二阶超线性常微分方程组无穷多点边值问题的正解

Banach空间中二阶非线性奇异微分方程多点无穷边值问题的
正解
张海燕
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2012(25)3
【摘要】利用锥理论和Mōnch不动点定理结合单调迭代技巧,研究了Banach空间中一类二阶非线性奇异微分方程多点无穷边值问题,获得了正解的存在性定理和正解的迭代序列.
【总页数】7页(P535-541)
【关键词】奇异微分方程;正解;多点边值问题;Mōnch不动点定理
【作者】张海燕
【作者单位】宿州学院数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
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【关键字】问题重庆三峡学院毕业论文论文题目：二阶线性常微分方程边值问题的数值解法专业：数学与应用数学年级：2004级学号：0203作者：指导老师：查中伟（教授）完成时间：2008年5月目录二阶线性常微分方程边值问题的数值解法摘要对于二阶线性常微分方程定解问题，大多数是不存在解析解的，有的方程既使存在解析解，然而解出其解也是很难办到的.尤其是工程计算中更需要的是数值解.因此,本文给出两种二阶线性常微分方程边值问题的数值解法.首先给出了利用差分法求其数值解，在介绍此方法的过程中，第一步构造了二阶线性常微分方程边值问题的差分格式（差分方程组），然后论证了该边值问题的收敛性，最后利用二阶微分的四阶紧致差分公式对第一步构造的差分格式进行精度上的改进，得到了较好的结果.接着介绍了二阶线性常微分方程边值问题的第二种数值解法——Taylor展开解法，该方法主要是先将边值问题转化为Fredholm积分方程，再经过数学处理即可得到关于近似解、近似解的一阶导数和近似解的二阶导数的线性方程组，最后利用Crammer法则解出了该二阶线性常微分方程边值问题的数值解.并且利用工程数学软件MA TLAB，给出了计算机程序，使前面两种算法在计算机上得以实现.最后给出了具体实例，分别运用以上两种解法进行求解，对这两种方法的计算精度进行了对比分析.关键词数值解；差分格式；解的收敛性；MATLABNumerical Solution for Boundary Value Problems ofthe Second-order Linear ordinary Differential EquationsKai-min Cheng(Grade 2004, mathematics and applied mathematics, School of Mathematics and Computer Science, , ChongqingWanzhou 404000)Abstract: There is no exact solution for the majority of second-order linear ordinary di fferential equations’ solution problem. Some of them even exists the exact solution, but to solve its solution is a very difficult job. Especially, we need the numerical solution urgently in Engineering Mathematics. Based on this, this paper gives two kinds of numerical solution for Boundary Value Problems of the second-order linear ordinary differential equations. Firstly, this paper gives the difference method to solve its numerical solution. In the process of introducing this method, we construct differential format of the Boundary Value Problems in the first step. Then we demonstrate the convergence of the Boundary Value Problem. Finally, we improve the accuracy for the difference format constructed in first step by the four-order differential format Secondly, this paper gives method of expansion to solve its numerical solution. In this method, we first transform the boundary value problems into Fredholm integral equation, and then can get a group of linear equations with unknowns to the approximate solution, the first order derivative of the approximate solution and the second derivative of the approximate solution after mathematical treatment, and can solve it in Crammer rule. Thirdly, we write an algorithm program by using engineering mathematical software and make above two methods realized on the computer. Finally, this paper gives a specific example and solves it with above two methods separately. This paper also analyzes the feasibility for their accuracy.Keywords: Numerical solutions; Differential format; The convergence of solutions; Matlab language0 引言当前，常微分方程的定解问题已经有很多重要结果，如解的存在性定理.在很多典型的常微分方程的解法上也有较大突破，同时也涌现出了一批较为经典的解法，如降阶法、积分变换法、变易常数法、特征方程法等方法.尽管如此，在数学领域中还存在着迄今为止还难以解出其解析解的微分方程，这就使得微分方程领域必然会产生一个新的微分方程分支——微分方程数值解法.对于较为简单的常微分方程，只需利用经典解法即可解出其解析解，边值问题也是如此.往往在实际工程中抽象出来的微分方程，其边值问题是相当复杂的，所以用求其解析解的方法来计算微分方程的边值问题往往是不适宜的，有时甚至是很难办到的.实际上，对于解微分方程，我们所要获取的或感兴趣的，往往只是一个或几个特定点上的数据，并且既使有的方程存在解析解，也并不意味着其一定能够表达成初等函数形式，如多项式函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数以及它们的有限组合形式.在利用数值计算方法理论的基础上，再辅之计算机若能很好的解决现实工程数学中的许多常微分方程的边值问题，这是非常好的.本文主要论述二阶线性常微分方程边值问题数值解的两种解法：差分法和Taylor 展开法.考虑二阶线性常微分方程的边值问题()()(),(),()y p x y q x y f x a x by a y b αβ'''++=≤≤⎧⎨==⎩(1) 1 差分法1.1 差分格式的构造对于边值问题(1)将区间[,]a b 进等距划分，分点为： 其中 b ah n-= 称0x a =与n x b =为边界点，称121,,,n x x x -为内部节点.在每个节点i x 上将,y y '''用差商近似表示.这里要求有相同的截断误差，以保证精度协调.对于内部节点，二阶导数用二阶中心差商表示，得21122()()i i i i y y y y x o h h+--+''=+，1,2,,1i n =- (2)一阶导数用一阶中心差商表示，得 211()()2i i i y y y x o h h+--'=+，1,2,,1i n =- (3)假设()i i y y x =，则1122()i i i i y y y y x h +--+''≈；11()2i i iy y y x h+--'≈ 于是方程(1)的差分方程：1111222i i i i i i i i i y y y y y p q y f h h+-+--+-++=，1,2,,1i n =- (4)其中()i i p p x =，()i i q q x =，()i i f f x =.称(4)为(1)的中心差分格式.1.2 差分格式(4)的收敛性作适当变换可以消除线性方程(1)中的一阶导数项.事实上，可令()2()xap t dt x e μ-⎰=，再作()()()y x x z x μ=，将之代入(1)得所以，不妨仅就缺少一阶导数项的方程来讨论.对于边值问题：()()(),()y q x y f x y a y b αβ''+=⎧⎨==⎩ (5) 这里假定()0q x ≤，其对应的差分问题是：11202,1,2,,1,i i i i i i n y y y q y f i n h y y αβ+--+⎧+==-⎪⎨⎪==⎩(6)下面讨论差分问题(6)的可解性.由于(6)式是关于变量(0,1,2,,)i y i n =的线性方程组，要证明它的解存在唯一，只要证明对应的齐次方程组只有零解.为此，引进文献[5]的极值原理：引理1(极值原理) 对于一组不全相等的数(0,1,2,,)i y i n =，记其中 0(1,2,,1)i q i n ≤=-如果()0(1,2,,1)i l y i n ≥=-，则i y 的正的最大值只能是0y 或n y ；如果()0i l y ≤(1,2,,1)i n =-，则i y 的负的最小值只能是0y 或n y .证明 用反证法 考察()0i l y ≥的情形，设(11)m y m n ≤≤-是正的最大值，即0max 0m i i ny y M ≤≤==>，且1m y -和1m y +中至少有一个小于M ，此时有:由于0,0m q M ≥>，故由上式推出()0m l y <，此与原假设矛盾. 此外，()0m l y ≤的情形可类似地进行讨论，证毕. 利用引理1的结论有：定理1 差分问题(6)的解存在并且是唯一的. 证明 只要证明对应的其次方程组 只有零解，由于这里()0(1,2,,1)i l y i n ==-，由极值原理知，i y 的正的最大值和负的最小值只能是0y 或n y ，而按边界条件00n y y ==，故所有()0(0,1,2,,)i l y i n ==全为零，证毕.下面运用极值原理论证差分方法的收敛性并估计误差.定理2 设i y 是差分问题(6)的解，而()i y x 是边值问题(6)的解()y x 在节点i x 处的值.则截断误差()i i i e y x y =-有估计式：2()96i M b a e h -≤(7) 式中 (4)max ()a x bM yx ≤≤=证明 由Taylor 展开式，易得2(4)111120()2()()()(),12(),()i i i i i i i i i i n y x y x y x h q y x f y x h y x y x ξξξαβ+--+⎧-++=+≤≤⎪⎨⎪==⎩(8) 将(8)与(6)相减，知误差()i i i e y x y =-满足2(4)11202()()120i i i i i i i n e e e h l e q e y h e e ξ+-⎧-+=-=⎪⎨⎪==⎩(9) 式中的i ξ一般不知道的，讨论下列差分问题211202()120i i i i i i n h l q M h εεεεεεε+-⎧-+=+=-⎪⎨⎪==⎩(9-1) 式中(4)max ()a x bM yx ≤≤=.首先证明(9)和(9-1)两个差分问题的解存在下列关系：i i e ε≤ (0,1,2,,)i n = (10)事实上，由于22(4)()()()1212i i i h h l M y l e εξ=-≤-=-，故有 又 00000;0n n n n e e e e εεεε-=-=+=+=利用引理1知0,0i i i i e e εε-≥+≥，即(10) 式成立. 我们进一步考察211202()120i i i i n h l M h ρρρρρρ+-⎧-+==-⎪⎨⎪==⎩(11) 这里()0i i i i l q ρεε-=≤，又0000n ρερε-=-=，故由引理1（注意0i q =时()i l y 就是()i l y ），知0i i ρε-≥，即i i ερ≤，于是有然而i ρ是容易求出的. 事实上，可以先求解差分问题(9)所对应的边值问题得 2()()()24h x M x a b x ρ=-- 容易验证()i i x ρρ=是差分问题(11)的解，注意到()x ρ在点2a bx +=达到最大值 因此有估计式(7)，证毕.根据估计式(7)知，当0h →时有0i e →，这表明差分问题(6)是收敛的. 又因为(4)式是含有1n +个未知数(0,1,2,,)i y i n =的线性方程组，方程的个数1n -，要使方程组(4)有唯一解，还需要有两个边值条件0,n y y αβ==，它们和(4)一起构成三对角方程组.通过LU 分解，采用追赶法即可解出(4)(见3.1)1.3 差分格式(4)的改进从1.2的讨论可以得知，在1.1构造的差分格式是直接的中心差分格式，其截断误差是2()o h 即有二阶精度.基于中心差分格式的分析，直接利用二阶微分的四阶紧致差分公式，我们得到了数值求解二阶线性常微分方程边值问题的一种四阶精度的差分格式.1.3.1 改进后的差分格式的推导为了便于推导，可将方程(1)改写为()()()y f x p x y q x y '''=-- (12) 为了使格式具有更高得精度，利用[11]中的四阶差分公式2422()1/12x x y y o h h δδ⎛⎫''=+ ⎪+⎝⎭(13) 其中，2x δ为二阶中心差分算子21122i i i x i hφφφδφ+--+=(14)i φ可以表示i y 、i p 、i q 及i f 等.将(13)代入(12)得:2422()()()()()()1/12x i i i i i i x y f x p x y x q x y x o h h δδ⎛⎫'=--+ ⎪+⎝⎭(15) 即2224()()12x ii i i i i x i i i i i h y f p y q y f p y q y o h δδ''=--+--+ (16)而(2)即为22()x xx o h δφφ=+ (17)联立(16)(17)知224()()12x ii i i i i i i i i i h y f p y q y f p y q y o h δ''''=--+--+ (18) 即224(22)()12x ii i i i i i i i i i i i i i i i i i h y f p y q y f p y p y p y q y q y q y o h δ''''''''''''''''''=--+------+ (19) 显然要使(19)具有四阶精度，必须对i y '也进行四阶离散，于是利用Taylor 公式知2411()26i i i i y y h y y o h h +--''''=-+ (20) 又由(12)可得()()y y f py qy f p y py q y qy '''''''''''''''==--=---- (21) 于是有2411()()26i i i y y h y f p y py q y qy o h h +--''''''''=-----+ (22) 再将(2)、(3)、(21)及(22)代入(19)，经整理并略去高阶项可得 11i i i i i i i y y y g γηλ-+++= (23)其中1111112()2312481224242412i i i i i i i i i i i i i i p p p p p p p p q q q hp q h h h γ+-+-+--+--=--+-+-+ (24) 21111112()5226246612i i i i i i i i i i i p hp q q q p p q q q h h η+-+-+----+=--++-- (25)1111112()3212481224242412i i i i i i i i i i i i i i p p p p p p p p q q q h p q h h h λ+-+-+-----=+++++-+ (26) 1122562424i i i i i i hp hp g f f f +-+-=++ (27)故差分方程(23)即为所要推导的四阶精度格式，其截断误差为4()o h .1.3.2 差分格式(23)稳定性分析现对改进后的差分格式(23)进行稳定性分析.首先引用文献[12]对差分方程的稳定性的定义. 定义1(差分算子的稳定性定义) 如果对于充分小的网格步长h ，线性差分算子h L 对任何离散函数(0,1,2,,)i v i n =均存在不依赖于h 的正常数M ，使得01max(,)max ,0i n h k k nv M v v L v i n ≤≤≤+≤≤ (28)则称差分算子h L 是稳定的.为了论证差分格式(23)的稳定性，先引入文献[13]的一个引理.引理2 假设h L 是正型差分算子，则有01111max max(,)max k n h k k nk n v v v M L v ≤≤≤≤-≤+ (29)定理3 设h L 是由(23)定义的差分算子，即11,11h i i i i i i i L y y y y i n γηλ-+≡++≤≤- (30) 其中，,,i i i γηλ由(24)—(26)确定，如果假定0i q ≤，并且有11()0i i i p p p -+-> ， 11i n ≤≤- (31) 1111()min2102i i i i i i p p p h q q q -++--<+-，11i n ≤≤- (32)成立，则有(30)确定的差分算子h L 是稳定的.证明 由于,,i i i γηλ在条件(31)和(32)下满足0,0,0i i i γηλ><> (33)所以，由(30)所确定的差分算子h L 是正型的.根据引理2可以得知，存在不依赖于h 的正常数1M ，使得01111max max(,)max i n h i i ni n y y y M L y ≤≤≤≤-≤+ (34)其中，0(),()n y y a y y b αβ====.若令01max(,)M y M =，则由(34)知01max(,)max ,0i n h i i ny M y y L y i n ≤≤≤+≤≤ (35)则由差分算子稳定型的定义1得，差分算子h L 是稳定的. 证毕.定理3表明查分方程(23)的格式是稳定的，且在条件(31)和(32)满足的前提下，是对角占优()i i i ηγλ≥+的.因此，它与边值条件0(),()n y y a y y b αβ====构成的三对角方程组也可采用追赶法进行求解.2 Taylor 展式法2.1 一个Fredholm 积分方程的推导在这里可以假设()p x 、()q x 、()f x 在[,]a b 上均连续可微. 为了方便计算，现给出一类新函数的定义: 定义2 函数()()(0,1,2,)i x i γ=1()(1)(0)1()()(),1(1)!()()x i i i a x x t t dt i i x x γγγγ--⎧=-≥⎪-⎨⎪=⎩⎰ (36)其中()x γ可以为()f x 或()p x .由定义2知()00()()!()()(),0xi i i ax t p t dt i p x p x x x i '-=--≥⎰(37)现对方程(1)两边同时从a 到x 积分两次，并应用边值条件和分部积分整理得 ()(,)()()xay x V x t y t dt g x +=⎰ (38)其中(,)()()[()()]V x t p t x t q t p t '=+--；(2)()()[()()]()g x f x p a y a x a αα'=+++-方程(38)含有未知的常数()y a '，可应用(1)中的第二个边值条件()y b β=就能消除()y a '，最后导出下面的Fredholm 积分方程：()(,)()()bay x k x t y t dt h x +=⎰(39)其中11()()(,),(,)()()(,),b x b a V a t t x k x t a x b a V b t t x--⎧--≤=⎨-->⎩；1(2)(2)()()()()[()]h x f x x a b a f b ααβ-=+---+- 2.2 Taylor 展开解法设未知函数()y t 在[,]a b 上1n +阶连续可微，为了解出方程(39)，我们可以将未知函数()y t 用 Taylor 公式在t x =处展开得：()1()()()()()()(,)!n n n y t y x y x t x y x t x R t x n '=+-++-+ (40) 其中(,)n R t x 为Lagrange 余项，即(1)11(,)()(),(1)!n n n R t x y t x x t n ξξ++=-≤≤+设M 为(1)()n yx +在[,]a b 上的最大值，于是得Lagrange 余项(,)n R t x 有界，即1(,)()(1)!n n MR t x b a n +≤-+ (41)特别地，若未知函数()y x 是一个次数不超过n 的多项式，则(,)0n R t x ≡.实际上，如果()y x 在[,]a b 上有任意阶的导数，只要n 充分大，余项(,)n R t x 可以忽略不计，为方便起见，本文此处仅考虑二阶的Taylor 展开式(更高阶的解法类似于二阶)，即(2)21()()()()()()2y t y x y x x t y x t x '≈--+- (42) 现把 (42)代入(39)得000102[1()]()()()()()()x y x x y x x y x h x '''+∆+∆+∆= (43)其中 0(1)()()(,),0,1,2!ibi i ax x t k x t dt i i -∆=-=⎰在方程(39)两边对x 求导得 ()(,)()()bay x k x t y t dt h x ''+=⎰(44)其中 11()(,),(,)()(,),b a V a t t xk x t b a V b t t x--⎧--≤=⎨-->⎩ 现将(42)代入(44)得101112()()[1()]()()()()x y x x y x x y x h x ''''∆++∆+∆= (45)其中 1(1)()()(,),0,1,2!ibi i ax x t k x t dt i i -∆=-=⎰所以，现在方程(1)、(43)以及(45)恰好构成一个关于()y x 、()y x '和()y x '的线性方程组，应用 Crammer 法则即可解出(1)的近似解12()y x σσ=(46) 其中 010211112()()()()()()()()1h x x x h x x x f x p x σ∆∆'=∆∆,0001022101112()()()()()()()()1x x x x x x q x p x σ∆∆∆=∆∆∆由于(46)是利用Taylor 二阶展开得到的，所以(46)称为(1)的二阶近似解.如果解是二次多项式，易知二阶近似解退化成精确解，推而广之，相应的n 阶近似解对n 次多项式也是精确的.3 数值解的算法3.1 追赶法三对角线方程组的一般表示方法Ax D = (47) 其中A 为n n ⨯三对角矩阵，B 为n 阶列向量，即11222111iiin n n nn b c a b c A a b c a b c a b ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121i n n x x x x x x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121i n n d d D d d d -⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭并且A 满足11(1)0,0 (2),(0,2,,1)n n i i i i i b c •b c b a c a c i n ⎧>>>>⎪⎨≥+≠=-⎪⎩ (48) 设A 为满足(48)的n 阶三对角阵，则有唯一三角分解A LU =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵，即有11112222211111iiii i in nn nn b c a a b c r a A a b c r a a b r a βββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(49)由矩阵乘法， 得1）11111111,,/b c c b ααββ===； 2）11,,(2,,)i i i i i i i i a r b r a i n αββ--==+==3）,(2,,1)i i i c i n αβ==-于是，得到解(1)的追赶法计算公式 (1) 分解计算公式A LU =：1111//(),(2,,1)i i i i i c b c b a i n βββ-=⎧⎨=-=-⎩ (50)(2) 求解Ly D =递推公式：11111/()/(),(2,,)i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--=⎧⎨=--=⎩ (51)(3) 求解Ux y =递推公式：1,(1,,2,1)n n i i i i x y x y x i n β+=⎧⎨=-=-⎩ (52)现将计算121n βββ-→→→及12n y y y →→→的过程称为追的过程，计算方程组解11n n x x x -→→→的过程称为赶的过程，该算法称为追赶法.定理4 对三对角线方程组(47)，其中A 满足(48)式，则由追赶法计算公式得到{},{}i i αβ满足： (1) 01,(1,2,,1)i i n β<<=-(2) 0i i i i i i c b a b a α<≤-<<+，(2,,1)i n =-(3) 0n n n n n b a b a α<-<<+分析 (1)要证01i β<<，只要证1||||i i i i i a b a c β-=->，而此式中含有1i β-，因此用归纳法证明.(2)、(3)只要用三角不等式即可证得.但值得注意的是，条件(48)是充分的，但条件并非必要的，三对角线上不能有零元素，条件太苛刻，于是条件可以作适当改变，使追赶法仍可行 ，如改为：证明 (1)显然 现归纳法假设101i β-<<，下证: 01i β<<事实上，11||||||||||||||||i i i i i i i i i i a b a b a b a c ββ--=-≥->-≥，则0||||1ii ic βα<=<，(1,2,,1)i n =-(2) 因为 1i i i i a b a β-=-故 11||||||||i i i i i i i i i a b a b a b a ββ--=-≤+<+ 再有 ||||||||0i i i i a b a c >-≥>，(2,,1)i n =-(3) 由于1n n n n b a αβ-=-所以 11,(01)n n n n n n n b a b a αββ--≤+≤+<<，110,(01)n n n n n n n b a b a αββ--≥->-><<.证毕由定理4说明追赶法计算公式中不会出现中间结果数量级巨大增长和相应的舍入误差的严重累积，即追赶法计算公式对于舍入误差是稳定的.3.1.2 差分格式(23)的算法步骤1) 由1的讨论可以得知，由差分格式(23)以及边界条件0(),()n y y a y y b αβ====构成的方程组Ay g = (53) 是满足追赶法的条件(48)的. 其中，这里1111111001i iin n n A γηλγηλγηλ---⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012n y y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012n g g g g g ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，,,,i i i i g γηλ由(24)—(27)确定2) 根据(50)的递推公式 11111/0/10/()/(),(2,,1,)i i i i i i i i i c b c b a i n n βββληγβ--===⎧⎨=-=-=-⎩ (54)可以解出,(1,2,,1,)i i n n β=-3) 根据(51)的递推公式00001/()/(),(1,2,,)i i i i i i i z g g z g z i n ηγηγβ-==⎧⎨=--=⎩ (55)可以解出,(0,1,2,,1,)i z i n n =-4) 根据(52)的递推公式11,(1,,2,1,0)n ni i i i y z y z y i n β++=⎧⎨=-=-⎩ (56)即可解出()012,,,,Tn y y y y y = (57)故(57)即为二阶线性常微分方程边值问题(1)之差分格式(23)的数值解.3.2 Taylor 展开法的算法步骤由(46)式知，要求()y x ，只需求出1σ与2σ，而(1,2)i i σ=完全由(),(),()f x p x q x 和(0,1;0,1,2)ij i j ∆==以及()h x 及其导数()h x '确定，因为(),(),()f x p x q x 是由(1)唯一确定的，所以，以下步骤主要围绕求(0,1;0,1,2)ij i j ∆==以及()h x 及其导数()h x '来进行.1) 确定()h x 及其导数()h x ' 由(39)知1(2)(2)()()()()[()]h x f x x a b a f b ααβ-=+---+- (58) 所以要确定()h x ，首先得要确定(2)()f x ，由()()i x γ的定义知1()(1)(0)1()()(),1(1)!()()x i i i a f x x t f t dt i i f x f x --⎧=-≥⎪-⎨⎪=⎩⎰ (59)则，根据(59)作两次迭代即可求出(2)()f x ，将之代入(58)即可求出()h x ，从而解出()h x '.2) 确定(0,1;0,1,2)ij i j ∆== 由ij ∆的定义知0(1)()()(,),0,1,2!ibii a x x t k x t dt i i -∆=-=⎰;1(1)()()(,),0,1,2!ibi i ax x t k x t dt i i -∆=-=⎰(60)其中(,)k x t 和(,)k x t 分别见(39)和(44)式.所以，根据(60)以及(39)、(44)就可以确定(0,1;0,1,2)ij i j ∆==. 3）确定近似解()y x在1)和2)的基础上，由(46)即可确定二阶线性常微分方程边值问题(1)的近似解()y x .值得说明的是，以上步骤尽管较为清晰，但计算是相当繁琐的，尤其是几个定积分，所以针对几个复杂的定积分，可以适当采用数学软件Mathematica5.0进行处理.4 两种数值解法的计算机实现4.1差分格式(23)的计算机实现步骤根据1) 利用数学软件Mathematica5.0计算由(24)—(27)确定的,,,i i i i g γηλ； 2) 在Matlab 中建立一个名为chase.m 的文件，如下： function y=chase (a,b,c,g) %定义函数chase n=length(b);printf('追赶法\n'); if n-1==length(a) for i=n-1:-1:1 a(i+1)=a(i); endend%将a设置为n维向量c(1)=c(1)/b(1); f(1)=f(1)/b(1);for i=2:n-1b(i)=b(i)-a(i)*c(i-1);c(i)=c(i)/b(i);g(i)=(g(i)-a(i)*g(i-1))/b(i);endg(n)=(g(n)-a(n)*g(n-1))/(b(n)-a(n)*c(n-1));for i=n-1:-1:1g(i)=g(i)-c(i)*g(i+1);endy=f;或function g = Chase(A,g)[n,n] = size(A);printf('追赶法\n');L = tril(A);U = triu(A,1) + eye(n,n);L(1,1) = A(1,1);for k = 1:n-1L(k+1,k) = A(k+1,k);U(k,k+1) = A(k,k+1)/L(k,k);L(k+1,k+1) = A(k+1,k+1) - A(k+1,k)*U(k,k+1); enddisp(L);disp(U);b(1) = A(1,1);for k = 2:na(k) = A(k,k-1);b(k) = A(k,k);c(k-1) = A(k-1,k);B(k-1) = U(k-1,k);endz(1) = g(1)/b(1);for k = 2:nz(k) = (g(k)-a(k)*z(k-1))/(b(k)-a(k)*B(k-1)); enddisp(z);y(n) = z(n);for k = n-1:-1:1y(k) = z(k) - B(k)*y(k+1);endf = y;3) 求解线性方程组(53)Ay g =，在Matlab 中编写以上的chase.m 的M 文件，依次输入数据如下即可：>> A=[…;…;…]; >> a=[…..]； >> b=[…..]; >> c=[…..]; >> g =[…...];>> y=chase (a,b,c,g)其中A=[……]中输入(53)中A 的元素，a=[…..]中输入(1,2,,)i i n γ=，b=[…..]中输入(0,1,2,,)i i n η=，c=[…..]中输入(0,1,2,,1)i i n λ=-，g =[…...]中输入(0,1,2,,)i g i n =.4.2 Taylor 展式法的计算机实现步骤基于3.2的算法步骤，现给出更为具体的计算机操作步骤： 1) 计算()h x 及其导数()h x '首先计算(2)()f x ：因为11(2)(1)1()()()[()()]1!x x x aa a f x x t f t dt x t f t dt =-=-⎰⎰⎰，所以1(2)(1)1()()()[()()]1!x x t aa a f x x t f t dt x t f u du dt =-=-⎰⎰⎰ (61)再直接在Mathematica5.0的编辑栏中输入[()()]xtaax t f u du dt -⎰⎰即可算出(2)()f x ；然后由(58)式，直接在Mathematica5.0中输入1(2)(2)()()()[()]f x x a b a f b ααβ-+---+-，即为()h x ；最后在Mathematica5.0输入D[()h x ,x ]，即可得到()h x '.2) 计算(0,1;0,1,2)ij i j ∆== 由(60)式()(()()(()()))]bxa x p tb t q t p t dt '+-+--⎰ (62)同理 011()[()()(()()(()()))()x ax x t b x p t a t q t p t dt b a '∆=---+---⎰()()(()()(()()))]bxx t a x p t b t q t p t dt '+--+--⎰(63)2()()(()()(()()))]bxx t a x p t b t q t p t dt '+--+--⎰(64)(()()(()()))]bxp t b t q t p t dt '++--⎰(65)()(()()(()()))]bxx t p t b t q t p t dt '+-+--⎰ (66)2()(()()(()()))]bxx t p t b t q t p t dt '+-+--⎰ (67)所以，直接分别将(62)—(67)输入Mathematica5.0中运行后即可得到(0,1;0,1,2)ij i j ∆==3）计算近似解()y x先计算12,σσ，在Mathematica5.0中分别输入01021112()()()()()()()()1h x x x Det h x x x f x p x ∆∆⎛⎫ ⎪'∆∆ ⎪ ⎪⎝⎭和000102101112()()()()()()()()1x x x Det x x x q x p x ∆∆∆⎛⎫ ⎪∆∆∆ ⎪ ⎪⎝⎭，即可算出12,σσ.再由(46)式，可以算出(1)的近似解()y x .5 实例分析例 考虑下列边值问题2222(1)[1(1)]cos()(1)sin()1cos()(0)2,(1)1x x x y x y e y x e x x x e x y y e πππππ--'''⎧-+-=-+-++--⎨==-⎩(68) 显然，问题(68)的解析解为cos()x y e x π=+.下面分别对使用差分法和Taylor 展开法解边值问题(68)进行误差分析.5.1差分法的误差分析在(68)式中，分别取步长12341111,,,10203040h h h h ====，则由4.1的算法步骤，可以计算出改进后的差分格式(23)的最大误差max ()i i iE y y x =-以及收敛阶1212ln(/)/ln(/)r E E h h =. 结果见表1：Tab.1 Maximum error for problem (68) in differential format (23)改进后的差分格式(23)1/101291/20 8.04 4.00 1/30 1.59 4.00 1/40 0.504.005.2 Taylor 展式法的误差分析根据算法4.2可以解出(1)的近似解()y x (由于其表达式过于冗长，这里不便列出)，此处只对所求结果与(1)的解析解在对应点处值进行对比分析，并且分析最大误差max ()i i iE y y x =-.同样对区间[0,1]进行40等分，只在分点处考虑问题，结果见表2：Tab.2 Maximum error for problem (68) in Taylor expansion method0 2 2 0 21/40 1.6119998 1.6119885 0.0000113 1/40 2.0222325 2.0222328 0.0000003 22/40 1.5768186 1.5768256 0.0000070 2/40 2.0389594 2.0389599 0.0000005 23/40 1.5436852 1.5437025 0.0000127 3/40 2.0202541 2.0162212 0.0000006 24/40 1.5131018 1.5132035 0.0000017 4/40 2.0562274 2.0562212 0.0000062 25/40 1.4855625 1.4856021 0.0000604 5/40 2.0562274 2.0562212 0.0000062 26/40 1.4615503 1.4615569 0.0000066 6/40 2.0528408 2.0528309 0.0000091 27/40 1.4415344 1.4418695 0.0000151 7/40 2.0438864 2.0438526 0.0000338 28/40 1.4259675 1.4250231 0.000044413/40 1.9065292 1.9065592 0.0000300 34/40 1.4486403 1.4485693 0.0000701 14/40 1.8730580 1.8730268 0.0000312 35/40 1.4749958 1.4749894 0.0000064 15/40 1.8376748 1.8375990 0.0000758 36/40 1.5085466 1.5085362 0.0000005 16/40 1.8008417 1.8008235 0.0000182 37/40 1.5494983 1.5494976 0.0000007 17/40 1.7630358 1.7630986 0.0000628 38/40 1.5980213 1.5980242 0.0000029 18/40 1.7247467 1.7247854 0.0000387 39/40 1.6542499 1.6542491 0.000000819/40 1.6864733 1.6865231 0.0000798 1 1.71828181.71828180 20/401.64872131.64869850.00007720.00042525.3 5.1与5.2结果的对比分析由表1容易得知，当设定步长1/40h =，改进后的差分格式在问题(62)的最大误差为60.5010-⨯，其收敛阶为4.00，说明该方法应用于问题(1)是相当适宜的.由表2数据对比分析得知，用Taylor 展开法来解边值问题(62)，所得结果还是比较理想的.所得近似解在各节点处的值与解析解在相应节点处的值比较吻合.当然，如果(42)为更高阶的Taylor 展式，所得结果将更加精确，这说明用该法来解决二阶线性常微分方程边值问题是较为可行的.但通过对表1和表2综合对比不难发现，用改进后的差分格式(23)更能得到较为精确的数值解.致谢本论文是在指导老师查中伟教授的悉心指导下完成的.指导老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.本论文从选题到完成，每一步都是在指导老师的指导下完成的，倾注了指导老师大量的心血.在此，谨向指导老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！本论文的顺利完成，还离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助.在此感谢杨贤仆副教授、杜祥林教授、刘学飞副教授、冯天祥副教授等老师的指导和帮助；在四年的学习期间，得到了同班同学师兄师姐的大力帮助，在此表示深深的感谢.没有他们的帮助和支持是没有办法完成我的学士学位论文的，同窗、好友以及师生之间的友谊永远长存.参考文献[1] 查中伟. 数学物理偏微分方程[M]. 成都：西南交通大学出版社，2005[2] 李龙华等. 微分方程数值解法[M]. 北京：人民教育出版社，1980[3] 李群. 微分方程数值解法基础[M].北京：科学出版社，2003[4] 李大侃. 常微分方程数值解法[M].杭州：浙江大学出版社，1994[5] 李庆杨. 数值分析[M].武汉：华中理工大学出版社,2000[6] 冯天祥. 数值计算方法理论与实践研究[M], 成都：西南交通大学出版社，2005[7] 钟万勰. 结构动力学方程的精细时程积分法[J].大连理工大学学报1994,34(2):131-136[8] 魏毅强. 数值计算方法[M]. 北京：科学出版社，2004[8] 陆平. 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常微分方程多点边值问题的正解的开题报告开题报告题目：常微分方程多点边值问题的正解一、选题背景常微分方程在理论和应用中都具有重要的地位，其求解问题又可以分为初值问题和边值问题。

边值问题是指在一定区间内，给出方程的初值和末值，通过求解方程的正解，得到满足特定边界条件的函数解。

在工程、自然科学等领域中，常常会遇到边值问题的求解，因此多点边值问题的正解的研究具有重要意义。

二、选题意义多点边值问题在应用中广泛存在，比如弹性理论、动力学、电路理论等，这些领域里的问题很多都归结为常微分方程的多点边值问题，对其进行系统研究，可以为这些领域提供一定的理论支撑。

此外，多点边值问题的研究还有重要的数学意义和理论价值。

三、研究内容和方法本文主要研究三点多点边值问题，其中解是函数值和导数在给定点上的值均已知。

针对其特定性，我们将探究其正解的存在性、唯一性及收敛性等问题。

本文将采用分极限值函数的方法，以及共轭点法、集值函数方法、上下解法等多种数学工具，深入研究三点多点边值问题的正解。

同时，我们还将通过应用实例等形式，将研究成果应用于实际问题的解决中。

四、预期成果本文旨在揭示多点边值问题的解的存在性、唯一性及收敛性等问题，为多点边值问题的求解提供理论支撑和实际指导，同时也将对相关领域中的其他问题的解决提供一定借鉴作用。

五、研究进度安排1.研究文献调研和阅读：2周2.基础理论学习：3周3. 正解的存在性、唯一性及收敛性的证明：3周4.实例应用：1周5.论文撰写和论文答辩：3周六、论文的意义多点边值问题的正解是常微分方程求解中的重要问题，对于解决实际问题非常有意义。

本文将深入研究三点多点边值问题的正解，并且将其应用于实际问题的解决中，预期取得一定的理论突破和实际成果。

二阶常微分方程求解方法
二阶常微分方程求解方法是指利用变量变换、积分变换、逐步积分、拉普拉斯变换等数学方法求解二阶常微分方程的解的方法。

其中变量变换方法就是采用一种合适的变量，将二阶常微分方程化简为一阶的常微分方程，然后用积分因子法解此方程。

积分变换方法则把二阶常微分方程转换成积分方程，再利用积分法解此积分方程，将积分结果代入原来的二阶常微分方程中求出所求解。

逐步积分方法则是把二阶常微分方程中的一阶和二阶项各自积分，得到不定积分，然后用边界条件来求出定积分，最后将积分结果代入原来的二阶常微分方程中求解出所求方程的解。

拉普拉斯变换则是把二阶常微分方程使用拉普拉斯变换求解出拉普拉斯变换 of 解，然后再去反拉普拉变换，来求解原来的二阶常微分方程。

二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性的开题报告1.选题背景与意义常微分方程是数学中重要的研究对象，它是描述自然现象的基础模型之一。

在实际应用中，很多问题可以转化为常微分方程，因此研究常微分方程的性质对于解决实际问题具有重要意义。

而边值问题是研究常微分方程时经常遇到的问题，它是在给定区间的边界条件下求解方程的一种方法。

在边值问题中，一般需要求解的是在一个区间上满足某些边界条件的方程解。

二阶常微分方程无穷多点边值问题是边值问题的一个重要分支，在许多实际问题中都具有重要应用，例如物理学中的波动方程、量子力学中的定态薛定谔方程等。

研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，对于深入理解边值问题、发展解析方法及探索实际问题的解决方案具有重要的理论和应用价值。

2.研究目的和内容本文旨在研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，并探讨其求解方法。

具体包括以下内容：（1）介绍二阶常微分方程无穷多点边值问题的基本概念和相关理论。

（2）研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的唯一性和存在性。

（3）讨论二阶常微分方程无穷多点边值问题解的逼近方法及其误差估计。

（4）探讨边值问题的数值解法及其算法实现。

3.研究方法和步骤本文将主要采用以下方法和步骤：（1）理论分析：运用函数分析、微分方程理论等数学方法，推导二阶常微分方程无穷多点边值问题的一般形式、适定性条件及解的逼近方法。

（2）算法设计：基于上述理论分析，设计求解边值问题的数值方法，并探讨其算法实现。

（3）数值实验：通过典型例子的数值实验，验证所提出的求解方法和算法的正确性和可行性。

4.预期研究结果本文预期得到以下研究结果：（1）建立二阶常微分方程无穷多点边值问题的数学模型，研究其唯一性和存在性。

（2）提出求解二阶常微分方程无穷多点边值问题的逼近方法及误差估计，并进行数值验证。

（3）探讨边值问题的数值解法及其算法实现，并通过数值实验验证其正确性和可行性。

5.研究意义及参考价值本文研究二阶常微分方程无穷多点边值问题的可解性，对于深入理解边值问题、发展解析方法及探索实际问题的解决方案具有重要的理论和应用价值。

二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab tosolve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

二阶多点边值问题(系统)的正解的开题报告题目：二阶多点边值问题(系统)的正解研究背景与意义：二阶多点边值问题(系统)是数学中一个重要的研究领域，涉及到许多实际应用问题的解决，如物理、化学、工程和经济学等领域。

其解法有许多途径，其中最常用的是正解法。

正解法主要是通过求解二阶常微分方程来得到系统的正解。

在实际生产和应用中，正解法是解决这种问题的最优解法，不仅计算精度高，而且在一些数值方法无法使用的情况下也能解决问题。

研究内容：本研究主要是针对二阶多点边值问题(系统)的正解进行探讨。

首先，我们将从基础的二阶常微分方程出发，通过引入边值条件，将其转化为多点边值问题(系统)。

然后，我们将引入正解法，通过求解二阶常微分方程得到多点边值问题(系统)的正解，具体来说，我们将使用格林函数和变分法等方法，对不同类型的多点边值问题(系统)进行求解。

最后，我们将应用得到的正解，解决一些实际应用问题。

研究方法：本研究将主要采用理论分析和计算模拟相结合的方法。

在理论方面，我们将使用格林函数和变分法等方法进行分析，并通过理论证明证实所得结论的正确性；在计算模拟方面，我们将采用MATLAB等数学软件进行仿真模拟，验证所得结论的实际应用价值。

研究目标：本研究的主要目标是探讨二阶多点边值问题(系统)的正解，并将其应用于实际问题的解决中。

具体来讲，我们将致力于以下几个方面：(1)深入研究二阶多点边值问题(系统)的正解法；(2)利用正解法解决具体的实际问题；(3)将所得到的正解和计算结果与已有的其他方法进行比较，验证其正确性和实用性。

预期成果：本研究的主要成果包括理论分析和计算模拟两方面，具体来讲，预期成果包括：(1)通过格林函数和变分法等方法求解二阶多点边值问题(系统)的正解；(2)利用正解法解决实际问题，并与其他方法进行比较验证正解的正确性和实用性；(3)发表一篇高质量的学术论文，并在相关领域获得认可。

参考文献：[1]李玉霞,孙晓波.二阶常微分方程的解法汇编[J].运筹与管理,2019,28(1):89-97.[2]陈利群, 王宏亮. 多点边值问题正解的研究进展[J]. 理论数学与应用数学, 2021, 41(1): 165-178.[3]Liu X, Li D, Li L, et al. Solution of the Second-Order Boundary Value Problem by Green’s Function and Finite Element Method. Mathematical Problems in Engineering, 2021, 1-11.。

二阶常微分方程组边值问题正解的存在性
席守亮;贾梅;纪慧鹏
【期刊名称】《上海理工大学学报》
【年(卷),期】2009(031)004
【摘要】利用锥上不动点定理,研究了一类二阶非线性常微分方程组四点边值问题正解的存在性.在非线性项满足一定增长的条件下,得到了至少一个和两个正解存在的几个充分条件.
【总页数】4页(P318-321)
【作者】席守亮;贾梅;纪慧鹏
【作者单位】上海理工大学,理学院,上海,200093;上海理工大学,理学院,上
海,200093;上海理工大学,理学院,上海,200093
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类二阶常微分方程组两点边值问题三个正解的存在性 [J], 刘杰操;金淑女;李欣桐
2.一类三维二阶常微分方程组边值问题正解的存在性 [J], 夏大峰;洪子康;姜威;符美芬
3.二阶常微分方程组Neumann边值问题正解的存在性 [J], 牛小梅;胡卫敏
4.一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性 [J], 王彩华
5.一类二阶常微分方程组多点边值问题多个正解的存在性 [J], 谢淳;罗治国
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二阶微分方程多点边值问题正解的整体性
非线性泛函是现代分析数学的一个重要分支，它的许多问题来源于化学反应、人口生态、传染病、经济以及其它系统的模型。

由于其能很好的解释许多自然现象，从而受到了越来越多的数学工作者的关注。

二阶线性常微分方程多点边值问题的研究首先是由Illin和Moiseev开始的，Gupta讨论了一类二阶非线性常微分方程三点边值问题的可解性。

此后，许多作者用Leray-Schauder连续定理、选择定理，以及拓扑度理论对更一般的多点边值问题的可解性进行了研究，并获得了很多结果[3-6]。

然而很少见文献讨论其正解的结构。

最近文献[7]利用不动点指数理论研究了一类二阶非线性三点边值问题正解的结构。

本文受到文献[7]的启发，运用不动点定理、不动点指数定理以及锥理论，分别研究了两种不同边值条件下二阶微分方程三点边值问题正解的整体性。

针对非线性函数为超线性和次线性两种情形，得到了两类边值问题正解集中存在一个闭联集-非空的、连通的闭子集。

本文的第一节主要阐述了相关问题的历史背景及发展现状，第二节和第三节是本文的核心部分，主要研究了同一二阶微分方程在两种不同的边值条件下正解的结构。

最后，对这样一类解的结构问题的进一步研究进行了展望，提出了一些设想，希望能得出更多更好的结果。

二阶非线性常微分方程组边值问题的正解
刘健;封汉颍
【期刊名称】《军械工程学院学报》
【年(卷),期】2014(000)003
【摘要】研究一类二阶常微分方程组两点边值问题，利用Krasnoselskii’s不动
点定理，得到当f和g 满足超线性或次线性时边值问题一个正解存在的充分条件。

【总页数】4页(P75-78)
【作者】刘健;封汉颍
【作者单位】军械工程学院基础部，河北石家庄 050003;军械工程学院基础部，
河北石家庄 050003
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.二阶非线性常微分方程组正解及多个正解的存在性 [J], 白定勇
2.二阶非线性常微分方程组周期边值问题的正解 [J], 刘健;封汉颍
3.二阶非线性常微分方程组边值问题的正解 [J], 杨志林
4.二阶非线性常微分方程组耦合系统的奇异边值问题正解的存在性 [J], 田家财;范进军
5.二阶非线性常微分方程组两点边值问题的正解 [J], 谢胜利
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2018年以来，随着人们对非线性系统的研究日益深入，多重正解的概
念逐渐被提出。

二阶周期边值问题也属于非线性系统，多重正解的在
该问题的研究上得到了重视。

多重正解（Multiplicity of Solutions）指的是对于某些特定的初始或边
界条件，有不止一个正解。

与经典的解决方案方法相比，多重正解常
常具有更丰富的物理意义。

因此，二阶周期边值问题的多重正解也受到了广大研究者的广泛关注。

利用多重正解可以更好地求解一些经典问题，如格罗兹山问题
（Görtzmann）等。

而对于二阶周期边值问题，多重正解的作用更加明显，能够找出解的更为全面的物理学意义。

在实际的应用中，多重正解能够很好地解决一些困难的问题，如求解
叶屈曲理论问题（Leafstiff theory）、求解离散网格问题以及求解有限
元法等。

有了多重正解，就可以得到解的更可靠的求解结果。

多重正解对于二阶周期边值问题的研究中具有重要意义，其重要的好
处在于可以拓展一些经典问题的研究范畴，也能更好地解释有关问题
的解的结果，从而为后续更加深入的研究提供便利。

总之，多重正解是对于二阶周期边值问题研究的重要结果。

它不仅能
有效拓展研究局限，而且还具有可靠且更可信的求解结果。

多重正解
提供了一条全新的研究路径，为二阶周期边值问题求解提供了不同的
解决思路。