 B 作 a 的平行线 b′， 由异面直线垂直的定义，b′与平面 α 内过点 A 的任意直线都垂直，也 即有 b′⊥α，b∩b′＝B， 故直线 b 与 b′确定一个平面，记为 β，且记 α∩β＝l， 在平面 β 内，过点 B 有且仅有一条直线垂直于 l，故 b′与 b 重合，a 与 b 平行．
6.2 垂直关系的性质
[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并 能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.会用线面垂直、面面垂直的性质 定理证明相关问题． 3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.
课前自主学习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【主干自填】 1．直线与平面垂直的性质定理
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
证明 如图所示，连接 AB1，B1C，BD.
∵DD1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD 且 BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面 BDD1B1.
∵BD1 平面 BDD1B1，∴BD1⊥AC.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
因为 EB⊥β，a β，所以 EB⊥a， 又 a⊥AB，EB∩AB＝B，所以 a⊥平面 EAB. 由线面垂直的性质定理，得 a∥l.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
[变式训练1] 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，且 EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
3．若 m、n 表示直线，α 表示平面，则下列判断中，正确判断的个数为
()
① mm∥⊥nα⇒n⊥α； ② mn⊥⊥αα⇒m∥n；
(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面
□09 垂直于另一个平面
(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线
□10 平行于另一个平面或在另一个平面内
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
【即时小测】 1．思考下列问题 (1)一般地，如果直线 a⊥α，直线 b⊥α，这时，a 和 b 平行吗？你能给 出证明吗？ 提示：a 和 b 平行．证明如下： 如图，假定 a 和 b 不平行．
平面角，因为平面 α⊥平面 β，所以∠ABC＝90°，即 AB⊥BC，
又已知 AB⊥MN，从而 AB⊥α.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
2．△ABC 所在的平面为 α，直线 l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC，m⊥AC， 则直线 l，m 的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
作 DF⊥AC 于点 F，平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，
∴DF⊥平面 PAC.又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G，
同理可证 DG⊥AP，DG、DF 都在平面 ABC 内且交点为 D，∴PA⊥平
面 ABC.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线， ∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
2．平面与平面垂直的性质定理
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
3．平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点□08 垂直于第二个平面
的直线在第一个平面内．
A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．不能确定
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示：A 由 AC⊥BC1，AC⊥AB， 得 AC⊥平面 ABC1，
又 AC 平面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面 ABC. ∴C1 在底面 ABC 上的投影 H 必在交线 AB 上．
m⊥α
③
n∥α
⇒m⊥n;
m∥α ④ m⊥n⇒n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4 提示：C ①②③正确，④中 n 与平面 α 可能有：n⊂α 或 n∥α 或相交(包 括 n⊥α)．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
4．在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点 C1 在 底面 ABC 上的投影 H 必在( )
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
例 1 如图，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足 为 B，直线 a β，a⊥AB.求证：a∥l.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
[证明] 因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l α， 所以 l⊥EA.同理 l⊥EB.又 EA∩EB＝E， 所以 l⊥平面 EAB.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
(2)一般地，平面 α⊥β，α∩β＝MN，AB β，AB⊥MN 于点 B，这时， 直线 AB 和平面 α 垂直吗？你能给出证明吗？
提示：直线 AB 和平面 α 垂直．证明如下：
如图，在平面 α 内作直线 BC⊥MN，则∠ABC 是二面角 α－MN－β 的
课后课时精练
答案
例 2 已知平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC， E 为垂足．
(1)求证：PA⊥平面 ABC； (2)当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
[证明] (1)如图，在平面 ABC 内取一点 D，
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固为 A，B. 过点 B 作 a 的平行线 b′， 由异面直线垂直的定义，b′与平面 α 内过点 A 的任意直线都垂直，也 即有 b′⊥α，b∩b′＝B， 故直线 b 与 b′确定一个平面，记为 β，且记 α∩β＝l， 在平面 β 内，过点 B 有且仅有一条直线垂直于 l，故 b′与 b 重合，a 与 b 平行．
6.2 垂直关系的性质
[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并 能用文字、符号和图形语言描述定理． 2.会用线面垂直、面面垂直的性质 定理证明相关问题． 3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.
课前自主学习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【主干自填】 1．直线与平面垂直的性质定理
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
证明 如图所示，连接 AB1，B1C，BD.
∵DD1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD 且 BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面 BDD1B1.
∵BD1 平面 BDD1B1，∴BD1⊥AC.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
因为 EB⊥β，a β，所以 EB⊥a， 又 a⊥AB，EB∩AB＝B，所以 a⊥平面 EAB. 由线面垂直的性质定理，得 a∥l.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
[变式训练1] 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，且 EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.