江苏省苏州市张家港市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷 (含解析)

2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：（共70分）1．复数的虚部是．2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．3．C22+C32+C42+…+C112= ．（用数字作答）4．用反证法证明命题：“若x＞0，y＞0 且x+y＞2，则和中至少有一个小于2”时，应假设．5．（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为．（用数字作答）6．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有．7．有5种不同的书（每种书不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法．（用数字作答）8．观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．9．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为．10．用数学归纳法证明“1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）”时，由n=k（k＞1）等式成立，推证n=k+1，左边应增加的项为．11．设直线2x+3y+1=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为．12．甲，乙两人独立地破译1个密码，他们能破译密码的概率分别是和，则这个密码能被破译的概率为．13．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）= ．14．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出4个不同的数字构成四位数，不大于3410的个数是．二．解答题（共90分）15．设复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1）z是纯虚数；（2）z对应的点位于复平面的第二象限．16．若3名女生，5名男生排成一排拍照，问：（用数字作答）（1）3名女生相邻的不同排法共有多少种？ （2）3名女生不相邻的不同排法共有多少种？ （3）5名男生顺序一定的不同排法有多少种？17．已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含x 2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．18．学校游园活动有这样一个游戏：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）． （1）求在1次游戏中： ①摸出3个白球的概率． ②获奖的概率．（2）求在3次游戏中获奖次数X 的分布列．（用数字作答）19．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2﹣na n +1（n ∈N *），且a 1=3．（1）计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； （2）求证：当n≥2时，a n n ≥4n n ．20．设f （x ）=﹣x 3+x 2+2ax ．（1）若f （x ）在（，+∞）上是单调减函数，求实数a 的取值范围．（2）当0＜a ＜2时，f （x ）在[1，4]上的最小值为﹣，求f （x ）在该区间的最大值．2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（共70分）1．复数的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是﹣．故答案为：．2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．3．C22+C32+C42+…+C112= 220 ．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式．【分析】由组合数的性质C n+1m=C n m+C n m﹣1，把C22换作C33逐步利用该性质化简可得．【解答】解：C22+C32+C42+…+C112=C33+C32+C42+…+C112=C43+C42+…+C112=…=C123=220．故答案为：220．4．用反证法证明命题：“若x＞0，y＞0 且x+y＞2，则和中至少有一个小于2”时，应假设和都大于等于2 ）．【考点】反证法与放缩法．【分析】由于“和中至少有一个小于2”的反面是：“和都大于或等于2”，从而得到答案．【解答】解：由于“和中至少有一个小于2”的反面是：“和都大于或等于2”，故用反证法证明命题：“若x＞0，y＞0 且x+y＞2，则和中至少有一个小于2”时，应假设和都大于或等于2，故答案为：和都大于或等于2．5．（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为﹣48 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】根据x2y7的来由分析两种可能，结合二项展开式求系数．【解答】解：当因式x﹣2y取x，则二项式（x+y）8则取xy7，此时系数为=8；当因式x﹣2y取﹣2y，则二项式（x+y）8则取x2y6，此时系数为=﹣56；所以（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为8﹣56=﹣48；故答案为：﹣48．6．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有cos2α+cos2β+cos2γ=2 ．【考点】类比推理．【分析】本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，根据长方体性质可以类比推断出空间性质，从而得出答案．【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ===2．故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．7．有5种不同的书（每种书不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每人各一本，共有125 种不同的送法．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：分析可得，这是一个分步计数原理问题，根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，则有5×5×5=125种故答案为：125．8．观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【考点】归纳推理．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．9．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据正三角形的性质可知b=3c，进而根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．【解答】解：依题意可知b=3c∴a== c∴e==故答案为：10．用数学归纳法证明“1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）”时，由n=k（k＞1）等式成立，推证n=k+1，左边应增加的项为（2k+2）+（2k+3）．【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，左端为1+2+3+…+（2k+1），到n=k+1时，左端1+2+3+…+（2k+3），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，当n=1左边所得的项是1+2+3；假设n=k时，命题成立，左端为1+2+3+…+（2k+1）；则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+[2（k+1）+1]，∴从“k→k+1”需增添的项是（2k+2）+（2k+3）．故答案为：（2k+2）+（2k+3）．11．设直线2x+3y+1=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为3x ﹣2y﹣7=0 ．【考点】圆的标准方程．【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x+4y=0，得（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心坐标为（1，﹣2），又直线2x+3y+1=0的斜率为，则所求直线的斜率为．∴弦AB的垂直平分线的方程为y﹣（﹣2）=．整理得：3x﹣2y﹣7=0．故答案为：3x﹣2y﹣7=0．12．甲，乙两人独立地破译1个密码，他们能破译密码的概率分别是和，则这个密码能被破译的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】密码被译出的对立事件是密码不能被译出，而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出密码被译出的概率．【解答】解：两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，密码被译出的对立事件是密码不能被译出，而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，∴密码被译出的概率：p=1﹣（1﹣）（1﹣）=，故答案为：．13．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）= ．【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=，得到P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=，由此解出p值，根据η～B（4，p），代入所求的概率的值，根据P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣p（η=1）得到结果．【解答】解：∵随机变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=，∴P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣•（1﹣p）2=，解得p=，∴P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）=1﹣（）0（）4﹣=1﹣﹣=．故答案为：．14．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出4个不同的数字构成四位数，不大于3410的个数是305 ．【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论，根据不大于3410，利用排列知识，即可得出结论．【解答】解：首位是1的四位数，有A63=120个；首位是2的四位数，有A63=120个；首位是3，千位是0，1，2的四位数，有C31A52=60个；首位是3，千位是4，十位是0的四位数，有4个，∴不大于3410的个数是120+120+60+4+1=305．故答案为：305．二．解答题（共90分）15．设复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1）z是纯虚数；（2）z对应的点位于复平面的第二象限．【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）当复数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0，得到关于m的方程组，解方程组即可．（2）复平面内第四象限的点对应的复数，得到实部为正和虚部为负得出不等关系，最后解不等式即可．【解答】解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由，得m=3．（2）当复数对应的点在第二象限时，由，得﹣1＜m＜3．16．若3名女生，5名男生排成一排拍照，问：（用数字作答）（1）3名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）3名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）5名男生顺序一定的不同排法有多少种？【考点】计数原理的应用．【分析】（1）先把3名女生捆绑在一起看作一个复合函数，再和5名男生全排，可得结论；（2）先任意排5名男生形成了6个空，将3名女生插入到其中三个空中；（3）5名男生的顺序一定，在8个位置任意排3名女生【解答】解：（1）先把3名女生捆绑在一起看作一个复合函数，再和5名男生全排，故有，（2）先任意排5名男生形成了6个空，将3名女生插入到其中三个空中，故有，（3）5名男生的顺序一定，在8个位置任意排3名女生，故有17．已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【考点】二项式定理．【分析】（1）由二项式定理，可得（﹣）n的展开式的通项，又由题意，可得当r=5时，x的指数为0，即，解可得n的值，（2）由（1）可得，其通项为T r+1=（﹣）r C10r，令x的指数为2，可得，解可得r的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为T r+1=（﹣）r C10r，令x的指数为整数，可得当r=2，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．【解答】解：（1）根据题意，可得（﹣）n的展开式的通项为=，又由第6项为常数项，则当r=5时，，即=0，解可得n=10，（2）由（1）可得，T r+1=（﹣）r C10r，令，可得r=2，所以含x2项的系数为，（3）由（1）可得，T r+1=（﹣）r C10r，若T r+1为有理项，则有，且0≤r≤10，分析可得当r=2，5，8时，为整数，则展开式中的有理项分别为．18．学校游园活动有这样一个游戏：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．（1）求在1次游戏中：①摸出3个白球的概率．②获奖的概率．（2）求在3次游戏中获奖次数X的分布列．（用数字作答）【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）①求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果；（2）确定在3次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2、3，求出相应的概率，即可写出分布列．【解答】解：（1）①设“在1次游戏中摸到i个白球”为事件A i（i=0，1，2，3），则P（A3）==；②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=•+•=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3；P（X=0）=•（1﹣）3=，P（X=1）=C31••=，P（X=2）=••（1﹣）=，P（X=3）=•=；19．已知数列{a n}满足a n+1=a n2﹣na n+1（n∈N*），且a1=3．（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并给出证明；（2）求证：当n≥2时，a n n≥4n n．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（1）由，且a1=3，分别令 n=1，2，3即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可（2）由（1）可得a n=n+2，从而有=（n+2）n，利用二项式定理展开后即可证明【解答】解：（1）∵，且a1=3．∴a2=4，a3=5，a4=6猜想a n=n+2证明：①当n=1时显然成立②假设n=k时（k≥1）时成立，即a k=k+2则n=k+1时，a k+1===k+3即n=k+1时命题成立综上可得，a n=n+2证明：（2）∵a n=n+2，n≥2∴=（n+2）n=≥≥5n n﹣2n n﹣1=4n n+n n﹣1（n﹣2）≥4n n，即证20．设f（x）=﹣x3+x2+2ax．（1）若f（x）在（，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由已知得f′（x）=﹣x2+x+2a，求出函数的最值，继而得到a的取值范围．（2）先根据导数求出极值点．在判断函数的再某个区间上的单调性，根据单调性得到最值．【解答】解：（1）由．当时，f'（x）的最大值为．因为f（x）在上是单调减函数，则f'（x）≤0在上成立，所以，解得，故所求实数a的取值范围为．（2）令．因为当x＜x1或x＞x2时f'（x）＜0，当x1＜x＜x2时f'（x）＞0所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），又．所以f（x）在[1，4]上的最小值为．得a=1，x2=2，从而f（x）在[1，4]上的最大值为．。

2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。

姓名，年级：时间：邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟 总分:150分)一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f (x ）＝x 2﹣sin x 在［0，π］上的平均变化率为( ）A ．1B ．2C ．πD ．π2 2．复数z 满足z =2i 1−i ，则复数z 的虚部为( )A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．已知随机变量X 服从正态分布N （1，4），若P （X ≥2）＝0。

2，则P （0≤X ≤1）为（ ）A ．0。

2B ．0.3C ．0。

4D ．0.6 4．已知C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N ＊）,则n 等于（ )A ．14B ．12C ．13D ．155．已知f （x ）＝x •sin2x ,则)2(πf '为（ ） A ．﹣πB ．−π2C ．π2D ．π 6．二项式（√x +2x 2）10展开式中的常数项是（ )A ．180B ．90C ．45D ．3607．从1,2，3，4，5,6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则P （B ｜A ）＝（ ）A．38B．1340C．1345D．348．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A．48种B．72种C．96种D．144种9．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x）,且函数f(x）在x＝﹣1处取得极大值,则函数y＝xf′(x）的图象可能是（)A．B．C．D．10．已知（x﹣1)9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8＝（）A．﹣45 B．27 C．﹣27 D．4511．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是（）A．每人都安排一项工作的不同方法数为54B．每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A3312．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈［1，e］的最小值为3，若存在x1，x2,…，x n∈[1，e］，使得f（x1)+f(x2)+…+f（x n﹣1）＝f(x n），则正整数n的最大值为（)A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为．14．若(1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝．15．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________16．若存在a＞0,使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为．三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分,其他每题12分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z是复数,z+2i与z2−i均为实数．（1）求复数z；(2）复数（z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数（结果用数字作答)．（1）选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起;（5）全体排成一排，男生互不相邻。

2019-2020学年苏州市张家港市高二下学期期末数学试卷2018-2019学年江苏省苏州市张家港市舞蹈学校高二（下）期末数学试卷（202105061426模拟）一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.“所有末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是______ ．2.设p：x>2或x≤−5；q：x+52−x<0，则非q是非p的______ 条件．3.已知φ(a,b)=√(a−b)2+(lna−b24)2+b24，则φ(a,b)的最小值为______．4.，若PA+PF的最小值为M此时点P的纵坐标的值为n，则M+n=．5.已知函数，则6.己知x2m +y23−m=1的一个焦点为(0,1)，则m的值为______．7.在平面直角坐标系中，已知三角形顶点和，顶点在椭圆上，则．8.命题“若x<0，则e x+x−1<0”的逆否命题为______ ．9.设F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M(3,√2)在此双曲线上，点F2到直线MF1的距离为4√69，则双曲线C的离心率为______．10.已知椭圆C：，(1)椭圆C的离心率是，(2)设椭圆C的两焦点为，过的直线交椭圆C于两点，则的周长是。

11.在平面直角坐标系xOy中，已知P(√32,0)，A、B是圆C：x2+(y−12)2=36上的两个动点，满足PA=PB，则△PAB面积的最大值是______．12.已知f(x)=xx−1，则f′(0)=______．13.若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴，则k=__________．14.已知直线y=kx−2与曲线y=xlnx在x=e处的切线平行，则实数k的值为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数f(x)=x2lnx−x+1．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)设实数m使得f(x)≥m(x−1)2对x≥1恒成立，求m的取值范围．16.(10分)已知命题函数在上单调递减；命题不等式关于x的不等式恒成立.若为真命题，为假命题，求m的取值范围．17.已知函数f(x)=x3−2x2+x，g(x)=x2+x+a，若函数y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．18.如图，A、B是离心率为的椭圆(a>b>0)的两个顶点，且．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l平行于AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于点C，D.证明：△OCM的面积等于△ODN的面积．19. (文)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0})，点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．(1)求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出定值；(2)试对双曲线x2a2−y2b2=1写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．20. 求满足下列条件的标准方程(10分)(1)若椭圆的两个焦点为F1(−4,0)，F2(4,0)，且过点M(4,6)求椭圆的标准方程；(2)已知双曲线的渐近线是，并且双曲线过点，求双曲线方程．【答案与解析】1.答案：至少存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除解析：解：“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是“至少存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除”故答案为：至少存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除．本题要写出命题的否定命题，依据否定命题定义写出即可．本题考查命题的否定，做对本题，关键是掌握住命题的否定的书写格式与规则．2.答案：必要不充分解析：解：∵p：x>2或x≤−5，∴非p：−5<x≤2，∵q：x+52−x<0，即非q：−5≤x≤2，∴非q是非p的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．先求出非q和非p，然后根据非p的取值范围和非q的取值范围来确定非q与非p的相互关系．本题考查必要条件、充分条件和充要条件，解题时要全面考虑，避免不必要的错误．3.答案：√2−1解析：解：设f(x)=lnx,g(x)=x24，则√(a−b)2+(lna−b24)2表示函数f(x)=lnx上一点P(a,lna)与函数g(x)=x24上一点Q(b,b24)之间的距离，又函数g(x)=x24表示焦点为F(0,1)，准线为y=−1的抛物线，由抛物线定义可得b24=|QF|−1，∴φ(a,b)=√(a−b)2+(lna−b24)2+b24的几何意义即为|PQ|+|QQ′|=|PQ|+|QF|−1，作出示意图如下，由图观察可知，当点P运动至点P′，且FP′垂直于过点P′的函数f(x)=lnx的切线，点Q为线段FP′与函数g(x)=x24的交点时，|PQ|+|QF|−1最小，设P′(x0,y0)，f′(x)=1x ，则{y0−1x0⋅1x0=1y0=lnx0，解得{x0=1y0=0，即P′(1,0)，∴|PQ|+|QF|−1最小值为|FP′|−1=√1+1−1=√2−1．故答案为：√2−1．观察式子，根号部分表示函数f(x)=lnx上一点P(a,lna)与函数g(x)=x24上一点Q(b,b24)之间的距离，而b24=|QF|−1，利用几何意义可知φ(a,b)几何意义即为|PQ|+|QQ′|=|PQ|+|QF|−1，作出图形，由图象观察结合导数的几何意义即可求出最小值．本题考查函数的最值及其几何意义，涉及了两点间的距离公式，抛物线的性质，利用导数求曲线的切线方程等知识点，考查计算能力及转化思想，数形结合思想，属于中档题．4.答案：5解析：本题考查抛物线定义及性质。

2019-2020年高二下学期期中联考数学（理）试题含答案王永杰李好敬一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A、B、C、D、2．若，则a的值是（）A、2B、3C、4D、63．已知随机变量服从正态分布则（）A、0.89B、0.78C、0.22D、0.114．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5．用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由n=k到n=k+1时,不等式的左边（）A．增加了一项 B. 增加了两项C. 增加了一项，又减少了一项D. 增加了两项，又减少了一项6．已知随机变量X的分布列如下表（其中为常数）：则下列计算结果错误的是（）A、B、C、D、7．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A.12B.24C.30D.368．直线a//b, a上有5个点，b上有4 个点，以这九个点为顶点的三角形个数为（）A、B、 C、D、9．某种玉米种子，如果每一粒发芽的概率为90%，播下5粒种子，则其中恰有两粒未发芽的概率约是（）A．0．07B．0．27 C．0．30 D．0．3310．展开式中的常数项是（ ）A ．B ．18C ．20D ．011．给出下列命题：(1)已知事件是互斥事件，若，则；(2)已知事件是互相独立事件，若，则(表示事件的对立事件)；(3)的二项展开式中，共有4个有理项． 则其中真命题的序号是（ ）A ．(1)、(2)．B ．(1)、(3)．C ．(2)、(3)．D ．(1)、(2)、(3)．12．函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数在区间上的图像如图所示， 且，那么（ ）A ．是的极大值点B ．=是的极小值点C ．不是极值点D ．是极值点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试数学参考答案一、单项选择题：1-8. DCBBABDD二、多项选择题：9. ABD10. ABC 11. ABD 12. A BD 三、填空题：13.114. (0, 1]15.13302－3 0LM3－2－ fhu －－A 四、解答题：17.解：（I ）由f(x)=x 十臼2十blnx，得f'(x)= 2ax+ 1 ＋互（x > 0). x ...... 1分由曲线Y = f(x ）在点(,f (））处的切线方程为2x-y-2=0,得f'(l)= 1 + 2α＋b = 2/(1)= 1＋α＝ 0 ............... 3分解得α＝－1,b =3. . .............. 4分（即f(x ）＝一泸＋x+3lnx,x E (0十∞），f'(x)=-2x+l 十二（x > 0). …….........5分一2x+l ＋二＞0，解得XE (0，三）…........….6分x2-2x+l ＋三＜0，解得XE (;,+oo ).....………7分X L3同、3所以函数的增区间：（0，一）；减区间：（一，＋∞），............... 8分2 2 3 3 3 当x ＝三时，函数取得极大值，函数的极大值为f （一=3ln一一一...............10分2 2 4 18.解：（I ）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法cL�1=s4oc 种）．...... 4分(II ）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法d·cl·A 1=3360（种）．.... 8分。

1月先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有d 种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有d种，其余3人全排列有A�种，所以共有不同选法d·d A �＝360（种）…….......12分（每少写一处数值，扣l分）高二数学参考答案第l 页共4页江苏省苏州市2019-2020学年高二第二学期期中考试。

江苏省苏州市昆山市2019-2020年高二下学期5月期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题5名同学中的3人，每人1张，则不同的分法有（ ） A.120种B.60种C.20种D.10种2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB 与1C B 所成的角为（ ）A.6π B.3π C.2π D.23π 3.已知函数()sin 2f x x =，则的导函数（ ）A.cos2xB.cos2x -C.2cos2xD.2cos2x -4.5人站成一排，若甲､乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（ ） A.144 B.72C.36D.125.已知(x 2+1x )n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x 4 的系数( )A. 5B. 40C. 20D. 106.若函数()22f x x ax x +＝ln ﹣在区间()1,2内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.31,82⎛⎫⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ） A.32π B.3π C.5π D.4π8.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ） A.(,]e -∞B.(,)e -∞C.(,)e -+∞D.[,)e第II 卷（非选择题）二、填空题9.计算778C C C ++的值为___________.10.二项式(1)n x +的展开式中只有第6项的系数最大，则正整数n 的值为___________. 11.已知定义在R 上的可导函数f （x ）满足：f （1）＝1，f ′（x ）+f （x ）＜0，则不等式f （x ）≥e 1﹣x 的解集为________．三、解答题.(结果用数字作答) （1）A ，B ，C 三人必须入选有多少种不同的选法？ （2）A ，B ，C 三人只有一人入选有多少种不同的选法？ （3）A ，B ，C 三人至多二人入选有多少种不同的选法？13.已知三次函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣6x +b ，a ，b ∈R ，f （0）＝1，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处切线的斜率为﹣6. （1）求函数y ＝f （x ）的解析式； （2）求f （x ）在区间[﹣2，4]上的最值.14.已知四面体ABCD 中，2AB BC AC CD ====，AD =120BCD ∠=︒，E 为BC 中点.（1）求证：AE ⊥平面BCD ；（2）求AD 与平面ABC 所成的角的正切值.15.如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，AC ⊥BC ，且AC =BC ．(Ⅰ)求证：AM⊥平面EBC ；(Ⅱ)求二面角A −EB −C 的大小．16.已知2020220200122020()(1)f x x a a x a x a x =-=++++.（1）求1232020a a a a ++++的值； （2）求1232020232020a a a a ++++的值；（3）求12320201111a a a a ++++的值.17.已知函数2()ln ,01f x x m x m x=++<<. （1）若()f x 在43x =时取得极值，求实数m 的值； （2）求()fx 的单调区间； （3）证明：()f x >.四、新添加的题型18.若1717C C =，则正整数x 的值是（ ）A.1B.4C.6D.819.已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（ ） A.()f x 在1x =处的切线方程为1y x =- B.单调递增区间为(),e -∞ C.()f x 的极大值为1eD.方程()1f x =-有两个不同的解20.将4个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子，则不同的放法种数是（ ） A.11114323C C C CB.2343C AC.3143A CD.21342322C C A A ⋅21.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论中正确的有（ ）A.11DC D P ⊥B.1APD ∠的最大值为90°C.1AP PD +D.1C P 与平面11A B BA 所成角正弦值的取值范围是23⎣⎦22.棱长为1的正四面体ABCD 内有一个内切球O ，M 为CD 中点，N 为BM 中点，连接AN 交球O 于P ，Q 两点，则球O 的表面积为___________，PQ 的长为___________.参考答案1.B【解析】1.先从5人选3人，再给这3个人分配门票即可得到不同的分法.先从5人选3人，再给这3个人分配门票，故不同分法有335360C A =，故选：B. 2.B【解析】2.连接1AD ，11B D ，得出11B AD ∠为1AB 与1C B 所成的角，即可求解. 如图，连接1AD ，11B D ， 因为11//AB D C 且11AB D C =， 所以11ABC D 为平行四边形， 所以11//BC AD ，所以11B AD ∠为1AB 与1C B 所成的角， 因为11AB D 为等边三角形，所以113B AD π∠=.故选：B 3.C【解析】3.试题根据正弦函数的导数公式及复合函数的求导法则可得：令sin ,2y u u x ==，则()(cos )22cos 2u x f x y u u x =⨯=''='⋅，故选C.4.B【解析】4.利用插空法，先对除甲､乙两人的其他3人排列，然后甲､乙两人去插4个空即可 解：先对除甲､乙两人的其他3人排列，有33A 种，3个人排列后有4个空，然后甲､乙两人从这4 个空中选2个空排列即可，所以共有3234324372A A ⋅=⨯⨯⨯=种方法，故选：B 5.D【解析】5.试题分析：先对二项式中的x 赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n 的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x 的指数为4，求出r ，将r 的值代入通项求出二项展开式中x 4的系数．在(x 2+1x)n中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n ，∴2n =32，∴n=5，得到(x 2+1x )5∴T r+1=C 5r x10−3r ∴10−3r =4,r =2∴二项展开式中x 4的系数C 52=10，故选D.6.D【解析】6.求出函数的导数，将问题转化为2112a x x ≥-在()1,2x ∈恒成立，令211()2g x x x=-，求出()g x 的最小值，从而可求得a 的取值范围． 由函数()22f x lnx ax x +-＝可得()122f x ax x'=+-， 若()f x 在区间()1,2内单调递增， 则()0f x '≥在x ∈()1,2恒成立， 即2112a x x≥-在x ∈()1,2恒成立， 令2211111()1,222g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1()(1),2g x g <= 故12a ≥， 即实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D ． 7.D【解析】7.设内接圆柱的底面半径为x ，根据题中条件，得到内接圆柱的高42h x =-，由圆柱的侧面积公式，表示出侧面积，进而可求出结果.圆锥的底面半径为2，高为4， 设内接圆柱的底面半径为x ， 则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为422xx ⨯=， 因此，内接圆柱的高42h x =-；∴圆柱的侧面积为()()224242S x x x x ππ=-=-(02)x <<，令()22121==-+--t x x x ，当1x =时，1max t =； 所以当1x =时，4max S π=，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π. 故选：D. 8.A【解析】8.由题意知()'f x 有唯一的变号零点，等价于()0f x '=有唯一实数根1x =，对()'f x 因式分解可得1()x x e k f x x x ⎛⎫--= ⎝'⎪⎭，转化为0x e k x -=无实根，也即y k =与()x eg x x =两个函数图象没有交点，利用导数研究()xe g x x=，即可求出实数k 的取值范.()()2211()111x x xx xe e ek x e f x k x x k x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫'=+-=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎝-⎭⎭， 因为1x =是函数()f x 唯一极值点，所以()0f x '=有唯一实数根1x =，所以0x e k x -=无实根，也即y k =与()xe g x x=两个函数图象没有交点，()()221xx x e x e x e g x x x--'==，所以()x e g x x =在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()11eg x g e ≥==，所以k e ≤， 故选：A 9.126【解析】9.利用组合数的性质计算即可 解：3458954577889!98761265!4!4321C C C C C C ⨯⨯⨯===+⨯+==⨯⨯⨯+， 故答案为：126 10.10【解析】10.利用二项式系数的最值，直接计算结果.由二项式的形式可知，每一项的系数和二项式系数相等，所以第6项的二项式系数是5n C ，所以52n=，得10n =. 故答案为：10 11.（﹣∞，1]【解析】11.根据条件构造函数g （x ）＝e x f （x ），求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式问题转化为函数单调性问题进行求解即可．解：不等式f （x ）≥e 1﹣x ，等价为e x f （x ）≥e ，设g （x ）＝e x f （x ），则函数的导数g ′（x ）＝e x （f （x ）+f ′（x ））， ∵f （x ）+f ′（x ）＜0，∴g ′（x ）＜0，即函数g （x ）在定义域上为减函数， ∵g （1）＝ef （1）＝e ，∴e x f （x ）≥e 等价为g （x ）≥g （1），则1x ≤， 即不等式f （x ）≥e 1﹣x （e 为自然对数的底数）的解集是（﹣∞，1]， 故答案为：（﹣∞，1].12.（1）36种；（2）378种；（3）756种.【解析】12.（1）相当于从剩下的9人选2人的方法种数；（2）先选1人，再从剩下的9人选4人的方法种数；（3）利用间接法计算结果. 从12人中选出5人去参加一项活动.（1）A ，B ，C 三人必须入选，再从剩余的9人里选2人，共有2936C =种不同的选法；（2）先从A ，B ，C 三人选一人，再从剩余的9人里选4人，共有1439378C C =种不同的选法；（3）先从12人中选5人，再减去A ，B ，C 都入选的情况，所以A ，B ，C 三人至多二人入选有59212756C C -=种不同选法.13.（1）()323612f x x x x =--+；（2）最大值为17，最小值为﹣9.【解析】13.（1）先求函数的导数，进而根据(1)6f '=-求出a 的值，然后根据f （0）＝1，求出b 的值即可求出函数的解析式；（2）先利用导数判断函数的单调性，进而求出函数在区间[﹣2，4]上的最值.（1）2()326f x x ax +'=-，由导数的几何意义，(1)6f '=-，32a ∴=-， ∵f （0）＝1，∴b ＝1，323()612f x x x x ∴=--+.（2）2()3363(1)(2)f x x x x x ==+'---，令()0f x '=得121,2x x =-=，当[2,1)x ∈--时，()0f x '>，f （x ）单调递增； 当(1,2)x ∈-时，()0f x '<，f （x ）单调递减； 当x ∈（2，4]时，()0f x '>，f （x ）单调递增， ∴函数f （x ）在x ＝﹣1取得极大值为9(1)2f -=， 在x ＝2时取得极小值为f （2）＝﹣9，9(2)1(2),(4)172f f f -=->=>， ()f x ∴在区间[2,4]-上的最大值为17，最小值为﹣9.14.（1）见解析（2）7【解析】14.（Ⅰ）连结DE ，推导出AE ED ⊥，AE BC ⊥，由此能证明AE ⊥平面BCD ； （Ⅱ）平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ，则DF ⊥平面ABC ，从而DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成角，由此能求出AD 与平面ABC 所成的角的正切值.解：（1）连接DE ，在DCE 中，由余弦定理得： 22212212cos1207DE =+-⋅⋅︒=在ABC 中，AE =则有222AE DE AD +=， 所以AE ED ⊥，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，DE BC E ⋂=，所以AE ⊥平面BCD ，（2）由于AE ⊂平面ABC ，由（1）可得平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ， 则DF ⊥平面ABC ，则DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成的角，在Rt CDF 中，sin60DF CD =︒，在Rt ADF 中，AF =AD ∴与平面ABC 所成的角的正切值：tan 7DF DAF AF ∠===. 15.(Ⅰ) 见解析.(Ⅱ) 60°.【解析】15.分析：由题意，以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ．则：(Ⅰ)由空间向量的运算法则可得：AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，据此可得AM ⊥平面EBC ；(Ⅱ)由题意可得平面EAB 的一个法向量为n⃑⃑ =(1,−1,0)，平面EBC 的一个法向量为AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,1)，据此计算可得：二面角A −EB −C 的大小为60°. 详解：∵四边形是正方形 ， ，∵平面平面，平面， ∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，∵是正方形的对角线的交点，．(Ⅰ)，，， ，平面．(Ⅱ)设平面的法向量为，则且，且．即取，则， 则．又∵为平面的一个法向量，且，，设二面角的平面角为θ，则，．∴二面角等于．16.（1）1-；（2）0；（3）10101011.【解析】16.（1）利用赋值法，令1x =和0x =，求系数和；（2）求函数的导数，再令1x =，求()1f '；（3）用组合数公式表示2020(1)(02020)kk k a C k =-，再代入组合数公式，变形化简，得20201kC =1202120212021112022k k C C +⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. （1）0(0)1f a ==，0122020(1)0f a a a a ==++++，所以1232020(1)(0)1a a a a f f ++++=-=-；（2）2019220191232020()2020(1)232020f x x a a x a x a x '=--=++++，所以1232020232020(1)0a a a a f '++++==；（3）因为2020(1)(02020)k kk a C k =-，所以12320201232020202020202020202011111111a a a a C C C C ++++=-+-++因为20201!(2020)!2021!(2020)!(20211)2020!20222021!k k k k k k k C ---++==⋅1202120212021(2021)!![2021(1)]!(1)!20211120222021!2022k k k k k k C C +⎛⎫-+-++=⋅=⋅-+ ⎪⎝⎭所以原式12233420202021202120212021202120212021202120212021111111112022C C C C C C C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2021120212021202111101020221011C C ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦所以12320201111a a a a ++++的值为10101011. 17.（1）16m =；（2）单调减区间为0,2m ⎛-+ ⎪⎝⎭，单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】17.(1)求出原函数的导函数，由题意得403f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，求得m 值，代入原函数，验证() f x 在43x =时取得极小值即可; (2)求出原函数的导函数的零点,由导函数的零点对函数的定义域分段,再由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调性;(3)由(2)可得原函数的最小值，利用基本不等式证明最小值大于()f x >.解：（1）由题意得222()x mx f x x +-'=，因为()f x 在43x =时取得极值，所以403f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解得16m =， 当16m =时，22212(23)(34)6()6x x x x f x x x +-+-'==，因为0x >，所以230x +>， 所以当40,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递减； 当4,3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，所以()f x 在43x =时取得极小值， 综上16m =；（2）因为222()x mx f x x +-'=，由()0f x '=，解得10(01)x m =<<<舍去，)00||x m m =>>，所以在()00,x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()00,x 单调递减； 在()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()0,x +∞单调递增，所以()f x的单调减区间为0,2m ⎛-+ ⎪⎝⎭，()f x的单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （3）法一：由222(),01x mx f x m x+-'=<<，则(1)10,02f m f ''=-<=>， 由（2）知，存在唯一的0(1x ∈，使得()00f x '=，即20020x mx +-=，002m x x =- ()min 000000000222()ln ln f x f x x m x x x x x x x ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭设22()ln ,g x x x x x x x ⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭，22()1ln 0,g x x x x ⎛⎫'=--<∈ ⎪⎝⎭所以()g x g >=所以()f x >（3）法二：因为0x ==又01m <<，所以01x <<0ln 0x >. 又由（2）()min 00002()ln f x f x x m x x ==++，所以002()f x x x >+>18.AC【解析】18.由组合数的性质，直接计算结果.由组合数的性质可知21x x =-或2117x x +-=，解得：1x =或6x =. 故选：AC 19.AC【解析】19.对()f x 求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项A ；利用导数分析函数()f x 的单调性，极值可判断选项B ，C ；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选项D ． 解：因为()ln xf x x=，所以函数的定义域为()0,∞+ 所以()21ln xf x x-'=，()11f '=，()10f =， ∴()f x 的图象在点()1,0处的切线方程为()()011y f x '-=-， 即()111y x x =⋅-=-，故A 正确； 在()0,e 上，()0f x '>，()f x 单调递增， 在()e,+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减，故B 错误，()f x 的极大值也是最大值为()ln e 1e e ef ==，故C 正确； 方程()ln 1xf x x==-的解的个数，即为ln x x =-的解的个数， 即为函数ln y x =与y x =-图象交点的个数， 作出函数ln y x =与y x =-图象如图所示：由图象可知方程()1f x =-只有一个解，故D 错误. 故选：AC . 20.BD【解析】20.将4个不同的小球分成3组，进行全排即可求解. 首先从4个不同的小球分成3组，3组的球数为2,1,1，即24C 或224222C C A ， 再将3组小球放入标有1､2､3号的盒子中，有33A 种， 所以共有2343C A 或21342322C C A A ⋅. 故选：BD 21.ACD【解析】21.证明1DC ⊥平面11A BCD ，即可得出11DC D P ⊥；当112A P =时，求出11,,AP D P AD 的长度，再由余弦定理得出1cos 0APD ∠<，从而判断B 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，可知线段1AD 即为1AP PD +的最小值，再由余弦定理求出最小值；由11B C ⊥平面11A B BA 得出1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，结合直角三角形的边角关系得出1C P 与平面11A B BA 所成角正弦值的取值范围. 连接1CD ，如下图所示对于A 项，由于11A D ⊥平面11CDD C ，则111A D DC ⊥，由1DC ⊥1CD ，结合线面垂直的判定定理可得1DC ⊥平面11A BCD ，又1D P ⊂平面11A BCD ，所以11DC D P ⊥ 对于B 项，当112A P =时，AP ==12D P ==，1AD =1APD △中，1552cos 0APD +--∠=<，则1APD ∠可以为钝角，则B 错误； 对于C 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，如下图所示 则线段1AD 即为1AP PD +的最小值 在11D A A △中，11135D A A ︒∠=由余弦定理得1AD ==，即1AP PD +的最小值为对于D 项，由于11B C ⊥平面11A B BA ，且111B C B P ⊥，则1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，则1111sin B PC C P ∠=，因为12C P ≤≤，所以116sin 23B PC ∠，即1C P 与平面11A B BA所成角正弦值的取值范围是,23⎣⎦故选：ACD22.6π【解析】22.取AB 的中点为S ，连接MS 、AM ，设T 为BCD △的中心，连接AT ，则MS 与AT 的交点为球心O 且AT ⊥平面BCD .利用解直角三角形可求球的半径和球心到到直线AN 的距离，故可求PQ 的长度.取AB的中点为S，连接MS、AM，设T为BCD△的中心，连接AT，则MS与AT 的交点为球心O且AT⊥平面BCD.正四面体中，因为棱长为1，M为CD的中点，故2BM AM==.在等腰三角形ABM中，因为S为底边AB的中点，故2SM==，所以1tan BMS∠==，故11tan tan332212OT TM BMS BM BMS=∠=∠=⨯=，故球O的表面积为246ππ⨯=⎝⎭.而AT==AO==，在直角三角形ANT中，12NT BM TM=-==，故4AN====所以sin334NAT∠==，故O到直线AN的距离OG=，故PQ===，故答案为：6π.。

2019-2020年高二下学期期中联考数学理试题含答案一、选择题（本题12小题，每题5分共60分）1．已知复数的共轭复数(为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若命题：，命题：，则是的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设函数，则该函数曲线在处的切线方程是( )A. B.C. D.5．观察按下列顺序排列的等式：，，，，…，猜想第个等式应为( )A．B．C．D．6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为() A．6或－6 B．2或－2 C．4或－4 D．12或－128. 七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )A .240种 B.192种 C.120种 D.96种9. 若的展开式中的系数为,则的值等于( )A. B. C. D.10．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值11．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为( )A．B．C．D．12. 如图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记，截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为()二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为__________.15．如图，由曲线和直线，，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是__________16．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x 求导数，得 于是()()()[()ln ()()]()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+， 运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .三解答题（本题6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分）17.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．设.求：(1)的值； (2)的值；(3) 的值；18．平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角 的余弦值.19．已知关于的不等式对任意恒成立；，不等式成立.若为真，为假，求的取值范围.20.设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.21．椭圆E: 离心率为,且过.(1)求椭圆E 的方程;(2)已知直线过点,且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 相切于第二象限的一点,直线与椭圆E 交于两点,与轴交与点,若,,且,求抛物线C 的标准方程.22．已知函数在处取得极值2.（1）求的表达式；（2）设函数若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围.xx 学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高二年级理科数学试卷答案一．选择题DCCAB DCBAD DA12.解析：选A.“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象．y xD B O M NA ••当0＜x ＜12时，截面为五边形，如图所示． 由SC ⊥平面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ，易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24. 当12＜x ＜1时，S 截面24＝(1－x 12)2 ⇒S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′(x)＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B.二．填空题13. 14. 30 15. 14 16.16． 试题分析：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．三．解答题17解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)． (3)(2). ，令8－r ＝5r ＝3，所以a 5＝7 (6)(3) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256…………….10 18．解：（1）在中，2222cos 603,BD AB AD AB AD =+-⋅⋅⋅=所以所以，因为平面平面，所以平面，所以（5分）（2）在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为轴，DC 为轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 则D （0，0，0），B （，0，0），C （0，1，0），A （，0，1）（6分）设平面ABC 的法向量为，而由得：取（8分）再设平面DAC 的法向量为而由得：取 （10分）所以即二面角B-AC-D 的余弦值是 （12分）19．解：关于的不等式对任意恒成立，即在上恒成立。

2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高二（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分）.1．函数f（x）＝x2+sin x在区间[0，π]上的平均变化率为（）A．1B．2C．πD．π22．“3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治、地理、化学、生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目．小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有（）A．4种B．6种C．8种D．12种3．若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y＝x﹣1，则f（2）+f′（2）＝（）A．1B．2C．3D．44．若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）其有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y＝lnx B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝5．若函数f（x）＝x+t sin x在（0，）上单调递增，则实数t的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．[﹣1，+∞）6．5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（）A．60种B．90种C．150种D．240种7．若曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线与曲线y＝e x相切于点Q（x2，y2），则+x2＝（）A．﹣1B．1C．0D．e8．若a＜4且4a＝a4，b＜5且5b＝b5，c＜6且6c＝c6，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（）A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法10．若2≤m≤n，m，n∈N*，则下列等式中正确的有（）A．C＝C+CB．mC＝nCC．A＝mAD．A+mA＝A11．若函数f（x）＝xln（x+2），则（）A．f（x）在（0，+∞）上单调递增B．f（x）有两个零点C．f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处切线的斜率为﹣1D．f（x）是奇函数12．若函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cos x，g（x）＝f（x）﹣a，则（）A．当a＝5时，g（x）有两个零点B．当a＝4时，g（x）有三个零点C．当a＝2时，g（x）有一个零点D．当a＝3时，g（x）有四个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个满足条件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0的函数f（x）＝．14．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有种．（用数字作答）15．如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为α＝，传输带以0.9m3/min 的速度送煤，则r关于时间t的函数是，当半径为3m时，r对时间t的变化率为．16．已知函数f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，若存在x0，使得f（x0）≤，则实数a 的值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）若3A﹣6A＝4C，求n；（2）已知x＞0，求（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）10的展开式中x3的系数．（用数字表示结果）18．用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．19．已知函数f（n，x）＝（+）n（m＞0，x＞0）．（1）当m＝2时，求f（7，x）的展开式中二项式系数最大的项；（2）若f（10，x）＝a0+++…+，且a2＝180，①求a i；②求a i（0≤i≤10，i∈N）的最大值．20．已知函数f（x）＝x3+x2﹣x+．（1）当m＝1时，求曲线f（x）上过点（1，f（1））的切线方程；（2）若f（x）___，求实数m的取值范围．①在区间（m，m+1）上是单调减函数；②在（，2）上存在减区间；③在区间（m，+∞）上存在极小值．21．已知函数f（x）＝x﹣sin x，x∈[0，π]．（1）当a＝1时，求f（x）的最值；（2）若f（x）+x2≥0，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx+﹣ax，g′（x）是g（x）的导函数．（1）讨论函数g（x）在（0，+∞）的单调性；（2）若函数h（x）＝f（x）g′（x）﹣1在区间（0，2）内有两个不同的零点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．函数f（x）＝x2+sin x在区间[0，π]上的平均变化率为（）A．1B．2C．πD．π2解：根据题意，f（x）＝x2+sin x，在区间[0，π]上，有△y＝f（π）﹣f（0）＝π2，△x＝π﹣0＝π，则其平均变化率＝π，故选：C．2．“3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治、地理、化学、生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目．小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有（）A．4种B．6种C．8种D．12种解：根据题意，分2步进行分析：①小明必选化学，需要在思想政治、地理、生物中再选出一门，有C31＝3种选法，②小明在物理、历史两门选出一门，有C21＝2种选法，则有3×2＝6种选择方法，故选：B．3．若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y＝x﹣1，则f（2）+f′（2）＝（）A．1B．2C．3D．4解：函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y＝x﹣1，可得f（2）＝2﹣1＝1，f′（2）＝1，则f（2）+f′（2）＝2．故选：B．4．若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）其有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y＝lnx B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝解：由y＝lnx的导数为y′＝，由x＞0，可得切线的斜率大于0，不存在两点，使得函数f（x）＝lnx的图象在这两点处的切线互相垂直；由y＝cos x的导数y′＝﹣sin x，由sin x∈[﹣1，1]，可得存在两点，使得函数y＝cos x的图象在这两点处的切线互相垂直；由y＝e x的导数为y′＝e x，由e x＞0，可得不存在两点，使得函数f（x）＝e x的图象在这两点处的切线互相垂直；由y＝的导数为y′＝，由＞0，可得不存在两点，使得函数f（x）＝的图象在这两点处的切线互相垂直．故选：B．5．若函数f（x）＝x+t sin x在（0，）上单调递增，则实数t的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．[﹣1，+∞）解：f′（x）＝1+t cos x≥0在（0，）恒成立，故t≥﹣在（0，）恒成立，y＝﹣在（0，）递减，故y的最大值小于﹣2，故t≥﹣2，故选：C．6．5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（）A．60种B．90种C．150种D．240种解：根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分为3组，若分为1、2、2的三组，有＝15种分组方法，若分为1、1、3的三组，有C53＝10种分组方法，则有10+15＝25种分组方法，②将分好的三组安排到3个小区，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种不同的安排方法，故选：C．7．若曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线与曲线y＝e x相切于点Q（x2，y2），则+x2＝（）A．﹣1B．1C．0D．e解：y＝lnx的导数为y′＝，可得曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线方程为y﹣lnx1＝（x﹣x1），y＝e x的导数为y′＝e x，可得在点Q（x2，y2）处的切线的方程为y﹣e x2＝e x2（x﹣x2），由两条切线重合的条件，可得＝e x2，且lnx1﹣1＝e x2（1﹣x2），则x2＝﹣lnx1，即有lnx1﹣1＝（1+lnx1），可得lnx1＝，则+x2＝lnx1﹣lnx1＝0．故选：C．8．若a＜4且4a＝a4，b＜5且5b＝b5，c＜6且6c＝c6，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b解：令f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝．由f′（x）＞0得：0＜x＜e．∴函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．∵4a＝a4，5b＝b5，6c＝c6，∴aln4＝4lna，bln5＝5lnb，cln6＝6lnc，∴f（4）＝＝＝f（a），f（5）＝＝＝f（b），f（6）＝＝＝f（c）．∵6＞5＞4＞e，∴f（6）＜f（5）＜f（4），∴f（c）＜f（b）＜f（a），又∵c＜6，b＜5，a＜4，∴c，a，b都小于e，∴c＜b＜a．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（）A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法解：根据题意，依次分析选项：对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有C62＝15种选法，女生的选法有C42＝6种选法，则4人中男生女生各有2人选法有15×6＝90种选法，A错误；对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C82＝28种选法，B正确；对于C，在10人中任选4人，有C104＝210种选法，甲乙都不在其中的选法有C84＝70，故种男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内选法有210﹣70＝140种，C正确；对于D，在10人中任选4人，有C104＝210种选法，只有男生的选法有C64＝15种，只有女生的选法有C44＝1种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有210﹣15﹣1＝194种，D错误；故选：BC．10．若2≤m≤n，m，n∈N*，则下列等式中正确的有（）A．C＝C+CB．mC＝nCC．A＝mAD．A+mA＝A解：2≤m≤n，m，n∈N*，由做合数的性质可得C＝C+，故A正确；∴mC＝m•＝，而n＝n•＝，故mC＝n，故B正确；∵A＝n（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），mA＝m（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故C错误；∵A+mA＝n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1）+m•n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+2）＝[n（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+2）][（n﹣m+1）+m]＝（n+1）•n（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+2）；而A＝（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m），故A+mA≠A，故D错误，故选：AB．11．若函数f（x）＝xln（x+2），则（）A．f（x）在（0，+∞）上单调递增B．f（x）有两个零点C．f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处切线的斜率为﹣1D．f（x）是奇函数解：∵f（x）＝xln（x+2），∴x+2＞0，∴函数f（x）的定义域是（﹣2，+∞），对于A：f′（x）＝ln（x+2）+，x＞0时，ln（x+2）＞0，＞0，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故A正确；对于B：令f（x）＝0，即xln（x+2）＝0，解得：x＝0或x＝﹣1，故函数f（x）有2个零点，故B正确；对于C：斜率k＝f′（﹣1）＝ln（﹣1+2）+＝﹣1，故C正确；对于D：函数的定义域是（﹣2，+∞），不关于原点对称，故D错误；故选：ABC．12．若函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cos x，g（x）＝f（x）﹣a，则（）A．当a＝5时，g（x）有两个零点B．当a＝4时，g（x）有三个零点C．当a＝2时，g（x）有一个零点D．当a＝3时，g（x）有四个零点解：f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cos x＝，当x＜﹣1时，f'（x）＝﹣2﹣2sin x≤0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，∴f（x）＞f（﹣1）＝2+2cos（﹣1）＝2+2cos1∈（3，4），当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2+2cos x为偶函数，在[﹣1，0）上单调递增，在（0，1]上单调，∴f（x）∈[f（1），f（0）]，即f（x）∈[2+2cos1，4]⊆（3，4]，当x＞1时，f'（x）＝2﹣2sin x≥0恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝2+2cos1∈（3，4），由此作出函数f（x）的草图如下所示，由图可知，当a＝5时，函数y＝f（x）与y＝a有两个交点，即g（x）有两个零点，即选项A正确；当a＝4时，函数y＝f（x）与y＝a有三个交点，即g（x）有三个零点，即选项B正确；当a＝2或a＝3时，函数y＝f（x）与y＝a没有交点，即g（x）没有零点，即选项C和D均错误，故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个满足条件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0的函数f（x）＝x3．解：由条件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0，可知满足条件的是一个单调递增的偶函数．根据此分析可知函数f（x）＝x3满足条件，故答案为：x3．14．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有20种．（用数字作答）解：根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，假设有6个位置，在其中任选3个，安排三个“阳爻”，有C63＝20种情况，即该重卦可以有20种情况，故答案为：20．15．如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为α＝，传输带以0.9m3/min 的速度送煤，则r关于时间t的函数是r＝，当半径为3m时，r对时间t 的变化率为．解：由题意值，tanα＝，所以h＝r tanα＝r tan＝r，设tmin时煤堆的体积为V，则V＝πr2h＝πr3＝0.9t，①所以r＝，②对t求导可得r′（t）＝，③当r＝3时，对应的时刻为t0，由①得t0＝10π，代入③式可得r′（t）＝＝＝×＝．故答案为：r＝；．16．已知函数f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，若存在x0，使得f（x0）≤，则实数a的值是．解：∵f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，∴函数f（x）可看作动点M（x，lnx）与动点N（﹣a，﹣ea）之间距离的平方，动点M在y＝lnx的图像上，N在y＝ex的图像上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y＝lnx，得y′＝＝e，则x＝，故曲线上的点M（，﹣1）到直线y＝ex距离的最小值是d＝，则f（x）≥，根据题意若存在x0，使得f（x0）≤，则f（x0）＝，此时N恰为垂足，由K MN＝﹣，故＝﹣，解得：a＝，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）若3A﹣6A＝4C，求n；（2）已知x＞0，求（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）10的展开式中x3的系数．（用数字表示结果）解：（1）∵3A﹣6A＝4C，∴3n（n﹣1）（n﹣2）﹣6n（n﹣）＝4×＝2n（n+1）⇒3n2﹣17n+10＝0⇒n＝5（舍），即n为5，（2）由题意可得：展开式中x3的系数为：+……+＝+……+＝＝330．（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10展开式中x3的系数：330．18．用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．解：（1）根据题意，分2步进行分析：①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位，有A42＝12种情况，则有2×12＝24个三位偶数，（2）根据题意，分2步进行分析：①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2、3、4、5，有4种情况，②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位、个位，有A43＝24种情况，则有4×24＝96个符合题意的四位数；（3）根据题意，分2步进行分析：①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有A32C21＝12种情况，②将这个整体与其他2个数字全排列，有A33＝6种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，则有6﹣2＝4种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，故有12×4＝48个符合题意的五位数．19．已知函数f（n，x）＝（+）n（m＞0，x＞0）．（1）当m＝2时，求f（7，x）的展开式中二项式系数最大的项；（2）若f（10，x）＝a0+++…+，且a2＝180，①求a i；②求a i（0≤i≤10，i∈N）的最大值．解：（1）当m＝2时，f（7，x）＝（1+）7的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T或T；（2）①f（10，x）＝（）10的通项公式为T r+1＝C（）10﹣r（r＝2x﹣r，且f（10，x）＝a，所以的系数为a＝180，解得m＝2，所以f（10，x）的通项公式为T，所以a r＝2，当r＝0时，a0＝1，令x＝1，，②设a为a i（0≤i≤10）中的最大值，则，解得，即，r∈N，所以r＝7，所以（a i）max＝a．20．已知函数f（x）＝x3+x2﹣x+．（1）当m＝1时，求曲线f（x）上过点（1，f（1））的切线方程；（2）若f（x）___，求实数m的取值范围．①在区间（m，m+1）上是单调减函数；②在（，2）上存在减区间；③在区间（m，+∞）上存在极小值．解：（1）当m＝1时，f（x）＝，所以f（1）＝0，则有①当点（1，f（1））为切点时，f'（x）＝x2+x﹣1⇒f'（1）＝1，根据函数导数的几何意义可得，函数在点（1，0）处的切线方程即为：y＝x﹣1；②当（1，0）不是切点时，设切点为（x0，y0），则可得切线方程为：y﹣y0＝f'（x0）（x﹣x0），因为，，所以切线方程即为：，代入点（1，0）化简可得，，解之可得，，⇒切线方程为：，综上可得，过点（1，0）的切线方程为x﹣y﹣1＝0，或11x+16y﹣11＝0．（2）∵f'（x）＝x2+mx﹣1，∴若选①函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调减函数，则有：f'（x）≤0在区间（m，m+1）上恒成立，即x2+mx﹣1≤0在（m，m+1）上恒成立，∴，解之可得；若选②函数f（x）在（，2）上存在减区间，则有：f'（x）＜0在区间（，2）上有解，即得在区间（，2）上有解，此时令g（x）＝，因为g（x）在区间（，2）上单调递减，所以g（x）＜g（）＝，故有m＜；若选③函数在区间（m，+∞）上存在极小值，则有：函数f（x）的极小值点应落在（m，+∞）；令f'（x）＝x2+mx﹣1＝0，求得，，此时可得，f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减；所以x＝x2是函数f（x）的极小值点，即得⇒，所以当m≤0时，不等式恒成立，当m＞0时，m2+4＞9m2，解之可得0＜m＜，综上可得，．21．已知函数f（x）＝x﹣sin x，x∈[0，π]．（1）当a＝1时，求f（x）的最值；（2）若f（x）+x2≥0，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣sin x，f′（x）＝﹣cos x，x∈[0，π]，令f′（x）＝0，得cos x＝，x∈[0，π]，解得：x＝，x，f′（x），f（x）的变化如下：x0（0，）（，π）πf′（x）﹣0+f（x）递减极小值递增而f（0）＝0，f（）＝﹣，f（π）＝，故f（x）max＝，f（x）min＝﹣．（2）f（x）+x2≥0即x﹣sin x+x2≥0对x∈[0，π]恒成立，令g（x）＝x﹣sin x+x2，g′（x）＝﹣cos x+2x，令h（x）＝g′（x）＝﹣cos x+2x，则h′（x）＝sin x+2＞0，h（x）在[0，π]上单调递增，故h（x）min＝h（0）＝﹣1，h（x）max＝h（π）＝+1+2π；①当h（π）＝+1+2π≤0即a≤﹣4π﹣2时，h（x）≤0即g′（x）≤0，g（x）在[0，π]上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，不合题意，舍；②当h（π）＝+1+2π＞0，h（0）＝﹣1＜0即﹣4π﹣2＜a＜2时，存在x0∈（0，π），使得h（x0）＝0，又h（x）在[0，π]上单调递增，故x∈（0，x0）时，h（x）＜0即g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，π）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）min＝g（x0）＜g（0）＝0，不合题意，舍，③当h（0）＝﹣1≥0即a≥2时，h（x）≥h（0）≥0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，π]上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，符合题意，综上，实数a的取值范围是[2，+∞）．22．已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx+﹣ax，g′（x）是g（x）的导函数．（1）讨论函数g（x）在（0，+∞）的单调性；（2）若函数h（x）＝f（x）g′（x）﹣1在区间（0，2）内有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（1）g′（x）＝，当a≤0时，g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令h（x）＝x2﹣ax+1，h（0）＝1，①△≤0即0＜a≤2时，g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，②△＞0即a＞2时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞，令g′（x）＜0，解得：＜x＜，故g（x）在（0，）递增，在（，）递减，（，+∞）递增；综上：0＜a≤2时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，a＞2时，g（x）在（0，）递增，在（，）递减，（，+∞）递增；（2）h（x）＝﹣1，x∈（0，2），显然h（0）＝0，令φ（x）＝e x﹣x﹣1，h（1）＝﹣1，h′（x）＝，①当a+1≤0即a≤﹣1时，x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）递增，且h（x）＞h（0）＝0，x∈（1，2），h′（x）＜0，h（x）单调递减，故h（x）在（1，2）至多1个零点，与题意不符，②当a+1≥2即a≥1时，x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）递减，且h（x）＜h（0）＝0，x∈（1，2），h′（x）＞0，h（x）单调递增，故h（x）在（1，2）至多1个零点，与题意不符，③当a+1＝1即a＝0时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）性质（0，2）至多1个零点，与题意不符，④当0＜a+1＜1即﹣1＜a＜0时，x∈（0，a+1），h′（x）＜0，h（x）单调递减，且h （x）＜h（0）＝0，x∈（a+1，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（1，2），h′（x）＜0，h（x）递减，要使h（x）有2个零点，只需满足：，即，故﹣1＜a＜2﹣e，⑤当1＜a+1＜2即0＜a＜1时，x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）递减，且h（x）＜h （0）＝0，x∈（1，a+1），h′（x）＞0，h（x）递增，x∈（a+1，2），h′（x）＜0，h（x）递减，要使h（x）有2个零点，则需满足：即，记函数φ（x）＝e x﹣x﹣1，x＞1，φ′（x）＝e x﹣1＞0，故φ（x）在（1，+∞）递增，故φ（x）＞φ（1）＝e﹣2＞0，又1＜a＝1＜2，故e a﹣1＞2+a，故不等式（*）无解，综上，﹣1＜a＜2﹣e时，h（x）在区间（0，2）内有2个不同的零点．。

2019-2020学年江苏省苏州市高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）. 1．复数1−i 1+i（其中i 是虚数单位）的实部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．02．如果一质点的运动方程为S ＝2t 3（位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为（ ） A ．6米/秒B ．18米/秒C ．54米/秒D ．81米/秒3．(x −1x)10的展开式中x 4的系数是（ ） A ．﹣210B ．﹣120C ．120D ．2104．导数公式“[f(x)g(x)]′=()g(x)2”中分子的括号应为（）A ．f （x ）g '（x ）﹣f '（x ）g （x ）B ．f '（x ）g （x ）﹣f （x ）g '（x ）C ．f （x ）g （x ）﹣f '（x ）g '（x ）D ．f '（x ）g '（x ）﹣f （x ）g （x ）5．平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（ ） A ．100πB ．416√3π3C ．20πD ．500π36．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（ ）种 A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种7．已知C 28x =C 282x−8，则x 的值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．8或128．若a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞a ＞c二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为（ ）A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°10．已知复数z =−1+√3i （i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，若复数w =zz ，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．|w |＝1C ．w 的实数部分为−12D ．w 的虚部为√32i11．下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．C n m =C n n−mB ．mC n m =nC n−1m−1 C ．C n+1m+1=C n m +C n+1mD ．(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2=C 2n n12．已知函数f （x ）＝e x ﹣alnx 的定义域是D ，有下列四个命题，其中正确的有（ ） A ．对于∀a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）在D 上是单调增函数 B ．对于∀a ∈（0，+∞），函数f （x ）存在最小值C ．存在a ∈（﹣∞，0），使得对于任意x ∈D ，都有f （x ）＞0成立 D ．存在a ∈（0，+∞），使得函数f （x ）有两个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．若复数z 满足|z |＝1（i 为虚数单位），则|z ﹣2i |的最小值是 ．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是．15．（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）20中x2的系数为．16．函数f（x）在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）={f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K，取函数f（x）=52x2−3x2lnx，若对任意x∈（0，+∞），恒有f K（x）＝f（x），则K的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝x+ax2+blnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x ﹣y﹣2＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极大值．18．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．（1）某女生一定担任语文科代表；（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．19．如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虛线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S 的范围．20．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（2）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值；（3）求异面直线A1B与AD的距离．21．已知函数f n（x）＝（1+λx）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，其中λ∈R．（1）若λ＝﹣2，n＝2020，求a0+a2+a4+…+a2020的值；（2）若n＝8，a7＝1024，求a i（i＝0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ＝﹣1，求证：∑n k=0C n k k n x k f n−k(x)=x．22．已知函数f(x)=lnx x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a b＝b a，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围（不需要解答过程）．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数1−i 1+i（其中i 是虚数单位）的实部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．0【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：∵1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴1−i 1+i的实部是0．故选：D ．2．如果一质点的运动方程为S ＝2t 3（位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为（ ） A ．6米/秒B ．18米/秒C ．54米/秒D ．81米/秒【分析】求出导数，再将t ＝3代入，由此可求得瞬时速度． 解：（法一）∵S ＝2t 3， ∴S ′＝6t 2，∴当t ＝3时，S ′＝6×9＝54， 故选：C ． （法二）∵S ＝2t 3，∴S′|t=3=lim △t→02(3+△t)3−2×33△t=lim △t→02(3+△t−3)[(3+△t)2+(3+△t)×3+9]△t=lim △t→0[54+18△t +(△t)2]=54， 故选：C ．3．(x −1x)10的展开式中x 4的系数是（ ） A ．﹣210B ．﹣120C ．120D ．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于4，求得r 的值，即可求得展开式中x 4的系数．解：(x −1x )10的展开式的通项公式为 T r +1=C 10r •（﹣1）r •x 10﹣2r ，令10﹣2r ＝4，可得r ＝3，故展开式中x4的系数为−C103=−120，故选：B．4．导数公式“[f(x)g(x)]′=()g(x)2”中分子的括号应为（）A．f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）B．f'（x）g（x）﹣f（x）g'（x）C．f（x）g（x）﹣f'（x）g'（x）D．f'（x）g'（x）﹣f（x）g（x）【分析】直接利用导数公式求解即可．解：由导数运算法则可知，[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)．故选：B．5．平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（）A．100πB．416√3π3C．20πD．500π3【分析】作出球的轴截面图，根据条件求出球的半径，然后根据球的表面积公式进行计算即可．解：作出球的轴截面图，由题意知BC＝3，球心到这个平面的距离为4，即OC＝4，∴球的半径OB=√32+42=5，∴球的表面积为4π×52＝100π．故选：A．6．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（）种A．24种B．36种C．48种D．72种【分析】根据题意，分2步进行分析：先在甲乙两人中间安排一个，将三者绑定，将其看作一个元素与剩余的两人组成三个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，考虑甲乙两人站法，甲乙两人顺序有2种情况，中间恰有一个人，从其余三人选一人即可，有三种选法，故第一步三人绑定在一起的方法有2×3＝6；将此三人看作一个元素与剩余两人组成三个元素进行排列，排列方法有A33＝6种故5个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有6×6＝36种；故选：B．7．已知C28x=C282x−8，则x的值为（）A．6B．8C．12D．8或12【分析】由组合数公式的性质直接得到关于x的多项式方程，解出即可．解：∵C28x=C282x−8，∴x＝2x﹣8或x+2x﹣8＝28，则x＝8或x＝12，故选：D．8．若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】可令f(x)=lnxx，求导得出f′(x)=1−lnxx2，根据导数符号即可判断出f（x）在（e，+∞）上单调递减，并且a=ln44，从而可得出a，b，c的大小关系．解：令f(x)=lnxx，f′(x)=1−lnxx2，∴x＞e时，f′（x）＜0，∴f（x）在（e，+∞）上单调递减，又a=ln22=ln44=f（4），b=ln33=f(3)，c=ln55=f(5)，∴f（3）＞f（4）＞f（5），∴b＞a＞c．故选：D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选：ABD．10．已知复数z=−1+√3i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，若复数w=zz，则下列结论正确的有（）A．w在复平面内对应的点位于第二象限B．|w|＝1C．w的实数部分为−1 2D．w的虚部为√32i【分析】先根据条件求出w；再结合其定义以及几何意义即可求得答案．解：因为复数z=−1+√3i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则复数w=zz=−1−√3i−1+3i=(−1−√3i)(−1−√3i)(−1+3i)(−1−3i)=−12+√32i；故w 对应的点为（−12，√32）； |w |=(−12)2+(32)2=1；且w 的实部为：−12，虚部为：√32；故选：ABC ．11．下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．C n m =C n n−mB ．mC n m =nC n−1m−1 C ．C n+1m+1=C n m +C n+1mD ．(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2=C 2n n【分析】由组合数的性质分别检验各选项即可判断出结论．解：（1）由组合数的性质可得：∁n m =∁n n−m（0≤m ≤n ），A 正确； mC n m =m ×n!m!(n−m)!=n(n−1)!(m−1)![(n−1)−(m−1)]!=n C n−1m−1，故B 正确； 由组合数的性质可得：∁n+1m+1=∁n m +C nm+1（1≤k ≤n ），故C 错误； 由于（1+x ）n •（1+x ）n ＝（1+x ）2n ，两边展开可得，(C n 0+C n 1x +⋯+C n n x n )•(C n 0+C n 1x +⋯+C n n x n )=C 2n 0+C 2n 1x +⋯+C 2n 2n x 2n ，比较两边x n 的系数可得，C n 0⋅C n n +C n 1⋅C n n−1+⋯+C n n ⋅C n 0=(C n 0)2+(C n 1)2+⋯+(C n n )2=C 2n n ，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f （x ）＝e x ﹣alnx 的定义域是D ，有下列四个命题，其中正确的有（ ） A ．对于∀a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）在D 上是单调增函数 B ．对于∀a ∈（0，+∞），函数f （x ）存在最小值C ．存在a ∈（﹣∞，0），使得对于任意x ∈D ，都有f （x ）＞0成立 D ．存在a ∈（0，+∞），使得函数f （x ）有两个零点【分析】先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f ′（x ）＝e x −ax ， 对于A ：∵a ∈（﹣∞，0）∴f ′（x ）＝e x −ax ≥0，是增函数．所以A 正确，对于B：∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）＝e x−ax=0，可以判断函数有最小值，B正确．对于C：画出函数y＝e x，y＝﹣alnx的图象，如图：显然不正确．对于D：令函数y＝e x是增函数，y＝alnx是增函数，所以存在a∈（0，+∞），f（x）＝e x﹣alnx＝0有两个根，正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若复数z满足|z|＝1（i为虚数单位），则|z﹣2i|的最小值是1．【分析】复数z满足|z|＝1（i为虚数单位），设z＝cosθ+i sinθ，θ∈[0，2π）．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．解：∵复数z满足|z|＝1（i为虚数单位），设z＝cosθ+i sinθ，θ∈[0，2π）．则|z﹣2i|＝|cosθ+i（sinθ﹣2）|=√cos2θ+(sinθ−2)2=√5−4sinθ≥1，当且仅当sinθ＝1时取等号．故答案为：1．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是（0，1]．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数a的取值范围．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设AM＝m，DP＝t，则P（0，0，t），M（a，m，0），C（0，2，0），∴PM→=(a，m，−t)，CM→=(a，m−2，0)，∵PM⊥CM，∴PM→⋅CM→=a2+m2﹣2m＝0，∴a2＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1≤1，∵0≤m≤1，∴0≤a2≤1，又a＞0，∴实数a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．15．（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）20中x2的系数为1330．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求出结果．解：（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）20中x2的系数为C22+C32+C42+⋯+C202= C213=1330，故答案为：1330．16．函数f （x ）在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K （x ）={f(x)，f(x)≤KK ，f(x)＞K，取函数f （x ）=52x 2−3x 2lnx ，若对任意x ∈（0，+∞），恒有f K （x ）＝f （x ），则K的最小值为2e 23 ．【分析】根据新定义的函数建立f k （x ）与f （x ）之间的关系，通过二者相等得出实数k 满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k 的范围，进一步得出所要的结果． 解：∵函数f k (x)={f(x)，f(x)≤KK ，f(x)＞K，对任意的x ∈（0，+∞），恒有f k （x ）＝f （x ）， ∴k ≥f （x ）最大值，由于f ′（x ）＝5x ﹣3x ﹣6xlnx ＝2x ﹣6xlnx ， 令f ′（x ）＝0，解得x ＝0（舍），或x =e 13， 当0＜x ＜e 13时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ＞e 13时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减． 故当x =e 13时，f （x ）取到最大值f （e 13）=32e 23．故当k ≥32e 23时，恒有f k （x ）＝f （x ）．因此K 的最小值是32e 23．故答案为：32e 23．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f （x ）＝x +ax 2+blnx ，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为2x ﹣y ﹣2＝0．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极大值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，利用f ′（1）＝2及f （1）＝0联立不等式组求解a ，b 的值，则函数解析式可求．（Ⅱ）求出导函数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的极大值即可．【解答】（本小题满分10分）（Ⅰ）解：由f （x ）＝x +ax 2+blnx ，得f ′（x ）＝2ax +1+b x（x ＞0）． 由曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为2x ﹣y ﹣2＝0， 得{f′(1)=2a +1+b =2f(1)=1+a =0，∴{a =−1b =3， 即a ＝﹣1，b ＝3．（Ⅱ）f （x ）＝﹣x 2+x +3lnx ．x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝﹣2x +1+3x（x ＞0）．﹣2x +1+3x＞0，解得x ∈(0，32)；﹣2x +1+3x ＜0，解得x ∈(32，+∞)；所以函数的增区间：(0，32)；减区间：(32，+∞)，x =32时，函数取得极大值，函数的极大值为f(32)=−34+3ln 32．18．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．（1）某女生一定担任语文科代表；（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表． 【分析】（1）根据题意，需要在其他7人中任选4人，担任其他4科的课代表，由排列数公式计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：：①，受到限制的男生有4种情况，②，在其他7人中任选4人，担任其他4科的课代表，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，需要在其他6人中选出3科课代表，且某男生必须担任科代表，但不是数学科代表；则受到限制的男生有3种情况，在其他6人中任选3人，担任其他3科的课代表，由分步计数原理计算可得答案；解：（1）根据题意，有5个男生和3个女生，共8名学生；若某女生一定担任语文科代表，在剩下的7人中任选4人，担任其他4科课代表即可， 则有A 74＝840种不同的选法；（2）根据题意，分2步进行分析：①要求某男生必须在内，但不担任数学科代表，则该男生的安排有4种情况，②在其他7人中任选4人，担任其他4科的课代表，有A74＝840种选法；则有4×840＝3360种不同的选法；（3）根据题意，某女生一定要担任语文科代表，需要在其他6人中选出3科课代表，且某男生必须担任科代表，但不是数学科代表；分2步进行分析：①，某男生必须在内，但不担任语文和数学科代表，则该男生有3种情况，②，在其他6人中任选3人，担任其他3科的课代表，有A63＝120种选法；则有3×120＝360种不同的选法．19．如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虛线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH⊥PQ，O为正四棱锥底面中心．（1）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积V；（2）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S 的范围．【分析】（I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，由此先计算出此正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算其体积即可；（II）先利用等腰三角形APQ的底角为x的特点，将侧棱长和底边长分别表示为x的函数，再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为关于x的函数，最后可利用均值定理求函数的值域解：（I ）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD 中，三角形APQ 为等边三角形，设边长为a ，∵正方形ABCD 边长为2分米，∴AH =√32a =AC−a 2=2√2−a 2，解得a =√21+3=√6−√2∴正四棱锥的棱长a =√6−√2∴PO =√22a ，AO =√AP 2−PO 2=√22a ，∴V =13×a 2×AO =√26a 3=√26×（√6−√2）3＝4√3−203（II ）∵AH =12PQ ×tan x =AC−PQ 2=2√2−PQ 2=√2−12PQ∴PQ =2√21+tanx ，AH =√2tanx 1+tanx∴S ＝4×12×PQ ×AH ＝2×PQ ×AH ＝2×2√21+tanx ×√2tanx 1+tanx=8tanx(1+tanx)2 x ∈[π4，π2） ∵S =8tanx(1+tanx)2=8tanx 2=81tanx+tanx+2≤82+2=2 （当且仅当tan x ＝1即x =π4时取等号） 而tan x ＞0，故s ＞0∵S 等于2时三角形APQ 是等腰直角三角形，顶角PAQ 等于90°，阴影部分不存在，折叠后A 与O 重合，构不成棱锥，∴S 的范围为（0，2）．20．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值； （2）求直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值； （3）求异面直线A 1B 与AD 的距离．【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值．（2）求出平面C 1AD 的法向量，利用向量法能求出直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值．（3）连结A 1C ，交AC 1于点M ，连结DM ，由题意得DM ∥A 1B ，A 1B ∥平面C 1AD ，由此能求出异面直线A 1B 与AD 的距离．解：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （2，0，0），A 1（0，0，4），C 1（0，2，4），D （1，1，0）， A 1B →=（2，0，4），AC 1→=（0，2，4）， ∴cos ＜A 1B →，AC 1→＞=A 1B →⋅AC 1→|A 1B →|⋅|AC 1→|=−16√20⋅√20=−45，∴异面直线A 1B ，AC 1所成角的余弦值为45． （2）AB 1→=（2，0，4），AD →=（1，1，0）， 设平面C 1AD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AC 1→=2y +4z =0n →⋅AD →=x +y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，12），设直线AB 1与平面C 1AD 所成角为θ， 则sin θ=|AB 1→⋅n →||AB 1→|⋅|n →|=4√515，∴直线AB 1与平面C 1AD 所成角的正弦值为4√515． （3）连结A 1C ，交AC 1于点M ，连结DM ，由题意得DM ∥A 1B ， ∴A 1B ∥平面C 1AD ，∴点A 1到平面C 1AD 的距离为d ，则d =|AA 1→⋅n →||n →|=232=43，∴异面直线A 1B 与AD 的距离为43．21．已知函数f n （x ）＝（1+λx ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，其中λ∈R ． （1）若λ＝﹣2，n ＝2020，求a 0+a 2+a 4+…+a 2020的值；（2）若n ＝8，a 7＝1024，求a i （i ＝0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ＝﹣1，求证：∑ n k=0C n k kn x k f n−k (x)=x ．【分析】（1）令x ＝1得（1﹣2）2000＝a 0+a 1+a 2+…+a 2000＝1，令x ＝﹣1得（1+2）2000＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 2019+a 2000＝32000，两式相加可求得结果；（2）先假设a t 最大，利用{a t ≥at−1a t ≥a t+1求得t 的值，进而求得a i 中的最大值；（3）先说明C n k k n =n!k!(n−k)!⋅k n =(n−1)!(k−1)!(n−k)!=C n−1k−1，再利用二项式定理求证出结果． 解：（1）当λ＝﹣2，n ＝2020时，f 2000（x ）＝（1﹣2x ）2000＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2000x 2000， 令x ＝1得（1﹣2）2000＝a 0+a 1+a 2+…+a 2000＝1，令x ＝﹣1得（1+2）2000＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 2019+a 2000＝32000，两式相加可得a 0+a 2+a 4+…+a 2020=32000+12；（2）由题知f 8（x ）＝（1+λx ）8＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，a 7=C 87λ7＝1024，解得λ＝2．不妨设a i 中a t （t ＝0，1，2，…，8）最大，则{a t ≥a t−1a t ≥a t+1⇒{C 8t 2t≥C 8t−12t−1C 8t 2t ≥C 8t+12t+1， 解得t ＝5或6，故a i 中的最大值为a 5＝a 6=C 8525=C 8626＝1792；（3）证明：若λ＝﹣1，f n （x ）＝（1﹣x ）n ，∑ n k=0C n k kn x k f n ﹣k （x ）=C n 00n x 0(1−x)n +C n 11n x1（1﹣x ）n ﹣1+⋯+C n n nn x n (1−x)0．因为C n k k n =n!k!(n−k)!⋅k n =(n−1)!(k−1)!(n−k)!=C n−1k−1，所以∑ n k=0C n k kn x k f n ﹣k （x ）＝0+C n−10x 1（1﹣x ）n ﹣1+⋯+C n−1n−1x n （1﹣x ）0＝x [C n−10x 0（1﹣x ）n ﹣1+⋯+C n−1n−1xn ﹣1（1﹣x ）0]＝x [x +（1﹣x ）]n ﹣1＝x ． 22．已知函数f(x)=lnx x． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设a ＞0，求函数f （x ）在[2a ，4a ]上的最小值；（3）某同学发现：总存在正实数a 、b （a ＜b ），使a b ＝b a ，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a 的取值范围（不需要解答过程）． 【分析】（1）先确定函数的定义域，再利用导数，可求函数f （x ）的单调区间； （2）根据f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，结合函数的定义域，分类讨论，可求函数f （x ）在[2a ，4a ]上的最小值；（3）a 的取值范围是1＜a ＜e ，利用f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，即可求得．解：（1）定义域为（0，+∞），f′(x)=1−lnx2， 令f′(x)=1−lnxx 2=0，则x ＝e ， 当x 变化时，f '（x ），f （x ）的变化情况如下表：x （0，e ）e （e ，+∞）f '（x ）+﹣f （x ） ↗1e↘∴f （x ）的单调增区间为（0，e ）；单调减区间为（e ，+∞）．…（2）由（1）知f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，所以， 当4a ≤e 时，即a ≤e4时，f （x ）在[2a ，4a ]上单调递增，∴f （x ）min ＝f （2a ）； 当2a ≥e 时，f （x ）在[2a ，4a ]上单调递减，∴f （x ）min ＝f （4a ）当2a ＜e ＜4a 时，即e4＜a ＜e2时，f （x ）在[2a ，e ]上单调递增，f （x ）在[e ，4a ]上单调递减，∴f （x ）min ＝min {f （2a ），f （4a ）}． 下面比较f （2a ），f （4a ）的大小，… ∵f(2a)−f(4a)=lna 4a， ∴若e4＜a ≤1，则f （a ）﹣f （2a ）≤0，此时f(x)min =f(2a)=ln2a2a； 若1＜a ＜e2，则f （a ）﹣f （2a ）＞0，此时f(x)min =f(4a)=ln4a4a；… 综上得：当0＜a ≤1时，f(x)min =f(2a)=ln2a2a；当a ＞1时，f(x)min =f(4a)=ln4a4a，…（3）正确，a 的取值范围是1＜a ＜e …（16分） 理由如下，考虑几何意义，即斜率，当x →+∞时，f （x ）→0 又∵f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减 ∴f （x ）的大致图象如右图所示∴总存在正实数a ，b 且1＜a ＜e ＜b ，使得f （a ）＝f （b ），即lna a=lnb b，即a b ＝b a ．。