第三讲 最短路线问题

第三讲枚举法的妙用知识铺垫本讲重点总结一、重点知识点1. 枚举的概念：将符合要求的答案，一一列举的过程核心：有序、分类目的：不重不漏搭配问题的原则:有序搭配，不重不漏2.组数问题①从最高位排，先定后配②要按顺序排③0 不能做首位④卡片可旋转3.爬楼梯问题：先确定第一步走几个台阶（拆数问题）①拆谁②拆成几个数③拆成怎样的数4.最短路线问题的原则：不走回头路，不做无用功方法：①树形图②标数法5.枚举的常用方法：①分类法②列表法③树形图典型随堂测测 1妈妈马上过生日了，莉莉要给妈妈制作一条项链，现在有 3 种珠子若干颗，需要从里面选择 2 种，一共有多少种不同的选择呢？知识点：搭配问题黄+紫思路：连线搭配：黄+绿紫+绿【注意】没有顺序要求，黄+紫和紫+黄是一种搭配哦测2家里有一个密码箱，可是许多忘记密码了，只知道是由 6、7、8 这三个数字组成的三位数密码（数字不能重复），你能帮助许多把所有的情况都写出来吗？知识点：组数问题思路：先定后配：固定第 1 位思路：678，687，768，786，867，876 答：有 6 种可能的情况测3你能用卡片 1、4、7 组成多少个没有重复的三位数？知识点：组数问题先定后配：固定百位思路：147，174，417，471，714，741答：能组成6个不同的三位数.测 4妈妈和莉莉去超市购物，下面是超市的平面图，妈妈和莉莉想去买蔬菜，一共有几条最短的路可以选择呢？C E知识点：最短路线的问题思路：树形图：蔬菜 B AD 蔬菜 起D 蔬菜 FE D 蔬菜 标数法： 1 4 1 3 12 11 ①出发地—A —E —D —蔬菜区②出发地—A —B —D —蔬菜区③出发地—A —B —C —蔬菜区④出发地—F —E —D —蔬菜区答：有 4 条最短的路可以选择.注意：最短的路→不走回头路，只能向上、向右走枚举出所有路线测 5莉莉要下楼梯，一共有4 阶楼梯，莉莉每次只能走1 阶或2阶台阶，最后到达地面，你能帮助莉莉把所有的走法画出来吗？知识点：下楼梯问题思路：（1，1，1，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）有 5 种不同的走法.【注意】（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）是三种不同的方法重要知识点复习题目：1.艾迪和薇儿来到一家商店，有一项组数游戏，数字是 1，2，5. 老板要求组成不同的三位数（数字不可以重复使用），艾迪和薇儿很快拼出了答案，你也来试一试吧？2.由数字 0、3、6 组成的所有无重复数字的两位数，这些数的和是？答案解析：1.125，152，215，251，512，521，共 6 种2. 由数字 0，3，6 组成的所有无重复数字的，两位数有30，36，60，63，他们的和为 30+36+60+63=189。

第三讲勾股定理【版块一面积问题】【题型一】美丽的“勾股树”如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．47【变式】已知如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝10，则图中阴影部分的面积为（）A．50B．C．100D．【题型二】羊角形如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A．2B．4C．8D．16题型一图变式图题型三图【题型三】在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．【版块二勾股定理求线段长】【题型一】一架方梯AB长13米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙的距离OB为5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了3米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【题型二】已知直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边为（）A．13B．C．13或D．不能确定【题型三】如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上的数字﹣2上，以原点O 为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是．【题型四】如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于【题型五】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（）A．﹣1B．+1C．﹣1D．+1题型三图题型四图题型五图【题型六】如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2012＝．【版块三勾股定理设未知数列方程】【题型一】辅助线（单勾股）【例题】已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则CD 的长度为【变式】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）A．2B．C．D．【例题】图【变式】图【题型二】双勾股定理如图，△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求BC边上的高AD．【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2，则AC 的长为如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是【题型三】折叠问题在Rt△ABC中AC＝9cm，BC＝12cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合．求：（1）AB＝cm，BE＝cm；（2）设CD＝x，则DE＝cm，BD＝cm；（3）求CD的长及△BAD的面积．【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．【变式2】如图，直角三角形纸片ABC的直角边AC＝5，BC＝12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求：（1）EB的长．（2）CD的长．（3）△DEB的面积．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD＝，DB＝2，求BE的长．【题型一】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．【题型二】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【题型一】构造直角三角形如图，有两棵树，一棵高10m ，另一棵高4m ，两树相距8m ．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行m ．【题型二】平面展开-最短路径如图，一只蚂蚁从长为7cm 、宽为5cm ，高是9cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所走的最短路线的长是cm ．【变式】如图，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A 环绕油罐建梯子（图中虚线），并且要正好建到A 点正上方的油罐顶部的B 点，已知油罐高5AB =米，底面的直径是的π12米，则梯子最短长度为米.【题型一】图【题型二】图【变式】图【题型三】轴对称-最短路径（单动点）如图，等腰△ABC 的底边AB 长为4cm ，BC 长为5cm ，BC 边的垂直平分线EF 分别交BC ，AC 于点E ，F ，若点D 为AB 的中点，点P 为线段EF 上一动点，则△PBD 的周长的最小值为．【题型四】轴对称-最短路径（双动点）如图，在锐角△ABC 中AB ＝，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是【题型三】图【题型四】图。

知识要点快乐热身【例 1】 如下图所示，小虎家在A 地,姥姥家在B 地。

一天，他要去看望姥姥，但不知有几条路可走，走哪条路最短，热心的小朋友们快帮帮他吧？【分析】可走的路有5条，即：AFB 、AB 、AEB 、ADB 、ACB ，其中最短的路是AB 。

【例 2】 如下图所示，从甲地到乙地一共有两条路可走，请问哪条路长？哪条路短？【分析】一样长。

【例 3】 观察下图，若黑猫与白猫奔跑速度相同，那么哪只猫先捉到老鼠？最短路线白猫黑猫鼠【分析】白猫比黑猫走的多，黑猫先抓到老鼠。

走格子边【例 4】 一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点，它想去B 点玩，但是不知走哪条路最近。

小朋友们 你能给它找到几条这样的最短路线呢？B A63131211BA【分析】如右上图所示，根据标数法可得最短路线有6条。

【例 5】 如果A 、B 两点变成下面两图这样的位置关系，那么从A 到B 的最短路线有几条呢？BA BA【分析】根据上题原理，图中从A 到B 的最短路线都为6条。

【例 6】 方格纸上取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点，画一条由A 到B 的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？【分析】如右上图所示，根据“标数法”可知共有10条最短路线，其中一条如右上图中粗线所示。

【例 7】 小明和小强到少年宫参加2010上海世博会志愿者培训，少年宫和学校之间的地图如下。

如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？少年宫学校104163131211少年宫学校【分析】如右上图所示，根据标数法可知最短路线一共有10条。

【例 8】 小虎和小羊是好朋友，它们居住的小区的平面图如下。

星期天，两人相约去博物馆看展览，现在小虎要先去小羊家和小羊会和，请问小虎去小羊家的最短路线有多少条？201010464331111211小羊家小虎家【分析】如右上图所示，根据标数法可知一共有20条最短路线。

【例 9】 小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！南村北村12656703535216152015105541111南村北村410633211111【分析】如右上图所示，一共有126条最短路线。

【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）P.S.根据个⼈需要，我删改了不少问题引⼊问题：从某顶点出发，沿图的边到达另⼀顶点所经过的路径中，各边上权值之和最⼩的⼀条路径——最短路径。

解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出⼀篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。

笔者认为任意⼀个最短路算法都是基于这样⼀个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若⼲个节点到B。

⼀.Dijkstra算法该算法在《数据结构》课本⾥是以贪⼼的形式讲解的，不过在《运筹学》教材⾥被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。

(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度递增次序产⽣最短路径。

先把V分成两组：S：已求出最短路径的顶点的集合V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序加⼊到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）。

(2) 求最短路径步骤1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和SPFA初始化⽅式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。

2. 从T中选取⼀个其距离值为最⼩的顶点W(贪⼼体现在此处)，加⼊S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作⽤⾄关重要)，对T中顶点的距离值进⾏修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值⽐不加W的路径要短，则修改此距离值（上⾯两个并列for循环，使⽤最⼩点更新）。

3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为⽌（说明最外层是除起点外的遍历）。

第三讲行程问题编写说明在四年级春季的学习中,我们已经研究了行程问题中一些最基本的相遇与追击以及火车过桥问题.在暑期的三、四讲中我们将继续研究综合行程问题和流水行船问题. 学生对行程问题大都很“晕”,常常不知从何下手,鉴于此,我们尽量按照类别进行介绍,帮助学生一步一步找到解决各个类型的一些思路.在安排行程的题目时,我们选用的题目难度并不大,希望教师能引导孩子们,克服心理恐惧,能部分独立解答相应阶段的行程问题,增加孩子的自信与兴趣！以上观点仅供交流！内容概述行程问题是一类常见的重要应用题,在历次数学竞赛中经常出现．行程问题包括：相遇问题、追及问题、流水行船问题、环形行程问题等等,思维灵活性大,辐射面广,但万变不离根本,就是距离、速度、时间三个基本量之间的关系,即：距离=速度×时间 .在这三个量中,已知两个,可求出第三个未知量．这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解.解决行程问题时,画图分析是一个非常有效的方法,我们一定要养成画图解决问题的好习惯！你还记得吗【复习1】如右图,A,B是圆的直径的两端,甲在A点,乙在B点同时出发反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇。

已知C离A有80米,D离B有60米,求这个圆的周长。

分析：从A点出发到第一次相遇,两人共走了0.5圈；从A点出发到第二次相遇,两人共走了1.5圈。

因为1.5÷0.5＝3,所以第二相遇时甲走的路程是第一次相遇时的3倍,即弧ACD=AC×3=240（米）,则弧AB=240—BD=180（米）,圆周长为180×2=360（米）【复习2】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑. 甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米,两人同时同地同向出发,经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发,经过多少分钟两人相遇？分析：环形道一周的长度：（250-200）×45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟）.平均速度【例1】一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行50cm,20cm,40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？分析：假设每条边长为200厘米,则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟）,爬行一周的平均速度=200×3÷19=113119（厘米/分钟）.【前铺】汽车上山以30千米／时的速度,到达山顶后立即以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.分析：注意平均速度=总路程÷总时间,我们可以把上山的路程看作“1”,那么就有：（1+1）÷（113060）=40（千米／时）,在这里我们使用的是特殊值代入法,当然可以选择其他方便计算的数值,比如上山路程可以看作60千米,总时间=（60÷30）+（60÷60）=3,总路程=60×2=120,平均速度=120÷3=40（千米/时）.【前铺】汽车往返于A,B两地,去时速度为40千米／时,要想来回的平均速度为48千米／时,回来时的速度应为多少？分析：假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米,那么总时间=480÷48=10（小时）,回来时的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/时）.【巩固】有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒,求他过桥的平均速度.分析：假设上坡、平路及下坡的路程均为24米,那么总时间=24÷4+24÷6+24÷8=6+4+3=13（秒）,过桥的平均速度=24×3÷13=7513（米/秒）.【例2】老王开汽车从A到B为平地（见右图）,车速是30千米／时；从B 到C为上山路,车速是22.5千米／时；从C到D为下山路,车速是36千米／时. 已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共需要多少时间？分析：设上山路为x千米,下山路为2x千米,则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x ÷36）=30（千米/时）,正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时,与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）.【例3】甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？分析：（法１）全程的平均速度是每分钟（80+70）÷2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定是80米,时间是3000÷80=37.5分钟,后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟（法2）设走一半路程时间是x分钟,则80x+70x=6×1000,解方程得：x=40分钟,因为80×40=3200米,大于一半路程3000米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3000÷80=37.5分钟,后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟【例4】小明从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路、一半下坡路. 小明上学走两条路所用的时间一样多. 已知下坡的速度是平路的1.5倍,那么上坡的速度是平路的多少倍？分析：（法1）设路程为180,则上坡和下坡均是90. 设走平路的速度是2,则下坡速度是3,走下坡用时间90÷3=30,走平路一共用时间180÷2=90,所以走上坡时间是90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间90÷2=45 因为速度与时间成反比,所以上坡速度是下坡速度的45÷60=0.75倍.（法2）因为距离和时间都相同,所以平均速度也相同,又因为上坡和下坡路各一半也相同,设距离是1份,时间是1份,则下坡时间=0.5÷1.5=1/3,上坡时间=1-1/3=2/3,上坡速度=（1/2）÷（2/3）=3/4=0.75（法3）因为距离和时间都相同,所以：1/2×路程/上坡速度+1/2×路程/1.5=路程/1,得：上坡速度=0.75.沿途数车【例5】小明放学后,沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停地运行. 每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车. 问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?公共汽车的速度是小明步行速度的几倍?分析：假设小明在路上向前行走了63（7、9的最小公倍数）分钟后,立即回头再走63分钟,回到原地.这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车,后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他,那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车,所以发车的时间间隔为：63×2÷（9+7）=778（分）.公共汽车的发车时间以及速度都是不变的,所以车与车之间的间隔也是固定不变的. 根据每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他,我们可以得到：间隔=9×（车速-步速）；每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,我们可以得到：间隔=7×（车速+步速）,所以9×（车速-步速）=7×（车速+步速）,化简可得：车速=8倍的步速.【巩固】小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米／时的速度往家走,一边走一边数来往的公共汽车. 到家时迎面来的公共汽车数了11辆,后面追过的公共汽车数了9辆. 如果公共汽车按相等的时间间隔发车,那么公共汽车的平均速度是多少?分析：我们可以假设小红放学走到家共用99分钟,那么条件就可以转化为：“每隔9分钟就有辆公共汽车迎面开来,每隔11分钟就有辆公共汽车从后面超过他”.根据汽车间隔一定,可得：间隔=11×（车速-步速）=9×（车速+步速）,化简可得：车速=10倍的步速.所以车速为40千米/时.【巩固】小宇以均匀速度走路上学,他观察来往的同一路电车,发现每隔12分钟有一辆电车从后面超过他,每隔4分钟有一辆电车迎面而来．如果电车也是匀速行驶的,那么起点站和终点站隔多少分钟发一辆电车？分析：（法1）：[12,4]=12,12×2÷（1+3）=6（分钟）.（法2）：把电车的间隔距离看作1,那么有：车速+人速=14,车速-人速=112,所以车速=111()24126+÷=,发车间隔时间=1÷16=6（分钟）.【例6】在一条马路上,小明骑车与小光同向而行,小明骑车速度是小光速度的3倍,每隔10分有一辆公共汽车超过小光,每隔20分有一辆公共汽车超过小明. 已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车,问：相邻两车间隔几分？分析：设车速为a,小光的速度为b,则小明骑车的速度为3b。

第三讲最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B， P′A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线．此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．例2如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解：我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线．证明：在墙棱上任取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转90°后的路线AP′B′走都比直线段APB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线．由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．例3长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择．①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5．③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有：D′B2＝22+（1+4）2=29．④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29．⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），D′B2=（2+4）2+12=37．⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37．比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B 就是AB间的最短路线．圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路．圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆锥之后，AB′所成的曲线为所求．例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B 点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD 为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决．解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是AE＋ED＋DB．例8在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和B′，连结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A→E→F→B→A是最短路线，即最短路程为：AE＋EF＋FB＋BA．证明：由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线段A′B′的长度．而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段 A′B′，例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度，它大于A′B′的长度，所以A→E→F →B→A是最短路线．习题三1．如下图，EF为一河流的河岸线，假设成一条直线，A、B是河中两个小岛，有一只船经常从A岛把水产运回岸上，再把食品等物运回B岛，再由B岛将水产运上岸上，最后由岸上将食品等物运回A岛，问转运码头应设在何处，才能使运输船的航程最短．2．少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发（见下图），跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B点．接着，离B点再次跑到墙边手触摸墙壁后，跑到C点．问选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．3．如下图，在河弯处M点有个观测站，观测员要从M点出，先到AB 岸，再到CD岸，然后返回M点，问船应该走什么路线最短？4．如下图，A、B两个村子之间隔了两条河，两条河的宽度相同，为了使两个村子之间的行程最短，在这两条河上架桥的时候，应该把桥架在哪里？（两座桥分别垂直于两条河的河岸．）5．如下图，在河的两岸共有三个小镇A、B、C．问应在河的什么位置架两座桥，使两岸人们来往路程最短？（两座桥都垂直于河岸．）6．如下图是一张台球桌子，桌子上球A与球B之间有其它球阻隔．现在要击A球，经桌边CD、CF两次反射再碰到B球，请你画出A球行走的最短路线．7．如下图，A、B、C三点分别是正方体三条棱的中点，一只小虫沿着正方体的表面从点A爬到点C，图中所示路线是否为小虫爬行的最短路线？8．如下图，A、E为长方体同一棱上的两个顶点，且AE=8，底面为边长是2的正方形，B、C、D分别到底面距离为2、4、6，连接AB、BC、CD、DE，则折线ABCDE为以A为起点，以E为终点绕棱柱侧面一周最短的路线，请说明理由．9．⊙O的半径为8厘米，扇形OAA′是⊙O的四分之一（下左图），把扇形 OAA′卷成圆锥面（下右图），取母线 OA中点B及AB中点M．从M拉一绳子，围绕圆锥面转到下底面A点（下右图），试求此绳的最短长度．习题三解答1．作点A关于EF的对称点A′点，连结A′点、B点交EF于P点，则P点即为所求，它就是转运码头应设的位置．2．解法1：分别作A、C关于墙线的对称点A′、C′，分别连结A′、B和C′、B，它们分别交墙线于E、F两点，则A→E→B→F→C即最短路线．解法2：作B关于墙线的对称点B′，连结A、B′，C、B′，它们交于墙线处也为E、F点，最短路线同解法1．3．分别作M点关于AB、CD的对称点M1、M2，连结M1M2分别交AB、CD于N1、N2两点，连结MN1、MN2，则MN1＋N1N2＋N2M就是最短路程．4．过A、B分别向两条河作垂线，并截取AA′=BB′等于河宽，连结A′、B′分别交两相邻河岸于C、D两点，分别过C、D两点向两条河的另一岸作垂线，分别交另一岸于E、F两点，CE、DF即架桥位置．5．过A作河岸线垂线，并在其上截取AA′等于河宽，连结A′B和A′C，分别交河岸于E、F两点，过E、F分别作河岸垂线交另一岸于M、N 两点，则EM、FN即为架桥位置．6．分别作A、B关于CD、CF的对称点A′、B′，连结A′B′，交CD、CF于P、 Q两点，则 AP→PQ→QB就是A球所走的最短路线．7．共有三种路线可供选择．第一，如图甲，把前面和右侧面展开在平面上，连结AC．若设正方体边长为2，由勾股定理可求得AC2=12＋（2＋1）2＝10；第二，A经左面至上面到C，易知其最短距离的平方也为10；第三，如图乙，把前面和上面展开在平面上，连结AC，（B在线段AC上），同理求得AC2=22＋22=8，所以第三种路线，即题中所示路线，是沿正方体表面从A到C的最短路线．8．因为将棱柱的侧面展开之后为一正方形，如下图，ABCDE恰好为正方形的对角线，因此折线ABCDE是绕侧面一周的最短路线．9．将圆锥面沿母线OA剪开，把圆锥面摊成平面（如下页图），则A′M为绳的最短距离，根据勾股定理：MA′2＝OM2＋OA′2=（4＋2）2＋82＝100（平方厘米）∴ MA′=10（厘米）即绳的最短距离为10厘米．。

第三讲最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。

在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段。

这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲。

在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法。

例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。

解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线。

作点A关于河岸的对称点A′，即作AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时P点就是饮马的最好位置，连接PA，此时PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线。

证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B，P′A′。

∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线。

最短路线一、学习目标：通过最短路线的学习,体会转化的数学思想。

二、基础知识：最短路线通常的最短路线问题是以“平面内连结两点的线中,直线段最短”为原则引伸出来的。

在求最短路线时，常常先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题。

利用对称性把折线化成易求的直线段,所以这种方法也叫做化直法,其他还有旋转法、翻折法等。

有时所求最短路线位于凸多面体的不同平面上，需将它们展开在同一平面上。

三、例题解析：例1:如图，A、B两个学校在公路的两侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里?解：例2：如图,A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？解：练一练:如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。

并说明做法。

解：例3:少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发（见下图），跑到墙边，用手触摸墙壁,然后跑到B点．接着，离B点再次跑到墙边手触摸墙壁后，跑到C点．问选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。

分析：实际上是两个最短路线问题。

解：例4：在河中有A、B两岛（如下图)，六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：例5：如图13—6，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发,先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处,问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短。

解：例6：A、B两个村子，中间隔了一条小河，现在要在小河上架一座桥，使它垂直于河岸。

请你在河两岸选择合适的架桥地点。

第三讲枚举法解决问题【例题】例1、如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（注意:正方形可以说成是长与宽相等的长方形）解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的一条长与一条宽之和为（）cm。

下面列举出符合这个条件的各种长方形。

其中面积最大的是（）cm2例2、如下图所示，ABCD是一个正方形，边长为1厘米，沿着图中线段从A到D的最短长度为4厘米。

问这样的最短路线共有（）条。

请一一画出来。

例3、强强的爸爸是做售后服务工作的，最近业务繁忙，经常要根据客户的需求在在杭州、金华、宁波这三个城市来回跑。

他今天在这个城市，明天就到另一个城市。

10月22日（周一）在杭州市，10月26日（周五）又回到了杭州市，这几天中，强强爸爸在这三个城市之间可能有几种不同的行程，请你一一写下来。

例4、哥哥和弟弟两人玩一种跳棋游戏，两人商定游戏规则：谁先连胜头两盘谁赢；如果两人都不能连胜头两盘，谁先累计胜三盘谁赢，请问两兄弟玩，共有多少种可能？（备注：不产生和棋）长（cm）宽（cm）面积（cm2）例5、1995各个数位上的数之和为1+9+9+5=24，那么在小于2000的四位数中有多少个数的数字之和为24？例6、一条直线把一个圆分成两部分，两条直线最多把这个圆分为4部分，10条直线最多把这个圆分为几部分？【池中戏水】1．两个自然数的积是96，它们的和是20，这两个自然数分别是（）和（）；两个自然数之积为144，差为10，这两个数是（）和（）。

2．有红、黄、蓝色的小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，都可以代表不同的信号，那么，用这三面小旗共可以作出（）种不同的信号。

3．如图，一只小甲虫从A点出发沿着线段爬到B点。

要求任何点和线段都不重复经过，问这只小甲虫有多少种不同的走法？4．100条直线最多可以把一个平面分成几个部分？5．已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有多少个？请写下来。

三年级尖子班第三讲最短路线【例1】⑴(难度★)小羊和小虎是好朋友，它们居住的小区的平面图如下。

星期天，两人相约去博物馆看展览，现在小羊要先去小虎家和小虎汇合，请问小羊去小虎家的最短路线有多少条？⑵如图所示，从A点到B点的最短路线有多少条？【分析】⑴如右上图所示，根据标数法可知一共有20条最短路线⑵126条【例2】如图，从A到B的最短路线有几条？【分析】如右上图所示，根据标数法可知共有41条最短路线. 【例3】(难度★★)如图为街道示意图，从A到B的最短路线有多少种？【分析】标数法：如图所示，从A到B的最短路线有12种【例4】(难度★★★)（第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级选拔赛）如图是一个电子小虫的玩具盒。

玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米。

电子小虫的爬行速度是每秒3厘米。

如果它只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有种.【分析】电子小虫共爬行90厘米，所以电子小虫必须要么向上，要么向右走最短路线，如下图，共12种走法【例5】 (难度★★★)如街道示意图所示，有几处因施工不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？【分析】如上图，28种【例6】(难度★★★)⑴黑熊想到北极熊家去，但是中间必须经过灰熊家，如图所示，则黑熊到北极熊家的最短路线共有多少条？⑵(难度★★)如图，从A经过C到B有几条最短路线？【分析】⑴如下图所示：从黑熊到灰熊家的最短路线共有15条，从灰熊到北极熊家的最短路线有10条，根据分步计数原理，从黑熊家到北极熊家，必须经过灰熊家的最短路线共有×=条1510150⑵从A到C，最短路线如下图：从C到B，最短路线如下图：所以，从A经过C到B，有6×15=90（条）最短路线. 【例7】(难度★★)（1）图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有多少种不同走法？（2）在图中的“我爱春蕾杯” 有______种不同的读法【分析】⑴图中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从1号走到10号房间共有22种不同的走法．⑵根据标数法（见右上图）可知++++=种不同的读有1464116法。

最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径
组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括
①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点,求最短路径的问题
②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题
③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径
④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径
【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”
【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现"三折线”转“直”等变式问题考
【十二个基本问题】。

、第三讲 行程问题综合一、例题精讲例1、兄弟两人骑自行车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行5千米，后一半路每小行7千米，哥哥按时间分段行驶，前31 时间每小时行4千米，中间31时间每小时行6千米，后31时间每小时行8千米。

结果哥哥比弟弟早到20分。

求甲、乙再地的路程。

例2、A 、B 、C 三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A 车出了事故，B 和C 两车照常前进，A 车停了半小时后以原速度的54继续前进。

B 、C 两车行至距离甲市200千米处B 车出了事故，C 车照常前进，B 车停了半小时后以原速度的54继续前进，结果到达乙市的时间C 车比B 车早1小时，B 车比A 车早1小时，求甲、乙两市的距离。

例3、如图所示，A 、B 、C 、D 四个游东景点，在连接它们的三段等长的公路AB 、BC 、CD 上，汽车行驶的最高时速限制分别是12千米、40千米和6千米。

一辆大马客车从A 景点出发驶向D 景点，到达D 点后立刻返回；一辆中巴同时从D 景点出发，驶向B 点，两车相遇在C 景点，而当中巴达到B 点时，大巴又回到C 点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前搞了12.5%，求大巴客车的最高时速。

例4、如图所示，用甲、乙两滑轮匀速向上提升重物，物重都是600 N ，不计动滑轮重及摩擦，绳子的拉力F 甲为 N ；F 乙为 N ．若将重物提高1 m ，则甲滑轮绳子的自由端移动的距离为 m ；乙滑轮绳子的自由端移动的距离为 m ．例5、如图1所示，长方形ABCD 中AB ：BC=5：4。

位于A 点的第一只蚂蚁按A →B →C →D →A 的方向，位于C 点的第二只蚂蚁按C →B →A →D →C 的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行，如果两只蚂蚁等一次在B 点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在 边上。

最短路径问题归纳总结本文介绍了数学中的最短路径问题，该问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。

具体的算法形式包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题和全局最短路径问题。

其中，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”是该问题的原型。

解决该问题需要涉及知识包括“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”和“平移”等。

在解题思路方面，可以通过找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

本文还列举了十二个基本问题，包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题、将军饮马、造桥选址等。

对于每个问题，本文都给出了详细的作法和图形原理，以及需要用到的知识原理。

问题6】给定直线m和直线n，求在它们上面的两个点M和N，使得XXX的值最小。

根据垂线段最短的原理，将点A向右平移a个长度得到A'，作A'关于直线m的对称点A''，连A''B，交直线MN于点M，直线NB于点N，使得MN⊥m且MN=a。

则AM+MN+BN的最小值为A''B+MN。

在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并使AM+MN+NB的值最小。

将N点向左平移a个单位得到M。

问题7】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得PA+AB的值最小。

根据垂线段最短的原理，作点P关于l1的对称点P'，作P'B⊥l2于B，交l2于A。

则PA+AB的最小值为线段P'B的长。

在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小。

问题8】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得AM+MN+NB的值最小。

根据两点之间线段最短的原理，作点A关于l2的对称点A'，作点B关于l1的对称点B'，连A'B'交l2于M，交l1于N。

初中数学中最短路线问题的解题策略归纳【摘要】本文主要围绕初中数学中最短路线问题展开讨论，首先介绍了图论基础知识，包括图的定义和常见术语。

接着详细解析了Dijkstra算法和Floyd算法的原理和应用，通过具体的案例分析展示了这两种算法在最短路线问题中的作用和效果。

文章还讨论了贪心算法在最短路线问题中的应用，探讨了其优势和局限性。

结合前文内容对初中数学中最短路线问题的解题策略进行了总结，提出了解决这类问题的一般性方法和思路。

通过本文的阐述，读者可以全面了解和掌握初中数学中最短路线问题的解题技巧，为提高数学学习和解题能力提供了有益的参考和帮助。

【关键词】关键词：初中数学，最短路线问题，图论，Dijkstra算法，Floyd 算法，贪心算法，应用举例，解题策略总结1. 引言1.1 初中数学中最短路线问题的解题策略归纳初中数学中最短路线问题是一个常见的实际问题，涉及到图论的基础知识和算法。

对于这类问题，我们需要掌握一些关键的解题策略。

我们需要了解图论基础知识。

图是由节点和边组成的一种数据结构，节点代表位置或者城市，边代表路径或者道路。

在解决最短路线问题时，我们需要根据图中节点和边的关系来确定最短路径。

我们可以使用Dijkstra算法来解决最短路线问题。

该算法利用贪心的策略，不断更新节点的最短距离，直到找到最短路径。

我们需要注意处理权值为负数的情况，以免造成误差。

我们还可以采用Floyd算法来解决最短路线问题。

该算法利用动态规划的思想，逐步更新节点之间的最短路径长度，直到得到最终结果。

我们需要注意算法的时间复杂度，以确保能够在合理的时间内解决问题。

我们可以通过实际的应用举例来加深对最短路线问题的理解。

我们可以考虑在城市规划或者物流配送中的应用场景，通过实际案例来练习解题技巧。

初中数学中最短路线问题的解题策略包括图论基础知识、Dijkstra 算法、Floyd算法、应用举例以及贪心算法的应用。

掌握这些策略，能够帮助我们更好地解决实际问题，提高解题效率和准确性。

最短路径问题在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。

在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。

最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

（1）使用优先队列的Dijkstra算法(重点)Dijkstra算法可用于计算正权图上的单源最短路径，即从单源点出发，到所有结点的最短路，该算法同时适用于有向图和无向图。

Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

最短路径问题（珍藏版）【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P ，使PA +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．直线m∥n，在m、n上分别求点M、N，使MNm，且AM+MN+BN值最小．【问题6】图形在直线l上求两点M、N（MN=，并使在左），使a+MN+NB的值最小．【问题7】图形上求点A，在2l上求1B，使PA+AB值最小．【问题8】图形为1l上一定点，B为2l上一定点，在2l上求点M，在1l上求点N，使AM+MN+NB的值最小．【问题9】图形在直线l上求一点P，使P A-的值最小．PB【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBP A-的值最大．作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PBP A-≤AB．PBP A-的最大值＝AB．【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBP A-的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PBP A-≤AB＇．PBP A-最大值＝AB＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD 交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A．2B．32C．32+D．4A DEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，此时C、D两点的坐标分别为．9．已知A（1，1）、B（4，2）．（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；P A 的值最大时P点的坐标；（2）P为x轴上一动点，求PB（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；10．点C为∠AOB内一点．（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．11．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD；（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．。