【易错题】高中必修二数学下期中模拟试卷(及答案)

【易错题】高中必修二数学下期中试卷带答案(1)一、选择题1．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．82．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π 4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π5．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．812π B ．814π C ．65π D ．652π 6．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20π B ．40π C ．80π D ．160π7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为3，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π8．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π9．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 10．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．153B ．53C ．64D ．10412．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 二、填空题13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)14．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.15．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．16．若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．17．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.18．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．19．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^；④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.三、解答题21．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．22．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且2BD AE =，F 为CD 的中点.（1）求证：//EF 面ABC（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值23．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =uur uu r（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；24．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．25．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD =（1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．26．已知圆22:20M x y x a +-+=（1）若8a =-，过点(4,5)P 作圆M 的切线，求该切线的方程；（2）当圆22:(1)(23)4N x y ++-=与圆M 相外切时，从点(2,8)Q -射出一道光线，经过y 轴反射，照到圆M 上的一点R ，求光线从点Q 经反射后走到点R 所走过路线的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为2所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 2．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，BC ∴=PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2PC R ===R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.4．C解析：C【解析】【分析】 2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥， 2与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为33∴三棱锥的外接球体积为(343433ππ⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．5．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球， 故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B .【点睛】 本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球. 6．C解析：C【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】 SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =.ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A ==，设球O 的半径为R ， 则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得5R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．C解析：C【解析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =， 所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC V 为等腰三角形． 所以：23BC =在ABC V 中，设外接圆的直径为324120r sin ==︒， 则：2r =， 所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用． 8．C解析：C【分析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 9．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC V 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S V 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =V ，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO V 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ． 考点：球内接多面体，球的表面积． 10．C解析：C【解析】【分析】（1）翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ，从而使得（1）有可能；（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面（4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立. 【详解】（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BC AB ⊥，又Q 平面ABE I 平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABE ，AE ⊂Q 平面ABC ，此时AE BC ⊥；（2）设AB BC a ==，则2AC a =，且有AE CF a ==，翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，AE CE ⊥， 即AE FC ⊥；（3）如下图所示：翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直， 取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .ABE ∆Q 是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.Q 平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE I 平面ABC AB =，DE ⊂平面ABE .DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴， DE ⊄Q 平面FGT ，FG ⊂平面FGT ，//DE ∴平面FGT .G Q 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，AB ⊄Q 平面FGT ，GT ⊂平面FGT ，//AB ∴平面FGT . DE AB D =Q I ，∴平面//EAB 平面FGT ；（4）假设AE 与BC 可能平行，BC AB ⊥Q ，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=o ， 即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行. 因此，可能正确命题的个数为3. 故选：C. 【点睛】本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题.11．D【解析】 【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角， 设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===， 设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为10，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)2210219d -⨯--==<+，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.二、填空题13．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④ 【解析】 【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ， ∴l ∥平面ABCD ，故①成立； 又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立； 当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立． 即不成立的结论是④.14．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π【解析】 【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =PB =PBC V 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径R ===O 的表面积．【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC V 为直角三角形，因此BC =BC =（舍）．所以只可能是BC = 此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥， 所以平面ABC 所在小圆的半径即为22ACr ==， 又因为2PA =，所以外接球O 的半径R ===所以球O 的表面积为24π20πS R ==． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．15．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关解析：323π【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,ACB AC BC ∠=︒==AB 的中点O ，AC 的中点E ，连OC,OE 。

【易错题】高中必修二数学下期中试卷带答案一、选择题1．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 2．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒ 3．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．26B 3C ．23D ．22 5．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）6．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③7．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π8．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm9．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π10．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π11．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ） A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 12．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC ．2aD ．22a 二、填空题13．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为_________.14．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD V 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，设AK t =，则t 的取值范围是__________．15．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．16．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.17．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.18．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．19．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______ 20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______.三、解答题21．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．22．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，23SA AB ==，，1BC =，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.23．如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使3PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.24．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．（1）求证：//AB 平面DEF ；（2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ；（3）求三棱锥1E ACB -的体积.26．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A 6，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 2．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.3．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.4．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=，∴116 13OO=-=，∴高SD=2OO1=263，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=3，∴132623436S ABCV-=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．5．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 6．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a∥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故①错误；②若a∥b，a⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b⊥α，故②正确；③a⊥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故③错误；④若a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a∥b，故④正确．故选B．7．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD为等腰直角三角形，其外心为BD中点1O，设O为AD中点，则O为外接球球心，半径长度为15 22 AD=，所以表面积为25π.8．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.9．C解析：C【解析】【分析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C. 考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.10．C解析：C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11．C解析：C【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即1522r AC ===，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.12．D解析：D【解析】【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，11222HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.二、填空题13．【解析】【分析】取正的外心为过作平面的垂线在上取点使得即得是三棱锥外接球球心求出球半径可得体积【详解】如图是外心延长线与交于点是中点过作平面取∵平面ABC∴到的距离相等∴是三棱锥外接球球心∴所以故答 解析：323π 【解析】 【分析】 取正ABC 的外心为M ，过M 作平面ABC 的垂线，在上取点O ，使得12OM AD =，即得O 是三棱锥A BCD -外接球球心，求出球半径可得体积．【详解】如图，M 是ABC ∆外心，AM 延长线与BC 交于点E ，E 是BC 中点，过M 作MO ⊥平面ABC ，取12OM AD =， ∵AD ⊥平面ABC ，∴//MO AD ，O 到,A D 的距离相等，∴O 是三棱锥A BCD -外接球球心，23333AM =⨯⨯=，3OM =，∴22223(3)23OA OM AM =+=+=， 所以2344()(23)32333V OA πππ==⨯=． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心．三棱锥外接球球心在过各面中点且与面垂直的直线上．14．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件 解析：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】当F 位于DC 的中点，点D 与AB 中点重合，1t =．随F 点到C 点，由CB AB ⊥，CB DK ⊥，得CB ⊥平面ADB ，则CB BD ⊥．又2CD =，1BC =，则3BD =．因为1AD =，2AB =，所以AD BD ⊥，故12t =． 综上，t 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.15．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其解析：105. 【解析】【分析】 连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形，所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=o，由勾股定理可得12CM D M ==，1CDN Q 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，111cos D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．16．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC，可得PC =PB =PBC V为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O的半径R ===O 的表面积． 【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ， 2PA AB ==，4AC =，PC =PB =因为PBC V 为直角三角形，因此BC =BC =（舍）．所以只可能是BC =此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，所以平面ABC 所在小圆的半径即为22AC r ==， 又因为2PA =，所以外接球O 的半径2222152PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 所以球O 的表面积为24π20πS R ==．【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题． 17．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：262+ 【解析】 【分析】 首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解． 【详解】 在POB V 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点，从而2626OC OE EC +''=+== 亦即CE OE +26+ 26+ 【点睛】 本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．18．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解.【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题. 19．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以解析：25x y +=【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程.【详解】因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0,12k =∴=-， 所以切线方程为112022x y --++=， 所以切线方程为25x y +=， 故答案为：25x y +=【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离0022AxBy Cd A B ++=+.20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：)1,2⎡⎣【解析】【分析】由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。

【易错题】高中必修二数学下期中一模试题附答案一、选择题1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A ．2732B ．10863+ C ．1663+ D ．3221663+3．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=4．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<6．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离8．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π9．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭10．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+2511．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32C ．2或0D ．-2或012．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________14．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.15．已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．16．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .17．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．18．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.20．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角1A A B C --的余弦值． 23．在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点. （1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 24．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ； （2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.25．已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 6存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．2．D解析：D 【解析】 【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=， 设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+= 所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(11322166442642323⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．3．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。

【易错题】高中必修二数学下期中模拟试题带答案(1)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）4．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y +-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞6．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在8．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32-9．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm10．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+2511．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．15．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________. 16．过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________．17．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．18．若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.19．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.三、解答题21．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．22．如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE 'V 位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .（1）求证：A E BC '⊥；（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .24．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．25．如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，12AB AD BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：（1）设G 为AD 中点，求证：//DC 平面GBE ；（2）若平面DAE ⊥平面ABCE ，且F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥．26．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积； （Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】 【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案. 【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ， 易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案. 【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．5．B解析：B 【解析】 【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．6．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴-=PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC =++205==5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.8．A解析：A 【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =.又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.10．A解析：A【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为2+5故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.11．C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆心，∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=．故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.12．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D. 二、填空题13．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x －5y +1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果.【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y +-=--+=+. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题. 14．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 15．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可.【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()1211416832833V S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=. 故答案为：28．【点睛】 本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所 解析：3210x y +-=【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可．【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ， 则直线l 的方程为：3212y x -=-+（） ，化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=．【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．17．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥所以切线长的最小值为=4.故答案为4 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.18．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则解析：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线，对于曲线()2:111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥，曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=，则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =.结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A解析：菱形【解析】【分析】【详解】根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ， 又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形20．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥I 平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60o【解析】试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，先证明//OH BD ，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ；思路二：先证明平面//FGH 平面ABED ，再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .（Ⅱ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH ，证明MNH ∠即为所求的角，然后在三角形中求解.试题解析：（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE G =为AC 的中点可得//,DF GC DF GC =所以四边形DFCG 为平行四边形则O 为CD 的中点又H 为BC 的中点所以//OH BD又OH ⊂平面,FGH BD ⊂平面,FGH所以//BD 平面FGH ．证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点可得//,,BH EF BH EF =所以四边形BHFE 为平行四边形可得//BE HF在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以//GH AB又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED因为BD ⊂平面ABED所以//BD 平面FGH（Ⅱ）解法一：设2AB =，则1CF =在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点 由12DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形，因此//DG CF又FC ⊥平面ABC所以DG ⊥平面ABC在ABC ∆中，由,45AB BC BAC o ⊥∠=，G 是AC 中点，所以,AB BC GB GC =⊥因此,,GB GC GD 两两垂直,以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -所以())()()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G B C D 可得()22,0,2,122H F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 故()22,2,1GH GF ⎫==⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r 设(),,n x y z r =是平面FGH 的一个法向量，则由0,{0,n GH n GF ⋅=⋅=u u u r r u u u r r 可得0{20x y z +=+=可得平面FGH 的一个法向量()1,1,2n r =-因为GB uuu r 是平面ACFD 的一个法向量，()2,0,0GB =u u u r 所以21cos ,222GB n GB n GB n ⋅===⋅u u u r r u u u r r u u u r r 所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60o解法二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥又FC AC C ⋂=所以HM ⊥平面ACFD因此GF NH ⊥所以MNH ∠即为所求的角在BGC ∆中,12//,,22MH BG MH BG == 由GNM ∆∽GCF ∆可得,MN GM FC GF= 从而6MN =由MH ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD得,MH MN ⊥因此tan 3HM MNH MN∠==所以60MNH ∠=o所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o .考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.22．（1）证明见解析（2）3 【解析】【分析】 （1）利用直线与平面垂直的判定定理证明A E '⊥面A BC '，再根据直线与平面垂直的性质可得A E BC '⊥；（2）依题意得就是直线A B '与面BCDE 所成角，延长EO 交BC 于H ，连接A H '，在直角三角形A EH '中得60A EH '=︒，在直角三角形A EO '中得3A O '=，在直角三角形A OB '中得3sin A BO '∠=. 【详解】 （1）证明：∵A E A B ''⊥，A E A C ''⊥又∵A B A C A '''⋂=∴A E '⊥面A BC '∴A E BC '⊥.（2）∵点A '在底面上的射影为O .∴AO '⊥面BCDE∴A BO '∠就是直线A B '与面BCDE 所成角.延长EO 交BC 于H ，连接A H '如图：∵A E BC '⊥，AO BC '⊥且A O A E A '''⋂=∴BC ⊥面A EO '∴BC EO ⊥∵E 为AD 中点∴H 为BC 中点∵1A E '=，2EH =由（1）知A E A H ''⊥∴60A EH '=︒∴2A O '=∴2sin 24A O BO A AB '∠==''= 所以直线A B '与平面BCDE【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题.23．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）先证明PO ⊥平面BCD ，再证明平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）先证明//OM DC .再证明//OM 平面PCD .【详解】（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =，所以6CO =，3AO =.即3PO =，又因为PC =PO CO ⊥ .因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥.又因为BD OC O ⋂=，所以PO ⊥平面BCD .又因PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面BCD .（Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BO DO =， 又因为2BM CM =，因此BO BM DO CM=，所以//OM DC . 又因为OM ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以//OM 平面PCD .【点睛】本题主要考查线面平行和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）750x y +-=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD 的方程，只需确定C ，D 坐标即可：34(,)55C -，(5,0)D ，直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD 的方程为750x y +-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0x y Dx Ey F +++=设(3,4)(01)C m m m -<≤，则D (5+4,0)m ，从而()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 1分又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -， 3分由4BD =，得(5,0)D ， 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=． 6分（2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =． 7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，所以D 点的坐标为(5+4,0)m 8分又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=，12分 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,{+2=0x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==-所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分考点：直线与圆方程25．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG ，先证明四边形ABCE 为平行四边形，再通过证明//OG DC ，即可得到//DC 平面GBE ；（2）通过证明AC ⊥平面DFH ，即可得到DF AC ⊥.【详解】（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG .因为//AB CD ，12AB AD BC CD a ====， E 为CD 中点 所以AB CE =，即四边形ABCE 为平行四边形所以O 为AC 的中点因为G 分别为AD 的中点，所以//OG DC ，又因为OG ⊂平面GBE ，DC ⊄平面GBE ，所以//DC 平面GBE ；（2）取AE 中点H ，连接,DH FH .因为,F H 分别为,AB AE 中点，所以//FH BE ，易知，四边形ABCE 为菱形，所以AC BE ⊥，所以AC FH ⊥，又因为DA DE =，H 为AE 中点，所以DH AE ⊥，又平面DAE ⊥平面ABCE ，所以DH ⊥平面ABCE ，所以DH AC ⊥，又因为DH FH H ⋂=，所以AC ⊥平面DFH ，则DF AC ⊥.【点睛】本题主要考查线面平行和线线垂直的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.26．（Ⅰ）8123π（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用正方体体积减去截去部分的体积即可求解（Ⅱ）利用正四面体与正方体的外接球一致求解【详解】(Ⅰ)三棱锥1B ABC -的体积1114222323V =⋅⋅⋅⋅=， 切去部分的体积为14164433V =⋅= 正方体的体积为22228V =⋅⋅= ∴四面体的体积3168833V =-= (Ⅱ)∵正方体的棱长为2，∴正方体的体对角线长为∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线∴外接球直径2R =R =∴外接球表面积为2412S R ππ==【点睛】本题考查组合体体积，外接球问题，是基础题。

【易错题】高中必修二数学下期中试卷(带答案)(2)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．43．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073πB ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 4．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．645．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．36．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π7．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,38．已知点()1,2-和3,0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）A ．3B ．22C ．23D ．2510．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．16011．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行二、填空题13．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________. 14．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.15．底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________16．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.17．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．18．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________19．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()3x g x -=，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____20．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题21．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ； （2）若二面角P －AD －B 为60°． ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ； ②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．22．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．24．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值． 25．如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面1,//,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：平面BEF ⊥平面PAC26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 6存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．D解析：D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．3．D解析：D【解析】 【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D . 【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则OA =,1PO ⊥平面ABCD .则22211OO O A OA +=,即()222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果. 【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E 设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥Q 平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥ OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+=解得：3x =，3R =∴球的体积为：343V R π==本题正确选项：D 【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.6．A解析：A 【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球， 外接球的直径等于长方体的对角线，即2R ==246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8．D解析：D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (3,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1).()121,01PA PB k k ---==-==-∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项.9．D解析：D 【解析】 【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE ==，则|AB |==， 故选D ． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．10．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得AC ==同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.12．D解析：D【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，Q 在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥Q 平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ^Q ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.二、填空题13．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：28 【解析】 【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可. 【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()121211416832833V S S S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=.故答案为：28． 【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平 解析：7π【解析】 【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P﹣BDC 的外接球半径R ，由此能求出该球的表面积． 【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P ﹣BDC 外接球的球心为O ， △PCD 外接圆圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ， ∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB ＝2，∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝2， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯＝7π． 故答案为：7π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．15．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据解析：【解析】 【分析】将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分相加求和即可. 【详解】如图, 将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分.其中四棱锥N ACPM -的高为2sin 60⨯︒=.ACPM 为梯形.则()352132N ACPM V -+⨯=⨯=143N ABC V -==故多面体ABC MNP -体积为83434333+=故答案为：3【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法,根据多面体的特征分为两个棱锥计算即可.属于中档题.16．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的解析：2271416x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭(2)y < 【解析】 【分析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解. 【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即()222421a x y ++-=，联立消去a 并由图可知2y <，可得()2271()2416x y y +-=<.故答案为：()2271()2416x y y +-=<【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.17．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4） 【解析】 【分析】 【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．18．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正解析：13-【解析】 【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论. 【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小， 正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，AM MC ==P ABCD -中，AC =在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.19．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得解析：2] 【解析】 【分析】根据斜率的几何意义，()32g x x =-表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()g x =为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x =∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A点与[0,1]y x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入[0,1]y x =∈得，320,0,14(32)0kx k k k k --=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得k =或k =当37 k+=时，37[0,1]372x==-∈+⨯，当37k-=时，37[0,1]372x==+∉-⨯不合题意，舍去，()g x值域为37[,2]+.故答案为:37[,2]+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.20．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点且OA＝OB＝OC＝OD进而在△A0B中利用余弦定理求得cos∠AOB的值则∠AOB可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心解析：23π【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA＝OB＝OC＝OD，进而在△A0B中，利用余弦定理求得cos∠AOB的值，则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA＝OB＝OC＝OD＝1，再由AB3=A0B中，利用余弦定理cos∠AOB11312112+-==-⨯⨯，则∠AOB23π=，则弧AB23π=•123π=．故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②11． 【解析】试题分析：（1）要证明//EF 平面PAB ，可以先证明平面//EF MA ，利用线面平行的判定定理，即可证明//EF 平面PAB ；（2）①要证明平面PBC ⊥平面ABCD ，可用面面垂直的判定定理，即只需证明PB ⊥平面ABCD 即可；②由①BE ⊥平面PBC ，所以FEB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角，由PB =ABP ∠为直角，即可计算,AM EF 的长度，在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ． 因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ． 又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形， 所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ． （2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ， 所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△PAD 中，由PA ＝PD AD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD ，AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB 从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ． 又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB 及已知，得∠ABP 为直角．而MB ＝12PB AM EF又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ．所以直线EF 与平面PBC ．考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据BE ⊥平面PBC ，可以确定FEB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角，可放置在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值．22．（1）()()22314x y -+-=（2）5【解析】 【分析】（1）首先列出圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，12222S PM PM =⨯⨯⨯=，这样求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小. 【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>．由题意得()()()()222222250,11,31,a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩解得3,1,2.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故圆C 的方程为()()22314x y -+-=．另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-⎧⎨=-⎩解得3,1,x y =⎧⎨=⎩从而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()22314x y -+-=．（2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC S S =V ． 因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以12PMC S PM CM PM =⋅=V ，即22PMC S S PM ==V ． 因为PM CM ⊥，所以2224PM PC r PC =-=-因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以()22334110334PC ⨯-⨯+≥=+-，则245PM PC =-≥，即225PMC S S =≥V ．故四边形PMCN 的面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取PD 中点G ，连接AG 、FG ，由题意结合中位线性质可得//FG AE 且FG AE =，即可得四边形FGAE 为平行四边形，进而可得//FE AG ，再由线面平行的判定即可得证；（Ⅱ）由线面垂直的性质和正方形的性质可得DO ⊥平面PAC ，进而可得DO AF ⊥，由平面几何知识可得AF PO ⊥，再由线面垂直的判定即可得证. 【详解】（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接AG 、FG ，Q E ，F 分别为AB ，PC 的中点，底面ABCD 为正方形∴//FG CD 且12FG CD =，//AE CD 且12AE CD =，∴//FG AE 且FG AE =，∴四边形FGAE 为平行四边形， ∴//FE AG ,又FE ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴//EF 平面PAD .（Ⅱ）证明：Q 底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，∴PA DO ⊥，AC DO ⊥，Q PA AC A =I ，∴DO ⊥平面PAC ， ∴DO AF ⊥，在PAC V 中，设PO AF H =I ，如图，由题知90PAC ∠=o ， O ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴AF FC =即CAFFCA ??， 设PA a =，则2AC a =，22AO a =， ∴APO ACP V V ∽，∴APOPCA ??，∴90AHP ∠=o 即AF PO ⊥， 又PO OD O =I ，∴AF ⊥平面POD .【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直的判定，考查了空间思维能力，属于中档题.24．（1）证明见解析；（215 【解析】【分析】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，OC OA ⊥，可证OC ⊥平面AOB ，即可证明结论； （2）取OB 中点E ，连DE ，则//DE AO ，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，解Rt CDE ∆，即可求出结论.【详解】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB I 平面AOC OA =， ,OC OA OC ⊥⊂平面,AOC OC ∴⊥平面AOB ，OC ⊂Q 平面,COD ∴平面COD ⊥平面AOB ；（2）取OB 中点E ，连DE ，D 为AB 的中点，//DE AO ∴，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，,,,OA OB OA OC OB OC O OA ⊥⊥=∴⊥Q I 平面BOC ，DE ∴⊥平面BOC ，CE ⊂平面,BOC DE CE ∴⊥，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，2223,2,3,()52OB OA OB OC DE CE OC ∴===∴==+= 15tan 3CE CDE DE ∴∠==， 所以异面直线AO 与CD 15【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.25．（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，则可根据OF 是APC ∆中位线求证OF AP P ，进而得证；（2）由线段关系可证BE CD ∥，又由AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，进而可得BE AC ⊥，再结合四边形ABCE 是菱形可得BE AC ⊥，即可求证；【详解】（1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，又1,2AB BC AD ==BC AE ∴=， 又//AD BC Q ，所以四边形ABCE 是菱形，则O 是AC 中点，又F 为PC 中点，∴OF 是APC ∆中位线，OF AP ∴P ， AP ⊄平面BEF ，OF ⊂平面BEF ，∴//AP 平面BEF ；（2）由（1）可知四边形ABCE 是菱形，BE AC ∴⊥，又Q AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，E 为AD 中点可得BC ED =，又//AD BC Q ，∴四边形BCDE 为平行四边形，CD BE P ，AP BE ∴⊥，AC AP A =I ，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC【点睛】本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题26．（1）证明见解析；（2）23；（3）存在，3BP =或23BP = 【解析】【分析】（1）以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r，得到证明. （2）平面DEF 的一个法向量为()12,1,0n =u r ，平面BEF 的一个法向量为()12,1,2n =u r ，计算夹角得到答案.（3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，22cos AP n AP n θ⋅=⋅u u u r u u r u u u r u u r ，解得答案. 【详解】（1）取BC 中点G ，连接DG ，易知DA DG ⊥，平面EDCF ⊥ABCD ，四边形EDCF 为矩形，故ED ⊥平面ABCD . 以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,2,2F -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,2E . ()1,2,2DF =-u u u r ，()1,0,2AE =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r ，故DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r ， 故//DF 平面ABE . （2）设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即20220z x y z =⎧⎨-++=⎩， 取1y =，则()12,1,0n =u r .设平面BEF 的一个法向量为()2,,n a b c =u u r ，则2200n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，即20220x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩， 取1y =，则()12,1,2n =u r .则121212cos ,3n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ，故二面角B EF D --二面角的正弦值为23. （3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r ，则()1,22,2P λλλ--，(),22,2AP λλλ=--u u u r ，()12,1,2n =u r ，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，则()()222226cos 3222AP n AP n θλλλ⋅===⋅+-+u u u r u u r u u u r u u r ，解得23λ=或29λ=. 故3BP BE λλ==u u u r u u u r ，故3BP =或23BP =.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。

【易错题】高中必修二数学下期中模拟试卷含答案一、选择题1．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,AB BC AC ===锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．2732B C D2．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．643．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．3+4．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<5．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．26．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=7．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π8．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．D 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a10．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．B ．C ．D ．11．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2B ．12或32C ．2或0D ．-2或0 12．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 14．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.15．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。

【易错题】高中必修二数学下期中一模试卷附答案一、选择题1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,35．直线(2)4y k x =-+与曲线0x =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞6．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．47．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π8．若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A ．1-或2B ．1-C ．2D ．不存在9．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π11．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶5D ．3∶212．如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v，则点A 的横坐标为________． 14．已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.15．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ．16．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.17．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()3x g x -=，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____18．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．19．已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为__________．20．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．三、解答题21．如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE 'V 位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .（1）求证：A E BC '⊥；（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.22．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积.23．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=o 分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AFC --的正切值．24．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明； (2)求三棱锥E －ABC 的体积.25．设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.26．如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面1,//,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：平面BEF ⊥平面PAC【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．2．D解析：D 【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．5．B解析：B 【解析】 【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+，此直线与曲线相切，此时有23221k k-=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】直接根据直线平行公式得到答案. 【详解】直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则()12a a -=，解得2a =或1a =-.当1a =-时，两直线重合，排除. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，意在考查学生的计算能力，多解是容易发生的错误.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误； 在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确； 在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．二、填空题13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ， 由0AB CD ⋅=u u u v u u u v 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.14．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】 【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围. 【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.15．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A ＝120°AB ＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60【解析】 【分析】 【详解】设AC与BD交于点O．在三角形ABD中，因为∠A＝120°，AB＝2．可得AO＝1．过A作面BCD的垂线，垂足E，则AE即为所求．由题得，∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60°．在RT△AOE中，AE＝AO•sin∠AOE＝32．16．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心解析：523【解析】【分析】如图所示，根据外接球的球心O恰好是CD的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，由O 是CD 的中点得221222322D ABC O ABC V V d --==⨯⨯⨯=，解得d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心，所以13CO =，所以222133R =+=⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得解析：2] 【解析】 【分析】根据斜率的几何意义，()32g x x =-表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()g x =为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x =∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-，最小值为过A 点与[0,1]y x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入[0,1]y x =∈得，320,0,14(32)0kx k k k k --=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得34k +=或34k =当37 k+=时，37[0,1]372x==-∈+⨯，当37k-=时，37[0,1]372x==+∉-⨯不合题意，舍去，()g x值域为37[,2]+.故答案为:37[,2]+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.18．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆22:243C x y x y++-+=0关于直线26ax by++=0对称,所以圆心()1,2C-在直线26ax by++=0上,所以2260a b-++=,即3a b-=,2,当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为()()2212a b++-()2221832a-+≥所以切线长的最小值为()22(32)2-=4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b)与圆心的距离最小时.19．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a所以2b2a=223 be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62解析：【解析】试题分析：由题意，得抛物线的准线为，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为，所以，即，所以，整理，得，解得或．又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以．考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．20．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理． 详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，∴2221251k+==+，又0k >， ∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．三、解答题21．（1）证明见解析（2）34【解析】 【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明A E '⊥面A BC '，再根据直线与平面垂直的性质可得A E BC '⊥；（2）依题意得就是直线A B '与面BCDE 所成角，延长EO 交BC 于H ，连接A H '，在直角三角形A EH '中得60A EH '=︒，在直角三角形A EO '中得3A O '=，在直角三角形A OB '中得3sin 4A BO '∠=. 【详解】（1）证明：∵A E A B ''⊥，A E A C ''⊥ 又∵A B A C A '''⋂= ∴A E '⊥面A BC ' ∴A E BC '⊥.（2）∵点A '在底面上的射影为O .∴AO '⊥面BCDE∴A BO '∠就是直线A B '与面BCDE 所成角. 延长EO 交BC 于H ，连接A H ' 如图：∵A E BC '⊥，AO BC '⊥且A O A E A '''⋂=∴BC ⊥面A EO ' ∴BC EO ⊥ ∵E 为AD 中点 ∴H 为BC 中点 ∵1A E '=，2EH = 由（1）知A E A H ''⊥ ∴60A EH '=︒ ∴3A O '=∴332sin 2A O BO A A B '∠==''= 所以直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值为3【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题. 22．（1）见解析；（2）26【解析】 【分析】（1）连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，易知底面EBCD 是平行四边形，则O 为BD 中点，又M 是BP 中点，可知PD MO P ，则结论可证.（2）先证明ADE V 是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得PD ⊥平面BCDE ，则由（1）可知MN ⊥平面BCDE ，则MN 为三棱锥M BCE -的高，底面BCE V 的面积容易求得，根据公式求三棱锥M BCE -的体积. 【详解】（1）在平面图中，因为12BE AB CD ==且//BE CD ， 所以四边形EBCD 是平行四边形； 在立体图中，连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，所以点O 是BD 的中点，又因为点M 为棱PB 的中点，所以//OM PD ，因为PD ⊄平面MCE ，OM ⊂平面MCE ， 所以//PD 平面MCE ； （2）在平面图中，因为EBCD 是平行四边形，所以DE BC =，因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以AD BC =，所以AD DE =，因为45BAD ∠=︒，所以AD DE ⊥； 在立体图中，PD DE ⊥，又平面PDE ⊥平面EBCD ，且平面PDE ⋂平面EBCD DE =，PD ⊂平面PDE 所以PD ⊥平面EBCD ，由（1）知//OM PD ，所以OM ⊥平面EBCD ， 在等腰直角三角形ADE 中，因为2AE =，所以2AD DE ==所以11222OM PD AD ===，又1BCE ADE S S ∆∆==， 所以1236M BCE BCE V S OM -∆=⋅⋅=. 【点睛】本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题.23．(1)见证明；(2) 23【解析】 【分析】(1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明 (2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解. 【详解】（1）PA ⊥Q 面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥； 又Q 底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o ，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥QAE ∴⊥面PAD ；（2）AE ^Q 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AEAHE AH PO AH∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大， 令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=o ，在Rt PAD ∆中，233PA =PA ⊥Q 面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ， 正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.3CM =.在PAB ∆中，23,2,3BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==， tan 23CMMNC MN∠==【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题. 24．（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明见解析（2）63【解析】 【分析】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可. 【详解】(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM ，EN ，取BC 的中点H ，连接AH ， ∵△ABC 是腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，∴AH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AH ⊂平面ABC ， ∴AH ⊥平面BCD ，同理可证EN ⊥平面BCD ， ∴EN ∥AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ， ∴EN ∥平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 的中点， ∴MN ∥BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC .又MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ， ∴平面EMN ∥平面ABC ， 又EF ⊂平面EMN ， ∴EF ∥平面ABC ，即直线MN 上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行. (2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ， 由(1)可知EN ∥平面ABC ，∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等， 又△BCD 是边长为2的等边三角形， ∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ， 易知DH 3，∴NG 3 又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×2×2231-2， ∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG 6. 【点睛】本题主要考查了线线平行，线面平行，面面平行的判定，面面垂直的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.25．(1)证明见解析；(2) 1013+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【解析】【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由题可得52B y a =+，521A a x a +=+，则()1252521AOB a S a a ++⋅=⋅+V ，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长； (3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程. 【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由()1520a x y a ++--=得，当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A a x a +=+， 又由5205201B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+V ， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，即52a +，521a a ++均为整数， 523211a a a +=+++Q ，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=.【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.26．（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，则可根据OF 是APC ∆中位线求证OF AP P ，进而得证；（2）由线段关系可证BE CD ∥，又由AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，进而可得BE AC ⊥，再结合四边形ABCE 是菱形可得BE AC ⊥，即可求证；【详解】（1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，又1,2AB BC AD ==BC AE ∴=， 又//AD BC Q ，所以四边形ABCE 是菱形，则O 是AC 中点，又F 为PC 中点，∴OF 是APC ∆中位线，OF AP ∴P ，AP ⊄平面BEF ，OF ⊂平面BEF ，∴//AP 平面BEF ；（2）由（1）可知四边形ABCE 是菱形，BE AC ∴⊥，又Q AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，E 为AD 中点可得BC ED =，又//AD BC Q ，∴四边形BCDE 为平行四边形，CD BE P ，AP BE ∴⊥，AC AP A =I ，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC【点睛】本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题。

【易错题】高中必修二数学下期中试题(及答案)(2)一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ） A ．1 B ．221- C ．22 D ．22．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-= 3．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π4．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．25．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．8 6．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．2B ．32C 322D ．227．已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．68．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π9．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC ．2aD ．2a 10．如图，正四面体ABCD 中，,EF 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④AEF∆的面积与BEF∆的面积相等，A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题13．如图，在长方形ABCD中，2AB=，1BC=，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将AFDV沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK AB⊥，K为垂足，设AK t=，则t的取值范围是__________．14．已知圆22(1)16x y++=，点(1,0),(1,0)E F-，过(1,0)E-的直线1l与过(1,0)F的直线2l垂直且圆相交于,A C和,B D，则四边形ABCD的面积的取值范围是_________. 15．如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____16．已知三棱锥P ABC-中，侧面PAC⊥底面ABC，90BAC∠=︒，4AB AC==，23PA PC==，则三棱锥P ABC-外接球的半径为______.17．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r ；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）18．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________20．已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60°，1AP =，3AD =，求直线AC 与平面ECD 所成角的正弦值.22．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.23．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．24．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥；（2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由. 26．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.(1)证明：BC ⊥平面ACFE ；(2)设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求cos θ的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离222d == 所以圆上的点到直线的距离的最小值为221.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。

【易错题】高中必修二数学下期中模拟试题(附答案)一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．22．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( ) A ．[]60,90︒︒ B ．[]30,90︒︒ C ．[]30,60︒︒ D ．[]45,90︒︒3．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π4．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-5．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．3 D ．3-6．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或17．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．309．已知点()1,2-和3,0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12C ．16D ．112．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等 C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．15．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．16．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．17．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .18．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 19．若直线l ：3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.20．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______三、解答题21．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =244AB BE AD ===.（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论； （2）求证：AC ⊥平面BCE ；（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值.22．如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE 'V 位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .（1）求证：A E BC '⊥；（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.24．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值．25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，14AA AC ==，2BC =.（1）求证；//PF 平面BDE ； （2）求直线PF 与直线BE 所成的角.26．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=， 圆心到直线的距离222d == 所以圆上的点到直线的距离的最小值为221. 故选B. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．A解析：A 【解析】 【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角. 【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒， 若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合， 过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '， 所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.3．A解析：A 【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球， 外接球的直径等于长方体的对角线， 即24116R =++=，所以外接球的表面积为：246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4．A解析：A 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =-， 又由圆心到直线的距离为11222d -++==，所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．A解析：A 【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则PM =又1122MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．6．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论 【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥， 底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为23，半径为3∴三棱锥的外接球体积为()343433ππ⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．8．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．9．D解析：D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B 3直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1).()121,01PA PB k k ---==-==-∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．A解析：A 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积． 【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．12．D解析：D 【解析】 【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案． 【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】 【分析】先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程. 【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-，平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=， 则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.14．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 15．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④ 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．16．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交 【解析】 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>， 则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离d =，Q圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=Q ，1R r -=， R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．17．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，所以30BAD BCA ∠==o .由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅o 2234xx =-+.故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2PD PB BD x x x BPD PD PB +-+--+∠===⋅， 所以30BPD ∠=o .过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅o ， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 303)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=o . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x x x x -=-+设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤.则231x t -=-（1）当03x ≤≤时，有2331x x t ==-故231x t =-此时，221(31)[23(31)]t t V -----=21414()66t t t t-=⋅=-.214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2x <≤x x =-=故x =此时，16V t +=21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 18．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故 解析：()4,2-【解析】 【分析】先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得()4,2-的对称点，由此得出结论.【详解】已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M . 则816102AB k ==---.∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-， 化为20x y -=.设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，则2214422022baa b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-.【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.19．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(033303k -==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 20．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以 解析：25x y +=【解析】 【分析】先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程. 【详解】因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0,12k=∴=-，所以切线方程为112022x y--++=，所以切线方程为25x y+=，故答案为：25x y+=【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点00(,)P x y到直线:0l Ax By C++=的距离d=.三、解答题21．（1）在BE上取点F，使得14BF BE=；证明见解析；（2）证明见解析；（3）3【解析】【分析】（1）在BE上取点F，使得14BF BE=，根据直线和平面平行的判定定理即得；（2）由线面垂直的判定定理即得；（3）取BE中点G，连接AG，CG，由//DE AG，可知AG 与平面CBE所成的角等于DE与平面CBE所成的角，已知AC⊥平面BCE，根据所给条件计算即得.【详解】（1）如图，在BE上取点F，使得14BF BE=，理由如下：OF是ABGV中位线，//,//OF AG FO DE∴∴，OF⊄平面CDE，//OF∴平面CDE.（2）已知AD⊥平面ABC，又//AD BEQ，BE∴⊥平面ABC，BE AC∴⊥，又AC CB⊥AC∴⊥平面EBC.（3）取BE中点G，连接AG，CG，//DE AGQ，∴AG与平面CBE所成的角等于DE与平面CBE所成的角，又AC⊥平面BCE，AGC∴∠是AG与平面CBE所成的角，在Rt ABC∆中，4AB=，AC=BC∴=∴在Rt BCG ∆中，223CG BC BG =+=，∴在Rt ACG ∆中，22tan AC AGC CG ∠==，即直线DE 与平面CBE 所成角的正切值为223.【点睛】本题考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的判断定理，以及求直线和平面所成的角的正切值，属于中档题. 22．（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明A E '⊥面A BC '，再根据直线与平面垂直的性质可得A E BC '⊥；（2）依题意得就是直线A B '与面BCDE 所成角，延长EO 交BC 于H ，连接A H '，在直角三角形A EH '中得60A EH '=︒，在直角三角形A EO '中得3A O '=A OB '中得3sin A BO '∠=. 【详解】（1）证明：∵A E A B ''⊥，A E A C ''⊥ 又∵A B A C A '''⋂= ∴A E '⊥面A BC ' ∴A E BC '⊥.（2）∵点A '在底面上的射影为O .∴AO '⊥面BCDE∴A BO '∠就是直线A B '与面BCDE 所成角. 延长EO 交BC 于H ，连接A H ' 如图：∵A E BC '⊥，AO BC '⊥且A O A E A '''⋂= ∴BC ⊥面A EO ' ∴BC EO ⊥ ∵E 为AD 中点 ∴H 为BC 中点 ∵1A E '=，2EH = 由（1）知A E A H ''⊥ ∴60A EH '=︒ ∴32A O '=∴332sin 2A O BO A A B '∠==''=所以直线A B '与平面BCDE 3【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题. 23．（1）22220x y x y +--=；（27 【解析】 【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C 是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长． 【详解】（1）因为22)4πρθ=-，所以()22cos cos sin sin 2cos sin 44ππρθθθθ⎫=+=+⎪⎭即()22cos sin ρρθρθ=+.因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，所以222()x y x y +=+，所以曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=（2）因为直线l的参数方程为2112xy t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），所以)x-=-=所以l的直角坐标方程为0x-+=所以圆心()1,1到直线l的距离12d==，所以AB===AB【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．24．（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）平面AOB⊥平面AOC，OC OA⊥，可证OC⊥平面AOB，即可证明结论；（2）取OB中点E，连DE，则//DE AO，CDE∠（或补角）为异面直线AO与CD 所成的角，解Rt CDE∆，即可求出结论.【详解】（1）平面AOB⊥平面AOC，平面AOB I平面AOC OA=，,OC OA OC⊥⊂平面,AOC OC∴⊥平面AOB，OC⊂Q平面,COD∴平面COD⊥平面AOB；（2）取OB中点E，连DE，D为AB的中点，//DE AO∴，CDE∠（或补角）为异面直线AO与CD所成的角，,,,OA OB OA OC OB OC O OA⊥⊥=∴⊥Q I平面BOC，DE∴⊥平面BOC，CE⊂平面,BOC DE CE∴⊥，在Rt AOBV中，30OAB∠=︒，斜边4AB=，2,OA OB OC DE CE∴===∴===tan3CECDEDE∴∠==，所以异面直线AO 与CD 所成角的正切值为15.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.25．（1）证明见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，可证P 为CD 中点，可证//PG BD ，////FG AC ED ，证明平面PFG P 平面BED ，从而得证； （2）以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，表示出PF u u u r 和BE u u u r ，利用向量的夹角公式即可求解【详解】（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，因为F 为AB 中点，G 为BC 中点，所以FG AC P ，又因为E 为1AC 中点，D 为1CC 中点，所以ED AC P ，所以FG ED ∥，又因为1CP =，14AA =，所以P 为CD 中点，所以PG BD P ，又因为FG PG G ⋂=，所以平面PFG P 平面BED ，FP ⊂平面PFG ，所以//PF 平面BDE ；（2）因为90ACB ∠=︒，三棱柱为直三棱柱，故以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()2,1,0,0,2,0,0,0,1,2,0,2F B P E ，故()()2,1,1,2,2,2PF BE =-=-u u u r u u u r ，cos ,0PF BE PF BE PF BE⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故直线PF 与直线BE 所成的角为90°【点睛】本题考查线面平行的证法，异面直线夹角的求法，属于中档题26．（1）1a =±;（2）(1,2)Q ;350x y +-=.【解析】【分析】（1）由平行可知系数的关系为21a =，进而可求a 的值；（2）整理直线1l 方程可知()120a x y -+-=，由1020x y -=⎧⎨-=⎩可求得定点坐标. 由分析知，当当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，点P 到直线1l 距离最大，由1PQ l ⊥可求出1l 的斜率，结合已知的1l 的方程，可求出此时a 的值，进而可求出直线1l 的方程.【详解】解：（1）12//l l Q ，21a ∴=，解得1a =±检验：当1a =时12:30:20l x y l x y +-=++=，符合12//l l当1a =-时12:10:20l x y l x y -+=-+=，符合12//l l综上：1a =±.（2）解：1:20l ax y a +--=Q 整理可得()120a x y -+-= ，由1020x y -=⎧⎨-=⎩ ， 解得12x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点(1,2)Q .则当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，距离最大. 此时1PQ l ⊥ ，直线PQ 的斜率为201153PQ k -==+，则1l 的斜率113PQk k =-=- ， 即3a -=-，解得3a =，此时直线1l 的方程为350x y +-=.【点睛】本题考查了两点斜率的求解，考查了直线平行、垂直.本题的难点是分析何时点P到直线1la=±后未检验.对于已知直线平行，根据系数的距离最大.易错点是做第一问时，求出1关系求出参数值后，应带回直线方程进行验证.。

【易错题】高中必修二数学下期中一模试卷(含答案)一、选择题1．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．42B ．32C ．322D ．222．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π3．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π4．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．5．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a6．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若，，则； ②若，，则；③若，，，则 ④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2B．12或32C ．2或0D ．-2或08．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．22a 9．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A ．153B ．53C ．64D ．10410．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题13．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．14．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==2AC BC ==AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.15．若直线l ：3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.16．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______17．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．18．若直线:20l kx y --=与曲线()2111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.19．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．20．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30°，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值． 23．如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE 'V 位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .（1）求证：A E BC '⊥；（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.24．如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，43BC=BC AC ⊥，3cos 4SCB ∠=-，D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．25．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．26．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积； （Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可. 【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.16==,故m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.2．C解析：C 【解析】 【分析】的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论 【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为∴三棱锥的外接球体积为343π⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ . 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．5．B解析：B 【解析】 【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ． 故选:B ． 【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．6．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可. 【详解】把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2).则圆心到直线0x y a -+=的距离d ==, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =. 所以a 的值为0或2. 故选C. 【点睛】本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.8．D解析：D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角， 设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN === 设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 2522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．B解析：B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．11．B解析：B【解析】 【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143xx ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AFFA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．12．D解析：D 【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题13．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关解析：323π【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。

【易错题】高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(及答案)(1)一、选择题1．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥2．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）3．直线(2)4y k x =-+与曲线0x =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在5．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．6．已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．67．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A．B ．5C D ．48．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭9．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56πC ．14πD ．64π10．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256πB ．8πC ．2516πD ．254π11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.14．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为__________.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.17．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.18．如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.19．已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为__________．20．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数 ①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．22．如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值； （3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .24．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ； （2）证明：//DE 平面ABC .25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形． （1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．26．设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案. 【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+，此直线与曲线相切，此时有23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可. 【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.16==,故m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.6．B解析：B 【解析】 【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.7．A解析：A 【解析】 【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴= 故选:A. 【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

【易错题】高中必修二数学下期中一模试卷(附答案)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．23．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A 2B ．17C ．2D ．84．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+5．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<6．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．47．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭8．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ； （3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE . A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．2a 11．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B ．1033C ．23D ．833二、填空题13．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为_________.14．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.15．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110yx a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．16．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．17．已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________．18．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．19．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．20．已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为__________．三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD . 23．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.（1）求证：EF P 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .24．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：BD ⊥平面PAC .25．如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．26．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=， 圆心到直线的距离222d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1. 故选B. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.4．D解析：D 【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1， 故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.5．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．7．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

【易错题】高中必修二数学下期中试题(及答案)一、选择题1．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．62．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ） A ．3B ．212C ．22D ．23．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或14．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5C ．26D ．42+5．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π6．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π7．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b8．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．19．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A．15B．53C．64D．10410．如图，正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，P 是线段AB 的中点，G是线段BD的动点，则( )A．存在点G，使PG EF⊥成立B．存在点G ，使FG EP⊥成立C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立11．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A．B．C．D．12．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥平面ABC，ABCV是等腰三角形，BA BC=，123AC CC==，，D是AC的中点，点F在侧棱1A上，若要使1C F⊥平面BDF，则1AFFA的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 二、填空题13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．14．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 15．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.16．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.17．若直线l ：3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________. 18．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()3x g x -=，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____19．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．20．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.三、解答题21．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积. 22．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．23．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =uur uu r（1）证明：//CE 平面PAD ； （2）求点B 到平面ECD 的距离；24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ； （2）求证：1AN A B ⊥.25．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=. （1）求B 点坐标； （2）求ABC ∆面积.26．设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.2．D解析：D 【解析】 【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形．∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=. 故选:A. 【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积． 【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．9．D解析：D 【解析】 【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角， 设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN === 设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 2522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，⊥成立，故A错误；在A中，不存在点G，使PG EF⊥成立，故B错误；在B中，不存在点G，使FG EP在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.12．B解析：B 【解析】 【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143xx ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AFFA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为 6【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 6 14．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl⊥α解析：②④ 【解析】 【分析】对每一个选项分析判断得解. 【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④ 【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15．【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关于x 轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关【解析】 【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离． 【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，|C C '''（2，﹣1）．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本解析：60° 【解析】 【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小. 【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则SB BC ==2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=o ，所以60EDC ∠=o . 故答案为：60o 【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.17．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(033303k -==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭18．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得 解析：37[2]4+ 【解析】 【分析】根据斜率的几何意义，()32x g x x =-表示函数y x =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()3x g x -=为点(x x 与点(2,3)连线的斜率，点(,),[0,1]x x x ∈在函数,[0,1]y x x =∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入,[0,1]y x x =∈得，320,0,14(32)0kx x k k k k -+-=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得374k +=或374k -= 当37k +=时，37[0,1]372x ==-∈+⨯， 当37k -=时，37[0,1]372x ==+∉-⨯ 不合题意，舍去，()g x 值域为37[,2]+.故答案为:37[,2]+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.19．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理． 详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，2221251k+==+又0k >， ∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．20．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 解析：23【解析】 【分析】作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值. 【详解】设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中2EF =，2222213BE =++=，所以2sin 3EF EBF BE ∠==. 故答案为：23【点睛】本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.三、解答题21．（1）证明见解析（2）8 【解析】试题分析：（1）欲证A 1D 1∥平面AB 1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A 1D 1与平面AB 1D 内一直线平行，连接DD 1，根据中位线定理可知B 1D 1∥BD，且B 1D 1=BD ，则四边形B 1BDD 1为平行四边形，同理可证四边形AA 1D 1D 为平行四边形，则A 1D 1∥AD 又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B 1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B 1BC 的体积，从而求出三棱锥B 1﹣ABC 的体积． 试题解析：（1）证明：如图，连结1DD .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =. 所以四边形11B BDD 为平行四边形，所以11//BB DD ，且11BB DD =. 又1111//,AA BB AA BB =所以1111//,AA DD AA DD =， 所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD .又11A D ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D .（2）解：（方法1)在ABC ∆中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC , 所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高. 在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得3AD =. 在1B BC ∆中，114,60B B BC B BC ==∠=︒， 所以1B BC ∆的面积213443S B BC ∆== 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积1114323833V S B BC AD =⨯∆⋅=⨯=.(方法 2)在1B BC ∆ 中，因为11,60B B BC B BC =∠=︒， 所以1B BC ∆为正三角形，因此1B D BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，1B D ⊂平面11B C CB ， 所以1B D ⊥平面ABC ，即1B D 是三棱锥1B ABC -的高. 在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得ABC ∆的面积23443ABC S ∆== 在1B BC ∆中，因为114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以123B D =. 所以三棱锥1B ABC -的体积1114323833ABC V S B D ∆=⨯⋅=⨯=. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题． 22．（1）()()22314x y -+-=（2）5【解析】 【分析】（1）首先列出圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，12222S PM PM =⨯⨯⨯=，这样求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>．由题意得()()()()222222250,11,31,a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩解得3,1,2.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故圆C 的方程为()()22314x y -+-=．另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-⎧⎨=-⎩解得3,1,x y =⎧⎨=⎩从而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()22314x y -+-=． （2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC S S =V ． 因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以12PMC S PM CM PM =⋅=V ，即22PMC S S PM ==V ． 因为PM CM ⊥，所以PM ==因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以3PC ≥=，则PM =，即2PMC S S =≥V故四边形PMCN 的面积的最小值为 【点睛】本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.23．（1）见解析；（2）13【解析】 【分析】（1）取PA 的三等分点F ，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明；（2）法一，利用等积转换即B ECD E BCD V V --=，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离. 【详解】(1)解法一：取PA 的三等分点F ，连结,DF EF ，则13PF PA = 又因为13PE PB =，所以13EF AB =且//EF AB ， 因为13CD AB=且//AB CD ，所以EF CD =且//EF CD ，四边形CDFE 是平行四边形， 所以//CE DF ，又平面DF ⊂平面 PAD ，CE ⊄平面 PAD ， 所以//CE 平面 PAD .解法二：取AB 的三等分点G ，连结,FG CG ，则13AG AB =， 又因为13PE PB =， 所以23EG PA =且//EG PA ，EG ⊄平面PAD ， PA ⊂平面PAD ， //EG ∴平面PAD ，因为13CD AB=且//AB CD ，所以AG CD =且//AG CD ， 四边形ADCG 是平行四边形.所以//AD CG ，CG ⊄平面PAD ，DA ⊂平面PAD ，//CG ∴平面PAD ，又因为EG CG G ⋂=，,EG CG ⊂平面CEG ， 所以平面//CEG 平面PAD ， 又因为CE ⊂平面CEG ， 所以//CE 平面PAD .(2)解法一：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=，所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ， 点E 平面ABCD 的距离是43，3DF ==， 12112BCD S ∆=⨯⨯=，11122ECD S CD DF ∆=⨯⨯=⨯=， 因为B ECD E BCD V V --=，所以，1141,333h h =⨯⨯= 点B 到平面ECD解法二：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ， 分别以,,AD AB AP 为x 轴y 轴z 轴，建立空间坐标系，4(0,0,0),(0,3,0),(2,1,0),(2,0,0),0,1,3A B C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭’40,2,3BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ， 设平面CDE 法向量1(,,)n x y z =u r ， 因为04203y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以1(2,0,3)n =u r ， 设BE 与平面ECD 所成角为θ， 则 点B 到平面ECD的距离11||cos BE n h BE n θ⋅====u u u r u r u u u r u r 点B 到平面ECD 的距离为【点睛】本题主要考查的是直线与平面平行的证明，点到面的距离的求法，以空间向量法求距离的应用，及解题时要注意认真审题，注意等价转化思想的合理应用，是中档题.24．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，通过中位线定理求证四边形1PMNB 是平行四边形，进而求证；（2）连接1AB ，，设法证明11A B AB ⊥，111A B B C ⊥，进而证明1A B ⊥平面1AB N ，求得1A B AN ⊥.【详解】解：（1）如图，取AB 的中点P ，连接1,PM PB ，,M P Q 分别是,AC AB 的中点，//PM BC ∴，且12PM BC =，在直三棱柱11t ABC A B C -中， 11//BC B C ，11BC B C =， N Q 是11B C 的中点，∴1PM B N =，且1//PM B N ， ∴四边形1PMNB 是平行四边形，1//MN PB ∴，而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，//MN ∴平面11ABB A .（2）如图，连接1AB ，由111ABC A B C -是直三棱柱，90ABC ︒∠=，1AB AA =可知，111B C BB ⊥，1111B C A B ⊥，1111BB B A B =I ，∴11B C ⊥平面11A B BA ，111B C A B ∴⊥，又Q 侧面11A B BA 为正方形，11A B AB ∴⊥，1111AB B C B ⋂=，1A B ∴⊥平面11AB C ， 又AN ⊂平面11AB C ，1A B AN ∴⊥【点睛】本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.25．(1) ()5,0B ; (2)6【解析】【分析】(1)根据AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=求得AB 的斜率,再设B 点坐标利用斜率求解即可.(2)求得直线AC 的方程,再计算B 点到直线AC 的距离与线段AC 的长度即可.【详解】(1)由AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=,其斜率为2,故直线AB 的斜率为1122k -==-.设()0,0B x 则00201512x x -=-⇒=-.故()5,0B (2)因为()1,2A ,()3,4C ,故42:131AC k -=-,故:2110AC l y x x y -=-⇒-+=. 又AC ==又B 点到直线AC的距离d == .故11622ABC S AC d ∆=⋅=⨯=. 【点睛】 本题主要考查了直线方程的表达式与解析几何中的距离公式等,需要根据题意选取公式求解即可.属于中等题型.26．(1)证明见解析；(2) 10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【解析】【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由题可得52B y a =+，521A a x a +=+，则()1252521AOB a S a a ++⋅=⋅+V ，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长； (3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程. 【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由()1520a x y a ++--=得，当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A a x a +=+，又由5205201B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+V ， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数，即52a +，521a a ++均为整数， 523211a a a +=+++Q ，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=.【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.。

【易错题】高中必修二数学下期中第一次模拟试题带答案一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．22．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --= D ．4340x y --=3．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．644．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．45．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-6．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是()A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o 7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离8．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．312+ B ．31-C ．22D ．512- 10．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．160二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 14．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.15．已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________．16．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是．17．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.18．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^； ④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.19．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =ABC 的距离为__________．20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V ，则21V V =__________．三、解答题21．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =u u u v u u u v，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.22．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=︒，3AD BC =，2AO OD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.24．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）． 25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ； （3）求三棱锥1E ACB -的体积.26．如图,四边形ABCD 为矩形,且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD , 1PA =,E 为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥； （2）求三棱锥C PDE -的体积；（3）探究在PA 上是否存在点G ,使得EG P 平面PCD ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1. 故选B. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．D解析：D 【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．A解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则OA =,1PO ⊥ 平面ABCD .则22211OO O A OA +=,即()222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．A解析：A 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =- 又由圆心到直线的距离为11222d -++==所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果． 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．7．B解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c=且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率. 【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-， 在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -==， 故选：B 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．B解析：B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．12．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-= 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.二、填空题13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案解析：3【解析】【分析】棱11111,,A A AB A D与平面11AB D所成的角相等，所以平面11AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sinθ.【详解】因为棱11111,,A A AB A D与平面11AB D所成的角相等，所以平面11AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AOθ∠=，设棱长为：1，126,2AO AO==，易知232sin6θ==3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.14．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD ⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平 解析：7π【解析】 【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P﹣BDC 的外接球半径R ，由此能求出该球的表面积． 【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P ﹣BDC 外接球的球心为O ， △PCD 外接圆圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ， ∴四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB ＝2，∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝2， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯＝7π． 故答案为：7π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．15．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④解析：③④ 【解析】关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.16．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析：4 【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为5d ==，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系17．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：26+ 【解析】 【分析】首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．【详解】在POB V 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='， 所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点， 从而2626222OC OE EC ''=+=+= 亦即CE OE +26+ 26+ 【点睛】本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．18．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④ 【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.19．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =ABC V 中，2AB AC ==，22BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离22132d r BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC V 所在平面截球所得圆（即ABC V 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.20．【解析】分析：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 再求详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 则故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这 解析：23【解析】分析：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h,再求21V V . 详解：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h, 则222212222111()233.3r h r h h r h r hV V r hr hππππππ-+-===故答案为：23. 点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)圆柱的体积为2V sh r h π==，圆锥的体积为21133V sh r h π==. 三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）4205205. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意1l ⊥平面SAB ，得到所以1l SA ⊥，同理可证2l SA ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）分别以AB u u u r 、AD u u u r 、AS u u u r所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量EF u u u r和平面SCD 的一个法向量为n r，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成的角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ， 使得1l AB ⊥，2l AD ⊥.因为AB AD A ⋂=，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB .所以1l SA ⊥.同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C ⋂=，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD .同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条，所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD .所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线.所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB u u u v 、AD u u u v 、AS u u u v所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，()2,0,0B ，()2,3,0C ，()0,3,0D ，()0,0,6S .由F 为SC 的中点，得31,,32F ⎛⎫⎪⎝⎭；由23BE BC =u u u v u u u v ，得()2,2,0E .所以11,,32EF u u u v ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2,3,6SC =-u uu v ，()2,0,0DC =u u u v .设平面SCD 的一个法向量为(),,n x y z =v，则00n SC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =.所以()0,2,1n =v .所以cos ,EF n u u u v v EF n EF n ⋅=⋅u u u v v u u u v v ()1102311190414⎛⎫-⨯+-⨯+⨯ ⎪⎝⎭=++⨯++ 4205=. 所以，直线EF 与平面SCD 4205. 22．（1）()()22314x y -+-=（2）5【解析】 【分析】（1）首先列出圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，12222S PM PM =⨯⨯⨯=，这样求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小. 【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>．由题意得()()()()222222250,11,31,a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩解得3,1,2.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故圆C 的方程为()()22314x y -+-=．另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-⎧⎨=-⎩解得3,1,x y =⎧⎨=⎩从而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()22314x y -+-=．（2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC S S =V ． 因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以12PMC S PM CM PM =⋅=V ，即22PMC S S PM ==V ． 因为PM CM ⊥，所以PM ==因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以3PC ≥=，则PM =，即2PMC S S =≥V故四边形PMCN 的面积的最小值为 【点睛】本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.23．（1）见解析；（2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AEEP=时能使得面//BOE 面PCD ，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）可证PD ⊥平面PAB ，从而得到要证明的面面垂直. （2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AEEP=时能使得面//BOE 面PCD ， 利用面面平行的判断定理可证明该结论. 【详解】（1）因为90BAD ∠=︒，故BA AD ⊥又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD I 底面ABCD AD =，BA ⊂平面ABCD ， 所以BA ⊥平面PAD .因为PD ⊂平面PAD ，故BA PD ⊥，又因为PA PD ⊥，PA AB A =I ，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB ，而PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD .（2）在棱PA 上存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，E 满足2AEEP=，证明如下：因为2AEEP =，2AO OD =，所以DAE EP AO O =，故//OE PD . 因为OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，故//OE 平面PCD .因为//BC AD ，13OD AD BC ==，故//,OD BC OD BC =， 所以四边形BCDO 为平行四边形，故//BO CD ，因为BO ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，故//BO 平面PCD .因为BO ⊂平面EOB ，EO ⊂平面EOB ，BO EO O ⋂=， 故面//BOE 面PCD .【点睛】本题考查面面垂直的证明和面面平行的探索，前者注意空间中三种垂直关系的转化，后者应根据题设条件得到动点满足的位置特征，然后再根据判定定理来证明，本题属于中档题. 24．（1）750x y +-=（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）求直线CD 的方程，只需确定C ，D 坐标即可：34(,)55C -，(5,0)D ，直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD 的方程为750x y +-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0x y Dx Ey F +++=设(3,4)(01)C m m m -<≤，则D (5+4,0)m ，从而()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 1分 又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -， 3分 由4BD =，得(5,0)D ， 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=． 6分 （2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =． 7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=， 所以D 点的坐标为(5+4,0)m 8分又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,{+2=0x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==- 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分 考点：直线与圆方程25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23. 【解析】 【分析】（1）由题意可知DE P AB ，从而得证；（2）要证平面1ACB ⊥平面DEF ，转证EF ⊥平面1ACB ，即证AC EF ⊥，1EF CB ⊥； （3）利用等积法即可得到结果.【详解】（1）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B P AB ,又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE P 11A B ,于是DE P AB ,AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ,所以AB P 平面DEF .(2) 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥,又AC BC ⊥,1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11C BC B ,所以AC ⊥平面11C BC B ,EF ⊂平面11C BC B ,所以AC EF ⊥ ,又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ ,而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC ,所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C ⋂=，1,AC CB ⊂平面1ACB ,所以EF ⊥平面1ACB ,又EF ⊂平面DEF ,所以平面1ACB ⊥平面DEF .（3） 1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅= . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.26．（1）见解析;（2）16;（3）见解析. 【解析】【分析】(1)连结AE ,由几何体的空间结构可证得DE PAE ⊥平面,利用线面垂直的定义可知DE PE ⊥.(2)由(1)知DCE ∆为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得16C PDE P DCE V V --==. (3)在PA 上存在中点G ,使得//EG PCD 平面.取,PA PD 的中点,G H ,连结,,EG GH CH . 易证得四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH ,结合线面平行的判断定理可知EG //平面PCD .【详解】(1)连结AE ,∵E 为BC 的中点,1EC CD ==,∴DCE ∆为等腰直角三角形,则45DEC ∠=o ,同理可得45AEB ∠=o ,∴90AED ∠=o ,∴DE AE ⊥,又PA ABCD 平面⊥,且DE ABCD ⊂平面, ∴PA DE ⊥,又∵AE PA A ⋂=,∴DE PAE ⊥平面,又PE PAE ⊂平面,∴DE PE ⊥.(2)由(1)知DCE ∆为腰长为1的等腰直角三角形,∴111122DCE S ∆=⨯⨯=,而PA 是三棱锥P DCE -的高, ∴111113326C PDE P DCE DCE V V S PA --∆==⋅=⨯⨯=. (3)在PA 上存在中点G ,使得//EG PCD 平面.理由如下:取,PA PD 的中点,G H ,连结,,EG GH CH .∵,G H 是,PA PD 的中点, ∴//GH AD ,且12GH AD =, 又因为E 为BC 的中点,且四边形ABCD 为矩形,所以EC //AD ,且EC =12AD , 所以EC //GH ,且EC =GH ,所以四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH ,又EG ⊄平面PCD ,CH ⊂平面PCD ,所以EG //平面PCD .【点睛】 本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

【易错题】高中必修二数学下期中试题(含答案)(1)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．84．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+6．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．87．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π8．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．312+ B ．31-C ．22D ．512- 10．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a11．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32C ．2或0D ．-2或012．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.14．过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________． 15．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________. 16．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 17．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．18．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V ，则21V V =__________．三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．23．如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值； （3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥； （Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为3AP PC 的值.25．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 26．如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE ∆是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒．（1）设线段CD AE 、的中点分别为P M 、，求证：//PM 平面BCE ； （2）求二面角F BD A --所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．D解析：D 【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．B解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.4．C解析：C 【解析】 【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案. 【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ， 易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.5．B解析：B 【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．6．C解析：C 【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.8．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

【易错题】高中必修二数学下期中一模试卷(带答案)(1)一、选择题1．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π2．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面 3．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π4．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．3 5．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭6．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256π D ．1253π 7．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．B ．C ．D ．10．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．15B ．5C ．64D ．10 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B ．1033C ．23D ．833二、填空题 13．直线与圆交于两点，则________． 14．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.15．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.16．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.17．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.18．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o②ACD ∆是等边三角形③AB 与CD 所成的角为60o④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒则上面结论正确的为_______．19．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.20．若直线:20l kx y --=与曲线()2111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________. 三、解答题21．如图，直角梯形BDFE 中，//,,2EF BD BE BD EF ⊥=ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ；（2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.23．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．24．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =uur uu r（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；25．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ；（2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥Q 平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.2．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．A解析：A【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线， 即24116R =++=，所以外接球的表面积为：246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又1122MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 5．D解析：D【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m r m n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

【易错题】高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(含答案)(2)一、选择题1．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥2．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π3．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( ) A ．α⊥β，且m ⊂α B ．m ⊥n ，且n ∥β C ．α⊥β，且m ∥α D ．m ∥n ，且n ⊥β 5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π 7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23πB ．43π C ．53π D ．2π9．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32π C ．4πD ．34π 10．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．16011．如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立12．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π二、填空题13．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.14．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．15．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________16．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()3x g x -=，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____17．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.18．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.19．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^； ④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V，则21V V =__________．三、解答题21．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，23SA AB ==，，1BC =，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.22．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．23．如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，43BC =，BC AC ⊥，3cos SCB ∠=-，D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．24．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.25．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为22)4πρθ=-.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.26．如图,四边形ABCD 为矩形,且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD , 1PA =,E 为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥； （2）求三棱锥C PDE -的体积；（3）探究在PA 上是否存在点G ,使得EG P 平面PCD ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系2．D解析：D 【解析】 【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果. 【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E 设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥Q 平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+=解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.3．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故22220000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．4．D解析：D 【解析】 【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案. 【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立； //m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B6．C解析：C 【解析】 【分析】2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论 【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥， 底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为23，半径为3∴三棱锥的外接球体积为()343433ππ⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 画出截面图形如图 显然A 正三角形C 正方形： D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形； 故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 故可选A ．8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.9．A解析：A 【解析】 【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′­BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径. 【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E， 因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径3DE =2343S ππ==故选A 【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.10．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.11．C解析：C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误； 在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确； 在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解． 【详解】在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =AB AC ⊥， 则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆心， ∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+= 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.二、填空题13．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的解析：2271416x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭(2)y < 【解析】 【分析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解. 【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即()222421a x y ++-=，联立消去a 并由图可知2y <，可得()2271()2416x y y +-=<.故答案为：()2271()2416x y y +-=<【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.14．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4） 【解析】 【分析】 【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．15．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正解析：13-【解析】 【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论. 【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上， 连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小， 正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，3AM MC ==P ABCD -中，2AC =在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.16．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得解析：3[2]4+ 【解析】 【分析】根据斜率的几何意义，()32g x x =-表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()32g x x =-为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x =∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A点与[0,1]y x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入[0,1]y x =∈得，320,0,14(32)0kx k k k k --=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得k =或k =当k =3[0,1]==-，当k =3[0,1]==+ 不合题意，舍去，()g x 值域为37[,2]4+.故答案为:37[,2]+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.17．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】 【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】 【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB . 【详解】PA ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥I 平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π.【点睛】本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.19．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动解析：. ① ② ④ 【解析】对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②④.20．【解析】分析：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 再求详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 则故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这 解析：23【解析】分析：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h,再求21V V . 详解：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h, 则222212222111()233.3r h r h h r h r hV V r hr hππππππ-+-===故答案为：23. 点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)圆柱的体积为2V sh r h π==，圆锥的体积为21133V sh r h π==. 三、解答题21．（1）见解析； （2）7. 【解析】 【分析】（1）在ACD ∆中，由余弦定理可解得：4CD = 所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形，又ACE ∆可证为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，即可证明//BC 平面SAE ；（2）：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为AB =1BC =，090ABC ∠=，所以2AC =，060BCA ∠=，在ACD ∆中，AD =2AC =，060ACD ∠=， 由余弦定理可得：2222?cos AD AC CD AC CD ACD =+-∠ 解得：4CD =所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以12AE CD CE == 又060ACD ∠=，所以ACE ∆为等边三角形， 所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ， 又AE ⊂平面SAE ，BC ⊄平面SAE ， 所以//BC 平面SAE .（2）解：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2S ，)B，)C，()D .所以)3,0,2SB =-u u v ，()3,1,2SC =-u u u v，()3,3,2SD =--u u u v.设(),,n x y z =v为平面SBC 的法向量，则·0·0n SB n SC ⎧=⎨=⎩u u v v u u u v v ，即320320x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 设1x =，则0y =，32z =，即平面SBC 的一个法向量为31,0,2n ⎛= ⎝⎭v ， 所以·2321cos ,77164n SD n SD n SD-===-⨯u u u v v u u u v vu u u v v 所以直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值为217. 【点睛】不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题. 22．（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． （2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可． 详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为»CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．23．（1）证明见解析；（2）6π. 【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ，证明出OS AC ⊥，OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面SOD ，即可证明出AC SD ⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，说明直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，求出OSD ∆三边边长，利用余弦定理求出OSD ∠，即可求出直线SD 与平面SAC 所成角的大小．【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ， SAC ∆Q 为等边三角形，O 为AC 的中点，SO AC ∴⊥，D Q 、O 分别为AB 、AC 的中点，//OD BC ∴，BC AC ⊥Q ，OD AC ∴⊥， SO OD O =Q I ，AC ∴⊥平面SOD ，SD ⊂Q 平面SOD ，AC SD ∴⊥； （2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，AC ⊥Q 平面SOD ，DH ⊂平面SOD ，DH AC ∴⊥，DH SO ⊥Q ，SO AC O =I ，DH ∴⊥平面SAC ，所以，直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，由（2）知，1232OD BC ==AC BC ⊥Q ，228AB AC BC ∴+=. SAC ∆Q 是边长为4的等边三角形，4sin233SO π∴== 在SBC ∆中，4SC =，43BC =由余弦定理得2222cos 88SB SC BC SC BC SCB =+-⋅⋅∠=，222SB ∴=. 由余弦定理得2221cos 28SA AB SB SAB SA AB +-∠==-⋅， 2222cos 36SD SA AD SA AD SAD ∴=+-⋅⋅∠=，6SD ∴=.在SOD ∆中，由余弦定理得2223cos 2SO SD OD OSD SO SD +-∠==⋅. 0OSD π<∠<Q ，6OSD π∴∠=，因此，直线SD 与平面SAC 所成角的大小为6π. 【点睛】 本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的计算，涉及到利用余弦定理解三角形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.24．（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）欲证A 1D 1∥平面AB 1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A 1D 1与平面AB 1D 内一直线平行，连接DD 1，根据中位线定理可知B 1D 1∥BD，且B 1D 1=BD ，则四边形B 1BDD 1为平行四边形，同理可证四边形AA 1D 1D 为平行四边形，则A 1D 1∥AD又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B 1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B 1BC 的体积，从而求出三棱锥B 1﹣ABC 的体积．试题解析：（1）证明：如图，连结1DD .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =.所以四边形11B BDD 为平行四边形，所以11//BB DD ，且11BB DD =.又1111//,AA BB AA BB =所以1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD .又11A D ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D .（2）解：（方法1)在ABC ∆中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ,所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高.在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得AD =.在1B BC ∆中，114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以1B BC ∆的面积214S B BC ∆== 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积111833V S B BC AD =⨯∆⋅=⨯=. (方法 2)在1B BC ∆ 中，因为11,60B B BC B BC =∠=︒，所以1B BC ∆为正三角形，因此1B D BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，1B D ⊂平面11B C CB ，所以1B D ⊥平面ABC ，即1B D 是三棱锥1B ABC -的高.在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得ABC ∆的面积244ABC S ∆== 在1B BC ∆中，因为114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以1B D =.所以三棱锥1B ABC -的体积111833ABC V S B D ∆=⨯⋅=⨯=. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．25．（1）22220x y x y +--=；（2【解析】【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程； （2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C 是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】（1）因为)4πρθ=-，所以()cos cos sin sin 2cos sin 44ππρθθθθ⎫=+=+⎪⎭ 即()22cos sin ρρθρθ=+.因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，所以222()x y x y +=+，所以曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= （2）因为直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以333(3)3x y t t -=-+=-， 所以l 的直角坐标方程为330x y -+=所以圆心()1,1到直线l 的距离()21331213d -+==+， 所以21222274AB d =-=-=，所以线段AB 的长度为7 【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．26．（1）见解析;（2）16;（3）见解析. 【解析】【分析】(1)连结AE ,由几何体的空间结构可证得DE PAE ⊥平面,利用线面垂直的定义可知DE PE ⊥.(2)由(1)知DCE ∆为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得16C PDE P DCE V V --==. (3)在PA 上存在中点G ,使得//EG PCD 平面.取,PA PD 的中点,G H ,连结,,EG GH CH . 易证得四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH ,结合线面平行的判断定理可知EG //平面PCD .【详解】(1)连结AE ,∵E 为BC 的中点,1EC CD ==,∴DCE ∆为等腰直角三角形,则45DEC ∠=o ,同理可得45AEB ∠=o ,∴90AED ∠=o ,∴DE AE ⊥,又PA ABCD 平面⊥,且DE ABCD ⊂平面, ∴PA DE ⊥,又∵AE PA A ⋂=,∴DE PAE ⊥平面,又PE PAE ⊂平面,∴DE PE ⊥.(2)由(1)知DCE ∆为腰长为1的等腰直角三角形,∴111122DCE S ∆=⨯⨯=,而PA 是三棱锥P DCE -的高, ∴111113326C PDE P DCE DCE V V S PA --∆==⋅=⨯⨯=. (3)在PA 上存在中点G ,使得//EG PCD 平面.理由如下:取,PA PD 的中点,G H ,连结,,EG GH CH .∵,G H 是,PA PD 的中点, ∴//GH AD ,且12GH AD =, 又因为E 为BC 的中点,且四边形ABCD 为矩形,所以EC //AD ,且EC =12AD , 所以EC //GH ,且EC =GH ,所以四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH ,又EG ⊄平面PCD ,CH ⊂平面PCD ,所以EG //平面PCD .【点睛】 本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

【易错题】高中必修二数学下期中模拟试卷带答案(1)一、选择题1．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073πB ．32453π+C ．16323π+D ．32333π+ 2．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．63．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．24．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π5．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D ．41 6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．32 8．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β 9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π11．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．15．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.16．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.18．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.19．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V，则21V V =__________．三、解答题21．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,ABDE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小． 22．如图，直角梯形BDFE 中，//,,2EF BD BE BD EF ⊥=ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ；（2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．23．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .24．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=o 分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 3B AF C --的正切值．25．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内；②直线m 不在平面α内；③直线m 与平面α交于点A ；④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)26．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.2．B解析：B【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式. 3．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.4．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.5．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.6．A解析：A【分析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积7．B解析：B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8．D解析：D【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确；C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确；D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确.故选：D本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．10．C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆心，∵三棱锥O ABC -的体积为43，11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案解析：3 【解析】 【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ. 【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126,2AO AO ==，易知232sin 62θ== 3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.14．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 15．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：28 【解析】 【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可. 【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()1211416832833V S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=.故答案为：28． 【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD ⊥平面ADC 可推知BD ⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC ＝60°；③由D A ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③ 【解析】 【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直． 【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错． 故答案为②③ 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．17．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角 解析：5 【解析】 【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，151,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得55BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.18．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本解析：60° 【解析】 【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小. 【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则2SB BC ==，所以2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=o ，所以60EDC ∠=o . 故答案为：60o 【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理． 详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，==又0k>，∴2k=．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．20．【解析】分析：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 再求详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h则故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这解析：23【解析】分析：设上下圆锥的高分别为12,,h h圆柱的底面圆的半径为r，圆柱的高为h,再求21VV.详解：设上下圆锥的高分别为12,,h h圆柱的底面圆的半径为r，圆柱的高为h,则222212222111()233.3r h r h h r h r hVV r h r hππππππ-+-===故答案为：23.点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)圆柱的体积为2V sh r hπ==，圆锥的体积为21133V sh r hπ==.三、解答题21．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60o【解析】试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD，设CD GF O⋂=，连接OH，先证明//OH BD，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD平面HDF；思路二：先证明平面//FGH平面ABED，再由平面与平面平行的定义得到//BD平面HDF.（Ⅱ）思路一：连接,DG CD，设CD GF O⋂=，连接OH，证明,,GB GC GD两两垂直, 以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz-，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC⊥于点M，作MN GF⊥于点N，连接NH，证明MNH∠即为所求的角，然后在三角形中求解.试题解析：（Ⅰ）证法一：连接,DG CD，设CD GF O⋂=，连接OH，在三棱台DEF ABC-中，2,AB DE G=为AC的中点可得//,DF GC DF GC=所以四边形DFCG 为平行四边形 则O 为CD 的中点 又H 为BC 的中点 所以//OH BD又OH ⊂平面,FGH BD ⊂平面,FGH 所以//BD 平面FGH ．证法二：在三棱台DEF ABC -中， 由2,BC EF H =为BC 的中点 可得//,,BH EF BH EF = 所以四边形BHFE 为平行四边形 可得//BE HF在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以//GH AB又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED 因为BD ⊂平面ABED 所以//BD 平面FGH （Ⅱ）解法一： 设2AB =，则1CF = 在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点由12DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形， 因此//DG CF 又FC ⊥平面ABC 所以DG ⊥平面ABC在ABC ∆中，由,45AB BC BAC o⊥∠=，G 是AC 中点， 所以,AB BC GB GC =⊥ 因此,,GB GC GD 两两垂直,以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -所以())()()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G BC D可得()22,2,1H F ⎫⎪⎪⎝⎭故()22,2,122GH GF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r设(),,n x y z r=是平面FGH 的一个法向量，则 由0,{0,n GH n GF ⋅=⋅=u u u rr u u u r r 可得0{20x y z +=+=可得平面FGH 的一个法向量(1,2n r=-因为GB uuu r是平面ACFD 的一个法向量，)2,0,0GB =u u u r所以21cos ,222GB n GB n GB n ⋅===⋅u u u r ru u u r r u u u r r所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60o 解法二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH 由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥ 又FC AC C ⋂= 所以HM ⊥平面ACFD 因此GF NH ⊥所以MNH ∠即为所求的角在BGC ∆中,12//,,22MH BG MH BG == 由GNM ∆∽GCF ∆ 可得,MN GMFC GF= 从而66MN =由MH ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD 得,MH MN ⊥ 因此tan 3HMMNH MN∠==所以60MNH ∠=o所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o .考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用. 22．（1）见解析（2）23【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理可证；（2）设AC BD O =I ，计算后可证OF//BE ，从而由已知可证OF ⊥平面ABCD ，因此可以OA ，OB ，OF 为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向量法求二面角． 试题解析：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，C A BD ⊥，平面BDFE I 平面ABCD BD =， 又AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面BDFE ；（2）设AC BD O =I ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，,242DOC AB CD π∠===，∴2,22OD OC OB OA ====，∵//FE OB ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴//OF BE ， 又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角，∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴22OF OB ==，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()()0,22,0,0,2,0,0,0,22,2,0,0,22,0,0B D F C A --，()()0,2,22,2,2,0DF CD u u u v u u u v==-，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0， 设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =v，由·0·0DF n CD n ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v 得2220220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令2x =得，()2,2,1n =-v ， 2222cos ,31?221n AC u u uv v ==++，∴二面角B DF C --的余弦值为23．点睛：立体几何中求“空间角”，一种方法是根据“空间角”的定义作出它的“平面角”，再通过解三角形求得，其方法是一作二证三计算；第二种方法是在图形中有相互垂直的三条直线（或两条）时，可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求角，这种方法主要的就是计算，减少了作辅助线，证明的过程，只要计算过关，一般都能求得正确结论． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点.又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC . ∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥.又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ，∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ，∴面1AB D ⊥面ABM .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.24．(1)见证明；(2) 23【解析】【分析】(1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明(2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解.【详解】（1）PA ⊥Q 面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥；又Q 底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o ，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥QAE ∴⊥面PAD ；（2）AE ^Q 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AE AHE AH PO AH ∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大， 令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=o ， 在Rt PAD ∆中，233PA =， PA ⊥Q 面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ， 正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.3CM =.在PAB ∆中，23,2,3BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==， tan 23CM MNC MN∠== 【点睛】 本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题.25．（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=I ；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，作出示意图即可；（2）根据题意，作出示意图即可.【详解】（1）l α⊂；m α⊄；m A α=I ；A l ∉；示意图如下：（2）如图，直线IL 即为所求.【点睛】本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.26．（Ⅰ）8123π（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用正方体体积减去截去部分的体积即可求解（Ⅱ）利用正四面体与正方体的外接球一致求解【详解】(Ⅰ)三棱锥1B ABC -的体积1114222323V =⋅⋅⋅⋅=， 切去部分的体积为14164433V =⋅= 正方体的体积为22228V =⋅⋅= ∴四面体的体积3168833V =-= (Ⅱ)∵正方体的棱长为2， ∴正方体的体对角线长为23∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线 ∴外接球直径2R 23=R 3=∴外接球表面积为2412S R ππ==【点睛】本题考查组合体体积，外接球问题，是基础题。

【易错题】高中必修二数学下期中第一次模拟试题附答案一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．22．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥3．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－3B ．－4C ．－6D ．366．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π7．已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．68．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭ D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭9．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 10．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．B ．C ．D ．11．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2aD 2a 12．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．13C ．15D 32二、填空题13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)14．已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______． 15．直线与圆交于两点，则________．16．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．17．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.18．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与CD 所成的角为60o ④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒ 则上面结论正确的为_______．19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数 ①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．22．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．23．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．25．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ．(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=︒，3AD BC =，2AO OD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1. 故选B. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．C解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.3．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO „，即满足2PO „，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO „故2222000103634PO x y y y ==+-+„ 解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO „，从而得到不等式求出参数的取值范围．4．C解析：C【分析】 【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误；若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误. 故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.5．A解析：A 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =- 又由圆心到直线的距离为11222d -++==所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.8．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。