九年级数学第一学期期中试题 (2)

九年级第一学期期中考试数学试卷（含参考答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1.在下列方程中是一元二次方程的是（）A.x2-2x y+y2=0B. x2-2x=3C. x（x +3）= x2-1D. x + =02.将二次函数y= x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）A.y=(x- 2)2+1B.y= (x +2)2+1C. (x- 2)2-1D.y= (x +2)2- 13.一元二次方程x2-2x +5=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断4.对于二次函数y= - (x- 2)2-3，下列说法正确的是（）B A.当x >0时，y随x的增大而增大 B.当x =2时，y有最大值- 3C.图象的顶点坐标为（-2，-7）D.图象与x轴有两个交点5.用配方法解方程x2- 6x- 3=0时，原方程应变形为（）A. (x +3)2=3B. (x +3)2=12C. (x- 3)2=3D. (x- 3)2=126.已知函数y=(x- 1)2+2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A x <1 B. x >1 C. x >-2 D. - 2< x <47.若x1，x2是一元二次方程2x2- 9x +4=0的两根，则x1+ x2的值是（）A. - 2B.2C.D. - 28.二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是（）A. x <-1B. x >3C. -1< x <3D. x <-1 或x >3第8题图第10题图9.某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175 亿元，二月、三月平均增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A.50(1+x)2=175B.50+50(1+x)+50(1+x)2=175C.50 (1+x) +50(1+x)2= 175D.50+50(1+x)2=17510.已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，对称轴为直线x=2.则下列结论中正确的是（）A a bc>0 B.4a-b=0 C.9a+3b+c<0 D.5a+c>0二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.方程x2= x的解是____________12.当k______时，y=( k +3)x2- k x+2是关于x的二次函数.13.抛物线y=2(x +1)2-3，的顶点坐标为________，对称轴为直线______14.已知x=1是方程x2+ax-b=0的一个根，则a-b+2023=_____15如图，一段抛物线：y=-x（x -2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C6，若P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m的值为=____三、解答题（一）：本大题共3小题，第16 题10分，第17、18题7分，共24分.16.计算：用适当方法解方程：（1）(x +1)2=5x+5 （2）x2- 4x- 5=017.某次聚会上，同学们互相送照片，每人给每个同学一张照片，一共送出90张照片，问一共有多少位同学参加了聚会？18.已知抛物线y= x2- 2x- 3.（1）求抛物线与两坐标轴的交点坐标（2）求它的顶点坐标。

2023—2024学年度第一学期期中九年级数学试题2023.11满分：140分，时间：90分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．四个选项中只有一个正确选项）1. 已知的半径为，点在内，则的长可能是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：∵的半径为，点在内，∴，即的长可能是．故选：D．2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：因为所以则即故选：D3. 给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（）A. ①③④B. ②C. ②④D. ①④答案：B解析：解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意；②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意；③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意；④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意，∴其中正确的是②．故选：B．4. 函数与在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）A. B.C. D.答案：C解析：解：A、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第一、三象限，即，因为的对称轴，故该选项是不符合题意；B、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第二、四象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；C、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第二、四象限，即，因为的对称轴，故该选项是符合题意；D、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第一、三象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；故选：C5. 有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多( )A. 12步B. 24步．C. 36步D. 48步答案：A解析：设矩形田地的长为步，则宽为步，根据题意得，，整理得，，解得或(舍去)，所以．故选A．6. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解：如图所示，连接，∵，∴，∵是的切线，∴，∴，∴的度数为．故选：A．7. 以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转的度数为（ ）A. B. C. D.答案：B解析：解：连接，∵正六边形的每个外角，∴正六边形的每个内角，∴，，∵∴∴∴正六边形至少旋转的度数为故选：B．8. 二次函数的图像如图所示，若关于的一元二次方程（为实数）的解满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：方程的解相当于与直线的交点的横坐标，∵方程（为实数）的解满足，∴当时，，当时，，又∵，∴抛物线的对称轴为，最小值为，∴当时，则，∴当时，直线与抛物线在的范围内有交点，即当时，方程在的范围内有实数解，∴的取值范围是．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）9. 已知关于的方程的一个根是，则_______．答案：解析：解：∵关于的方程的一个根是，∴，解得：，故答案为：．10. 请在横线上写一个常数，使得关于的方程_______．有两个相等的实数根．答案：9解析：解：，故答案为：9．11. 方程的两根为、，则_______．答案：3解析：解：移项得：，，故答案为：3．12. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．答案：15解析：解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π．故答案为15π．13. 某学习机的售价为2000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为1280元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为________．答案：解析：解：依题意得：，故答案为：．14. 已知拋物线经过点、，则________（填“”“ ”或“”）．答案：解析：解：依题意得：抛物线的对称轴为：，关于对称点的坐标为：，，且抛物线开口向下，，故答案为：．15. 已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是__．答案：且解析：解：由题意可知：且，解得：且，故答案为：且．16. 如图是二次函数的图像，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________（填序号）答案：①②④解析：解：∵抛物线与轴有两个不同交点，∴，故结论①正确；∵对称轴为直线，∴，∴，故结论②正确；由图像知，当时，，∴，故结论③不正确；∵抛物线开口向上，∴，∴，∵抛物线与轴的交点在负半轴，∴，∴，故结论④正确；∴正确的是①②④．故答案为：①②④．17. 如图，在中，，，则能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径是_______．答案：4解析：解：要使能够将完全覆盖的最小圆形纸片，则这个小圆形纸片是的外接圆，作的外接圆，连接，，作交于，如图：，，，，，在中，，，，故答案为：4．18. 如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值_______．答案：解析：解：如图，作点关于直径的对称点，则点在圆上，连接，交直径于点，∴，则的最小值是的长，∵点是半圆的中点，的半径为，∴等于半圆的一半，∴，∵点是的一个三等分点（靠近点），∴等于的，∴，∵点与点关于直径的对称，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共76分．要求写出解答或计算过程）19. 解方程：（1）；（2）．答案：（1）或（2）或小问1解析：解：则那么或即或小问2解析：解：则故所以即或20. 下表是二次函数的部分取值情况：根据表中信息，回答下列问题：（1）二次函数图象的顶点坐标是_______；（2）求的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（3）观察图象，写出时的取值范围：_______．答案：（1）（2），作图见解析（3）小问1解析：∵抛物线的对称轴为直线，∴二次函数图象的顶点坐标为，故答案为：；小问2解析：把代入中，得：，解得：，如图，小问3解析：由（2）知：二次函数的解析式为，当时，，解得：，，∴抛物线与轴的交点坐标为，，由图可知：当时，二次函数的图象在轴的上方，即，∴时的取值范围为．故答案为：．21. 如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点．请判断直线与的位置关系，并说明理由．答案：直线与相切，理由见解析解析：解：直线与相切．理由：连接、，则，∴，∵是的直径，∴，∴，∵点是的中点，，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴直线是的切线，∴直线与相切．22. 某商店经销一种手提包，已知这种手提包成本价为50元/个．市场调查发现，这种手提包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：．设这种手提包每天的销售利润为元．（1）当这种手提包销售单价定为多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）如果物价部门规定这种手提包的销售单价不得高于68元，该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？答案：（1）当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元（2）该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元小问1解析：解：依题意得：，整理得：，当时，有最大值为，答：当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元．小问2解析：当时，，解得：，，，，答：该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元．23. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米．（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．答案：（1）主桥拱所在圆的半径长为5米（2）此时水面的宽度为米小问1解析：∵点是的中点，，∴经过圆心，设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，连接，设半径，在中，，解得．答：主桥拱所在圆的半径长为5米；小问2解析：设与相交于点，连接，∴，∴，在中，，答：此时水面的宽度为米．24. 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”．（1）下列方程是“自然方程”是_______；（填序号）①；②；③．（2）若方程是“自然方程”，求的值．答案：（1）③（2）或小问1解析：解：①，解得：，，则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；②，，∵，∴，则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；③，，或，解得：，，∴，故此选项符合题意；故答案为：③；小问2解析：，，或，解得：，，∵方程“自然方程”，∴，解得：或，∴的值为或．25. 据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为．（1）观察：“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；（2）联想：如图2，在中，，，平分交于点，则_______；（3）迁移：图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹）答案：（1）（2）（3）作图见解析小问1解析：解：如图1，小圆半径是：，大圆半径是：，∴小圆与大圆的半径之比是：，故答案：；小问2解析：∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∴，，∴，，故答案为：；小问3解析：作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，∵垂直平分，是圆的弦，∴线段为圆的直径，∵垂直平分于点，∴点为大圆的圆心，，∵以点为圆心，为半径画弧交圆于点，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵平分，由（2）知：，，则小即为所作．26. 如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．（1）填空：_______，_______，_______；（2）在图1中，若点在轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值；（3）如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）（3）点的坐标是或或或或或小问1解析：将点代入得，，解得，∴抛物线的解析式：，令，则，解得或1，∴，∴，故答案为：；小问2解析：连接，∵轴交抛物线于点，∴点的纵坐标为，，解得或4，∴，∵点的横坐标为，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，∴的值为；小问3解析：∵，∴抛物线的对称轴为直线，∴点的横坐标为2，分三种情况：①当为直角顶点时，，如图2，过作轴，过作于，过作于，∴，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，点的横坐标为2，∴，解得或，∴点的坐标为或(；②当为直角顶点时，，如图3，过作轴，过作于，过作于，同理，∵，点的横坐标为2，∴，解得或，∴点的坐标为或，；③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，同理，∵，点的横坐标为2，∴，解得或5，∴点的坐标为或；综上所述，点的坐标是或或或或或．。

人教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．将方程2410x x --=的左边变成平方的形式是（）A ．2(2)1x -=B ．2(4)1x -=C ．2(2)5x -=D ．2(1)4x -=3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（）A ．（1，3）B ．（0，1）C ．（0，—3）D ．（2，1）4．关于方程2450x x -+=的根的情况，下列说法正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法判断5．在平面直角坐标系中，将点M （0，3-）绕原点顺时针旋转90°后得到的点的坐标为（）A ．（0，3-）B ．（3，0）C ．（3-，0）D ．（0，3）6．如图，ABCDE 是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转（）可以跟自身重合。

A ．60︒B ．120︒C ．75︒D ．72︒7．将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（）A ．y ＝(x ＋2)2＋1B ．y ＝(x －2)2＋1C ．y ＝(x ＋2)2－1D ．y ＝(x －2)2－18．关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根同为负数，则（）A ．p ＞0且q ＞0B ．p ＞0且q ＜0C ．p ＜0且q ＞0D ．p ＜0且q ＜09．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数28y ax x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．10．如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x 2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b 的取值范围是（）A ．b≤-2B ．b<-2C ．b≥-2D ．b>-2二、填空题11．已知点（2，1）在抛物线y=ax 2上，则此函数的开口方向___________12．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+x+m 2﹣4＝0的一个根为0，则m 值是_____．13．在平面直角坐标系中，点P （—10，a ）与点Q （b ，b+1）关于原点对称，则a+b=____14．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下：x…-3-2-101…y…-4-3-4-7-12…则该图象的对称轴是___________15．如图，在等腰直角三角形△ABC中，∠C=90°，AC=，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC=_____________cm．三、解答题16．抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y≥0，则x的取值范围是___________17．解方程（1）x2+2x—8=0（2）2x2+3x+1=018．在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点均在格点上，（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1（2）线段AC与线段A1C1的位置关系是______________19．王师傅开了一家商店，七月份盈利2500元，九月份盈利3600元，且每个月盈利的平均增长率都相等，求每月盈利的平均增长率．20．已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．21．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求△BCD的面积．22．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A 逆时针旋转后，得到△P AB（1）点P与点P’之间的距离；（2）∠APB的度数．23．已知某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售的单价每降低1元，每天就多卖5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）设降价x元，求出每天的销售利润y（元）与x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元时，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）24．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S的最小值．25．已知：抛物线l1：y=—x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为直线x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，5—2）（1）求抛物线2l 的函数表达式；（2）P 为直线1x =上一动点，连接PA ，PC ，当PA PC =时，求点P 的坐标；（3）M 为抛物线2l 上一动点，过点M 作直线//MN y 轴，交抛物线1l 于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．参考答案1．C【详解】解：A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项错误．故选C.2．C【详解】2410x x --=2445x x +=-()225x -=故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的转换问题，掌握配方法是解题的关键．3．D【解析】【分析】根据抛物线与x 轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标．【详解】解：观察图象发现图象与x 轴交于点(1,0)和(3,0)，∴对称轴为2x =，∴顶点坐标为(2,1)，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据交点坐标确定对称轴，难度不大．4．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式直接判断即可．【详解】解：关于方程2450x x -+=，∵1,4,5a b c ==-=，∴224(4)41540b ac -=--⨯⨯=-＜，∴方程2450x x -+=没有实数根，故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知240b ac -＞，有两个不相等的实数根；240b ac -=，有两个相等的实数根；24＜0b ac -，没有实数根；是解题的关键．5．C【解析】【分析】根据旋转的性质即可确定点坐标．【详解】解：点(0,3)M -绕原点O 顺时针旋转90︒，得到的点的坐标为(3,0)-，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45︒，60︒，90︒，180︒．6．D【解析】【分析】根据正五边形的每个中心角相等且其和为360°即可得到结论．【详解】根据正五边形的性质，每个中心角的相等，则每个中心角的度数为360°÷5=72°，故该图形绕它的中心至少旋转72度可以跟自身重合．故选：D ．【点睛】本题考查了图形的旋转及正多边形的性质，关键是抓住正多边形的中心角相等这一性质，问题即解决．7．B【解析】【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可.【详解】将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是y ＝(x －2)2＋1．故选B.本题考查了抛物线的平移规律，熟记抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”是解决问题的关键.8．A【解析】【详解】试题解析：设x1，x2是该方程的两个负数根，则有x1+x2＜0，x1x2＞0，∵x1+x2=-p，x1x2=q∴-p＜0，q＞0∴p＞0，q＞0．故选A．9．C【解析】【分析】x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一、三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．【点睛】=+在不同情况下所在本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y kx b的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．10．C【解析】根据y=x 2+bx+1与y 轴交于点（0，1），且与点C 关于x=1对称，则对称轴x≤1时，二次函数y=x 2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出b 的取值范围.【详解】当二次函数y=x 2+bx+1的图象经过点B （1，0）时，1+b+1=0.解得b=-2，故排除B 、D ；因为y=x 2+bx+1与y 轴交于点（0，1），所以（0，1）与点C 关于直线x=1对称，当对称轴x≤1时，二次函数y=x 2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以-2b ≤1，解得b≥-2，故选C.【点睛】本题考查二次函数图象，解题的关键是利用特殊值法进行求解.11．向上【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（2，1）代入抛物线方程，然后解关于a 的方程，求得a 的值，从而可以确定抛物线方程的二次项系数，即可以判断这条抛物线的开口方向．【详解】解：∵点（2，1）在抛物线y=ax 2上，∴点（2，1）满足抛物线方程y=ax 2，∴1＝4a ，解得a ＝14；∴抛物线方程y ＝14x 2的二次项系数a ＝14＞0，∴这条抛物线的开口方向向上．故答案是：向上．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点时，该点一定满足该函数的关系式．12．-2【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入方法解得m=±2，然后根据一元二次方程的定义确定m 的值．【详解】把x=0代入方程（m-2）x 2+（2m-1）x+m 2-4=0得m 2-4=0，解得m=2或m=-2，而m-2≠0，所以m=-2．故答案为-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13．1-【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得10b =，11a =-，进而可得a b +的值．【详解】解： 点(10,)P a -与点(,1)Q b b +关于原点对称，10b ∴=，111a b =--=-，11101a b ∴+=-+=-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了两个点关于原点对称，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律：点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．14．2x =-【解析】【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．【详解】解：由表格可得，当x 取-3和-1时，y 值相等，该函数图象的对称轴为直线3(1)22-+-==-x ，【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性解答．15．2##2-+【解析】【分析】连接CE，延长DC交AB于H，先证明CH⊥AB，由直角三角形的性质可求解．【详解】如图，连接CE，延长DC交AB于H，∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，∴∠ABD＝∠CBE＝60°，BC＝BE＝AC＝DE，∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCE是等边三角形，∠EDB＝45°，∴CE＝BC，∠CEB＝60°，∴CE＝DE，∠DEC＝30°，∴∠EDC＝∠ECD＝75°，∴∠BDH＝∠EDC−∠EDB＝30°，∵∠BDH＋∠DBA＝90°，∴CH⊥AB，又∵∠ACB＝90°，BC＝AC＝2cm，∴AB AC＝4（cm），CH＝AH＝BH＝2（cm），∵CH⊥AB，BH＝2cm，∠BDH＝30°，∴BD=2BH=4cm，=（cm），）（cm），∴DC＝DH−CH＝（【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．16．−3≤x≤1【解析】【分析】函数的对称轴为：x＝−1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为：（−3，0），即可求解．【详解】解：函数的对称轴为：x＝−1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为：（−3，0），故：y≥0时，−3≤x≤1，故答案为：−3≤x≤1．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，及这些点代表的意义及函数特征．17．（1）x1=2，x2=-4（2）x1=-1，x2=-1．2【解析】【分析】（1）利用因式分解法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．【详解】（1）x2+2x—8=0（x-2）（x+4）=0∴x-2=0或x+4=0∴x1=2，x2=-4（2）2x2+3x+1=0（2x+1）（x+1）=0∴2x+1=0或x+1=0∴x1=-12，x2=-1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．18．（1）见解析；（2）平行【解析】【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；（2）根据中心对称的性质，即可得出平行且相等的关系．【详解】A B C即为所求．解：（1）如图所示，△111（2）由中心对称的性质可知：线段AC与线段A1C1平行且相等，线段AC与线段A1C1的位置关系是平行，故答案是：平行．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图、中心对称图形，解题的关键是熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置．19．20%【解析】【分析】设从七月到九月，每月盈利的平均增长率为x，根据该商店七月份及九月份的盈利额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设从七月到九月，每月盈利的平均增长率为x ，依题意，得：22500(1)3600x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：从从七月到九月，每月盈利的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．20．（1）证明见解析；（2）p ＝【解析】【分析】（1）求出根的判别式△＝25+p 2，根据判别式的意义即可得出无论p 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入x 1+x 2＝x 1x 2，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）证明：△＝52﹣4（﹣p 2）＝25+4p 2，∵无论p 取何值时，总有p 2≥0，∴25+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意可得，x 1+x 2＝﹣5，x 1x 2＝﹣p 2，∵x 1+x 2＝x 1x 2，∴﹣5＝﹣p 2，∴p ＝【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：（1）一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（2）一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两实数根分别为x 1，x 2，则有x 1+x 2＝﹣a b ，x 1•x 2＝c a．21．（1）2(1)4y x =--+；（2）6【解析】【分析】（1）设抛物线顶点式解析式2(1)4y a x =-+，然后把点B 的坐标代入求出a 的值，即可得解；（2）令0y =，解方程得出点C ，D 坐标，再用三角形面积公式即可得出结论．【详解】解：（1） 抛物线的顶点为(1,4)A ，∴设抛物线的解析式2(1)4y a x =-+，把点(0,3)B 代入得，43a +=，解得1a =-，∴抛物线的解析式为2(1)4y x =--+；（2）由（1）知，抛物线的解析式为2(1)4y x =--+；令0y =，则20(1)4x =--+，1x ∴=-或3x =，(1,0)C ∴-，(3,0)D ；4CD ∴=，11||43622BCD B S CD y ∆∴=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题．22．（1）6；（2）150︒【解析】【分析】（1）由已知PAC ∆绕点A 逆时针旋转后，得到△P AB '，可得PAC ∆≅△P AB '，PA P A ='，旋转角60P AP BAC ∠'=∠=︒，所以APP ∆'为等边三角形，即可求得PP '；（2）由APP ∆'为等边三角形，得60APP ∠'=︒，在△PP B '中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出90P PB ∠'=︒，可求APB ∠的度数．【详解】解：（1）连接PP '，由题意可知10BP PC '==，AP AP '=，PAC P AB ∠=∠'，而60PAC BAP ∠+∠=︒，所以60PAP ∠'=度．故APP ∆'为等边三角形，所以6PP AP AP '=='=；（2）利用勾股定理的逆定理可知：222PP BP BP '+='，所以∆'BPP 为直角三角形，且90BPP ∠'=︒可求9060150APB ∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，解题的关键是你掌握旋转的图形的大小、形状都不改变．23．（1）252002500,(050)y x x x =-++≤≤；（2）销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；（3）销售单价应该控制在82元至90元之间【解析】【分析】（1）根据“利润=（售价-成本）⨯销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）每天的销售利润不低于4000元，根据二次函数与不等式的关系求出x 的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，以及50100100x ≤-≤，列不等式组即可．【详解】解：（1）由题意得：(10050)(505)y x x =--+，(50)(505)x x =-+，252002500,(050)x x x =-++≤≤，所以252002500,(050)y x x x =-++≤≤；（2）22520025005(20)4500y x x x =-++=--+ ，50a =-< ，∴抛物线开口向下．050x ≤≤Q ，对称轴是直线20x =，∴当20x =时，即销售单价是80元，每天的销售利润最大，最大利润是4500y =最大值；即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；（3）当4000y =时，2400052002500x x =-++，解得：110x =，230x =，∴当1030x ≤≤时，即销售单价在7010090x ≤-≤，每天的销售利润不低于4000元，由每天的总成本不超过7000元，得50(550)7000x + ，解得：18x ≤，82100x ∴≤-，50100100x ≤-≤Q ，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题意，列出相应等式，借助二次函数解决实际问题．24．（1）见解析；（2）BE+CF ＝2，是为定值；（3）S x ﹣1）2，当x ＝1时，S最小值为4.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA ＝90°，根据“AAS”可判定△BDE ≌△CDF ，即可证BE ＝CF ；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可证到△EMD ≌△FND ，则有EM ＝FN ，就可得到BE+CF ＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝12BC＝2；（3）过点F作FG⊥AB，由题意可得S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，则可求S与x 之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S的最小值．【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°，∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，BMD CNDB CBD DC∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝∴△MBD≌△NCD（AAS）BM＝CN，DM＝DN．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DN MDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM ＝FN ，∴BE+CF ＝BM+EM+CF ＝BM+FN+CF ＝BM+CN＝2BM ＝2BD×cos60°＝BD ＝12BC ＝2（3）过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G，∵BE ＝x∴AE ＝4﹣x ，CF ＝2﹣x ，∴AF ＝2+x ，∵S △DEF ＝S △ABC ﹣S △AEF ﹣S △BDE ﹣S △BCF ，∴S ＝12BC×AB×sin60°﹣12AE×AF×sin60°﹣12BE×BD×sin60°﹣12CF×CD×sin60°＝12×（4﹣x ）×（2+x ）1212×（2﹣x ）∴Sx ﹣1）2（∴当x ＝1时，S【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN 是解决本题的关键．25．（1）215222y x x =--；（2）(1,1)；（3）12【解析】【分析】（1）由对称轴可求得b ，可求得1l 的解析式，令0y =可求得A 点坐标，再利用待定系数法可求得2l 的表达式；（2）设P 点坐标为(1,)y ，由勾股定理可表示出2PC 和2PA ，由条件可得到关于y 的方程可求得y ，可求得P 点坐标；（3）可分别设出M 、N 的坐标，可表示出MN ，再根据函数的性质可求得MN 的最大值．【详解】解：（1） 抛物线21:3l y x bx =-++的对称轴为1x =，12b∴-=-，解得2b =，∴抛物线1l 的解析式为2y x 2x 3=-++，令0y =，可得2230x x -++=，解得1x =-或3x =，A ∴点坐标为(1,0)-，抛物线2l 经过点A 、E 两点，∴可设抛物线2l 解析式为(1)(5)y a x x =+-，又 抛物线2l 交y 轴于点(20,5)D -，552a ∴-=-，解得12a =，2115(1)(5)2222y x x x x ∴=+-=--，∴抛物线2l 的函数表达式为215222y x x =--；（2）设P 点坐标为(1,)y ，由（1）可得C 点坐标为(0,3)，22221(3)610PC y y y ∴=+-=-+，2222[1(1)]4PA y y =--+=+，PC PA = ，226104y y y ∴-+=+，解得1y =，P ∴点坐标为(1,1)；（3）由题意可设215(,2)22M x x x --，//MN y 轴，2(,23)N x x x ∴-++，令221523222x x x x -++=--，可解得1x =-或113x =，①当1113x -< 时，2222153113449(23)(2)4()2222236MN x x x x x x x =-++---=-++=--+，显然411133-< ，∴当43x =时，MN 有最大值496；②当1153x < 时，2222153113449(2)(23)4()2222236MN x x x x x x x =----++=--=--，显然当43x >时，MN 随x 的增大而增大，∴当5x =时，MN 有最大值，23449(512236⨯--=；综上可知在点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为12．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点，在（1）中求得A 点的坐标是解题的关键，在（2）中用P 点的坐标分别表示出PA 、PC 是解题的关键，在（3）中用M 、N 的坐标分别表示出MN 的长是解题的关键，注意分类讨论．。

2022-2023湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学复习试卷（二）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣12．下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠04．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（）A．45°B．30°C．60°D．75°6．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=257．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A．45°B．60°C．25°D．30°8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=579．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b ﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．方程x2=2x的解是．12．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是度．13．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是．14．太阳从西边出来，这个事件的概率为．15．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求α2+β2的值．16．某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，列方程为．三、解答题（共8题，共72分）17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法）18．如图所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B （0，3）．求此抛物线所对应的函数关系式．19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．20．已知a、b是方程x2+x﹣=0的两个实数根，求：a2+2a+b的值．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．①将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为；②将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为；③△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，则对称中心的坐标为．22．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．23．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；（3）连接PA，△PAB面积的最大值为．（直接填写结果）24．如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC，设所得△PBC 的面积为S，求S的取值范围．2022-2023湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学复习试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x﹣1=0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x=0或x﹣1=0，所以x1=0，x2=1．故选C．2．下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．3．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1．故选：A．4．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系，直接得出两根的积．【解答】解：∵方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，12故选：B．5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（）A．45°B．30°C．60°D．75°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=60°，∴∠EDC=180°﹣∠ADE﹣∠ADB=60°．故选C．6．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选C7．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A．45°B．60°C．25°D．30°【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形．【分析】连接OB，根据OC⊥AB，P为OC的中点可得出OP=OB，故∠OBP=30°，由直角三角形的性质得出∠BOP的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，P为OC的中点，∴∠OBP=30°，∴∠BOP=90°﹣30°=60°，∴∠BAC=∠BOP=30°．故选D．8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=57【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目=57，把相关数值代入即可．【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，∴小分支的个数为x×x=x2，∴可列方程为1+x+x2=57．故选B．9．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b ﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象．【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∴A符合条件，故选A．10．一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】利用根的判别式与求根公式直接判断①②；利用代入的方法判断③④即可．【解答】解：①两个方程根的判别式都是△=b2﹣4ac，所以如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根正确；②如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确；③如果m是方程M的一个根，那么m2a+mb+c=0，两边同时除以m2，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误．正确的是①②③共3个．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．方程x2=2x的解是x1=0，x2=．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先移项，利用因式分解法将原式分解因式得出即可．【解答】解：x2=2xx2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，解得：x1=0，x2=．故答案为：x1=0，x2=．12．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是45度．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质并结合一个周角是360°求解．【解答】解：∵一个周角是360度，等腰直角三角形的一个锐角是45度，∴如图，是由一个等腰直角三角形每次旋转45度，且旋转8次形成的．∴每次旋转的度数是45°．13．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是54．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：第1个图案需要小木棒1×（1+3）=4根，第二个图案需要2×（2+3）=10根，第三个图案需要3×（3+3）=18根，第四个图案需要4×（4+3）=28根，…，继而即可找出规律，进一步求出第6个图案需要小木棒的根数【解答】解：拼搭第1个图案需4=1×（1+3）根小木棒，拼搭第2个图案需10=2×（2+3）根小木棒，拼搭第3个图案需18=3×（3+3）根小木棒，拼搭第4个图案需28=4×（4+3）根小木棒，…拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根．当n=6时，n2+3n=62+3×6=54．故答案为：54．14．太阳从西边出来，这个事件的概率为0．【考点】概率的意义．【分析】根据事件的类型判断相应的概率即可．【解答】解：太阳从西边出来为不可能事件，故这个事件的概率为0．故答案为：0．15．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求α2+β2的值．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系找出α+β=﹣3、αβ=﹣1，利用完全平方公式将α2+β2的变形为只含α+β、αβ的算式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，∴α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=9+2=11．16．某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，列方程为1185（1﹣x）2=850．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为1185（1﹣x），第二次降价后售价为1185（1﹣x）2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．【解答】解：根据题意得1185（1﹣x）2=850．故答案为1185（1﹣x）2=850．三、解答题（共8题，共72分）17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法）【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式x=计算即可．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣3）=13＞0，x==，∴x1=，x2=．18．如图所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B （0，3）．求此抛物线所对应的函数关系式．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案．【解答】解：把点A（4，0），B（0，3）代入二次函数y=﹣x2+bx+c，，解得：，所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3．19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质．【分析】由CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，根据垂径定理可得AD=2AF，CD=2CE，∠OEC=∠OFA=90°，然后由AAS判定△COE≌△AOF，继而证得CE=AF，则可证得结论．【解答】证明：∵CD⊥AB，CO⊥AB，∴∠OEC=∠OFA=90°，AD=2AF，CD=2CE，在△OCE和△OAF中，，∴△OCE≌△OAF（AAS），∴CE=AF，∴AD=CD．20．已知a、b是方程x2+x﹣=0的两个实数根，求：a2+2a+b的值．【考点】根与系数的关系．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣=0，即a2+a=，则a2+2a+b可化为a2+a+a+b=+a+b，然后利用根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣=0的两个实数根，∴a2+a﹣=0，a+b=﹣1，∴a2+a=，∴a2+2a+b=a2+a+a+b=﹣1=．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．①将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为（3，﹣1）；②将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为（﹣1，3）；③△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，则对称中心的坐标为（，）．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【分析】（1）根据轴对称图形的性质可知点C的坐标为（3，﹣1）；（2）根据旋转变换图形的性质也可求出点C2的坐标；（3）成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标．【解答】解：（1）点C1的坐标为（3，﹣1）；（2）点C2的坐标为（﹣1，3）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心的坐标为．22．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】先根据旋转的性质得到BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，则可判断△PB P′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′=BP=4，∠BP′P=45°，于是可计算出∠PP′C=90°，然后在Rt△PP′C中利用勾股定理计算PC的长．【解答】解：∵△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，∴△PB P′是等腰直角三角形，∴PP′=BP=4，∠BP′P=45°，∴∠PP′C=∠BP′C﹣∠BP′P=135°﹣45°=90°，在Rt△PP′C中，PC===6．答：PP′和PC的长分别为4，6．23．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；（3）连接PA，△PAB面积的最大值为2+2．（直接填写结果）【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由旋转得到△ABD1≌△ACE1的条件即可；（2）由（1）的结论，在利用勾股定理计算即可；（3）作出辅助线，利用勾股定理建立方程求出即可．【解答】解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1=CE1（2）由（1）知△ABD1≌△ACE1，可证∠CPD1=90°∴∠CAD1=45°，∴∠BAD1=135°延长BA交D1E1于F，∴∠D1AF=45°=∠AD1E1，∴AF=D1F==；∵∠AFD1=90°，∴BD1=2．（3）如图作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，∴∠ABP=30°，∴PB=2+2，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．∴△PAB的面积最大值为AB×PG=2+2，故答案为2+2．24．如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b=+c，点B的横坐标为﹣2c（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC，设所得△PBC 的面积为S，求S的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1•x B=，即x B=﹣2c；（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（1﹣2c，1﹣c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=﹣x+c，求出c=﹣2，进而得到抛物线的解析式；，易求0＜S＜5；（Ⅱ）（3）分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，由0＜S＜S△ACB当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2），则点F坐标为（x，x﹣2），PF=PG﹣GF=﹣x2+2x，S=PF•OB=﹣x2+4x=﹣（x=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5．﹣2）2+4，根据二次函数的性质求出S最大值【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=×（﹣1）2+b×（﹣1）+c，∴b=+c，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（x B，0）（点A位于点B的左侧），∴﹣1与x B是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，∴﹣1•x B=，∴x B=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；故答案为： +c；﹣2c；（2）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．设直线BC的解析式为y=kx+c，∵B（﹣2c，0），∴﹣2kc+c=0，∵c≠0，∴k=，∴直线BC的解析式为：y=x+c．∵AE∥BC，∴可设直线AE得到解析式为y=x+m，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴×（﹣1）+m=0，解得：m=，∴直线AE得到解析式为：y=x+．由，解得，，∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）．∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），∴直线CD的解析式为y=﹣x+c．∵C，D，E三点在同一直线上，∴1﹣c=﹣×（1﹣2c）+c，∴2c2+3c﹣2=0，∴c1=（与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，∴b=+c=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）①设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2）．∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=x﹣2．分两种情况：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．∵S△ACB=AB•OC=5，∴0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．∴点F坐标为（x，x﹣2），∴PF=PG﹣GF=﹣（x2﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x2+2x，∴S=S△PFC +S△PFB=PF•OB=（﹣x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴当x=2时，S最大值=4，∴0＜S≤4．综上可知0＜S＜5．11月1日。

省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.32D.32.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.5C.55D.2554.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A .35°B.55°C.65°D.75°5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A.40B.160oC.80 或160oD.40 或1406.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.332OA ≤≤C.323OA ≤≤ D.223OA <≤10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）2033cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高3CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．28.在平面直角坐标系xOy 中，对已知的点A ，B ，给出如下定义：若点A 恰好在以BP 为直径的圆上，则称点P 为点A 关于点B 的“联络点”．（1）点A 的坐标为()2,1-，则在点()11,2P ，21,12P ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，()32,1P -中，O 关于点A 的“联络点”是______（填字母）；（2）直线112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，若点C 关于点D 的“联络点”P 满足1tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；（3）T e 的圆心在y ，点M 为y 轴上的动点，点N 的坐标为()4,0，在T e 上存在点M 关于点N 的“联络点”P ，且PMN 为等腰三角形，直接写出点T 的纵坐标t 的取值范围．省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【详解】根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=32故选：C ．【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．2.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（r 为圆半径，d 为点到圆心距离），当r d >，点在圆内；当r d <，点在圆内；当r d =，点在圆上；据此作答即可．【详解】解：∵O 的半径为4，3OP =，∴43>∴点P 在O 内故选：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.C.55D.255【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB 的值，在利用余弦的定义直接计算即可．【详解】解：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，∴222125AB AC BC =+=+=,∴15cos 55AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形中余弦值的计算，准确应用余弦定义是解题的关键．4.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A.35°B.55°C.65°D.75°【答案】B 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，连接BD ，先利用直径所对的圆周角是直角可得90ADB ∠=︒，再利用同弧所对的圆周角相等可得35ABD ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【详解】解：连接BD AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，35ACD ∠=︒ ，35ACD ABD ∴∠=∠=︒，9055BAD ABD ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A .40B.160oC.80 或160oD.40 或140【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，分类讨论,根据圆周角定理计算即可．【详解】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B=180°-∠ACB=140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线【答案】A【解析】【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，圆与切线的判定，熟练运用确定圆的条件的性质是本题的关键．【详解】A、任何三角形有且只有一个内切圆，则A正确；B、不共线的三点确定一个圆，则B错误；C、三角形内心到三边的距离相等，则C错误；D、过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误．故选A7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出cos30︒，cos 45︒及cos60︒的近似值，然后得出结论即可．【详解】解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵53c 4os 0.7A ∠==，余弦函数随角增大而减小，∴133242<<3045A ∴︒<∠<︒．故选：B ．8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+【答案】C 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得ET EC =，连接CT ，证明DCE △和ETC △是等腰直角三角形，求出2TA TC ==，可得结论．【详解】解：如图，连接AC ，BC 、CD ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵ AC BC=，∴AC CB =．∴45CAB ABC ∠=∠=︒．∵ CDDB =，∴122.52CAD DAB BAC ∠=∠==︒∠．∵ AC AC =，∴45∠=∠=︒ADC ABC ．∵CE DE ⊥，∴90CED ∠=︒．∴45ECD EDC ∠=∠=︒．∴1EC DE ==，在EA 上取一点T ，使得1ET EC ==，连接CT ，∴2CT =．∵45ETC TAC ACT ∠=︒=∠+∠，∴22.5TAC TCA ∠=∠=︒．∴2AT TC ==，∴21AE AT TE =+=+．故选：C ．9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.32OA ≤≤C.323OA ≤≤D.223OA <≤【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定与性质，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，因此点A 在 BAC上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，求出3363322AD BC ==⨯=，推出333AD <≤，得到2233333AO ⨯<≤⨯，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，，BAC ∠ 的大小不变，∴点A 在 BAC 上运动（不与B C 、重合），O 是ABC 的重心，D ∴是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，AD ∴垂直平分BC ，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒ ，ABC ∴ 是等边三角形，3363322AD BC ∴===，A 不与BC 、重合，12BC AD ∴<，333AD ∴<≤O 是ABC 的重心，23AO AD ∴=，2233333AO ∴⨯<≤⨯，223AO ∴<≤，故选：D ．10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】①延长BD ，CA 交于点G ，证明BD DG =，根据直角三角形斜边中线的性质得AD BD =，可作判断；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，设AE x =，则,2BF EF x BE ===，2AB AC x x ==，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，证明Rt Rt ACE FCE ≌，得2AC CF a ==，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④延长,BD CA 交于点G ，证明AEC AGB ∽，列比例式，并结合三角函数可作判断．【详解】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵30,90ABC BAC ∠=︒∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵CE 平分ACB ∠，∴30ACD BCD ∠=∠=︒，在Rt BDC 中，90,30BDC BCD ︒︒∠=∠=，∴60DBC ∠=︒，∴ GBC 是等边三角形，∵CD BG ⊥，∴BD DG =，Rt BAG 中，12AD BG BD ==，故①错误；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵CE 平分ACB ∠，90BAC ∠=︒，∴AE EF =，∵90,45BAC ABC ∠=︒∠=︒，∴AB AC =，同理得BEF △是等腰直角三角形，∴BF EF =，设AE x =，则,2BF EF x BE x ===，2AB AC x ==，∴()22222422CE AE AC x x x x =+=+++，∵DEB AEC ∠=∠，90BDE EAC ∠=∠=︒，∴BDE CAE ∽△△，∴222(422)()222ACE BDES CE x S BE x ∆∆+⋅===+，∴(22)ACE BDE S S =+ ，故②错误；③如图3，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，∴.22BF a =，∵90,EAC CFE CE CE ∠=∠=︒=，AE EF =，∴Rt Rt (HL)ACE FCE ≌，∴AC CF =，∵222AB AC BC +=，∴()()22232a a AC a AC++=+∴2AC CF a ==．延长,BD CA 交于点G ，∵,GCD BCD CD BG ∠=∠⊥，∴CBD G ∠=∠，∴32,CG CB a BD DG ===，∴22AG a =，∴21112422222ABD ABG S S a a a =⋅=⨯⨯⨯= ，2124222ABC S a a a =⋅⋅= ，∴ABC ABD S S =△△．故③正确；④如图4，延长,BD CA 交于点G ，∵90,BDE CAE DEB AEC ∠=∠=︒∠=∠，∴ACE DBE ∠=∠，∵90EAC BAG ︒∠=∠=，∴AEC AGB ∽，∴CE AC BG AB=，由③知：2BG BD =，∵tan AC ABC m AB ∠==，∴2CE m BD=，∴2CE m BD =⋅．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线．二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°【答案】54141【解析】【分析】此题考查了求锐角的三角函数值．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．【详解】如图：由a 4tan 5b α==，设45a x x ==，b ，则c ==，故5b cos c x α===12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．【答案】25【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，根据含30︒角所对的直角边等于斜边的一半计算即可求解，掌握含30︒角的直角三角形的性质是解题的关键.【详解】解：根据题意可得，山的高度15025m 2=⨯=，故答案为：25．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．【答案】120【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出∠A 与∠B ，∠C 的度数即可得出答案．【详解】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形对角互补有2x+7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形对角互补的性质，根据已知得出，∠A+∠C=3x+7x=180°是解题关键．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．【答案】24π【解析】【分析】先求出底面周长，再根据公式求解即可．【详解】解：底面半径为3cm ，则底面周长=6πcm ，∴侧面面积=12×6π×8=24πcm 2．故答案为：24π．【点睛】此题考查了扇形面积计算公式，圆的周长计算公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°【答案】25【解析】【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角，也考查了三角形外心的性质和圆周角定理，连接OC ，先计算出8OAC ∠=︒，再根据三角形外心的性质得到OA OC =，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出164AOC ∠=︒，接着根据圆周角定理得到82ABC ∠=︒，则利用三角形内角和可计算出50∠=°ACB ，然后根据三角形内心的性质得到BCI ∠的度数．【详解】解：如图，连接OC ，，648CAB OAC ∠=∠=︒ ，8OAC ∴∠=︒，点O 是锐角ABC 的外心，OA OC ∴=，8OCA OAC ∴∠=∠=︒，180164AOC OCA OAC ∴∠=︒-∠-∠=︒，1822ABC AOC ∴∠=∠=︒，18050ACB CAB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒，点I 是锐角ABC 的内心，1252BCI ACB ∴∠=∠=︒，故答案为：25．16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】3π-【解析】【分析】本题主要考查了圆面积的计算、正方形的性质、全等形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等图形成为解题的关键．如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ，再根据垂径定理、勾股定理、三角形的面积公式可得31DAF S =- ，然后再根据阴影部分的面积()14O ADF ABCD S S S -- 正方形即可解答．【详解】解：如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ．在Rt OFH △中，2222213F O O H F H =--,∵112AH BH AB ===，∴31AF FH AH =-=-∴()112313122DAF S AD AF =⋅=⨯⨯-=- ，∴图中阴影部分的面积()()()21122231344O ADF ABCD S S S ππ=--=⋅-⨯--=- 正方形．故答案为3π-．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．【答案】()32,0-+或()32,0--##()32,0--或()32,0-+【解析】【分析】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，由全等三角形求出点A '坐标，由点A '在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G 的坐标．【详解】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，如图所示：∵()3,3A -，∴3AM =，3GM a =+，∵点A 绕点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴AG A G '=，90AGA '∠=︒，∴90AGM NGA '∠+∠=︒，∵AM x ⊥轴，A N x '⊥轴，∴90AMG GNA '∠=∠=︒，∴90AGM MAG ∠+∠=︒，∴MAG NGA '∠=∠，在AMG 与GNA ' 中，AMG GNA MAG NGA AG GA ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AMG GNA AAS '≅ ，∴3GN AM ==，3A M GM a '==+，∴3ON a =+，∴(3,3)A a a '++，在Rt ONA ' 中，由勾股定理得：222(3)(3)2a a +++=，解得：32a =-+或32a =--，∴()32,0M -+或()32,0M --．故答案为：()32,0-+，()32,0--．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．【答案】213或7373213【解析】【分析】分BD BA =和BD AD =两种情况进行解答；①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，先证BAD BCE ∽ 可得ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，进而证ABC 和DBE 全等，即AC DE =，然后在Rt DCE V 中，利用勾股定理求出DE 即可；②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，先证ABD CBM ∽ 可得ABD CBM ∠=∠，进而证ABC DBM ∽ 可得12BC DM AB BD ==：：：，则12BC DM =，然后在Rt DCM 中利用勾股定理求出DM 即可．【详解】解：∵ABD △是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，∵BD BA BH AD =⊥，，∴290BAD BDA AD AH BAD ABH ∠=∠=∠+∠=︒，，，∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ABH BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AH ABH AB ∠==,∴42AB AH AD ==，∴12AD AB =：：，∵142CE BC ==，∴12BC CE =：：，∴AD AB BC CE =：：，∵CE CD ⊥，∴90BCE BCD ∠+∠=︒．∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCE ∠=∠，又∵AD AB BC CE =：：，∴BAD BCE ∽ ，∴ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，∴BDA BEC BDA BCE ∠=∠=∠=∠，∴8BC BE ==，∵ABD CBE ∠=∠，∴ABD DBC CBE DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBE ∠=∠，在ABC 和DBE 中，,,BD BA ABC DBE BC BE =∠=∠=,∴()SAS ABC DBE ≌，∴AC DE =，在Rt DCE V 中，64CD CE ==，，由勾股定理得：22213DE CD CE =+=；即213AC =②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，∵BD AD DN AB =⊥，，∴290DAB DBA AB AN ADN BAD ∠=∠=∠+∠=︒，，，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ADN BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AN ADN AD ∠==,∴42AD AN AB ==，∴12AB AD =：：，∵216CM BC ==，∴12BC CM =：：，∴AB AD BC CM =：：，∵CM CD ⊥，∴90BCM BCD ∠+∠=︒，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCM ∠=∠，又∵AB AD BC CM =：：，∴ABD CBM ∽ ，∴ABD CBM ∠=∠，∴ABD CBM DAB BCM ∠=∠=∠=∠，∴216BM CM BC ===，∵ABD CBM ∠=∠，∴ABD DBC CBM DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBM ∠=∠，∵1212AB BD BC BM ==：：，：：，∴AB BD BC BM =：：，∴ABC DBM ∽ ，∴12BC DM AB BD ==：：：，∴12BC DM =在Rt DCM 中，616CD CM ==，，由勾股定理得：DM ==，∴12BC DM ==综上所述：AC 的长为故答案为或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形和相似三角形以及分类讨论思想的应用是解题的关键和难点．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）20cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】（1）72（2）8【解析】【分析】本题考查实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的性质并牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．（1）将01π=，cos302= 代入原式，运算结果即可．（2）将tan 451︒=代入原式，运算结果即可．【小问1详解】解：20cos 30π-+312=-+72=【小问2详解】解：21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭415=-+8=20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．【答案】（1）2（2）152【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形的方法是解题的关键．（1）先求出23b c =，进而利用勾股定理求出53BC c =，再根据正切的定义可得答案；（2）先解Rt ADC 得到2155AD =，再解Rt ABC △，得到2cos 3A =，则可解Rt ADC ，得到3155AC =，进而求出91510AB =，则152BD AB AD =-==．【小问1详解】解：在Rt ABC △中，9032ACB b c =︒=∠，，∴23b c =，∴2253BC AB AC c =-=，∴5tan 2BC A AC ==；【小问2详解】解：在Rt ADC 中，5tan 2CD A AD ==，∴2155AD =，在Rt ABC △中，2cos 3AC A AB ==，∴在Rt ADC 中，315cos 5AD AC A ==，∴3915210AB AC ==，∴915215151052BD AB AD =-=-=．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）【答案】（1）60︒（2）43πcm【解析】【分析】（1）连接OB ，结合垂径定理得到»»AB AC =，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到AOB ∠和AOC ∠之间的关系，进而求出AOC ∠的度数；（2）要求劣弧 BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE 的长，进而在Rt BOE 中利用勾股定理求出OE 的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【小问1详解】解：连接OB ，∵OA BC ⊥，∴»»AB AC =，∴AOC AOB ∠=∠，由圆周角定理得，260AOB ADB ∠=∠=︒，∴60AOC AOB ∠=∠=︒．【小问2详解】解：∵OA BC ⊥，∴192BE BC ==，在Rt BOE 中，60AOB ∠=︒，∴2OB OE =，∴2239BE OB OE OE =-==，∴33cm OE =，63cm OB =．∴劣弧 BC 的长()120π6343πcm 180⨯==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．【答案】（1）95（2）724【解析】【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，得出52CH =，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH 垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，证明90APB ∠=︒得出AP CH ∥，PAB BHC ∠=∠，得出3cos cos 5AP PAB BHC AB=∠=∠=，即可得出答案；（2）作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，则2EF BC ==，90BFE ∠=︒，90AFP ∠=︒，求出3cos 5AF PAB AP =∠=，4sin sin 5PF PAB BHC AP =∠=∠=，得到2725AF =，3625PF =，从而得到1425PE =，即可得出答案．【小问1详解】解：如图，连接PB ，，四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，90ABC ∴∠=︒，1322AH BH AB ===，222235222CH BH BC ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH ∴垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，1180902APB HPB HPA HBP HAP ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，AP BP ⊥ ，CH BP ⊥，C AP H ∴∥，PAB BHC ∠=∠∴，332cos cos 552AP BH PAB BHC AB CH ∴=∠=∠===，3393555AP AB ∴==⨯=，AP ∴的长是95；【小问2详解】解：如图，作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，，90FEC ECB FBC ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形BCEF 是矩形，2EF BC ∴==，90BFE ∠=︒，90AFP ∴∠=︒，324cos sin sin 5552AF PF BC PAB PAB BHC AP AP CH ∴=∠==∠=∠===，，3392755525AF AP ∴==⨯=，4493655525PF AP ==⨯=，274832525CE BF AB AF ∴==-=-=，361422525PE EF PF =-=-=，14725tan 482425PE DCP CE ∴∠===，tan DCP ∴∠的值为724．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．【答案】（1）见解析（2）8120【解析】【分析】本题考查了作图—复杂作图，等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确的作出图形．（1）以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，即可完成作图；（2）证明11BMP CP N ∽，可得11CP MB BP CN =，设1BP x =，则19CP x =-，可得59x x a -=，从而得到2950x x a +=-，由只能作出唯一的点P ，得到该方程有两个相等的实数根，由此进行计算即可得出答案．【小问1详解】解：以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，如图，1P 、2P 即为所求，，如图，连接DN ，1MP ，1NP ，2NP ，2MP ，，由作图可得：AD AN =，ABC 是等边三角形，=60B ∠︒，AB AC ∴=，AB AD AC AN ∴-=-，即BD CN =，B DNC ∴∥，60MDN B ∴∠=∠=︒，由圆周角定理可得：1260MP N MP N MDN ∠=∠=∠=︒；【小问2详解】解：如图，，160MP N ∠=︒ ，11120MPB CP N ∴∠+∠=︒，ABC 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，9BC AB ==，11120BMP MPB ∴∠+∠=︒，11BMP CP N ∴∠=∠，11BMP CP N ∴ ∽，11CPMB BP CN ∴=，设1BP x =，则19CP x =-，59xx a -∴=，259a x x ∴=-，2950x x a ∴-+=，只能作出唯一的点P ，∴该方程有两个相等的实数根，()2Δ94150a ∴=--⨯⨯=，8120a ∴=，故答案为：8120．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）连接OD ，先根据等腰三角形的性质可得ODA A ∠=∠，CDE E ∠=∠，再根据直角三角形的性质可得90A E ∠+∠=︒，从而可得OD DC ⊥，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接OD ，设()0CD CE x x ==>，先求出A BDC ∠=∠，根据正切的定义可得22AC CE x ==，再在Rt COD 中，利用勾股定理求解即可得．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，OA OD = ，ODA A ∴∠=∠，CD CE = ，CDE E ∴∠=∠，⊥ CE AC ，90A E ∴∠+∠=︒，90ODA CDE ∴∠+∠=︒，()18090ODC ODA CDE ∴∠=︒-∠+∠=︒，即OD DC ⊥，又OD 是O 的半径，∴直线DC 与O 相切．【小问2详解】解：如图，连接OD ，设()0CD CE x x ==>，15AB = ，11522OA OD AB ∴===，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90CDE BDC BDE ∴∠+∠=∠=︒，又90A E ∠+∠=︒ ，CDE E ∠=∠，A BDC ∴∠=∠，1tan 2BDC ∠= ，1tan 2CE A AC∴==，22AC CE x ∴==，1522OC AC OA x ∴=-=-，由（1）已证：OD DC ⊥，∴在Rt COD 中，222OD CD OC +=，即2221515222x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10x =或0x =（不符合题意，舍去），所以CE 的长为10．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、正切、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）【答案】4米【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt △BCN 中，求出CN 、BN ，在Rt △ABE 中用AB 的代数式表示AE ，再根据∠ADC =45°得出CF =DF ，列方程求解即可．【详解】解：过点C 作CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为N 、F ，如图所示：在Rt △BCN 中，CN =BC •sin ∠MBC =2.5×35=1.5（米），BN =BC ×cos 37°=2.5×45=2（米），∵CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，MA ⊥AD ，∴四边形AFCN 为矩形，∴CN =AF =1.5，BN +AB =CF ，在Rt △ABE 中，∵∠AEB =53°，∴∠ABE =90°-53°=37°，AE =AB •tan ∠ABE =AB ×tan 37°=34AB ，∵∠ADC =45°，∴CF =DF ，∴BN +AB =AD -AF =AE +ED -AF ，即：2+AB =34AB +4.5-1.5，解得，AB =4（米）答：匾额悬挂的高度AB 的长约为4米．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系，通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边，再利用各条边之间的关系，列方程求解是解决问题的常用方法．26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．【答案】（1）42cm（2）1517-（3）12613185t <<【解析】【分析】（1）当2t =时，()2cm AP =，()4cm BQ =，()4cm BP =，再由勾股定理进行计算即可；（2）连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t =-，由45DPQ ∠=︒，得出PQM 是等腰直角三角形，证明()AAS PMN MQK ≌得出PN MK =，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()62t x t x -+=-，得出362t x -=，证明MPN DPA ∽得到1623622tt t =-+，求解即可；（3）当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，可得()()22626t t -+=，解得125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，可得()()()2222621226t t t -+=-+，解得61318t =-，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，即可得出答案．【小问1详解】解：当2t =时，()212cm AP =⨯=，()224cm BQ =⨯=，()624cm BP AB AP ∴=-=-=，()22224442cm PQ BP BQ ∴=+=+=，故答案为：42cm ；【小问2详解】解：如图，连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t ∴=-，由作图可知四边形BQKN 是矩形，BN QK ∴=，2cm BQ NK t ==，45DPQ ∠=︒ ，PQM ∴ 是等腰直角三角形，90PMQ ∴∠=︒，PM QM =，90PMN QMK KQM ∴∠=︒-∠=∠，90MNP QKM ∠=︒=∠ ，()AAS PMN MQK ∴ ≌，PN MK ∴=，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()2cm MN NK MK t x QK =-=-=，BN QK = ，()62t x t x ∴-+=-，362t x -∴=，()36cm 2t PN -∴=，()3662cm 22t t MN t -+=-=，MPN DPA ∠=∠ ，90MNP A ∠=︒=∠，MPN DPA ∴ ∽，PN MN AP AD ∴=，即1623622t t t =-+，解得：15317t =+（舍去）或15317t =-，t ∴的值为15317-；【小问3详解】解：如图，当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，，90A B ATQ ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形ABQT 是矩形，6cm QT AB PQ ∴===，()()22626t t ∴-+=，解得：0=t （舍去）或125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；如图，当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，，此时PQ DQ =，()()()2222621226t t t ∴-+=-+，解得：61318t =-或61318t =--（舍去），由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，综上所述，当12613185t <<-时，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点．【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．【答案】（1）533（2）()41,0B （3）253-或3【解析】【分析】（1）连接OD ，得出30DOA ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得AD 的长；（2）连接OM ，设线段AB 交O 于点E ，过点O 作ON AB ⊥于N ，得出四边形ONBM 是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出5,3OE NE ==，在Rt NEO 中，勾股定理求得ON ，Rt OMB 中，勾股定理求得OB ，即可求得点B 的坐标；（3）分类讨论，①当G 在P 点上方时，过点O 作OF BC ⊥于点F ，连接AH ，根据90度角所对的弦是直径，得出AH 是O 的直径，进而勾股定理求得HB ，垂径定理求得HF ，在Rt HOF 中，得出OF ，在Rt GFO 中求得FG ，继而根据GH FG HF =-即可求解；②当G 点在P 点下方时，过点O 作OX HB ⊥，同一法证明点,G X 重合，进而垂径定理即可求解．【小问1详解】如图，连接OD ，∵边AB 恰好与O 相切于点D ，∴OD AB ⊥，∵9030B ACB ∠=︒∠=︒，，∴∥OD BC ，∴30DOA ∠=︒，。

上学期九年级数学期中试题在初三的时候我们要做准备好我们的数学去考试哦，今天小编就给大家参考一下九年级数学，希望大家来收藏阅读哦九年级数学上册期中试题参考一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)1.二次函数y=x2-2x+2的顶点坐标是A.(1，1)B.(2，2)C.(1，2)D.(1，3)2.平面直角坐标系内与点P(-2，3)关于原点对称的点的坐标是A.(3，-2)B.(2，3)C.(2，-3)D.(-3，-3)3.已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是A.a确定抛物线的开口方向与大小B.若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C.若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D.若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变4.如图，B，C是⊙O上两点，且∠α=96°，A是⊙O上一个动点(不与B，C重合)，则∠A为A.48°B.132°C.48°或132°D.96°5.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为A.2.3B.2.4C.2.5D.2.66.如图，将半径为6cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为A. B. C. 2 D. 34题图 5题图 6题图7.若二次函数y=mx2-4x+m有最大值-3，则m等于A.m=4B.m=-4C.m=1D.m=-18.在平面直角坐标系中，将点P(-3，2)绕点A(0，1)顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为A.(-1，-2)B.(3，-2)C.(1，4)D.(1，3)9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为A. B. C.3 D.9题图 10题图10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0，3)，(x1，0)，其中，2A.②③④B.①②③C.②④D.②③二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是 .12.抛物线的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是_________________.13.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，则∠B的度数为 .14.如图，C是⊙O的弦BA延长线上一点，已知∠COB=130°，∠C=20°，OB=2，则AB的长为________.第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图15.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，则S梯形ABCE= cm2.16.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 .三、解答题(共8小题，共72分)17.(5分)已知抛物线的顶点坐标是(-1，-4)，与y轴的交点是(0，-3)，求这个二次函数的解析式.18.(8分)如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示.(1) 画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形.(2) 若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为________.19. (7分)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥(如图1)，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m.(1)建立如下的坐标系，求暴雨后水面的宽;(2)一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m(横断面如图2所示)，暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?(注：结果保留根号.)图1 图220.(7分)已知y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x 轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1，x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的两个实数根，且x12+x22=39，求k的值.21.(7分)如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处.(1)说明本次台风会影响B市;(2)求这次台风影响B市的时间.22.(8分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元(x为整数).(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式.(2)设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少?23.(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且，CE⊥DA交DA的延长线于点E.(1)求证：∠CAB=∠CAE;(2)求证：CE是⊙O的切线;(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半径长.24.(10分)如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在CB，CA上，且CD=CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF.(1)求证：CF= BE，且CF⊥BE;(2)将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角(如图2)，其它条件不变，此时(1)中的结论是否仍成立?并证明你的结论.图1 图225.(12分)如图1，抛物线y=ax2+bx+c 的图象与x轴交于A(-3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C，且OC=OA.(1)求抛物线解析式;(2)过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC 交于点N.已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值;(3)如图2，D(0，-2)，连接BD，将△OBD绕平面内的某点(记为P)逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′.若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标.图1 图2答案：1-10 A C D C B A B C B D11、(-3，0);12、-117、y=(x+1)2-418、(1)略;(2) (以AC为直径)19、因为当水面宽AB=6m时,水面离桥孔顶部3m,所以点A的坐标是(3,-3).把x=3，y=-3代入y=ax2得-3=a×32，解得 a= .把y=-2代入y= x2,得， .解得， .所以，点C、D的坐标分别为( ,-2)、(- ,-2),CD=2 .答:水位上升1m时,水面宽约为2 m.(2)当x=2时，y= ，因为船上货物最高点距拱顶1.5米，且| |<1.5，所以这艘船能从桥下通过.20、解：(1)∵y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x 轴有交点，∴△≥0，即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0，解得k≤ ;(2)根据题意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，∵x12+x22=39，∴(x1+x2)2-2x1x2=39，∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39，解得k=7或k=-4，∵k≤ ，∴k=-4.21、解：(1)作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，由条件知，AB=240，∠BAC=75°﹣45°=30°，∴BD=240× =120<130，∴本次台风会影响B市.(2)如图，以点B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F，若台风中心移动到E时，台风开始影响B市，台风中心移动到F 时，台风影响结束.由(1)得BD=240，由条件得BE=BF=130，∴EF=2 =100，∴台风影响的时间t= =2(小时).故B市受台风影响的时间为2小时.22、解：(1)y=50- =-0.1x+62;(2)w=(x-20)(-0.1x+62)=-0.1x2+64x-1240=-0.1(x-320)2+9000，∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元.23、证明：(1)∵ ，∴∠CDB=∠CBD，∵∠CAE=∠CBD，∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠CAE;(2)连接OC∵AB为直径，∴∠ACB=90°=∠AEC，又∵∠CAB=∠CAE，∴∠ABC=∠ACE，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCO=∠ACE，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，∴EC⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线.(3)过点C作CF⊥AB于点F，∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，∴AE=AF，在△CED和△CFB中，，∴△CED≌△CFB，∴ED=FB，设AB=x，则AD=x-2，在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x-2)2+42，解得，x=5，∴⊙O的半径的长为2.5.24、解：(1)在△ACD和△BCE中，∵ ，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE、∠CAD=∠CBE，∵F为AD中点，∠ACD=90°，∴FC=AF= AD，∴CF= BE，∠CAD=∠ACF，∴∠CBE=∠ACF，∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°，∴CF⊥BE;(2)此时仍有CF= BE、CF⊥BE，延长CF至G，使FG=CF，连接GA，在△CDF和△GAF中，∵ ，∴△DFC≌△AFG(SAS)，∴GA=CD，∠FDC=∠FAG，∴AG∥DC，AG=CE，∴∠GAC+∠DCA=180°，又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°，∴∠GAC=∠BCE，在△BCE和△CAG中，∵ ，∴△BCE≌△CAG(SAS)，∴CG=BE，∠CBE=∠ACG，∴CF= BE，∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°，∴CF⊥BE.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，将C(0，3)代入解析式得，-3a=3,解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.(2)如图1中，∵A(﹣3，0)，C(0，3)，∴直线AC解析式为y=x+3，OA=OC=3，设M(m，-m2-2m+3)，则N(m，m+3)，则MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3，MN=-m2-3m=-(m+ )2+ ，∵a=-1<0， -3∴m=- 时，MN最大，此时S= ;(3)如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等.设B′(t，-t2-2t+3)，则D′(t+1，-t2-2t+3+2)∵B′在抛物线上，则-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2，解得，t= ，则B′的坐标为( ， )，P是点B和点B′的对称中心，∴P( ， ).初三九年级数学上学期期中试卷一、选择题(每题4分，共40分).1.下列根式是最简二次根式的是( )A. B. C. D.2.下列计算，正确的是( )A. B. C. D.3.若是方程的一个根，则的值为( )A. B. C. D.4.用配方法解方程时，配方结果正确的是( )A. B. C. D.5.已知，则的值为( )A. B. C. D.6.下列各组线段的长度成比例的是( )A.2cm，3cm，4cm，5cmB.1cm， cm，2cm， cmC.1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cmD.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm7.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 .若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( )A. B.C. D.8.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为( )A. B. C. D.9.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )A.∠C=∠EB.∠B=∠ADEC.D.10.如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2016个三角形的周长为( )A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共24分).11.使有意义的的取值范围是.12.方程的根是13.小明的身高为1.6米，他的影长是2米，同一时刻某古塔的影长是5米，则古塔的高度是米.14.已知215.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点G为△ABC的重心，AG=2，则DG= .16.如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5.则①CD=; ②图中阴影部分面积为.三、解答题(共86分).17.计算：(8分)(1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.18.解方程： (8分)19.先化简，再求值：，其中 (8分)20.已知：关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.(8分)21.求证:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2x 2+y ＝1B ．9y ＝3y ﹣1C ．3x﹣2x 2＝8 D ．2x 2＝1 2．如图，在△ABC 中，已知△ADE ＝△B ，则下列等式成立的是（ ）A ．AE AD AB AC = B ．AD AE AB AC = C ．DE AE BC AB= D ．DE AD BC AC = 3．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是（ ）A ．0.3B ．0.7C ．0.4D ．0.24．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-5．在六张卡片上分别写有6，227-，3.1415，π，0上的数为无理数的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．16 6．若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或－3 C ．－1 D ．－1或37．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，过点D 分别作BC 和AB 的平行线，交AB 于点E ，交BC 于点H ，连接EH 交BD 于点G ，在AE 上截取EF BE =，连接DF ．下列说法中正确的是（ ）△:1:2GH FD =；△2BD BF BC =⋅；△四边形EBHD 是菱形；△29ADF ABC S S =△△A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在 ABCD 中，CD=2AD ，BE△AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：△△ABC=2△ABF ；△EF=BF ；△S 四边形DEBC =2S △EFB ；△△CFE=3△DEF,其中正确结论的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN ．若四边形MBND 是菱形，则AM MD等于（ ）A．35B．23C．38D．4510．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH△AB于点H，连接OH，若△DHO＝20°，则△ADC的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°二、填空题11．已知13a cb d==，则a cb d++的值是_____．12．关于x的方程20x mx+=的一个根是−1，则m的值为______．13．如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于O，试添加一个条件使四边形ABCD成为矩形．你添加的条件是__．（只填一个即可）14．关于x的方程2(5)410a x x---=有实数根，则a的取值范围是_______．15．如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积为_____．16．已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为____．17．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF 影长GE 为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6米，则树长AB 等于________米．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线,AC BD 相交于点O ，点E ，F 分别在,BC CD 的延长线上，且2,1CE DF ==，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为________．三、解答题19．解方程：（1）22284x x x ++=+（2）()()23230x x x -+-=20．如图，在菱形ABCD 中，CE ＝CF.求证：AE ＝AF.21．如图，AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，BAF DAG ∠=∠．（1）求证：AABC DE∽△△；（2）若3DE=，25ADAB=，求BC的长．22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件25.6元，求每次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，若每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？23．如图，在矩形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连接OE，过点C作//CF BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．（1）求证：ODE FCE≌；（2）求证：四边形ODFC是菱形．24．如图，A、B在一直线上，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，4秒后走到点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续沿AB方向以同样的速度匀速前进4秒后到点F，此时他（EF）的影长为2米，然后他再沿AB方向以同样的速度匀速前进2秒后达点H，此时他（GH）处于灯光正下方．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明沿AB方向匀速前进的速度．25．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A（0，3）、B（3、4）、C（2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．26．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B 重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：ACAM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．参考答案1．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．含有二个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程．2．B【解析】【详解】△△A=△A，△ADE=△B，△△AED△△ACB，△AD AEAB AC=，故选B．3．A【解析】【分析】用频率估计概率即可得到答案．【详解】某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是6000.3 2000=．故选：A．【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握大量的重复试验时频率可视为事件发生概率的估计值．4．B【解析】【分析】根据位似变换的概念得到△A1OB1△△A2OB2，△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：△△A1OB1与△A2OB2位似，△△A1OB1△△A2OB2，△△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，△△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，△A1的坐标为（-1，2），△A1OB1与△A2OB2在原点O的两侧，△点A1的对应点A2的坐标为（2，-4），故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．5．C【解析】【分析】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．【详解】解：在6，227-，3.1415，π，0π2个，△从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是21 63 =，故选：C．【点睛】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．6．C【解析】【分析】解出一元二次方程，将根代入分式方程即可求出a 的值.【详解】解：解方程2230x x +-=，得：x 1=1，x 2=﹣3，△x=﹣3是方程213x x a=+-的增根， △当x=1时，代入方程213x x a =+-，得：21131a=+-， 解得a=﹣1．故选：C ．【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．7．C【解析】【分析】△由题意可证四边形EBHD 是平行四边形，可得GH EG =，BG DG =，由三角形中位线定理可得EG DF ∥，12GE DF =，可得12GH DF =； △通过证明BDF BCD ，可得BD BF BC BD =，可证2BD BF BC =⋅； △由菱形的判定可证四边形EBHD 是菱形；△条件不足，无法证明．【详解】ED BC ∥，DH AB ∥，∴四边形EBHD 是平行四边形，GH EG ∴=，BG DG =，EF BE =，EG DF ∴∥，12GE DF =， 12GH DF ∴=，即:1:2GH FD =，故△正确； BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，ED BC ∥，EDB DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE DE EF ∴==，90BDF C ∴∠=︒=∠，BDF BCD ∴，BD BF BC BD∴=，即2BD BF BC =⋅，故△正确； BE DE =，∴平行四边形EBHD 是菱形，故△正确； 条件不足，无法证明29ADF ABC S S =△△，故△错误． 故选：C ．8．D【解析】 如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE△△FCG 得EF=FG ，BE△BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于点G ，取AB 的中点H ，连接FH ．△CD=2AD ，DF=FC ，△CF=CB ，△△CFB=△CBF ，△CD△AB ，△△CFB=△FBH ，△△CBF=△FBH，△△ABC=2△ABF．故△正确，△DE△CG，△△D=△FCG，△DF=FC，△DFE=△CFG，△△DFE△△FCG，△FE=FG，△BE△AD，△△AEB=90°，△AD△BC，△△AEB=△EBG=90°，△BF=EF=FG，故△正确，△S△DFE=S△CFG，△S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故△正确，△AH=HB，DF=CF，AB=CD，△CF=BH，△CF△BH，△四边形BCFH是平行四边形，△CF=BC，△四边形BCFH是菱形，△△BFC=△BFH，△FE=FB，FH△AD，BE△AD，△FH△BE，△△BFH=△EFH=△DEF，△△EFC=3△DEF，故△正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．A【解析】【详解】解：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：△四边形MBND是菱形，△MD=MB．△四边形ABCD是矩形，△△A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，△MD=MB=2a-b=53 b，△3553AM bMD b==.故选A．10．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC△BD，又由DH△AB，△DHO＝20°，可求得△OHB 的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得△ABD的度数，然后求得△ADC的度数．【详解】△四边形ABCD是菱形，△OB＝OD，AC△BD，△ADC＝△ABC，△DH△AB，△OH＝OB＝12BD，△△DHO＝20°，△△OHB＝90°﹣△DHO＝70°，△△ABD＝△OHB＝70°，△△ADC ＝△ABC ＝2△ABD ＝140°，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH 是等腰三角形是关键．11．13【解析】【分析】根据比例的性质求解即可．【详解】 解：由13a cb d ==，得3a b =，3c d =，1333a ca cb d ac ++==++， 故答案为13．【点睛】本题考查了比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质进行变形求解．12．1【解析】【分析】把1x =-代入方程20x mx +=，即可求出m 的值．【详解】20x mx +=的一个根是1-，∴把1x =-代入方程20x mx +=得：10m -=，1m ∴=．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解,了解方程解的含义是解题的关键.13．AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）【解析】【分析】根据矩形的判定即可得出答案．【详解】解：根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得△ABC=90°，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得AC=BD ，故答案为：AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握平行四边形和矩形的区别和联系是解决本题的关键． 14．1a ≥【解析】【分析】分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．【详解】解：△关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，当50a -=时，即5a =时，原方程为410x --=有实数根；当50a -≠时，即5a ≠时，则240b ac -≥，即2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得：1a ≥，综上，a 的取值范围是1a ≥，故答案为：1a ≥．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式的关系是解题的关键．15．24【解析】【分析】连接AC ，根据三角形中位线定理得到EH△AC ，EH=12AC ，得到△BEH△△BAC ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：连接AC，△E、H分别为边AB、BC的中点，△EH△AC，EH＝12AC，△△BEH△△BAC，△S△BEH＝14S△BAC＝18S矩形ABCD，同理可得，图中阴影部分的面积＝12×6×8＝24，故答案为：24．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．12，16，17【解析】【分析】先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长．【详解】解：28120x x-+=()()260x x--=，解得12x=，26x=，若5是等腰三角形的底，则等腰三角形的腰只能是6，因为2不能构成三角形，此时周长是17，若5是等腰三角形的腰，则等腰三角形的底可以是2或6，那么周长是12或16．故答案是：12，16，17．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件．17．12【解析】【分析】先利用△BDC△△FGE 得到3.6BC =21.2，可计算出BC=6，然后在Rt△ABC 中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB 的长．【详解】解：如图，CD=3.6m ，△△BDC△△FGE ， △BC CD =EF GE， 即3.6BC =21.2， △BC=6，在Rt△ABC 中，△△A=30°，△AB=2BC=12，即树长AB 是12米．故答案为12．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．18 【解析】【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH 和MG 的长，再求出MH 的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解:如图,作OK△BC ，垂足为点K ，△正方形边长为4，△OK=2，KC=2，△KC=CE ，△CH 是△OKE 的中位线 △112CH OK ==， 作GM△CD ，垂足为点M ，△G 点为EF 中点，△GM 是△FCE 的中位线， △112GM CE ==，()()1115412222MC FC CD DF ==+=⨯+=， △53122MH MC HC =-=-=，在Rt△MHG 中，GH ==【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．19．（1）13x =23x =（2）13x =-或23x =【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）22284x x x ++=+，262x x -=，2226323x x -+=+，2(3)11x -=，3x ∴-=13x ∴=23x =（2）()()23230x x x -+-=，(32)(3)0x x x ---=，(3)(3)0x x ---=，30x ∴--=或30x -=，13x ∴=-或23x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法解方程是解题的关键． 20．证明见解析【解析】【分析】由四边形ABCD 为菱形，可得AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又因为CE=CF ，所以CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．可证△ADE△△ABF ，所以AE=AF ．【详解】证明：△四边形ABCD 为菱形，△AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又△CE=CF ，△CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．在△ADE 和△ABF 中AD AB D B DE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ADE△△ABF （SAS ）．△AE=AF ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．21．（1）见解析；（2）152BC =【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质得出B ADE ∠=∠，可证明ABC ADE ； （2）由相似三角形的性质可得到答案．【详解】（1）AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，AF BC ∴⊥，AG DE ⊥，90AFB ∴∠=︒，90AGD ∠=︒，BAF DAG ∠=∠，B ADE ∴∠=∠，BAC DAE ∴∠=∠，ABC ADE ；（2）ABC ADE △△，AD DE AB BC∴=， 25AD AB =，3DE =， 235BC∴=， 152BC ∴=． 22．（1）两次下降的百分率为20％；（2）每件应降价3元【解析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据两次降价，从40降至25.6列方程求解即可； （2）根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解即可．【详解】（1）设两次下降的百分率为x ，由题意得：240(1)25.6x -=，解得：10.220x ==％，2 1.8x =（不符合题意，舍去），答：两次下降的百分率为20％；（2）设每件应降价y 元，由题意得：(4030)(488)504y y --+=，整理得：y 2－4y ＋3＝0，解得：11y =，23y =,因为要尽快减少库存，所以3y =，答：每件应降价3元．23．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得△ODE=△FCE ，根据线段中点的定义可得CE=DE ，然后利用“角边角”证明△ODE 和△FCE 全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC 是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：证明：（1）△CF△BD ，△△ODE=△FCE ，△E 是CD 中点，△CE=DE ，在△ODE 和△FCE 中，ODE FCE CE DEDEO CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ODE△△FCE （ASA ）；（2）△△ODE△△FCE ，△OD=FC ，△CF△BD ，△四边形ODFC 是平行四边形，在矩形ABCD 中，OC=OD ，△四边形ODFC 是菱形．24．(1)答案见解析；(2)1.5米/秒【解析】(1) 利用影长为AD ，进而得出延长AC ，HG 得到O 点，进而求出答案；(2)首先设速度为x 米/秒，然后利用△COG 和△OAH 相似，△EOG 和△OMH 相似得出答案． 【详解】解： (1)如图(2)设速度为x 米/秒根据题意得CG//AH△△COG△△OAH △CG OG AH OH =即：OG63 OH105xx==又△CG//AH，△△EOG△△OMH△CG OG AH OH=即：2x3 2+2x5=△ 1.5x=答：小明沿AB方向匀速前进的速度为1.5米/秒．【点睛】本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，注意从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长是解题关键．25．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，根据对称性质可得A″B即为PA+PB的最小值，根据A″和B点坐标可得直线A″B的解析式，令y=0即可得P点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）△A′B2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B2=42+22=20，△A′B2=A′C′2+C′B2，△△A′BC′是直角三角形，△△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，△PA=PA″，△PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB的最小值，设A″B直线解析式为：y＝kx+b，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝97，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.26．（1）AO=5；（2）证明过程见解析；（3）【解析】【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，△M=△AFM=60°，再求出△MAC=90°，在Rt△ACM中tan△M=ACAM，求出AC；（3）求出△AEM△△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=△AFM的周长为【详解】解：（1）△四边形ABCD是菱形，△AC△BD，OB=OD=12BD，△BD=24，△OB=12，在Rt△OAB中，△AB=13，．（2）如图2，△四边形ABCD是菱形，△BD垂直平分AC，△FA=FC，△FAC=△FCA，由已知AF=AM，△MAF=60°，△△AFM为等边三角形，△△M=△AFM=60°，△点M，F，C三点在同一条直线上，△△FAC+△FCA=△AFM=60°，△△FAC=△FCA=30°，△△MAC=△MAF+△FAC=60°+30°=90°，在Rt△ACM中△tan△M=AC AM，△tan60°=AC AM，．（3）如图，连接EM ，△△ABE 是等边三角形， △AE=AB ，△EAB=60°，由（2）知△AFM 为等边三角形， △AM=AF ，△MAF=60°， △△EAM=△BAF ，在△AEM 和△ABF 中， AE ABEAM BAF AM AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEM△△ABF （SAS ）， △△AEM 的面积为40，△ABF 的高为AO △12BF•AO=40，BF=16， △FO=BF ﹣BO=16﹣12=4△△AFM 的周长为。

2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（）2.用配方法解方程x2+6x+4=0时，原方程变形为（）A.(x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=43.二次函数y=﹣x2的图象向右平移2个单位，向上平移5个单位，则平移后的二次函数解析式为（）A.y=﹣(x+2)2+5B.y=﹣(x+2)2﹣5C.y=﹣(x﹣2)2+5D.y=﹣(x﹣2)2﹣54.若关于x的一元二次方程k x2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k≥1且k≠0B.k≥﹣1C.k>﹣1D.k>﹣1且k≠05，如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE 的长为（）A.5B.4C.3D.2第5题第7题第9题6.已知二次函数y=3(x﹣1)2+1的图象上有A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1 ＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C. y3＞y1＞y2D.y3＞y2＞y17，如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO.若OC：OB=3：5，则DE的长为（）A.3B. 4C. 6D. 88，某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A.289(1﹣x) 2=256B.256(1﹣x) 2=289C.289(1﹣2x) 2=256D.256(1﹣2x) 2=2899.在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cmA.1B.7C.1或7D.3或410.已知抛物线y=ax2+b x+c（a<0），经过点（﹣3，0）（1，0）.判断下列结论：①a bc>0；②a﹣b+c<0；③若m是任意实数，则a m2+b≤a﹣bm；④方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根；⑤无论a、b、c取何值，抛物线定过（，0）其中正确结论的个数（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.抛物线y=(x﹣2)2﹣5的顶点坐标是_____12.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣=0两个根为x1、x2，则x1+x2=____13.已知m 是一元二次方程x2﹣x﹣2=0 的一个根，则2022+m2﹣m=_____14.如图，在平面直角坐标系中，若直线y=m x+n与抛物线y=ax2+b x+c交于A（﹣1，p）、B （2，q）则关于x的不等式m x+n<ax2+b x+c的解集是_____15.如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为_____16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α（0° <α<180°）得到△ABC'，BC交AB'于点F，连接BB'，则当△BB'F是等腰三角形时，旋转角α=_____第14题第15题第16题三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题7分，共21分。

人教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x–1=0有实数根，则实数k 的取值范围是 A ．k≥–1 B ．k>–1 C ．k≥–1且k≠0 D ．k>–1且k≠0 3．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．70︒C ．30︒D ．90︒4．下列运算正确的是（ ）A B ．2-=C ．=D 5．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，若30ACB ∠=︒，2AB =，则OC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．D ．46．为了解某市参加中考的25000名学生的身高情况，抽查了其中1200名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）A ．25000名学生是总体B ．1200名学生的身高是总体的一个样本C ．每名学生是总体的一个个体D ．以上调查是全面调查7．如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交⊙O 于点D ．下列结论不一定成立的是（ ）A ．BPA △为等腰三角形B ．AB 与PD 相互垂直平分C ．点A 、B 都在以PO 为直径的圆上D ．PC 为BPA △的边AB 上的中线8．已知一次函数y=（a+1）x+b 的图象如图所示，那么a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．1a <-C ．1a >-D ．0a <9．如图,等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与平面直角坐标系的坐标原点O 重合，AC ，BC 分别在坐标轴上，AC=BC=1，⊙ABC 在x 轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在滚动过程中，当点C 第一次落在x 轴正半轴上时，点A 的对应点A 1的横坐标是（ ）A ．2B ．3C ．D ．10．如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=-1，点B 的坐标为(1，0)．下面的四个结论：⊙AB=4；⊙b 2-4ac>0；⊙ab<0；⊙a -b+c<0，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在网络上搜索“奔跑吧,兄弟”,能搜索到与之相关的结果为35 800 000个,将35 800 000用科学记数法表示为______ ．12．已知一组数据：18，17，13，15，17，16，14，17，则这组数据的中位数与众数分别是__________．13．若分式231a a +-有意义，则a 的取值范围是_____． 14．某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x 棵，则根据题意可列方程为__________． 15．如图，在⊙ABC 中，AC ＝BC ，⊙ACB ＝90°，点 D 在 BC 上，BD ＝3，DC ＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为____16．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为MN ．给出以下四个结论：⊙⊙CDM⊙⊙CEN ；⊙⊙CMN 是等边三角形；⊙CM ＝5；⊙BN ＝3．其中正确的结论序号是_____．三、解答题17．解方程：（1）()()313x x --=．（2）23220x x --=．18．先化简，再求值：22322(2)42x x x x x x --+÷+---，其中1322x -=-．19．防疫期间，某公司购买A B、两种不同品牌的免洗洗手液，若购买A种10件，B种5件，共需130元；若购A种5件，B种10件，共需140元．、两种洗手液每件各多少元？（1）A B、两种洗手液共100件，且总费用不超过900元，则A种洗手液至少需要购（2）若购买A B买多少件？20．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）满足一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为多少？（3）设每天的销售利润为w（元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？21．如图，⊙ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且⊙DBC ＝⊙A＝60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长．△都是等边三角形，连接AD、BE．22．ABC与CDE（1）如图⊙，当点B 、C 、D 在同一条直线上时，则BCE ∠=______度；（2）将图⊙中的CDE △绕着点C 逆时针旋转到如图⊙的位置，求证：AD BE =．23．已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠经过点A(-3，-7)，B(3，5)，顶点为点E ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点C ．（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式．（2）在抛物线上A ，E 两点之间的部分(不包含A ，E 两点)，是否存在点D ，使得2DAC DCE S S =△△？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．24．如图所示，二次函数y=－mx 2＋4m 的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD 的顶点B ，C 在x 轴上，A 、D 在抛物线上，矩形ABCD 在抛物线与x 轴所围成的图形内，且点A 在点D 的左侧．（1）求二次函数的解析式；（2）设点A 的坐标为(x ，y)，试求矩形ABCD 的周长p 关于自变量x 的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．25．在等腰Rt⊙ABC中，AB＝AC，⊙BAC＝90°（1）如图1，D，E是等腰Rt⊙ABC斜边BC上两动点，且⊙DAE＝45°，将⊙ABE绕点A 逆时针旋转90后，得到⊙AFC，连接DF⊙求证：⊙AED⊙⊙AFD；⊙当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；（2）如图2，点D是等腰Rt⊙ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt⊙ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．参考答案1．A【解析】【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．2．C【解析】【详解】解：⊙一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个实数根，⊙⊙=b 2﹣4ac=4+4k≥0，且k≠0，解得：k≥﹣1且k≠0．故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．3．A【解析】【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．【详解】连接AC ，如图，⊙BC 是O 的直径，⊙90BAC ︒∠=，⊙70ACB ADB ︒∠=∠=，⊙907020ABC︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选A．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．4．D【解析】【分析】根据二次根式运算法则逐项计算即可．【详解】解：A.B. =C. 18，原选项错误，不符合题意；D. =故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，准确进行计算．5．A【解析】【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答．【详解】解：在矩形ABCD中，⊙ABC=90°，⊙⊙ACB=30°，AB=2，⊙AC=2AB=2×2=4，⊙四边形ABCD是矩形，⊙OC=OA=1AC=2．2故选：A．6．B【详解】A、总体是25000名学生的身高情况，故A错误；B、1200名学生的身高是总体的一个样本，故B正确；C、每名学生的身高是总体的一个个体，故C错误；D、该调查是抽样调查，故D错误．故选：B．7．B【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt⊙OPB⊙Rt⊙OPA，可得BP=AP，⊙OPB=⊙OPA，⊙BOC=⊙AOC，可推出BPA△为等腰三角形，可判断A；根据⊙OBP与⊙OAP 为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明⊙OBC⊙⊙OAC，可得PC⊙AB，根据⊙BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明AB与PD相互垂直平分，即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，⊙B，C为切点，⊙⊙OBP=⊙OAP=90°，⊙OA=OB，OP=OP，⊙Rt⊙OPB⊙Rt⊙OPA，⊙BP=AP，⊙OPB=⊙OPA，⊙BOC=⊙AOC，⊙BPA△为等腰三角形，故A正确；⊙⊙OBP与⊙OAP为直角三角形，OP为斜边，⊙PM=OM=BM=AM⊙点A、B都在以PO为直径的圆上，故C正确；⊙⊙BOC=⊙AOC，OB=OA，OC=OC，⊙⊙OBC⊙⊙OAC，⊙⊙OCB=⊙OCA=90°，⊙PC⊙AB，⊙⊙BPA为等腰三角形，⊙PC为BPA△的边AB上的中线，故D正确；无法证明AB与PD相互垂直平分，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．8．C【解析】【分析】根据一次函数y=（a+1）x+b的图象所经过的象限来判断a+1的符号，从而求得a的取值范围．【详解】根据图示知：一次函数y=（a+1）x+b的图象经过第一、二、三象限，⊙a+1＞0，即a＞-1；故选C．【点睛】本题考查了一次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．9．D【解析】解：如图，⊙AC=BC=1，⊙AOB=90°⊙OA′=B2C3=1，AB=A′B2⊙A1C3B2=⊙AOB=90°，⊙点A1的横坐标为故选D．10．C【解析】【分析】利用二次函数对称性以及结合24-的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分b ac析得出答案．【详解】⊙抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为(1，0)，⊙A(﹣3，0)，⊙AB＝4，故选项⊙正确；⊙抛物线与x轴有两个交点，⊙24-＞0，故选项⊙正确；b ac⊙抛物线开口向上，⊙a＞0，⊙抛物线对称轴在y轴左侧，⊙a，b同号，⊙ab＞0，故选项⊙错误；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c此时最小，为负数，故选项⊙正确；综上⊙⊙⊙正确故选：C本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练运用二次函数的图象与性质，正确判断a b c-+的符号是解题关键．11．3.58×107【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式（a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数）进行书写即可．【详解】35 800 000用科学记数法表示为3.58×107.故答案是：3.58×107.【点睛】考查了科学记数法的表示方法（a×10n），解题关键是确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.12．16.5，17【解析】【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．【详解】将18，17，13，15，17，16，14，17从小到大排列为：13，14，15，16，17，17，17，18其中17出现的次数最多，则众数为17，中位数为：161716.52+=．故答案为：16.5；17【点睛】本题考查了求众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键．【详解】根据题意得：a−1≠0，解得：a≠1．故答案是：a≠114．2400240081.2x x-=【解析】【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据“原计划所用时间﹣实际所用时间=8”列方程即可．【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x棵，根据题意可得：2400240081.2x x-=，故答案为：2400240081.2x x-=．15．5【解析】解：过点C作CO⊙AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．⊙BD=3，DC=1，⊙BC=4，⊙BD=3，连接BC′，由对称性可知⊙C′BA=⊙CBA=45°，⊙⊙CBC′=90°，⊙BC′⊙BC，⊙BCC′=⊙BC′C=45°⊙BC=BC′=4，根据勾股定理可得：．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的16．⊙⊙⊙【解析】【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得AB=CE=4，AM=CM，AD=BC=8，AB=CD=4，CM=CN，可证⊙CDM⊙⊙CEN，由勾股定理可求CM=5，BN=3，即可判断⊙⊙⊙是正确的，由等边三角形的判定可判断⊙是错误的．【详解】解：⊙四边形ABCD是矩形⊙AD⊙BC，AD＝BC＝8，AB＝CD＝4，⊙⊙AMN＝⊙MNC，⊙折叠⊙AB＝CE＝4，⊙AMN＝⊙NMC，AM＝CM⊙⊙MNC＝⊙CMN，⊙CM＝CN，且CE＝CD⊙Rt⊙CDM⊙Rt⊙CEN(HL)⊙CN＝CM，⊙MC2＝MD2+CD2，⊙MC2＝(8﹣MC)2+16，⊙MC＝5，⊙CN＝5，⊙BN＝BC﹣CN＝3故⊙⊙⊙正确⊙MD＝AD﹣AM＝3，且MC＝5，⊙MD≠1MC，即⊙MCD≠30°2⊙⊙MCN≠60°⊙⊙CMN不是等边三角形故⊙错误故答案是：⊙⊙⊙考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．17．（1）120,4x x ==；（2）12x x ==【解析】【分析】（1）原方程运用因式分解法求解即可；（2）原方程运用公式法求解即可．【详解】解：（1）()()313x x --=2433x x -+= ，240x x -= ，()40x x -= ，⊙120,4x x ==；（2）23220x x --=， ()220=-=> ，x == ，⊙12x x =．【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答此题的关键．18．124x +【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序及运算法则化简代数式，再将x 的值代入求值即可．【详解】解：原式()()2234222222x x x x x x x x ⎛⎫---+=÷- ⎪+---⎝⎭ ()()326222x x x x x --=÷+-- ()()()322223x x x x x --=⋅+--()122x =+ 124x =+，当13222x -=-时，原式== 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19．（1）A 种洗手液每件8元，B 种洗手液每件各10元；（2）50件【解析】【分析】（1）设A 种洗手液每件x 元，B 种洗手液每件各y 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设A 种洗手液购买m 件，根据题意列出不等式，从中找到最小整数解即可．【详解】解：（1）设A 种洗手液每件x 元，B 种洗手液每件各y 元，根据题意得105130510140x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：810x y =⎧⎨=⎩ 答：A 种洗手液每件8元，B 种洗手液每件各10元；（2）设A 种洗手液购买m 件，则B 种洗手液购买()100m -件，根据题意可得()810100900m m +-≤，解得：50m ≥．答：A 种洗手液至少需要购买50件．【点睛】本题主要考查二元一次方程组和不等式，读懂题意列出方程组及不等式是关键． 20．（1）2140y x =-+；（2）15元/件；（3）销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元【解析】【分析】（1）由图可知，一次函数的图象经过（20，100）和（30，80）两点，利用待定系数法可求得k 、b 的值；（2）利用“（售价-进价）×销售数量=销售利润”可以解决售价问题；（3）探究W 与x 之间的函数关系，利用函数解决W 的最值问题即可．【详解】解：（1）设()0y kx b k =+≠．⊙图象经过（20，100）和（30，80）两点，⊙201003080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，2140k b =-⎧⎨=⎩． ⊙2140y x =-+．（2）由题意得，()()102140550x x --+=．解得，1215,65x x ==．⊙1035x ≤≤，⊙265x =（不合题意，舍去）．⊙若想要每天获得550元的利润，销售价应该定为15元/件．（3）()()()21021402401800W x x x =--+=--+．⊙W 是关于x 的二次函数．⊙20a =-<，抛物线开口向下，⊙当x<40时，y 随x 的增大而增大．又⊙1035x ≤≤，⊙当35x =时，W 最大=1750．⊙当销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元．【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质和应用等知识点．熟知待定系数法的流程是基础，掌握二次函数的性质是求最值的关键．21．（1）证明见解析；（2）弦BD的长为【解析】【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊙BD，12BF BD=，由圆周角定理得出⊙BOE=⊙A，证出⊙OBE+⊙DBC=90°，得出⊙OBC=90°即可；（2）由勾股定理求出OC，由⊙OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：⊙E是弦BD的中点，⊙BE＝DE，OE⊙BD，12BF BD=，⊙⊙BOE＝⊙A，⊙OBE+⊙BOE＝90°，⊙⊙DBC＝⊙A，⊙⊙BOE＝⊙DBC，⊙⊙OBE+⊙DBC＝90°，⊙⊙OBC＝90°，即BC⊙OB，⊙BC是⊙O的切线；（2）解：⊙OB＝6，⊙DBC＝⊙A＝60°，BC⊙OB，⊙OC＝12，⊙⊙OBC 的面积＝12OC•BE ＝12OB•BC ， ⊙BE＝OB BC OC ⨯== ⊙BD ＝2BE ＝即弦BD 的长为【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．22．（1）120；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据CDE △是等边三角形及点B 、C 、D 在同一条直线上即可求解；（2）证明BCE ACD ∆∆≌即可求解．【详解】解：（1）⊙CDE △是等边三角形，⊙60DCE ∠=︒，⊙点B 、C 、D 在同一条直线上，⊙180BCE DCE ∠∠+=︒，⊙180120BCE DCE ∠∠=︒-=︒（2）⊙ABC 与CDE △都是等边三角形，⊙BC=AC ，CE=CD ，⊙ACB=⊙DCE=60︒，⊙⊙ACB+⊙ACE=⊙DCE +⊙ACE ，⊙⊙BCE=⊙ACD ，在BCE 与ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙()BCE ACD SAS ∆∆≌，⊙BE=AD ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．23．（1）y=2x -1，y=-x 2+2x+8；（2）存在，D(-1，5)；（3）点P 的坐标为2)或(12)或(6，-16)或(-4，-16)【解析】【分析】（1）设直线AB 的解析式为y kx m =+，把点()37A --，，()35B ，代入，即可得直线AB 的解析式，把点()37A --，，()35B ，代入抛物线()280y ax bx a =++≠，即可得抛物线的解析式； （2）把抛物线228y x x =-++化为顶点式2(1)9y x =--+，设点()228D m m m -++，,()11C ，，过点D 作y 轴的平行线交直线AB 于点M ，则()21M m m -，，即可得2218DAC S m -+=，44DCE S m =-，根据2DAC DCE S S =△△解得1m =-，即可得；（3）设点()P x y ，，当以点A ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：⊙当AE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()22x y ---，，解得2y =，当2y =时，2282x x -++=，解得1x =1x =⊙当AP 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()416x y --，，解得16y =，当16y =时，22816x x -++=，方程无解，舍去；⊙当PE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()416x y ++，，解得16y =-，当16y =-时，22816x x -++=-，解得6x =或4x =-；即可得．【详解】解：（1）设直线AB 的解析式为y kx m =+，把点()37A --，，()35B ，代入，得7353k m k m-=-+⎧⎨=+⎩， 解得：21k m =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为21y x =-，把点()37A --，，()35B ，代入抛物线()280y ax bx a =++≠，得79385938a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为228y x x =-++．（2）2228(1)9y x x x =-++=--+，∴顶点()19E ，，设点()228D m m m -++，，()11C ，，过点D 作y 轴的平行线交直线AB 于点M ，则()21M m m -，，()221282142182DAC S m m m m =⨯-++-+⨯=-+，()181442DCE S m m =⨯⨯-=-，2DAC DCE S S =()2218244m m ∴-+=-，解得1m =-或5(m =舍去)，∴存在点()15D -，，使得2DAC DCE S S =△△（3）()37A --，，()19E ，，设点()P x y ，，当以点A ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：⊙当AE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()22x y ---，，点Q 在x 轴上，2y ∴=，当2y =时，2282x x -++=，解得1x =1x =∴点P 坐标为()1或()1， ⊙当AP 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()416x y --，，点Q 在x 轴上，16y ∴=，当16y =时，22816x x -++=，方程无解，舍去，⊙当PE 为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q 坐标为()416x y ++，，点Q 在x 轴上，16y ∴=-，当16y =-时，22816x x -++=-，解得6x =或4x =-∴点P 坐标为()616-，或()416--，，综上所述，点P 的坐标为()1或()1或()616-，或()416--，． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，平行四边形，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．24．（1）2122y x =+；（2）p=－x 2－4x+4，其中－2＜x ＜2；（3）不存在，证明见解析． 【解析】【分析】（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=﹣mx 2+4m ，求得m=12，即可求得抛物线的解析式；（2）由图及四边形ABCD 为矩形可知AD⊙x 轴，长为2x 的据对值，AB 的长为A 点的总坐标，由x 与y 的关系，可求得p 关于自变量x 的解析式，因为矩形ABCD 在抛物线里面，所以x 小于0，大于抛物线与x 负半轴的交点；（3）由（2）得到的p 关于x 的解析式，可令p=9，求x 的方程，看x 是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p ．【详解】解：（1）⊙二次函数y=﹣mx 2+4m 的顶点坐标为（0，2），⊙4m=2，即m=12，⊙抛物线的解析式为：y=﹣12x 2+2； （2）⊙A 点在x 轴的负方向上坐标为（x ，y ），四边形ABCD 为矩形，BC 在x 轴上， ⊙AD⊙x 轴，又⊙抛物线关于y 轴对称，⊙D 、C 点关于y 轴分别与A 、B 对称．⊙AD 的长为2x ，AB 长为y ，⊙周长p=2y+4x=2（﹣12x 2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8． ⊙A 在抛物线上，且ABCD 组成矩形，⊙x ＜2，⊙四边形ABCD 为矩形，⊙y ＞0，即x ＞﹣2．⊙p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x ＜2．（3）不存在，证明：假设存在这样的p ，即：9=﹣（x+2）2+8，此方程无解，所以不存在这样的p ．【点睛】本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数形结合，此题算是中档题，考点还是比较基础的，数形结合得出是解题关键．25．（1）⊙见解析；⊙DE ＝297；（2）DE 的值为【解析】【分析】（1）⊙先证明⊙DAE ＝⊙DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；⊙如图1中，设DE＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt⊙DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：⊙当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由⊙EAD⊙⊙ADC，推出⊙ABE＝⊙C＝⊙ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出⊙EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解决问题；⊙当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝153．【详解】（1）⊙如图1中，⊙将⊙ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到⊙AFC，⊙⊙BAE⊙⊙CAF，⊙AE＝AF，⊙BAE＝⊙CAF，⊙⊙BAC＝90°，⊙EAD＝45°，⊙⊙CAD+⊙BAE＝⊙CAD+⊙CAF＝45°，⊙⊙DAE＝⊙DAF，⊙DA＝DA，AE＝AF，⊙⊙AED⊙⊙AFD（SAS）；⊙如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．⊙AB＝AC，⊙BAC＝90°，⊙⊙B＝⊙ACB＝45°，⊙⊙ABE＝⊙ACF＝45°，⊙⊙DCF＝90°，⊙⊙AED⊙⊙AFD（SAS），⊙DE＝DF＝x，⊙在Rt⊙DCF中，DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，⊙x2＝（7﹣x）2+32，⊙x＝297，⊙DE＝297；（2）⊙BD＝3，BC＝9，⊙分两种情况如下：⊙当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．⊙⊙BAC＝⊙EAD＝90°，⊙⊙EAB＝⊙DAC，⊙AE＝AD，AB＝AC，⊙⊙EAB⊙⊙DAC（SAS），⊙⊙ABE＝⊙C＝⊙ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，⊙⊙EBD＝90°，⊙DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，⊙DE＝⊙当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证⊙DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，⊙DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，⊙DE＝综上所述，DE的值为【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．。

2024-2025学年度第一学期期中考试九年级数学注意事项：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟．2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B 铅笔把对应的号码的标号涂黑．3．在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．1，2，5B ．C ．D ．3．已知和关于原点对称，则的值为（ ）A ．B ．1C ．D ．54．二次函数的图象顶点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知点，将线段绕点按顺时针方向旋转，旋转后点的对应点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，已知一菜园为长10米，宽7米的矩形，为了方便浇水和施肥，修建了同样宽的四条互相垂直的“井”x 2250x x -+-=1,2,5--1,2,5-1,2,5-(),2A a ()3,B b a b +5-1-23(1)2y x =-+-()1,2-()1,2-()1,2()1,2--22y x =+2(3)1y x =++2(3)3y x =-+2(3)3y x =++2(3)1y x =-+()1,2P PO O 90︒P ()1,2-()2,1-()2,1-()2,1字形道路，余下的部分种青菜，已知种植青菜的面积为54平方米，设小路的宽为米，则根据题意列出的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8．关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ）A ．1或B ．C ．1D ．9．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方形中，点的坐标分别是，点在抛物线的图象上，则的值是（ ）A ．B．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______．12．若二次函数与轴只有1个交点，则_______．13．数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状，并用图钉固定点，将三角形硬纸板绕点顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到，经测量，则_______．x ()()1027254x x --=()()10754x x --=()()107254x x --=()()1027254x x +-=x ()22120a x x a -++-=a 2-2-1-()()()1233,,2,,2,A y B y C y --22y x x c =--+123,,y y y 321y y y >>123y y y >>132y y y >>213y y y >>ABCD A C 、()()1,17,3-、D 21y x bx =+-b 32-3212-12()2230a x x -+-=x a 22y x x m =-+x m =ABC △A A ADE △50,15BAC CAD ∠=︒∠=︒CAE ∠=14．设是方程的两个实数根，则的值为_______．15．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为_______三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16．（7分）解方程：17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．（1）画出关于点的中心对称图形；（2）将绕点顺时针方向旋转后得，画出．18．（7分）如图，是二次函数的图象．12,x x 23210x x --=1212x x x x --ABC △3,1AB AC ==ABC △C 90︒CDE △A D AB AE ()330x x x --+=A B C 、、()()()1,1,2,3,4,2ABC △O 111A B C △111A B C △O 90︒222A B C △222A B C △2y ax bx c =++（1）求二次函数解析式；（2）根据图象直接写出关于的不等式的解集．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．（9分）如图，四边形为矩形，，将对角线绕点逆时针旋转得，作交于点．（1）证明：；（2）连接，求的长．20．（9分）乐昌马蹄是广东韶关的特产，韶关乐昌有着“马蹄之乡”的美称．乐昌马蹄以个头大、清甜多汁、爽脆无渣为特点而闻名全国，畅销国内外．某农产品商以每斤5元的价格收购乐昌马蹄，若按每斤10元出售，平均每天可售出100斤．市场调查反映：如果每斤降价1元，每天销售量相应增加50斤．（1）若该农产品商想要日销售利润达到600元，测每斤马蹄应降低多少元？（2）日销售利润能否达到700元？如果能，请计算出每斤马蹄降价多少元；如果不能，请说明理由．21．（9分）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）请用上述方法解方程：．x 20ax bx c ++>ABCD 3,4AB BC ==AC A 90︒AF FE AD ⊥AD E ABC AEF △≌△DF DF ()()22237360x x ---+=23x -23x t -=2760t t -+=121,6t t ==1t =231,2x x -=∴=±6t =236, 3.x x -=∴=±∴12342,2,3,3x x x x ==-==-42540x x -+=（2）已知实数满足，求的值．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．22．（13分）如图，直线与抛物线相交于和．（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（14分）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，【初步探究】如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．（1）根据以上信息，填空：（1）_______°；（2）线段之间满足的数量关系为_______；【迁移探究】（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；【拓展探索】（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．,x y ()()2222222222150x y x y +-+-=22x y +2y x =-()220y ax bx a =++≠()1,1A -(),2B m C AB C CD x ⊥D C CD x M ABM △M ABCD ,E F ,BC CD ,,AE AF EF 45EAF ∠=︒ADF △A 90︒D B ABG △AEF AEG △≌△EAG ∠=BE EF DF 、、ABCD E CB F DC 45EAF ∠=︒BE EF DF 、、ABCD 45EAF ∠=︒BD AE AF 、M N 、M BD BM DM <MN2024-2025学年度第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1-5CBADD 6-10CABDB二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11． 12．1 13． 14． 15三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：．解得：．（方法不唯一，酌情给分）17．解：（1）如图所示：即为所求．（2）如图所示：即为所求．18．解：（1）设二次函数解析式为：2a ≠35︒1-()()330x x x -+-=()()130x x +-=121,3x x =-=111A B C △111A B C △()()()240y a x x a =+-≠把点代入得：解得：（2）．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明：四边形为矩形绕点逆时针旋转得，，，在和中．（2）解：四边形为矩形，，，在中，根据勾股定理得：20．解：（1）设每斤马蹄降价元根据题意得解得答：若该农商想要日销售利润达到600元，则每斤马蹄应降低1元或2元．（2）日销售利润不能达到700元．理由如下：设每斤马蹄降价元则化简得方程无实数根日销售利润不能达到700元．()0,484a -=12a =-24x -<< ABCD 90B BAD ∴∠=∠=︒90BAD CAD ∴∠+∠=︒AC A 90︒AF,90BC EF CAF ∴=∠=︒90EAF CAD ∴∠+∠=︒BAD EAF∴∠=∠FE AD ⊥ 90AEF ∴∠=︒B AEF∴∠=∠ABC △AEF △BAD EAF B AEFAC AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABC AEF ∴△≌△ ABCD 4AD BC ∴==ABC AEF △≌△3,4AB AE BC EF ∴====431DE AD AE ∴=-=-=FE AD ⊥ 90DEF ∴∠=︒Rt DEF △DF ===x ()()10510050600x x --+=111,2x x ==a ()()10510050700a a --+=2340a a -+=2(3)4470=--⨯=-<△∴∴21．解：（1）设则原方程化为：解得：当时当时原方程的解为：（2）设则原方程化为：解得：，，．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．解：（1）把代入直线得，，在抛物线上，，解得，抛物线的解析式为．（2）存在．理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为，点是线段上的动点，当时，线段有最大值且为．（3）存在．设点①当时，2y x=2540y y -+=121,4y y ==1y =2,1,1x x =∴=±4y =2,4,2x x =∴=±∴12341,1,2,2x x x x ==-==-2222w x y=+22150w w --=125,3w w ==-22220x y +≥ 22225x y ∴+=2252x y ∴+= (),2B m 2y x =-4m =()4,2B ∴()()1,14,6A B - 、22y ax bx =++2116422a b a b ++=-⎧∴⎨++=⎩14a b =⎧⎨=-⎩∴242y x x =-+C (),2n n -D ()2,42n n n -+()()2242PC n n n ∴=---+254n n =-+-25924n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ C AB 14n ∴≤≤∴52n =PC 94(),0M c AB AM =解得：或．②当时，解得：或．③当时，解得：，综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或23．（1）①45 ②．（2）解：．证明如下：如图在上截取，连接，和中，，，，即，，，在和中，，2222(14)(12)(1)(10)c -+--=-+--121,1c c =+=+)1,0M ∴+()1,0M +AB BM =2222(14)(12)(4)(20)c -+--=-+-124,4c c =+=)4,0 M ∴+()4,0M +AM BM =2222(1)(10)(4)(20)c c -+--=-+-3c =()3,0M ∴∴ABM △M )1,0+()1,0+)4,0+()4,0+()3,0BE DF EF +=BE EF DF +=DC DH BE =AH ABE △ADH △,AB AD ABE D BE DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABE ADH ∴△≌△,AE AH BAE DAH ∴=∠=∠90BAE BAH BAH DAH ∴∠+∠=∠+∠=︒90EAH BAD ∠=∠=︒45EAF ∠=︒ 45EAF FAH ∴∠=∠=︒EAF △HAF △AE AH EAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，，（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可得，，又，，，设，则，在中，，，解得，；()SAS EAF HAF ∴△≌△EF HF ∴=DF DH HF =+ DF BE EF ∴=+ADN △A 90︒ABK △KM 90AB AD ADC ==∠=︒6BD ∴==12,43BM BD DM BD BM ∴===-=,90ADN ABK KAN ∠=︒△≌△,,45AK AN BK DN ABK ADB ∴==∠=∠=︒90KBM ABK ABD ∴∠=∠+∠=︒90,45KAN MAN ∠=︒∠=︒45KAM MAN ∴∠=∠=︒AM AM = AMK AMN ∴△≌△KM MN ∴=∴MK MN x ==4BK DN x ==-Rt BMK △222BK BM MK +=222(4)2x x ∴-+=2.5x = 2.5MN ∴=。

安庆四中2024-2025学年第一学期九年级数学期中考试试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1）C．D．y＝（x﹣1）2﹣x22．如果，那么的值是（）A．B．C．D．3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1，1，2，3B．3，6，4，7C．5，6，7，8D．2，3，6，9 4．对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣1，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．有最大值，最大值是﹣1C．抛物线的顶点坐标是（1，1）D．当x＞3时，y随x的增大而增大5．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（）A．1.4B．1.1C．1.2D．1.36．观察下列每组三角形，不能判定相似的是（）7．在反比例函数的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y18．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣2，记m＝a+b，n＝a﹣b，则下列选项中一定成立的是（）A．m＝n B．m＜n C．m＞n D．n﹣m＜39．如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD＝1：5，连接CF并延长交AB 于E，则AE：EB等于（）A．1：6B．1：8C．1：9D．1：1010．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或B．﹣3＜n＜﹣1或C．n≤﹣1或D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若点C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝2，AC＞BC，则AC的长为12．已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，与另一条抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为．14．如图，矩形OABC顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交BC、AB于点D、E，连接DE并延长交x轴于点F，连接AC．下列结论：①DE∥CA；②S四边形ACDF＝k；③若BD＝2CD，则AE＝2BE；④若点E为DF的中点，且S△AEF＝3，则k＝12；其中正确的有．（填写所有正确结论的序号）三．解答题（本大题共9小题，满分90分）15．（本题8分）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝42．（1）求线段a、b的长；（2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．16．（本题8分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝9cm，求EF和FC的长．17．（本题8分）综合与实践：【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．【实践探究】（1）求部分双曲线BC的函数表达式；【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由．18．（本题8分）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是CA 延长线上一点，点F是AB上一点，且∠EDF＝45°．（1）求证：△BFD∽△CDE；（2）若BF＝3，CE＝8，求AB的长．19．（本题10分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，＝；（填两数字之比）（2）如图②，在线段AB上找一点P，使＝（利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）；（3）如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形．20．（本题10分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+3﹣2a．（1）当抛物线过点（2，1），①求该抛物线的表达式．②当﹣1＜x＜4时，求y的范围．（2）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2＝﹣2，求证：y1+y2＞8．21．（本题12分）综合与实践：利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子四边形ABCD是边长均为30cm的正方形硬纸片，“睿智小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②、图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计、折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察、操作、验证并思考完成该小组提出的问题．设计方案一：如图①，将正方形硬纸片ABCD的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形MNQP的包装盒（如图②所示）．（1）若底面积MNQP为162cm2，求MG的长．设计方案二：如图③，将正方形硬纸板ABCD切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在AB上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒，设GF＝x cm．（2）请直接写出线段BF的长（用含x的代数式表示）；（3）求长方体盒子的侧面积为S（cm2）与x的函数关系式．22．（本题12分）如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝；（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．23．（本题14分）如图，抛物线y＝ax2+bx÷4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD+∠CAO＝90°的点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，是否存在点N使四边形CMPN为菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标．如果不存在，请说明理由．。

可编辑修改精选全文完整版第一学期期中考试九年级数学试题1. 计算()23-的结果是（）A.3B.3- C.3±2. 若P（x;－3）与点Q（4;y）关于原点对称;则x＋y＝（）A、7B、－7C、1D、－13. 下列二次根式是最简二次根式的是（）4. 一元二次方程22350xx++=的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断5. 用配方法解方程0142=++xx;则配方正确的是（）A、3)2(2=+x B、5)2(2-=+xC、3)2(2-=+x D、3)4(2=+x6. 如图;AB、AC都是圆O的弦;OM⊥AB;ON⊥AC;垂足分别为M、N;如果MN＝3;那么BC＝（）. A． 4 B.5 C． 6 D.7二、填空题（共8小题;每小题3分;满分24分）7. 2-x在实数范围内有意义;则x的取值范围是．8. 221x-=的二次项系数是 ;一次项系数是 ;常数项是 .9. 一只蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了C点;则蚂蚁一共爬行了______cm．(图中小方格边长代表1cm)NMOCBA10. 关于x 的一元二次方程04)2(22=-+-+m mx x m 有一根为0;则m= . 11. 对于任意不相等的两个数a;b;定义一种运算*如下：ba b a b a -+=*;如523232*3=-+=;那么)5(*3-= .12. 有4个命题：①直径相等的两个圆是等圆;②长度相等的两条弧是等弧;③圆中最大的弦是通过圆心的弦;④在同圆或等圆中;相等的两条弦所对的弧是等弧;其中真命题是_________。

13. 有两个完全重合的矩形;将其中一个始终保持不动;另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转;每次均旋转22.5︒;第．2．次．旋转后得到图①;第．4．次．旋转后得到图②…;则第20次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是____. （填写序号）14. 等腰三角形两边的长分别为方程02092=+-x x 的两根;则三角形的周长是 ．三、解答题（共4小题;每小题6分;共24分） 15. 解方程：x(x-2)＋x-2＝016. 计算：0)15(282218-+--图① 图② 图③ 图④ OOOO17. 下面两个网格图均是4×4正方形网格;请分别在两个网格图中选取两个白色的单位正方形并涂黑;使整个网格图满足下列要求． 18. 如图;大正方形的边长515+;小正为方形的边长为515-;求图中的阴影部分的面积．四、（本大题共2小题;每小题8分;共16分）19. 数学课上;小军把一个菱形通过旋转且每次旋转120°后得到甲的图案。

2023-2024学年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 一元二次方程2356x x -+=化为一般形式()200ax bx c a ++=≠后，a ，b ，c 的值可以是（ ）A. 5a =-，3b =-，6c =B. 3a =-，5b =，6c =-C. 3a =-，5b =，6c =D. 5a =，3b =-，6c =-【答案】D 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程的变形为一般形式即可．【详解】解：一元二次方程2356x x -+=的一般形式为：25360x x --=，故5a =，3b =-，6c =-，故选：D ．2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 绿色饮品B. 绿色食品C. 有机食品D. 速冻食品【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案．【详解】解：A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形.3. 一元二次方程27460x x -+=的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 无实数根 D. 只有一个实数根【答案】C 【解析】【分析】根据判别式判断一元二次方程根的情况，能够熟练运用根的判别式是解决本题的关键．【详解】根据根的判别式可知，()244761520∆=--⨯⨯=-<，故方程无实根，故选：C ．4. 如图，A 、D 是O 上的两点，BC 是直径，AD BC ⊥，若32D ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）A. 116︒B. 128︒C. 122︒D. 126︒【答案】A 【解析】【分析】利用垂径定理得出 AC DC=，通过同弧或等弧所对圆周角相等可得32CAD D ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可求解．【详解】解：∵AD BC ⊥，BC 是直径，∴ AC DC=，∴32CAD D ∠=∠=︒，∵180CAD D ACD ∠+∠+∠=︒，∴116ACD ∠=︒，故选：A ．【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和同弧或等弧所对圆周角相等的应用．5. 设a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，则b ab a -+的值为（ ）A. 1 B. 1- C. 2022D. 2023【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记“若12x x 、是方程一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根，则1212b ca x x x x a+=-=，．”是解题关键．【详解】解：∵a，b 是方程220230x x +-=的两个不相等的实数根，∴1a b +=-，2023ab =-，∴()12023120232022b ab a -+=---=-+=，故选：C ．6. 如图所示，OA 、OB 、OC 都是O 的半径（点B 在劣弧AC 上，不包括端点A 、C ），则下列关系一定成立的是（ ）A. 2AOB BOC ∠=∠B. 2AOB ACB ∠=∠C. 2AOB CAB ∠=∠D. 2AOB OCA∠=∠【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆周角定理，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”进行判断即可，能够熟练运用圆周角定理是解决本题的关键．【详解】解：根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半可知， AOB ∠为弧AB 所对的圆心角，弧AB 所对的圆周角为ACB ∠，的故2AOB ACB ∠=∠，故选：B ．7. 若点()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 在二次函数()215y x =++的图象上，则1y ，2y ，3y 大小关系是（ ）A. 123y y y << B. 132y y y << C. 213y y y << D.312y y y <<【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．【详解】解： 点()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 在反比例函数()215y x =++的图象上，19y ∴=，26y =，321y =，213y y y ∴<<．故选：C ．8. 如图，Rt ACB △中，90C ∠=︒，7AC =，5BC =，点P 从点B 出发向终点C 以1个单位长度/s 移动，点Q 从点C 出发向终点A 以2个单位长度/s 移动，P 、Q 两点同时出发，一点先到达终点时P 、Q 两点同时停止，则（ ）秒后，PCQ △的面积等于4．A. 1B. 2C. 4D. 1或4【答案】A 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，设t 秒后，PCQ △的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设t 秒后，PCQ △的面积等于4，由题意得：,2BP t CQ t ==，则5,CP t =-∵12PCQ CQ CP S =⋅△，∴()14252t t =⨯⨯-，整理得：2540t t -+=，解得：1214t t ==，（不合题意，舍去），即1秒后，PCQ △的面积等于4，故选：A ．9. 已知O 的半径2OA =，弦AB 、AC 的长分别是，则BOC ∠的度数为（ ）A. 30︒B. 120︒C. 30︒或150︒D. 30︒或120︒【答案】C 【解析】【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理逆定理及特殊角三角函数．分两种情况考虑，根据垂径定理及特殊角三角函数即可求解．【详解】解：当弦AB 、AC 在半径OA 的同侧时，如图，过O 作OD AB ⊥于D ，则12AD AB ==，2AOB AOD ∠=∠，∵sin AD AOD OA ==∠，∴60AOD ∠=︒，∴2120AOB AOD ∠=∠=︒；∵2228OA OC AC +==，∴=90AOC ∠︒，∴30BOC AOB AOC ∠︒=∠-∠=；当弦AB 、AC 在半径OA 的异侧时，如图，同理可求得120AOB ∠=︒，=90AOC ∠︒，则360150BOC AOB AOC ∠=︒-∠-∠=︒，即BOC ∠的度数为30︒或150︒；故选：C ．10. 已知抛物线2y x bx c =++（c 为常数）经过点()p m ,、()q m ,、()4,c ，当18q p ≤-<时，则m 的取值范围为（ ）A. 412c m c -≤<+B. 15124c m c -≤<+C. 12c m c <≤+ D. 324c m c -<+≤【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出4b =-，可得抛物线的对称轴为直线22bx =-=，再根据抛物线的对称性可得4p q +=，进而得到()424q p q q q -=--=-，再结合18q p ≤-<，可得()212164q ≤-<，然后根据()22424m q q c q c =-+=-+-，即可求解．【详解】解：当4x =时，164y b c c =++=，∴4b =-，∴抛物线的对称轴为直线22bx =-=，∴抛物线解析式为24y x x c =-+，∵抛物线2y x bx c =++（c 为常数）经过点()p m ,、()q m ,，∴22p q+=，即4p q +=，∴4p q =-，∴()424q p q q q -=--=-，又18q p ≤-<，∴1248q ≤-<，∴1242q ≤-<，∴()212164q ≤-<，∵()22424m q q c q c =-+=-+-，∴15124c m c -≤<+，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 在平面直角坐标系中，点()3,5-关于x 轴对称的点的坐标为__________．【答案】(-3，-5)【解析】【分析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【详解】在平面直角坐标系中，点（−3，5）关于x 轴对称的点的坐标为（−3，−5），故答案为：（−3，−5）．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的变化规律．12. 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________．【答案】()213y x =-++【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线2y x =-向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：()21y x =-+．由“上加下减”的原则可知，将抛物线()21y x =-+向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：()213y x =-++．故答案为：()213y x =-++．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．13. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么方程是_____．【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196【解析】【分析】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x ）万个，九月份生产零件50（1+x ）2万个，三个月之和即为总产量.【详解】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x ）万个，九月份生产零件50（1+x ）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为：50+50（1+x ）+50（1+x ）2=196．【点睛】本题考查一元二次方程应用中的增长率问题，需要注意第三季度产量是三个月之和.14. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A BB '' ，此时点A '恰好在AB 边上，连结BB '，则A BB '' 的周长为________．【答案】3+3+【解析】【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理得到，22AB AC ==，BC =．再根据旋转的性质得到1AC A C '==，,2BC B C AB A B ACA BCB '''''====∠=∠，则可判断ACA ' 为等边三角形，从而得到BCB 'V 为等边三角形，可得到BB BC '==1A B '=，即可求解．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，∴30ABC ∠=︒，∵1AC =，∴22AB AC ==，∴BC ==∵将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A BB '' ，此时点A '恰好在AB 边上，∴1AC A C '==，,2BC B C AB A B ACA BCB '''''====∠=∠，∵60A ∠=︒，∴ACA ' 为等边三角形，∴60ACA BCB ''∠=∠=︒，1AA AC '==，BCB 'V 为等边三角形，∴BB BC '==，1A B '=，∴A BB '' 的周长为213A B BB A B ''''++==．故答案为：3【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．15. 已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a >）经过()3,2A -、()9,2B 两点，下列四个结论：①一元二次方程220ax bx c ++-=的根为13x =-，29x =；②若点()15,C y 、)2Dy 在该抛物线上，则12y y <；③对于任意实数t ，总有293at a b bt -≥-；④对于a 的每一个确定值()0a >，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数）有根，则236p a ≥-．其中正确的结论是________（填写序号）【答案】①③④【解析】【详解】根据函数的解析式结合函数图象逐个分析，并判断每个选项的正误即可．【分析】解：∵()3,2A -、()9,2B 两点纵坐标相等，故当2y =时，39x =-或此时函数2y ax bx c =++变为22=0ax bx c ++-，故一元二次方程220ax bx c ++-=的根为13x =-，29x =成立，故①正确；由于()3,2A -、()9,2B 两点纵坐标相等，∴A，B 两点关于函数的对称轴对称，∴函数的对称轴为：3x =，∵0a >，∴函数的开口向上，故越靠近对称轴，函数的值越小，C 点离对称轴的距离为532-=，D 点离对称轴距离为3，∵23>，∴12y y >，故②错误；将293at a b bt -≥-变为；∵函数的对称轴为3x =，故当3x =时函数取最小值，将3x =代入函数解析式中得：93y a b c =++，故函数最小值为：93a b c ++，故293ax bx c a b c ++≥++，对于任意的实数t 都有：293at bt a b +≥+变形得293at a b bt -≥-，故③正确；∵32b a-=，则6b a =-，将()3,2A -、()9,2B 两点代入2y ax bx c =++中得：9328192a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩①②，3⨯+①②得，227c a =-，若一元二次方程2ax bx c p ++=则： 244b ac p a -≥，将227c a =-，6b a =-代入，化简得236p a ≥-，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题属于二次函数的综合题，能够熟练掌握二次函数的解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．能够熟练掌握二次函数的解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．16. 如图，已知ABC 是O 的内接三角形，O 的半径为2，将劣弧 AC 沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点D ．若60ACB ∠=︒，则弦AC 的长为________．【答案】【解析】【分析】设折叠后的 AC 所在圆的圆心为O '，连接O A '，O D '，OA ，OB ，过点O作OE AB ⊥于点E ，解直角三角形得出AB =O ' 与O 为等圆，得出OA O A '=，OB OD =，A O B A OD'∠=∠，证明AOB AO D ' ≌，得出AB AD ==A 作AH BC ⊥于H ，设BH HD x ==，则2CD x =，3CH x =，根据勾股定理得出()(222x +=，求出x 的值，即可得出答案．【详解】解：设折叠后的 AC 所在圆的圆心为O '，连接O A '，O D '，OA ，OB ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，如图所示：∵OE AB ⊥，∴12AE BE AB ==，∵60ACB ∠=︒，∴2120A OD A C B '∠=∠=︒，2120AOB ACB ∠=∠=︒，∴1602AOE BOE AOB ∠=∠=∠=︒，∴sin 602AE AO =⨯︒==，∴AB =又∵O ' 与O 为等圆，∴OA O A '=，OB OD =，A O B A OD'∠=∠，∴AOB AO D ' ≌，∴AB AD ==过A 作AH BC ⊥于H ，设BH HD x ==，则2CD x =，3CH x =，∵60ACB ∠=︒，∴在Rt ACH中，tan 603AH CH x =⨯︒==，361cos 602CH x AC x ===︒，∵222AH BH AB +=，∴()(222x +=，解得：x =，∴AC =．【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，根据勾股定理建立方程．三、解答题（共8小题）17. 解方程：22530x x ++=．【答案】11x =-，232x =-【解析】【分析】利用公式法求解可得．【详解】解：22530x x ++=2a =，5b =，3c =，∴2542310∆=-⨯⨯=>，∴514x -±==，∴11x =-，232x =-．【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程；根据系数特点选择适当的方法是解题的关键．18. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？【答案】应邀请7个球队参加比赛．【解析】【分析】设邀请x 个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解．【详解】设邀请x 个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x-1=21，即()x x 12-=21，∴x 2-x-42=0，∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）．答：应邀请7个球队参加比赛．【点睛】此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．19. 已知函数224y x x =-++．（1）该函数的对称轴为________，顶点为________；（2）当x ________时，y 随x 增大而减小；（3）当03x <<时，函数值y 的取值范围是________．【答案】（1）1x =，()1,5（2）1≥（3）15y <£【解析】【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，再根据“二次函数()()20=-+≠y a x h k a 的对称轴为直线x h =，顶点坐标为(),h k ”即可求解；（2）根据二次函数的增减性，即可求解；（3）根据二次函数()()20=-+≠y a x h k a 的性质可得当1x =时，函数有最大值，最大值为5，再分别求出0x =，3x =时的函数值，即可求解．【小问1详解】解：224y x x =-++()215x =--+，∴该函数的对称轴为直线1x =，顶点为()1,5；故答案为：1x =，()1,5【小问2详解】解：∵10-<，∴抛物线开口向下，∴当1x ≥时，y 随x 增大而减小；故答案为：1≥小问3详解】解：∵抛物线开口向下，顶点为()1,5，∴当1x =时，函数有最大值，最大值为5，当0x =时，4y =，当3x =时，9641y =-++=，∴当03x <<时，函数值y 的取值范围是15y <£．故答案为：15y <£20. 如图，AB 是O 的直径，AC 是弦， BDCD =，DE AB ⊥于点E ，连接DO ．（1）求证：AC DO ∥；（2）若CD =DE AE 的长．【【答案】（1）见解析 （2）5【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理以及平行线的判定：（1）连接AD ，证明12DAB DAC CAB ∠=∠=∠，再由圆周角定理得CAB DOB ∠=∠，从而可得结论；（2）连接DB ，由勾股定理得出1EB =以及圆的半径，从而可得结论．【小问1详解】连接AD ，如图，∵ CDBD =，∴12DAB DAC CAB ∠=∠=∠，又12DAB DOB ∠=∠，∴CAB DOB ∠=∠，∴AC DO ∥，【小问2详解】连接DB ，∵ CD BD =，CD =∴CD BD ==又DE DE AB ⊥，∴在Rt DBE 中，222DB DE EB =+，∴1EB =，设OE x =，则1OB OD AO x ===+Rt DOE △中，222DE OE OD +=，222(1)x x +=+∴2x OE ==，13AO x =+=，∴325AE AO OE =+=+=21. 如图网格是由边长为1个单位长度的小正方形组成，每个小正方形的顶点叫做格点，点A 、B 、C 、O 都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，点A 对应点E ，点B 对应点F ．（1）在图1中，将线段AB 向右平移3个单位长度，画出平移后的线段EF ，再将线段BC 绕点F 顺时针旋转90︒，画出对应线段B C ''；（2）在图2中，先作点A 关于点O 对称点Q ，再过点O 作直线分别交AB 、AC 于点M 、N ，使得MO NO =．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据点的平移和线段绕点旋转，然后连接即可求解；（2）根据中心对称的性质即可作图．【小问1详解】如图，根据平移和旋转的性质，找到对应点，然后连接即可；∴EF ，B C ''即为所求；【小问2详解】的如图，根据网格作图特点，∵O 为AQ 中点，AC MQ ∥，∴OA OQ =，OAN OQM ∠=∠，∵AON QOM ∠=∠，∴AON QOM ≌，∴MO NO=∴点M ，N ，Q 即为所求．22. 某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x 天的成本y （元/件）与x （天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z （件）与x （天）满足关系式10z x =+．（1）第5天，该商家获得的利润是________元；第40天，该商家获得的利润是________元；（2）设第x 天该商家出售该产品的利润为w 元．①求w 与x 之间函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有________天？（直接填写结果）【答案】（1）450，1000（2）①()805003080203050z z x w z x z x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，第30天利润最大，最大利润1200元； 8【解析】【分析】（1）求出BC 的解析式，即可；（2）①先求出w 与x之间的函数关系式，结合一次函数与二次函数的性质，即可求解；②的利用每件利润乘以总销量等于总利润，进而求出二次函数最值即可．【小问1详解】解：根据题意得：第5天，该商家获得的利润是()()8050510450-⨯+=元；设BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()()30,50,50,70B C 代入得：30505070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：120k b =⎧⎨=⎩，∴20y x =+，当40x =时，60y =，即第40天时该产品的成本是60元/件，利润为：()()806040101000-+=元；故答案为：450；1000【小问2详解】解：①根据题意得：()805003080203050z z x w z x z x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩化简得230300030506003050x x w x x x +≤≤⎧=⎨-++<≤⎩当030x ≤≤时，30300w x =+，∵300k =>，∴w 随x 增大而增大，当30x =时，max 30303001200w =⨯+=，当3050x <≤时，250600w x x =-++，∵10a =-<开口向下，∴对称轴()502521x =-=⨯-，3050x <≤时，w 随x 增大而减小，又x 为整数，∴31x =时，2max 3150316001189w =-+⨯+=，∵11891200<，∴max 1200w =，此时30x =，即第30天利润最大，最大利润1200元，②230300030506003050x x w x x x +≤≤⎧=⎨-++<≤⎩当030x ≤≤时，303001125w x =+≥30825x ≥27.5≥x 又030x ≤≤且x 为整数∴2830,28x x ≤≤=或29或30当3050x <≤时，2506001125x x -++≥2505250x x -+≤令2505250x x -+=()()15350x x --=∴115x =，235x =∴1535x ≤≤又3050x <≤∴3035x <≤且x 为整数，∴31x =或32或33或34或35综上所述，第28，29，30，31，32，33，34，35天共计8天利润不低于1125元，故答案为：8【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润等于一件的利润乘以销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23. （1）【问题背景】如图1，在ABC 中，AB AC =，2BAC α∠=，D ，E 为BC 边上的点，且DAE α∠=，ACE △绕点A 顺时针旋转2α得到ABF △，连接DF ，直接写出DF 与DE 的数量关系：________；（2）【类比探究】如图2，在ABC 中，60CAB ∠=︒，AB AC =，D 、E 均为BC 边上的点，且30DAE ∠=︒，2BD =，32EC =，求DE 的长；（3）【拓展应用】如图3，E 是正方形ABCD 内一点，90AEB ∠=︒，F 是BC 边上一点，且45EDF ∠=︒，若2AB =，请直接写出当DE 取最小值时CF =________．【答案】（1）DF DE =；（2（3）23【解析】【详解】解：（1）∵2,,BAC DAE αα∠=∠=∴2,BAD CAE BAC DAE ααα∠+∠=∠-∠=-=由旋转得，,AF AE =,BAF CAE ∠=∠∴,BAF BAD α∠+∠=即,DAF α∠=∴,DAF DAE ∠=∠在ADE V 和ADF △中，AE AFDAE DAFAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ,ADE ADF ≌∴DE DF =；（2）∵60CAB ∠=︒，AB AC =，∴ABC是等边三角形，∴60CAB B ACB ∠=∠=∠=︒，AB AC BC ==，将ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACF △，连接EF ，如图2，则AF AD =，2FC BD ==，60ACF B Ð=Ð=°，CAF BAD ∠=∠.∵60CAB ∠=︒，30DAE ∠=︒，∴30CAE BAD ∠+∠=︒，∴30EAF CAE CAF CAE BAD DAE ∠=∠+∠=∠+∠==∠︒.∵AE AE =，∴()SAS EAF EAD △≌△，∴EF DE =，过点F 作FG BC ⊥，交BC 的延长线于点G ，∵6060120ECF ACE ACF ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴60FCG ∠=︒，∴30CFG ∠=︒，∴112122CG FC ==⨯=，∴35122EG EC CG =+=+=，∴FG ===，DE EF ====（3）将CDF 绕点D 顺时针旋转90︒，得到ADG △，取AB 的中点O ，连接OD ，OE ，OF ，则112OA OB AB ===.如图3，∵DE OD OE ≥-，∴DE 取最小值时，点E 在OD 上，如图4所示：由旋转的性质得DF DG =，CDF ADG ∠=∠，∵45EDF ∠=︒，∴904545CDF ADE ∠+∠-︒=︒=︒，∴45ODG ADO ADG ADO CDF ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴ODF ODG ∠=∠，在ODF △和ODG 中，DF DG ODF ODGOD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ODF ODG △≌△，∴OF OG =.设CF x =，则1OF OG OA AG x ==+=+，2BF BC CF AB CF x =-=-=-，在Rt OBF △中，222(2)1(1)x x -+=+，解得23x =，∴当DE 取最小值时CF 的长为23.【分析】（1）先证明,DAF DAE α∠=∠=根据SAS 证明ADE ADF V V ≌可得DF DE =；（2）先证ABC 是等边三角形，得60CAB B ACB ∠=∠=∠=︒，AB AC BC ==，将ABD △绕点A 逆时针旋转60︒，得到ACF △，连接EF ，再证()SAS EAF EAD ≌ ，得EF DE =，过点F 作FG BC ⊥，交BC 的延长线于点G ，然后由含30︒角的直角三角形的性质得1CG =，则52=EG ，即可解决问题；（3）将CDF 绕点D 顺时针旋转90︒，得到ADG △，取AB 的中点O ，连接OD 、OE 、OF ，则112OA OB AB ===，由DE OD OE ≥-，得DE 取最小值时，点E 在OD 上，再由旋转的性质得DF DG =，CDF ADG ∠=∠，然后证()SAS ODF ODG △≌△，得OF OG =，设CF 的长为x ，则1OF OG x ==+，2BF x =-，在Rt OB F 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；正方形的内角为90︒，对边相等；根据SAS 证明三角形全等；全等三角形对应边相等，30︒角所对直角边等于的一半．24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x mx =+-经过点()3,0A ，点C 是抛物线的顶点，连接AC ．（1）求抛物线的函数解析式及顶点C 的坐标；（2）设直线()0y kx k k =-≠与抛物线相交于P 、Q 两点（点P 在点Q 的左侧且点Q 在第四象限），当直线PQ 与直线AC 相交所成的一个角为45︒时，求点Q 的坐标；（3）如图2，作直线AP ，AG 分别交y 轴正、负半轴于点M 、N ，交抛物线于点P 、G ，设点M 、N 的纵坐标分别为m 、n ，且3=-mn ，求证：直线PG 经过一个定点．【答案】（1）2=23y x x --，顶点()1,4C -（2）Q 点坐标为()2,3-（3）见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再利用抛物线的顶点坐标公式即可求解；（2）先求得直线PQ 过定点()1,0，再构造一线三等角，证明()AAS CAH ARG ≌△△，求得()1,2R -，再求得:31RC y x =--，根据平行线性质求得:33l y x =-+，联立即可求解；（3）设AP ：()()30y k x k =-≠，AG ：()()30y k x k =-'≠'，表示出M 、N 的坐标，由3m n ⋅=-，得到13k k '⋅=-，联立，根据根与系数的关系，求得1P x k =-，1G x k ='-，设PG ：()0y ax b a =+≠，联立，根据根与系数的关系，求得2P G x x a +=+，3P G x x b ⋅=--，据此求得13kk '=-，进一步计算即可求解．【小问1详解】解：∵23y x bx =+-经过点()3,0A ，∴9330b +-=，3=6b -，2b =-，∴抛物线解析式：2=23y x x --，对称轴212x -=-=，1x =时212134y =-⨯-=-，∴顶点()1,4C -，综上所述，抛物线解析式2=23y x x --，顶点()1,4C -；【小问2详解】解：∵()1y kx k k x =-=-，∴当10x -=，即1x =时，0y =，∴PQ 过定点()1,0，过A 作AR AC ⊥，AR AC =，连RC ，的过M 作l RC ∥交抛物线于P ，Q ，过A 作GH y ∥轴，过R 作RG GH ⊥于G ，过C 作CH GH ⊥于H ，∵90AHC RGA RAC ∠=∠=∠=︒，∴90CAH RAG ARG ∠=︒-∠=∠，∴()AAS CAH ARG ≌△△，∴4RG AH ==，2CH GA ==，∴()1,2R -，又()1,4C -，设直线RC 的解析式为y mx n =+，∴24m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得31m n =-⎧⎨=-⎩，∴:31RC y x =--，∵l RC ∥，∴设直线l 的解析式为3y x n '=-+，把()1,0代入得03n '=-+，解得3n '=，∴:33l y x =-+，联立23323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩，解得13x =-，22x =，又P Q x x <，∴2Q x =，()2,3Q -，∴Q 点坐标为()2,3-；【小问3详解】解：设AP ：()()30y k x k =-≠，AG ：()()30y k x k =-'≠'，∴()0,3M k -，()0,3N k -'，∵3m n ⋅=-，∴()()333k k '-⋅-=-，∴13k k '⋅=-，联立：2323y kx k y x x =-⎧⎨=--⎩，∴()22330x k x k -++-=，∴2A P x x k +=+，∴1P x k =-，同理：1G x k ='-，设PG ：()0y ax b a =+≠，联立：223y ax b y x x =+⎧⎨=--⎩，∴()2230x a x b -+--=，∴2P G x x a +=+，3P G x x b ⋅=--，∴112k k a -+-=+'，()()113k k b --=--'，∴4k k a +'=+，()13kk k k b -++=-'-'，∴kk a b '=-，∵13kk '=-，∴13b a =+，∴()11133y ax a a x =++=++，∴定点11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质是解题的关键．。

注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.2023-2024学年第一学期九年级期中质量监测试题（卷）数学3、考试结束后，只收回答题卡.第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是A．B．02342=++xx 0122=--y x C．D．0122=++x ax ()024=-x x 2．如图，将含有30°角的三角尺ABC （∠BAC =30°），以点A 中心，顺时针方向旋转，使得点C ，A ，B ′在同一直线上，则旋转角的大小是A．30°B．60°C．120°D．150°3．方程的两个实数根是x x =2A．x 1=x 2=1B．x 1=1，x 2=-1C．x 1=0，x 2=1D．x 1=0，x 2=-14．将关于x 的方程配方成的形式，则的值是0862=+-x x ()p x =-23p A．1B．28C．17D．445．如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，则k 的取值范围是032=+-k x x A．k≥B．k≤C．k＞D．k＜49494949C′B′CB A6．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单()2122---=x y 位，则所得到的二次函数的解析式是A．B．()1322---=x y ()1122-+-=x y C．D．()3122-+-=x y ()3322---=x y 7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA 病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类和人．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x 只动物，则下面所列方程正确的是A．3x（x+1）=363B．3+3x+3x ²=363C．3（1+x）²=363D．3+3（1+x）+3（1+x）²=3638．已知二次函数（c 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），c x x y +-=42则关于x 的一元二次方程的两个实数根是042=+-c x x A．x 1=1，x 2=-1B．x 1=-1，x 2=2C．x 1=-1，x 2=0D．x 1=1，x 2=39．二次函数的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：c bx ax y ++=2则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是A．开口方向向上B．当x＞-2时，y 随x 增大而增大C．函数图象与x 轴没有交点D．函数有最小值是-210．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图bx ax y +=2a bx y +=象可能是x …-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共15分）11．如图，在⊙O 中，AC =BC ，半径OC 与AB 交于点D ，若AB =8cm，OB =5cm，则CD =▲cm.13．已知点A （4，y 1）和点B （-1，y 212．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会隆重开幕，北京成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家.下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一副图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成.对于图片中的“雪花图案”，至少旋转▲°能与原雪花图案重合.）是二次函数（m 为常数）()m x y +-=21-215．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若四边形EFGH 是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD 的图象上两点，则y 1和y 2的大小关系是▲.14．2021年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2023年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网.若设2021年到2023年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为▲.的面积的最大值是▲.HG FED CBA⌒⌒三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解方程（每小题5分，共10分）（1）()910-=+x x （2）()12832+=+x x x 17．（本小题5分）如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于点G .求证：EF =FG .18．（本小题8分）在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （5，4），B （1，3），C （3，1）.点P （a，b）是△ABC 内的一点.（1）以点O 为中心，把△ABC 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1，C 1的坐标：A 1▲，B 1▲，C 1▲.注：点A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1分别是对应点.（2）点P 的对应点P 1的坐标是▲；（3）若以点O 为中心，把△ABC 逆时针旋转则点P 的对应点P 2的坐标是▲，点P 1与点P2关于▲对称.（填写“x 轴、y 轴或原点”）⌒⌒19．（本小题8分）阅读下列材料，并完成相应学习任务：一元二次方程在几何作图中的应用如图1，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4.求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.因为矩形ABCD 的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24.若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14-x.所以，得x（14-x）=24.解得x 1=2，x 2=12.当x=2时，14-x=12；当x=12时，14-x=2.所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12.如图2，在边AB 的延长线取点G ，使得AG =4AB .在AD 上取AE =AD .21以AG 和AE 为邻边作出矩形AGFE .则矩形AGFE 的周长和面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的2倍.学习任务：（1）在作出矩形AGFE 的过程中，主要体现的数学思想是▲；（填出序号即可）A.转化思想B.数形结合思想C.分类讨论思想D.归纳思想（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的？21若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由.图1 图2GFEDCBA D CB A20．（本小题9分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA =60米，在水面的跨度BC =80米，桥面距水面的垂直距离OE =7米，以桥面所在水平线为x 轴，OE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？21．（本小题10分）下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：“，”现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？解：设….根据题意，所列出方程：.()6080402300-20=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+x x …根据小明所列方程，完成下列任务：（1）填空：数学问题中“”处短缺的条件是▲，小明所列方程中未知数x 的实际意义是▲.（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题.图1图222．（本小题12分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边CD 上一点，将△ADE 以点A 为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF ，连接EF ．过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ．试猜想FG 与GE 的数量关系，并证明.（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG ，他们认为DG 平分∠ADC ．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；（3）问题解决：在图2中，若AD +DE =28，则四边形AGED 的面积为▲.（直接写出答案即可）图1 图2AB CDEFGGFEDCBA23．（本小题13分）综合与探究已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 32-2-=x x y 轴交于点C ，点D 是y 轴右侧抛物线上一个动点.（1）求出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图1，当点D 在第四象限时，求出△BCD 面积的最大值，并求出这时点D 坐标；（3）当∠DAB =∠ABC 时，求出点D的坐标.图1 备用图一、选择题：1—10：DDCAB BCDCC二、填空题：11.2；12.60°；13.y 1＜y 2；14.2.9（1+x）²=3.8；15.50.三、解答题：16.解：（1）x 1=-1，x 22023～2024学年第一学期九年级期中质量监测试题数学参考答案=-9；…………………………………………………………5分（2）x 1=，x 2=4.…………………………………………………………………5分23-注：阅卷组自行制定评分细则17.证明：∵AB=AE，∴∠B=∠AEB.……………………………………………………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，……………………………………………………………………2分∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，……………………………………………………………………3分∴∠GAF=∠FAE，…………………………………………………………………4分∴EF=FG.……………………………………………………………………5分18.解：（1）画图略，画图正确.………………………………………………2分A 1（4，-5），B 1（3，-1），C 1（1，-3）.………………………………………5分（2）（b,-a）.……………………………………………………………………6分（3）（-b,a），原点.………………………………………………………………8分19.解：（1）B；…………………………………………………………………2分（2）不存在.……………………………………………………………………3分理由如下：若存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的，21则所求的矩形周长为7，面积为6.………………………………………………4分设所求的矩形一边长为x，则与其相邻的另一边的长为-x.………………5分27所以，得x（-x）=6.……………………………………………………………6分27整理，得2x ²-7x+12=0.…………………………………………………………7分因为△=（-7）²-4×2×12=49-96＜0.所以该方程无解.…………………………………………………………8分所以，不存在矩形，其周长与面积分别是矩形ABCD 的周长和面积的……9分21⌒⌒20.解：（1）设桥拱所在抛物线的函数关系表达式为y=ax ²+bx.………………1分∵OA=60，∴A 点坐标为（60，0）.∵BC=80，根据对称性可知，点C 坐标为（70，-7）.…………………………2分把A（60，0），B（70，-7）代入y=ax ²+bx，得………3分⎩⎨⎧-=+=+77049000603600b a b a 解得………………………………………………………………4分⎪⎩⎪⎨⎧=-=531001b a ∴桥拱所在抛物线的函数关系表达式是.………………5分x x y 5310012+-=（2）∵x x y 5310012+-=……………………………………………………7分().93010012+--=x ∴该函数的顶点为（30，9）.……………………………………………………8分∵9+7=16.∴桥拱最高点到水面的距离是16米.…………………………………………9分21.解：（1）每件商品的售价每降价2元，每个星期的销售量可增加40件；每件商品的售价降了x 元.………………………………………………………………2分（2）设每件商品的定价为x 元，根据题意可列方程…………………………3分.………………………………………6分()60804026030040=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+-x x 整理，得x ²-115x+3304=0.……………………………………………………7分解得x 1=59，x 2=56.……………………………………………………………8分为了让每位顾客得到更大的实惠，所以x=59舍去.…………………………9分答：每件商品的定价为56元，每个星期的利润能达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠.…………………………………………………………………10分22.（1）FG=EG.………………………………………………………………1分证明：∵△ABF 是由△ADE 顺时针方向旋转90°得到的，∴△ABF≌△ADE，………………………………………………………………2分∴AF=AE.………………………………………………………………3分∵AG⊥EF，∴FG=EG.………………………………4分（2）连接CG.……………………………5分∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD，∠FCE=90°.……………………6分由（1）可知，FG=EG，∴CG=EF.………………………………7分21∵∠EAF=90°，∴AG=EF.………………………………8分21∴AG=CG.∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，………………………………………………………………9分∴∠ADG=∠CDG，即DG 平分∠ADC.…………………………………………10分（3）196………………………………………………………………………12分23.解：（1）当y=0时，.032-2=-x x 解得x 1=-1，x 2=3.∴点A（-1，0），B（3，0）.……………………………………………………2分当x=0时，y=-3，∴点C（0，-3）……………………………………………………………………3分（2）如图，过点D 作DE⊥x 轴，垂足为E，并且交直线BC 于点F.过点C 作CH⊥DE，垂足为H.……………………4分设BC 的解析式为y=kx+b.把点B（3，0），点C（0，-3）代入，得，⎩⎨⎧-==+33b b k 解得k=1，b=-3.∴直线BC 的解析式为y=x-3.……………………5分设点D（m，m ²-2m-3），则点F（m，m-3）.则DF=m-3-（m ²-2m-3）=-m ²+3m.……………6分∵S △BCD =S △CDF +S △BDF =×DF×CH+×DF×BE=×DF（CH+BE）=21212121ACDEFG∴S △BCD =（-m ²+3m）×3=-m ²+m.………………………………7分212329=-（m-）²+.（0＜m＜3）…………………………………………8分2323827∵-＜0，∴当m=时，S △BCD 有最大值，S △BCD 的最大值为.………9分2123827（3）∵点B（3，0），点C（0，-3）.∴OB=OC.∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°.设点D（m，m ²-2m-3）.如图，当点D 在x 轴下方时，过点D 作DP⊥OB，垂足为P.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠APD=90°.∴∠PDA=∠PAD，∴PA=PD.∴m-（-1）=-（m ²-2m-3）.……………………10分解得m=2或m=-1（舍去）.当m=2时，m ²-2m-3=-3.∴点D 坐标为（2，-3）.…………………………11分如图，当点D 在x 轴上方时，过点D 作DQ⊥OB，垂足为Q.∵∠DAB=∠ABC=45°，∠AQD=90°.∴∠QDA=∠QAD，∴QA=QD.∴m-（-1）=m ²-2m-3.…………………………………………………………12分解得m=4或m=-1（舍去）.当m=4时，m ²-2m-3=5.∴点D 坐标为（4，5）.∴当∠DAB=∠ABC 时，点D（2，-3）或（4，5） (13)分。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD=CD2．一元二次方程x2﹣6x+5=0配方后可化为（）A．（x﹣3）2=﹣14B．（x+3）2=﹣14C．（x﹣3）2=4D．（x+3）2=43．用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（）A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.54．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．1B．﹣3C．3D．4相似5．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中ABC的是（）A．B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（）A．36°B．30°C．27°D．18°7．如图，DE 是 ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝8，则EF 的长为（）A ．2.5B ．1.5C ．4D ．58．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC ＝，AE=BE ，则有（）A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD9．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（）A ．x （x+1）＝28B ．12x （x ﹣1）＝28C ．x （x ﹣1）＝28D ．x （x+1）＝2810．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB=2，∠ABC=60°，则BD 的长为（）A ．2B ．3C D ．二、填空题11．一元二次方程x 2=x 的解为_____．12．为保护环境，法库县掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是___．13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．14．如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为_____15．如图，菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC ＝6，BD ＝8，点P 是BC 边上的一动点，则AP 的最小值为__．16．如图，正方形ABCD 中，AB 6=，点E 在边CD 上，且CD 3DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE. 延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：ABG ①≌AFG ；BG GC ②=；AG //CF ③；GCF ④是等边三角形，其中正确结论有______．三、解答题17．解方程：（1）3（x ﹣3）＝5x （x ﹣3）；（2）（x+1）（x ﹣1）+2（x+3）＝13．18．先化简，再求值：2226m m m+-÷（m+3+53m -），其中m 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根．19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边EF=，测得边DF离地面的高度 1.5m40cmDE=，20cmCD m，求树AB的高度．AC=，8=20．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．21．在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？22．如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB AD=，对角线AC，BD交于点O，AC平分⊥交AB的延长线于点E，连接OE．∠，过点C作CE ABBAD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=2BD=，求OE的长．23．如图，已知菱形ABCD，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F．（1）图中共有哪几对相似三角形？请直接写出结论；（2）若菱形ABCD的边长为3，求AF的长．24．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？25．如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．（1）求证：PA＝PF；（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．参考答案1．C 【解析】菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，判定定理有：定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断，【详解】A 选项：根据菱形的定义可得，当AB=AD 时▱ABCD 是菱形，本选项正确；B 选项：根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD 是菱形，本选项正确；C 选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，除非是正方形，本选项错误；D 选项：根据菱形的定义可得，当AD=CD 时▱ABCD 是菱形，本选项正确；故选C 【点睛】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键.2．C 【解析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【详解】移项得：265x x -=-，配方得：26959x x -+=-+，即2(3)4x -=．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成2()x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3．D 【解析】【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”．【详解】解：连续抛掷2n 次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A 、B 、C 错误，抛掷n 次，当n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”．4．C 【解析】【分析】设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于﹣ba，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个解为x 1，根据题意得：﹣1+x 1=2，解得：x 1=3，故选C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣b a、两根之积等于ca是解题的关键．5．B 【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．【详解】解：由题意得：AB =AC 2BC =、A1ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；B，11，∴对应边成比例，符合题意；C，3，与△ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；D2，与△ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；故选B ．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．6．B 【解析】【分析】根据已知条件可得ADE ∠以及EDC ∠的度数，然后求出ODC 各角的度数便可求出BDE ∠．【详解】解：在矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∵2ADE EDC ∠=∠，∴60ADE ∠=︒，30EDC ∠=︒，∵DE AC ⊥，∴903060DCE ∠=︒-︒=︒，∵OD OC =，∴60ODC OCD ∠=∠=︒，∴60DOC ∠=︒，∴9030BDE DOC ∠=︒-∠=︒．故选：B ．【点睛】题目主要考查矩形的性质，三角形内角和及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用各个性质是解题关键．7．B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得1 2.52DF AB==，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．【详解】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，∴1 2.52DF AB==，∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故选：B．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．B【解析】【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，13 ADAC＝，AE=BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】解：由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，13ADAC＝，AE=BE，易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．9．B【解析】【分析】球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：12x（x﹣1）＝4×7．故选：B．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程．10．D【解析】【详解】分析：首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再证出△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长．详解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD=2BO，∵∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO=60°，∴∴故选D．点睛：本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．11．x1=0，x2=1．【解析】【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．【详解】解：x2=x，移项得：x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，x=0或x﹣1=0，∴x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．12．10%【解析】【分析】设这两年的绿地面积的平均增长率是x，利用经过两年时间后绿地的面积＝绿地的原面积×（1+这两年的绿地面积的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这两年的绿地面积的平均增长率是x，依题意得：（1+x）2＝1+21%，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．故答案为：10%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够正确理解题意列出方程求解．13．13【解析】【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：x2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，故答案为：13．14．1 9【详解】解：观察这个图可知，阴影部分能够拼成4个小正方形，图中共有36个小正方形，∵阴影部分的面积：整个图形的面积=4:36=1 9，∴镖落在阴影部分的概率为19 P=，故答案为：1 9 .15．4.8【解析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12AC＝3，BO＝DO＝12BD＝4，∴5 BC===，∵12ABCD S AC BD BC AP =⨯⨯=⨯菱形，∴24 4.85AP ==，故答案为：4.8．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP ⊥BC 时，AP 有最小值是本题关键．16．①②③【解析】【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG ≌AFG ；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠===，由平行线的判定可得AG //CF ；由于BG CG =，得到tan AGB 2∠=，求得AGB 60∠≠ ，根据平行线的性质得到FCG AGB 60∠∠=≠ ，求得GCF 不是等边三角形；【详解】四边形ABCD 是正方形，将ADE 沿AE 对折至AFE ，AB AD AF ∴==，在ABG 与AFG 中，90AB AF B AFG AG AG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，ABG ≌AFG ；故①正确，1EF DE CD 23=== ，设BG FG x ==，则CG 6x =-，在直角ECG 中，根据勾股定理，得222(6x)4(x 2)-+=+，解得x 3=，BG 363GC ∴==-=；故②正确，CG BG GF == ，FGC ∴是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=，又AGB AGF ∠∠=，AGB AGF 180FGC GFC GCF ∠∠∠∠∠+=-=+ ，AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG //CF ∴；故③正确，BG CG = ，1BG AB 2∴=，tan AGB 2∠∴=，AGB 60 ∠∴≠，AG //CF ，FCG AGB 60∠∠∴=≠ ，GCF ∴ 不是等边三角形；故④错误．综上所述：正确结论有①②③，故答案为①②③．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．17．（1）x 1＝3，x 2＝35；（2）x 1＝﹣4，x 2＝2【解析】【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．【详解】解：（1）∵3（x ﹣3）＝5x （x ﹣3），∴3（x ﹣3）﹣5x （x ﹣3）＝0，则（x ﹣3）（3﹣5x ）＝0，∴x ﹣3＝0或3﹣5x ＝0，解得x 1＝3，x 2＝35；（2）整理成一般式，得：x 2+2x ﹣8＝0，∴（x+4）（x ﹣2）＝0，则x+4＝0或x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣4，x 2＝2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法，选择适当的方法可使计算变的简便．18．12(2)m m -，12【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件得到m 的值，把m 的值代入计算，即可得解．【详解】解：2253263m m m m m +⎛⎫÷++ --⎝⎭，()2295233m m m m m +-+=÷--，()()()232322m m m m m m +-=⨯-+-，()122m m =-，解方程2210x x --=得：11x =，21x =，∴当1m =时，原式12==；当1m =时，原式12==；∴求值为12．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．19．树高5.5m ．【解析】【分析】先判定△DEF 和△DBC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解．【详解】解：在△DEF 和△DCB 中，D D DEF DCB ∠∠⎧⎨∠∠⎩＝＝，∴△DEF ∽△DCB ，∴DE EF DC CB =，即40208CB=解得BC=4，∵AC=1.5m ，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m ，即树高5.5m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．20．【解析】【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE ＝∠AED ，根据等角对等边，即可求得AE 的长，在直角△ABE 中，利用勾股定理求得BE 的长．【详解】解：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝6．∠B ＝∠C ＝90°，∴∠ADE ＝∠CED ，∵ED 平分∠AEC ，∴∠AED ＝∠CED ，∴∠AED ＝∠ADE ，∴AD ＝AE ＝10，在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得BE8，∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，在Rt△DCE中，根据勾股定理，得DE＝设点A到DE的距离为h，则12AD•CD＝12DE•h，∴h＝．答：点A到DE的距离为．【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义三角形面积公式及勾股定理是解题关键．21．（1）见解析；（2）小明获胜的概率大，见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．【详解】（1）树状图如图所示：所有(m，n)可能的结果有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共12种结果；（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个（包括m ＝n ＝2，和m ＝n ＝3两种情况），m ，n 都不是方程x 2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为41=123，小利获胜的概率为21=126，∴小明获胜的概率大．22．（1）证明见解析；（2）OE=2．【解析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．（2）根据菱形的性质和勾股定理求出2OA ==，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】（1）证明：∵AB//CD ，∴CAB ACD ∠=∠，∵AC 平分BAD ∠，∴CAB CAD ∠=∠，∴CAD ACD ∠=∠，∴AD CD =，又∵AD AB =，∴AB CD =，又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB AD =，∴ABCD 是菱形．（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，∴AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，∴112OB BD ==，在Rt △AOB 中，90AOB ∠=︒，∴2OA ==，∵CE AB ⊥，∴90AEC ∠=︒，在Rt △AEC 中，90AEC ∠=︒，O 为AC 中点，∴122OE AC OA ===．23．（1）有3对相似三角形，分别为：DFC AFE ∽，BCE AFE ∽，DFC BCE ∽；（2）92AF =．【解析】（1）由菱形的性质：∥DC AE ，BC AD ∥，进而证明：~DFC AFE ，~BCE AFE ，DFC BCE ∽；（2）由（1）可知：DFC AFE ∽，利用相似三角形的性质和已知条件即可求出DF 的长，进而求出AF 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴∥DC AE ，BC AD ∥，∴~DFC AFE ，~BCE AFE ，∴DFC BCE ∽，故：有3对相似三角形，分别为：DFC AFE ∽，BCE AFE ∽，DFC BCE ∽；（2）∵DFC AFE ∽，∴DF DC AF AE=，∵2BE AB ＝，3AB ＝，∴6BE =，9AE =，∴339DF DF =+，∴32DF =，∴39322AF AD DF =+=+=．24．（1）100+200x ；（2）1【解析】（1）销售量=原来销售量+增加销售量，列式即可得到结论；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+0.1x ×20=100+200x 斤；故答案为：100+200x ；（2）根据题意得：(42)(100200)300x x --+=，解得：x=12或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．25．（1）见解析；（2）PQ 的长不变，见解析；（3）AB+BF PB【解析】（1）连接PC ，由正方形的性质得到AB BC =，ABP CBP ∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理证明APB CPB ≌，由全等三角形的性质可知PA PC =，PCB PAB ∠=∠，接下来利用四边形的内角和为360°可证明PFC PCF ∠=∠，于是得到PF PC =，故此可证明PF PA =；（2）连接AC 交BD 于点O ，依据正方形的性质可知AOB 为等腰直角三角形，于是可求得AO 的长，接下来，证明APO PFQ ≌，依据全等三角形的性质可得到PQ AO =；（3）过点P 作PM AB ⊥，PN BC ⊥，垂足分别为M ，N ，首先证明PBN 为等腰直角三角形于是得到BN PN +=，由角平分线的性质可得到PM PN =，然后再依据直角三角形全等的证明方法证明PAM PFN ≌可得到FN AM =，PM PN =，于是将AB BF +可转化为BN PN +的长．【详解】解：（1）证明：连接PC ，如图所示：∵ABCD 为正方形，∴AB BC =，ABP CBP ∠=∠，在APB 和CPB 中，AB BCABP CBP BP BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴APB CPB ≌，∴PA PC =，PCB PAB ∠=∠，∵90ABF APF ∠=∠=︒，∴180PAB PFB ∠+∠=︒．∵180PFC PFB ∠+∠=︒，∴PFC PAB ∠=∠．∴PFC PCF ∠=∠．∴PF PC =，∴PF PA =；（2）PQ 的长不变．理由：连接AC 交BD 于点O，如图所示：∵PF AE ⊥，∴90APO FPQ ∠+∠=︒．∵FQ BD ⊥，∴90PFQ FPQ ∠+∠=︒．∴APO PFQ ∠=∠．又∵四边形ABCD 为正方形，∴90AOP PQF ∠=∠=︒，2AO =．在APO 和PFQ 中，AOP PQFAPO PFQ AP PF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴APO PFQ ≌．∴2PQ AO a ==；（3）如图所示：过点P 作PM AB ⊥，PN BC ⊥，垂足分别为M ，N ．∵四边形ABCD 为正方形，∴45PBN ∠=︒．∵PN BN ⊥，∴2BN PN BP ==，∴BN PN +=．∵BD 平分ABC ∠，PM AB ⊥，PN BC ⊥，∴PM PN =．在RT PAM 和RT PFN 中，PA PF PM PN =⎧⎨=⎩，∴PAM PFN ≌．∴AM FN =．∵90MBN BNP BMP ∠=∠=∠=︒，∴MB PN =．∴AB BF AM MB BF FN BF PN BN PN +=++=++=+=．【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．若x 2﹣3x 的值等于零，则x 的值为（）A ．﹣3B ．0C ．0或3D ．0或﹣32．若234a b c==，a ﹣b+c ＝18，则a 的值为（）A ．11B ．12C ．13D ．143．若两个等腰直角三角形斜边的比是1：3，则它们的面积比是（）A ．1：4B ．1：6C ．1：9D ．1：104．三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程x 2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（）A ．11B ．13C ．11或13D ．以上都不对5．如图，P 是直角△ABC 斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过点P 作一条直线，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条6．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，BE ＝CF ＝2，CE 与DF 交于点H ，点G 为DE 的中点，连接GH ，则GH 的长为（）AB C ．4.5D ．4.37．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在DC 的延长线上取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB ＝4，BC ＝6，CE ＝1，则CF 的长为（）AB ．1.5C D ．18．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 交于点H ．下列结论：①CF ＝2AE ；②△DFP ∽△BPH ；③DP 2＝PH•PC ；④PE ：BC ＝（3）：3．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．一个不透明的口袋中装有10个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一球记下颜色，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估计口袋中白球的个数约为_____个．10．已知线段AB ＝4cm ，C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝_____．11．若关于y 的一元二次方程24334ky y y --=+有实根，则k 的取值范围是______12．如图，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝3，则矩形的周长为_____．13．如图，菱形ABCD 的周长为16cm ，BC 的垂直平分线EF 经过点A ，则对角线BD 长为_____________cm ．14．某超市第二季度的营业额为200万元，第四季度的营业额为288万元．如果每季度营业额的平均增长率相同，那么每季度的平均增长率为_____．15．如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____．16．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_____．三、解答题17．计算：（1）3x2+3＝7x；（用配方法解方程）（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2．18．如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．（1）做出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比是2：1；（3）若M（x，y）是线段AB上一点，则点M关于y轴对称的对应点M1的坐标为．19．为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．20．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？21．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．（1）求证：四边形AECD是矩形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．23．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s 的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的2 9；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．24．如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．（1）判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明；（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP．25．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1；②请直接写出AC1与BD1的位置关系；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝3，BD＝5，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，请说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝6，BD ＝12，连接DD 1，设AC 1＝kBD 1．请直接写出k 的值和AC 12+（kDD 1）2的值．参考答案1．C 【解析】根据题意得出x 2﹣3x ＝0，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：根据题意，得：x 2﹣3x ＝0，∴x （x ﹣3）＝0，则x ＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，则x 的值为：0或3．故选：C ．2．B 【解析】设234a b c==＝k ，则可利用k 分别表示a 、b 、c ，再利用a ﹣b+c ＝18，所以2k ﹣3k+4k ＝18，然后解k 的方程，从而得到a 的值．【详解】解：设234a b c==＝k ，∴a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，∵a ﹣b+c ＝18，∴2k ﹣3k+4k ＝18，解得k ＝6，∴a ＝2×6＝12故选：B ．3．C 【解析】根据相似三角形的判定与性质即可得出答案．【详解】解：如图，△ABC 与△DEF 都为等腰直角三角形，且EF ：AB ＝1：3，则△ABC ∽△EFD ，∴21(9EFD ABC S EF S AB ∆∆==，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．4．A 【解析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．【详解】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝7或5，当三角形的三边为2，4，7时，2+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形；当三角形的三边为2，4，5时，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+4+5＝11；综合上述：三角形的周长是11，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．5．B【解析】根据已知及相似三角形的判定方法（或平行线截线段成比例）进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A∴△APE∽△ACB；∴满足这样条件的直线的作法共有3种．故选：B6．A【解析】根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH ＝12DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE+∠DCH ＝90°，∴∠CDF+∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G 为DE 的中点，∴GH ＝12DE ，∵AD ＝AB ＝6，AE ＝AB ﹣BE ＝6﹣2＝4，∴DE ===∴GH故选A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．D 【解析】【分析】过O 作OM ∥BC 交CD 于M ，根据平行四边形的性质得到BO ＝DO ，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，根据三角形的中位线的性质得到CM ＝12CD ＝2，OM ＝12BC ＝3，通过△CFE ∽△MOE ，根据相似三角形的性质得到CF CE OM EM=，代入数据即可得到结论．【详解】解：过O作OM∥BC交CD于M，在▱ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∴CM＝12CD＝2，OM＝12BC＝3，∵OM∥CF，∴△CFE∽△MOE，∴CFOM＝CEEM，即1 33 CF，∴CF＝1．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．8．D【解析】【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【详解】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE，∵AD∥BC，∴∠FEP＝∠PBC，∠EFP＝∠PCB，∵∠EPF＝∠BPC，∴∠FEP＝∠EFP＝∠EPF＝60°，∴△EFP是等边三角形，∴BE＝CF，∴CF＝2AE，故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴DP PH PC DP，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°，∴AE，∵∠DCF＝30°，∴DF，∴EF＝AE+DF﹣BC﹣BC，∴FE：BC＝（3）：3，∵EF＝PE，∴PE：BC＝（3）：3，故④正确，综上，四个选项都正确，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．9．20【解析】【分析】先由频率＝频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是50150＝13，设口袋中大约有x个白球，则1010x+＝13，解得x＝20，经检验x＝20是原方程的解，估计口袋中白球的个数约为20个．故答案为：20．【点睛】本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．10．2##2-+【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；所以AC AB，代入数据即可得出AC 的长度．【详解】解：由于C为线段AB＝4的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝12AB ＝12-×4＝2．故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．11．74k ≥-且0k ≠【解析】【分析】先将方程化为一般形式2770--=ky y ，根据方程有实数根得到.【详解】∵24334ky y y --=+,∴2770--=ky y ∵一元二次方程有实根，∴∆0≥，且0k ≠，∴49+28k 0≥，解得74k ≥-，故答案为：74k ≥-且0k ≠.12．6+6+【解析】根据矩形性质得出AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠BAD ＝90°，OA ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，推出OA ＝OB ＝OC ＝OD ，得出等边三角形AOB ，求出BD ，根据勾股定理求出AD 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∵∠AOB＝60°，OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝3，∴OA＝OB＝AB＝3，∴BD＝2OB＝6，在Rt△BAD中，AB＝3，BD＝6，由勾股定理得：AD＝∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝故答案为：13．【详解】试题分析：连接AC，∵菱形ABCD的周长为16cm，∴AB=4cm，AC⊥BD，∵BC的垂直平分线EF经过点A，∴AC=AB=4cm，∴OA=12AC=2cm，∴，∴．故答案为考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质．14．20%【解析】先设增长率为x，那么第四季度的营业额可表示为200（1+x）2，已知第四季度营业额为288万元，即可列出方程，从而求解．【详解】解：设每季度的平均增长率为x，根据题意得：200（1+x ）2＝288，解得：x ＝﹣2.2（不合题意舍去），x ＝0.2，则每季度的平均增长率是20%．故答案为：20%15．【解析】由正方形的对称性可知，PB ＝PD ，当B 、P 、E 共线时PD+PE 最小，求出BE 即可．【详解】解：∵正方形中B 与D 关于AC 对称，∴PB ＝PD ，∴PD+PE ＝PB+PE ＝BE ，此时PD+PE 最小，∵正方形ABCD 的面积为18，△ABE 是等边三角形，∴BE ＝，∴PD+PE 最小值是故答案为：．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．16．（14）n-1【解析】【详解】试题分析：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（14）2-1=14；第三个矩形的面积是（14）3-1=116；…故第n 个矩形的面积为：11()4n -．考点：1.矩形的性质；2.菱形的性质．17．（1）1x =2x =；（2）13y =，235y =【解析】【分析】（1）先移项，再方程两边都除以3，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【详解】解：（1）3x 2+3＝7x ，移项，得3x 2﹣7x ＝﹣3，除以3，得x 2﹣73x ＝﹣1，配方，得x 2﹣73x+（76）2＝﹣1+（76）2，即（x ﹣76）2＝1336，开方，得x ﹣76＝，解得：x 1，x 2＝76；（2）4y （3﹣y ）＝（y ﹣3）2，移项，得﹣4y （y ﹣3）﹣（y ﹣3）2＝0，（y ﹣3）（﹣4y ﹣y+3）＝0，y ﹣3＝0或﹣4y ﹣y+3＝0，解得：y 1＝3，235y =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征选用合适的方法是解题的关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）(,)x y 【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可；（3）利用轴对称的性质求解即可．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）若M （x ，y ）是线段AB 上一点，则点M 关于y 轴对称的对应点M 1的坐标为（﹣x ，y ）．．【点睛】本题考查作图-位似变换，作图-轴对称变换，作图-相似变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．19．（1）13；（2）23【解析】【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种，∴恰好选中乙的概率为13；故答案为：13；（2）分别用字母A ，B 表示女生，C ，D 表示男生画树状如下：4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种，∴P （1女1男）82123==．答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．【解析】【分析】设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由题意，得(360280)(560)7200x x --+=，解得：18x =，260x =．有利于减少库存，x∴=．60答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解题的关键是根据销售问题的数量关系建立方程．21．（1）见解析；（2）∠BAC＝90°，理由见解析【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AECD是平行四边形，进而理由等腰三角形的性质得出∠ADB＝90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝CD，进而利用正方形的判定得出即可．【详解】（1）证明：∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，∴CF＝FA，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形；（2）解：当∠BAC＝90°时，四边形AECD是正方形，理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD＝BD＝CD，∵四边形AECD是矩形，∴矩形AECD是正方形．【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．22．（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为2a【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得EO ⊥AC ，即BD ⊥AC ，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；（2）证明菱形ABCD 是正方形，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC （三线合一），即BD ⊥AC ，∴▱ABCD 是菱形；（2）解：∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC ＝60°由（1）知，EO ⊥AC ，AO ＝OC∴∠AEO ＝∠OEC ＝30°，△AOE 是直角三角形，∵∠AED ＝2∠EAD ，∴∠EAD ＝15°，∴∠DAO ＝∠EAO ﹣∠EAD ＝45°，∵▱ABCD 是菱形，∴∠BAD ＝2∠DAO ＝90°，∴菱形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积＝AB 2＝a 2．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD 为菱形是解题的关键．23．（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【解析】【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝12AN•AM＝12×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为12AB•AD＝12×6×12＝36，∵△AMN的面积是△ABD面积的2 9，∴6t﹣t2＝236 9⨯，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的2 9；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有AM ANAB AD=，即122612t t-=，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有AM ANAD AB=，即122126t t-=，解得t＝24 5，答：当t＝3或245时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．24．（1）四边形AFCE是菱形，见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由过矩形ABCD （AD ＞AB ）的对角线AC 的中点O 作AC 的垂直平分线EF ，易证得△AOE ≌△COF ，即可得EO ＝FO ，则可证得四边形AFCE 是平行四边形，又由EF ⊥AC ，可得四边形AFCE 是菱形；（2）由∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，可证得△AOE ∽△AEP ，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得2AE 2＝AC•AP ．【详解】证明：（1）四边形AFCE 是菱形．理由：由已知可知：AO ＝CO ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，在△AOE 和△COF 中，EAO FCO AEO CFO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴EO ＝FO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形；（2）∵∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，∴△AOE ∽△AEP ，∴AO AE ＝AE AP，∴AE 2＝AO•AP ，又AC ＝2AO ，∴2AE 2＝AC•AP ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．25．（1）①见解析；②AC 1⊥BD 1；（2）AC 1⊥BD 1，见解析，35k =；（3）12k =，2211()36AC kDD +=【解析】【分析】（1）①由“SAS”可证△AOC 1≌△BOD 1；②由全等三角形的性质可得∠OBD 1＝∠OAC 1，可证点A ，点B ，点O ，点P 四点共圆，可得结论；（2）由菱形的性质可得OC ＝OA ＝12AC ，OD ＝OB ＝12BD ，AC ⊥BD ，由旋转的性质可得OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，∠COC 1＝∠DOD 1，通过证明△AOC 1∽△BOD 1，可得∠OAC 1＝∠OBD 1，由余角的性质可证AC 1⊥BD 1，由比例式可求k 的值；（3）与（2）一样可证明△AOC 1∽△BOD 1，可得11112122AC AC OA AC BD OB BD BD ====，可求k 的值，由旋转的性质可得OD 1＝OD ＝OB ，可证△BDD 1为直角三角形，由勾股定理可求解．【详解】证明：（1）①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴OC ＝OA ＝OD ＝OB ，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠COD ＝90°，∵△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，∴OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，∠COC 1＝∠DOD 1，∴OC 1＝OD 1，∠AOC 1＝∠BOD 1＝90°+∠AOD 1，在△AOC 1和△BOD 1中，1111OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC 1≌△BOD 1（SAS ）；②AC 1⊥BD 1；理由如下：∵△AOC 1≌△BOD 1，∴∠OBD 1＝∠OAC 1，∴点A ，点B ，点O ，点P 四点共圆，∴∠APB ＝∠AOB ＝90°，∴AC 1⊥BD 1；（2）AC 1⊥BD 1，理由如下：如图2，∵四边形ABCD 是菱形，∴OC ＝OA ＝12AC ，OD ＝OB ＝12BD ，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠COD ＝90°，∵△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，∴OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，∠COC 1＝∠DOD 1，∴OC 1＝OA ，OD 1＝OB ，∠AOC 1＝∠BOD 1，∴11OCOA OD OB=，∴△AOC 1∽△BOD 1，∴∠OAC 1＝∠OBD 1，又∵∠AOB ＝90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD 1＝90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，∴∠APB ＝90°∴AC 1⊥BD 1；∵△AOC 1∽△BOD 1，∴11132152AC AC OA AC BD OB BD BD ====，∴k ＝35；（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC 1∽△BOD 1，∴11112122AC AC OA AC BD OB BD BD ====，∴k ＝12；∵△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，∴OD 1＝OD ，而OD ＝OB ，∴OD 1＝OB ＝OD ，1111,BD O OBD DD O ODD ∠=∠∠=∠，∴1111BD O DD O OBD ODD ∠+∠=∠+∠，∴190BD D ∠=︒，∴△BDD 1为直角三角形，在Rt △BDD 1中，BD 12+DD 12＝BD 2＝144，∴（2AC 1）2+DD 12＝144，∴AC 12+（kDD 1）2＝36．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

人教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．一元二次方程2250x x ++=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根3．抛物线2(3)y x =+的顶点是（ ）A ．(0,3)B ．(0,3)-C ．(3,0)D ．(3,0)-4．一元二次方程 2810x x -+= 配方后可变形为（ ）A ．()2415x -=B ．()2415x +=C ．()2417x -=D ．()2417x +=5．已知二次函数21(2)54y x =--+，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．2x >- D ．2x <-6．如图，AOB ∆绕点O 逆时针旋转65︒得到COD ∆，若30AOB ∠=︒，则BOC ∠的度数是（）A ．30B ．35︒C ．40︒D ．65︒7．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）A ．(1)21x x +=B ．(1)21x x -=C ．(1)212x x +=D ．(1)212x x -= 8．已知二次函数的图象的顶点是(1,2)-，且经过点(0,5)-，则二次函数的解析式是（ ） A ．23(1)2y x =-+- B ．23(1)2y x =+- C ．23(1)2y x =--- D ．23(1)2=--y x 9．已知2x =关于x 的方程23520x mx m -+-=的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰ABC ∆的两条边长，则ABC ∆的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．6或1010．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =，下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．320b c -<D ．30a c +<二、填空题11．方程2250x -=的解是_____．12．将抛物线24y x =向下平移1个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是_______． 13．如图，已知点A 的坐标是(-2)，点B 的坐标是(1-，，菱形ABCD 的对角线交于坐标原点O ，则点D 的坐标是______．14．小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．则S 与x 之间的函数关系式是_____．（不用写自变量的取值范围）15．若抛物线2(2)21y m x x =-+-与x 轴有两个公共点，则m 的取值范围是______． 16．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC a ==，点D 为AB 边上一点（不与点A ，B 重合），连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到CE ，连接AE ．下列结论：①BDC ∆①AEC ∆；①四边形AECD 的面积是2a ；①若105BDC ∠=︒，则AD =；①2222AD BD CD +=．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．解方程：22150x x --=．18．如图，平面直角坐标系xOy 中，画出ABC 关于原点O 对称的111A B C ∆，并．写出1A 、1B 、1C 的坐标．19．已知二次函数243y x x =++．（1）求二次函数的最小值；（2）若点11(,)x y 、22(,)x y 在二次函数243y x x =++的图象上，且122x x -<<，试比较12,y y 的大小．20．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，广东省2019年公共充电桩的数量约为4万个，2021年公共充电桩的数量多达11.56万个，位居全国首位．（1）求广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计广东省2022年公共充电桩数量能否超过20万个？为什么？21．如图，平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，写出不等式22x bx c x -++>+的解集．22．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若0x =是方程的一个根，求方程的另一个根．23．如图，边长为6的正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABF ∆，G 是BC 上一点，且45EAG ∠=︒，连接EG ．（1）求证：AEG ∆①AFG ∆；（2）求点C 到EG 的距离．24．平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax =-+与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）当12x -≤≤时，y 的最大值为3，求a 的值；（3）已知点(0,2)P ，(1,1)Q a +．若线段PQ 与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．25．在①ABC 中AB=AC ，点P 在平面内，连接AP 并将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转与①BAC 相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ；【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；【拓展应用】如图3，在①ABC中，AC=2，①ACB=90°，①ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．参考答案1．C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．2．A【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式 24b ac ∆=-，∆<0时，方程没有实数根；0∆>时，方程有两个不相等的实数根；0∆=时，方程 有两个相等的实数根，将相应的系数代入判别式便可判断.【详解】①224245420160b ac =-=-⨯1⨯=-=-<Δ根据一元二次方程根的判别式 24b ac ∆=-，当∆<0时，原方程没有实数根.故选A【点睛】本题旨在考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解此类题目的关键. 3．D【解析】【分析】根据二次函数2()y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ）即可解答．【详解】解：抛物线2(3)y x =+的顶点是（﹣3，0），故选：D ．【点睛】本题考查二次函数2()y a x h k =-+的性质，熟知二次函数2()y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ）解答的关键．4．A【解析】【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：①x 2-8x+1=0，①x 2-8x=-1，①x 2-8x+16=15，①（x -4）2=15．故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．5．A【解析】【分析】根据y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0），当a ＜0时，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，可得答案．【详解】解：①21(2)54y x =--+， ①a 14=-＜0， ①当x ＞2时y 随x 的增大而减小．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0），当a ＞0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小．6．B【解析】【分析】根据旋转的性质得出旋转角①AOC=65°即可．【详解】解：①AOB ∆绕点O 逆时针旋转65︒得到COD ∆，①①AOC=65°，①①AOB=30°，①①BOC=①AOC ﹣①AOB=65°﹣30°=35°，故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，准确找到旋转角是解答的关键．7．D【解析】【分析】类似的场次比赛相互问题可看做“握手问题”，由于赛制是单循环（每两队都赛一场），设有x 队参赛，因此比赛总的场次为()112x x - 场，剧题意总场次为21场，依此等量关系列出方程.【详解】设共有x 队参赛，此次比赛总场次为()112x x - 已知共比赛21场. 根据题意列方程为()11212x x -= 故答案选D.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找到等量关系为解题的关键.8．C【解析】【分析】利用待定系数法确定函数解析式即可；【详解】解：设该抛物线解析式是：y ＝a （x -1）2﹣2（a≠0）．把点（0，-5）代入，得a （0-1）2﹣2=-5，解得a=-3．故该抛物线解析式是23(1)2y x =---．故答案选：C【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，难度不大，需要掌握抛物线的顶点式． 9．B【解析】【分析】先求得方程的两个根，再根据等腰三角形的条件判断即可．【详解】①2x =关于x 的方程23520x mx m -+-=的一个根，①46520m m -+-=，①2m =，①方程23520x mx m -+-=变形为2680x x -+=，解得122,4x x ==，①方程的两个根恰好是等腰ABC ∆的两条边长，①其三边可能是2，2，4或4，4，2，①2+2=4，故三角形不存在，故三角形的周长为10，故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的解法，等腰三角形的分类，熟练解一元二次方程是解题的关键．10．D【解析】【分析】根据抛物线的性质，对称轴，图形的信息，逐一计算判断即可．【详解】 ①102b a-=>， ①0ab ＜，①抛物线与y 轴交于正半轴，①0c >，①0abc ＜，故A 不符合题意； ①12ba -=，①20a b +=，故B 不符合题意；①1x =-时，y=a -b+c 0＜，①2a -2b+2c 0＜， ①12ba -=，①2a b =-，①-b -2b+2c 0＜，①3b -2c 0>，故C 不符合题意；①1x =-时，y=a -b+c 0＜， ①12ba -=，①2a b =-，①3a+c 0＜，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图像，抛物线的性质，灵活运用图像及其性质是解题的关键． 11．x=±5【解析】【分析】移项得x 2=25，然后采用直接开平方法即可得到方程的解．【详解】解：①x 2-25=0，移项，得 x 2=25，①x=±5．故答案为：x=±5．【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 12．241y x ##214y x =-+【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：24y x =向下平移1个单位长度所得抛物线解析式为：241y x ． 故答案为：241y x ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．13．(1【解析】【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质，对角线互相平分，且交点为坐标原点，则B ，D 关于原点对称， 因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数便可得.【详解】①四边形ABCD 是菱形，对角线相交于坐标原点O①根据平行四边形对角线互相平分的性质，A 和C ； B 和D 均关于原点O 对称根据直角坐标系上一点(),x y 关于原点对称的点为()--x,y 可得已知点B 的坐标是(-1, ，则点D 的坐标是( .故答案为：(.【点睛】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点，熟练理解掌握该知识点为解题的关键.14．230S x x =-+【解析】【分析】根据矩形的周长及其一边长表示出另一边为（30－x ）米，再根据矩形的面积公式求函数关系式即可．【详解】①矩形周长为60米，一边长x 米，①另一边长为（30－x ）米，①矩形的面积()23030S x x x x =-=-+．故答案为：230S x x =-+．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意，正确找出等量关系是解题的关键．15．1m 且2m ≠【解析】【分析】根据抛物线的定义，得2m ≠；结合题意，根据抛物线和一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．【详解】①抛物线2(2)21y m x x =-+-①20m -≠①2m ≠①抛物线2(2)21y m x x =-+-与x 轴有两个公共点，即2(2)210m x x -+-=有两个不同的实数根①()()22421440m m ---=->①1m故答案为：1m 且2m ≠．【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．16．①①①【解析】【分析】根据旋转性质可得CD=CE ，①ECD=90°由90ACB ∠=︒，可得①ACE=①DCB ，可证①ACE①①BCD （SAS ），可判断①正确；由四边形AECD 面积=三角形ABC 面积，可判断①不正确; 由 全等三角形性质可得①AEC=①BDC=105°，AE=BD ，由90ACB ∠=︒，AC BC =，可得①CAB=①EAC=①B=45°，①EAB=90°，①ADE==30°，利用30度直角三角形性质可得ED=2AE=2BD ，再由勾股定理可判断①正确；利用勾股定理可得2222AD BD CD +=，可判断①正确．【详解】解：①线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到CE ，①CD=CE ，①ECD=90°，①90ACB ∠=︒①①ACE+①ACD=①ACD+①DCB=90°，①①ACE=①DCB ，在①ACE 和①BCD 中，AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACE①①BCD （SAS ），故①正确；S 四边形AECD=S①ACE+S①ACD=S①BCD+S①ACD=S①ABC=2111222AC BC a a a ⋅=⋅=， 故①不正确；连结ED ，①①ACE①①BCD ，①①AEC=①BDC=105°，AE=BD ，①90ACB ∠=︒，AC BC =，①①CAB=①B=45°，①①EAC=①B=45°，①①EAB=①EAC+①CAB=45°+45°=90°，①CE=CD ，①ECD=90°， ①①CED=①CDE=180452ECD︒-∠=︒，①①AED=①AEC -①CED=105°-45°=60°，①①ADE=90°-①AED=90°-60°=30°，①ED=2AE=2BD ，在Rt①AED 中，==，故①正确；在Rt①CED 中，DE 2=2222CF CD CD +=，在Rt①AED 中，①AE 2+AD 2=BD2+AD 2=ED 2=2CD 2,①2222AD BD CD +=，故①正确，正确的结论是①①①．故答案为①①①．17．13x =-，25x =．【分析】利用因式分解法解方程．【详解】解：22150x x --=，(3)(5)0x x ∴+-=，则30x +=或50x -=，解得13x =-，25x =．18．图见解析，1(3,4)A -，1(5,1)B -、1(1,2)C -【分析】根据关于原点对称的点的坐标都是互为相反数计算即可．【详解】解：①A （-3，4），B （-5，1），C （-1，2）①它们关于原点O 对称的点分别为1(3,4)A -，1(5,1)B -、1(1,2)C - ，画图如下：111A B C ∆为所求作的图形．19．（1）﹣1；（2）12y y <【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，进而求得最值即可；（2）求出该二次函数的对称轴，进而根据开口方向和增减性求解即可．【详解】解：（1）二次函数243y x x =++=()221x +-，①a=1＞0，①该二次函数有最小值，最小值是1-；（2）①该二次函数图象的对称轴为直线x=﹣2，且开口向上，①当122x x -<<时，y 随x 的增大而增大，①12y y <．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．20．（1）70%；（2）预计广东省2022年公共充电桩数量不能超过20万个，理由见解析．【解析】【分析】（1）设2019年至2021年广东省公共充电桩数量的年平均增长率为x ，根据广东省2019年及2021年公共充电桩，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据广东省2022年公共充电桩数量=广东省2021年公共充电桩数量×（1+增长率），即可求出结论．【详解】解：（1）设广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率为x24(1)11.56x +=解得：10.7x =，2 2.7x =-（不合题意，舍去）答：年平均增长率为70%．（2）该省2022年公共充电桩数量11.56(10.7)19.65220=⨯+=<答：预计广东省2022年公共充电桩数量不能超过20万个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（1）22y x x =--+；（2）20x -<<【解析】【分析】（1）求出A ，B 点代入进而求出函数解析式；（2）直接利用A ，B 点坐标进而利用函数图象得出答案；【详解】解：（1）①直线2y x =+与坐标轴交于A ，B 两点①点A 的坐标是(2-，0)，点B 的坐标是(0，2).把(2-，0)，(0，2)代入2y x bx c =-++得：2420c b c =⎧⎨--+=⎩ 解得12b c =-⎧⎨=⎩①抛物线的解析式是22y x x =--+.（2）①点A 的坐标是(2-，0)，点B 的坐标是(0，2).①根据图像可得：不等式22x bx c x -++>+的解集是：20x -<<；【点睛】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式以及二次函数与不等式的关系，解题的关键是利用待定系数法得到关于b 、c 的方程，解方程即可解决问题．22．（1）54m ≥-；（2）3x =-或1x = 【解析】【分析】（1）根据有两个实数根,得到不等式①≥0，计算即可；（2）确定m 的值，得到符合题意的一元二次方程，解得即可．【详解】解：（1）①关于x 的方程22(21)10x m x m +++-=有两个实数根，①①22(21)41(1)450m m m =+-⨯⨯-=+≥ ， 解得：54m ≥-． （2）0x =是方程的一个根，①210m -=，①1m =±，此时原方程为230x x +=或20x x -=.解得：10x =，23x =-或10x =，21x =．①方程的另一个根为3x =-或1x =．23．（1）见解析；（2）125 【解析】（1）根据正方形和旋转的性质得到AF AE =，EAG FAG ∠=∠，即可求解；（2）设CG x =，则6BG x =-，9EG FG BG BF x ==+=-，由勾股定理求得CG ，等面积法求解即可．【详解】（1）证明：正方形ABCD 中，90BAD ∠=︒由旋转的性质得，AE AF =，90D ABF ∠=∠=︒①180ABC ABF ∠+∠=︒，①点F ，点B ，点C 三点共线.①90DAB ∠=︒，45EAG ∠=︒①45DAE GAB ∠+∠=︒，①45BAF GAB ∠+∠=︒，即45FAG ∠=︒①EAG FAG ∠=∠在AEG △和AFG 中AE AFEAG FAGAG AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AF AEG G SAS △≌△（2）解：由（1）得：EG FG =①正方形ABCD 的边长为6，E 是CD 的中点①3DE CE BF ===设CG x =，则6BG x =-，9EG FG BG BF x ==+=-在Rt ECG 中，2223(9)x x +=-解得4x =，即CG 4=由勾股定理得：5EG ==设点C 到EG 的距离为h 则1122ECG S CE CG GE h =⨯=⨯△，即125CE CGh GE ⨯==①点C 到EG 的距离是125． 24．（1）(0,1)A ，32x =；（2）12a =或89a =-；（3）10a -<或2a ． 【分析】 （1）把0x =代入抛物线的解析式求解抛物线与y 轴的交点坐标即可，再利用抛物线的对称轴方程2b x a=-求解抛物线的对称轴即可； （2）分两种情况讨论，①当0a >时，抛物线的开口向上，12x -≤≤且()353112,2222--=>-= 此时1x =-，y 取最大值；①当0a <时，抛物线的开口向下，12x -≤≤且()353112,2222--=>-=此时32x =，y 取最大值，再分别列方程求解a 即可； （3）分两种情况分别画出符合题意的图形，①当0a >时，如图，当点Q 在点A 的左侧（包括点)A 或点Q 在点B 的右侧（包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点；①当0a <时，如图，当Q 在点A 与点B 之间（包括点A ，不包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点，再根据点的位置列不等式即可得到答案.【详解】解：（1）令0x =，则1y =．(0,1)A ． 抛物线的对称轴为3322a x a -=-=． （2）2234931()24a y ax ax a x -=-+=-+， 抛物线的对称轴为32x =． ①当0a >时，抛物线的开口向上，12x -≤≤ 且()353112,2222--=>-= 此时1x =-，y 取最大值.①()213(1)13a a --⨯-+= ①12a =. ①当0a <时，抛物线的开口向下，12x -≤≤ 且()353112,2222--=>-= ∴ 此时32x =，y 取最大值. ①233()31322a a -⨯+=①89a =-. 综上所述，12a =或89a =-． （3）①抛物线231y ax ax =-+的对称轴为32x =． 设点A 关于对称轴的对称点为点B ，(3,1)B ∴.(1,1)Q a +， ①点,,Q A B 都在直线1y =上．①当0a >时，如图，当点Q 在点A 的左侧（包括点)A 或点Q 在点B 的右侧（包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点．10a ∴+或13a +．1a ∴-（不合题意，舍去）或2a① 2a .①当0a <时，如图，当Q 在点A 与点B 之间（包括点A ，不包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点．013a ∴+<．12a ∴-<．又0a <，10a ∴-<综上所述，a 的取值范围为10a -<或2a ．【点睛】 本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题，求解抛物线的对称轴方程，抛物线的最值问题，抛物线与线段的交点问题，掌握数形结合的方法，清晰的分类讨论是解题的关键. 25．[发现问题]：BQ=PC ；[探究猜想]：BQ=PC 仍然成立，理由见解析；[拓展应用]：线段CQ 长度最小值是1【解析】【分析】[发现问题]：由旋转知，AQ=AP ，①PAQ=①BAC ，可得①BAQ=①CAP ，可知①BAQ①①CAP （SAS ），BQ=CP 即可；[探究猜想]：结论：BQ=PC 仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP ，由①PAQ=①BAC ，可得①BAQ=①CAP ，可知①BAQ①①CAP （SAS ），可得BQ=CP ；[拓展应用]：在AB 上取一点E ，使AE=AC=2，连接PE ，过点E 作EF①BC 于F ，由旋转知，AQ=AP ，①PAQ=60°，可求①CAQ=①EAP ，可证①CAQ①①EAP （SAS ），CQ=EP ，当EF①BC （点P 和点F 重合）时，EP 最小，在Rt①ACB 中，①ACB=30°，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求BE=AB -AE=2，在Rt①BFE 中，①EBF=30°，BE=2，可得EF=12BE=1即可【详解】[发现问题]：由旋转知，AQ=AP ，①①PAQ=①BAC ，①①PAQ -①BAP=①BAC -①BAP ，①①BAQ=①CAP ，在①BAQ 和①CAP 中， AQ AP BAQ CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BAQ①①CAP （SAS ），①BQ=CP ，故答案为：BQ=PC ；[探究猜想]：结论：BQ=PC 仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP ，①①PAQ=①BAC ，①①PAQ -①BAP=①BAC -①BAP ，①①BAQ=①CAP ，在①BAQ 和①CAP 中，AQ APBAQ CAP AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BAQ①①CAP （SAS ），①BQ=CP ；[拓展应用]：如图，在AB 上取一点E ，使AE=AC=2，连接PE ，过点E 作EF①BC 于F ， 由旋转知，AQ=AP ，①PAQ=60°，①①ABC=30°，①①EAC=60°，①①PAQ=①EAC ，①①CAQ=①EAP ，在①CAQ 和①EAP 中，AQ APCAQ EAP AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①CAQ①①EAP （SAS ），①CQ=EP ，要使CQ 最小，则有EP 最小，而点E 是定点，点P 是AB 上的动点，①当EF①BC （点P 和点F 重合）时，EP 最小，即：点P 与点F 重合，CQ 最小，最小值为EP ，在Rt①ACB 中，①ACB=30°，AC=2，①AB=4，①AE=AC=2，①BE=AB -AE=2，在Rt①BFE 中，①EBF=30°，BE=2， ①EF=12BE=1．故线段CQ 长度最小值是1．。