八年级上册数学《实数》平方根和立方根_知识点整理

平方根和立方根一.知识梳理：1.平方根定义1：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。

a 叫做被开方数。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

定义2：正数a 的正的平方根叫做a a ”， 性质1：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

性质2：算术平方根a 的双重非负性：①a ≥0 ； ②0≥a定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

2.立方根定义1：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

即如果x 3=a ，那么x 叫做a 3a x =。

性质1：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

性质2：33a a -=-，三次根号内的负号可以移到根号外面。

定义2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方3. 实数大小的比较（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

（2）实数大小比较的几种常用方法①作差法：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0.②作商法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b a b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> ③平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22④近似值法：记住这些数值：236.25732.13414.12≈≈≈；；二.课后作业1.9的算术平方根是 ；4的平方根是 。

2.-8的立方根是 ；立方根是它本身的数是______3.25的算术平方根是_____，64的立方根是5.比较大小：-3.14 π-；23。

6. 22(3)0y z -+-=，则xyz 的立方根是________7.23-的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。

苏教版初中数学八年级上册实数知识点总结一、平方根1、定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

2、表示方法：正数a的平方根记做，读作“正、负根号a”。

3、性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

（2）零的平方根是零。

（3）负数没有平方根。

二、开平方1、定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

三、算术平方根1、定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

2、表示方法：记作，读作“根号a”。

3、性质：①一个正数只有一个算术平方根。

②零的算术平方根是零。

③负数没有算术平方根。

4、注意的双重非负性：四、立方根1、定义：一般地，如果x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

2、表示方法：记作，读作“三次根号a”。

3、性质：（1）一个正数有一个正的立方根。

（2）一个负数有一个负的立方根。

（3）零的立方根是零。

4、注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

5、五、开立方1、定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。

六、实数定义与分类1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

理解：常见类型有三类（1)开方开不尽的数：如等。

(2)有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等。

(3)有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)。

2、实数：有理数和无理数统称为实数。

3、实数的分类：（1）按定义来分（2）按符号性质来分七、实数比较大小法理解1、正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

2、数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大。

3、绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。

4、平方法：a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。

八、实数的运算1、六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方。

2、实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

加速度学习网 我的学习也要加速平方根和立方根有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网 整理一、本节学习指导平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。

本节有配套免费学习视频。

二、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

加速度学习网 我的学习也要加速例1 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误.例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9. （2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53.（4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.加速度学习网 我的学习也要加速例（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。

初二上册数学《平方根》知识点平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。

a叫被开方数。

中被开方数的取值范围：被开方数a≥0平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

②0的平方根是它本身0。

③负数没有平方根开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

平方根与算术平方根区别：1、定义不同。

2表示方法不同。

3、个数不同。

4、取值范围不同。

1、二者之间存在着从属关系。

2、存在条件相同。

3、0的算术平方根与平方根都是0含根号式子的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。

求正数a的算术平方根的方法：完全平方数类型①想谁的平方是数a。

②所以a的平方根是多少。

③用式子表示。

求正数a的'算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。

三个重要的非负数：求正数a的平方根的方法;完全平方数类型①想谁的平方是数a。

②所以a的平方根是多少。

③用式子表示=。

公式：(a≥0)∣a∣=如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

0的平方根是0。

负数在实数范围内不能开平方，只有在正数范围内，才可以开平方根。

例如：-1的平方根为i，-9的平方根为3i。

平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

平方根和算术平方根都只有非负数才有。

被开方数是乘方运算里的幂。

求平方根可通过逆运算平方来求。

开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。

若某的平方等于a，那么某就叫做a的平方根，即√a=某算术平方根的双重非负性1.√a中a≧02.√a≧0算术平方根产生根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。

因为按当时的权威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说)，世界的一切事物都可以用有理数代表。

对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示算术平方根举例9的平方根为±3;9的算术平方根为3，正数的平方根都是前面加±，算术平方根全部都是正数。

实数中的平方根和立方根一、平方根【学习目标】1．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根2．了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根【知识点】1．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【经典例题】1．若√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A.；B.；C. ；D. ．2．要使二次根式√x−3有意义，则x的取值范围是（）A. x≠3；B. x>3；C. x≤3；D. x≥3．3．下列各式中，正确的是（）A. √42=−4；B. √(−4)2=−4；C. −√42=4；D. √(−4)2=44．如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则(a−b)等于（）A. 7；B. 6；C. 5；D. 4．5．下列说法正确的是（）①−√2是2的一个平方根；②(−2)2的算术平方根是—2；③√16的平方根是±2；【知识点】【经典例题】例1．实数－2，0.4，17，√2，−π中，无理数的个数是（ ） A. 2个；B. 3个；C. 4个；D. 5个．例2．将下列有理数分类17，﹣1，12，0，﹣3.01，0.62，﹣15，−812，180，﹣15% （1）正数集合：{ }；（2）整数集合：{ }；（3）分数集合：{ }；（4）非负数集合：{ }．例3．有下列说法：①任何实数都可以用分数表示；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有√2，√3，√5，√7这4个；④π2是分数，它是有理数．其中正确的个数是（ ）A. 1；B. 2；C. 3；D. 4．例4．把下列各实数填在相应的大括号内π2，−|−3|，√−127，0，227，−3.，√5，1−√2，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0）．整数 { …}；分数 { …}；无理数 {… }；负数 { …}．四、实数比较大小【知识点】1.数轴比较法2.作差法3.作商法4.倒数比较法，5.平发法6.比较被开方数7.特殊值法，－2，√5表示在数轴上，并用“＜”将它们从小到大连接起来．例1．把112例2．如图所示，数轴上点A表示的数是−1，O是原点，以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB长为半径画弧交数轴于P1、P2两点，则点P1表示的数是，点P2表示的数是．例3．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A. a＞0；B. ab＞0；C. a＜b；D. a，b互为倒数．例4．比较大小：－3__________ .(填“>””<”或“=”号)例5．已知a=（﹣1）2016，b=﹣（﹣1.2），c=﹣32，则a，b，c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. c＞a＞bD. b＞a＞c例6．已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A. M＜NB. M=NC. M＞ND. 不能确定例7．当时，的大小顺序是__________例8．比较两实数的大小：与【经典例题】例1．若x−1是125的立方根，则x−7的立方根是．例2．已知x，y为实数，且满足=0，那么x3-y3=__________．例3．下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数的符号一致；④如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是1或0．其中正确有（）个A. 1B. 2C. 3D. 4 例4．已知，且与互为相反数，求的平方根．例5．（1）一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，求a的值．（2）已知，求的立方根．（3）已知x、y为实数，且．求的值．例6．问题：（1）；（2）；（3）．探究1，判断上面各式是否成立．（1）______（2）______（3）______探究2：并猜想=______。

《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1. 平方根的含义如果一个数的平方等于 , 那么这个数就叫做 的平方根。

即 , 叫做 的平方根。

2.平方根的性质与表示⑴表示: 正数 的平方根用 表示, 叫做正平方根, 也称为算术平方根, 叫做 的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根: （根指数2省略） 0有一个平方根, 为0, 记作 , 负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算⑷a 的双重非负性例: 得知⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位, 它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分：4的平方根为 的平方根为 4开平方后, 得 3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数　＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *若 , 则（二）立方根和开立方1. 立方根的定义如果一个数的立方等于 , 呢么这个数叫做 的立方根, 记作 2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

０的立方根是０. 3.开立方与立方开立方: 求一个数的立方根的运算。

()a a =33a a =3333a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

*０的平方根和立方根都是０本身。

（三）推广: 次方根１.如果一个数的 次方（ 是大于１的整数）等于 ，这个数就叫做 的 次方根。

当为奇数时, 这个数叫做的奇次方根。

当为偶数时, 这个数叫做的偶次方根。

２.正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

０的奇次方根为０。

负数的奇次方根为负。

（四）实数1.实数: 有理数和无理数统称为实数实数的分类:①按属性分类: ②按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应, 即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数.的画法: 画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况:①尺规可作的无理数, 如②尺规不可作的无理数 , 只能近似地表示, 如π, 1.010010001……思考：（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？（2）大家都知道是一个无理数, 那么－1在哪两个整数之间？（3）的整数部分为a,小数部分为b, 则a= , b= 。

初二上册数学《平方根》知识点初二上册数学《平方根》知识点在日常过程学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。

你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？下面是店铺精心整理的初二上册数学《平方根》知识点，欢迎大家分享。

初二上册数学《平方根》知识点平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。

a 叫被开方数。

中被开方数的取值范围：被开方数a≥0平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

②0的平方根是它本身0。

③负数没有平方根开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

平方根与算术平方根区别：1、定义不同。

2表示方法不同。

3、个数不同。

4、取值范围不同。

联系1、二者之间存在着从属关系。

2、存在条件相同。

3、0的算术平方根与平方根都是0含根号式子的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。

求正数a的算术平方根的方法：完全平方数类型①想谁的平方是数a。

②所以a的平方根是多少。

③用式子表示。

求正数a的'算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。

三个重要的非负数：求正数a的平方根的方法;完全平方数类型①想谁的平方是数a。

②所以a的平方根是多少。

③用式子表示=。

公式：(a≥0)∣a∣=初二上册数学《平方根》知识点篇1如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

0的平方根是0。

负数在实数范围内不能开平方，只有在正数范围内，才可以开平方根。

例如：-1的平方根为i，-9的平方根为3i。

平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

平方根和算术平方根都只有非负数才有。

被开方数是乘方运算里的幂。

求平方根可通过逆运算平方来求。

开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。

若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即√a=x初二上册数学《平方根》知识点篇2算术平方根的双重非负性1.√a中a≧02.√a≧0算术平方根产生根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。

平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。

接下来，让我们一起深入地了解一下平方根和立方根的相关知识。

一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。

即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。

例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。

2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。

（2）0 的平方根是 0。

（3）负数没有平方根。

这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。

3、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。

开平方与平方互为逆运算。

例如，求 16 的平方根，即求±√16 的值。

因为 4²＝ 16，（－4）²＝ 16，所以±√16 ＝ ±4 。

4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。

0 的算术平方根是 0。

例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。

5、平方根的估值对于一些非完全平方数的平方根，可以通过估算来确定其大致范围。

比如，估算√7 的值。

因为 4 ＜ 7 ＜ 9，所以 2 ＜√7 ＜ 3。

二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。

即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。

例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，记作³√8 ＝ 2 。

2、性质（1）正数的立方根是正数。

（2）负数的立方根是负数。

（3）0 的立方根是 0。

也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。

3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。

开立方与立方互为逆运算。

精心整理《实数》知识点比较：（1）100 （2）6449（3）1691（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例2、求下列各数的平方根。

（1）100（2）6449（3）1691（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例3、求下列各数的立方根。

（1）1000（2）278（3）27102（4）0.001（5）0（6）2（7）()36-类型二：化简求值例1、 求下列各式的值。

（1）22=（2）256169-=（3）0196.0= （4）2224-25-=（5）327--=（6）33512729+= 例2、求下列各式的值（1）一、 例1例2（1）例3二、 例4例5例6算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。

立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。

例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空：______52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==，则①________00236.0_______;236==②若__________,04858x ==x③若153610a 6=⨯，求a 的值。

例3、若b ==337,a 15，则____37000____,15.03==。

类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。

例1、 一个非负数的两个平方根是 12-a 和5-a ，这个非负数是多少？ 例2、 已知一个数的两个平方根分别是13+a 和11+a ，求这个数的立方根 类型六、解方程。

例1、求下列各式中的x 的值：（1）2x =196；（2）010x 52=-；（3）0253362=--）（x 。

（4）3x 3例1例2、求A B -例1、 例2、例3A 、2与例4例5例1、下列判断错误的是()A 、若b a =，则b a =B 、若33b a =，则b a =C 、若3333b a =，则b a =D 、若22b a =，则b a =例2、如图实数 a 、b 对应数轴上的点A 和点B ,化简：2222)()(a b a b a b +---+ 提示：|a |＝算；())0(2≥=a a a类型八、平方运算与开平方运算互为逆运立方运算与开立方运算互为逆运算。