1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件基础过关练题组一充分条件、必要条件、充要条件的判定3>0”成立的( )1.“x>0”是“√x2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件2.“a>b”是“a>|b|”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2018东北育才学校高三第三次模拟)“m=-2”是“直线2x+my-2m+4=0与直线mx+2y-m+2=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2018北京东城期末)已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面,且n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列p是q的充要条件的是(填序号).①p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;②p:x>0,y>0,q:xy>0;③p:a>b,q:a+c>b+c.6.对任意实数a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“b -2是无理数”是“b 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a 2>b 2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的序号是 .题组二 充分条件、必要条件、充要条件的探求 7.设a,b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a |=b|b |成立的充分条件是( )A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b 且|a|=|b|8.使x 2<4成立的一个必要不充分条件是( ) A.-2≤x≤2 B.-2<x<0 C.0<x≤2 D.1<x<39.函数f(x)=x 2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( ) A.m=2 B.m=-2 C.m=-1 D.m=110.一元二次方程ax 2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A.a<0B.a>0C.a<-1D.a<111.已知三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0,则l1,l2,l3不能构成三角形的充要条件是k∈.题组三充分条件与必要条件的应用12.若x>2m2-3是-1<x<4的必要不充分条件,则实数m的取值范围是( )A.[-3,3]B.(-∞,-3]∪[3,+∞)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.[-1,1]13.已知“-1<k<m”是“方程x2+y2+kx+√3y+k2=0表示圆”的充分条件,则实数m的取值范围是.14.(2017云南昆明高二检测)已知命题p:对数log a(-2t2+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t2-(m+3)t+(m+2)<0.(1)若命题p为真,求实数t的取值范围;(2)若命题p是q的充分条件,求实数m的取值范围.题组四 充分性、必要性的证明(充要条件的证明)15.已知{a n }为等差数列,且a 1+a 4=10,a 1+a 3=8,前n 项和为S n .求证:a 1,a k ,S k+2成等比数列的充要条件是k=6.16.已知x,y 都是非零实数,且x>y,求证:1x <1y的充要条件是xy>0.能力提升练一、选择题1.(2019云南景东彝族自治县高二期末,★★☆)在△ABC中,“A>B”是“cos A<cos B”的 ( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2019江西南昌开学摸底,★★☆)已知平面α内的一条直线l及平面β,则“l⊥β”是“α⊥β”的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.(2020河南洛阳高二期末,★★☆)若m,n为非零向量,则“m·n>0”是“存在正数λ,使得m=λn”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2019广东深圳宝安高二期末,★★☆)“a=3”是“圆O:x2+y2=2与圆C:(x-a)2+(y-a)2=8外切”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2018山东省实验中学高三上学期月考,★★★)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4-x)=f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则“f(0)<0”是“函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件二、填空题6.(★★★)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0(其中a>0),q:2<x≤3.若p 是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.7.(★★★)已知p:x2-2x-3<0,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是.8.(2019江苏天一中学高二期末,★★★)已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若q是p的充分条件,则实数a的取值范围是.三、解答题9.(2019江西南康中学高二期中,★★★)已知命题p:直线l:x-y+m=0与圆C 1:(x+1)2+y 2=2有公共点;命题q:函数f(x)=mx 2-2x+1在区间(-∞,1]上单调递减.(1)分别求出两个命题中m 的取值范围,并说明p 是q 的什么条件; (2)若p 真q 假,求实数m 的取值范围.10.(★★☆)已知集合A=y |y =x 2-32x+1,x∈[34,2],B={x|x+m 2≥1},p:x∈A,q:x∈B,且p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围.11.(2019陕西师大附中高二上学期期中,★★★)已知关于x的一元二次方程:①mx2-4x+4=0,②x2-4mx+4m2-4m-5=0,m∈Z.求证:方程①和②都有整数解的充要条件是m=1.答案全解全析 基础过关练1.A 当x>0时,√x 23>0成立,即充分性成立;当√x 23>0时,得x 2>0,则x>0或x<0,即必要性不成立,故选A.2.B 当a>b 时,a>|b|不一定成立,如a=-1,b=-2,即充分性不成立;当a>|b|时,a>b 成立,必要性成立,故选B.3.C 当两直线平行时,m 2=4,m=±2,又当m=2时,两直线重合,所以m=-2,所以“m=-2”是“直线2x+my-2m+4=0与直线mx+2y-m+2=0平行”的充要条件,故选C.4.D 由m∥n 推不出m∥α,m 也可能在平面α内;由m∥α推不出m∥n,m 也可能和n 异面,故选D.5.答案 ①③解析 ①当b=0时, f(x)为偶函数,即充分性成立;若f(x)为偶函数,则b=0,即必要性成立.故p 是q 的充要条件.②当x>0,y>0时,xy>0成立,即充分性成立;若xy>0,则x>0,y>0或x<0,y<0,即必要性不成立,故p 是q 的充分不必要条件.③由不等式的性质可知p 是q 的充要条件,故填①③. 6.答案 ②④解析 ①中由“a=b”可得“ac=bc”,但由“ac=bc”得不到“a=b”,所以不是充要条件;②是真命题;③中a>b 时,a 2>b 2不一定成立,所以③是假命题;④中由“a<3”可以得到“a<5”,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,是真命题.7.C 对于A,当a=-b 时,a |a |≠b |b |;对于B,当a∥b 时,不一定有a |a |=b|b |;对于C,当a=2b 时,a|a |=2b|2b |=b|b |;对于D,当a∥b 且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时a|a |≠b|b |.综上所述,使a|a |=b|b |成立的充分条件是a=2b.8.A 由x 2<4得-2<x<2,所以选项A 正确,选项B 是充分条件,选项C,D 均不符合题意.9.B 当m=-2时, f(x)=x 2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以函数f(x)=x 2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.10.C 一元二次方程ax 2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a<0,即a<0,则其充分不必要条件中a 的范围应是集合{a|a<0}的真子集,故选C. 11.答案 {-5,5,-10}解析 ①l 1∥l 3时,k=5;②l 2∥l 3时,k=-5;③l 1,l 2,l 3交于一点时,k=-10,故k∈{-5,5,-10}.12.D 由x>2m 2-3是-1<x<4的必要不充分条件得(-1,4)⫋(2m 2-3,+∞),所以2m 2-3≤-1,解得-1≤m≤1,故选D. 13.答案 (-1,1]解析 当方程x 2+y 2+kx+√3y+k 2=0表示圆时,k 2+3-4k 2>0,解得-1<k<1,因为-1<k<m 是-1<k<1的充分条件,所以-1<m≤1, 即实数m 的取值范围是(-1,1]. 14.解析 (1)因为命题p 为真,所以对数的真数-2t 2+7t-5>0, 解得1<t<52.所以实数t 的取值范围是(1,52).(2)因为命题p 是q 的充分条件,所以{t |1<t <52}是不等式t 2-(m+3)t+(m+2)<0的解集的子集.因为方程t 2-(m+3)t+(m+2)=0的两根为1和m+2. 所以只需m+2≥52,解得m≥12. 故实数m 的取值范围为[12,+∞).15.证明 设数列{a n }的公差为d,由题意得{2a 1+3d =10,2a 1+2d =8,解得{a 1=2,d =2,所以a n =2+2(n-1)=2n,由此得S n =n (a 1+a n )2=n (2+2n )2=n(1+n).充分性:当k=6时,a k =a 6=12,S k+2=S 6+2=S 8=8×9=72,因为a 6a 1=122=7212=S8a 6,所以a 1,a 6,S 6+2成等比数列,即a 1,a k ,S k+2成等比数列.必要性:由a 1,a k ,S k+2成等比数列,得a k 2=a 1S k+2,从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k 2-5k-6=0,解得k=-1(舍去)或k=6.综上可知,k=6是a 1,a k ,S k+2成等比数列的充要条件.16.证明 必要性:由1x <1y ,得1x -1y <0,即y -xxy <0,又由x>y,得y-x<0,所以xy>0. 充分性:由xy>0及x>y, 得xxy >yxy,即1x <1y.综上所述,1x <1y的充要条件是xy>0.能力提升练一、选择题1.A 因为A,B 是△ABC 的内角,所以A,B∈(0,π),又y=cos x 在(0,π)上单调递减, 且A>B,所以cos A<cos B.反之也成立,所以是充要条件.2.B 根据直线与平面垂直的判定定理,由“l⊥β,l ⊂α”可证得“α⊥β”,即充分性成立;反之,由“α⊥β,l ⊂α”不一定能得到“l⊥β”,即必要性不成立,所以“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件.故选B.3.B 若m·n>0,则说明向量m,n 的夹角为锐角或零,所以m,n 不一定共线,故“存在正数λ,使得m=λn”不一定成立.又“存在正数λ,使得m=λn”时,m,n 夹角为零,故m·n>0. 所以“m·n>0”是“存在正数λ,使得m=λn”的必要不充分条件.4.B 由圆O:x 2+y 2=2与圆C:(x-a)2+(y-a)2=8外切,得圆心O(0,0)与圆心C(a,a)的距离是3√2,即√(a -0)2+(a -0)2=√2a 2=3√2.解得a=±3,所以“a=3”是“圆O:x 2+y 2=2与圆C:(x-a)2+(y-a)2=8外切”的充分不必要条件.5.C 依题意,得f(4-x)=f(x)=f(-x),即函数f(x)是以4为周期的周期函数.当f(0)<0时,不一定能得出函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点,如当f(2)<0时,结合该函数的性质及图象,分析可知此时函数f(x)在区间[0,6]上不存在零点;当函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点时,结合该函数的性质及图象,分析可知此时f(0)<0,综上,“f(0)<0”是“函数f(x)在区间[0,6]上有3个零点”的必要不充分条件.二、填空题6.答案 (1,2]解析 由x 2-4ax+3a 2<0得(x-a)(x-3a)<0,又a>0,解得a<x<3a.由p 是q 的必要不充分条件得{a ≤2,3a >3,解得1<a≤2. 7.答案 (-∞,2)解析 p:x 2-2x-3<0⇔-1<x<3;-a<x-1<a ⇔1-a<x<1+a.依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a},所以{1-a ≤-1,1+a ≥3.解得a≥2,则使a>b 恒成立的实数b 的取值范围是(-∞,2).8.答案 [-1,6]解析 p:-4<x-a<4⇔a-4<x<4+a,q:(x-2)(3-x)>0⇔2<x<3,又q 是p 的充分条件,即q ⇒p,∴{a -4≤2,a +4≥3,解得-1≤a≤6.三、解答题9.解析 (1)圆C 1的圆心坐标为C 1(-1,0),半径为√2,由命题p,得√2 ≤√2,即|m-1|≤2,解得-1≤m≤3.在命题q 中,m≠0时,有{m >0,1m ≥1, 解得0<m≤1;当m=0时,函数f(x)=-2x+1也满足条件.综上,q:0≤m≤1.所以p 是q 的必要不充分条件.(2) 由p 真q 假可得{-1≤m ≤3,m <0或m >1,解得-1≤m<0或1<m≤3,∴m ∈[-1,0)∪(1,3].10.解析 ∵y=x 2-32x+1=(x -34)2+716,x∈[34,2], ∴y min =716,y max =2,∴A={y |716≤y ≤2}.由x+m 2≥1,得x≥1-m 2,∴B={x|x ≥1-m 2}.∵p 是q 的充分条件,∴A ⊆B,∴1-m 2≤716,解得m≥34或m≤-34. ∴实数m 的取值范围是(-∞,-34]∪[34,+∞).11.证明 方程①有实数根的充要条件是m≠0且Δ=16-4×4×m≥0,所以m≤1且m≠0. 方程②有实数根的充要条件是Δ=16m 2-4(4m 2-4m-5)≥0,解得m≥-54.所以方程①②都有实数根的充要条件是-5≤m≤1且m≠0.4又m∈Z,故m=-1或m=1.当m=-1时,方程①无整数解.当m=1时,方程①和②都有整数解.从而方程①和②都有整数解⇒m=1,反之,m=1⇒方程①和②都有整数解.所以方程①和②都有整数解的充要条件是m=1.。
