2015东北三省三校一模(理科)数学试题+答案

2015东北三省三校高考理综一模联考试题哈尔滨师大附中 2015年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第33~40为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 S 32 Br 80 第I卷（选择题，共126分）一、选择题（本大题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列细胞中，与水绵细胞的结构最接近的是 A．小球藻细胞 B．念珠藻细胞 C．酵母菌细胞 D．菠菜根尖分生区细胞 2．细胞自噬是细胞通过溶酶体与包裹细胞自身物质的双层膜融合，从而降解细胞自身病变物质或结构的过程（如图）。

下列有关叙述中，正确的是 A．图中自噬体的膜由双层磷脂分子组成 B．图中溶酶体与自噬体融合过程体现了细胞膜的选择透过性 C．图中的水解酶是在自噬溶酶体中合成的 D．溶酶体所参与的细胞自动结束生命的过程是由基因决定的 3．下列有关植物激素的叙述，错误的是 A．乙烯在植物体的各个部位都可以产生，主要作用是加速果实成熟 B．单侧光引起生长素在胚芽鞘尖端的极性运输，导致向光生长 C．萌发种子中赤霉素含量上升，脱落酸含量下降 D．细胞分裂素能促进细胞分裂，延缓细胞衰老 4．下列有关生物科学史的研究过程的叙述中，不正确的是 A．赫尔希和蔡斯用同位素标记法证明了DNA是遗传物质 B．孟德尔发现遗传定律运用了假说―演绎法C．萨顿利用类比推理法证明了基因在染色体上呈线性排列 D．沃森和克里克研究DNA分子结构时运用了构建物理模型的方法 5．毒性弥漫性甲状腺肿患者血清中有促甲状腺激素受体的抗体，此抗体与促甲状腺激素受体结合后，刺激甲状腺分泌高水平的甲状腺激素。

东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则A B =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ）A ．()22i + B ．1i + C ．i D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．9 5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3d B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932B ．732C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数()()()()21102ln 10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C 23A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的取值范围． 18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为5？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分 18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分 (2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,23821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X12P3821 3815 382 10 分 期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人） 12 分 19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2 分又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分 ∴ 21,cos λλ+-=⋅>=<nm n m n m 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。

第Ⅰ卷(共60分)一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合}0|{³=x x A ，且B B A =I ，则集合B 可能是 A.}2,1{B.}1|{£x xC.}1,0,1{-D.R2.已知110a b<<，则下列结论错误的是 A.22b a < B.2b a a b +> C.2b ab > D.2lg lg a ab <3.若不等式08322＜-+kx kx 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为A .)0,3(-B .[)0,3-C .[]0,3-D .]0,3(-4.规定2,a b a b a b R +Ä=++Î 、，若14k Ä=，则函数()f x k x =Ä的值域A.(2,)+¥ B ．),1(+¥ C ．7[,)8+¥ D ．7[,)4+¥5.设命题:p 函数xy 1=在定义域上为减函数；命题:q ,(0,)a b $Î+¥,当1a b +=时,113a b+=，以下说法正确的是 A.p Úq 为真 B.p Ùq 为真 C.p 真q 假 D.p ，q 均假6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的A C ．|4||3|1)(2x x x x f -++-=7.函数)(x f y =为偶函数，且),0[+¥上单调递减，则)2(2x f y -= 的一个单调递增区间为A.]0,(-¥B.),0[+¥C.]2,0[D.),2[+¥ 8.下列命题正确的个数是①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的否命题是真命题； ②命题:2p x ¹或3y ¹，命题:5q x y +¹则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x R x x "Î-+£”的否定是“01,23>+-Î$x x R x ”. A.0 B.1 C.2 D.39．已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x p 죣ï=í>ïî若c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015]10.下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是11.设函数2)(-+=x e x f x,3ln )(2-+=x x x g .若实数b a ,满足0)(=a f ,0)(=b g ，则A ．)(0)(b f a g <<B ．)(0)(a g b f <<C ．)()(0b f a g <<D ．0)()(<<a g b f12.已知定义的R 上的偶函数()f x 在),0[+¥上是增函数，不等式)2()1(-£+x f ax f对任意1,12x éùÎêúëû恒成立，则实数a 的取值范围是A.[]3,1--B.[]2,0-C.[]5,1--D.[]2,1- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.设o420cos =a ,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ì<=í³î,则211()(log 46f f +的值等于 ．14.实数y x ,满足ïîïíì£->£³,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=的最大值为4，则实数a 的值为.15.已知0lg lg =+b a ，则满足不等式l £+++1122b ba a 的实数l 的最小值 是 .16.定义在R 上的函数)(x f 满足16)5()(=++x f x f ，当]4,1(-Îx ,xx x f 2)(2-=，则函数)(x f 的在]2014,0[上的零点个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知幂函数2242()(1)m m f x m x-+=-在(0,)+¥上单调递增，函数()2xg x k =- ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当[1,2]x Î时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A =U ，求实数k 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知向量1(cos ,,cos 2),2x x x x =-=Îa b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ) 求)(x f 在0,2p éùêúëû上的最大值和最小值.20.（本小题满分12分）已知函数()()()22211x f x ax a x a a e éù=+-+--ëû(其中R a Î).（Ⅰ）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x æö>-++ç÷èø.21.（本小题满分12分）已知0³a ，函数ax x x f +=2)(.设,(21a x --¥Î，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是),(02x N ，O 为坐标原点.（Ⅰ）证明：ax x x +=12122；（Ⅱ）若对于任意的),(21a x --¥Î，都有169aOM >×成立，求a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数232()ln()2x f x a x a a =+--，R a Î且0¹a ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a <时，若2212a a x x a a +<<<-，证明:22121()()2f x f x a a x x -<--.东北育才学校高中部2015届高三第一次模拟数学试题（理科）答案18. (Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos p -=-=-×x x x x x x . ……………4分当226222p p p p p +£-£-k x k 时，解得36pp p p +££-k x k ， )62sin()(p -=\x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k Î+-pp p p . ……………8分(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当65,6-[sin 65,6-[)62(]2,0[pp p p p p x y x x =Î-Î. ]1,21[)]2(),6-([62sin()(-=Î-=p p p f f x x f .所以,f (x) 在0,2p éùêúëû上的最大值和最小值分别为21,1-. ……………12分19.解:(Ⅰ)命题p 为真,即)(x f 的定义域是R ,等价于01)1()1(22>+++-x a x a 恒成立,等价于1-=a 或îíì<--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得1-£a 或35>a .∴实数a 的取值范围为-¥(,35(]1U -,)¥+ ……………4分命题q 为真,即)(x f 的值域是R , 等价于1)1()1(22+++-=x a x a u 的值域),0(¥+Ê,等价于1=a 或îíì³--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得351££a .∴实数a 的取值范围为1[,35……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,p Ø:]35,1(-Îa ;q :]35,1[Îa .而35,1[]35,1(¹É-,∴p Ø是q 的必要而不充分的条件 ……………12分 20. (Ⅰ)因为()()()22211x f x ax a x a a e éù=+-+--ëû()()()()()22222221111x x x f x ax a e ax a x a a e ax a x a e éùéùéù¢\=+-++-+--=+++ëûëûëû 因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae ¢==,解得0a =检验,当0a =时,()xf x xe ¢=,当0x <时,()0f x ¢<,当0x >时,()0f x ¢>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =. ……………4分 (Ⅱ) 当0a =时,不等式()()21112f x x x x æö>-++ç÷èø()()211112x x e x x x æöÛ-×>-++ç÷èø,整理得()211102x x e x x éùæö--++>ç÷êúèøëû, 即2101102x x e x x ->ìïíæö-++>ç÷ïèøî或2101102x x e x x -<ìïíæö-++<ç÷ïèøî令()2112x g x e x x æö=-++ç÷èø,()()()1x h x g x e x ¢==-+,()1x h x e ¢=-, 当0x >时,()10xh x e ¢=->；当0x <时,()10xh x e ¢=-<,所以()h x 在(),0-¥单调递减,在(0,)+¥单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x ¢>, 所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002x e x x x æö-++>Û>ç÷èø；211002x e x x x æö-++<Û<ç÷èø, 所以原不等式的解集为{}01x x x <>或. ……………12分(21. Ⅰ)解：曲线)(x f y =在点)(,(11x f x M 处的切线l 的方程为))(2()(111x x a x x f y -+=-令0=y ，得ax x x +=12122 ……………4分(Ⅱ) 169aOM >×01698923<--Ûa ax x 在)2,(a x --¥Î上恒成立设=)(x f 2316989a ax x --， a x x f 893)(2'-= 令0)('=x f ，解得83a x -=，0)('],83,(>--¥Îx f ax 0)('),21,83(<--Îx f a a x 当83ax -=时，)(x f 取极大值 10当832a a -£-,即23³a 时，82()(3max a a F x F -=-=，满足题设要求； 20当832a a -³-，即230££a ，23max 169)83(43)83()(a a a F x F -=-=， 若0)(max <x f ，解得32>a . 综上，实数a 的取值范围为32>a . …………12分 22.解：（1）由题，32()a f x x x a a ¢=+--2232()x a a x a x a a-++=-- 22()()x a x a x a a --=--. …………………………………………………2分令()0f x ¢>，因为20x a a -->故2()()0x a x a -->.当0a >时，因2a a a +>且22a a a +>所以上不等式的解为2(,)a a ++¥, 从而此时函数()f x 在2(,)a a ++¥上单调递增. ……………………4分 当0a <时，因22a a a a <+<所以上不等式的解为2(,)a +¥， 从而此时函数()f x 在2(,)a +¥上单调递增.同理此时()f x 在22(,]a a a +上单调递减. ……………………………6分（2）（方法一）要证原不等式成立，只须证明22121()()()()2a f x f x x x a -<--，只须证明222211()()()()22a a f x a x f x a x --<--.因为2212a a x x a a +<<<-所以原不等式只须证明，函数2()()()2a h x f x a x =--在22(,)x a a a a Î+-内单调递减. ……………8分由（1）知232()()2a a h x x a x a a ¢=--+--4322223222a a x a x a x a a -++-=--， 因为20x a a -->，我们考察函数432223()222a a g x x a x a =-++-,22,x a a a a éùÎ+-ëû. 因2222a a a a a ++-=>234a x =对称轴22,a a a a éùÎ+-ëû， 所以2()()0g x g a a £-=. ……………………………10分 从而知()0h x ¢<在22(,)x a a a a Î+-上恒成立，所以函数2()()()2a h x f x a x =--在22(,)x a a a a Î+-内单调递减.从而原命题成立 ……………………………………………12分（方法二）要证原不等式成立，只须证明22121()()()()2a f x f x x x a -<--，只须证明222211()()()()22a a f x a x f x a x --<--.又2212a a x x a a +<<<-，设()()x a a x f x g ÷÷øöççèæ--=22，则欲证原不等式只须证明函数()()x a a x f x g ÷÷øöççèæ--=22在22,x a a a a éùÎ+-ëû内单调递减………………8分由（1）可知()()÷÷øöççèæ--¢=¢a a x f x g 22÷÷øöççèæ----+=a a a a x a x 2223 ÷÷øöççèæ--++--+--=a a a a a a x a a a x 222232. 因为0<a ，所以232aa x a a a x y --+--=在22,a a a a éù+-ëû上为增函数， 所以()()3222222202a a g x g a a a a a a a a a a a a a æö¢¢£-=---+++--=ç÷---èø.从而知()0<¢x g 在22(,)x a a a a Î+-上恒成立，所以函数()()x a a x f x g ÷÷øöççèæ--=22在22(,)x a a a a Î+-内单调递减. 从而原命题成立. …………………12分。

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1} 2．（5分）复数=（）A．2（+i）B．1+i C．i D．﹣i3．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．﹣C．或﹣D．﹣或4．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6 B．7 C．10 D．95．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．2012 B．2016 C．2014 D．20156．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．8 C．10 D．128．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，] B．[，+∞）C．（1，3] D．[，+∞）9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则=（）A．2n﹣1+3 B．2（2n﹣1+1）C．2n+1D．111．（5分）已知数列{a n}满足a n=n3﹣n2+3+m，若数列的最小项为1，则m的值为（）A．B．C．﹣D．﹣12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为．15．（5分）某校2014-2015学年高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2频率分布表Ⅰ分组（单位：岁）频数频率[20，25] 5 0.05[25，30] 20 0.20[30，35] ①0.350[35，40] 30 ②[40，45] 10 0.10合计100 1.000（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合B，代入集合交集运算，可得答案．解答：解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={x|0≤x＜1}，故选：B．点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数=（）A．2（+i）B．1+i C．i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出；解答：解：==i，故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．﹣C．或﹣D．﹣或考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的准线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．解答：解：抛物线y=ax2化为：x2=，它的准线方程为：y=﹣，点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得|1+|=2，解得a=或﹣．故选：C．点评：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．4．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6 B．7 C．10 D．9考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a7+a8=0，从而可得数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．解答：解：由题意可得S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，∴2（a7+a8）=0，∴a7+a8=0，又a1＞0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n最大时，n=7故选：B点评：本题考查等差数列的前n项和的最值，得出数列项的正负变化是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．2012 B．2016 C．2014 D．2015考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin+sin+…sin的值，观察规律可得sin的取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，依次验证选项即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin+sin+…sin的值，因为sin的取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，由2012=335*6+2，所以输入的t值是2012时，S=sin+sin=＞12014=335*6+4，所以输入的t值是2014时，S=sin+sin+sin+sin=＜1 2015=335*6+5，所以输入的t值是2015时，S=sin+sin+sin+sin+sin=0＜12016=335*6+6，所以输入的t值是2016时，S=sin+sin+sin+sin+sin+sin2π=0＜1故选：A．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①利用命题的否定即可判断出正误；②利用充分必要条件定义即可判断出；③利用互为逆否命题之间的等价关系即可判断出正误；④对m分类讨论，利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可判断出．解答：解：①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，因此不正确；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件，正确；③由于命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；④当m=0时，直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直；m≠0时，若两条直线垂直，则=﹣1，解得m=﹣1，可知：“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件，因此不正确．综上可得：正确命题的个数为：2．故选：B．点评：本题考查了简易逻辑的判定、相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了推理能力，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．8 C．10 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．解答：解：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB⊥面ABC，VE⊥AB，CD⊥AB，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积V=×AB•CD•VE==10，故选：C点评：本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．8．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，] B．[，+∞）C．（1，3] D．[，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F（c，0），B（0，b），一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d==b，|FB|=，利用|FB|≥d，可得a，c的关系，即可得出双曲线离心率的取值范围．解答：解：设F（c，0），B（0，b），一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d==b，|FB|=，因为|FB|≥d，所以≥b，所以c2≥2c2﹣2a2，所以2a2≥c2，所以1＜e≤．故选：A．点评：本题考查双曲线离心率的取值范围，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．专题：概率与统计．分析：分别画出点集对应的区域，求出面积，利用几何概型的公式解答．解答：解：分别画出点集A，B如图，A对应的区域面积为4×4=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为=（）|=，由几何概型公式得，在A中任取一点P，则P∈B的概率为；故选A．点评：本题考查了几何概型的公式的运用；关键是画出区域，求出区域面积，利用几何概型公式求值．10．（5分）设二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则=（）A．2n﹣1+3 B．2（2n﹣1+1）C．2n+1D．1考点：二项式定理的应用；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；二项式定理．分析：首先利用条件求得a n、b n，再利用等比数列的求和公式计算所给的式子，可得结果．解答：解：由于二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n、b n，则a n =2n，b n =2﹣n，所以===2n+1故选：C．点评：本题主要考查展开式的二项式系数和与各项系数和的区别，等比数列的求和公式，属于中档题．11．（5分）已知数列{a n}满足a n=n3﹣n2+3+m，若数列的最小项为1，则m的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：令f（x）=x3﹣x2+3+m，（x≥1）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：数列a n=n3﹣n2+3+m，令f（x）=x3﹣x2+3+m，（x≥1）．f′（x）=x2﹣x，由f′（x）＞0，解得x＞，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时函数f（x）单调递减．∴对于f（n）来说，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值．f（3）﹣f（2）=9﹣﹣（﹣5）＞0，∴f（2）最小，∴×8﹣5+3+m=1，解得m=．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出双曲线的渐近线方程，y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程，即可得出结论．解答：解：由题意，x≥0，f（x）=为双曲线4y2﹣x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=±x；当k=1时，由y=﹣ln（1﹣x），可得y′==1可得x=0，即y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程为y=x，此时函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有1个零点，∴若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1），故选：C．点评：本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为90°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直的条件可得（+）•（2﹣）=0，根据向量数量积的运算化简得=0，即可求出向量与的夹角．解答：解：因为||=1，||=，（+）⊥（2﹣），所以（+）•（2﹣）=2+﹣=0，则2+﹣2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90°，故答案为：90°．点评：本题重点考查了向量数量积的运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为64π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．解答：解：在△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，由余弦定理可得AB=6，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，得球半径R==4，故此球的表面积为4πR2=64π．故答案为：64π．点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．15．（5分）某校2014-2015学年高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有84种不同选课方案（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：先从4门课中任选2门，每一门为一步，第一门有4为同学可以选，第二门有3位同学可选，根据分步计数原理可得答案．解答：解：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为=6种，四个学生选这两种课共有24=16中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有14=84种．故答案为：84．点评：本题考查了分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．解答：解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，cosα=．∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ﹣α=+kπ，即φ=α﹣+kπ，则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=，故答案为：点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式以及三角函数的对称轴是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围，进而可得θ的取值范围；（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ﹣），由θ的范围和三角函数公式可得．解答：解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[﹣，），∴sin（2θ﹣）∈[﹣，1]，∴1+sin（2θ﹣）∈[，2]，∴f（θ）的取值范围为：[，2]点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．18．（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2频率分布表Ⅰ分组（单位：岁）频数频率[20，25] 5 0.05[25，30] 20 0.20[30，35] ①0.350[35，40] 30 ②[40，45] 10 0.10合计100 1.000（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的①②位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均年龄．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．解答：解：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：=0.30．补全频率分布直方图，如右图所示．平均年龄估值为：（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PEX==．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EF∥AM，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为，计算即可．解答：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴MF，正方形ABCD中E为AB中点，∴AE，∴AE MF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设=λ，∵=（，0，1），∴Q（，，λ），=（，，λ），λ∈[0，1]，设平面PAQ的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，﹣λ，0），∴==，由已知：=，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．点评：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）有已知：c=2，解得a=，b2=4，从而写出方程．（2）分AB斜率不存在或斜率存在两种情况讨论．解答：解：（1）有已知：c=2，∴a=，b2=4，故椭圆方程为；（2）当AB斜率不存在时：，当AB斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：△=16﹣8（2k2+1）=8，即：，|AB|=，O到直线AB的距离：d=，∴S△AOB==，∴2k2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴，∴此时，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB面积取最大值为．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．解答：（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x （0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x （0，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：推理和证明．分析：（1）连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线．（2）DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），从而DM•AC+DM•AB=（AC﹣AB）•（AC+AB）=BC2，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．解答：证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．点评：本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．解答：解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=t1t2，∴m2﹣2m=1，解得．又满足△＞0．∴实数m=1．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即 4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即 3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1} 2．（5分）复数=（）A．2（+i）B．1+i C．i D．﹣i3．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．﹣C．或﹣D．﹣或4．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6B．7C．10D．95．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．2012B．2016C．2014D．20156．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．8C．10D．128．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞）C．（1，3]D．[，+∞）9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则=（）A．2n﹣1+3B．2（2n﹣1+1）C．2n+1D．111．（5分）已知数列{a n}满足a n=n3﹣n2+3+m，若数列的最小项为1，则m 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx 有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为．15．（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2频率分布表Ⅰ分组（单位：岁）频数频率[20，25]50.05[25，30]200.20[30，35]①0.350[35，40]30②[40，45]100.10合计100 1.000（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={x|0≤x＜1}，故选：B．2．（5分）复数=（）A．2（+i）B．1+i C．i D．﹣i【解答】解：==i，故选：C．3．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．﹣C．或﹣D．﹣或【解答】解：抛物线y=ax2化为：x2=，它的准线方程为：y=﹣，点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得|1+|=2，解得a=或﹣．故选：C．4．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6B．7C．10D．9【解答】解：由题意可得S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，∴2（a7+a8）=0，∴a7+a8=0，又a1＞0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n最大时，n=7故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．2012B．2016C．2014D．2015【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin+sin+…sin的值，因为sin的取值以6为周期，且sin+sin+…sin=0，由2012=335*6+2，所以输入的t值是2012时，S=sin+sin=＞12014=335*6+4，所以输入的t值是2014时，S=sin+sin+sin+sin=＜12015=335*6+5，所以输入的t值是2015时，S=sin+sin+sin+sin+sin=0＜12016=335*6+6，所以输入的t值是2016时，S=sin+sin+sin+sin+sin+sin2π=0＜1故选：A．6．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，因此不正确；②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件，正确；③由于命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；④当m=0时，直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直；m≠0时，若两条直线垂直，则=﹣1，解得m=﹣1，可知：“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件，因此不正确．综上可得：正确命题的个数为：2．故选：B．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．8C．10D．12【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB⊥面ABC，VE⊥AB，CD⊥AB，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积V=×AB•CD•VE==10，故选：C．8．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞）C．（1，3]D．[，+∞）【解答】解：设F（c，0），B（0，b），一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d==b，|FB|=，因为|FB|≥d，所以≥b，所以c2≥2c2﹣2a2，所以2a2≥c2，所以1＜e≤．故选：A．9．（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：分别画出点集A，B如图，A对应的区域面积为4×4=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为=（）|=，由几何概型公式得，在A中任取一点P，则P∈B的概率为；故选：A．10．（5分）设二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n，b n，则=（）A．2n﹣1+3B．2（2n﹣1+1）C．2n+1D．1【解答】解：由于二项式（x﹣）n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n、b n，则a n =2n，b n =2﹣n，所以===2n+1故选：C．11．（5分）已知数列{a n}满足a n=n3﹣n2+3+m，若数列的最小项为1，则m 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：数列a n=n3﹣n2+3+m，令f（x）=x3﹣x2+3+m，（x≥1）．f′（x）=x2﹣x，由f′（x）＞0，解得x＞，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时函数f（x）单调递减．∴对于f（n）来说，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值．f（3）﹣f（2）=9﹣﹣（﹣5）＞0，∴f（2）最小，∴×8﹣5+3+m=1，解得m=．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）﹣kx 有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（，1）D．（1，+∞）【解答】解：由题意，x≥0，f（x）=为双曲线4y2﹣x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=±x；当k=1时，由y=﹣ln（1﹣x），可得y′==1可得x=0，即y=﹣ln（1﹣x）在x=0处的切线方程为y=x，此时函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有1个零点，∴若函数F（x）=f（x）﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为90°．【解答】解：因为||=1，||=，（+）⊥（2﹣），所以（+）•（2﹣）=2+﹣=0，则2+﹣2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90°，故答案为：90°．14．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为64π．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，由余弦定理可得AB=6，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，得球半径R==4，故此球的表面积为4πR2=64π．故答案为：64π．15．（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有84种不同选课方案（用数字作答）．【解答】解：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为=6种，四个学生选这两种课共有24=16中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有14=84种．故答案为：84．16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ=．【解答】解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=[sin（πx+φ）﹣cos（πx+φ）]，令sinα=，cosα=，则y=[sin（πx+φ）cosα﹣cos（πx+φ）sinα]=sin（πx+φ﹣α），∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ﹣α=+kπ，即φ=α﹣+kπ，则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[，），∴sin（2θ﹣）∈[，1]，∴1+2sin（2θ﹣）∈[2，3]，∴f（θ）的取值范围为：[2，3]18．（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2频率分布表Ⅰ分组（单位：岁）频数频率[20，25]50.05[25，30]200.20[30，35]①0.350[35，40]30②[40，45]100.10合计100 1.000（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：=0.30．补全频率分布直方图，如右图所示．平均年龄估值为：（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012PEX==．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴MF，正方形ABCD中E为AB中点，∴AE，∴AE MF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设=λ，∵=（，0，1），∴Q（，，λ），=（，，λ），λ∈[0，1]，设平面PAQ的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，﹣λ，0），∴==，由已知：=，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）有已知：c=2，∴a=，b2=4，故椭圆方程为；（2）当AB斜率不存在时：，当AB斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：△=16﹣8（2k2+1）=8，即：，|AB|=•，O到直线AB的距离：d=，∴S==，△AOB∴2k2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴，∴此时，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB面积取最大值为．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．【解答】（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x（0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+0﹣g（x）↗极大值↘依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）↘↗↘由表可知：f（x）在[x1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【解答】证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，即f（x0）＜4m﹣2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m﹣2m2 ，求得﹣＜m＜．。

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则A B =（ ） A ．{}01x x << B ．{}01x x ≤< C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤2=（ ）A ．)2i B ．1i + C ． D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于，则输入的值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．20156、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．个B ．2个C ．3个D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d，若F B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A．( B．)+∞ C ．(]1,3 D．)+∞ 9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ） A ．932 B ．732C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．11、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为，则m 的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．14- D ．13-12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 24f πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CDP-AB的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面CDAB，E、F分别为AB、CP的中点．()I求证：F//E平面DPA；()II若2PA=，试问在线段FE上是否存在点Q，使得二面角Q D-AP-的余弦值为5Q的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点为1F、2F，点(A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<；()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ．()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M ⋅A +M ⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分 18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分3 分平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁） 6 年龄(岁)(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X12P3821 3815 382 10 分 期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人） 12 分 19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2 分又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD4分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ 1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分 ∴ 21,cos λλ+-<n m 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。

2015.3三校联考一模（数学理）答案一．选择题：BCCBA BCAAC BC二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题：17.解： （Ⅰ）设ABC △中角AB C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分 （Ⅱ）2π()2sin 3cos 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 23cos 22θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (1sin 2)3cos2θθ=+-πsin 23cos 212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分 )2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤． 即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分3 分年龄(岁) 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070.08 0.09 20 25 30 35 40 45 50 频率 组距平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁） 6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X0 1 2 P 3821 3815 382 10分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人） 12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为 PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴, MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2分又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F 由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ x y zQ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =, 10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分∴ 21,c o sλλ+-=⋅>=<n m n m n m 由已知：5512=+λλ 解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。

2015届东北三省三校高三第一次联合模拟试题理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合2{|30}A x x x =-->，{|1}B x x =<-，则A B = （ ）A ．{|31}x x -<<-B ．{|30}x x -<<C ．{|1}x x <-D ．{|0}x x > 2．命题“若1x >，则0x >”的否命题是A ．若1x >，则0x ≤B ．若1x ≤，则0x >C ．若1x ≤，则0x ≤D ．若1x <，则0x <3．已知11xyi i=-+，其中x ，y 是实数，i 是叙述单位，则x +yi 的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 4．已知数列{}n a 是等差数列，且1232a a a π++=，则的值为A B ．C D ．5．与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为A ．2213y x -=B ．2221y x -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=6．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少1名教师，则不同的分配方案种数为A ．12B ．36C ．72D ．1087．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是A ．5B ．6C ．7D ．88．若n 的展开式中第四项为常数项，则n =A ．4B ．5C ．6D ．79．已知sin()y A x k ωϕ=++函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++ C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC= ，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为A ．1256πB ．8πC ．254πD ．2516π11．若点P 在抛物线24y x =上，则点P 到点A （2,3）的距离与点P 到抛物线焦点的距离之差A ．有最小值，但无最大值B ．有最大值，但无最小值C ．既无最小值，又无最大值D ．既有最小值，又有最大值12．已知ln ()ln 1xf x x x=-+，()f x 在0x x =处取得最大值，以下各式正确的序号为 ①00()f x x < ②00()f x x = ③00()f x x > ④01()2f x < ⑤01()2f x >A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题要求考生必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

哈尔滨师大附中 2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷东北师大附中 辽宁省实验中学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B I 等于A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|21}x x -<≤2=A．)i B ．1 + i C ．iD ．-i3．点(1,1)M 到抛物线y = ax 2准线的距离为2，则a 的值为A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124．设S n 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且a 1 > 0，若S 5 = S 9，则当S n 最大时，n =A ．6B ．7C ．8D ．9 5．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6．下列命题中正确命题的个数是①对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x +->； ②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件；③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④“1m =-”是“直线l 1：(21)10mx m y +-+=与直线l 2：330x my ++=垂直”的充要条件。

2015年数学科模拟试题答案（理科） 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DA DB B DC B C AD C 13. 2 14. 540- 15. -1 16. )1,31( 17.(1)解：ππππ<+<∴<<44,430A A 125,324,πππ=∴=+∴A A ……………………2分 3π=∴C ……………………4分 （2）23sin ,22sin ==C B 3:2:=∴c b ……………………6分3,2,32==∴-=-c b c b ……………………8分426)sin(sin +=+=C B A ……………………10分 4334263221sin 21+=+⨯⨯⨯==∴∆A bc S ABC ……………………12分 18.答案：⑴因为网购金额在2000元以上的频率为40.， 所以网购金额在2000元以上的人数为10040.⨯=40 所以4030=+y ，所以10=y ，……………………1分 15=x ，……………………2分 所以10150.,.==q p ……………………4分 所以频率分布直方图如右图……………………5分⑵由题设列联表如下0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.20.10.3 0.40.50.6(千元) 组距频率……………………7分 所以))()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22=5656040257554020351002.)(≈⨯⨯⨯⨯-⨯……………………9分 因为0245565..>……………………10分所以据此列联表判断，有597.%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关. ……………………12分19.证明：（1）取AD 中点O ，连结BO PO ,.侧面PAD 为等边三角形，底面ABCD 为菱形且3π=∠DABAD BO AD PO ⊥⊥∴,……………………2分POB AD O BO PO 面⊥∴=⋂,……………………4分AD PB ⊥∴……………………5分（2）侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，ABCD PO 面⊂∴， AD PO ⊥ABCD PO 面⊥∴……………………7分以O 为坐标原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，OP 方向为z 轴建立空间直角坐标系，设A 点坐标为)0,0,1( 则)0,3,2(),0,0,1(),3,0,0(),0,3,0(--C D P B)0,3,1(),3,0,1(),3,0,1(-=--=-=∴AB PD PA ……………………8分设面PAB 的法向量为),,(1111z y x n =→， 则⎩⎨⎧=+-=-03031111y x z x ，令31=x ，解得)1,1,3(1=→n ……………………9分设面PCD 的法向量为),,(2222z y x n =→，同理解得)1,1,3(2-=→n ……………………10分网龄3年以上 网龄不足3年 合计 购物金额在2000元以上35 5 40 购物金额在2000元以下40 20 60 合计75 25 1005355113cos 2121=⨯-+=⋅⋅=∴→→→→n n n n θ 面PAB 与面PCD 所成的角（锐角）的余弦值为53……………………12分 20.解：（1）设抛物线的方程是)0(22>=p py x ，),(),,(B B A A y x B y x A ,由抛物线定义可知8=++p y y B A ……………………2分又AB 中点到x 轴的距离为3，∴6=+B A y y ，∴p ＝2，所以抛物线的标准方程是y x 42=.……………………4分(2)设),(,0),,22111y x Q x y x P ≠（，则y x 42=在P 处的切线方程是112y x x y -=，直线1122:y x x y PQ ++-=代入y x 42=得0)2(48112=+-+y x x x ，……………………6分 故12112148,8y x x x x x --=-=+，所以44,8112112++=--=y y y x x x ……………………8分 而=⋅FQ FP =07421121=---y y y ……………………10分 047212131=---y y y )0(1>y ，得0)4()1(121=-+y y ，所以41=y ，存在点)4,4(±P .……………………12分（说明：没求出1y ，但说明关于1y 的方程047212131=---y y y )0(1>y 有解，也给分。

东北三省三校2015届高三第二次联合模拟考试数学（理科）本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2230,M x x x x =--<∈Z ，则集合M 的真子集个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．3 2．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是（ ） A ．若x ≤1，则x ≤0 B ．若x ≤0，则x ＞0 C ．若x ＞1，则x ≤0 D ．若x ＜1，则x ＜03．复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若122z z i =-，则1z =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．44．已知a ，b ，m ，n 是四条不同的直线，其中a ，b 是异面直线，则下列命题正确的个数为（ ） ①若m ⊥a ，m ⊥b ，n ⊥a ，n ⊥b ，则m ∥n ； ②若m ∥a ，n ∥b ，则m ，n 是异面直线；③若m 与a ，b 都相交，n 与a ，b 都相交，则m ，n 是异面直线． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．已知向量AB 与向量()1,2=-n 的夹角为π，25AB =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为（ ） A ．()1,0B ．()0,1C ．()5,8-D ．()8,5-6．函数()2sin sin 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为（ ） A ．2x π=B ．x π=C ．6x π=D ．3x π=7．阅读程序框图，若输出结果910S =，则整数m 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．设1F 、2F 分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1223PF PF +=，则12F PF ∠=（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π9．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．9πC ．4πD ．π10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，当()2,4x ∈时，()3f x x =-，则()()()()1234f f f f +++=（ ） A ．1B ．0C ．2D ．-211．已知算曲线()22220,0x y a b a b->>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆被直线1x ya b +=6a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C 3D 212．若函数1sin 2cos 2y x a x =+在区间()0,π上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．(),0-∞D ．()0,+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为 选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．()()412x x +-的展开式中含3x 项的系数为 ．14．设某城市居民私家车评价每辆车每月汽油费用为随机变量ξ（单位为：元），经统计的()520,14400N ξ，从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本，其中每月汽油费用在（400,640）之间的私家车估计有 辆．（附：若()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=，()330.9974P μσξμσ-<<+=）15．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若5sin 13B =，12cos B ac=，则a c +的值为 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点()2,2P ，M ，N 是圆O 上相异两点，且PM ⊥PN ，若PQ PM PN =+，则PQ 的取值范围是 ． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足22n n S a n =-（n ∈N *）． （1）证明：{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()2log 2n n b a =+，n T 为数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T a <对正整数n 都成立，求a 的取值范围．18．（本小题满分12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有13的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人（20岁至40岁）和中年人（40岁至60岁）两个阶段，那么其中34是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有23是青年人．（1）现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容量为1802列联表．（2（3）从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X ，求出X 的期望．附：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++0k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，点M 在棱1BB 上，4AB =，15AA =，平面1A MC ⊥平面11ACC A ． （1）求证：M 是棱1BB 的中点；（2）求平面1A MC 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点A ，B（l 不过P 点），且△P AB 重心的纵坐标为23-．（1）记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k +的值； （2）求11FA FB+的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数()1436x a f x e x --=-，()()211132g x ax x a =+--．（1）曲线()f x 在1x =处的切线与直线210x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）当34a =-时，求证：()f x 在()1,+∞上单调递增；（3）当x ≥1时，()f x ≥()g x 恒成立，求实数a 的取值范围．23．选修4-4：坐标系与参数方程 已知点P 的直角坐标是（x ,y ）．以平面直角坐标系的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(),ρθ，点Q 的极坐标是()0,ρρθ+，其中0θ是常数．设点Q 的平面直角坐标是(),m n ． （1）用x ，y ，0θ表示m ，n ；（2）若m ，n 满足1mn =，且04πθ=．求点P 的直角坐标(),x y 满足的方程．24．选修4-5：不等式选讲 已知a ，b ，c ＞0，1a b c ++=求证：（1≤； （2）11133131312a b c ++≥+++．。

东北三省四市教研联合体2 015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁R N）=（）A．（3，+∞）B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，3）D．[﹣1，3）2．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题④命题p；∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．20 B．30 C．40 D．505．（5分）将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为a，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称6．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．57．（5分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+B．6+C．12+2πD．6+4π8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆（a＞b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．9．（5分）已知∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，若PA=AB=BC=1，则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（）A．πB．πC．2πD．3π10．（5分）在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）A．B．C．D．11．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．（5分）已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）设随机变量x服从正态分布N（1，4），若P（x＞a+1）=P（x＜2a﹣5），则a=．14．（5分）设a=2xdx，则（ax﹣）6的展开式中常数项为．15．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P满足，则=．16．（5分）已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，tan（A+）=﹣．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若b﹣c=，求△ABC的面积．18．（12分）2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．网购金额（元）频数频率（0，500] 5 0.05（500，1000] x p（1000，1500] 15 0.15（1500，2000] 25 0.25（2000，2500] 30 0.3（2500，3000] y q合计100 1.00（Ⅰ）确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．①请将列联表补充完整；网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表判断，是否有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？参考数据：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD 为棱形且∠DAB=．（Ⅰ）求证：PB⊥AD；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．20．（12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1=2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（一）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．（二）选修4-4：坐标系与参数方程23．设函数f（x）=|x+2|+|2x﹣4|，g（x）=a+x．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）画出函数y=f（x）的图象，根据图象求使f（x）≥g（x）恒成立的实数a的取值范围．三、选修4-5：不等式选讲24．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点A（0，﹣），F1、F2是圆锥曲线C的左、右焦点．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．东北三省四市教研联合体2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≤1}，则M∩（∁R N）=（）A．（3，+∞）B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，3）D．[﹣1，3）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，进而求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．解答：解：由N中不等式变形得：2x+1≤1=20，即x+1≤0，解得：x≤﹣1，即N=（﹣∞，﹣1]，∴∁R N=（﹣1，+∞），∵M=（﹣2，3），∴M∩（∁R N）=（﹣1，3），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：复数===i+1在复平面所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义等基础知识，属于基础题．3．（5分）下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题④命题p；∀x∈[1，+∞），lgx≥0，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真命题．A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：对四个，命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①由x=1，则12﹣3×1+2=0，即x2﹣3x+2=0成立，反之，由x2﹣3x+2=0，得：x=1，或x=2．所以，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故正确；②命题“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x∈R，sinx＞1”，正确；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，故不正确；④命题p：∀x∈[1，+∞），lgx≥0，正确，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=＞0恒成立，p∨q为真，故正确．故选：D．点评：此题注重对基础知识的考查，特别是四种命题之间的真假关系，复合命题的真假关系，特称命题与全称命题的真假及否定，是学生易错点，属中档题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．20 B．30 C．40 D．50考点：程序框图．专题：常规题型；算法和程序框图．分析：根据程序框图，列出每次执行循环体后的S，i，T的值，当满足条件T＞S时，退出循环体，输出T的值．解答：解：根据程序框图，第一次执行循环体后S=7，i=3，T=3；第二次执行循环体后S=13，i=6，T=9；第三次执行循环体后S=19，i=9，T=18；第四次执行循环体后S=25，i=12，T=30；满足条件T＞S，退出循环体，输出T=30．故选B．点评：本题通过程序框图考查了算法的三种结构，解决题目的关键是正确列出每次执行循环体后得到的S，i，T的值．5．（5分）将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为a，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．解答：解：将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=cos2（x﹣）=sin2x 的图象，故当x∈（0，）时，2x∈（0，），故函数g（x）在（0，）上单调递增，为奇函数，故选：B．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质，属于基础题．6．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．5考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质和对数的运算可得S=lga1a2…a10=lg105，化简可得．解答：解：∵等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，∴数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lga1a2…a10=lg105=5故选：D点评：本题考查等比数列的性质和求和公式，涉及对数的运算，属基础题．7．（5分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．12+B．6+C．12+2πD．6+4π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知，该几何体由圆柱切割而成，故分矩形及曲面求侧面积．解答：解：该几何体的侧面积由矩形的面积及曲面面积构成，其中矩形的面积为2×3×2=12，曲面的面积为×2×3=2π，故其侧面积S=12+2π，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆（a＞b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，由AF⊥x轴，可得=c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A，即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：=1，又b2=a2﹣c2，利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，∵AF⊥x轴，∴=c，把x=代入抛物线方程可得：y2=，解得y=p．∴A，即A（c，2c）．代入椭圆的方程可得：=1，又b2=a2﹣c2，∴=1，化为e4﹣6e2+1=0，0＜e＜1．解得e2=3﹣2，∴﹣1．故选：B．点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）已知∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，若PA=AB=BC=1，则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（）A．πB．πC．2πD．3π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：取PC的中点O，连结OA、OB．由线面垂直的判定与性质，证出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC与△PBC是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OP=PC，所以P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出PC长，进而得到球半径R=，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．解答：解：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵PB⊂平面PAC，∴BC⊥PB，∵OB是Rt△PBC的斜边上的中线，OB=PC．同理可得：Rt△PAC中，OA=PC，∴OA=OB=OC=OP=PC，可得P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．Rt△ABC中，AB=BC=1，可得AC=，Rt△PAC中，PA=1，可得PC=．∴球O的半径R=PC=，可得球O的表面积为S=4πR2=3π．故选：D．点评：本题给出特殊的三棱锥，由它的外接球的表面积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．10．（5分）在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中y的系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可．解答：解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行，∵k AC==，∴﹣=，∴a=﹣3，则=表示点P（﹣3，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，其取得最大值，最大值是=．故选A．点评：本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于中档题．11．（5分）设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°考点：余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．解答：解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D点评：本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列递推式求出a3，结合a100=a96求得a96，然后由a n+2=可得a2014=a96，则答案可求．解答：解：∵a1=1，a n+2=，∴，由a100=a96，得，即，解得（a n＞0）．∴．则a2014+a3=．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，解答此题的关键是对数列规律性的发现，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）设随机变量x服从正态分布N（1，4），若P（x＞a+1）=P（x＜2a﹣5），则a=2．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=1对称，得到两个概率相等的区间关于x=1对称，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（1，4），P（x＞a+1）=P（x＜2a﹣5），∴2a﹣5+a+1=2，∴3a=6，∴a=2，故答案为：2．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线关于x=1对称，是一个基础题．14．（5分）设a=2xdx，则（ax﹣）6的展开式中常数项为﹣540．考点：二项式系数的性质；定积分．专题：二项式定理．分析：求定积分得到a的值，在（ax﹣）6的二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：a=2xdx=x2=4﹣1=3，则（ax﹣）6=（3x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•36﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得 r=3，可得（ax﹣）6的展开式中常数项为﹣•33=﹣540，故答案为：﹣540．点评：本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．（5分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P满足，则=﹣1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，得到A，B，C，D的坐标，由得到P的坐标，再由向量的数量积运算解答．解答：解：如图在坐标系中，A（0，2），B（0，0），C（2，0），D（1，2），所以=（0，2），=（2，0），由，得到=（1，1），所以=（1，﹣1）（0，1）=﹣1；故答案为：﹣1．点评：本题考查了向量数量积的坐标运算；关键是距离坐标系，利用坐标法解答本题．16．（5分）已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为（，1）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：根据条件构造函数g（x），利用函数的奇偶性和单调性的性质解不等式即可解答：解：构造函数g（x）=x2（e x+e﹣x），则g（x）=x（e x﹣e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x（e x﹣e﹣x）＞（2x﹣1）（e2x﹣1+e1﹣2x），即g（x）＞g（2x﹣1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，∴3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，tan（A+）=﹣．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若b﹣c=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由题意和内角和定理求出A的范围，再求出A+的范围，结合条件求出角A，由内角和定理即可求出角C；（2）根据正弦定理求出的值，代入b﹣c=，求出b、c的值，利用两角和的正弦公式求出sinA的值，再代入三角形的面积公式求解．解答：解：（1）由题意知，B=，则0＜A＜，∴＜A+＜π，∵tan（A+）=﹣，∴A+=，则A=，…（2分）∴C=π﹣A﹣B=…（4分）（2）由正弦定理得，则==，①…（6分）∵b﹣c=，②，由①②得，b=、c=（8分）∵sinA=sin（B+C）==…（10分）∴S△ABC===…（12分）点评：本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，以及三角形的面积公式，注意角的范围确定，属于中档题．18．（12分）2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．网购金额（元）频数频率（0，500] 5 0.05（500，1000] x p（1000，1500] 15 0.15（1500，2000] 25 0.25（2000，2500] 30 0.3（2500，3000] y q合计100 1.00（Ⅰ）确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．①请将列联表补充完整；网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表判断，是否有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？参考数据：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）求出网购金额在2000元以上的人数，可得x，y的值，由此能求出x，y，p，q 的值，并补全频率分布直方图．（2）由数据可得列联表，利用公式，可得结论．解答：解：（1）因为网购金额在2000元以上的频率为0.4，所以网购金额在2000元以上的人数为100×0.4=40所以30+y=40，所以y=10，…（1分）x=15，…（2分）所以p=0.15，q=0.1…（4分）所以频率分布直方图如右图…（5分）（2）由题设列联表如下网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35 5 40购物金额在2000元以下40 20 60合计75 25 100…（7分）所以K2=≈5.56＞5.024…（10分）所以据此列联表判断，有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关．…（12分）点评：本题考查频率分布直方图，考查独立性检验的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD 为棱形且∠DAB=．（Ⅰ）求证：PB⊥AD；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AD中点O，连结PO，BO，由等边三角形性质得PO⊥AD，由菱形性质得BO⊥AD，从而AD⊥平面POB，由此能证明PB⊥AD．（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，求出平面PAB的法向量和平面PCD的法向量，由此利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取AD上点O，连结PO，BO，∵侧面PAD为等边三角形，∴PO⊥AD，∵底面ABCD为棱形且∠DAB=，∴BO⊥AD，又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴PB⊥AD．（Ⅱ）解：∵四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又OA⊥OB，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），=（1，0，﹣），=（0，），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），=（﹣2，），=（﹣1，0，﹣），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（﹣3，﹣，），设平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=||=．平面PAB与平面PCD所成的角（锐角）的余弦值为．点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．20．（12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设抛物线的方程为x2=2py，由抛物线的定义和已知条件可得p的方程，解p 可得；（Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2），由切线和垂直关系以及韦达定理可得y1的方程，解y1进而可得x1，可得符合题意的点P．解答：解：（Ⅰ）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），设A（x A，y A），B（x B，y B），由抛物线定义可知y A+y B+p=8，又AB中点到x轴的距离为3，∴y A+y B=6，∴p=2，∴抛物线的标准方程是x2=4y；（Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2），则x2=4y在P处的切线方程是y=x﹣y1，直线PQ：y=﹣x+2+y1代入x2=4y得x2+x﹣4（2+y1）=0，由韦达定理可得x1+x2=，x1x2=﹣8﹣4y1，∴x2=﹣x1，y2=+y1+4，而=y12﹣2y1﹣﹣7=0，整理可得y13﹣2y12﹣7y1﹣4=0，（y1＞0），分解因式可得（y1+1）2（y1﹣4）=0，解得y1=4，故存在点P（±4，4）满足题意．点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，涉及抛物线的标准方程和韦达定理的应用，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1=2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求导f′（x）=（x＞0），从而判断函数的单调性；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，从而求导F′（x）=，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可；（Ⅲ）令a=﹣1，此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，从而可得f（1）=﹣2，且f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，从而可得﹣lnx+x﹣1＞0，即lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，从而可得若n≥2，n∈N*，则有ln（+1）＜＜=﹣，从而化ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）为ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；从而证明．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=（x＞0），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，则F′（x）=，若﹣a≤e，即a≥﹣e，F（x）在[e，e2]上是增函数，F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，a≤，无解．若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，F（x）在[e，﹣a]上是减函数；在[﹣a，e2]上是增函数，F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤，∴﹣e2≤a≤．若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，F（x）在[e，e2]上是减函数，F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，∴a＜﹣e2，综上所述，a≤．（Ⅲ）证明：令a=﹣1，此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，则有ln（+1）＜＜=﹣，要证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*），只需证ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1；所以原不等式成立．点评：本题考查了导数的综合应用，放缩法证明不等式，裂项求和法等的应用，同时考查了恒成立问题及分类讨论的数学思想应用，属于难题．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（一）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．考点：相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．解答：解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…（2分）又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…（4分）所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（5分）（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…（7分）又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…（8分）所以，…（9分）所以AE•DC=AB•BE…（10分）点评：本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，注意圆的切线的性质的灵活运用，属于中档题．（二）选修4-4：坐标系与参数方程23．设函数f（x）=|x+2|+|2x﹣4|，g（x）=a+x．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）画出函数y=f（x）的图象，根据图象求使f（x）≥g（x）恒成立的实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；指数函数的图像变换．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，化简函数f（x）的解析式，分类讨论求得不等式f（x）≥g（x）的解集．（2）画出函数f（x）的图象，数形结合求得f（x）的最小值为f（2）=4，由题意可得f（2）≥g（2），由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=3时，函数f（x）=|x+2|+|2x﹣4|=，不等式即f（x）≥x+3．∴①或②或③．解①求得x＜﹣2，解②求得﹣2≤x≤，解③求得x≥，综上可得，不等式的解集为（﹣∞，]∪[，+∞）．（2）根据f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，如图所示：数形结合求得f（x）的最小值为f（2）=4，由于g（x）=a+x结合由题意可得f（2）≥g（2），即4≥a+2，求得a≤2．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．三、选修4-5：不等式选讲24．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点A（0，﹣），F1、F2是圆锥曲线C的左、右焦点．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的普通方程，即可得出焦点坐标，得到直线l 的点斜式方程，化为极坐标方程即可；（2）直线的参数方程是（为参数），代入椭圆方程得5t2﹣4t﹣12=0，利用参数的意义即可得出．解答：解：（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），∴普通方程为C：=1，A（0，﹣），F1（﹣1，0），F2（1，0），=，直线l的方程为y=（x+1），∴直线l极坐标方程为：，化为=．（2）直线的参数方程是（为参数），代入椭圆方程得5t2﹣4t﹣12=0，∴．∴|F1M|•|F1N|=．点评：本题考查了直线的直角坐标方程化为极坐标、椭圆的参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2015年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试理科数学参考答案二、填空题：13．1022 14．8(2π++15．4 16．3(3,]4--三、解答题： 17．解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， 23sin =∴A ，3π=∴A ． ………………………… 6分(Ⅱ) 12cos ==⋅A b AC AB ，24=∴bc ，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，10=+∴c b ，c b < ，4=∴b ，6=c ．………………………… 12分18.解：(Ⅰ)[])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ，3111111=---∴+n n a a ，即311=-+n n b b ，{}n b ∴是等差数列．………6分(Ⅱ)11=b ，3231+=∴n b n ，………………………… 10分231+=-n an ，25++=∴n n a n ．………………………… 12分19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点， 所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ， 所以//ED 平面BCH因为⊄ED 平面B C H ，⊂ED 平面AED ，平面BCH ⋂平面HI AED = 所以HI ED //又因为BC ED //，所以IH //BC . …………………………………… 4分AB(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)2,0,0(A ， )0,1,3(F ，)0,2,0(E ，)1,0,0(H ，)2,0,2(-=，)0,1,1(=， )1,2,0(-=CH ，)0,0,1(21==， 设平面AGI 的一个法向量为),,(1111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n EA ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-01111y x z x ，令11=z ，解得11=x ，11-=y ，则)1,1,1(1-=n 设平面CHI 的一个法向量为),,(2222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n CH ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-02221x z y ，令22-=z ，解得11-=y ，则)2,1,0(2--=n 15155321,cos 21=⋅->=<n n ， 所以二面角C GI A --的余弦值为1515…………………………… 8分 （Ⅲ）法（一）)2,1,3(-=，设)2,,3(λλλλ-==)12,,3()2,,3()1,0,0(---=---=-=λλλλλλAG AH GH则02=⋅n ，解得32=λ， 3142)2(13323222=-++==AF AG ………………… 12分 法（二）取CD 中点J ，连接AJ 交CH 于点K ，连接HJ ，HKJ ∆与CKA ∆相似， 得2=KJ AK ，易证GK HI //，所以314232==AF AG …………… 12分 20. 解: (Ⅰ)因为OAB ∆的面积为368,所以364=B y ，……………2分 代入椭圆方程得)364,34(B ，抛物线的方程是：x y 82= ……………4分(Ⅱ) 存在直线l : 0411=-±y x 符合条件解：显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为4x my =+， 与x y 82=联立得03282=--my y .设),(),,(2211y x D y x C ,则32,82121-=⋅=+y y m y y12211sin 21sin 2E F OC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠F E y y 32=.……………6分 由直线OC 的斜率为1118y x y =,故直线OC 的方程为x y y 18=，与1121622=+y x 联立得 1)1211664(212=+⋅y y E ，同理1)1211664(222=+⋅y y F ， 所以2E y ⋅1)1211664)(1211664(22212=+⋅+⋅y y y F ………8分 可得2E y ⋅223625612148F y m⨯=+ 要使37712=S S ，只需22232(12148)77362563m +⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭………10分 即21214849121m +=⨯解得11±=m ，所以存在直线l : 0411=-±y x 符合条件………………………… 12分21.解：(Ⅰ)b x a x x a x f +++++=')1()1ln()1(2)(， 0)0(=+='b a f ，22(1)(1)(1)f e ae b e a e e -=+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ． ………………………………4分(Ⅱ)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设22)1ln()1()(x x x x x g --++=，)0(≥x ，x x x x g -++=')1ln()1(2)( (())2ln(1)10g x x ''=++>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(='≥'g x g ，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ．∴2)(x x f ≥．………………………………8分（Ⅲ）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=，mx x x x x h 2)1ln()1(2)(-+++='，(Ⅱ) 中知)1()1ln()1(22+=+≥++x x x x x x ，∴x x x ≥++)1ln()1(， ∴mx x x h 23)(-≥'，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[)+∞,0单调递增，0)0()(=≥∴h x h ，成立． ②当03<-m 即23>m 时，x m x x x h )21()1ln()1(2)(--++='， m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令0)(=''x h ，得012320>-=-m e x ，当[)0,0x x ∈时，0)0()(='<'h x h ，)(x h ∴在[)0,0x 上单调递减0)0()(=<∴h x h ，不成立． 综上，23≤m ．………………………………12分22. (Ⅰ)由PAD ∠=PCB ∠，A A ∠=∠，得PAD ∆与PCB ∆相似， 设,PA x PD y ==则有24x y y y x=⇒=，所以24AD x BC y ==………………………………5分 (Ⅱ)90C ∠=，4,PA PC ===分23.解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为0x y -+=曲线C 的直角坐标系下的方程为22((1x y +=圆心(22-到直线0x y -+=的距离为51d ==> 所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离. ……………5分(Ⅱ)设(cos ,sin )22M θθ+-+，则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣.……………10分 24. (Ⅰ)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥ 综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞……………5分 (Ⅱ)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322a a -≤+⇒≥-…………………10分。