2015-2016学年人教A版必修4 平面向量数量积的物理背景及其含义 课件(48张)

3．数量积的几个性质 设a，b为非零向量，则： (1)a⊥b⇔________. (2)a，b同向时，a· b＝________； a，b反向时，a· b＝________. (3)________＝ |a|2＝ a2＝ a· a. (4)|a· b|________|a||b|.
自 我 校 对
以上4条性质都可由向量数量积的定义推出，不必死记硬 背，应在理解的前提下去记忆．利用性质①可以解决有关垂直 问题；利用性质②可以求向量的长度；利用性质③可以求两向 量的夹角，而且由性质③可以发现通过两向量的夹角，建立了 向量与三角函数的联系；对于性质④，当且仅当a∥b时等号成 立，利用性质④可以解决不等式的有关问题．
(4)a· b的几何意义：数量积a· b等于a的长度________与b在 a方向上的投影________的乘积． 2．向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，则： (1)a· b＝________； (2)(λa)· b＝λ(________)＝a· (________)； (3)(a＋b)· c＝________.
提示 不一定成立．∵若(a· b)c≠0，其方向与c相同或相 反，而(b· c)a≠0时其方向与a相同或相反，而a与c的方向不一 定相同，故该等式不一定成立． 思考探究2 a· b＝0时，a＝0或b＝0吗？
提示 不一定．当a⊥b时，也有a· b＝0.
名师点拨 1.对数量积含义的理解 (1)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算， 它是向量与向量的运算，其结果是数量(而不是向量)，前面学 习的向量的加法、减法、实数与向量的积，其结果仍然是向 量，这个区别应引起重视．
1.(1)非零 a· b (2)a
|a||b|cosθ b 投影
数量积 (3)0
内积 |b|cosθ
(4)|a|
2.(1)b· a (2)a· b λb 3.(1)a· b＝0 (3)|a| (4)≤ (2)|a||b|
(3)a· c＋b· c －|a||b|
思考探究1 立吗？
对于向量a，b，c，等式(a· b)c＝(b· c)a一定成
第二章
平面向量
§2.4 平面向量的数量积
2．4.1
习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景——物体在力F的作用 下产生位移s所做的功． 2．掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意 义，了解向量的数量积与实数乘法的区别． 3．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判定两 个向量的垂直关系.
课前热身 1.向量数量积的定义 (1)已知两个________向量a与b，我们把数量________叫 做向量a与b的________(或________)，记作________，即a· b＝ |a||b|cosθ(θ为a，b的夹角)． (2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量________在________方向上(b在 a方向上)的________． (3)零向量与任一向量的数量积为________．
【分析】
要对以上四个命题一一进行判断，依据有两
个：一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边 形法则．
【解析】 ①∵a· b＝|a||b|cosθ，∴由|a· b|＝|a||b|及a，b均 为非零向量可得|cosθ|＝1，∴θ＝0或θ＝π，∴a∥b，且以上各 步均可逆，故命题①是真命题；②若a，b反向，则a，b的夹角 为π，∴a· b＝|a||b|cosπ＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题 ②是真命题；③当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点， 则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩 形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过 来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，
(4)我们把|b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，它是一 个数量，不是向量．当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时， 它是负值；当θ＝90° 时，它是数0；当θ＝0° 时，它是|b|；当θ ＝180° 时，它是－|b|.同样，把|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投 影．
2．向量数量积的性质 ①a⊥b⇒a· b＝0，且a· b＝0⇒a⊥b.(a≠0，且b≠0) ②a· a＝|a|2或|a|＝ a· a. a· b ③cosθ＝|a||b|. ④|a· b|≤|a||b|.
3．常用运算公式 (1)(a± b)2＝|a|2± 2a· b＋|b|2. (2)(a＋b)· (a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a2＋b2＝0⇔a＝b＝0. (5)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
4．两向量的夹角的理解 两个向量a，b的夹角一般指的是两个非零向量正向间的夹 角，其夹角的范围是一个闭区间0° ≤θ≤180° ，即θ∈[0，π]． 当θ＝0° 时，两个向量a与b同向； 当θ＝180° 时，两个向量a与b反向； 当θ＝90° 时，两个向量a与b垂直，并记作a⊥b(这也是两 个向量垂直的定义)．
(2)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个 向量夹角余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角 来决定． 当0° ≤θ<90° 时，cosθ>0，a· b>0； 当θ＝90° 时，cosθ＝0，a· b＝0； 当90° <θ≤180° 时，cosθ<0，a· b<0.
(3)当我们规定了0与任意向量的数量积为0以后，由a· b＝ 0，也不能推出a或b一定是零向量．这是因为两个向量垂直 时，其夹角为90° ，此时cos90° ＝0，故也有a· b＝0. 应注意0· a＝0，但0a＝0，a0＝0(a∈R)．
5．平面向量数量积的运算律 数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，但不 适合乘法结合律，即a(b· c)不一定等于(a· b)c.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
一
数量积的概念
已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真 )
【例1】 命题的个数是(
①|a· b|＝|a||b|⇔a∥b；②a，b反向⇔a· b＝－|a||b|；③a⊥b ⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a· c|＝|b· c|. A．1 C．3 B．2 D．4