九年级数学第26章反比例函数导学案

第26章反比例函数导学案

26.1.1反比例函数(31)

课型：编者：使用时间：

学习目标：

1．理解并掌握反比例函数的概念

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式

3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想

学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式

学习难点：理解反比例函数的概念

学习过程：

一、温故知新

1、回忆什么叫做函数？什么是正比例函数、什么是一次函数？它们的一般形式是怎样的？·一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每个确定的值，y都有的值与之对应，则称x为，y是x的 .

2、我们学过哪些函数，它们分别是怎样定义的？

?一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数。

?一般地，形如的函数，叫做一次函数。

?一般地，形如的函数，叫做二次函数。

二、自主学习

自学课本P2“思考”

自学提纲：

探究一：下列问题中，变量间具有函数关系吗？

探究二：如果有，它们的解析式有什么共同特点？

探究三：尝试给反比例函数下定义，并指出自变量x的取值范围。

1、京沪铁路全程为1463km，某次列车的平均速度为v（km/h）随此次列车的全程运行时间t（h）的变化而变化。

2、某住宅小区要种植一个面积为1000

2

m的矩形草坪，草坪的长y(单位:m)随宽x (单位:m)

的变化而变化。

3、已知北京市的总面积为1.68×4

10平方千米，人均占有的土地面积s(单位:平方千米/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化。

以上三个函数的共同点：

归纳：一般地，形如的函数称为反比例函数。

反比例函数的自变量x的取值范围是.

探究四：请说一说例1的解题思路。

三、练一练

1．下列关系式中，y 是x 的反比例函数吗？如果是，比例系数是多少？ （1）x y 4=

（2）x

y 21-= （3） 2x y = （4）xy ＝1 （5）y ＝41

-x 2．将下列函数分类： （1）y=3x+1 （2）x y 23-

= （3） 3

x y = （4）xy ＝1 （5）y=2x 2-7 （6）y ＝-21

-x 思考：反比例函数有哪些等价的形式？

四、合作探究

问题一：已知y 是x 的反比例函数，当1=x 时，4=y . （1） 求y 与x 的函数关系式

（2） 当x ＝－2时，求函数y 的值

问题二：已知y 与2

x 成反比例，并且当x=3时，y=4.，求y 关于x 的函数解析式。

问题三：已知y 与x-1成反比例，并且当x=3时，y=4.，求y 关于x 的函数解析式

反思小结：上面我们求函数解析式的方法叫做待定系数法

用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： （1）设：设待求函数解析式； （2）代：把条件代入解析式； （3）求：求出k 值

（4）写：写出反比例函数解析式。 五：巩固提高： 1、若函数37

-=

m x y 是反比例函数，则m 的取值是

2、若函数7

3-=m x y 是反比例函数，则m 的取值是

3、已知函数4

(3)a y

a x

-=+是反比例函数，则a =

26.1.2反比例函数的图像和性质第一课时(32)

课型：编者：使用时间：

学习目标：1.体会并了解反比例函数的图象的意义，能描点画出反比例函数的图象。

2.通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。

学习重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。

学习难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。

学习过程：

一、忆一忆

1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx（k≠0）呢？

2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？

方法与步骤——利用描点作图；

列表：取自变量x的哪些值? ——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。

描点：依据什么(数据、方法)找点?

连线：在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。

二、探索活动1 尝试用描点法来画出反比例函数的图象，画出反比例函数y=6

x

的图象．

解：列表

画出

反比例函数y=-6

x

的图象． x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y=-6/x

猜想：反比例函数y=

k

x

（k ≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？?在每一个象限内，y 随x 的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？ 归纳：反比例函数图象的特征及性质 （1）反比例函数y=

k

x

（k 为常数，k ≠0）的图象是 线． （2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第__________象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而____________

（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第__________象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而____________． 三、练一练

1．已知反比例函数x

k

y -=

3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大 2．函数a ax y +-=与x

a

y -=

（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）

四、测一测

1．若函数x m y )12(-=与x

m

y -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是 2．反比例函数x

y 2

-

=，当x ＝－2时，y ＝ ；当x ＜－2时；y 的取值范围是 ；当x ＞2时；y 的取值范围是

3． 已知反比例函数y a x

a

=--()22

6

，当x >0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式。

4．反比例函数x

y 1

=

（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定

26.1.2反比例函数的图像和性质 第二课时(33)

课型： 编者： 使用时间： 学习目标：

1．进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质

2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法 学习重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题 学习难点：学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质。 学习过程： 一、忆一忆

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？ 二、想一想

例3.已知反比例函数的图象经过A （2，6）。

（1）这个函数的图象位于哪个象限？y 随x 的增大如何变化？ （2）点B(3,4),C(212

-,5

4

4-),D(2,5)是否在这个函数的图象上？

即时练习：

1.已知反比例函数的图象经过A （3，-4）。

（1）这个函数的图象位于哪个象限？y 随x 的增大如何变化？ （2）点B(-3,4),C(-2,6),D(3，4)是否在这个函数的图象上？

例4.如图，它是反函数y=

x

m 5

-图象上的一支。根据图象，回答下列问题： （1） 图象上的另一支位于哪个象限？常数m 的取值范围是什么？ （2） 在这个函数图象的某一支上任取点A （x 1,y 1）和点B(x 2,y 2)。如果x 1>x 2,那么y 1

和 y 2有怎样的关系？

即时练习：

1.已知点A （x 1,y 1），B(x 2,y 2)在反比例函数y=x

1

的图象上。如果x 1

2．若点A （－2，a ）、B （－1，b ）、C （3，c ）在反比例函数x

k

y =

（k ＜0）图象上，则a 、b 、c 的大小关系怎样？ 解：

三、巩固练习

1.当质量一定时，二氧化碳体积V 与密度p 成反比例。且V=5m 3时，p=1．98kg ／m 3

（1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

（2）求V=9m 3

时，二氧化碳的密度。

2.已知反比例函数y=k/x （k ≠0）的图像经过点（4，3），求当x=6时，y 的值。

四、测一测

1.若反比例函数2

2

)12(-+=k

x k y 在每个象限内y 随x 的增大而增大，则k= 。

2.若点（－2，－1）在反比例函数x

k

y =的图象上，则当x>0时，y 随x 的增大而 。 3.已知反比例函数x

k y =

的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A (

72，y 1)、

B (5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系为（ ）。

A 、y 1＞y 2

B 、y 1＝y 2

C 、y 1＜y 2

D 、无法确定

五、小结与反思：

26. 2实际问题与反比例函数 第一课时(34)

课型： 编者： 使用时间： 学习目标：

1.能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题。

2.经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程发展分析问题，解决问题的能力。

3.经历观察、分析讨论法，交流的过程，逐步提高从实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型的过程，认识反比例函数性质的应用方法。 学习重点：运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。

学习难点：从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，教学时注意分析过程，渗透转化的数学思想。 学习过程： 一、想一想

例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m 3的圆柱形煤气储存室． (1)储存室的底面积S(单位：m 2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?

(2)公司决定把储存室的底面积S 定为500m 2，施工队施工时应该向下挖进多深?

(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m 时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m ，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)．

解：（1）根据圆柱体的体积公式，则有

S ·d=104

，

变形得 S=

4

10

d

即储存室的底面积S 是其深度d （2）把S=500代入S=4

10d

，得

解得 d=

即时练习：

1、完成课本15页练习题第1题

2、王大爷建一个面积为2500平米的长方形养鸡厂。 ⑴养鸡厂的长y 与宽x 有怎样的函数关系？

⑵王大爷决定把鸡厂的长确定为250米，那么宽应是多少？

⑶由于受厂地限止，养鸡厂的宽最多为20米，那么养鸡厂的长至少为多少米？

答：如果把存储室底面积S 定为500m 2

，施

工队施工时应该向下挖进20m 深。 （3）根据题意，把d=15代入S=4

10d

，得

答：如果把储存室的深改为15m ，相应的，储存室的底面积应改为666.67 m 2

例2码头工人以每天30吨的速度往一轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。

（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v与卸货时间t之间函数关系？

（2）由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？

解：（1）依题意，可知：轮船上的货物总量为：30×8=

∴v与t的函数解析式为：

v=

（2）把t=5代入v= ，得v=

答：船上货物不超过5天卸完，则平均每天至少卸吨货物。

即时练习：一司机驾驶汽车从甲地到乙地，以60千米∕时的平均速度用8小时到达目的地。（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v与时间t之间函数的关系。

（2）若该司机匀速返回用了7.5小时，求返回时的速度。

解：（1）依题意，可知：甲地到乙地路程为：

∴v与t的函数解析式为：v=

（2）把t=7.5代入v= ，得v=

答：若该司机匀速返回用了7.5小时则，返回时的速度为千米∕时。

二、巩固提高

1．面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x?的变化规律用图象表示大致是（）

2．如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的

水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．

（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；

（2）写出此函数的解析式；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？

（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？

五、小结与反思：

26. 2实际问题与反比例函数第二课时(35)

课型：编者：使用时间：学习目标：

1.学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题．

2.感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力

3.体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯．

学习重点：用反比例函数解决实际问题．

学习难点：构建反比例函数的数学模型．

学习过程：

一、学一学

阅读下面一段：

公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：

若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．也可这样描述：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．

为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！

二、想一想

例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？

（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

解：（1）根据“杠杆定律”，

有F l=

∴F与l的函数解析式为：F=

当l=1.5时，F=

∴撬动石头至少需要牛顿的力

（2）当F= = 时，

l= =

∴－1.5=

答：若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长米。

（3）你能由此题，利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，?动力臂越长越省力？

联想：物理课本上的电学知识告诉我们：

用电器的输出功率P（瓦）两端的电压U（伏）、用电器的电阻R（欧姆）有这样的关系PR=U2，也可写为P= ，或R= 。

例4一个用电器的电阻是可以调节的，其范围为110~220欧姆，已知电压为220伏

（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？

（2）这个用电器输出功率的范围多大？

解：（1）根据电学知识，当U=220时，有

P=

∴输出功率P是电阻R的反比例函数，

解析式为：P=

（2）从①式可以看出，电阻越大，功率越小。

当R=110时，P=

当R=220时，P=

∴用电器的输出功率在瓦到瓦之间

三、练一练

1．已知力F对一个物体作的功是15焦，则力F?与此物体在力在方向上移动的距离S之间的函数关系式的图象大致是（）

2、保持电压不变，电流I与电阻R成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培

（1）求I与R之间的函数关系式；

（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值。

3．某气球内充满了一定质量的气球,当温度不变时,气球内气球的压强p(千帕)是气球的体积V(米2)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位)

(1)写出这个函数的解析式:

（2）当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕

(3) 当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米。

四、小结与反思：