2016重庆中考数学复习：第二部分 题型研究题型一 规律探索题

新定义问题针对演练1. （2015扬州）平面直角坐标系中，点P （x ,y ）的横坐标x 的绝对值表示为|x |,纵坐标y 的绝对值表示为|y |，我们把点P (x ,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P (x ,y )的勾股值，记为［P ］，即［P ］＝|x |+|y |.(其中的“+”是四则运算中的加法) （1）求点A (-1,3),B (3+2，3-2)的勾股值［A ］，［B ］; （2）点M 在反比例函数y =x3的图象上，且［M ］＝4，求点M 的坐标； ( 3)求满足条件［N ］=3的所有点N 围成的图形的面积.2. （2014扬州）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）=yx byax ++2（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）=10210+⨯⨯+⨯b a =b .（1）已知T （1，-1）=-2，T （4，2）=1. ①求a ，b 的值； ②若关于m 的不等式组⎩⎨⎧>≤pm m T m m T )2-,3(4)4-,5(2恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围；（2）若T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？3. 先阅读下列材料，并解决后面的问题. 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：记为a n，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）.一般地，若a n=b （a >0且a ≠1，b >0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为：log a b （即log a b =n ).如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381(即log 381＝4）. 问题：（1）计算以下各对数的值：log 24= ;log 216= ;log 264= ；（2）观察（1）中三个数4、16、64之间满足怎样的关系式？log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log a M +log a N = (a >0且a ≠1,M >0,N >0)；（4）根据幂的运算法则：a n ²a m =a n +m以及对数的含义证明上述结论.4. （我们把表格中字母和所得的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x ＋y ，回答下列问题：（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n 格的“特征多项式”为 .；（2）若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为-16， ①求x ，y 的值；②在此条件下，第n 格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n 值；若没有，说明理由. 5. （2014兰州）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到△DBE ，连接AD ，DC ，CE ，已知∠DCB =30°.①求证：△BCE 是等边三角形；②求证：DC 2+BC 2=AC 2，即四边形ABCD 是勾股四边形.第5题图6. 阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空（填“正确”或“不正确”）;②若某三角形的三边长分别是2、4、10，则△ABC是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）；（2）①若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、22，则第三边的边长为；且此直角三角形的三边之比为（请按从小到大排列）;②在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c；（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，点E是AC上方的一点，且满足AE=AD，CE=CB.求证：△ACE是奇异三角形.7. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin （α±β）=sin αcos β±cos αsin β tan （α±β）=βαβαtan tan 1tan tan ⋅±利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值. 例：tan15°=tan（45°-30°）=︒⋅︒+︒︒tan30tan451tan30-tan45=331133-1⨯+=)3-)(33(3)3-)(33-(3+=636-12=2-3.根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：（1）计算：sin15°；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图①），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图②，小华站在离塔底A 距离7米的C 处，测得塔顶B 的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC 为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度.（精确到0.1米，参考数据3≈1.732, 2≈1.414）第7题图8. 对于非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，即：当n 为非负整数时，如果n -21≤x ＜n +21，则＜x ＞=n .如：＜0＞=＜0.46＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜3.5＞=＜4.28＞=4，…,试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞= （π为圆周率）；②如果＜2x -1＞=3，则实数x 的取值范围为 ；（2）试举例说明：当x = ，y = 时，＜x +y ＞=＜x ＞+＜y ＞不恒成立；（3）求满足＜x ＞=34x 的所有非负实数x 的值.9. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|； 若|x 1-x 2|＜|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|. 例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）.图① 图② 第9题图 （1）已知点A （-21，0），B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）如图②，已知C 是直线y =43x +3上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标.【答案】 针对演练 1.解：（1）［A ］=|-1|+|3|=4，［B ］=|2+3|+|3-2|=2+3+2-3=4. （2）设点M 的横坐标为x ，则它的纵坐标是y =x3， 由［M ］＝4得：|x |+|x3|=4, 即|x |2-4|x |+3=0,解之得：|x |=3或|x |=1,∴x ＝3或x ＝-3或x ＝1或x ＝-1， ∴满足条件的点M 有4个：M 1(3,1),M 2(-3,-1),M 3(1,3),M 4(-1,-3).（3）满足条件［N ］＝3的所有点组成的图形是正方形， 正方形的4个顶点依次为（3，0）（0，3）（-3，0）（0，-3）， ∴所有点N 围成的图形面积为18.2.解:（1）①根据题意得：T （1，-1）=1-2-ba = -2，即a -b =-2； T =（4，2）=2824++ba =1，即2a +b =5，解得：a =1，b =3. ②由①得T (x ,y )=yx yx ++23.根据题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++②① 2-32)2-3(3 44-54)4-3(52p m m m m mm m m ，解①得：m ≥-21，解②得：m ＜53-9p .∴不等式组的解集为-21≤m ＜53-9p，∵不等式组恰好有3个整数解，即m =0，1，2， ∴2＜53-9p≤3，解得：-2≤p ＜-31.（2）由T （x ，y ）=T （y ，x ），得到y x by ax ++2=yx byax ++2，整理得：（x 2-y 2）（2b -a ）=0，∵T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立， ∴2b -a =0，即a =2b . 3.(1)解：2；4；6. 【解法提示】 ∵22＝4，∴log 24＝2，∵24＝16，∴log 216＝4， ∵26＝64，∴log 264＝6.（2）解:4³16＝64，log 24+log 216=log 264. （3）解:log a （MN ）.(4)证明：设log a M ＝b 1,log a N =b 2,则a b 1=M , a b2=N ,∵a b 1²a b 2=ab b +12, ∴b 1+b 2=log a （a b 1²a b2）=log a (MN ),即log a M +log a N =log a (MN ).4.解:(1)16x ＋9y ;25x ＋16y;(n +1)2x ＋n 2y (n 为正整数).【解法提示】仔细观察每格的特征多项式的特点，找到规律，利用规律求得答案即可. 观察图形发现：第1格的“特征多项式”为 4x ＋y ， 第2格的“特征多项式”为 9x ＋4y ， 第3格的“特征多项式”为 16x ＋9y ， 第4格的“特征多项式”为25x ＋16y ， …第n 格的“特征多项式”为(n +1)2x ＋n 2y (n 为正整数). (2)①∵第1格的“特征多项式”的值为－10， 第2格的“特征多项式”的值为－16，∴⎩⎨⎧=+=+-1649-104y x y x ,解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==726724-y x ,∴x 、y 的值分别为724-, 726. ②设最小值为W ，则依题意得：W =(n +1)2x +n 2y =724- (n +1)2+726n 2=72 (n 2-24n -12)= 72 (n -12)2-7312.∴第n 格的“特征多项式”有最小值为-7312，相应的n 值为12. 5.（1）解:正方形、矩形、直角梯形任选两个均可. （2）证明：①∵△ABC ≌△DBE ，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形.②∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，AC=ED.∵△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=∠BCE+∠DCB＝90°，∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵BC=CE,AC=DE,∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.6.解:（1）①正确；【解法提示】设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，∴符合“奇异三角形”的定义，∴小红提出的命题是正确的.②是.【解法提示】∵22+42=2³（10）2，∴符合“奇异三角形”的定义，∴△ABC是奇异三角形.（2）①23；1∶2∶3.【解法提示】∵22+（23）2=2³（22）2，且22+（22）2＝（23）2，∴第三边的边长为23,∴此直角三角形的三边之比为2∶22∶23=1∶2∶3.②∵∠ACB=90°，则a2+b2=c2 ①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=2a，c=3a，∴a∶b∶c=1∶2∶3.（3）∵以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，利用直角三角形外接圆直径就是斜边，AD=BD，∴AB是⊙O的直径，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=AB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC 2+CE 2=2AE 2，∴△ACE 是奇异三角形.7.解:（1）sin15°=sin（45°-30°） =sin45°cos30°-cos45°sin30° =22³23-22³21=46-42=42-6.（2）在Rt△BDE 中，∵∠BED =90°，∠BDE =75°，DE =AC =7米， ∴BE =DE ²tan∠BDE =DE ²tan75°. ∵tan75°=tan（45°+30°） =︒⋅︒︒+︒tan30tan45-1tan30tan45=331-1331⨯+=2+3，∴BE =7（2+3）=14+73，∴AB =AE +BE =1.62+14+73≈27.7（米）. ∴乌蒙铁塔的高度约为27.7米. 8.解:（1）①3； ②47≤x <49. 【解法提示】如果＜2x -1＞=3，可得3-21≤2x -1＜3+21, 解得：47≤x <49. （2）0.6;0.7.【解法提示】说明：设x =n +a ，其中n 为x 的整数部分（n 为非负整数），a 为x 的小数部分（0≤a ＜1）. 分两种情况： （Ⅰ）当0≤a ＜21时，有＜x ＞=n , ∵x +y =（n +y ）+a ，这时（n +y ）为（x +y ）的整数部分，a 为（x +y ）的小数部分，∴＜x +y ＞=n +y , 又＜x ＞+y =n +y , ∴＜x +y ＞=＜x ＞+y . （Ⅱ）当21≤a ＜1时，有＜x ＞=n +1, ∵x +y =（n +y ）+a ,这时（n +y ）为（x +y ）的整数部分，a 为（x +y ）的小数部分， ∴＜x +y ＞=n +y +1,又＜x ＞+y =n +1+y =n +y +1, ∴＜x +y ＞=＜x ＞+y .综上所述：＜x +y ＞=＜x ＞+y ，∴x 可取0.6，y 取0.7（x 可取0.4，y 取0.4，答案不唯一）.（3）设34x =k （k 为非负整数），则x =43k ，根据题意可得： k -21≤43k <k +21， 即-2<k ≤2，∵k 为非负整数， ∴k =0，1，2， ∴x =0，43,23. 9.解:（1）①∵B 为y 轴上的一个动点， ∴设点B 的坐标为（0，y ）. ∵|-21-0|=21≠2， ∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2.∴点B 的坐标是（0，2）或（0，-2）. ②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为21. （2）如解图，取点C 与点D 的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|，即AC =AD .∵C 是直线y =43x +3上的一个动点，点D 的坐标是（0，1）， ∴设点C 的坐标为（x 0，43x 0+3），∴-x 0=43x 0+2，此时，x 0= -78，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=78，此时C （-78，715）.第9题。

类型一探索图形累加规律1. (2017天水改编)观察下列的“蜂窝图”．第1题图则第n个图案中“”的个数是( )A. 2nB. 3nC. 3n－1D. 3n＋12. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，其中第1个图形中有4个白色纸片，第2个图形中有7个白色纸片，第3个图形中有10个白色纸片，…，按此规律，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )第2题图A. 671B. 672C. 673D. 6743. (2017重庆八中模拟)如图，下列图形是按一定规律排列的，第一个图形有5条线段，第二个图形有20条线段，第三个图形有35条线段，…，依照此规律，第八个图形有( )条线段( )第3题图A. 95B. 110C. 125D. 1304. (2017临沂改编)将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，其中第1个图形中有1个“○”，第2个图形中有3个“○”，第3个图形中有6个“○”，第4个图形中有10个“○”，按照此规律，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是( )第4题图A. 11B. 12C. 13D. 145. (2017重庆指标到校卷)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形有9颗棋子，第③个图形有18颗棋子，…，则第⑦个图形中棋子的颗数为( )第5题图A. 63B. 84C. 108D. 1526. (2017重庆一外二模)如图是用长度相等的火柴棒按一定规律构成的图形，其中图①中有火柴棒3根，图②中有火柴棒6根，图③中有火柴棒10根，图④中有火柴棒15根，…，按此规律，则图⑧中，火柴棒的根数是( )第6题图A. 43B. 44C. 45D. 467. (2017重庆南开模拟)如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如图①由1个正方体叠成，图②由4个正方体叠成，图③由10个正方体叠成，依此规律，图⑥由( )个正方体叠成( )第7题图A. 36B. 37C. 56D. 848. (2017牡丹江改编)下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，第5个图形的周长为( )第8题图A. 40B. 38C. 36D. 349. (2017潍坊改编)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…；按照此规律，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为( )第9题图A. 72B. 75C. 78D. 8110. 将一些完全相同的梅花按如图所示规律摆放，图①有5朵梅花，图②有8朵梅花，图③有13朵梅花，…，按此规律，则图⑪的梅花朵数是( )第10题图A. 121B. 125C. 144D. 14811. 如图，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，图①中有7个棋子，图②中有9个棋子，图③中有11个棋子，图④中有13个棋子，按照这种规律，第⑯个“广”字中的棋子个数是( )第11题图A. 37B. 39C. 43D. 4712. (2017黔西南州)如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是( )第12题图A. 71B. 78C. 85D. 8913. (2017重庆巴蜀三模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中空心小圆圈的个数为( )第13题图A. 46B. 61C. 76D. 7814. 用棋子按下列方式摆图形，第1个图形有1枚棋子，第2个图形有5枚棋子，第3个图形有11枚棋子，…，依此规律，第7个图形棋子的个数为( )第14题图A. 55B. 57C. 69D. 7115. (2017重庆九龙坡区适应考试)如图所示，每个图案都由若干个“”组成，其中第①个图案中有4个，第②个图案中有9个，第③个图案中有16个，第④个图案有25个，…，则第⑨个图案中的个数为( )第15题图A. 90B. 99C. 100D. 11116. (2017重庆沙坪坝区校级一模)下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，第③个图形中一共有16个矩形，…，按此规律，第⑧个图形中矩形的个数为( )第16题图A. 30B. 36C. 41D. 4517. (2017德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图①)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…，将这种做法继续下去(如图②、图③…)，则图⑥中挖去三角形的个数为( )第17题图A. 121B. 362C. 364D. 729答案1. D 【解析】由题意可知：每个图案都比前一个多出了3个“”，∴第n 个图案中“”的个数为：4＋3(n －1)＝3n ＋1.2. B 【解析】∵第1个图案中白色纸片有4＝1＋1×3张；第2个图案中白色纸片有7＝1＋2×3张；第3个图案中白色纸片有10＝1＋3×3张；…，∴第n 个图案中白色纸片有1＋n ×3＝3n ＋1(张)，根据题意得：3n ＋1＝2017，解得n ＝672.3. B 【解析】观察图形发现第一个图形有5条线段；第二个图形有5＋15＝20条线段；第三个图形有5＋15×2＝35条线段；…，第八个图形有5＋15×7＝110条线段．4. B 【解析】由每个图形中小圆的个数规律可得第n 个图形中小圆的个数为n （n ＋1）2，由此可得方程n （n ＋1）2＝78，解得n ＝12. 5. B 【解析】第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有3＋6＝9颗棋子，第③个图形一共有3＋6＋9＝18颗棋子，第④个图形一共有3＋6＋9＋12＝30颗棋子，…，第⑧个图形一共有3＋6＋9＋…＋24＝3×(1＋2＋3＋4＋…＋7)＝84颗棋子．6. C 【解析】分析可得：图①中，有3根火柴．图②中，有3＋3＝6根火柴．图③中，有3＋3＋4＝10根火柴．…；图⑧中，共用火柴的根数是3＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.7.C【解析】图①由1个正方体叠成，图②由1＋(1＋2)＝4个正方体叠成，图③由1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10个正方体叠成，图④由1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1＋2＋3＋4)＝20个正方体叠成，以此类推，图⑥由1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3＋4＋5)＋(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝56个正方体叠成．8.A【解析】第1个图形的周长为2×1＋2＝4，第2个图形的周长为2×2＋2×(1＋2)＝10，第3个图形的工为2×3＋2×(1＋2＋3)＝18，以此类推，第5个图形的周长为2×5＋2×(1＋2＋3＋4＋5)＝40.9.B【解析】规律如下表：故第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为1＋5n＋2＋4n＝3＋9n.∴第8个图中正方形和等边三角形个数之和为8×9＋3＝75.10.B【解析】∵每个图形外围均有4朵梅花，中间梅花朵数依次为1，4，9，…，即12，22，32，…，∴第11个图形中间梅花朵数为112＝121，∴图⑪共有梅花朵数＝121＋4＝125.11.A【解析】第①个“广”字中棋子的个数1＋3＋3＝7，第②个“广”字中棋子的个数1＋4＋4＝9，第③个“广”字中棋子的个数1＋5＋5＝11，第④个“广”字中棋子的个数1＋6＋6＝13，依此规律，第n个“广”字中棋子的个数为1＋(n＋2)×2＝2n＋5，则第⑯个“广”字中棋子的个数为2×16＋5＝37.12.D【解析】第1个图形共有小正方形的个数为2×2＋1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3＋2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4＋3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为(n＋1)2＋n，∴第8个图形共有小正方形的个数为：9×9＋8＝89.13.B【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3－5＋3×2＝13个；…，第n个图形中空心小圆圈个数为：4n－(n＋2)＋(n－1)n＝n2＋2n－2个；∴第⑦个图形中空心小圆圈的个数为：72＋7×2－2＝61个．14.A【解析】第一个图形有1枚棋子，第二个图形有2＋2＋1＝5枚棋子，第三个图形有3＋3＋3＋2＝11枚棋子，第四个图形有4＋4＋4＋4＋3＝19枚棋子，…，∴第n个图形有n2＋(n－1)枚棋子．当n＝7时，n2＋(n－1)＝72＋(7－1)＝55.15.C【解析】第①个图案中有4个“”，4＝22，第②个图案中有9个“”，9＝32，第③个图案中有16个“”，16＝42，第④个图案有25个“”，25＝52，依此规律，第⑨个图案中“”的个数为(9＋1)2＝100.16.C【解析】∵图①矩形有6个＝5×1＋1，图②矩形有11个＝5×2＋1，图③矩形有16个＝5×3＋1，∴第n个图形矩形的个数是5n＋1，当n＝8时，5×8＋1＝41个．17.C【解析】观察图形可知，图①中挖去1个小三角形，图②中挖去1＋3×1＝4个小三角形，图③中挖去1＋3＋3×3＝13个，图④中挖去的三角形个数为1＋3＋32＋33个，第n个图形中，挖去的三角形个数为1＋31＋32＋33＋…＋3n－1，则图⑥中挖去的三角形个数为1＋3＋32＋33＋34＋35＝364个．。

目录题型一规律探索题 (2)类型一探索图形累加规律 (2)类型二探索图形循环规律 (13)拓展类型数式规律 (16)题型一规律探索题类型一探索图形累加规律针对演练1. (2016荆州改编)下列图形是将黑白两种颜色的菱形纸片按一定的规律排列组成，第1个图形有4张白色纸片，第2个图形有7张白色纸片，第3个图形有10张白色纸片，…，依此规律，则第12个图形中白色纸片的个数为()第1题图A. 34B. 37C. 42D. 462. (2016重庆八中初三(下)第三次月考)下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑧个图案用火柴棒的根数为()第2题图A. 33B.32C. 31D. 303. (2015重庆B卷)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是()第3题图A.32B. 29C. 28D. 264. (2014重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()第4题图A. 22B. 24C. 26D. 285. 如图，下列图形是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第①个图形的周长为6，第②个图形的周长为8，第③个图形的周长为10，第④个图形的周长为12，按照这样的规律来摆放，则第⑧个图形的周长为()第5题图A. 18B. 19C. 20D. 216. (2016天水改编)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，其中图①中“○”的个数为5个，图②中“○”的个数为7个，图③中“○”的个数为11个，图④中“○”的个数为17个，…，若图○,n)中有245个“○”，则n ＝()第6题图A. 10B. 12C. 14D. 167. (2016重庆外国语学校二诊)下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第(1)个图案需4根小木棒，拼搭第(2)个图案需10根小木棒，…，依此规律，拼搭第(6)个图案需小木棒的根数是()第7题图A. 53B. 54C. 55D. 568. (2016重庆江津中学初三下半期考试)用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第⑬个图案需要的黑色五角星的个数是（）第8题图A. 18B. 19C. 21D. 229. (2016重庆十一中一诊)下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第④个图形中所有正三角形的个数有()第9题图A. 160B. 161C. 162D. 16310. (2016重庆巴蜀一诊)如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6 cm2，第②个图形的面积为18 cm2，第③个图形的面积为36 cm2，…，那么第⑥个图形的面积为()第10题图A. 84 cm2B. 90 cm2C. 126 cm2D. 168 cm211. (2016重庆西大附中第九次月考)下列图形都是用同样大小的♥按一定规律组成的，则第(8)个图形中♥共有()第11题图A. 80个B. 73个C. 64个D. 72个12. (2016重庆一中三模)如图所示，图①中含“〇”的矩形有1个，图②“〇”的矩形有7个，图③中含“〇”的矩形有17个，按此规律，图⑥中含“〇”的矩形个数为()A. 70B. 71C. 72D. 7313. (2016大渡口区诊断性检测)如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要棋子的枚数为()第13题图A. 115B. 122C. 127D. 13914. (2016重庆一中二模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为()第14题图A. 61B. 63C. 76D. 7815. (2016重庆巴蜀中学保送生考试)如图，各图都由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有一个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为()第15题图A. 60B. 61C. 62D. 6316. (2016重庆一中第一次定时作业)已知四边形ABCD对角线相交于点O，若在线段BD上任意取一点(不与点B、O、D重合)，并与A、C连接，如图①，则三角形个数为15个；若在线段BD上任意取两点(不与点B、O、D重合)，如图②，则三角形个数为24个；若在线段BD上任意取三点(不与点B、O、D重合)，如图③，则三角形个数为35个；…；以此规律，则图⑤中三角形的个数为()第16题图A. 48B. 56C. 61D. 6317. (2016徐州)如图，每个图案都由大小相同的正方形组成．按照此规律，第n 个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第17题图18. (2016安顺改编)观察下列砌钢管的横截面图：第18题图则第5个图形中钢管数为________个．19. 如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中花盆的个数为6个，第2个图案中花盆的个数为12个，第3个图案中花盆的个数为20个，…，则第8个图案中花盆的个数为________．第19题图20. (2016龙岩改编)用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图①几何体表面积为6，图②几何体表面积为18，则图④中所示几何体的表面积为________．第20题图答案类型一探索图形累加规律1. B【解析】每个图形中白色纸片的个数依次是4，7，10，13，….那么，第n个图形中白色纸片的个数为3n＋1，∴第12个图形中白色纸片的个数为3×12＋1＝37.2.A【解析】∵图①用了5根火柴，即5＝5＋4×0；图②用了9根火柴，即9＝5＋4×1；图③用了13根火柴，即13＝5＋4×2；…；以此规律，第○n个图形中，火柴的根数为5＋4(n－1)，故第⑧个图案用火柴棒的根数为5＋4×(8－1)＝33.3.B【解析】图①有2＋3×0＝2个黑色正方形；图②有2＋3×1＝5个黑色正方形；图③有2＋3×2＝8个黑色正方形；图④有2＋3×3＝11个黑色正方形，…，按照这个规律，图○n有2＋3(n－1)个黑色正方形，故图⑩一共有2＋3×9＝29个黑色正方形．4.C【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1－4＝2；第二个图形中有8个三角形：6×2－4＝8；第三个图形中有14个三角形：6×3－4＝14；…；第n个图形中三角形的个数为：6n－4，故第五个图形中三角形的个数为：6×5－4＝26.5. C【解析】第①个图形的周长为6＋0×2＝6，第②个图形的周长为6＋1×2＝8，第③个图形的周长为6＋2×2＝10，第④个图形的周长为6＋3×2＝12，…，依此规律，可知第○n个图形的周长为6＋(n－1)×2，所以第⑧个图形的周长为6＋7×2＝20.6. D【解析】图①中有1×(1－1)＋5＝5个“○”，图②中有2×(2－1)＋5＝7个“○”，图③中有3×(3－1)＋5＝11个“○”，图④中有4×(4－1)＋5＝17个“○”，…，据此得出：图○n中有n(n－1)＋5个“○”，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n 1＝16，n 2＝－15(不合题意，舍去)．7. B 【解析】观察图形可知，每个图案都是由横排小木棒和纵排小木棒搭建而成，且横排和纵排数相同，其中第(1)个图案有2横排，每排有1个小木棒；第(2)个图案有3横排，每排的小木棒个数分别为2，2，1；第(3)个图案有4横排，每排的小木棒个数分别为3，3，2，1；第(4)个图案有5横排，每排的小木棒个数分别为4，4，3，2，1，…；由此可推测第(n )个图案共有n ＋1横排，每排木棒个数分别为n ，n ，n －1，n －2，…，2，1，故第(6)个图案共有7横排，每排的小木棒个数分别为6，6，5，4，3，2，1，共有27根，则对应的纵排也有27根小木棒，则搭建第(6)个图案共需要小木棒54根．8. C 【解析】观察图形可以发现图①中黑色五角星的个数为1＋2＝3，图②中黑色五角星个数为1＋2＋1＝4，图③中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＝6，图④中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＝7，图⑤中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＋2＝9，…，则图○n 中，当n 为奇数时，黑色五角星个数为2)1(3+n ，当n 为偶数时，黑色五角星个数为123+n ，∴第⑬个图案需要的黑色五角星的个数为3×（13＋1）2＝21个． 9. B 【解析】第①个图形中正三角形的个数为：1＋4，第②个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4，第③个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4，…，第○n 个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4＋…＋3n －1×4，∴第④个图形中正三角形的个数为1＋4＋3×4＋9×4＋34－1×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161.10. C 【解析】∵所有的小矩形都是大小相同的，第①个图形是由2个小矩形组成，面积为6，∴每个小矩形的面积是3，∵第①个图形中有2个小矩形，第②个图形中有6个小矩形，第③个图形中有12个小矩形，12＝2＋4＋6＝2×(1＋2＋3)，第④个图形中有20个小矩形，20＝2＋4＋6＋8＝2×(1＋2＋3＋4)，则第○n个图形中有2×(1＋2＋…＋n)个小矩形，故第⑥个图形中小矩形的个数为2×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝42个，则其面积为42×3＝126 cm2.11. A【解析】第(1)个图形中♥的个数为3＝22－1；第(2)个图形中♥的个数为8＝32－1；第(3)个图形中♥的个数为15＝42－1；第(4)个图形中♥的个数为24＝52－1；…，于是，第(n)个图形中♥的个数为(n＋1)2－1，所以第(8)个图形中♥的个数为92－1＝80(个)，故选A.12.B【解析】图①中含“○”的矩形有1＝2×12－1个，图②中含“○”的矩形有7＝2×22－1个，图③中含“○”的矩形有17＝2×32－1个，…，按此规律，则图○n中含“○”的矩形个数为2n2－1，所以图⑥中含“○”的矩形有2×62－1＝71个，故选B.13. C【解析】由题意可知，摆第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，摆第2个图案需要19＝1＋6＋6×2枚棋子，摆第3个图案需要37＝1＋6＋6×2＋6×3枚棋子，…，则摆第n个图案需要1＋6＋6×2＋6×3＋…＋6n＝3n(n＋1)＋1枚棋子，所以摆第6个图案需要：3×6×(6＋1)＋1＝127枚棋子，故选C.14. A【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3－5＋3×2＝13个；…，依此规律，第○n个图形中空心小圆圈个数为：4n－(n＋2)＋n(n－1)，∴第⑦个图形中空心小圆圈个数为：4×7－9＋7×6＝61个．15.B【解析】∵第①个图形中菱形个数为02＋12＝1个；第②个图形中菱形个数为12＋22＝5个；第③个图形中菱形个数为22＋32＝13个；第④个图形中菱形个数为32＋42＝25个，…，依此规律第○n个图形中菱形个数为(n－1)2＋n2个，∴第⑥个图形中菱形个数为52＋62＝61个．16. D【解析】在图①中，线段BD上共有4个点，所得三角形的个数共15个，15＝16－1＝42－1；图②中，线段BD上共5个点，所得三角形的个数共24个，24＝25－1＝52－1；图③中，线段BD上共6个点，所得三角形的个数共35个，35＝36－1＝62－1，…，由此可猜想，图○n中，线段BD上共有n ＋3个点，所得三角形的个数为(n＋3)2－1，∴图⑤中三角形的个数为(5＋3)2－1＝63.17. n(n＋1)【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的小正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的小正方形的个数为n(n＋1)．18. 45【解析】根据题意，可得序号 1 2 3 4钢管数 3 9 18 30找规律3×1 3×3＝3×(1＋2)3×6＝3×(1＋2＋3)3×10＝3×(1＋2＋3＋4)综上可知，第5个图形中钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋5)＝3×15＝45个．19. 90【解析】观察可得，第1个图案：正三角形每条边上有3个花盆，共计32－3个花盆；第2个图案：正四边形每条边上有4个花盆，共计42－4个花盆；第3个图案：正五边形每条边上有5个花盆，共计52－5个花盆；…；由此可知第n个图案：正（n＋2）边形每条边上有（n＋2）个花盆，共计(n＋2)2－(n ＋2)个花盆，则第8个图案中花盆的个数为(8＋2)2－(8＋2)＝90.20. 60【解析】图①几何体的表面积为：6＝6×1；图②几何体的表面积为：18＝6×(1＋2)；图③几何体的表面积为：6×(1＋2＋3)＝36.由此规律得，图④几何体的表面积为：6×(1＋2＋3＋4)＝60.类型二探索图形循环规律针对演练1. 如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 m，一个微型机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2017 m 停下，则这个微型机器人停在()第1题图A. A点B. B点C. C点D. E点2.(2016重庆八中强化训练一)将正六边形ABCDEF的各边按如图所示延长，从射线F A开始，分别在各射线上标记点O1，O2，O3，…，按此规律，则点O2016所在射线是()第2题图A. ABB. DEC. BCD. EF3. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2017个梅花图案中，共有________个“”图案．第3题图4. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1, 1），B（-1, 1），C（-1, -2），D （1, -2），把一根长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在矩形ABCD的边上，则细线的另一端落在________线段上第5题图答案类型二探索图形循环规律1. B【解析】∵两个全等的等边三角形的边长为1 m，∴机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6 m，∵2017÷6＝336……1，即正好行走了336圈多1米，到第二个点，∴行走2017 m 停下，则这个微型机器人停在B点．2. C【解析】观察图形可知12个点依次排列在射线F A、CD、AB、DE、BC、EF、CD、F A、DE、AB、EF、BC上，依此规律循环，又因2016÷12＝168，则点O2016在第12条射线BC上，故选C.3. 505【解析】观察题图可知，“”图案方向依次向上、向右、向下、向左，每四个图案为一个循环周期．∵2017÷4＝504……1，∴前2017个梅花图案中，共有505个“”图案．4. 3【解析】观察可知，点数3与点数4相对，点数2与点数5相对，且循环周期为4. ∵2014÷4＝503……2，∴滚动2014次后与第二次相同，∴骰子朝下一面的点数为3.5.CD【解析】∵矩形四个顶点的坐标分别为：A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∴矩形的周长为2＋3＋2＋3＝10，则循环一周所需的单位长度是10，∵2016÷10＝201……6，∴细线的另一端落在绕矩形第202圈的第6个单位长度的位置，即是点C与点D的中间位置，即在线段CD上．拓展类型数式规律针对演练1. (2016张家界)观察下列等式：71＝7，72＝42＋92＝97，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是() A. 9 B. 7 C. 6 D. 02. (2016丹东)观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．3. (2016贵港)已知a1＝tt－1，a2＝11－a1，a3＝11－a2，…，a n＋1＝11－a n(n为正整数，且t≠0，1)，则a2016＝________(用含有t的代数式表示)．4. (2016泉州)指出下列各图形中数的规律，依此，a的值为________．第4题图5. (2016南宁)观察下列等式：第1层1＋2＝3第2层4＋5＋6＝7＋8第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第________层．答案拓展类型 数式规律1. D 【解析】根据题意，7的幂的最终结果的末位数字是以7，9，3，1为循环，其和结果的末位数字是0，因为2016÷4＝504，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.2. －12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝22＋12，－103＝－32＋13，174＝42＋14，－265＝－52＋15，…，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211. 3. t 1【解析】∵a 1＝1-t t ，a 2＝111--t t ＝1－t ，a 3＝t +-111＝t 1，a 4＝t 111-＝1-t t ，…，∴每3个一次循环，∵2016÷3＝672，∴a 2016的值为t1. 4. 226 【解析】观察可得：2＝1×0＋2，10＝2×3＋4，26＝4×5＋6，50＝6×7＋8，…，可以得到规律：右下角三角形中的数字等于左下角三角形中的数字与正上方三角形中数字的积加上中间三角形中的数字，故a ＝14×15＋16＝226.5. 44 【解析】根据题中给出的式子，观察得出规律，第一层第一个数为12，第2层第一个数为22，第3层第一个数为32，…，∵442＝1936，452＝2025，且442＜2016＜452，∴2016位于第44层．。

重庆市2016年初中毕业暨高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】2102-<-<<，∴最小的数为-2，故选A.【考点】实数的大小比较2.【答案】D【解析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.A ，B ，C 不是轴对称图形；D 选项是轴对称图形，故选D.【考点】轴对称图形3.【答案】B【解析】32325a a a a +⋅==，故选B.【考点】同底数幂的乘法4.【答案】B【解析】A ，C ，D 选项调查范围较大，不适宜全面调查，只有B 选项范围小，操作容易，适宜采用普查方式，故选B.【考点】全面调查，抽样调查5.【答案】C 【解析】AB ∥CD ，1018DFE ∴=∠+∠︒.又280DFE ∠=∠=︒，118018080100DFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选C.【考点】对顶角相等，平行线的性质6.【答案】B【解析】当2a =，1b =-时，2322322313()a b ⨯-++=++=-+=，故选B.【考点】求代数式的值7.【答案】D【解析】分式有意义的条件是分母不等于0，故20x +≠，所以2x ≠-，故选D.【考点】函数自变量的取值范围8.【答案】C【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比，△ABC 与△DEF 的相似比为1:4，则周长比也为1:4，故选C.【考点】相似三角形的性质9.【答案】A【解析】AB 为直径，90ACB =∴∠︒，AC BC =，ACB ∴△为等腰直角三角形，OC AB ∴⊥，∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，AOC BOC S S =∴，1OA =， 29013604AOC S S ππ===⨯⨯∴阴影部分扇形，故选A. 【考点】扇形面积的计算10.【答案】D 【解析】通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为2(12)21=42+⨯+；第二个图形为 2(13)22=102+⨯+；第三个图形为2(14)23=192+⨯+；第四个图形为2(15)24=312+⨯+；……，所以第n 个 图形为2(n+2)(n+1)+n 2.当n=7时，2(72)(71)7=852+⨯++，故选D. 【考点】规律性，图形的变化11.【答案】A【解析】如图所示，过点B 作BF AE ⊥于点F ，则FE =BD =6米，DE =BF .斜面AB 的坡度1:2.4i =，2.4AF BF =∴，设BF x =米，则 2.4AF x =米，在Rt ABF △中，由勾股定理得222(2.4)13x x +=，解得5x =，5DE BF ∴==米，12AF =米，12618AE AF FE =+∴=+=(米).在Rt ACE △中，tan36180.713.143AE CE ⋅⨯==︒≈(米)，∴13.1458.1CD CE DE =≈-=-(米)，故选A.【考点】直角三角形的应用12.【答案】B 【解析】化简127)330x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩（，，得1.x x a ≥⎧⎨<⎩，.不等式组127)330x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩（，，无解，1a ∴≤.解方程2133x a x x --=---，得5(3)2a x x -=≠，5(3)2a x x -=≠为整数，1a ≤，3a ∴=-或1，∴所有满足条件的a 的值之和是-2，故选B.【考点】解分式方程，解一元一次不等式组第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】46.0510⨯【解析】46.056050010⨯=.【考点】科学计数法14.【答案】30(2)213-=+=.【考点】实数的运算15.【答案】60 【解析】111206022ACB AOB ∠=∠=⨯︒=︒. 【考点】圆周角定理16．【答案】16【解析】根据题意画树状图如下由树形图可知，共有12种情况.正比例函数y =kx 的图像经过第三、第一象限，0k ∴>，k mn =，0mn ∴>，∴符合条件的情况共有2种，∴正比例函数y =kx 的图像经过第三、第一象限的概率是21=126. 【考点】概率公式，正比例函数的图像17．【答案】175【解析】根据题意得甲的速度为7530=2.5÷(米/秒)，观察图形可知，乙出发18030150-=秒后，追上了甲.设乙的速度为m 米/秒，则( 2.5)15075m -⨯=，解得3m =，则乙的速度为3米/秒，乙到终点时所用的时间为1500=5003(秒)，此时甲走的路程是2.5(50030)=1325⨯+(米)，甲距终点的距离是150********-=(米).【考点】一次函数的应用，数形结合思想的应用18． 【解析】如图，连接EB ，'EE ，过点E 作EM AB ⊥于点M ，'EE 交AD 于点N .四边形ABCD 是正方形，AB BC CD DA ===∴，AC BD ⊥，AO OB OD OC ===，45DAC CAB ∠=∠=︒.根据对称性，△ABE ≌△ADE ≌△'ADE ，'DE DE ∴=，'AE AE =，∴AD 垂直平分'EE ，'EN NE ∴=，45NAE NEA MAE MEA ∠=∠=∠=∠=︒，2AE =∴AM =EM =EN =AN =1.ED 平分ADO ∠，EN DA ⊥，EO DB ⊥，1EN EO ∴==，1AO =，2AB ∴==+11(212AEB AED ADE S S S ∴===⨯⨯=.21BDE ADB AEB S S S =-=DF EF =，12EFB S ∴=，''221DEE ADE AEE S S S ∴=-=，''12122DFE DEE S S ==，∴'2ADE DFE AEFE S S S =-=四边形''AEB EFB ABFE AEFE S S S S ∴=++=四边形四边形【考点】正方形的性质，翻折变换，全等三角形的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质三、解答题19.【答案】证明：CE ∥DF ，ACE D ∴∠=∠.在△ACE 和△FDB 中，EC BD =，ACE D ∠=∠，AC FD =，∴ACE FDB ≌△△AE FB ∴=.【考点】全等三角形的判定与性质20.【答案】(1)补全条形统计图，如图所示.七年级部分学生阅读中外名著本数条形统计图(2)被抽查学生阅读中外名著的总本数的平均数为520630735835=6.45100⨯+⨯+⨯+⨯(本).七年级800名学生阅读中外名著的总本数约为6.45800=5160⨯(本).【考点】条形统计图，用样本估计总体21.【答案】(1)2a(2)-1x x【解析】解：(1)原式222=22a ab b ab b ++--2=a(2)原式22(1)(1)1=1(1)x x x x x x x -++-+⋅+- 2211=1(1)x x x x x x -++⋅+- 2(1)1=1(1)x x x x x -+⋅+- 1=x x- 【考点】整式的运算，分式的运算22.【答案】(1)12(2)112y x =-+【解析】解：(1)AH ⊥y 轴于点H ，90AHO ∴∠=︒. 4tan 3AH AOH OH ∠==，OH =3，∴AH =4.在Rt △AHO 中，5OA ===. ∴△AHO 的周长为3+4+5=12.(2)由（1）知，点A 的坐标为(-4，3)，点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图像上， 3=4k ∴-.12k ∴=-. ∴反比例函数的解析式为12y x=-. 点B (m ，-2)在反比例函数12y x=-的图像上， 122m∴-=-.6m ∴=.∴点B 的坐标为(6，-2).点A (-4，3)，B (6，-2)在一次函数(0)y ax b a =+≠的图像上，436 2.a b a b -+=⎧∴⎨+=-⎩， 解这个方程组，得121.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为112y x =-+. 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的周长23.【答案】(1)设2016年年初猪肉价格每千克为x 元.根据题意，得2.5(160)100x ⨯+≥％.解这个不等式，得25x ≥.故2016年年初猪肉的最低价格为每千克25元.(2)设5月20日该超市猪肉的销售量为1，根据题意，得13140(1)40(1)(1)40(1)4410a a a a ⨯++-⨯+=+％％％％. 令a y =％，原方程可化为13140(1)40(1)(1)40(1)4410y y y y ⨯++-⨯+=+. 整理这个方程，得250y y -=.解这个方程，得10y =，20.2y =.所以10a =(不合题意，舍去)，220a =.答：a 的值是20.【考点】一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用24.【答案】(1)证明：对任意一个完全平方数m ，设2m n =(n 为正整数).0n n -=，n n ∴⨯是m 的最佳分解.∴对任意一个完全平方数m ，总有()1n F m n==. (2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为't ，则'10t y x =+.t 为“吉祥数”，'(10)(10)9()18t t y x x y y x ∴-=+-+=-=.19x y ≤≤≤，x ，y 为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79.1(13)13F ∴=，42(24)=63F =，5(35)7F =，2(46)23F =，3(57)19F =，4(69)17F =，1(79)79F =. 5243211731719231379>>>>>>， ∴所有“吉祥数”中()F t 的最大值是57. 【考点】实数的运算25.【答案】(1)过点A 做AH BC ⊥于点H .90AHB AHC ∴∠=∠=︒.在Rt △AHB 中，2AB =45B ∠=︒，cos 22BH AB B ∴=⋅==.sin 2AH AB B ∴=⋅==. 在Rt △AHC 中，=30C ∠︒，24AC AH ∴==.cosC 4CH AC ∴===2BC BH CH ∴=+=+.(2)证明：AG AD ⊥，90DAF EAG ∴∠=∠=︒.在Rt △DAF 和Rt △GAE 中，AF AE =，DF GE =，Rt ∴△DAF Rt ≅△GAE ，AD AG ∴=.过点A 作AP AB ⊥交于BC 于点P ，连接PG .90BAP ∴∠=︒，即90BAD DAP ∠+∠=︒.90DAG ∠=︒，即90DAP PAG ∠+∠=︒.BAD PAG ∴∠=∠又45B ∠=︒，=90BAP ∠︒，45APB B ∴∠=∠=︒.AB AP ∴=.在ABD 和APG 中，AB AP =，BAD PAG ∠=∠，AD AG =，∴△ABD ≅△APG .BD PG ∴=，B APG ∠=∠.45APG ∴∠=︒.454590BPG APB APG ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.90CPG ∴∠=︒.在Rt △CPG 中，30C ∠=︒.12PG CG ∴=. 12BD CG ∴=.(3)AB CG =【考点】全等三角形的判定和性质，锐角三角形函数等26.【答案】(1)△ABC 为直角三角形.理由如下：当y =0时，即21303x x -+=，解这个方程，得1x =2x =.∴点A (0)，B (0).OA ∴=OB =当x =0时，y =3，∴点C (0，3)，3OC ∴=.在Rt △AOC 中，22222312AC OA OC =+=+=.在Rt △BOC 中，22222336BC OB OC =+=+=.又2248AB ⎡⎤==⎣⎦， 1236=48+，222AC BC AB ∴+=.△ABC 为直角三角形.(2)如图1，点B (0)，C (0，3).图1∴直线BC 的解析式为3y =+. 过点P 做PG ∥y 轴交直线BC 于点G .设点P (a ，21333a -++)，则点G (a ，33+)，21(3)(3)3PG a ∴=-++-+21=3a -+. 设D 点横坐标为D x ，C 点横坐标为C x .1()2PCD D C Sx x PG =⨯-⨯211()23a =-23=()a0a <<∴当a PCD 的面积最大，此时点P ，154).如图1，将点P 'P ，连接'AP 交y 轴于点N ，过点N 做NM ⊥抛物线对称轴于点M ，连接PM .点Q 沿P M N A →→→运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM +MN +NA 的长.又点A (0)，∴ 直线'AP 的解析式为562y x =+. 当x =0时，52y =，点N (0，52). 过'P 作'P H ⊥x 轴于点H ，则有HA =，15'4P H =，'AP =.∴点Q 运动的最短路径的长为PM MN AN +++(3)如图2，在Rt △AOC 中，图2tanOC OAC OA ∠===，60OAC ∴∠=︒. 1OA OA =，1OAA ∴为等边三角形，1=60AOA ∠︒. 130BOC ∠=︒.又由13OC OC ==，得点1C ，32).点A (0)，E 4)，AE ∴=.''A E AE ∴==直线AE 的解析式为2y +，设点'E (a 2+)，则点A (a -2-).22213'(2)2C E a ∴=++-27=73a -+22213A'(2)2C a =-+--27=493a + 若1'''C A A E =，则有221'''C A A E =，即22777=4933a a -++.解这个方程，得a =∴点'E ，5) 若1'''A C A E =，则有221'''A C A E =即2749=283a -+解这个方程，得1a =，2a .∴点'E 7或7. 若1'''E A E C =，则有221'''E A E C =，即277=283a +.解这个方程，得1a ，2a (舍去).∴点'E，3).综上所述，符合条件的点'E的坐标为(，5)或，7+或(，7或，3+.【考点】直角三角形的判定，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，等腰三角形的性质11 / 11。

二次函数综合题类型一 与线段、周长有关的问题针对演练1. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA-MC |的值最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图 备用图2. （2015珠海）如图，折叠矩形OABC 的一边BC ，使点C 落在OA 边的点D 处，已知折痕BE =55,且OE OD =34.以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l ：y = -161x 2+21x +c 经过点E ，且与AB 边相交于点F . （1）求证：△ABD ∽△ODE ;（2）若M 是BE 的中点，连接MF ，求证：MF ⊥BD ;（3）P 是线段BC 上一动点，点Q 在抛物线l 上，且始终满足PD ⊥DQ ，在点P 运动过程中，能否使得PD =DQ ？若能，求出所有符合条件的Q 点坐标；若不能，请说明理由.第2题图3. （2015孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过A ，C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）在AC 上方的抛物线上有一动点P .①如图①，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点D ，当线段PD 取得最大值时，求出点P 的坐标；②如图②，过点O ，P 的直线y =kx 交AC 于点E ，若PE ∶OE =3∶8，求k 的值.图① 图②第3题图4. （2015天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝-21x 2+bx +c (b 、c 为常数)的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，-1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限.(1)如图，若抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的解析式;(2)平移（1）中的抛物线，使顶点P 在AC 上并沿AC 方向滑动距离为2时，试证明：平移后的抛物线与直线AC 交于x 轴上的同一点;(3)在（2）的情况下，若沿AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为Q ，取BC 的中点N ，试探究NP +BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.第4题图5. 如图，抛物线y = -21x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ,且OA =2,OC =3. （1）求抛物线的解析式；（2）作Rt△OBC 的高OD ，延长OD 与抛物线在第一象限内交于点E ，求点E 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△BEQ 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，AB ∥OC ,OA =AB =2,OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ，将∠DBC 绕点B 顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 、F.（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ =1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标.第6题图【答案】针对演练1.解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），∴⎩⎨⎧=++=++01039c b c b ，解得⎩⎨⎧==3-4c b ,∴抛物线的解析式为y =x 2-4x +3.（2）令x =0,则y =3,∴点C （0，3），又∵点A (3,0),∴直线AC 的解析式为y = -x +3,设点P （x ,x 2-4x +3）,∵PD ∥y 轴，且点D 在AC 上，∴点D (x ,-x +3),∴PD =(-x +3)-(x 2-4x +3)=-x 2+3x =-(x-23)2+49, ∵a =-1<0,∴当x =23时，线段PD 的长度有最大值，最大值为49. (3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB ，可得：MA ＝MB ，由三角形的三边关系，｜MA -MC ｜<BC ,可得：当M 、B 、C 三点共线时,｜MA -MC ｜最大，即为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0),由B 、C 两点的坐标分别为（1，0）、(0,3), 则⎩⎨⎧==+30b b k ,解得⎩⎨⎧==3-3b k ,∴直线BC 的解析式为y = -3x +3,∵抛物线y =x 2-4x +3的对称轴为直线x =2,∴当x =2时，y=-3×2+3＝－3，∴点M （2，－3），即抛物线对称轴上存在点M （2，－3），使｜MA -MC ｜最大.2.（1）证明：由折叠知∠ADB =90°-∠ODE ＝∠OED ，∵∠EOD ＝∠DAB =90°，∴Rt△ABD ∽Rt△ODE .（2）证明：设OE ＝3k ，则OD ＝4k ，CE ＝DE ＝5k ，AB ＝OC ＝8k ，由Rt△ABD ∽Rt△ODE 可得AD ＝6k ，则OA ＝BC ＝BD ＝10k ，于是BE ＝22)(10)(5k k +=55,解得k ＝1，∵抛物线y ＝-161x 2+21x +c 经过点E （0，3）， ∴c ＝3， 将点A 的横坐标x ＝10代入y ＝-161x 2+21x +3， 得到点F 的坐标为（10，47）， ∴DF ＝22AF AD +＝22476）（+＝425，∵BF ＝AB -FA ＝8-47＝425， ∴DF ＝BF ，又∵∠BDE =90°，M 是BE 的中点， 第2题解图∴MB ＝MD ，∴MF 是线段BD 的中垂线，∴MF ⊥BD .(3)解：能.如解图，令y ＝0，求得抛物线与x 轴交点坐标为H （-4，0），G （12，0）， ①当PD ⊥x 轴时，由于PD ＝8,DG ＝DH ＝8，故点Q 的坐标为（-4，0）或（12，0）时，△PDQ 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形； ②当PD 不垂直x 轴时，分别过P ，Q 作x 轴的垂线，垂足分别为N ，I ，则Q 不与G 重合，从而I 不与G 重合，即DI ≠8,∵PD ⊥DQ ,∴∠QDI =90°-∠PDN ＝∠DPN ，∴Rt△PDN ∽Rt△DQI ,∵PN =8,∴PN ≠DI ,∴Rt△PDN 与Rt△DQI 不全等,∴PD ≠DQ ,另一侧同理可得PD ≠DQ .综上①，②所有满足题设的点Q 的坐标为（-4，0）和（12，0）.3.解：（1）对于直线y =x +4,令x =0，得y ＝4,令y =0，得x =-4,则A (-4,0),C (0,4),代入抛物线解析式得⎩⎨⎧==+404-8-c c b , 解得⎩⎨⎧==4-1c b ，∴抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4. （2）①∵抛物线的解析式为y = -21x 2-x +4， ∴点P (x , -21x 2-x +4), ∵PD ∥y 轴，直线AC 的解析式为y =x +4，∴D （x ,x +4）,∵P 点在AC 的上方，∴PD = -21x 2-x +4-(x +4)= -21（x +2）2+2, ∵-2>-4,∴当x =-2时，线段PD 取得最大值，将x =-2代入y = -21x 2-x +4中得y =4, ∴线段PD 取得最大值时,点P 的坐标为（-2,4）.②过点P 作PF ∥OC 交AC 于点F ，如解图.∵PF ∥OC ,∴△PEF ∽△OEC , ∴OCPF OE PE =.又∵OE PE =83,OC =4,∴PF =23. ∴由 ①得PF ＝（-21x 2-x +4）-(x +4)= 23. 化简得：x 2+4x +3=0,解得x 1= -1,x 2= -3. 当x = -1时，y =29；当x = -3时，y =25. 即满足条件的P 点坐标是（-1，29）或（-3，25）.又∵点P 在直线y =kx 上，∴k = -29或k = -65.第3题解图4.(1)解：设AC 与x 轴的交点为M ，∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,-1),C 的坐标为(4,3),∴直线AC 的解析式为y=x-1，∴直线AC 与x 轴的交点M (1，0).∴OM =OA ，∠CAO =45°.∵△CAB 是等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，∴BC ∥y 轴,又∵∠OMA =45°，∴∠OAB ＝90°，∴AB ∥x 轴,∴点B 的坐标为(4，-1).∵抛物线过A (0，-1)，B (4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=-141621--1c b c ,解得⎩⎨⎧==-12c b ，∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+2x -1.(2)证明：抛物线y = -21x 2+2x -1= -21(x 2-4x )-1=－21 (x －2)2+1,∴顶点P 的坐标为(2，1)，∵抛物线y = -21(x －2)2+1顶点P 平移到直线AC 上并沿AC 方向移动的距离为2，∴其实是先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度,∴平移后的二次函数的解析式为y = -21(x -3)2+2，∵当y =0时，有0= -21(x -3)2+2，解得x 1=1，x 2=5，∴y ＝-21(x -3)2+2过点(1，0)和(5,0)， ∵直线AC 的解析式为y=x-1，∴直线AC 与x 轴的交点坐标为(1，0)，∴平移后的抛物线与直线AC 交于x 轴上的同一点.(3)解：如解图，NP +BQ 存在最小值，最小值为25.理由：取AB 的中点F ，连接FN ，FQ ，作B 点关于直线AC 的对称点B ′，设平移后的抛物线的顶点为P ′.连接BB ′，B ′Q ,BQ ,则BQ ＝B ′Q ,∵抛物线y = -21(x -2)2+1的顶点P (2，1)，A (0,-1)，∴PA =221)(10)-(2++=22,∴抛物线沿AC 方向任意滑动时，P ′Q =22，∵A (0，-1)，B (4，-1)，∴AB 中点F(2，-1)，∵B (4，-1)，C (4，3)，∴N (4，1)，∴FN =22BN BF + =22,∴FN ＝P ′Q ,∵在△ABC 中，F 、N 分别为AB 、BC 的中点，第4题解图∴FN ∥P ′Q ，∴四边形P ′NFQ 是平行四边形，∴NP ′=FQ ,∴NP ′+BQ =FQ +B ′Q ≥FB ′=2242+=25.∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP +BQ 最小，最小值为25.5.解：（1）∵OA =2,∴点A 的坐标为（-2，0）.∵OC =3,∴点C 的坐标为（0，3）.把A （-2，0），C （0，3）分别代入抛物线y = -21x 2+bx +c ,得⎩⎨⎧=+=c cb 32--20，解得⎩⎨⎧==312c b ，∴抛物线的解析式为y ＝-21x 2+21x +3.(2)把y =0代入y = -21x 2+21x +3, 解得x 1=3,x 2=-2,∴点B 的坐标为（3，0），∴OB =OC =3,∵OD ⊥BC ,∴OE 所在的直线为y =x . 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧++==32121-2x x y x y , 解得⎩⎨⎧==2,211y x ⎩⎨⎧=-3=-3 22y x , ∵点E 在第一象限内， 第5题解图∴点E 的坐标为（2，2）.（3）存在，如解图，设Q 是抛物线对称轴上的一点，连接QA 、QB 、QE 、BE ，∵QA =QB ,∴△BEQ 的周长＝BE +QA +QE ,∵BE 为定值，且QA +QE ≥AE ,∴当A 、Q 、E 三点在同一直线上时，△BEQ 的周长最小，由A (-2,0)、E (2，2)可得直线AE 的解析式为y =21x +1, 由（2）易得抛物线的对称轴为x =21, ∴点Q 的坐标为（21，45）, ∴在抛物线的对称轴上，存在点Q （21，45），使得△BEQ 的周长最小. 6.解：(1)由题意得A (0，2)、B (2，2)、C (3，0).设经过A ,B,C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +2(a ≠0),将点B 、C 分别代入得⎩⎨⎧=++=++02392224b a b a , 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3432-b a , ∴抛物线的解析式为y = - 32x 2+ 34x+2.(2)∵y= -32x 2+ 34x +2= -()2132-x +38， 设抛物线的顶点为G ， 则顶点G 的坐标为（1，38）， 过G 作GH ⊥AB ，垂足为H ，如解图①,则AH =BH =1,GH =38-2=32, ∵EA ⊥AB ,GH ⊥AB ,∴EA ∥GH ,∴GH 是△BEA 的中位线,∴EA =2GH =34. 过B 作BM ⊥O C,垂足为M,如解图①,则MB =OA =AB .第6题解图① 第6题解图②∵∠EBF =∠ABM =90°,∴∠EBA =∠FBM =90°-∠ABF .∴Rt△EBA ≌Rt△FBM .∴FM =EA =34. ∵CM =OC -OM =3-2=1, ∴CF =FM +CM =37. (3)如解图②,要使四边形BCPQ 的周长最小，将B 点向下平移一个单位至点K ，取C 点关于对称轴对称的点M ，连接KM 交对称轴于P ，将P 向上平移1个单位至Q ，此时M 、P 、K 三点共线可使KP +PM 最短，则QPKB 为平行四边形，QB =PK ,连接CP ，根据轴对称求出CP =MP ，则CP +BQ 最小，∵CB ，QP 为定值，∴四边形BCPQ 周长最短.∵将点C 向上平移一个单位，坐标为（3，1），再作其关于对称轴对称的对称点C 1， ∴得点C 1的坐标为（-1，1）.可求出直线BC 1的解析式为y =31x +34. 直线y ＝31x +34与对称轴x ＝1的交点即为点Q ，坐标为（1， 35）. ∴点P 的坐标为（1，32）.综上所述，满足条件的P 、Q 两点的坐标分别为（1，32）、（1，35）.题型五 二次函数综合题 类型二 与面积有关的问题针对演练1. （2015桂林）如图，已知抛物线y = -21x 2+bx +c 与坐标轴分别交于点A (0，8)、B (8，0)和点E ,动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动.(1)求抛物线的解析式；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式：当t 为何值时，△CED 的面积最大?最大面积是多少?(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图2. （2015海南）如图①，二次函数y =ax 2+bx +3的图象与x 轴相交于点A （-3，0）、B (1,0)，与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直线GC 交x 轴于点H (3,0)，AD 平行GC 交y 轴于点D .（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD 是正方形；（3）如图②，点M (t ,p )是该二次函数图象上的动点，并且点M 在第二象限内，过点M 的直线y =kx 交二次函数的图象于另一点N .①若四边形ADCM 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数表达式，并写出t 的取值范围； ②若△CMN 的面积等于421，请求出此时①中S 的值.图① 图② 第2题图3. (2015深圳)如图①，关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0，3)，点D 为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在,求出点P;若不存在,请说明理由；（3）如图②，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.图① 图②第3题图4. （2015武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.第4题图【答案】 针对演练1.解：(1)将点A (0，8)、B (8，0)代入抛物线y = -21x 2+bx +c ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=086421-8c b c ,解得⎩⎨⎧==83c b ，∴抛物线的解析式为y = -21x 2+3x +8. (2)∵点A (0,8)、B (8，0)，∴OA =8,OB =8， 令y =0，得 -21x 2+3x +8=0, 解得:x 1=8,x 2=-2,∵点E 在x 轴的负半轴上， ∴点E (-2，0)，∴OE =2，根据题意得：当D 点运动t 秒时，BD =t,OC =t , ∴OD =8-t ,∴DE =OE +OD =10-t ,∴S △CED =21DE ·OC =21 (10-t )·t = -21t 2+5t , 即S = -21t 2+5t =-21 (t -5)2+225, ∴当t =5时，S △CED 最大＝225(3)存在.由(2)知：当t =5时，S △CED 最大＝225∴当t =5时，OC =5,OD =3, ∴C (0,5),D (3,0), 由勾股定理得CD =34,设直线CD 的解析式为：y =kx +b （k ≠0）, 将C (0,5),D (3,0)，代入上式得：⎩⎨⎧=+=0,35b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==535-b k ,∴直线CD 的解析式为 y = - 35x +5,过E 点作EF ∥CD ，交抛物线于点P 1，则S △CED ＝S DCP 1∆， 第1题解图如解图，设直线EF 的解析式为y = -35x +m , 将E (-2，0)代入得：m = -310, ∴直线EF 的解析式为y = -35x -310,将y = -35x -310与y = -21x 2+3x +8联立成方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧8+3+21 -=310 - 35-=2x x y x y , 解得⎩⎨⎧==0-211y x （与E 点重合，舍去）,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9200-33422y x ,∴P 1(334,- 9200); 过点E 作EG ⊥CD ，垂足为G ， ∵当t =5时，S △ECD =21CD ·EG =225,CD =34, ∴EG =343425, 过点D 作DN ⊥CD ,垂足为N ，且使DN =343425,过点N 作NM ⊥x 轴，垂足为M ，可得△EGD ∽△DMN ,∴DM EG =DN ED ,即DM343425＝3434255，解得：DM =34125,∴OM =34227, 由勾股定理得：MN =22-DM DN =)234125(-)3434(252＝3475,∴N (34227,3475), 过点N 作NP 2∥CD ，与抛物线交于点P 2，P 3(与B 点重合)，则S △CED ＝SDCP 2∆，S △CED ＝SDCP 3∆,设直线NP 2的解析式为y = -35x +n , 将N (34227,3475)，代入上式得n =340,∴直线NP 2的解析式为y = -35x +340,将y = -35x +340与y = -21x 2+3x +8联立成方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=8321-34035-2x x y x y ,解得⎩⎨⎧==0811y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==91003422y x , ∴P 2(34,9100)或P 3(8,0), 综上所述，当△CED 的面积最大时，在抛物线上存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，点P 的坐标为：(334,-9200)或(34,9100)或(8,0).2.(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +3过点A (-3，0)、 B (1，0)， ∴⎩⎨⎧=++=+03033-9b a b a ,，解得⎩⎨⎧==-2-1b a ，∴二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3.(2)证明：由(1)知二次函数的表达式为y =－x 2－2x +3， 令x =0，则y =3,∴点C 的坐标为(0，3)， ∴OC =3，又点A 、H 的坐标分别为(-3,0)、(3,0)， ∴ OA =OH =OC =3， ∴ ∠OCH ＝∠OHC ， ∵AD ∥GC ，∴∠OCH ＝∠ODA ,∠OHC =∠OAD,∴∠OAD ＝∠ODA , ∴ OA =OD =OC =OH =3， 又AH ⊥CD ,∴四边形ACHD 为正方形.(3)解：①S 四边形ADCM =S 四边形A OCM +S △AOD ， 第2题解图 由(2)知OA =OD =3， ∴S △AOD =21×3×3=29， ∵点M (t ,p )是直线y =kx 与抛物线y = -x 2-2x +3在第二象限内的交点，∴点M 的坐标为(t ,-t 2-2t +3)，如解图，作MK ⊥x 轴于点K ,ME ⊥y 轴于点E ，则MK =-t 2-2t +3,ME =︱t ︱=-t ， ∴S 四边形AOCM =S △AOM +S △MOC=21×3(-t 2-2t +3)+ 21×3(-t )， 即S 四边形AOC M = -23t 2-29t +29，S 四边形ADCM ＝S 四边形AOCM +S △AOD =-23t 2-29t+29+29= -23t 2-29t+9,∴S = -23t 2-29t +9,-3＜t ＜0.②设点N 的坐标为(t 1,p 1),过点N 作NF ⊥y 轴于点F ，∴NF =︱t 1︱,又由①知ME =︱t ︱， 则S △CMN =S △COM +S △CON =21OC ·(︱t ︱+︱t 1︱)， 又∵点M (t ,p )、N(t 1,p 1)分别在第二、四象限内，∴t ＜0, t 1＞0, ∴S △CMN =23(t 1-t ), 即23 (t 1-t )= 421，∴t 1-t =27.由直线y =kx 交二次函数的图象于点M 、N 得：⎩⎨⎧+==32--y y 2x x kx ,则x 2+(2+k )x -3=0, ∴x =2(-3)14-)(2)(2-2⨯⨯+±+k k ,即t =2(-3)14-)(2-)(2-2⨯⨯++k k ,t 1=2(-3)14-)(2)(2-2⨯⨯+++k k ,∴t 1-t =12k)(22++=27,∴27是(2+k )2+12的算术平方根, ∴(2+k )2+12=449,解得k 1=-23,k 2=-25,又(k +2)2+12恒大于0，且k ＜0,∴k 1=-23,k 2=-25都符合条件. (i)若k = -23,有x 2+(2-23)x -3=0,解得x 1=-2,x 2=23(不符合题意，舍去);(ii)若k = -25,有x 2+(2-25)x -3=0,解得x 3=-23,x 4=2(不符合题意，舍去)，∴t = -2或-23，当t = -2时,S =12;当t =-23时,S =899，∴S 的值是12或899.3.解：（1）将A (-3，0)，C (0，3)代入y =-x 2+bx +c , 得⎩⎨⎧=+=03-9-3c b c ,解得⎩⎨⎧==3-2c b .∴抛物线的解析式为y = -x 2-2x +3.(2存在，由(1)知抛物线的解析式可化为顶点式y =-(x +1)2+4，则D (-1，4)，当P 在∠DAB 的平分线上时，如解图①，作PM ⊥AD ，设P (-1，y 0)， ∵sin∠ADE =AD AE =522=55，PE =y 0, 则PM =PD ·sin∠ADE =55(4-y 0), ∵PM =PE , 第3题解图① ∴55(4-y 0)=y 0, 解得y 0=5-1.当P 在∠DAB 的外角平分线上时， 如解图②，作PN ⊥AD ,设P (-1，y 0)，PE =-y 0,则PN =PD ·sin∠ADE =55(4-y 0), ∵PN =PE , ∴55(4-y 0)=-y 0，解得y 0=-5-1. 第3题解图② ∴存在满足条件的点P ，且点P 的坐标为（-1，5-1）或（-1，-5-1）. (3)存在.∵S △EBC =3,2S △FBC =3S △EBC , ∴S △FBC =23S △EBC ＝23×3＝29, 过点F 作FH ⊥x 轴，交BC 的延长线于点Q ，如解图③,连接BF ,设BF 交y 轴于点M ，易得△BMC ∽△BFQ ， ∴OH OB OB +＝QFCM，即CM ＝OH OB QFOB +⋅，∴S △FBC ＝21CM ·OB +21C M ·OH ＝21OB ·QF .∵S △FBC =21FQ ·OB =21FQ =29,∴FQ =9.∵BC 的解析式为y =-3x +3，设F (x 0,-x 20-2x 0+3),则Q 点的坐标为（x 0,-3x 0+3）,∴QF =-3x 0+3+x 02+2x 0-3=9, 解得x 0=237-1或2371+ (舍去)， ∴满足条件的点F 的坐标是(237-1，215-373). 第3题解图③4.解：（1）∵抛物线过点A （0，4）、B （1，0）、C （5，0），∴设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =a (x -1)·(x -5)(a ≠0)， ∴将点A （0，4）代入y=a (x -1)(x -5)，得a =54， ∴此抛物线的解析式为y =54x 2-524x +4,∵抛物线过点B （1，0）、C （5，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝251+=3. （2）存在，如解图①，连接AC 交对称轴于点P ，连接B P 、BA ,∵点B 与点C 关于对称轴对称，∴PB =PC ,∴AB +AP +PB =AB +AP +PC =AB +AC ,∵AB 为定值，且AP +P C≥AC ,∴当A 、P 、C 三点共线时△PAB 的周长最小，∵ A （0，4）、C （5，0），设直线A C 的解析式为y =ax +b (a ≠0)， 第4题解图①将A 、C 两点坐标代入解析式得⎩⎨⎧=+=054b a b , 解得⎪⎩⎪⎨⎧==454-b a ,∴直线AC 的解析式为y = -54x +4. ∵在y = -54x +4中，当x ＝3时，y =58， ∴P 点的坐标为（3，58）， 即当对称轴上的点P 的坐标为（3，58）时，△ABP 的周长最小. （3）在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大.如解图②，设N 点的横坐标为t ，此时点N （t , 54t 2-524t +4）（0＜t ＜5）， 过点N 作y 轴的平行线，分别交x 轴、AC 于点F 、G ，过点A 作 AD ⊥NG ，垂足为点D ， 由（2）可知直线AC 的解析式为y = -54x+4， 把x =t 代入y = -54x +4得y ＝-54t +4， 则G 点的坐标为（t ，-54t +4 ）， 此时，NG ＝-54t +4-（54t 2-524t +4）＝-54t 2+4t . ∵AD ＋CF ＝OC ＝5，∴S △NAC ＝S △ANG ＋S △CGN ＝21NG ·AD ＋21NG ·CF ＝ 21NG ·OC =21×（-54t 2+4t ）×5＝-2t 2+10t ＝-2（t -25）2+225. ∵-2<0，即在对称轴处取得最大值.∴当t =25时，△NAC 面积有最大值为225， 第4题解图② 由t =25，得y =54t 2524t +4＝-3， ∴N （25，-3）. ∴存在满足条件的点N ，使△NAC 的面积最大，N 点的坐标为（25,-3）.题型五 二次函数综合题类型三 与特殊三角形有关的问题针对演练1.（2015岳阳）如图，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ,在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图① 图②第1题图2. 如图，直线y =-21x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A （-1，0）.（1）求B 、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标.第2题图【答案】针对演练1.解：（1）∵点A （1，0），B （4,0）在抛物线上，∴设抛物线解析式为y =a (x -1)(x -4)，将点C （0,3）代入得a (0-1)(0-4)=3，解得a =43，∴抛物线解析式为y =43(x -1)(x -4)，即y =43x 2-415x+3.（2）存在.连接BC 交对称轴于点P ，连接PA ,如解图①,∵点A 与点B 关于对称轴x =25对称，∴BC ≤PB +PC =PA +PC ，即当点P 在直线BC 上时，四边形PAOC 的周长最小，在Rt△BOC 中，OB =4，OC =3，∠BOC =90°，∴BC =22OC OB =5，∴四边形PAOC 的周长的最小值为OA +O C+BC =1+3+5=9.（3）存在.设直线BC 的解析式为y =kx +t ，第1题解图①将点B (4,0)，点C （0,3）代入得⎩⎨⎧==+304t t k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==343-t k ，∴直线BC 的解析式为y = - 43x +3. 点M 在BC 上，设点M 的坐标为（m ,- 43m +3）（0＜m ＜4）， 要使△CQM 是等腰三角形，且△BQM 是直角三角形，则只有以下两种情况，(Ⅰ)当MQ ⊥OB ，CM =MQ 时，如解图②所示，则CM =MQ =-43m +3, MB =BC -CM =5-(- 43m +3)=2+43m ， 由sin∠CBO =BC OC =BM MQ =53， 即m m 432343-++=53，解得m =23, 则点M 的坐标为（23,815）； (Ⅱ)当CM =MQ ,MQ ⊥BC 时，如解图③， 第1题解图②过M 作MN ⊥OB 于N ，则ON =m ,MN =-43m +3, 在Rt△BMN 中，易得BM =MBN MN ∠sin =35×(-43m +3) =- 45m +5， ∴CM =BC -BM =45m ， 在Rt△BMQ 中，QM =BM ·tan∠MBQ =43 (-45m +5)， 由CM =MQ 得43 (-45m +5)= 45m ， 第1题解图③ 解得m =712，此时点M 的坐标为（712,712）. 综上所述，存在满足条件的点M ,点M 的坐标为（23,815）或（712，712）. 2. 解：（1）令x =0，可得y =2，令y =0，可得x =4，即点B （4，0），C （0，2）.（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，将点A 、B 、C 的坐标代入解析式得，⎪⎩⎪⎨⎧==++=+204160-c c b a c b a ,解得b c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===22321- , 即该二次函数的关系式为y=-21x 2+23x +2. （3）存在.满足条件的点P 的坐标分别为P 1（23,4），P 2（23,25）,P 3(23,-25). 【解法提示】∵y = -21x 2+23x +2， ∴y =-21（x -23）2+825， ∴抛物线的对称轴是x =23， ∴OD =23． ∵C （0，2），∴OC =2．在Rt△OCD 中，由勾股定理得CD =25． ∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=DP 2=DP 3=CD ．如解图①所示，作CE ⊥对称轴于点E ，∴EP 1=ED =2，∴DP 1=4．∴P 1（23，4），P 2（23，25），P 3（23，-25）. 第2题解图①（4）如解图②，过点C 作CM ⊥EF 于点M ，设E （a ，-21a +2），F （a ，-21a 2+23a +2）， ∴EF =-21a 2+23a +2-（-21a +2） =-21a 2+2a （0≤a ≤4）． ∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF 第2题解图② =21BD ·OC +21E F ·CM +21EF ·BN =25+21a （-21a 2+2a ）+21（4-a ）·（-21a 2+2a ）=-a 2+4a +25 =-（a -2）2+213（0≤a ≤4）, ∴a =2时，S 四边形CDBF 最大=213， ∴E （2，1）．题型五 二次函数综合题类型四 与特殊四边形有关的问题针对演练1. （2015重庆模拟）已知正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，点B （4，4）.二次函数y = -61x 2+bx +c 的图象经过点A 、B .点P （t ，0）是x 轴上一动点，连接AP .（1）求此二次函数的解析式；（2）如图①，过点P 作AP 的垂线与线段BC 交于点G ，当点P 在线段OC （点P 不与点C 、O重合）上运动至何处时，线段GC 的长有最大值，求出这个最大值；（3）如图②，过点O 作AP 的垂线与直线BC 交于点D ，二次函数y = -61x 2+bx +c 的图象上是否存在点Q ，使得以P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.图① 图② 备用图第1题图2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，-4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由;（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.第2题图【答案】针对演练1.解：（1）∵B （4，4），∴AB =BC =4，∵四边形ABCO 是正方形，∴OA =4，∴A （0，4），将点A （0，4），B （4，4）代入y = -61x 2+bx +c ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=441661-4c b c ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==432c b ，∴二次函数解析式为y =-61x 2+32x +4. （2）∵P （t ，0），∴OP =t ，PC =4-t ，∵AP ⊥PG ，∴∠APO +∠CPG =180°-90°=90°，∵∠OAP +∠APO =90°，∴∠OAP =∠CPG ，又∵∠AOP =∠PCG =90°，∴△AOP ∽△PCG ， ∴PCAO =GC OP ， 即t -44=GCt ， 整理得，GC =-41（t -2）2+1， ∴当t =2时，GC 有最大值是1，即P （2，0）时，GC 的最大值是1.（3）存在点Q ，使得以P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形．理由如下：如解图①、②，易得∠OAP =∠COD ，在△AOP 和△OCD 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠90OCD AOP OCOA COD OAP , ∴△AOP ≌△OCD （ASA ），∴OP =CD ， 第1题解图①由P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形得，PC ∥DQ 且PC =DQ ，∵P（t ，0），D （4，t ），∴PC =DQ =|t-4|，∴点Q 的坐标为（t ，t ）或（8-t ，t ），①当Q （t ，t ）时，-61t 2+32t +4=t ， 整理得，t 2+2t-24=0，解得t 1=4（舍去），t 2=-6，②当Q （8-t ，t ）时，-61（8-t ）2+32（8-t ）+4=t ， 第1题解图②整理得，t 2-6t +8=0，解得t 1=2，t 2=4（舍去），综上所述，存在点Q （-6，-6）或（6，2），使得以P 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是以PC 为边的平行四边形．2.解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得： ⎩⎨⎧==++-40416c c b ，解得⎩⎨⎧==-4-3c b ， ∴二次函数的表达式为y =x 2-3x -4.（2）存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形；设P 点坐标为（x ，x 2-3x -4），PP ′交CO 于点E ，若四边形POP′C 是菱形，则有PC =PO ；如解图①，连接PP ′，则PE ⊥CO 于点E ，∵C （0，-4），∴CO =4，又∵OE =EC ，∴OE =EC =2，∴y =-2，∴x 2-3x -4=-2， 第2题解图①解得x 1=2173+，x 2=217-3（不合题意，舍去）， ∴P 点的坐标为（2173+，-2）. （3）如解图②，过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2-3x -4），设直线BC 的解析式为y =kx +d ，则⎩⎨⎧=+=04-4d k d ,解得⎩⎨⎧==-41d k ， ∴直线BC 的解析式为y =x -4，则Q 点的坐标为（x ，x -4）；当0=x 2-3x -4，解得：x 1= -1，x 2=4，∴AO =1，AB =5， 第2题解图② S 四边形ABPC =S △ABC +S △BPQ +S △CPQ =21AB ·OC +21QP ·BF +21QP ·OF =21×5×4+21（4-x ）［x -4-（x 2-3x -4）］+21x ［x -4-（x 2-3x -4）］ =-2x 2+8x +10=-2（x -2）2+18,当x =2时，四边形ABPC 的面积最大，此时P 点的坐标为（2，-6），四边形ABPC 的面积的最大值为18．题型五 二次函数综合题拓展类型 与三角形相似有关的问题针对演练1. （2015广元）如图，已知抛物线y ＝-m1（x +2）（x -m ）（m ＞0）与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点G （2，2），求实数m 的值.（2）在（1）的条件下，解答下列问题：①求△ABC 的面积.②在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH +CH 最小，并求出点H 的坐标.（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.第1题图2. 如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点.（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作P M⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标.第2题图【答案】针对演练1.解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2=-m 1(2+2)(2-m )，∴m =4.(2)①y =0,- m 1(x +2)(x -m )=0，解得x 1=-2,x 2=m ,∵m ＞0,∴A (-2,0)、B (m ,0),又∵m =4,∴AB =6.令x =0,得y =2,∴C (0,2),∴OC =2，∴S △ABC =21×AB ×OC =21×6×2＝ 6.第1题解图①②∵m =4，∴抛物线y = -41(x +2)(x -4)的对称轴为x =1，如解图①，连接BC 交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知，此时AH +CH =BH +CH =BC 最小.设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0).则⎩⎨⎧==+204b b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==221-b k ,∴直线BC 的解析式为y=-21x +2.当x =1时，y =23,∴H (1, 23).(3)存在.如解图②，分两种情况讨论：(Ⅰ)当△ACB ∽△ABM 时，AB AC =AM AB，第1题解图②即AB 2=AC ·AM .∵A (-2,0),C (0,2)，即OA =OC=2,∴∠CAB =45°,∴∠BAM =45°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则AN =MN ，∴OA +ON =2+ON =M N ，∴令M (x ,-x-2)(x ＞0)，又∵点M 在抛物线上，∴-x -2=-m1 (x +2)(x-m )， ∵x ＞0,∴x +2＞0，又∵m ＞0,∴x =2m ,即M (2m ,-2m -2).∴AM =222)-(-22)(2m m ++=22 (m +1)，又∵AB 2=AC ·AM ,AC =22，AB =m +2,∴(m +2)2=22×22 (m +1)，解得m =2±22. ∵m ＞0,∴m =22+2.(Ⅱ)当△ACB ∽△MBA 时， 则MA AB =BACB ， ∴AB 2=CB ·MA ，又∵∠CBA =∠BAM ,∠ANM =∠BOC =90°,∴△ANM ∽△BOC , ∴AN NM =BOOC ， ∵OB =m ,令ON =x, ∴x NM +2=m2, ∴NM =m2 (x +2)， ∴令M (x ,- m 2 (x +2))(x ＞0), 又∵点M 在抛物线上，∴-m 2 (x +2)=- m1 (x +2)(x -m )， ∵x ＞0,∴x +2＞0,∵m ＞0,∴x =m +2,∴M (m +2,-m 2 (m +4))， 又∵AB 2=CB ·MA ,CB =42+m ,AN =m +4,MN =m 2 (m +4),∴(m +2)2=42+m ·,4)4(4)(222m m m +++ 整理得16=0,显然不成立.综上(Ⅰ)(Ⅱ)得，在第四象限内，当m =22+2时，抛物线上存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ACB 相似.2. 解：（1）∵该抛物线过点C （0，-2），∴可设该抛物线的解析式为y =ax 2+bx-2．将A （4，0），B （1，0）代入，得⎩⎨⎧=+=+02-02-416b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2521-b a ，∴此抛物线的解析式为y = - 21x 2+ 25x -2.（2）存在．如解图①，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为-21m 2+25m -2，当1＜m ＜4时，AM =4-m ，PM =-21m 2+25m -2．又∵∠COA =∠PMA =90°， ∴①当PM AM =OC AO时， ∴PM AM =OC AO =24=12，第2题解图① ∴△APM ∽△ACO ，即4-m =2(-21m 2+25m -2)．解得m 1=2，m 2=4（舍去），∴P （2，1）． ②当PM AM =OA OC =21时，△APM ∽△CAO ，即2(4-m )= -21m 2+25m -2．解得m 1=4，m 2=5（均不合题意，舍去）,∴当1＜m ＜4时，P （2，1）.当m ＞4时，AM =m -4，PM =21m 2-25m +2， ①PM AM =OA OC =21或②PM AM =OC AO=2，2（21m 2-25m +2）=m -4，2（m -4）=21m 2-25m +2，解得：第一个方程的解是m =2＜4（舍去）,m =4（舍去），第二个方程的解是m =5，m =4（舍去）,求出m =5，-21m 2+25m -2=-2， 则P （5，-2），当m ＜1时，AM =4-m ，PM =21m 2-25m +2． ①PM AM =OA OC =21或PM AM =OCAO =2， 则：2（21m 2-25m +2）=4-m ， 2（4-m ）=21m 2-25m +2， 解得：第一个方程的解是m =0（舍去），m =4（舍去），第二个方程的解是m =4（舍去），m =-3， m =-3时，-21m 2+25m -2=-14， 则P （-3，-14），综上所述，符合条件的点P 的坐标为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）(解图中未画出来).（3）如解图②，设D 点的横坐标为t （0＜t ＜4），则D 点的纵坐标为-21t 2+25t-2． 过点D 作y 轴的平行线交AC于点E ． 第2题解图②由题意可求得直线AC 的解析式为y =21x -2． ∴E 点的坐标为(t , 21t -2)． ∴DE =-21t 2+25t-2-(21t -2)=-21t 2+2t ， ∴S △DAC =S △DCE +S △DEA =21DE ·t +21DE ·（4-t ）=21DE ·4， ∴S △DAC =21×（-21t 2+2t ）×4=-t 2+4t =-(t-2)2+4， ∴当t =2时，△DAC 面积最大，∴D （2，1）．。

重庆市2016年初中毕业暨高中招生考试数学试题（含答案全解全析）(满分:150分时间:120分钟)参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-b2a ,4ac-b24a),对称轴为x=-b2a.第Ⅰ卷(选择题,共48分)一、选择题:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A,B,C,D 的四个答案,其中只有一个是正确的.1.在实数-2,2,0,-1中,最小的数是( )A.-2B.2C.0D.-12.下列图形中是轴对称图形的是( )3.计算a3·a2正确的是( )A.aB.a5C.a6D.a94.下列调查中,最适合采用全面调查(普查)方式的是( )A.对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查C.对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查D.对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查5.如图,AB∥CD,直线l交AB于点E,交CD于点F,若∠2=80°,则∠1等于( )A.120°B.110°C.100°D.80°6.若a=2,b=-1,则a+2b+3的值为( )A.-1B.3C.6D.57.函数y=1x+2中,x的取值范围是( )A.x≠0B.x>-2C.x<-2D.x≠-28.△ABC与△DEF的相似比为1∶4,则△ABC与△DEF的周长比为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶169.如图,以AB为直径,点O为圆心的半圆经过点C,若AC=BC=√2,则图中阴影部分的面积是( )A.π4B.12+π4C.π2D.12+π210.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有4个小圆圈,第②个图形中一共有10个小圆圈,第③个图形中一共有19个小圆圈,……,按此规律排列下去,第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A.64B.77C.80D.8511.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动.如图,在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处,然后再沿水平方向行走6米至大树底端D 处,斜面AB 的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树CD 的高度约为(参考数据: sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73)( )A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米12.从-3,-1,12,1,3这五个数中,随机抽取一个数,记为a.若数a 使关于x 的不等式组{13(2x +7)≥3,x -a <0无解,且使关于x 的分式方程x x -3-a -23-x =-1有整数解,那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是( ) A.-3B.-2C.-32D.12第Ⅱ卷(非选择题,共102分)二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)13.据报道,2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60 500元,将数60 500用科学记数法表示为 . 14.计算:√4+(-2)0= .15.如图,OA,OB 是☉O 的半径,点C 在☉O 上,连接AC,BC.若∠AOB=120°,则∠ACB= 度.16.从数-2,-12,0,4中任取一个数记为m,再从余下的三个数中,任取一个数记为n.若k=mn,则正比例函数y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 .17.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向,分别以不同的速度匀速跑步1 500米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发30秒后,乙才出发.在跑步的整个过程中,甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示.则乙到终点时,甲距终点的距离是米.18.正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ADO交AC于点E,把△ADE沿AD翻折,得到△ADE',点F是DE的中点,连接AF,BF,E'F.若AE=√2,则四边形ABFE'的面积是.三、解答题:(本大题2个小题,每小题7分,共14分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形.19.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.20.为响应“全民阅读”号召,某校在七年级800名学生中随机抽取100名学生,对该年级学生在2015年全年阅读中外名著的情况进行调查.整理调查结果发现,学生阅读中外名著的本数,最少的有5本,最多的有8本,并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图.其中阅读了6本的人数占被调查人数的30%.根据图中提供的信息,补全条形统计图并估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数.七年级部分学生阅读中外名著本数条形统计图四、解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形.21.计算:(1)(a+b)2-b(2a+b);(2)(2-2xx+1+x-1)÷x2-xx+1.22.在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a ≠0)的图象与反比例函数y=kx (k ≠0)的图象交于第二、第四象限内的A 、B 两点,与y 轴交于C 点.过点A 作AH ⊥y 轴,垂足为H,OH=3,tan ∠AOH=43,点B 的坐标为(m,-2). (1)求△AHO 的周长;(2)求该反比例函数和一次函数的解析式.23.近期猪肉价格不断走高,引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时,政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.(1)从今年年初至5月20日,猪肉价格不断走高,5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱,那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元? (2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日,某市决定投入储备猪肉,并规定其销售价在5月20日每千克40元的基础上下调a%出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉,该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下,该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%,且储备猪肉的销量占总销量的34,两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%,求a 的值.24.我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这.例如12种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:F(n)=pq.可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12-1>6-2>4-3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=34(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数.求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”.求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.五、解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形.25.在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°.点D是BC上一点,连接AD.过点A作AG⊥AD.在AG上取点F,连接DF.延长DA至E,使AE=AF,连接EG,DG,CG,且GE=DF.(1)若AB=2√2,求BC的长;(2)如图1,当点G 在AC 上时,求证:BD=12CG;(3)如图2,当点G 在AC 的垂直平分线上时,直接．．写出ABCG的值.26.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-13x 2+2√33x+3与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E. (1)判断△ABC 的形状,并说明理由;(2)经过B,C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点,当△PCD 的面积最大时,点Q 从点P 出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M 处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处,最后沿适当的路径运动到点A 处停止.当点Q 的运动路径最短时,求点N 的坐标及点Q 经过的最短路径的长;(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E 在射线AE 上移动,点E 平移后的对应点为点E',点A 的对应点为点A'.将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置,点A,C 的对应点分别为点A 1,C 1,且点A 1恰好落在AC 上,连接C 1A',C 1E'.△A'C 1E'是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点E'的坐标;若不能,请说明理由.答案全解全析:一、选择题1.A 在实数中,负数小于正数、0,两个负数,绝对值大的反而小,所以-2,2,0,-1中,最小的数是-2,故选A.2.D 根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,知选项D中的图形是轴对称图形,符合题意,故选D.3.B 根据“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”得a3·a2=a3+2=a5.故选B.4.B 事关重大的调查往往选用普查,所以对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查,应采用全面调查,故选B.评析本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要调查的对象的特征灵活选用.一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查的调查、普查的意义或价值不大的调查,应选择抽样调查;对于精确度要求高的调查、事关重大的调查往往选用普查.5.C ∵AB∥CD,∴∠1+∠DFE=180°,∵∠DFE=∠2=80°,∴∠1=180°-80°=100°.故选C.6.B 当a=2,b=-1时,原式=2+2×(-1)+3=3,故选B.7.D 由分式有意义的条件得x+2≠0,解得x≠-2.故选D.8.C 因为△ABC与△DEF的相似比为1∶4,所以由相似三角形周长的比等于相似比,得△ABC与△DEF 的周长比为1∶4,故选C. 9.A ∵AB 为直径,∴∠ACB=90°.又∵AC=BC=√2,∴△ACB 为等腰直角三角形, ∴OC ⊥AB,△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形, ∴S △AOC =S △BOC ,OA=1, ∴S 阴影部分=S 扇形AOC =90·π·12360=π4.故选A.评析 求阴影部分的面积往往都是求不规则图形的面积,所以把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解决这类问题的主要思路.几种常用的方法:(1)将待求面积的图形分割成几个规则图形后,将规则图形的面积相加;(2)将阴影中部分图形等积变形后移位,组成规则图形求解;(3)将待求面积的图形分割后,利用平移、旋转将部分图形移位,最后组成规则图形求解. 10.D 通过观察,第①个图形中小圆圈的个数为(1+2)×22+12=4,第②个图形中小圆圈的个数为(1+3)×32+22=10,第③个图形中小圆圈的个数为(1+4)×42+32=19,第④个图形中小圆圈的个数为(1+5)×52+42=31,以此类推,第个图形中小圆圈的个数为(n+2)(n+1)2+n 2,当n=7时,(7+2)×(7+1)2+72=85,故第⑦个图形中小圆圈的个数为85.故选D. 11.A 作BF ⊥AE 于F,如图所示,易知四边形BDEF 为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF, ∵斜面AB 的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF, 设BF=x 米,则AF=2.4x 米,在Rt △ABF 中,x 2+(2.4x)2=132,解得x=5,∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+FE=18米,在Rt △ACE 中,CE=AE ·tan 36°≈18×0.73=13.14米,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故选A.12.B 由{13(2x +7)≥3,x -a <0解得{x ≥1,x <a , ∵不等式组{13(2x +7)≥3,x -a <0无解,∴a ≤1, 由x x -3-a -23-x =-1,得x=5-a 2, 由题意得x=5-a 2为整数,5-a 2≠3,又a ≤1, ∴在-3,-1,12,1,3中,a 只能取-3或1,∴所有满足条件的a 的值之和是-2,故选B.二、填空题13.答案 6.05×104解析 利用科学记数法表示一个比较大的数就是将该数表示为a ×10n (1≤a<10,n 为正整数)的形式,确定n 时遵循:n 等于原数的整数位数减去1.易知60 500=6.05×104.14.答案 3解析 √4+(-2)0=2+1=3.15.答案 60解析 根据圆周角定理,知∠ACB=12∠AOB=12×120°=60°.16.答案 16解析 画树状图如下:共有12种情况,当正比例函数y=kx 的图象经过第三、第一象限时,k>0,∵k=mn,∴mn>0,∴符合条件的情况有2种,∴正比例函数y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是212=16. 17.答案 175解析 由题图得,甲的速度为75÷30=2.5米/秒,设乙的速度为m 米/秒,则(m-2.5)×(180-30)=75,解得m=3,故乙从起点跑到终点所用的时间为1 5003=500(秒),所以乙到终点时,甲跑的路程是2.5×(500+30)=1 325(米),甲距终点的距离是1 500-1 325=175(米).评析 本题考查了函数图象的应用,求解此类题时要善于从抽象的函数图象中找出实际的量,然后根据实际情况列出方程(组)进行求解.18.答案 6+3√22解析 如图,连接EB 、EE',设EE'交AD 于点N.作EM ⊥AB 于M,易知四边形AMEN 为正方形.∵AE=√2,∴AM=EM=EN=AN=1,∵ED 平分∠ADO,EN ⊥DA,EO ⊥DB,∴EO=EN=1,∴AO=√2+1,∴AB=√2AO=2+√2,∵四边形ABCD 是正方形,∴根据对称性及翻折的性质,得△ADE ≌△ADE'≌△ABE,∴AE=AE',∠DAE=∠DAE'=45°,∴△AEE'为等腰直角三角形,∵AB=2+√2,EM=1,∴S △AEB =12AB ·EM=1+√22, ∴S △AED =S △ADE'=S △AEB =1+√22,∴S △BDE =S △ADB -S △AEB -S △AED =12×(2+√2)2-2×(1+√22)=1+√2,S 四边形AEDE'=2S △AED =2+√2, ∵S △AEE'=12×(√2)2=1,∴S △DEE'=(2+√2)-1=1+√2,∵DF=EF,∴S △EFE'=12S △DEE'=1+√22,∵DF=EF,S △BDE =1+√2,∴S △FEB =12S △BDE =1+√22,∴S 四边形ABFE'=S △AEE'+S △EFE'+S △AEB +S △EFB =1+1+√22+1+√22+1+√22=6+3√22. 评析 本题考查正方形的性质、翻折(轴对称)的性质、全等三角形的性质、角平分线的性质等,解题的关键是转化思想的应用.三、解答题19.证明 ∵CE ∥DF,∴∠ACE=∠D.(3分)在△ACE 和△FDB 中,∵EC=BD,∠ACE=∠D,AC=FD,(5分)∴△ACE ≌△FDB.(6分)∴AE=FB.(7分)20.解析 补全条形统计图,如图所示.七年级部分学生阅读中外名著本数条形统计图(4分)被抽查学生阅读中外名著的本数的平均数为5×20+6×30+7×35+8×15100=6.45(本).七年级800名学生阅读中外名著的总本数约为6.45×800=5 160(本).答:根据调查数据,估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数约为5 160本.(7分)四、解答题21.解析 (1)原式=a 2+2ab+b 2-2ab-b 2(3分)=a 2.(5分)(2)原式=2-2x+(x+1)(x -1)x+1·x+1x (x -1)(7分) =x 2-2x+1x+1·x+1x (x -1)(8分) =(x -1)2x+1·x+1x (x -1)(9分) =x -1x .(10分)22.解析 (1)∵AH ⊥y 轴于H,∴∠AHO=90°.∵tan ∠AOH=AH OH =43,OH=3,∴AH=4.(2分)在Rt △AHO 中,OA=2+OH 22+32分)∴△AHO 的周长为3+4+5=12.(5分)(2)由(1)知,点A 的坐标为(-4,3),∵点A 在反比例函数y=k x (k ≠0)的图象上,∴3=k -4.∴k=-12. ∴反比例函数的解析式为y=-12x .(7分)∵点B(m,-2)在反比例函数y=-12x 的图象上, ∴-12m =-2.∴m=6. ∴点B 的坐标为(6,-2).(8分)∵点A(-4,3),B(6,-2)在一次函数y=ax+b(a ≠0)的图象上,∴{-4a +b =3,6a +b =-2.解这个方程组,得{a =-12,b =1.∴一次函数的解析式为y=-12x+1.(10分)23.解析 (1)设今年年初的猪肉价格为每千克x 元.根据题意,得2.5×(1+60%)x ≥100.(3分)解这个不等式,得x ≥25.∴今年年初猪肉的最低价格为每千克25元.(4分)(2)设5月20日该超市猪肉的销售量为1,根据题意,得40×14(1+a%)+40(1-a%)×34(1+a%)=40(1+110a %). 令a%=y,原方程可化为40×14(1+y)+40(1-y)×34(1+y)=40(1+110y).(7分)整理这个方程,得5y 2-y=0.解这个方程,得y 1=0,y 2=0.2.∴a 1=0(不合题意,舍去),a 2=20.(9分)∴a 的值是20.(10分)24.解析 (1)证明:对任意一个完全平方数m,设m=n 2(n 为正整数).∵|n-n|=0,∴n ×n 是m 的最佳分解.∴对任意一个完全平方数m,总有F(m)=n n =1.(3分) (2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t',则t'=10y+x.∵t 为“吉祥数”,∴t'-t=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=18.∴y=x+2.(6分)∵1≤x ≤y ≤9,x,y 为自然数,∴“吉祥数”有:13,24,35,46,57,68,79.(7分)易知F(13)=113,F(24)=46=23,F(35)=57,F(46)=223,F(57)=319,F(68)=417,F(79)=179.∵57>23>417>319>223>113>179,∴所有“吉祥数”中F(t)的最大值是57.(10分)五、解答题25.解析 (1)过点A 作AH ⊥BC 于H.∴∠AHB=∠AHC=90°.在Rt △AHB 中,∵AB=2√2,∠B=45°,∴BH=AB ·cos B=2√2×√22=2.AH=AB·sin B=2√2×√2=2.(1分)2在Rt△AHC中,∵∠C=30°,∴AC=2AH=4.=2√3.(2分)∴CH=AC·cos C=4×√32∴BC=BH+CH=2+2√3.(3分)(2)证明:∵AG⊥AD,∴∠DAF=∠EAG=90°.在Rt△DAF和Rt△GAE中,∵AF=AE,DF=GE,∴Rt△DAF≌Rt△GAE.∴AD=AG.(4分)过点A作AP⊥AB交BC于点P,连接PG.∴∠BAP=90°,即∠BAD+∠DAP=90°.∵∠DAG=90°,即∠DAP+∠PAG=90°.∴∠BAD=∠PAG.∵∠B=45°,∠BAP=90°,∴∠APB=∠B=45°.∴AB=AP.在△ABD和△APG中,∵AB=AP,∠BAD=∠PAG,AD=AG,∴△ABD≌△APG.∴BD=PG,∠B=∠APG.(8分)∴∠APG=45°.∴∠BPG=∠APB+∠APG=45°+45°=90°.∴∠CPG=90°.在Rt △CPG 中,∠C=30°.∴PG=12CG.(9分)∴BD=12CG.(10分) (3)AB CG =√3+12.(12分)26.解析 (1)△ABC 为直角三角形.理由如下:当y=0时,-13x 2+2√33x+3=0, 解这个方程,得x 1=-√3,x 2=3√3.∴点A(-√3,0),B(3√3,0).∴OA=√3,OB=3√3.当x=0时,y=3,∴点C(0,3),∴OC=3.在Rt △AOC 中,AC 2=OA 2+OC 2=(√3)2+32=12.在Rt △BOC 中,BC 2=OB 2+OC 2=(3√3)2+32=36.又∵AB 2=[3√3-(-√3)]2=48,12+36=48,∴AC 2+BC 2=AB 2.∴△ABC 为直角三角形.(3分)(2)如图,∵点B(3√3,0),C(0,3),∴直线BC 的解析式为y=-√33x+3.过点P 作PG ∥y 轴交直线BC 于点G.设点P (a ,-13a 2+2√33a +3),则点G (a ,-√33a +3), ∴PG=(-13a 2+2√33a +3)-(-√33a +3)=-13a 2+√3a. 设D 点横坐标为x D ,C 点横坐标为x C .S △PCD =12×(x D -x C )×PG =12×√3×(-13a 2+√3a) =-√36(a -3√32)2+9√38. ∵0<a<3√3,∴当a=3√32时,△PCD 的面积最大, 此时点P (3√32,154).(5分)将点P 向左平移√3个单位至点P',连接AP'交y 轴于点N,过点N 作NM ⊥抛物线对称轴于点M,连接PM.点Q 沿P →M →N →A 运动,所走的路径最短,即最短路径的长为PM+MN+NA 的长.(6分) ∵点P (3√32,154),∴点P'(√32,154). 又∵点A(-√3,0),∴直线AP'的解析式为y=5√36x+52. 当x=0时,y=52,∴点N (0,52).过点P'作P'H ⊥x 轴于点H,则有HA=3√32,P'H=154,AP'=3√374. ∴点Q 运动的最短路径的长为PM+MN+AN=3√374+√3=3√37+4√34.(8分) (3)如图,在Rt △AOC 中,∵tan ∠OAC=OC OA =√3=√3,∴∠OAC=60°.∵OA=OA 1,∴△OAA 1为等边三角形.∴∠AOA 1=60°. ∴∠BOC 1=30°.又由OC 1=OC=3,得点C 1(3√32,32). ∵点A(-√3,0),E(√3,4),∴AE=2√7. ∴A'E'=AE=2√7.∵直线AE 的解析式为y=2√33x+2, 设点E'(a ,2√33a +2),则点A'(a -2√3,2√3a 3-2).(9分) ∴C 1E'2=(a -3√32)2+(2√33a +2-32)2=73a 2-7√33a+7. C 1A'2=(a -2√3-3√32)2+(2√33a -2-32)2=73a 2-35√33a+49.若C 1A'=C 1E',则有C 1A'2=C 1E'2, 即73a 2-7√33a+7=73a 2-35√33a+49. 解这个方程,得a=3√32,∴点E'(3√32,5). 若A'C 1=A'E',则有A'C 12=A'E'2,即73a 2-35√33a+49=28. 解这个方程,得a 1=5√3+√392,a 2=5√3-√392. ∴点E'(5√3+√392,7+√13)或(5√3-√392,7-√13). 若E'A'=E'C 1,则有E'A'2=E'C 12,即73a 2-7√33a+7=28.解这个方程,得a 1=√3+√392,a 2=√3-√392(舍去). ∴点E'(√3+√392,3+√13).综上所述,符合条件的点E'的坐标为3√32,5或5√3+√392,7+√13或5√3-√392,7-√13或 √3+√392,3+√13.(12分)评析 此题是二次函数综合题,主要考查了二次函数的图象与性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质.问题(2)先求出当S △PCD 最大时的点P 的坐标,然后判断出点Q 运动的最短路径,最后求最短路径的长,问题(3)主要涉及分类讨论思想,在分类的时候要注意考虑各种情况,不能遗漏.。

反比例函数综合题类型一 反比例函数与几何图形结合 针对演练1. 如图，Rt △OAB 的直角边在x 轴正半轴上，∠AOB ＝60°，反比例函数y =x3的图象与Rt △OAB 两边OB 、AB 分别交于点C 、D ，若点C 是OB 边的中点，则点D 的坐标 是( )A. （1，3）B. （3，1）C. (2,23) D. （4, 23）第1题图 第2题图 2. 如图，反比例函数y =x2（x ＞0）与矩形OABC 的边BC ，BA 分别交于点E ，F ，且AF =BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 ( )A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3 3. 如图，平行四边形ABOC 中，对角线交于点E ，反比例函数y =xk(k <0)经过C 、E 两点，若平行四边形ABOC 的面积为10，则k 的值是 ( )第3题图 A. -25 B. -310C. -4D. -5 4. 矩形OABC 在平面直角坐标系中如图，已知AB =10，BC =8，E 是BC 上一点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 刚好与OC 边上点D 重合，过点E 的反比例函数y =xk（k ＞0）与AB 相交于点F ，则线段AF 的长为 ( ) A.815 B. 415 C. 2 D. 23第4题图5. 如图，等腰直角△OAB 的直角顶点O 是坐标原点，顶点A 在一、三象限的角平分线上，顶点B 在第四象限，Rt △ODE 的直角顶点E 在直线OB 上，且OD ＝4，∠OD E ＝30°，将Rt △ODE 绕点O 顺时针旋转15°，得到Rt △OD 1E 1，线段D 1E 1交直线OB 于点F ，若某反比例函数的图象经过点E 1，则这个反比例函数的解析式为 ( ) A. y= -x 23 B. y=x 3 C. y=x 23D. y=-x3第5题图 第6题图6. 如图，正方形OBCD 的边长为2，点E 是BC 上的中点，点F 是边OD 上一点，若反比例函数y =x k（x ＞0）经过点E ，交CF 于G ，且△OBG 的面积为215 ，则DF OF 的值等于 ( )A.54 B. 21 C. 23D. 1 7. 如图，反比例函数y =x2（x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC =90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ′C ，B ′点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是( )A.23 B. 47 C. 2 D. 25第7题图 第8题图8. 如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标为（10，0），对角线OB 、AC 相交于D 点，反比例函数y =xk（x ＞0）经过D 点，交BC 的延长线于E 点，且OB ·AC =160，则反比例函数的解析式为 .【答案】 针对演练1. C 【解析】设OA ＝a ,∵∠AOB ＝60°，∴AB =3a ，∴B(a , 3a ),∵点C 是OB 边的中点，∴C (2a ,23a ),∵点C 在反比例函数y =x 3上，∴23a =23a ,解得a =2,∵点D 在反比例函数y =x 3上，∴当x =2时，y =23,∴D (2, 23). 2. A 【解析】设点B 的坐标为（a ，b ），则点F 的坐标为(a ,2b ).∵点F 在反比例函数y =x2上，∴a ×2b=2，解得ab =4，又∵点E 在反比例函数上，且纵坐标为b ，所以点E 的坐标为（b 2，b ），则S △OEF =S 四边形OFBC -S △OEC -S △FBE =21×（2b +b ）a -21×b ×b 2-21×2b ×（a -b 2） =21（ab +1-2）=23＝1.5. 3. B 【解析】设点E 的坐标是（m ，n ），则mn =k ，∵平行四边形ABOC 中点E 是OA 的中点，∴点A 的坐标是（2m ，2n ），点C 的纵坐标是2n ，把y =2n 代入y =x k 得：x =nk2，即点C 的横坐标是n k 2.∴OB =AC =n k 2-2m ，OB 边上的高是2n ，∴（nk2-2m ）·2n =10，即 k -4mn =10，∴k -4k =10，解得：k =-310.4. B 【解析】∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 刚好与OC 边上点D 重合，∴BE =DE ，AB =AD ，∠ABE =∠ADE =90°，∵AB =10，BC =8，∴AO =BC =8，AD =AB =10，∴在Rt △AOD 中由勾股定理得：OD =8102222-=-AO AD=6，∴DC =OC-OD =10-6=4，设点E 的坐标为（10，10k ），∴EC =10k，BE =ED =8-10k ，在Rt △ECD 中，由勾股定理得：DC 2+EC 2=DE 2，即：42+ （10k ）2=（8-10k ）2，解得：k =30，∴反比例函数的解析式是y =x 30，令y =8，解得：x =415，∴AF =415.5. D 【解析】在直角△ODE 中，∠ODE =30°，则OE =21OD =2，∠DOE =90°-30°=60°，∵OD 与x 轴的夹角是60°-45°=15°，则D 1在x 轴上，作E 1H ⊥y 轴于点H ， 如解图，∴D 1的坐标是（4，0），OE 1=OE =2,∵∠D 1OE 1=∠DOE =60°,∴∠E 1OH =30°,∴E 1H =12OE 1=1,OH =23OE 1=23,则E 1的坐标是(1,-3),设反比例函数的解析式是：y =x k ,点E 1(1,- 3)经过反比例函数的图象，∴k =-3,则反比例函数的解析式是：y =-x3.第5题解图 6. D 【解析】如解图，过点G 作GN ⊥OB 于点N ，并延长NG 交CD 于点M ，根据正方形OBCD ，得出MN ⊥CD ，∵正方形OBCD 的边长为2，点E 是BC 上的中点，∴E 点坐标为（2，1），将E 点代入反比例函数y =x k 得：xy =k=2，故y =x 2，∵△OBG 的面积为215+，∴21×GN ×BO =21×GN ×2=215+，∴GN=215+，∴MG =2-215+=253-，∵G 点在反比例函数上，故ON ×GN=k =2，∴215+×NO =2，解得：NO =5-1，∴DM =5-1，MC =2-（5-1）=3-5,∵GM ⊥CD ，∴DF ∥MG ，∴DC MC =DF MG ，∴253-=DF 253-， 解得：DF =1，故FO =1，则DFOF=1.第6题解图7. C 【解析】如解图，设BC 的延长线交x 轴于点D ，设点C （x ，y ），AB =a ，∵∠ABC = 90°，AB ∥x 轴，∴CD ⊥x 轴，由折叠的性质可得：∠AB ′C =∠ABC=90°，∴CB ′⊥OA ，∵OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，∴CD =CB ′，再由翻折的性质得，BC =B ′C ，∴BC =CD ,∵反比例函数y =x 2（x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∴S △OCD =21xy =1，在Rt △OB ′C 和Rt △ODC 中，⎩⎨⎧='=ODB O OCOC ，∴Rt △OB ′C ≌Rt △ODC （HL ），∴S △OCB ′=S △OCD =1，∵AB ∥x 轴，∴点A （x -a ，2y ），∴2y （x -a ）=2，∴xy -ay =1，∵xy =2，∴ay =1，∴S △ABC =21ay =21，∴S 四边形OABC=S △OCB ′+S △ABC +S △AB ′C =1+21+21=2.第7题解图8. y =x32(x >0)【解析】如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，∵OB ·AC =160，A 点的 坐标为（10，0），∴OA ·CF =21OB ·AC =21×160=80，菱形OABC 的边长为10，∴CF =OA 80=1080=8，在Rt △OCF 中，∵OC =10，CF =8，∴OF =8102222-=-CF OC =6，∴C （6，8），∵点D 是线段AC 的中点，∴D 点坐标为（2610+，28），即D （8，4），∵反比例函数y=xk（x ＞0）经过D 点，∴4=8k ，即k =32，∴反比例函数的解析式为：y=x32（x ＞0）.第8题解图题型三 反比例函数综合题类型二 反比例函数、一次函数及几何图形结合针对演练1. 如图，直线y =21x -2与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ,P 为AB 上的中点，过P 作PQ ∥y 轴交反比例函数y =x k （k ＞0）的图象于点Q ，若S △OPQ ＝25，则k 的值为( )A. 4B. 6C. 3D. 2第1题图2. 如图，已知直线y =-x +4与两坐标轴分别相交于点A ，B 两点，点C 是线段AB 上任意一点，过C 分别作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E .反比例函数y=xk与CE ，CD 分别交于点P ，Q 两点，若四边形ODCE 为正方形，且S △OPQ ＝23，则点Q 的坐标是( ) A. （2，1） B. （1，2） C. (23,1) D. (23,23)第2题图 第3题图3. (2015盘锦)如图，直线y = -3x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以线段AB 为边，在第一象限内作正方形ABCD ，点C 落在反比例函数y =xk(k ≠0)上，将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移a 个单位长度，使点D 恰好落在反比例函数y =xk(k ≠0)上的点D 1处，则a = .【答案】 针对演练1. C 【解析】 对于y =21x -2,当x =0时，y =-2;当y =0时，x =4,∴A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（0，-2），∵P 为AB 上的中点，PQ ∥y 轴，∴P 点坐标为（2,-1）,C 点坐标为（2，0），∴S △POC =21×2×1=1,∴S △OCQ =S △OPQ -S △POC =25-1=23,∴21|k |=23,而k >0,∴k =3. 2. A 【解析】如解图，连接OC ，∵四边形ODCE 为正方形，则OC 是第一象限的角平分线，则直线OC 的解析式是y =x ，根据题意得：⎩⎨⎧+==4-x y x y ，解得：⎩⎨⎧==22y x ，则C 的坐标是（2，2），设Q 的坐标是（2，a ），则DQ =EP =a ，PC =CQ =2-a ，S 正方形ODCE =4，S △ODQ =21×2·a =a ，同理S △OPE =a ，S △CPQ =21×（2-a ）2，∴S △OPQ ＝4-a-a -21（2-a ）2=23，解得：a =1或-1（舍去），则Q 的坐标是（2，1）.第2题解图3. 2【解析】对于直线y =-3x +3,令x =0,得到y ＝3；令y =0，得到x ＝1，即A （0，3），B （1，0），过C 作CE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，过A 作AF ∥x 轴，过D 作D F 垂直AF 于点F ，如解图所示，∵四边形ABCD 为正方形,∴AB =BC ,∠ABC =90°,∴∠OAB +∠ABO =90°,∠ABO +∠EBC =90°，∴∠OAB =∠EBC ,在△AOB 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠BC AB EBC OAB BEC AOB 90,∴△AOB ≌△BEC (AAS),∴BE =AO =3,CE =OB =1,∴C(4,1),把C 点坐标代入反比例解析式得：k =4,即y=x4,同理得到△DFA ≌△BOA,∴DF =BO =1,AF =AO =3,∴D (3,4),把y =4代入反比例解析式得：x =1,即D 1(1,4),则将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移2个单位长度，使点D 恰好落在反比例函数y =xk(k ≠0)上的点D 1处，即a=2.第3题解图。

重庆市2016中考数学阅读理解题（专题二）1、若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．2、阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y=2x+的最小值．解：y=2x+≥=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），（-2，-2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

（1）若点P （2，m ）是反比例函数ny x =（n 为常数，n ≠0）的图像上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数31y kx s =+-（k,s 为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数21y ax bx =++（a,b 是常数，a ＞0）的图像上存在两个“梦之点”A 11(,)x x ，B 22(,)x x ,且满足-2＜1x ＜2，12x x -=2，令215748t b b =-+，试求t 的取值范围。

目录题型一规律探索题 (1)类型一探索图形排列规律 (1)类型一探索图形循环规律 (11)拓展类型数式规律 (12)一、选填重难点突破题型一规律探索题类型一探索图形排列规律针对演练1. （2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有( )第1题图A. 160B. 161C. 162D. 1632. （2015绵阳）将一些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“O”的个数，若第n个“龟图”中有245个“O”，则n=( )第2题图A. 14B. 15C. 16D. 173. （2013重庆A卷）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为 2 cm2，第（2）个图形的面积为8 cm2,第（3）个图形的面积为18 cm2，…，则第（10）个图形的面积为( )第3题图A. 196 cm2B. 200 cm2C. 216 cm2D. 256 cm24. 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺成一个如图②的图案，其中完整的圆共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆共有13个，如果铺成如图④的图案，其中完整的圆共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆共有( )第4题图A. 100个B. 101个C. 181个D. 221个5. 如图，某同学在沙滩上用石子摆小房子，观察图形的变化规律，写出第⑨个小房子用的石子总数为( )第5题图A. 155B. 147C. 145D. 1466. 下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第①个图形中面积为1的正方形有9个，第②个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律，则第⑦个图形中面积为1的正方形的个数为( )第6题图A. 22B. 30C. 39D. 507. （2015重庆B卷）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是( )第7题图A. 32B. 29C. 28D. 268. （2014重庆B卷）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )第8题图A. 22B. 24C. 26D. 289. 用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第13个图案需要的黑色五角星的个数是( )第9题图A. 20B. 21C. 22D. 2310. 如图，下列是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第一个图形的周长为6，第二个图形的周长为8，将若干个等边三角形按照这样的规律来摆放，则第8个图形的周长为( )第10题图A. 18B. 19C. 20D. 2111. 观察下列一组图形，其中图①中共有6个小黑点，图②中共有16个小黑点，图③中共有31个小黑点，…，按此规律，图⑤中小黑点的个数是( )第11题图A. 46B. 51C. 61D. 7612. （2015内江）如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第n个图案中有根火柴棒(用含n的代数式表示).第12题图13. (2015昆明)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”,依此规律,摆出第9个“H”需用火柴棒根.第13题图14. (2015深圳)观察下列图形,它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第五个图有个太阳.第14题图15. (2015三明)观察下列图形的构成规律,依照此规律,第10个图形中共有个“●”.第15题图16. （2015山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…,依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）.第16题图17. (2015莆田)谢尔宾斯基地毯,最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形,挖去中间的一个小正三角形;对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去,就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯(如图).若图①中的阴影三角形面积为1,则图⑤中的所有阴影三角形的面积之和是.第17题图18. (2015随州)观察下列图形规律：当n= 时,图形中“●”的个数和“△”的个数相等.第18题图【答案】针对演练1. B【解析】第1个图形中正三角形的个数为：1+4，第2个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4，第3个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4+9×4，…，第n个图形中正三角形的个数为：1+4+3×4+9×4+…+3n-1×4，∴第4个图形中正三角形个数为1+4+3×4+9×4+34-1×4=1+4+12+36+108=161.2. C【解析】设每一个图形中“○”的个数为a n，则根据图形变化由图可知，每个图固由表知，这组图的变化规律为5+n(n-1)，∵第n个图有245个“○”，∴5+n(n-1)=245，解得n=16或n=-15(舍去)，故n=16.3. B【解析】第（1）个图形的面积为1×1×2＝2；第（2）个图形的面积为2×2×2＝8；第（3）个图形的面积为3×3×2＝18；第（4）个图形的面积为4×4×2=32；…；由此规律可以得出每个图形都是由小矩形所组成，共有n×n个小矩形.故第（n）个图形的总面积为n2×2＝2n2.故第（10）个图形的面积为102×2＝200 cm2.4. C【解析】观察图形可知，第②个图形中，每个小瓷砖有1个完整小圆，小圆的数目是4＝22，而每4个小瓷砖中有一个完整的大圆，大圆个数为1；图③中，小圆有9＝32个，大圆有4＝（3-1）2个；图④中，小圆有16＝42个，大圆有9＝（4-1）2个;∴图⑩中圆的个数等于小圆个数加上大圆个数为102+（10-1）2＝181个.5. C【解析】要找这个小房子的规律，可以分为两部分来看：第一个屋顶是1，第二个屋顶是3，第三个屋顶是6，以此类推，第n个屋顶是2)1(+nn.第一个下边是4，第二个下边是9，第三个下边是16，以此类推，第n个下边是（n+1）2.两部分相加即可得出第n个小房子用的石子数是（n+1)2+2)1(+nn,代入n=9即可确定答案.所以第⑨个小房子用的石子总数为（9+1）2+2)19(9+=100+45=145.6. C【解析】第①个图形面积为1的小正方形有9个，第②个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，第③个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，…第个图形面积为1的小正方形有9+5×（n-1）＝5n+4个，所以第⑦个图形面积为1的小正方形有5×7+4＝39个.7. B【解析】图①有2个黑色正方形；图②有2+3=5个黑色正方形；图③有2+3×2=8个黑色正方形；图④有2+3×3=11个黑色正方形，…，按照这个规律，图⑩一共有2+3×9=29个黑色正方形.8. C【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1-4=2；第二个图形中有8个三角形：6×2-4=8；第三个图形中有14个三角形：6×3-4=14；…第n个图形中有三角形的个数为：6n-4.由以上规律可得，第五个图形中有三角形的个数为：6×5-4=26.9. B【解析】当n为奇数时：通过观察发现每个图形的每一行有21+n个,故共有2)1(3+ n个.当n 为偶数时:中间一行有2n +1个，第一行、第三行有2n 个，故共有23n +1个.∴当n ＝13时，共有2)113(3+＝21个. 10. C 【解析】第1个图形的周长为6，第2个图形的周长为6+2，第3个图形的周长为6+2×2＝10，第4个图形的周长为6+3×2＝12，所以第8个图形的周长为6+7×2＝20.11. D 【解析】由图形①、②、③可以看出，第①个图形小黑点的个数：5×1+1＝6；第②个图形小黑点的个数：5×（1+2）+1＝16；第③个图形小黑点的个数：5×（1+2+3）+1＝31；所以第⑤个图形小黑点的个数：5×（1+2+3+4+5）+1＝76.12. 2n (n +1)【解析】由图形规律可得当n =1时，火柴棒个数为4×1=4;当n =2时，火柴棒个数为4×3＝12;当n =3时，火柴棒个数为4×6＝24；依次类推，可得第n 个图案中火柴棒个数为2)1(+n n ×4=2n (n +1). 13. 29【解析】先从前面三个所需的火柴棒数，得出规律来，再按照规律进行计算.具体∴第9个“H ”所需的火柴棒的数量为3×9+2=29根.14. 21【解析】第一行太阳的个数为1、2、3、4、…、n ,第五个图形第一行太阳的个数为5，第二行太阳的个数为1、2、4、8、…、2n -1,第五个图形第二行太阳的个数为24＝16，所以第五个图形共有5+16＝21个太阳.15. 111【解析】由图形可知：第1个图形中，“●”的个数为1×2+1＝3，第2个图形中，“●”的个数为2×3+1＝7，第3个图形中，“●”的个数为3×4+1＝13，第4个图形中，“●”的个数为4×5+1＝21，…，所以第n 个图形中，“●”的个数为n (n +1)+1，故第10个图形中，“●”的个数为10×11+1＝111.16. 3n +1【解析】本题考查图形规律探索.第（1）个图案中小三角形的个数为4个，第（2）个图案中小三角形的个数为7个，第（3)个图案中小三角形的个数为10个，…，依此类推.由以上分析可知，第n 个图案中有3n +1个小三角形.17.25681【解析】图②阴影部分面积＝1-41＝43，图③阴影部分面积＝43×43＝(43)2，图④阴影部分面积＝43×(43)2＝(43)3，图⑤阴影部分面积＝43×(43)3＝(43)4=25681.18. 5【解析】∵n =1时，“·”的个数是3＝3×1；n =2时，“·”的个数是6＝3×2；n =3时，“·”的个数是9＝3×3；n =4时，“·”的个数是12＝3×4；∴第n 个图形中“·”的个数是3n ;又∵n =1时，“△”的个数是1＝2)11(1+⨯；n =2时，“△”的个数是3＝2)12(2+⨯；n =3时，“△”的个数是6＝2)13(3+⨯；n =4时，“△”的个数是10＝2)14(4+⨯；∴第n个“△”的个数是2)1(+⨯n n ;由3n =2)1(+⨯n n ,可得n 2-5n =0,解得n =5或n =0(舍去)，∴当n =5时，图形“·”的个数和“△”的个数相等.题型一 规律探索题类型一 探索图形循环规律1. （2015河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线.点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是 ( )第1题图A. （2014，0）B. （2015，-1）C. （2015，1）D. （2016，0）2. 如图所示,一串梅花图案是按一定规律排列的,请你仔细观察,在前2016个梅花图案中,共有 个“”图案.第2题图【答案】针对演练1. B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r =1，∴半圆弧长=π，∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015， ∵2π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆弧的中点上，且这个半圆在x 轴的下方，∴此时点P 的横坐标为：1008×2-1=2015，纵坐标为-1，∴点P (2015，-1) .2. 504【解析】每4次梅花图案循环一次，∵2016÷4＝504，∴第2016个梅花图案共有504个“”图案.题型一 规律探索题拓展类型 数式规律针对演练1. （2015泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：第1题图根据此规律确定x 的值为 ( )A. 135B. 170C. 209D. 252 2. (2015安徽)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x 、y 、z 表示这列数中连续的三个数，猜测x 、y 、z 满足的关系式是 .3. (2015郴州)请观察下列等式的规律:311⨯=21 (1-31),531⨯=21 (31-51), 751⨯=21 (51-71),971⨯=21 (71-91), …则 311⨯+531⨯+751⨯+…+101991⨯= .【答案】针对演练∴2n +2=20，解得n =9，∴x =(9+2)×(9+9+1)=209.2. xy =z 【解析】观察这一列数可得：23=21·22，25=22·23，28=23·25，213=25·28，…，即从第三个数起每个数都等于前两个数之积 ，由x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，则有xy =z .3. 10150【解析】311⨯+531⨯+751⨯+…+101991⨯= 21 (1-31)+21 (31-51)+21 (51-71)+…+21（ 991-1011)＝21 (1-31+31-51+51-71+…+991-1011)＝21 (1-1011)＝21×101100＝10150.。

规律探索题常用技巧：1、观察法，对于比较明显的变化，可直接加以解决，比如呈现周期性变化的题2、一次函数法，通过一组数据，对于n的变化，考察数据是在坐标轴上成直线的变化，可以设此变化规律为y=kx+b,记得解出后要检验。

3、二次函数法，对于n的变化，考察数据在坐标上呈现弧形，可联想到二次函数，设此规律为y=ax2+bx+c,找出三组数据，然后解出来。

记得检验3、（公式法）等差数列：1+2+3+…+n=1+3+5+7+…++15=3+6+9+12+15+18+…+3n=等比数列：2+4+8+…+2n= 3+32+33+…+3n=1、数据规律类1、（2012滨州）求1+2+22+23+...+22012的值，可令S=1+2+22+23+...+22012，则2S=2+22+23+24+ (22013)因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（）A．52012﹣1B．52013﹣1C．D．2、（2012珠海，20，9分）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×＝×25；②×396＝693×.a ≤9，写出表示“数字对称等（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤b式”一般规律的式子（含a、b），并证明.3、（2012山东省荷泽市）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.4、（2012·湖北省恩施市，题号16 分值4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_________.2、几何变化类 1、（2012贵州省毕节市）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。

题型一规律探索题类型一探索图形累加规律针对演练1. (2016荆州改编)下列图形是将黑白两种颜色的菱形纸片按一定的规律排列组成，第1个图形有4张白色纸片，第2个图形有7张白色纸片，第3个图形有10张白色纸片，…，依此规律，则第12个图形中白色纸片的个数为 ( )第1题图A. 34B. 37C. 42D. 462. (2016重庆八中初三(下)第三次月考)下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑧个图案用火柴棒的根数为 ( )第2题图A. 33B.32C. 31D. 303. (2015重庆B卷)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是( )第3题图B. 29C. 28D. 264. (2014重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 ( )第4题图A. 22B. 24C. 26D. 285. 如图，下列图形是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第①个图形的周长为6，第②个图形的周长为8，第③个图形的周长为10，第④个图形的周长为12，按照这样的规律来摆放，则第⑧个图形的周长为 ( )第5题图A. 18B. 19C. 20D. 216. (2016天水改编)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，其中图①中“○”的个数为5个，图②中“○”的个数为7个，图③中“○”的个数为11个，图④中“○”的个数为17个，…，若图○,n)中有245个“○”，则n＝( )第6题图A. 10B. 12C. 14D. 167. (2016重庆外国语学校二诊)下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第(1)个图案需4根小木棒，拼搭第(2)个图案需10根小木棒，…，依此规律，拼搭第(6)个图案需小木棒的根数是 ( )第7题图A. 53B. 54C. 55D. 568. (2016重庆江津中学初三下半期考试)用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第⑬个图案需要的黑色五角星的个数是（）第8题图A. 18B. 19C. 21D. 229. (2016重庆十一中一诊)下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第④个图形中所有正三角形的个数有 ( )第9题图A. 160B. 161C. 162D. 16310. (2016重庆巴蜀一诊)如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6 cm2，第②个图形的面积为18 cm2，第③个图形的面积为36 cm2，…，那么第⑥个图形的面积为 ( )第10题图A. 84 cm2B. 90 cm2C. 126 cm2D. 168 cm211. (2016重庆西大附中第九次月考)下列图形都是用同样大小的♥按一定规律组成的，则第(8)个图形中♥共有 ( )第11题图A. 80个B. 73个C. 64个D. 72个12. (2016重庆一中三模)如图所示，图①中含“〇”的矩形有1个，图②“〇”的矩形有7个，图③中含“〇”的矩形有17个，按此规律，图⑥中含“〇”的矩形个数为( )A. 70B. 71C. 72D. 7313. (2016大渡口区诊断性检测)如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要棋子的枚数为 ( )第13题图A. 115B. 122C. 127D. 13914. (2016重庆一中二模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为( )第14题图A. 61B. 63C. 76D. 7815. (2016重庆巴蜀中学保送生考试)如图，各图都由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有一个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为 ( )第15题图A. 60B. 61C. 62D. 6316. (2016重庆一中第一次定时作业)已知四边形ABCD对角线相交于点O，若在线段BD上任意取一点(不与点B、O、D重合)，并与A、C连接，如图①，则三角形个数为15个；若在线段BD上任意取两点(不与点B、O、D重合)，如图②，则三角形个数为24个；若在线段BD上任意取三点(不与点B、O、D重合)，如图③，则三角形个数为35个；…；以此规律，则图⑤中三角形的个数为( )第16题图A. 48B. 56C. 61D. 6317. (2016徐州)如图，每个图案都由大小相同的正方形组成．按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第17题图18. (2016安顺改编)观察下列砌钢管的横截面图：第18题图则第5个图形中钢管数为________个．19. 如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中花盆的个数为6个，第2个图案中花盆的个数为12个，第3个图案中花盆的个数为20个，…，则第8个图案中花盆的个数为________．第19题图20. (2016龙岩改编)用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图①几何体表面积为6，图②几何体表面积为18，则图④中所示几何体的表面积为________．第20题图答案类型一探索图形累加规律1. B 【解析】每个图形中白色纸片的个数依次是4，7，10，13，….那么，第n个图形中白色纸片的个数为3n＋1，∴第12个图形中白色纸片的个数为3×12＋1＝37.2.A 【解析】∵图①用了5根火柴，即5＝5＋4×0；图②用了9根火柴，即9＝5＋4×1；图③用了13根火柴，即13＝5＋4×2；…；以此规律，第○n个图形中，火柴的根数为5＋4(n－1)，故第⑧个图案用火柴棒的根数为5＋4×(8－1)＝33.3. B 【解析】图①有2＋3×0＝2个黑色正方形；图②有2＋3×1＝5个黑色正方形；图③有2＋3×2＝8个黑色正方形；图④有2＋3×3＝11个黑色正方形，…，按照这个规律，图○n有2＋3(n－1)个黑色正方形，故图⑩一共有2＋3×9＝29个黑色正方形．4. C 【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1－4＝2；第二个图形中有8个三角形：6×2－4＝8；第三个图形中有14个三角形：6×3－4＝14；…；第n个图形中三角形的个数为：6n－4，故第五个图形中三角形的个数为：6×5－4＝26.5. C 【解析】第①个图形的周长为6＋0×2＝6，第②个图形的周长为6＋1×2＝8，第③个图形的周长为6＋2×2＝10，第④个图形的周长为6＋3×2＝12，…，依此规律，可知第○n个图形的周长为6＋(n－1)×2，所以第⑧个图形的周长为6＋7×2＝20.6. D 【解析】图①中有1×(1－1)＋5＝5个“○”，图②中有2×(2－1)＋5＝7个“○”，图③中有3×(3－1)＋5＝11个“○”，图④中有4×(4－1)＋5＝17个“○”，…，据此得出：图○n中有n(n－1)＋5个“○”，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合题意，舍去)．7. B 【解析】观察图形可知，每个图案都是由横排小木棒和纵排小木棒搭建而成，且横排和纵排数相同，其中第(1)个图案有2横排，每排有1个小木棒；第(2)个图案有3横排，每排的小木棒个数分别为2，2，1；第(3)个图案有4横排，每排的小木棒个数分别为3，3，2，1；第(4)个图案有5横排，每排的小木棒个数分别为4，4，3，2，1，…；由此可推测第(n )个图案共有n ＋1横排，每排木棒个数分别为n ，n ，n －1，n －2，…，2，1，故第(6)个图案共有7横排，每排的小木棒个数分别为6，6，5，4，3，2，1，共有27根，则对应的纵排也有27根小木棒，则搭建第(6)个图案共需要小木棒54根．8. C 【解析】观察图形可以发现图①中黑色五角星的个数为1＋2＝3，图②中黑色五角星个数为1＋2＋1＝4，图③中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＝6，图④中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＝7，图⑤中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＋2＝9，…，则图○n 中，当n 为奇数时，黑色五角星个数为2)1(3+n ，当n 为偶数时，黑色五角星个数为123+n ，∴第⑬个图案需要的黑色五角星的个数为3×（13＋1）2＝21个． 9. B 【解析】第①个图形中正三角形的个数为：1＋4，第②个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4，第③个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4，…，第○n 个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4＋…＋3n －1×4，∴第④个图形中正三角形的个数为1＋4＋3×4＋9×4＋34－1×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161.10. C 【解析】∵所有的小矩形都是大小相同的，第①个图形是由2个小矩形组成，面积为6，∴每个小矩形的面积是3，∵第①个图形中有2个小矩形，第②个图形中有6个小矩形，第③个图形中有12个小矩形，12＝2＋4＋6＝2×(1＋2＋3)，第④个图形中有20个小矩形，20＝2＋4＋6＋8＝2×(1＋2＋3＋4)，则第○n 个图形中有2×(1＋2＋…＋n )个小矩形，故第⑥个图形中小矩形的个数为2×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝42个，则其面积为42×3＝126 cm 2.11. A 【解析】第(1)个图形中♥的个数为3＝22－1；第(2)个图形中♥的个数为8＝32－1；第(3)个图形中♥的个数为15＝42－1；第(4)个图形中♥的个数为24＝52－1；…，于是，第(n )个图形中♥的个数为(n ＋1)2－1，所以第(8)个图形中♥的个数为92－1＝80(个)，故选A.12. B 【解析】图①中含“○”的矩形有1＝2×12－1个，图②中含“○”的矩形有7＝2×22－1个，图③中含“○”的矩形有17＝2×32－1个，…，按此规律，则图○n中含“○”的矩形个数为2n2－1，所以图⑥中含“○”的矩形有2×62－1＝71个，故选B.13. C 【解析】由题意可知，摆第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，摆第2个图案需要19＝1＋6＋6×2枚棋子，摆第3个图案需要37＝1＋6＋6×2＋6×3枚棋子，…，则摆第n 个图案需要1＋6＋6×2＋6×3＋…＋6n＝3n(n＋1)＋1枚棋子，所以摆第6个图案需要：3×6×(6＋1)＋1＝127枚棋子，故选C.14. A 【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3－5＋3×2＝13个；…，依此规律，第○n个图形中空心小圆圈个数为：4n－(n＋2)＋n(n－1)，∴第⑦个图形中空心小圆圈个数为：4×7－9＋7×6＝61个．15. B 【解析】∵第①个图形中菱形个数为02＋12＝1个；第②个图形中菱形个数为12＋22＝5个；第③个图形中菱形个数为22＋32＝13个；第④个图形中菱形个数为32＋42＝25个，…，依此规律第○n个图形中菱形个数为(n－1)2＋n2个，∴第⑥个图形中菱形个数为52＋62＝61个．16. D 【解析】在图①中，线段BD上共有4个点，所得三角形的个数共15个，15＝16－1＝42－1；图②中，线段BD上共5个点，所得三角形的个数共24个，24＝25－1＝52－1；图③中，线段BD上共6个点，所得三角形的个数共35个，35＝36－1＝62－1，…，由此可猜想，图○n中，线段BD上共有n＋3个点，所得三角形的个数为(n＋3)2－1，∴图⑤中三角形的个数为(5＋3)2－1＝63.17. n(n＋1) 【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的小正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的小正方形的个数为n(n＋1)．18. 45 【解析】根据题意，可得序号 1 2 3 4钢管数 3 9 18 30找规律3×13×3＝3×(1＋2)3×6＝3×(1＋2＋3) 3×10＝3×(1＋2＋3＋4)综上可知，第5个图形中钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋5)＝3×15＝45个．19. 90 【解析】观察可得，第1个图案：正三角形每条边上有3个花盆，共计32－3个花盆；第2个图案：正四边形每条边上有4个花盆，共计42－4个花盆；第3个图案：正五边形每条边上有5个花盆，共计52－5个花盆；…；由此可知第n个图案：正（n＋2）边形每条边上有（n＋2）个花盆，共计(n＋2)2－(n＋2)个花盆，则第8个图案中花盆的个数为(8＋2)2－(8＋2)＝90.20. 60 【解析】图①几何体的表面积为：6＝6×1；图②几何体的表面积为：18＝6×(1＋2)；图③几何体的表面积为：6×(1＋2＋3)＝36.由此规律得，图④几何体的表面积为：6×(1＋2＋3＋4)＝60.类型二探索图形循环规律针对演练1. 如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 m，一个微型机器人由A点开始按A→B →C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2017 m停下，则这个微型机器人停在 ( )第1题图A. A点B. B点C. C点D. E点2.(2016重庆八中强化训练一)将正六边形ABCDEF的各边按如图所示延长，从射线FA开始，分别在各射线上标记点O1，O2，O3，…，按此规律，则点O2016所在射线是( )第2题图A. ABB. DEC. BCD. EF3. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2017个梅花图案中，共有________个“”图案．第3题图4. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1, 1），B（-1, 1），C（-1, -2），D（1, -2），把一根长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在矩形ABCD的边上，则细线的另一端落在________线段上第5题图答案类型二探索图形循环规律1. B 【解析】∵两个全等的等边三角形的边长为 1 m，∴机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为 6 m，∵2017÷6＝336……1，即正好行走了336圈多1米，到第二个点，∴行走2017 m停下，则这个微型机器人停在B点．2. C 【解析】观察图形可知12个点依次排列在射线FA、CD、AB、DE、BC、EF、CD、FA、DE、AB、EF、BC上，依此规律循环，又因2016÷12＝168，则点O2016在第12条射线BC上，故选C.3. 505 【解析】观察题图可知，“”图案方向依次向上、向右、向下、向左，每四个图案为一个循环周期．∵2017÷4＝504……1，∴前2017个梅花图案中，共有505个“”图案．4. 3 【解析】观察可知，点数3与点数4相对，点数2与点数5相对，且循环周期为4. ∵2014÷4＝503……2，∴滚动2014次后与第二次相同，∴骰子朝下一面的点数为3.5.CD【解析】∵矩形四个顶点的坐标分别为：A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∴矩形的周长为2＋3＋2＋3＝10，则循环一周所需的单位长度是10，∵2016÷10＝201……6，∴细线的另一端落在绕矩形第202圈的第6个单位长度的位置，即是点C与点D的中间位置，即在线段CD上．拓展类型 数式规律针对演练1. (2016张家界)观察下列等式：71＝7，72＝42＋92＝97，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )A. 9B. 7C. 6D. 02. (2016丹东)观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．3. (2016贵港)已知a 1＝tt －1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＋1＝11－a n (n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2016＝________(用含有t 的代数式表示)．4. (2016泉州)指出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为________．第4题图5. (2016南宁)观察下列等式：第1层 1＋2＝3第2层 4＋5＋6＝7＋8第3层 9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4层 16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第________层． 答案拓展类型 数式规律1. D 【解析】根据题意，7的幂的最终结果的末位数字是以7，9，3，1为循环，其和结果的末位数字是0，因为2016÷4＝504，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0. 2. －12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝22＋12，－103＝－32＋13，174＝42＋14，－265＝－52＋15，…，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211. 3. t 1【解析】∵a 1＝1-t t ，a 2＝111--t t ＝1－t ，a 3＝t +-111＝t 1，a 4＝t111-＝1-t t ，…，∴每3个一次循环，∵2016÷3＝672，∴a 2016的值为t 1.4. 226 【解析】观察可得：2＝1×0＋2，10＝2×3＋4，26＝4×5＋6，50＝6×7＋8，…，可以得到规律：右下角三角形中的数字等于左下角三角形中的数字与正上方三角形中数字的积加上中间三角形中的数字，故a ＝14×15＋16＝226.5. 44 【解析】根据题中给出的式子，观察得出规律，第一层第一个数为12，第2层第一个数为22，第3层第一个数为32，…，∵442＝1936，452＝2025，且442＜2016＜452，∴2016位于第44层．。

题型一规律探索题类型一探索图形累加规律针对演练1. (2016荆州改编)下列图形是将黑白两种颜色的菱形纸片按一定的规律排列组成，第1个图形有4张白色纸片，第2个图形有7张白色纸片，第3个图形有10张白色纸片，…，依此规律，则第12个图形中白色纸片的个数为 ( )第1题图A. 34B. 37C. 42D. 462. (2016重庆八中初三(下)第三次月考)下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑧个图案用火柴棒的根数为 ( )第2题图A. 33B.32C. 31D. 303. (2015重庆B卷)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是( )第3题图A.32B. 29C. 28D. 264. (2014重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 ( )第4题图A. 22B. 24C. 26D. 285. 如图，下列图形是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第①个图形的周长为6，第②个图形的周长为8，第③个图形的周长为10，第④个图形的周长为12，按照这样的规律来摆放，则第⑧个图形的周长为 ( )第5题图A. 18B. 19C. 20D. 216. (2016天水改编)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，其中图①中“○”的个数为5个，图②中“○”的个数为7个，图③中“○”的个数为11个，图④中“○”的个数为17个，…，若图○,n)中有245个“○”，则n＝( )第6题图A. 10B. 12C. 14D. 167. (2016重庆外国语学校二诊)下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第(1)个图案需4根小木棒，拼搭第(2)个图案需10根小木棒，…，依此规律，拼搭第(6)个图案需小木棒的根数是 ( )第7题图A. 53B. 54C. 55D. 568. (2016重庆江津中学初三下半期考试)用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第⑬个图案需要的黑色五角星的个数是（）第8题图A. 18B. 19C. 21D. 229. (2016重庆十一中一诊)下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第④个图形中所有正三角形的个数有 ( )第9题图A. 160B. 161C. 162D. 16310. (2016重庆巴蜀一诊)如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6 cm2，第②个图形的面积为18 cm2，第③个图形的面积为36 cm2，…，那么第⑥个图形的面积为 ( )第10题图A. 84 cm2B. 90 cm2C. 126 cm2D. 168 cm211. (2016重庆西大附中第九次月考)下列图形都是用同样大小的♥按一定规律组成的，则第(8)个图形中♥共有 ( )第11题图A. 80个B. 73个C. 64个D. 72个12. (2016重庆一中三模)如图所示，图①中含“〇”的矩形有1个，图②“〇”的矩形有7个，图③中含“〇”的矩形有17个，按此规律，图⑥中含“〇”的矩形个数为( )A. 70B. 71C. 72D. 7313. (2016大渡口区诊断性检测)如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要棋子的枚数为 ( )第13题图A. 115B. 122C. 127D. 13914. (2016重庆一中二模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为( )第14题图A. 61B. 63C. 76D. 7815. (2016重庆巴蜀中学保送生考试)如图，各图都由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有一个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为 ( )第15题图A. 60B. 61C. 62D. 6316. (2016重庆一中第一次定时作业)已知四边形ABCD对角线相交于点O，若在线段BD上任意取一点(不与点B、O、D重合)，并与A、C连接，如图①，则三角形个数为15个；若在线段BD上任意取两点(不与点B、O、D重合)，如图②，则三角形个数为24个；若在线段BD上任意取三点(不与点B、O、D重合)，如图③，则三角形个数为35个；…；以此规律，则图⑤中三角形的个数为( )第16题图A. 48B. 56C. 61D. 6317. (2016徐州)如图，每个图案都由大小相同的正方形组成．按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第17题图18. (2016安顺改编)观察下列砌钢管的横截面图：第18题图则第5个图形中钢管数为________个．19. 如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中花盆的个数为6个，第2个图案中花盆的个数为12个，第3个图案中花盆的个数为20个，…，则第8个图案中花盆的个数为________．第19题图20. (2016龙岩改编)用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图①几何体表面积为6，图②几何体表面积为18，则图④中所示几何体的表面积为________．第20题图答案类型一探索图形累加规律1. B 【解析】每个图形中白色纸片的个数依次是4，7，10，13，….那么，第n个图形中白色纸片的个数为3n＋1，∴第12个图形中白色纸片的个数为3×12＋1＝37.2.A 【解析】∵图①用了5根火柴，即5＝5＋4×0；图②用了9根火柴，即9＝5＋4×1；图③用了13根火柴，即13＝5＋4×2；…；以此规律，第○n个图形中，火柴的根数为5＋4(n－1)，故第⑧个图案用火柴棒的根数为5＋4×(8－1)＝33.3. B 【解析】图①有2＋3×0＝2个黑色正方形；图②有2＋3×1＝5个黑色正方形；图③有2＋3×2＝8个黑色正方形；图④有2＋3×3＝11个黑色正方形，…，按照这个规律，图○n有2＋3(n－1)个黑色正方形，故图⑩一共有2＋3×9＝29个黑色正方形．4. C 【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1－4＝2；第二个图形中有8个三角形：6×2－4＝8；第三个图形中有14个三角形：6×3－4＝14；…；第n个图形中三角形的个数为：6n－4，故第五个图形中三角形的个数为：6×5－4＝26.5. C 【解析】第①个图形的周长为6＋0×2＝6，第②个图形的周长为6＋1×2＝8，第③个图形的周长为6＋2×2＝10，第④个图形的周长为6＋3×2＝12，…，依此规律，可知第○n个图形的周长为6＋(n－1)×2，所以第⑧个图形的周长为6＋7×2＝20.6. D 【解析】图①中有1×(1－1)＋5＝5个“○”，图②中有2×(2－1)＋5＝7个“○”，图③中有3×(3－1)＋5＝11个“○”，图④中有4×(4－1)＋5＝17个“○”，…，据此得出：图○n中有n(n－1)＋5个“○”，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合题意，舍去)．7. B 【解析】观察图形可知，每个图案都是由横排小木棒和纵排小木棒搭建而成，且横排和纵排数相同，其中第(1)个图案有2横排，每排有1个小木棒；第(2)个图案有3横排，每排的小木棒个数分别为2，2，1；第(3)个图案有4横排，每排的小木棒个数分别为3，3，2，1；第(4)个图案有5横排，每排的小木棒个数分别为4，4，3，2，1，…；由此可推测第(n )个图案共有n ＋1横排，每排木棒个数分别为n ，n ，n －1，n －2，…，2，1，故第(6)个图案共有7横排，每排的小木棒个数分别为6，6，5，4，3，2，1，共有27根，则对应的纵排也有27根小木棒，则搭建第(6)个图案共需要小木棒54根．8. C 【解析】观察图形可以发现图①中黑色五角星的个数为1＋2＝3，图②中黑色五角星个数为1＋2＋1＝4，图③中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＝6，图④中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＝7，图⑤中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＋2＝9，…，则图○n 中，当n 为奇数时，黑色五角星个数为2)1(3+n ，当n 为偶数时，黑色五角星个数为123+n ，∴第⑬个图案需要的黑色五角星的个数为3×（13＋1）2＝21个． 9. B 【解析】第①个图形中正三角形的个数为：1＋4，第②个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4，第③个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4，…，第○n 个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4＋…＋3n －1×4，∴第④个图形中正三角形的个数为1＋4＋3×4＋9×4＋34－1×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161.10. C 【解析】∵所有的小矩形都是大小相同的，第①个图形是由2个小矩形组成，面积为6，∴每个小矩形的面积是3，∵第①个图形中有2个小矩形，第②个图形中有6个小矩形，第③个图形中有12个小矩形，12＝2＋4＋6＝2×(1＋2＋3)，第④个图形中有20个小矩形，20＝2＋4＋6＋8＝2×(1＋2＋3＋4)，则第○n 个图形中有2×(1＋2＋…＋n )个小矩形，故第⑥个图形中小矩形的个数为2×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝42个，则其面积为42×3＝126 cm 2.11. A 【解析】第(1)个图形中♥的个数为3＝22－1；第(2)个图形中♥的个数为8＝32－1；第(3)个图形中♥的个数为15＝42－1；第(4)个图形中♥的个数为24＝52－1；…，于是，第(n )个图形中♥的个数为(n ＋1)2－1，所以第(8)个图形中♥的个数为92－1＝80(个)，故选A.12. B 【解析】图①中含“○”的矩形有1＝2×12－1个，图②中含“○”的矩形有7＝2×22－1个，图③中含“○”的矩形有17＝2×32－1个，…，按此规律，则图○n中含“○”的矩形个数为2n2－1，所以图⑥中含“○”的矩形有2×62－1＝71个，故选B.13. C 【解析】由题意可知，摆第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，摆第2个图案需要19＝1＋6＋6×2枚棋子，摆第3个图案需要37＝1＋6＋6×2＋6×3枚棋子，…，则摆第n 个图案需要1＋6＋6×2＋6×3＋…＋6n＝3n(n＋1)＋1枚棋子，所以摆第6个图案需要：3×6×(6＋1)＋1＝127枚棋子，故选C.14. A 【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3－5＋3×2＝13个；…，依此规律，第○n个图形中空心小圆圈个数为：4n－(n＋2)＋n(n－1)，∴第⑦个图形中空心小圆圈个数为：4×7－9＋7×6＝61个．15. B 【解析】∵第①个图形中菱形个数为02＋12＝1个；第②个图形中菱形个数为12＋22＝5个；第③个图形中菱形个数为22＋32＝13个；第④个图形中菱形个数为32＋42＝25个，…，依此规律第○n个图形中菱形个数为(n－1)2＋n2个，∴第⑥个图形中菱形个数为52＋62＝61个．16. D 【解析】在图①中，线段BD上共有4个点，所得三角形的个数共15个，15＝16－1＝42－1；图②中，线段BD上共5个点，所得三角形的个数共24个，24＝25－1＝52－1；图③中，线段BD上共6个点，所得三角形的个数共35个，35＝36－1＝62－1，…，由此可猜想，图○n中，线段BD上共有n＋3个点，所得三角形的个数为(n＋3)2－1，∴图⑤中三角形的个数为(5＋3)2－1＝63.17. n(n＋1) 【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的小正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的小正方形的个数为n(n＋1)．18. 45 【解析】根据题意，可得综上可知，第5个图形中钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋5)＝3×15＝45个．19. 90 【解析】观察可得，第1个图案：正三角形每条边上有3个花盆，共计32－3个花盆；第2个图案：正四边形每条边上有4个花盆，共计42－4个花盆；第3个图案：正五边形每条边上有5个花盆，共计52－5个花盆；…；由此可知第n个图案：正（n＋2）边形每条边上有（n＋2）个花盆，共计(n＋2)2－(n＋2)个花盆，则第8个图案中花盆的个数为(8＋2)2－(8＋2)＝90.20. 60 【解析】图①几何体的表面积为：6＝6×1；图②几何体的表面积为：18＝6×(1＋2)；图③几何体的表面积为：6×(1＋2＋3)＝36.由此规律得，图④几何体的表面积为：6×(1＋2＋3＋4)＝60.类型二探索图形循环规律针对演练1. 如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 m，一个微型机器人由A点开始按A→B →C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2017 m停下，则这个微型机器人停在 ( )第1题图A. A点B. B点C. C点D. E点2.(2016重庆八中强化训练一)将正六边形ABCDEF的各边按如图所示延长，从射线FA开始，分别在各射线上标记点O1，O2，O3，…，按此规律，则点O2016所在射线是( )第2题图A. ABB. DEC. BCD. EF3. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2017个梅花图案中，共有________个“”图案．第3题图4. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1, 1），B（-1, 1），C（-1, -2），D（1, -2），把一根长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在矩形ABCD的边上，则细线的另一端落在________线段上第5题图答案类型二探索图形循环规律1. B 【解析】∵两个全等的等边三角形的边长为 1 m，∴机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为 6 m，∵2017÷6＝336……1，即正好行走了336圈多1米，到第二个点，∴行走2017 m停下，则这个微型机器人停在B点．2. C 【解析】观察图形可知12个点依次排列在射线FA、CD、AB、DE、BC、EF、CD、FA、DE、AB、EF、BC上，依此规律循环，又因2016÷12＝168，则点O2016在第12条射线BC上，故选C.3.505 【解析】观察题图可知，“”图案方向依次向上、向右、向下、向左，每四个图案为一个循环周期．∵2017÷4＝504……1，∴前2017个梅花图案中，共有505个“”图案．4. 3 【解析】观察可知，点数3与点数4相对，点数2与点数5相对，且循环周期为4. ∵2014÷4＝503……2，∴滚动2014次后与第二次相同，∴骰子朝下一面的点数为3.5. CD 【解析】∵矩形四个顶点的坐标分别为：A (1，1)，B (－1，1)，C (－1，－2)，D (1，－2)，∴AB ＝CD ＝2，BC ＝AD ＝3，∴矩形的周长为2＋3＋2＋3＝10，则循环一周所需的单位长度是10，∵2016÷10＝201……6，∴细线的另一端落在绕矩形第202圈的第6个单位长度的位置，即是点C 与点D 的中间位置，即在线段CD 上．拓展类型 数式规律针对演练1. (2016张家界)观察下列等式：71＝7，72＝42＋92＝97，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )A. 9B. 7C. 6D. 02. (2016丹东)观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．3. (2016贵港)已知a 1＝tt －1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＋1＝11－a n (n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2016＝________(用含有t 的代数式表示)．4. (2016泉州)指出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为________．第4题图5. (2016南宁)观察下列等式：第1层 1＋2＝3第2层 4＋5＋6＝7＋8第3层 9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4层 16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第________层．答案拓展类型 数式规律1. D 【解析】根据题意，7的幂的最终结果的末位数字是以7，9，3，1为循环，其和结果的末位数字是0，因为2016÷4＝504，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0. 2. －12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝22＋12，－103＝－32＋13，174＝42＋14，－265＝－52＋15，…，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211. 3. t 1【解析】∵a 1＝1-t t ，a 2＝111--t t ＝1－t ，a 3＝t +-111＝t 1，a 4＝t111-＝1-t t ，…，∴每3个一次循环，∵2016÷3＝672，∴a 2016的值为t 1.4. 226 【解析】观察可得：2＝1×0＋2，10＝2×3＋4，26＝4×5＋6，50＝6×7＋8，…，可以得到规律：右下角三角形中的数字等于左下角三角形中的数字与正上方三角形中数字的积加上中间三角形中的数字，故a＝14×15＋16＝226.5. 44 【解析】根据题中给出的式子，观察得出规律，第一层第一个数为12，第2层第一个数为22，第3层第一个数为32，…，∵442＝1936，452＝2025，且442＜2016＜452，∴2016位于第44层．。