八年级上册数学平方根与立方根

平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。

它们分别表示一个数的平方和立方的根。

平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。

平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。

一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。

对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。

平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。

（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。

首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。

（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。

首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。

例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。

2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。

例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。

例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。

二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。

对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。

立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。

（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。

（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。

2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。

例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。

例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。

总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。

平方根和立方根一、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是 3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=. （3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 3、立方根（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。

6.1平方根立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

注意：这样的数常常有两个。

2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。

(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。

3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为“± ”4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。

记作。

0的平方根0,也叫做0的算术平方根。

5. ≥0（当 a<0时, 无意义）。

到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。

6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。

二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2. 表示的正数a的平方根。

蕴含条件a≥0。

三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2解:(1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即± =±11, =11。

(2)∵(±0.07)2=0.0049 ∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。

(3)∵(± )2= ∴ 的平方根是± ,算术平方根是, 即±=± , = 。

(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(± )2= ∴4 的平方根为± ，算术平方根为。

即,± 。

(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。

∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。

说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。

例2.求下列各式的值:(1)3 =3× = (2)± =± (3)=8(4)± =± (5)- (带分数要先化成假分数)(6)3× =3×7=21(7)(8) ×0.6+ ×0.9=0.3+0.3=0.6(9) (a<b)= ∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。

剖析“平方根”与“立方根”一．认识平方根、算术平方根、立方根的概念平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个数x 叫做a 的平方根．如52=25，所以5是25的平方根；又因为（－5）2=25，所以－5也是25的平方根，则25有两个平方根：±5．特别，0的平方根是0．算术平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个数x 叫做a 的算术平方根．如52=25，所以5是25的算术平方根，此外25再没有别的算术平方根．特别，0的算术平方根是0．显然，算术平方根是平方根中的一个．立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，则这个数x 叫做a 的立方根．如（－21）3=－81，所以－21是－81的立方根． 二．理解平方根、算术平方根、立方根的性质平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根只有一个，是0；负数没有平方根．所以，非负数才有平方根．算术平方根的性质：一个正数的两个平方根中，正的平方根是它的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．所以，一个非负数的算术平方根仍然是非负数．立方根的性质：任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．三．掌握平方根、算术平方根、立方根的表达形式平方根的的表达形式：正数a 有两个平方根，合记为“±a ”，它分别表示a 的正的平方根和负的平方根．算术平方根的表达形式：正数a 的算术平方根记作“a ”，它是a 的正的平方根“＋a ”省略了“＋”的形式．立方根的的表达形式：一个数a 的立方根记作“3a ”．四．熟练求解一个数的平方根、算术平方根、立方根1．如果一个数能够写成一个整数或分数的平方、立方的形式，那么可以利用定义直接求出这个数的平方根、算术平方根、立方根．如144=（±12）2，则144的平方根是±12，记作±144=±12；144的算术平方根是12，记作144=12．又如27125=（35）3，则27125的立方根是35，记作327125=35． 2．如果一个数不能够写成整数或分数的平方或立方形式，则它的平方根或立方根应保留根号的形式．如2的平方根是±2，10的算术平方根是10，16的立方根是316等．3．可以利用计算器求任何一个非负数的算术平方根或者求任意一个数的立方根． 用计算器求算术平方根、立方根的操作过程如下：开机→按“”键（或“3”键）→输入数据→按“=”键→得出结果注意的是，一个非负数的算术平方根求出来了，它的平方根也就可以直接写出；负数的立方根可以用“3a -=－3a ”转化为求一个正数的立方根．五．理解平方与开平方、立方与开立方的关系平方与开平方、立方与开立方分别是互逆的运算，我们可以用平方、立方分别检验开平方、开立方的结果是否正确．而对一个非负数开平方的结果是它的平方根，一个数开立方的结果是它的立方根．。

初二上册平方根和立方根的练习题在初中数学中，平方根和立方根是常见的数学概念。

学好这两个概念，不仅可以提升数学能力，还能应用到实际生活中。

下面是一些平方根和立方根的练习题，帮助大家更好地理解和掌握这两个概念。

练习题一：平方根计算1. 计算√16 + √25 = ?解答：√16 = 4，√25 = 5，所以√16 + √25 = 4 + 5 = 9。

2. 计算√121 - √49 = ?解答：√121 = 11，√49 = 7，所以√121 - √49 = 11 - 7 = 4。

3. 计算√36 × √64 = ?解答：√36 = 6，√64 = 8，所以√36 × √64 = 6 × 8 = 48。

练习题二：立方根计算1. 计算∛8 + ∛27 = ?解答：∛8 = 2，∛27 = 3，所以∛8 + ∛27 = 2 + 3 = 5。

2. 计算∛64 - ∛125 = ?解答：∛64 = 4，∛125 = 5，所以∛64 - ∛125 = 4 - 5 = -1。

3. 计算∛216 ×∛64 = ?解答：∛216 = 6，∛64 = 4，所以∛216 ×∛64 = 6 × 4 = 24。

练习题三：平方根和立方根混合计算1. 计算√36 + ∛27 = ?解答：√36 = 6，∛27 = 3，所以√36 + ∛27 = 6 + 3 = 9。

2. 计算√9 × ∛64 = ?解答：√9 = 3，∛64 = 4，所以√9 × ∛64 = 3 × 4 = 12。

3. 计算√25 ÷ ∛64 = ?解答：√25 = 5，∛64 = 4，所以√25 ÷ ∛64 = 5 ÷ 4 = 1.25。

通过对以上练习题的计算，相信大家对平方根和立方根的计算方法有了更深入的了解。

不过要注意，在实际考试或应用中，可能会出现更复杂的题目，需要进一步掌握计算的技巧和方法。

平方根与立方根的计算在数学中，平方根和立方根是常见的运算，用于求解给定数的平方根或立方根。

本文将介绍如何准确计算平方根和立方根，并提供一些实际应用的例子。

一、平方根的计算求一个数的平方根是指找到一个数，使得它的平方等于给定的数。

我们可以使用牛顿迭代法来逼近平方根的值。

假设我们要求 $a$ 的平方根，可以从一个初始猜测值 $x$ 开始，通过以下迭代公式进行计算:$$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$$其中，$x_n$ 是第 $n$ 次迭代的结果，$x_{n+1}$ 是第 $n+1$ 次迭代的结果。

通过迭代，$x_n$ 会逐渐趋近于 $a$ 的平方根。

以下是一个具体的计算平方根的例子：假设我们要计算数值 $a=25$ 的平方根，我们可以选择一个初始猜测值 $x_0=5$，然后进行迭代计算。

第一次迭代：$$x_1 = \frac{1}{2}(x_0 + \frac{a}{x_0}) = \frac{1}{2}(5 +\frac{25}{5}) = \frac{1}{2}(5+5) = 5$$经过第一次迭代，我们发现结果并未改变，即 $x_1 = x_0$。

这是因为我们的初始猜测值已经是 $a$ 的平方根了。

结果的差值小于某个阈值时，即可停止迭代，得到近似的平方根。

二、立方根的计算求一个数的立方根是指找到一个数，使得它的立方等于给定的数。

与平方根类似，我们也可以使用迭代法来逼近立方根的值。

假设我们要求 $a$ 的立方根，可以选择一个初始猜测值 $x$，通过以下迭代公式进行计算:$$x_{n+1} = \frac{1}{3}(2x_n + \frac{a}{{x_n}^2})$$其中，$x_n$ 是第 $n$ 次迭代的结果，$x_{n+1}$ 是第 $n+1$ 次迭代的结果。

通过不断迭代计算，$x_n$ 会逐渐趋近于 $a$ 的立方根。

以下是一个计算立方根的实例：假设我们要计算数值 $a=27$ 的立方根，选择一个初始猜测值$x_0=3$，然后进行迭代计算。

平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。

以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。

1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。

平方根的记号为√a。

1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。

- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。

- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。

2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。

以³√a表示a的立方根，其中a为实数。

2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。

立方根的记号为³√a。

2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。

- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。

- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。

3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。

3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。

例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。

- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。

例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。

4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。

4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。

- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。

- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。

4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。

立方根和平方根的计算在数学中，立方根和平方根是两个常见的数学运算，用来求解一个数的平方根或立方根。

本文将介绍立方根和平方根的计算方法和应用。

一、平方根的计算平方根是指一个数的二次方根，即该数的平方等于给定的数。

平方根的计算方法可以通过数学公式或计算器进行。

1.1 数学公式平方根的计算可以通过牛顿迭代法或二分法来进行。

其中，牛顿迭代法是一种常用的逼近算法。

假设要计算数x的平方根，首先选择一个初始值y，然后通过以下迭代公式逐步逼近平方根的值：y = (y + x/y) / 2重复这个迭代过程，直到y的值足够逼近x的平方根为止。

这个方法通常能够较快地得到平方根的逼近值。

1.2 计算器计算器是一种便捷的工具，可以快速计算一个数的平方根。

只需在计算器上输入待求平方根的数，然后按下“平方根”键即可得到结果。

二、立方根的计算立方根是指一个数的三次方根，即该数的立方等于给定的数。

立方根的计算方法与平方根类似，也可以通过数学公式或计算器进行。

2.1 数学公式立方根的计算可以通过牛顿迭代法进行。

假设要计算数x的立方根，选择一个初始值y。

通过以下迭代公式逼近立方根的值：y = (2*y + x/(y^2)) / 3反复迭代上述过程，直到y的值足够逼近x的立方根为止。

2.2 计算器计算器也可以用来计算立方根。

输入待求立方根的数，然后按下“立方根”键即可得到结果。

三、立方根和平方根的应用立方根和平方根的应用十分广泛，在多个领域都有重要意义。

3.1 几何学在几何学中，立方根和平方根被广泛应用于计算图形的边长、面积和体积等相关问题，例如计算正方形的边长、正方体的体积等。

3.2 物理学在物理学中，立方根和平方根经常用于计算速度、加速度、力等物理量的大小，以及分析物体在运动过程中的相关问题。

3.3 工程学在工程学领域，立方根和平方根被广泛用于计算、设计和建模等方面，例如在结构力学、电气工程和信号处理等领域中的应用。

3.4 统计学在统计学中，立方根和平方根被用于求解数据的方差、标准差和相关系数等统计量，以及进行回归分析和预测模型的构建等。

初中数学知识归纳平方根与立方根的运算平方根和立方根都是数学中常见的概念，它们在数学运算中起着重要的作用。

本文将对初中数学中关于平方根和立方根的知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和运用这些概念。

一、平方根的运算平方根是指一个数的平方等于该数的正平方根。

平方根的运算可以通过开方的方式进行。

下面是一些平方根的性质和运算规则：1. 平方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^2 = b，则称a为b的平方根，记作√b，其中√b≥0。

2. 平方根的运算法则：a) 非负数的平方根都是非负数，即√a ≥ 0。

b) 平方根和平方的运算互为逆运算，即(√a)^2 = a。

c) 平方根符号√可以消去平方符号^2，即√(a^2) = a（其中a≥0）。

d) 平方根的运算满足乘法法则，即√(ab) = √a * √b。

e) 平方根的运算满足除法法则，即√(a/b) = √a / √b（其中b≠0）。

二、立方根的运算立方根是指一个数的立方等于该数的正立方根。

立方根的运算可以通过开方的方式进行。

下面是一些立方根的性质和运算规则：1. 立方根的定义：设a和b是整数，且b≥0，若a^3 = b，则称a为b的立方根，记作³√b，其中³√b≥0。

2. 立方根的运算法则：a) 实数的立方根是实数，即³√a是一个实数。

b) 立方根和立方的运算互为逆运算，即(³√a)^3 = a。

c) 立方根符号³√可以消去立方符号^3，即³√(a^3) = a。

d) 立方根的运算满足乘法法则，即³√(ab) = ³√a *³√b。

e) 立方根的运算满足除法法则，即³√(a/b) = ³√a / ³√b（其中b≠0）。

三、平方根和立方根的综合运用平方根和立方根在实际生活和数学问题中经常被使用，下面举几个例子说明它们的综合运用：1. 体积问题：当我们计算一个立方体的边长时，可以通过求边长的立方根来获取。

八年级数学掌握平方根和立方根的计算平方根和立方根是数学中的基础概念，也是我们在生活和学习中经常会用到的计算方法。

在八年级数学课程中，我们将学习如何准确地计算平方根和立方根，并在实际应用中加深对其理解。

本文将按照对应的数学知识点，分别阐述平方根和立方根的计算方法及实际应用。

一、平方根的计算平方根是指一个数的平方值等于给定数的运算。

我们常用符号√a表示数a的平方根，其中a被称为被开方数。

1. 完全平方数的平方根完全平方数是指可以由一个整数乘以自己得到的数。

例如，1、4、9、16等都是完全平方数。

当我们计算完全平方数的平方根时，可以直接提取其平方根的值。

例如，√4=2，√9=3。

2. 不完全平方数的平方根对于不完全平方数的平方根计算，我们可以使用近似值的方法。

首先需要明确计算的精度，通常以小数点后两位或更多位为准。

以√2为例，我们可以利用长除法的方法进行近似计算。

假设我们要计算的精度为小数点后两位，我们可以做以下步骤：- 找到一个整数a，使得a×a≈2；- 列出除法算式a÷2得到一个数a1；- 接着将a与a1的平均值作为新的商数，再次进行除法算式，直到达到所要求的精度。

通过多次迭代计算，最终可以得到√2≈1.41。

3. 平方根的实际应用平方根在实际应用中有广泛的用途。

例如，在几何图形中，我们可以利用平方根计算三角形的边长。

在物理学中，平方根可以用于计算速度、加速度等物理量。

二、立方根的计算立方根是指一个数的立方值等于给定数的运算。

我们通常使用符号∛a表示数a的立方根，其中a被称为被开三次方的数。

1. 完全立方数的立方根完全立方数是指可以由一个整数乘以自己两次得到的数。

例如，1、8、27、64等都是完全立方数。

当我们计算完全立方数的立方根时，可以直接提取其立方根的值。

例如，∛8=2，∛27=3。

2. 不完全立方数的立方根对于不完全立方数的立方根计算，我们也可以使用近似值的方法。

与计算平方根类似，我们需要明确计算的精度，并通过迭代计算逐步逼近精确值。

数学初中八年级教案：平方根和立方根平方根和立方根是数学中的重要概念，是初中八年级数学课程中的基础知识点。

本文将从平方根和立方根的定义、性质以及计算方法等方面进行介绍和讲解。

一、平方根的定义和性质平方根是指一个数的平方得到这个数本身的数值。

对于一个非负数a来说，它的平方根可以表示为√a或者a的1/2次方。

平方根的求解可以通过开平方运算来实现。

1. 平方根的表示方法：对于一个非负数a来说，如果满足x²=a，那么x就是a的平方根。

平方根用符号√a表示，其中√是求平方根的数学符号，a是被开方的数。

2. 平方根的性质：（1）非负数的平方根是唯一的。

即对于一个非负数a来说，如果x和y都是a的平方根，那么x和y必然是相等的。

（2）负数没有实数平方根。

因为任何数的平方都是非负数，所以对于负数来说，无法找到一个实数使得它的平方等于这个负数。

二、计算平方根的方法计算非负实数的平方根有多种方法，包括估算法、试除法、因数法等。

下面将介绍两种常见的计算平方根的方法。

1. 估算法：估算法是一种简单又实用的计算平方根的方法。

它通过对被开方数的大小进行估算，然后找到一个最接近的整数作为估算结果。

通常情况下，这个估算结果是比较接近被开方数的真实平方根的。

2. 试除法：试除法是一种逐步逼近真实平方根的方法。

它通过试探性地取一个数，然后将这个数的平方与被开方数进行比较，根据比较结果来逐步调整试探数，直到得到较为精确的平方根。

三、立方根的定义和性质立方根是指一个数的三次方得到这个数本身的数值。

对于一个实数a来说，它的立方根可以表示为³√a或者a的1/3次方。

立方根的求解可以通过开立方运算来实现。

1. 立方根的表示方法：对于一个实数a来说，如果满足x³=a，那么x就是a的立方根。

立方根用³√a表示，其中³√是求立方根的数学符号，a是被开方的数。

2. 立方根的性质：（1）任何实数都有一个唯一的立方根。

平方根与立方根平方根和立方根是数学中常见的两个运算，它们是求一个数的平方和立方的根。

平方根表示一个数的二次方根，立方根则表示一个数的三次方根。

在实际生活中，平方根和立方根常被应用于各种领域，包括科学、工程和金融等。

本文将介绍平方根和立方根的计算方法、应用以及一些有趣的数学问题。

1. 平方根的计算方法平方根的计算方法有多种，其中最常见的方法是使用开方运算。

假设要计算一个数x的平方根，可以使用以下公式：√x = y，则y*y = x。

例如，要计算25的平方根，可以得到√25 = 5。

这意味着5的平方等于25。

此外，还有一些特殊的数学方法可以用于计算平方根。

例如，牛顿法可以用于近似计算平方根。

此方法利用函数的切线逼近平方根的值，逐步逼近精确解。

2. 立方根的计算方法与平方根类似，立方根的计算也有多种方法。

同样，使用开方运算是最常见的方法之一。

假设要计算一个数x的立方根，可以使用以下公式：³√x = y，则y*y*y = x。

例如，要计算27的立方根，可以得到³√27 =³√(3*3*3) = 3。

这意味着3的立方等于27。

除开方运算外，还有其他方法可以计算立方根，如二分法和牛顿法。

这些方法可以用于逼近立方根的值，以获得更精确的结果。

3. 平方根和立方根的应用平方根和立方根在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些具体的应用示例：3.1 科学在科学领域，平方根和立方根常被用于测量和计算。

例如，在物理学中，平方根可以用于计算速度和加速度等物理量。

立方根则可以用于计算体积和空间结构等概念。

3.2 工程平方根和立方根在工程领域中也有广泛的应用。

例如，建筑设计中常用立方根来计算建筑物的体积和剖面积。

平方根则可以用于计算电路中的电压和电流等参数。

3.3 金融在金融领域，平方根和立方根可以用于计算风险和不确定性。

例如，在股票市场中，平方根可以用于计算波动率和股票价格的波动程度。

立方根则可以用于计算投资组合的收益率和风险调整后的回报率。

第1讲 平方根与立方根1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 3. 了解立方根的含义；4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 知识点01 平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”.考点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.【即学即练1】下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0 知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；目标导航知识精讲（3）0的平方根和算术平方根均为0．考点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【即学即练2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 知识点03 平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥知识点04 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.考点诠释：一个数a 3a a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.【即学即练3】下列语句正确的是（ ）A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B ．一个数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0知识点05 立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.考点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.考点六、立方根的性质 33a a -=- 33a a =()33a a =考点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.【即学即练4】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-考法01 平方根与算术平方根意义和区别（1）4-是 的负平方根．（2）116表示 的算术平方根，116= ． （3）181的算术平方根为 ． （4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．能力拓展考法02 利用平方根解方程（鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．考法03 平方根的应用要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？考法04 立方根定义（吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0考法05 利用立方根解方程求出下列各式中的a：（1）若3a＝0.343，则a＝______；（2）若3a－3＝213，则a＝______；a-＝8，则a＝______．（3）若3a＋125＝0，则a＝______；（4）若()31考法06 立方根的应用在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒cm，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了量得铁块排出的水的体积为64316cm．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？9π题组A 基础过关练1. 4的平方根是（ ）A. ± 2B.-2C. 2D. 12± 2．下列各数中没有平方根的是（ ） A ．()23- B ．0 C ．81 D ．36- 3．下列说法正确的是（ ）A ．169的平方根是13B ．1.69的平方根是±1.3C ．()213-的平方根是－13D ．－（－13）没有平方根 4．下列结论正确的是（ ）A ．2764的立方根是34±B ．1125-没有立方根 C ．有理数一定有立方根D ．()61-的立方根是－1 5．-8的立方根是（ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．32-6.下列说法中正确的有（ ）个.① 负数没有平方根，但负数有立方根．②49的平方根是28,327±的立方根是23±⋅ ③如果()322x =-，那么x ＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1．A ．1B ．2C ．3D ．47. 要使代数式有意义，则的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ． 8.下列各等式中，正确的是（ ）A ．﹣()23-=﹣3B ．±23=3C ．（3-）2=﹣3D ．23=±3分层提分题组B 能力提升练1．计算：（1121=______；（2）256=______；（3）212=______；（443=______；（52(3)-=______；（6）124=______． 2．（安徽三模）若264a =3a =______． 3．－881______． 4.11125的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 52(4)-______81______．题组C 培优拔尖练1．求下列各数的立方根：(1)0.001；(2)－2764；2．已知4x －37的立方根为3，求2x ＋4的平方根．3．(1)已知31－a 2＝1－a 2，求a 的值；(2)若31－2x 与33x －5互为相反数，求1－x 的值．4．已知一个正数的两个平方根分别是2m ＋1和5－3m ，求m 的值和这个正数．5．已知2m ＋3和4m ＋9是一个正数的平方根，求m 的值和这个正数的平方根．6．已知2m ＋2的平方根是±4，3m ＋n ＋1的平方根是±5，求m ＋2n 的值．7.321a -313b -a b的值.8．已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．9．求下列各式中的x ．（1）21431x -=； （2）2410x -=； （3）24(2)25x +=．10．（福清市期中）福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10m 的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．。

第二章 第一节 平方根【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。

2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。

特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。

3、开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。

4、开平方与平方的关系：互为逆运算。

5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。

6、形如()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。

①259； ②64； ④0.09； ⑤49151； ⑥0。

例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；例2、填空：（1）23= ； （2）()231-= ；（5）210= ； （6）()2101-= ；（9）对于任意数x ，2x = ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1）()0064252<=-x x （2）()4912=+x（3）()()3252100-=--x（4）13=x例4、已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。

例5、已知()02132=++-+-z y x ，求xyz 的值。

例6、x 为何值时，x x +-1有意义。

例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。

例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。

请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【随堂练习】一、选择题：1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。

例析平方根和立方根的知识点知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±a，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例1 81的平方根是( ).A.±9B. ±3C.9D.3解:因为81=9，故81的平方根就是9的平方根，即±9=±3，故选择B.注:应现将81化简后再求值.知识点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作a，0的算术平方根是0.例2 若a<0，则a2的算术平方根是( ).A.－aB.aC. ±aD. ±a解:当a<0时，a=|a|=－a，故选择A.例3 一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ).A.a+5B.a－5C. a2+5D. a2－5解: 一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C.知识点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0.例4 若m的平方根是2a－3和a－12，求m的值.解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，(2a－3)+(a－12)=0，解得a=5，所以m=(2a－3)2=72=49.例5 若2a－3和a－12是m的平方根，求的值.解析:本例与例4貌似一样，其实不然.因为“若m的平方根是2a－3和a－12”，得知2a－3和a－12互为相反数，而“若2a－3和a－12是m的平方根”，可得知2a －3和a －12相等或互为相反数.(1)当2a －3=a －12时，a= －9.所以2a －3=－18－3=－21，所以m=(－21)2=441.(2)当(2a －3)+(a －12)=0时，a=5，所以2a －3=10－3=7，所以m=72.故m=441或=49.例6 (北京海淀区)已知实数x ，y 满足x y -++=540，求代数式()x y +2006的值.解析:因为|5-x |≥0，4+y ≥0又x y -++=540.所以⎩⎨⎧=+=-,04,05y x 解得⎩⎨⎧-==.4,5y x 当x y ==-54，时，()()x y +=-=20062006541. 知识点四:立方根的概念及性质: 若x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作x=3a .0的立方根是0，任何实数都有立方根，并且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同.例7 求42717的立方根. 解:因为42717=,2712535,271253=⎪⎭⎫ ⎝⎛所以3527125的立方根是. 知识点五:利用计算器求平方根、立方根等.例8 （陕西省）用计算器比较大小: 0（填“＞”、“＝”、“＜”）． 解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目，要注意按键顺序.故填>.。

八年级上册数学立方根一、立方根的定义。

1. 概念。

- 如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根。

记作x = sqrt[3]{a}，其中a是被开方数，3是根指数。

- 例如，因为2^3=8，所以2是8的立方根，记作sqrt[3]{8}=2；又因为( - 2)^3=-8，所以-2是-8的立方根，记作sqrt[3]{-8}=-2。

2. 立方根与平方根的区别。

- 根指数不同：平方根的根指数是2（通常省略不写），立方根的根指数是3，不能省略。

- 被开方数的取值范围不同：平方根中被开方数a≥slant0，而立方根中被开方数a可以是任意实数。

- 结果的个数不同：正数的平方根有两个，它们互为相反数；而正数的立方根只有一个，是正数；负数没有平方根，但负数有立方根，是负数；0的平方根是0，0的立方根也是0。

二、立方根的性质。

1. 性质一：唯一性。

- 任何实数a都有唯一的立方根。

- 例如，sqrt[3]{27}=3，sqrt[3]{-27}=-3，不会存在另外一个数x≠3使得x^3=27，也不会存在另外一个数y≠ - 3使得y^3=-27。

2. 性质二：符号性。

- 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

- 即当a>0时，sqrt[3]{a}>0；当a = 0时，sqrt[3]{a}=0；当a<0时，sqrt[3]{a}<0。

三、立方根的计算。

1. 直接计算。

- 对于一些简单的数，可以直接根据立方根的定义计算。

- 例如：- 计算sqrt[3]{125}，因为5^3=125，所以sqrt[3]{125}=5。

- 计算sqrt[3]{-64}，因为( - 4)^3=-64，所以sqrt[3]{-64}=-4。

2. 利用公式计算。

- sqrt[3]{-a}=-sqrt[3]{a}。

- 例如，计算sqrt[3]{-216}，因为sqrt[3]{216}=6（6^3=216），所以sqrt[3]{-216}=-sqrt[3]{216}=-6。

初中数学平方根与立方根总结数学是一门重要的学科，它在我们生活中扮演着重要的角色。

其中，平方根和立方根是数学中的两个重要概念。

在初中数学学习中，我们会接触到这两个概念，并学习如何计算和运用它们。

本文将对初中数学中的平方根和立方根进行总结和详细介绍。

首先，让我们来了解平方根。

平方根即一个数的平方等于该数本身的非负实数解。

用数学符号表示，如果一个数x的平方根为a，那么就是 a² = x。

其中，a是x的平方根。

例如，数字4的平方根是2，因为2²= 4。

同样地，-2也是4的平方根，因为-2² = 4。

但是，通常情况下我们所说的平方根是指非负实数解。

在初中数学中，我们需要掌握计算平方根的方法。

其中，最常用的方法是使用手算法和使用计算器或电脑算法。

手算法需要我们掌握一些基本的数学运算法则，如平方根的相关性质和运算规则。

而使用计算器或电脑算法则更为简便快捷。

在手算法中，求平方根可以采用试值法、数表法和解方程法。

试值法是一种逐步试错的方法，我们可以猜测一个数，然后进行求平方运算，直到找到结果符合条件的解。

数表法则是将平方根的结果记录在表格中，通过查表找到所需的平方根。

而解方程法是通过解二次方程来找到平方根的解。

除了计算平方根，我们还需要掌握一些与平方根相关的概念和性质。

首先是平方根的性质，即平方根是一个非负的实数。

其次，我们需要了解平方根与数的大小关系，如平方根的大小与原数的大小关系。

例如，较大的数字的平方根通常也较大。

此外，我们还需要理解平方根的应用。

平方根在几何学中被广泛应用，如在勾股定理中的应用以及计算球体体积等。

接下来，让我们来了解立方根。

立方根是一个数的三次方等于该数本身的实数解。

用数学符号表示，如果一个数x的立方根为a，那么就是 a³ = x。

其中，a是x的立方根。

例如，数字8的立方根是2，因为2³= 8。

类似地，-2也是8的立方根，因为-2³ = 8。

平方根与立方根及解析一、平方根的概念与运算性质平方根是数学中常见的运算，表示一个数的平方根。

如果一个数a的平方等于b（即a²=b），那么a就是b的平方根。

平方根通常用符号√表示。

平方根的运算性质如下：1. 非负数的平方根都是有意义的，即对于非负数b，b的平方根√b一定存在。

2. 负数的平方根在实数范围内没有实数解。

例如，-1的平方根不存在于实数范围内。

3. 如果a>0，那么a的平方根有两个解：一个是正的，一个是负的。

例如，4的平方根有±2两个解。

4. 平方根具有乘法性质，即√(ab)=√a * √b。

这个性质有助于进行平方根的计算。

二、立方根的概念与运算性质立方根是指一个数的立方等于另一个数的根。

如果一个数a的立方等于b（即a³=b），那么a就是b的立方根。

立方根通常用符号³√或者∛表示。

立方根的运算性质如下：1. 任意实数都有唯一的立方根。

即对于任意实数b，b的立方根³√b存在且唯一。

2. 正数的立方根只有一个解，即正数本身。

例如，8的立方根为2。

3. 负数的立方根在实数范围内没有实数解。

例如，-1的立方根不存在于实数范围内。

4. 立方根具有乘法性质，即³√(ab)=³√a *³√b。

这个性质有助于进行立方根的计算。

三、平方根与立方根的解析方法1. 平方根的解析方法求一个数的平方根可以使用不同的解析方法，其中最常见的方法有以下几种：（1）因数分解法：将一个数分解成若干个因数的乘积形式，然后对每个因数求平方根。

（2）二分法：首先确定一个范围，然后将范围内的数逐次求平方，直到找到与目标数接近的解。

（3）牛顿迭代法：利用泰勒级数来逼近目标数的平方根，通过迭代计算最终得到解。

2. 立方根的解析方法求一个数的立方根可以使用类似的解析方法，其中常见的方法包括：（1）因数分解法：将一个数分解成若干个因数的乘积形式，然后对每个因数求立方根。