2018年东北三省三校一模考试(数学理科)

哈尔滨师大附中东北师大附中 2018年高三第一次联合模拟考试 辽宁省实验中学数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效题4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.复数ii +12的模为（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）2（D ）22.已知集合⎩⎨⎧-==29x y x A ，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a 的取值范围是( )（A ）(]3,--∞ （B ）（-∞，-3） (C)(]0,∞- （D ）[)+∞,33.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) （A ）41 （B ）21 （C)31 （D ）32 4.已知sin 313=⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ65cos （ ） （A ）31 （B ）31- （C)322 （D ）32-5.中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（-2，4），则它的离心率为（ ）（A ）25（B ）2 （C)3 （D ）5 6.()52112⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 展开式中的常数项是（ ）（A ）12 （B ）-12 （C ）8 （D ）-87.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的 值是 （A ）23 （B ）29（C)1 （D ）38.已知函数()()0cos sin 3>+=ωωωx x x f 图象的相邻两条对称轴之间的距离是2π，则该函数的一个单调增区间为（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,125ππ （C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππ9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m 的值为（ ）（A ）148 （B ）37 （C)333 （D ）010.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥， 如图，半球内有一接正四棱锥S-ABCD ，该四棱锥的侧面积为34，则该 半球的体积为（ ） （A ）34π （B ）32π（C)328π （D ）324π11.已知抛物线C:y 2=2x ，直线L:y=21-x+b 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相切，则b 的值是（ ）（A ）51- （B ）32- （C)54- （D ）58-12.在△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC=4，M ，N 是边AB 上的两个动点，且|MN|=1，则CN CM ·的取值范围为( ) （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡9411， （B ）[]94，（C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡9415， （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡9411，第Ⅱ卷(非选择题共 90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）复数的模为（）A．B．C．D．22．（5分）已知集合，B={x|x≥a}，假设A∩B=A，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）3．（5分）从标有一、二、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，那么在第一次抽到奇数的情形下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知s，那么=（）A．B．C．D．5．（5分）中心在原点，核心在y轴上的双曲线的一条渐近线通过点（﹣2，4），那么它的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）展开式中的常数项是（）A．12B．﹣12C．8D．﹣87．（5分）某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x的值（）A．2B．3C．D．8．（5分）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，那么该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．9．（5分）辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如下图的程序框图所描述的算法确实是辗转相除法，假设输入m=8251，n=6105，那么输出m的值为（）A．148B．37C．333D．010．（5分）底面是正多边形，极点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，那么该半球的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，假设以AB为直径的圆与x轴相切，那么b的值是（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，那么的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，AB=2，，，那么BC=．14．（5分）假设x，y知足约束条件，那么的最大值为．15．（5分）甲、乙、丙三位教师别离在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．能够判定乙教的学科是．16．（5分）已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知正项数列{a n}知足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，依照往年的体会，天天的需求量与当天的最低气温有关，若是最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确信11月份的订购打算，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，取得下面的频数散布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的散布列；（2）假设公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，打算11月份每日订购200台或250台，二者当当选其一，应选哪个？19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N别离为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD 所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．20．（12分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的核心F，F1，F2别离是椭圆C 的左、右核心，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）假设直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，假设对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点别离为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴成立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）假设不等式的解集为R，求a的范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）复数的模为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵=，∴||=|1+i|=．应选：C．2．（5分）已知集合，B={x|x≥a}，假设A∩B=A，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）【解答】解：集合={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}，B={x|x≥a}，假设A∩B=A，那么A⊆B；∴实数a的取值范围是a≤﹣3．应选：A．3．（5分）从标有一、二、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，那么在第一次抽到奇数的情形下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从标有一、二、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，那么P（A）=，P（AB）==，那么在第一次抽到奇数的情形下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）===．应选：B．4．（5分）已知s，那么=（）A．B．C．D．【解答】解：∵s，∴=cos[+（）]=﹣sin（）=﹣．应选：B．5．（5分）中心在原点，核心在y轴上的双曲线的一条渐近线通过点（﹣2，4），那么它的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：∵核心在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±x，∴4=﹣•（﹣2），∴=2，a=2b，a2=4b2=4c2﹣4a2，e=．应选：A．6．（5分）展开式中的常数项是（）A．12B．﹣12C．8D．﹣8【解答】解：的展开式的通项为=．取r﹣5=﹣2，得r=3，取r﹣5=0，得r=5．∴展开式中的常数项是﹣﹣2=﹣12．应选：B．7．（5分）某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x的值（）A．2B．3C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD=1，BC=2，SB=x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=×（1+2）×2=3．该几何体为x，几何体的体积V==1，可得x=3．应选：B．8．（5分）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，那么该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：函数=2sin（ωx+）；由f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，∴T=2×=π，∴ω==2；∴f（x）=2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴函数f（x）的一个单调增区间为[﹣，]．应选：A．9．（5分）辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如下图的程序框图所描述的算法确实是辗转相除法，假设输入m=8251，n=6105，那么输出m的值为（）A．148B．37C．333D．0【解答】解：由程序框图知：程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，∵8251=6105+2146；6105=2×2146+1813；2146=1813+333；1813=5×333+148；333=2×148+37，148=4×37+0∴现在m=37．∴输出m的值是37，应选：B．10．（5分）底面是正多边形，极点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，那么该半球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．那么AB=r，四棱锥的侧面积为：4×=，解得r=，四棱锥的外接半球的体积为：V==，应选：D．11．（5分）已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，假设以AB为直径的圆与x轴相切，那么b的值是（）A．B．C．D．【解答】解：联立得：y2+4y﹣4b=0．依题意应有△=16+16b＞0，解得b＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4b，∴x1+x2=﹣2（y1+y2）+4b=8+4b设圆心Q（x0，y0），那么应有x0=（x1+x2）=4+2b，y0=（y1+y2）=﹣2．∵以AB为直径的圆与x轴相切，取得圆半径为r=|y0|=2，又|AB|=•=•=4•，∴|AB|=2r，即4•=4，解得b=﹣．应选：C．12．（5分）在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，那么的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．【解答】解：以CA，CB为坐标轴成立坐标系如下图：∵AB=2BC=4，∴∠BAC=30°，AC=2设AN=a，那么N（2﹣，），M（2﹣，），∴=（2﹣）（2﹣）+=a2﹣5a+9．∵M，N在AB上，∴0≤a≤3．∴当a=0时，取得最大值9，当a=时，取得最小值．应选：A．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，AB=2，，，那么BC=1．【解答】解：依照题意，设BC=t，△ABC中，AB=2，，，那么有cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得：t=﹣3或t=1，又由t＞0，那么t=1，即BC=1；故答案为：114．（5分）假设x，y知足约束条件，那么的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率可得，的最大值为．故答案为：．15．（5分）甲、乙、丙三位教师别离在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．能够判定乙教的学科是C．【解答】解：由①得甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；由②得在哈尔滨工作的教师不教C学科，甲不教C；由③得在长春工作的教师教A学科；由④得乙不教B学科和A学科．综上，乙教C学科．故答案为：C．16．（5分）已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是①③．（填出所有正确命题的序号）【解答】解：∵函数f（x）=xlnx+x2，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1+x，易患f′（x）=lnx+1+x在（0，+∞）递增，∴f′（）=＞0，∵x→0，f′（x）→﹣∞，∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；∵lnx0+1+x0=0∴f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x02＜0，即③正确，④不正确．故答案为：①③．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知正项数列{a n}知足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（此题总分值12分）解：（1）令n=1，得，且a n＞0，解得a1=3．当n≥2时，，即，整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，因此数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，故a n=3+（n﹣1）×2=2n+1．（2）由（1）知：，∴T n=b1+b2+…+b n =．18．（12分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，依照往年的体会，天天的需求量与当天的最低气温有关，若是最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确信11月份的订购打算，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，取得下面的频数散布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的散布列；（2）假设公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，打算11月份每日订购200台或250台，二者当当选其一，应选哪个？【解答】（此题总分值12分）解：（1）由已知X的可能取值为100，200，300，P（X=100）==0.2，P（X=200）==0.4，P（X=300）==0.4，∴X的散布列为：X100200300P0.20.40.4（2）由已知：①当订购200台时，E（Y）=[200×100﹣50×（200﹣100）]×0.2+200×200×0.8=35000（元）②当订购250台时，E（Y）=[200×100﹣50×（250﹣100）]×0.2+[200×200﹣50×（250﹣200）]×0.4+[200×250]×0.4=37500（元）综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N别离为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD 所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．【解答】证明：（1）方式一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，那么OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，因此OP⊥平面ABCD，∠PEO=，OP=OE．因为MN∥BC，OE∥AB，因此MN⊥OE，因此MN⊥PE．又EF=PE=OE，EQ=OE，因此，因此△EFQ∽△EOP，因此，因此PE=FQ．且MN∩FQ=Q，因此PE⊥平面MNF．方式二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，那么OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，因此OP⊥平面AC，，OP=OE．又因为MN∥BC，OE∥AB，因此MN⊥OE，因此MN⊥PE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，成立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=m，AD=n，那么P（0，0，m），E（0，m，0），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（﹣）．因此=0，因此PE⊥MF，且MN∩MF=M，因此PE⊥平面MNF解：（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，那么OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面AC，因此OP⊥平面AC，，OP=OE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，成立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=AD=m，那么P（0，0，m），E（0，m，0），B（），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（0，﹣，0），=（﹣）．设平面BMF的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，0，2）．而平面NMF的一个法向量为==（0，m，﹣m）．因此cos＜＞===﹣．由图形得二面角B﹣MF﹣N的平面角是钝角，故二面角B﹣MF﹣N的余弦值为﹣．20．（12分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的核心F，F1，F2别离是椭圆C 的左、右核心，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）假设直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．【解答】（此题总分值12分）解：（1）∵F（0，1），∴b=1，又，∴．又a2﹣b2=c2，∴a=2，∴椭圆C的标准方程为．（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），那么，即，联立直线与椭圆，消去y，整理得．由，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），那么：．则原点O到直线l的距离．故△OAB面积=，当且仅当，即取等号，故△OAB面积的最大值为1．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，假设对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点别离为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当b=0时：h（x）=kx，由f（x）≥h（x）≥g（x）知：e x≥kx≥lnx，依题意：对x∈（0，+∞）恒成立，设，当x∈（0，1）时m′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时m′（x）＞0，∴[m（x）]min=m（1）=e，设，当x∈（0，e）时n′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时n′（x）＜0，∴，故：实数k的取值范围是（2）由已知：f′（x）=e x，①：由得：由得：故∵x1＜0，∴，∴lnx2＞1，故：x2＞e；②由①知：，且x2＞e＞1由a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0得：a（x1﹣1）≥x﹣xlnx，（x≥x2）设G（x）=x﹣xlnx（x≥x2）G′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，∴G（x）在[x2，+∞）为减函数，∴[G（x）]max=G（x2）=x2﹣x2lnx2由a（x1﹣1）≥x2﹣x2lnx2，得：a（x1﹣1）≥x2（1﹣lnx2），∴a（x1﹣1）≥（x1﹣1）又x1＜0，∴a≤1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴成立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．由，消去参数t，可得．∴曲线C2：；（2）将代入x2+y2=4x，得t2﹣t﹣3=0，∵△=1+4×3=13＞0，∴方程有两个不等实根t1，t2别离对应点P，Q，∴|AP|•|AQ|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=|﹣3|=3，即|AP|•|AQ|=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）假设不等式的解集为R，求a的范围．【解答】（本小题总分值10分）解：（1）当a=1时：不等式为：|2x﹣5|+|2x+1|＞x﹣1，等价于：解得：，因此不等式的解集为：（﹣∞，+∞）；（2）设函数f（x）=|2x﹣5|+|2x+1|=，设函数g（x）=ax﹣1过定点A（0，﹣1），画出f（x），g（x）的图象，不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．不等式的解集为R，k AB==，由数形结合得a的范围是．。

设“选出的 12 人中恰含有甲、乙两班的所有 140 分以上的同学”为事件 A
…….9 分
876
1110 9 8
P A

C22 C83 C150

C33 C141 C174

3 21 1098 7 6

14
43 21 13 12 1110
9
数学三模答案（理科）
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 D
B
D
A
B
A
B
A
B
B
C
A
二、填空题
13. 12 ; 14. -2
;
15. n2n ; 16. 0,2 .
三、解答题
17.解：（1） f x a b sin 2x
3
cos
2 x

2
sin

2
b 4
…………….……….12 分
2 18.解（1）甲班数学分数的中位数： 122 114 118
2 乙班数学分数的中位数： 128 128 128
2
…………….……….1 分 …………….……….2 分
频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005
SD 面 ABCD AD,CD 面 ABCD
SD AD, SD CD
又 AD DC DA, DC, DS 两两互相垂直
如图所示,分别以 DA, DC, DS 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz
……………….……….6 分

D C
1 M , F 分别是 PC , PB 中点, MF // CB, MF CB , 2 E 为 DA 中点， ABCD 为矩形， 1 DE // CB, DE CB , MF // DE, MF DE , 2 四边形 DEFM 为平行四边形, EF / / DM . ------------------------------3′
7 2
三、解答题 17. (本小题满分 12 分)
解： （Ⅰ）
Sn n 2 n 1 ，
------------2 分
令 n 1 ， a1 1 , an Sn Sn1 2 n 1 ， n 2 .
1 n 1 经检验： a1 1 不能与 an n 2 时合并， an . ------------3 分 2 n 1 n 2
设从 12 人中随机抽取 3 人，第 1 组抽到 1 人为事件 A ，第 3 组抽到 2 人为事件 B ，
1 2 C2 C7 P AB C3 21 1 2 12 2 1 . 则 P B / A C2C10 C2 C10 50 P( A) 3 C12
------------7 分
1 1 22 2 23 2Tn
n 1 2n
------------8 分 ------------9 分
n 1 2n , n 2 2n n 1 2n1 ,
1 2 1 23 2 24
（Ⅲ）从所有参与调查的人中任意选出 1 人，关注“生态文明”的概率为 P
4 , 5
X 的可能取值为 0,1,2,3，
------------8 分

东北三省三校2018届高三第一次联合模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x ≤< C ．{|11}x x -<≤ D ．{|21}x x -<≤ 【答案】B 【解析】试题分析：∵集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤{|02}x x =≤≤，∴{|01}A B x x =≤<I ， 故选：B ．考点：交集及其运算．2.=（）A ．iB ．i -C ．)i +D ．1i +【答案】A 【解析】i ==，故选：A ．考点：复数代数形式的乘除运算．3.点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．14 B ．112- C ．14或112- D ．14-或112 【答案】C 【解析】试题分析：抛物线2y ax =化为：21x y a =，它的准线方程为：14y a=-，点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，可得1|1|24a +=，解得11412a =-或．故选：C ．考点：抛物线的简单性质．4.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A ． 6 B ． 7 C ． 10 D ． 9 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴782()0a a +=，∴780a a +=， 又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B. 考点：等差数列的前n 项和．5.执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ． 2012B ． 2016C ． 2014D ． 2015 【答案】A 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求2sinsinsin 333t S πππ=+++L 的值，因为sin 3t π的取值以6为周期，且(1)(6)sinsin sin 0333k k k πππ+++++=L ， 由201233562=⨯+，所以输入的t 值是2012时，2sin sin3133S ππ=+=>， 201433564=⨯+，所以输入的t 值是2014时，2343sinsinsin sin 13333S ππππ=+++=<，201533565=⨯+，所以输入的t 值是2015时，2345sin sinsin sin sin 0133333S πππππ=++++=<， 201633566=⨯+，所以输入的t 值是2016时，2345sinsinsin sin sin sin 20133333S ππππππ=+++++=<， 故选：A ． 考点：程序框图．6.下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:P x R ∃∈，使得210x x +-<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x +->； ②p 是q 的必要不充分条件，则P ⌝是q ⌝的充分不必要条件； ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④“1m =-”是“直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的充要条件． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【答案】B 【解析】试题分析：①对于命题:P x R ∃∈，使得210x x +-<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x +-≥，因此不正确； ②p 是q 的必要不充分条件，则P ⌝是q ⌝的充分不必要条件，正确；③由于命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；④当0m =时，直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直；0m ≠时，若两条直线垂直，则3()121m m m-⨯-=--，解得1m =-，可知：“1m =-”是“直线1:(21)10l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的充分不必要条件，因此不正确．综上可得：正确命题的个数为：2． 故选：B ．考点：命题的真假判断与应用．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ． 6B ． 8C ． 10D ． 12 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB ⊥面ABC ，VE ⊥AB ，CD ⊥AB ，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积1111543103232V AB CD VE =⨯••=⨯⨯⨯⨯=，故选：C 考点：由三视图求面积、体积．8.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若||3FB d ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．(1,3]D ．[3,)+∞ 【答案】A考点：双曲线的简单性质． 9.不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为（ ） A ．932 B ．732C ．916D ．716【答案】A 【解析】试题分析：分别画出点集A ，B 如图，A 对应的区域面积为4×4=16，B 对应的区域面积如图阴影部分面积为2223211119(2)(2)232x x dx x x x --+-=+-=⎰， 由几何概型公式得，在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为9921632=；故选A ．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．10.设二项式1()2n x -（*n N ∈）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b +++=+++L L （ ） A ．123n -+ B ．12(21)n -+ C ．12n + D ． 1【答案】C 【解析】试题分析：由于二项式1()2n x -（*n N ∈）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则2nn a =，2nn b -=，所以1212n n a a a b b b +++=+++L L 12111212(12)2221222(12)22212n nn n n+-------+++-==-+++-L L ，故选：C ． 考点：二项式定理的应用；数列的求和．11.已知数列{a n }满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．14- D ．13-【答案】B 【解析】试题分析：数列3215334n a n n m =-++，令3215()334f x x x m =-++，（1x ≥）．'25()2f x x x =-， 由'()0f x >，解得52x >，此时函数()f x 单调递增；由'()0f x <，解得512x ≤<，此时函数()f x 单调递减．∴对于()f n 来说，最小值只能是(2)f 或(3)f 中的最小值．458(3)(2)9(5)043f f -=--->，∴(2)f 最小，∴185313m ⨯-++=，解得13m =．故选：B ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．12.已知函数0()ln(1),0x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，0x ≥，()f x =2241y x -=在第一象限的部分，渐近线方程为12y x =±；当1k =时，由ln(1)y x =--，可得'111y x==-，可得0x =，即ln(1)y x =--在0x =处的切线方程为y x =，此时函数()()F x f x kx =-有且只有1个零点，∴若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为1(,1)2，故选：C ． 考点：函数的零点与方程根的关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量,a b r r 满足||1a =r，||b =r ()(2)a b a b +⊥-r r u u r r，则向量a r 与b r 的夹角为 ．【答案】090 【解析】试题分析：因为||1a =r，||b =r ，()(2)a b a b +⊥-r r u u r r ，所以22()(2)20a b a b a a b b +•-=+•-=r r u u r r r r r r ，则220a b +•-=r r ，即0a b •=r r ，所以a b ⊥r r ，则向量a r 与b r的夹角为90°，故答案为：90°．考点：平面向量数量积的运算．14.三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，0120ACB ∠=，CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为 ．【答案】64π 【解析】试题分析：在ABC ∆中，0120ACB ∠=，CA CB ==6AB =，由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r =，设此圆圆心为O′，球心为O ，在'Rt OAO ∆中，得球半径4R ==，故此球的表面积为2464R ππ=．故答案为：64π． 考点：球的体积和表面积．15.某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）． 【答案】84 【解析】试题分析：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为246C =种，四个学生选这两种课共有4216=中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有241484C =种．故答案为：84．考点：排列、组合及简单计数问题．16.已知函数sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线x=1对称，则sin 2ϕ= ．【答案】45- 【解析】试题分析：sin()2cos()y x x πϕπϕ=+-+)x πϕα=+-，其中sinα=，cos α=． ∵函数的图象关于直线x=1对称，∴2k ππϕαπ+-=+，即2k πϕαπ=-+，则sin 2sin 2()sin(22)2k k πϕαπαππ=-+=-+sin(2)sin 22sin cos απααα=-=-=-425=-=-，故答案为：45-.考点：两角和与差的正弦函数．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）已知△ABC 的面积为2，且满足04AB AC <•≤u u u r u u u r ，设AB u u u r 和AC u u ur 的夹角为θ．（1）求θ的取值范围； （2）求函数2()2sin ()24f πθθθ=+的取值范围．【答案】（1）[,)42ππ；（2）1[,2]2. 【解析】试题分析：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域等基础知识，属中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由数量积和三角形的面积公式可得tan θ的范围，进而可得θ的取值范围；第二问，利用倍角公式和两角和与差的正弦余弦公式，化简可得()12sin(2)3f πθθ=+-，由θ的范围和三角函数公式，结合三角函数图象可得三角函数的值域．试题解析：（1）由题意可得cos AB AC cb θ•=u u u r u u u r，∵△ABC 的面积为2，∴1sin 22bc θ=， 变形可得4sin bc θ=， ∴4cos 4cos sin tan AB AC cb θθθθ•===u u u r u u u r ， 由04AB AC <•≤u u u r u u u r ，可得404tan θ<≤，解得tan 1θ≥，又∵0θπ<<， ∴向量夹角θ的范围为[,)42ππ； （2）化简可得2()2sin ()24f πθθθ=+1cos(2)2222πθθ-+=⨯1sin 22θθ=+12sin(2)3πθ=+-∵由（1）知[,)42ππθ∈，∴22[,)363πππθ-∈-，∴1sin(2)[,1]32πθ-∈-， ∴11sin(2)[,2]32πθ+-∈，∴()f θ的取值范围为：1[,2]2考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．18.（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表Ⅰ和频率分布直方图2， 频率分布表Ⅰ（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人．记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）33.5（岁）；（2）分布列详见解析；12EX =. 【解析】试题分析：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．第一问，利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的①②位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均年龄；第二问，由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．试题解析：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：300.30100=．补全频率分布直方图，如图所示．平均年龄估值为：12（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，21522021(0)38CP XC===，1151522015(1)38C CP XC===，252201(2)19CP XC===，∴X的分布列为：2115110123838192EX=⨯+⨯+⨯=．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．19.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为55？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明详见解析；（2）满足条件的Q存在，是EF中点.【解析】试题分析：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EF∥AM，利用线面平行的判定定理即得结论；第二问，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为55，计算即可．试题解析：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴1//2MF DC==，正方形ABCD中E为AB中点，∴1//2AE DC==，∴//AE MF==，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P （0，0，2），B （0，1，0），C （1，1，0），E （0，12，0），F （12，12，1）， 由题易知平面PAD 的法向量为n r=（0，1，0）， 假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=u u u r u u u r ，∵1(,0,1)2EF =u u u r ，∴1(,,)22Q λλ=，1(,,)22AQ λλ=u u u r ，λ∈，设平面PAQ 的法向量为(,,)x y z ∏=u u r，由10220x y z z λλ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，可得(1,,0)λ∏=-u u r ， ∴2cos ,||||1m n m n m n λ•<>==+u r ru r r u r r ，251λ=+12λ=，所以满足条件的Q 存在，是EF 中点．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．20.（12分）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，点A 2)在椭圆上，且2AF 与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求△AOB 面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）22. 试题解析：（1）有已知：2c =，22b a =22a =24b =， 故椭圆方程为22184x y +=； （2）当AB 斜率不存在时：1222222AOB S ∆=⨯= 当AB 斜率存在时：设其方程为：22(2)(2y k x k =-≠， 由22(22)28y kx k x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得222(21)22)22)80k x k kx k +++-=， 由已知：2222216(22)8(21)[(22)4]8(22)0k k k k k ∆=-+-=>，即：22k ≠-， 2222|22||121k AB k k -+=++，O 到直线AB 的距离：221d k =+，∴214||22|221AOB S AB d k ∆==-+， ∴221[1,2)(2,)k +∈+∞U ， ∴242[2,0)(0,2)21k -∈-+U ，∴此时(0,22]AOB S ∆∈，综上所求：当AB 斜率不存在或斜率存在时：△AOB 面积取最大值为． 考点：椭圆的简单性质．21.（12分）已知a 是实常数，函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点A （0，﹣2），求实数a 的值； （2）若()f x 有两个极值点12,x x （12x x <）， ①求证：102a -<<； ②求证：211()()2f x f x >>-． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．第一问，求出()f x 的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a ；第二问，①依题意：'()0f x = 有两个不等实根12,x x （12x x <），设()ln 21g x x ax =++，求出导数，讨论当a≥0时，当a ＜0时，求得函数g （x ）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：()f x ，'()f x 变化，求得()f x 的增区间，通过导数，判断1(0,1)x ∈，设1()(ln )2h x x x x =-（0＜x ＜1），求得h （x ）的单调性，即可得证． 试题解析：（1）由已知可得，'()ln 12f x x ax =++（x ＞0），切点(1,)P a ，()f x 在x=1处的切线斜率为12k a =+，切线方程：(21)(1)y a a x -=+-， 把(0,2)-代入得：a=1；（2）证明：①依题意：'()0f x = 有两个不等实根12,x x （12x x <）， 设()ln 21g x x ax =++ 则：'1()2g x a x=+（x ＞0） 当a≥0时，有'()0g x >，所以()g x 是增函数，不符合题意； 当a ＜0时：由'()0g x =得：102x a=->，列表如下：依题意：11()ln()022g a a -=->，解得：102a -<<， 综上可得，102a -<<得证；②由①知：()f x ，'()f x 变化如下：由表可知：()f x 在上为增函数，所以：21()()f x f x > 又'(1)(1)120f g a ==+>，故1(0,1)x ∈，由（1）知：111ln 2x ax --=，211111111()ln (ln )2f x x x ax x x x =+=-（101x <<） 设1()(ln )2h x x x x =-（01x <<），则'1()ln 02h x x =<成立，所以()h x 单调递减，故：1()(1)2h x h >=-，也就是11()2f x >-,综上所证：211()()2f x f x >>-成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-1：几何证明选讲】（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边上的中点，连接OD 交圆O 与点M ．（1）求证：DE 是圆O 的切线； （2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．第一问，连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线；第二问，1()2DM OD OM AC AB=-=-，从而DM•AC+DM•AB=1()()2AC AB AC AB-•+212BC=，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．试题解析：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴1()2DM OD OM AC AB =-=-，∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）1()()2AC AB AC AB-•+221()2AC AB=-212BC=DE BC=•．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明． 23.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是312x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值． 【答案】（1）222x y x +=，3x π=+；（2）12m =±【解析】试题分析：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第一问，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程．直线L 的参数方程是3212x t m y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），把2t y =代入3x m =+消去参数t 即可得出；第二问，把3212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程：222x y x +=化为：22(33)20t m t m m ++-=，由△＞0，得13m -<<．利用12||||PA PB t t •=，即可得出．试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线L 的参数方程是312x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得3x y π=+． （2）把312x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程：222x y x +=化为：22(33)20t m t m m +-+-=， 由△＞0，解得13m -<<．∴2122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t •==， ∴221m m -=，解得12m =±．又满足△＞0． ∴实数12m =±．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 24.【选修4-5：不等式选讲】 设函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＞0；（Ⅱ）若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+2m 2＜4m ，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1{|3}3x x x <->或；（2）1522m -<<. 试题解析：（Ⅰ）不等式()0f x >，即|21||2|x x ->+，即2244144x x x x -+>++， 即23830x x -+>，求得它的解集为1{|3}3x x x <->或．（Ⅱ）3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=---≤<⎨⎪⎪->⎪⎩，故()f x 的最小值为15()22f =-，根据0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，可得25422m m ->-，即24850m m --<，求得1522m -<<． 考点：绝对值不等式的解法．。

2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =U （ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．12-D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（ ）4.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ，那么在X空白框中填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6C ．1n n =+和8D ．2n n =+和85.函数2tan ()1xf x x x=++的部分图象大致为（ ）6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．3D 8337.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．608.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（ ） A ．1B 3C ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B ADC --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a的值可以为（ ） A ．512π B ．712πC ．924π1 D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．7 C ．2 D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x x x <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E 的（ ）条切线 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为 ．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为$ 2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为 ．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =u u u r，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22b a =，45b a =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 中，11c a =，且1n n n c c T +=-，求{}n c 的通项n c ．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．（1）证明：//EF 平面DCP ；（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值． 21.已知函数2()45xaf x x x e =-+-（a R ∈）． （1）若()f x 为在R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）设()()xg x e f x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m >），求证：122x x m +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设点Q 在2C 上，23OQ QP =u u u r u u u r，求动点P 的极坐标方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC二、填空题13.14 14.38 15.72-16.32-三、解答题17.解：（1）∵21n S n n =-+，∴令1n =，11a =，12(1)n n n a S S n -=-=-，(2)n ≥，经检验11a =不能与n a （2n ≥）时合并， ∴1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩又∵数列{}n b 为等比数列，222b a ==，458b a ==， ∴2424b q b ==，∴2q =， ∴11b =，∴12n n b -=．（2）122112nn n T -==--，∵12121c c -=-，23221c c -=-，…，1121n n n c c ---=-，以上各式相加得112(12)(1)12n n c c n ---=---， 111c a ==，∴121nn c n -=--， ∴21nn c =-．18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁． （2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人． 设第2组中恰好抽取2人的事件为A ，则1223353()5C C P A C ==． （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P =， X 的所有可能取值为0，1,2,3，∴03341(0)(1)5125P X C ==-=，11234412(1)()(1)55125P X C ==-=，2234448(2)()(1)55125P X C ==-=， 333464(3)()5125P X C ===， 所以X 的分布列为：∵4~(3,)5X B ， ∴412()355E X =⨯=．19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =， ∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =，∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP 两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(1,0,0)P ，(0,0,1)D ，(0,1,1)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，设平面EFC 法向量1(,,)n x y z =u r ，111(,,)222EF =-u u u r ，11(,,1)22FC =-u u u r ，则110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r 即0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1(3,1,2)n =-u r ， 设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =u u r ，(1,0,1)PD =-u u u r ，(1,1,1)PC =-u u u r，则220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ru u u r u u r 即0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩取2(1,0,1)n =u u r ，121212cos ,14||||n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r所以平面EFC 与平面PDC所成锐二面角的余弦值为14． 20.解：（1）∵12c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412c c+=，∴21c =， ∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，有2212(1)||34m AB m +==+， 点P (2,0)-到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令t 1t ≥，有22431t S t =+2413t t=+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）∵()f x 的定义域为x R ∈且单调递增， ∴在x R ∈上，'()240x af x x e=-+≥恒成立， 即：(42)xa x e ≥-，所以设()(42)xh x x e =-，x R ∈， ∴'()(22)xh x x e =-，∴当(,1)x ∈-∞时，'()0h x >，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数，∴当[1,)x ∈+∞时，'()0h x ≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e ==，∵max (42)x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞．（2）∵2()()(45)x x g x e f x x x e a ==-+-，∵12()()2()g x g x g m +=，[1,)m ∈+∞，∴122221122(45)(45)2(45)2x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-， ∴122221122(45)(45)2(45)x x m x x e x x e m m e -++-+=-+，∴设2()(45)x x x x e ϕ=-+，x R ∈，则12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴2'()(1)0x x x e ϕ=-≥，∴()x ϕ在x R ∈上递增，∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，(0,)x ∈+∞，∴22'()(1)(1)m x m x F x m x em x e +-=+----，∵0x >，∴0m x m x e e +->>，22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥，∴'()0F x ≥，()F x 在(0,)x ∈+∞上递增，∴()(0)2()F x F m ϕ>=，∴()()2()m x m x m ϕϕϕ++->，(0,)x ∈+∞，令1x m x =-，∴11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>， 又∵12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即12(2)()m x x ϕϕ->，∵()x ϕ在x R ∈上递增，∴122m x x ->，即122x x m +<得证．22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos 2θ=±， ∵02πθ≤<，6πθ=，ρ=∴所求交点的极坐标)6π．（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,)2πθ∈， 由已知23OQ QP =u u u r u u u r ，得002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈． 23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩ 当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立； 当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-， 此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当0x ≤<时，'()0g x ≥，所以()g x 在[0)上单调递增，当32x -≤≤时，'()0g x ≤，所以()g x 在3[,2-上单调递减，所以min ()(g x g =30m =+≥，所以3m ≥-， 当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减， 所以min 335()()026g x g m =-=+≥， 所以356m ≥-，综上，3m ≥-．。

2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2018年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的模为( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知，则 ( ) A. B. C. D. 5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( ) A. B.2 C. D. 6. 展开式中的常数项是( ) A. B. C.8 D. 7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( ) A. B. C.1 D.3 8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为( ) A.B. C. D. 9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出的值为( ) A.148 B.37 C.333 D.0 10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( ) A. B. C. D. 11.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( ) A. B. C. D. 12.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在中，，，，则 ______________.14.若满足约束条件，则的最大值为______________. 15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科. 可以判断乙教的学科是______________. 16.已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.(1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台。

2018年高三第一次联合考试数学（理科）试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．已知i z i 32)33(-=⋅+，那么复数z 对应的点位于复平面内的 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数)1)(1ln(<-=x x y 的反函数为（ ）A ．)(1R x e y x∈-=- B ．)(1R x e y x∈-=C ．)(1R x ey x∈-=-D ．)(1R x e y x∈-= 3．=-→)cos(2sin lim2x xx ππ（ ）A ．－2B ．2C ．－1D ．14．过点（2，3）的直线l 与圆C ：03422=+++x y x 交于A 、B 两点，当弦|AB|的取最大值时，直线l 的方程为（ ）A ．3x －4y+6=0B ．3x －4y －6=0C ．4x －3y+8=0D ．4x +3y －8=05．在等差数列}{n a 中，)(3)(2119741a a a a a ++++=24，则此数列的前13项之和等于（ ）A ．13B ．26C ．52D ．156哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．将函数x x f y sin )(=的图象按向量)2,4(π-=平移后，得到函数x y 2sin 23-=的图象，则)(x f 是（ ）A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x8．已知集合}2|12||{},21|{<-=>-=x x N x xx M ，则M ∩N= （ ） A ．}223|{<<x x B ．}2321|{<<-x xC ．}231|{<<x xD ．}121|{<<-x x9．设函数0)(),4)(3)(2)(1()(='----=x f x x x x x f 则有（ ）A ．分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内三个根B ．四个实根)4,3,,2,1(,==i i x iC ．分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内四个根D ．分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3）内三个根10．抛物线y=x 2上点A 处的切线与直线013=+-y x 的夹角为45°，则点A 的坐标是（ ） A ．（－1，1） B ．)161,41(C ．（1，1）D ．（－1，1）或)161,41( 11．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A ，B 都是U 的子集，若A ∩B={1，3，5}，则称A ，B 为“理想配集”，记作（A ，B ），这样的“理想配集”（A ，B ）共有 （ ）A ．7对B ．8对C ．27对D ．28对12．正实数21,x x 及函数)(x f 满足)(,1)()(,)(1)(142121x x f x f x f x f x f x+=+-+=则且的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．54 D ．41第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分. 13．在83)12(xx -的展开式中常数项是 . 14．设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=-),1(log )1,(2)(81x xx x f x ，则满足x x f 的41)(=值是 .15．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F 点，则离心率为 .16．已知m ，l 是异面直线，那么：①必存在平面α过m 且与l 平行；②必存在平面β过m且与l 垂直；③必存在平面γ与m ，l 都垂直；④必存在平面δ与m ，l 距离都相等，其中正确的命题的序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知向量x x x x b a b x x a tan 1)tan 1(2sin ,24,58),2,2(),sin ,(cos -+<<=⋅==求且若ππ的值.18．（本题满分12分）甲、乙、丙三人分别独立解一道数学题，已知甲做对这道题的概率是43，甲、丙两人都做错的概率是121，乙、丙两都对的概率是.41（Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率； （Ⅱ）求做对该题的人数随机变量ξ的分布列和E ξ.19．（本题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中, PD ⊥底面ABCD, AB//CD ，PD=CD=AD=21AB ，∠ADC=120°. （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若AB 的中点为E ，求二面角D —PC —E 的大小.20．（本题满分14分）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数*).(N n a n ∈（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列}{n a 的前n 项和为S n ，且123-⋅=n nn S T .若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤，求实数m 的取值范围.21．（本题满分12分）已知F 1、F 2为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 在左、右两个焦点，直线52:+=x y l 与椭圆C 交于两点P 1、P 2，已知椭圆中心O 点关于l 的对称点恰好落在C 的左准线l '上.（Ⅰ）求左准线l '的方程； （Ⅱ）已知,,95,2222211OF P F a OF P F ⋅-⋅成等差数列，求椭圆C 的方程.22．（本题满分14分）已知函数),()1(2131)(23为常数c b cx x b x x f +-+=. （Ⅰ）若31)(==x x x f 和在处取得极值，试求b 、c 的值；（Ⅱ）若),(),,()(21+∞-∞x x x f 在上单调递增且在),(21x x 上单调递减，又满足,112>-x x 求证：);2(22c b b +>（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若121,x c bt t x t 与试比较++<的大小，并加以证明.高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：CBAAB CBCAD CC 二、填空题：13．7 14．3 15．2 16．①④ 三、解答题： 17．解：54)4cos(,58sin 2cos 2,58=-=+∴=⋅πx x x 即 …………4分 ∵43)4tan(,53)4sin(,440,24=-=-<-<∴<<ππππππx x x x ……6分 34)4cot()4tan(-=--=+ππx x2571)4(cos 2)22cos(2sin 2=--=-=ππx x x …………8分∴.7528)34(257)4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin -=-⨯=+⋅=-+πx x x x x …………12分 18．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A ，B ，C.依题设条件得：,32)(,83)(,41)()()(121)](1)][(1[)(43)(==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅=--=⋅=C P B P C P B P C B P C P A P C A P A P 解得所以，乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为.32,83 …………6分 （Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3.则：,965)321)(831)(431()()()(0)(=---===C P B P A P P ξ,247)()()()()()()()()()1(=++==C P B P A P C P B P A P C P B P A P P ξ,9645)()()()()()()()()()2(=++==B P C P A P C P B P A P C P B P A P P ξ 163)()()()3(===C P B P A P P ξ …………10分 所以ξ的分布列为：E ξ=244316339645224719650=⨯+⨯+⨯+⨯…………12分 19．解：（Ⅰ）连结BD ，∵∠ADC=120°，AB//CD∴∠DAB=60°，又,23,21AB BD AB AD =∴=∴AD ⊥BD ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD 而PD ∩BD=D ， ∴AD ⊥面PDB ， PB ⊂平面PDB ，∴AD ⊥PB（Ⅱ）连结DE ，CE ， ∵∠DAB=60°，AD=AE ，∴△DEC 为正三角形. 取DC 的中点F ，连结EF ，则EF ⊥CD ， ∵PD ⊥面ABCD ， ∴EF ⊥PD ， ∴EF ⊥面PCD ， 过F 作FG ⊥PC 于G ，连EG ， 则∠EGF 即为二面角D —PC —E 的平面角. 设CD=a ，则.23a EF =在△PCD 中，PC=.2222121,2a a aa PC PD CD FG a =⋅⋅=⋅=则 …………10分所以.6arctan ,62223tan =∠===∠EGF aFGEF EGF 所以 …………12分解法二（Ⅰ）如图，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设PD=a ，则D （0，0，0），P （0，0，a ），A （a ，0，0），).0,23,2(),0,23,2(a a C a a E - ),3,0(),0,0,(),0,3,0(a a PB a DA a B -==∴∴PB AD PB DA ⊥∴=⋅,0 …………4分（Ⅱ）设平面PDC 的法向量为),,,(1z y x n = 则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n DP n …………6分 即：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=02320y x a az 于是).0,1,3(,1,3,01====n y x z 所以得令 ……8分 同样方法求得平面PEC 的一个法向量为)3,2,0(2=n . …………10分 于是有.77arccos ,,77722,cos 2121>=<=⨯>=<n n n n 所以 由图观察知，该二面角为锐二面角，所以二面角的大小为77arccos …………12分20．解：（Ⅰ）由.21,30,03,0==∴<<>-=>x x x nx n y x 或得∴D n 内的整点在直线x =1和x =2上 ………………2分 记直线l l n nx y ,3为+-=与直线x =1、x =2的交点的纵坐标分别为21,y y ， 则.32,2321n n n y n n n y =+-==+-=∴*)(3N n n a n ∈= ………………6分 （Ⅱ）∵n n n n n T n n n S 2)1(,2)1(3)321(3+=∴+=++++= ……8分 ∴1112)2)(1(2)1(2)2)(1(+++-+=+-++=-n n n n n n n n n n n T T ……10分 ∴当.231,,33211==<=>≥+T T T T T n n n 且时 …………12分 于是T 2，T 3是数列}{n T 的最大项，故.232=≥T m …………14分 21．解：（Ⅰ）设原点O 关于52:+=x y l 的对称点为),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=-=5222210000x y x y 解得：l x '∴==,40的方程为x =－4 …………4分（Ⅱ）设.4:)1(),,(),,(2222111c a y x P y x P =知由又)(),(22222211c x c OF P F c x c OF F -=⋅+=⋅ 由940:,910)()(21222-=+-=-++x x a c x c c x c 得 …………6分 又⎪⎩⎪⎨⎧=-++=14452222c c y c x x y 消去y 得：041610080)20(22=+-++-c c x x c ……8分 ∴ 9402080,208021-=--∴-=+c c x x …………10分 ∴ C=2，此时△>0， ∴所求椭圆方程为 14822=+y x …………12分 22．解：（Ⅰ）c x b x x f +-+=')1()(2，由题意得，1和3是方程c x b x +-+)1(2=0的两根，∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧⨯=+=-.3,3,31,311c b c b 解得 …………4分 （Ⅱ）由题得，当0)(,),(;0)(,),(),,(2121<'∈>'+∞-∞∈x f x x x x f x x x 时时 ∴c x b x x f x x +-+=')1()(,221是方程的两根， 则c x x b x x =-=+2121,1 … 6分∴14)1(42)2(2222---=--=+-c b c b b c b b 1)(14)(21221221--=--+=x x x x x x ,112>-x x ∴,01)(212>--x x ∴)2(22c b b +> …………9分 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，),)(()1(212x x x x c x b x --=+-+ 即 x x x x x c bx x +--=++))((212 …………12分 所以，)1)(())((2112112x t x t x t x t x t x c bx t -+-=-+--=-++， ,1112t x x +>+> ∴,0,0112x t x t <<<-+又 ∴01<-x t ∴,0)1)((21>-+-x t x t 即.12x c bx t >++ …………14分。

2018年三省三校一模考试（数学理科）答案一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题：13.1 14.3215.C 16. ①③ 三．解答题：17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）令1n =，得2111423a a a =+-，且0n a >，解得13a =. ……1分 当2n ≥时，221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，Q 0n a >，12n n a a -∴-=， ……4分 所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，故3(1)221n a n n =+-⨯=+. …….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：22111111()1444(1)41n n b a n n n n n n ====--+++， ……9分 12+n n T b b b ∴=++L 11111111(1)(1)422314144nn n n n =-+-++-=-=+++ . ……12分18．（本题满分12分）解：（1）由已知X 的可能取值为100,200,300…….4分（2） 由已知①当订购200台时，E()[20010050(200100)]0.22002000.835000Y =⨯-⨯-⨯+⨯⨯=(元) …….7分② 当订购250台时，E()[20010050(250100)]0.2[20020050(250200)]0.4Y =⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+[200250]0.437500⨯⨯=（元）…….11分综上所求，当订购250台时，Y 的数学期望最大，11月每日应订购250台。

…….12分 19．（本题满分12分） .解：（Ⅰ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OPAD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，4PEO π∠=，OP OE =.方法一：因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥. 又14EF PE ==，12EQ OE =，所以EF EQ EO EP ==，所以EFQ ∆∽EOP ∆， 所以2EFQ EOP π∠=∠=，所以PE FQ ⊥.且MN FQ Q = ，所以PE ⊥平面MNF .方法二：取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ,连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.又因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设AB m =，AD n =，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,022n m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫⎪⎝⎭， 于是()0,,PE m m =-,,,244n m m MF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以0PE MF ⋅=，所以PE M F ⊥，且MN MF M = ，所以PE ⊥平面MNF ……6分.（Ⅱ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系O xyz -.设AB AD m ==，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,02m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫⎪⎝⎭， 于是()0,,PE m m =- ，0,,02m BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，,,244m m m BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ……8分.设平面BMF 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则00BM BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ， 从而020244my m m m x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令1x =,得()1,0,2=1n .而平面NMF 的一个法向量为=2n ()0,,PE m m =-. ……10分.所以cos ,⋅<>==121212=n n n n n n ……12分.20．（本题满分12分）.解: （Ⅰ）(0,1),1F b ∴= ，又1126F F F F ⋅=，226,c c ∴==又222,2a b c a -=∴=，∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……3分（Ⅱ）设直线l 与抛物线相切于点00(,)P x y ，则2000:()42x x l y x x -=-，即20024x x y x =-， 联立直线与椭圆200222414x x y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得22340001(1)404x x x x x +-+-=.由240016(1)0x x ∆=+->，得2008x <<+ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则：34001212220016,14(1)x x x x x x x x -+==++. ……6分则120|||AB x x =-== ……8分原点O 到直线l的距离2d =. ……9分故OAB ∆面积1||2S d AB =⋅=202000111x x +=≤=+， 当且仅当24400016(1)x x x +-=，即204x =+故OAB ∆面积的最大值为1. ……12分21．（本题满分12分） 解（Ⅰ）:当0b =时：()h x kx =由()()()f x h x g x ≥≥知：ln xe kx x ≥≥依题意：ln x e xk x x≥≥对(0,)x ∈+∞恒成立 ……1分设/2(1)()(0),()x x e e x m x x m x x x-=>∴= 当(0,1)x ∈时/()0m x <；当(1+)x ∈∞，时/()0m x >，min [()](1)m x m e ∴== ……3分设/2ln 1ln ()(0),()x x n x x n x x x -=>∴= ……5分当(0,)x e ∈时/()0n x >；当(+)x e ∈∞，时/()0n x <，max 1[()]()n x n e e∴==故：实数k 的取值范围是1[]e e， ……6分（Ⅱ）由已知：()'x f x e =，()'1g x x=①：由()1111x x y e e x -=-得：()()1111x x h x ex e =+-⋅由()2221ln y x x x x -=-得：()221ln 1h x x x x =+- 故()11212111ln x x e x e x x⎧=⎪⎨⎪-=-⎩……8分Q 10x <，()1110x e x ∴-<，2ln 1x ∴>，故：2x e > ……9分②：由①知：12x x e -=，()11111xe x x -=+且21x e >>由()11ln 0a x x x x -+-≥得：()11ln a x x x x -≥-，()2x x ≥ 设()()2ln G x x x x x x =-≥ ()'1l n 1l n 0Gx x x=--=-<()G x ∴在)2,x +∞⎡⎣为减函数，()()2222max ln G x G x x x x ∴==-⎡⎤⎣⎦……11分由()12221ln a x x x x -≥-得：()()12211ln a x x x -≥- ∴ ()()1111a x x -≥-又10x < 1a ∴≤ ……12分22.解：（本小题满分10分）（Ⅰ）4cos ρθ=Qθρρcos 42=∴222cos ,sin x y x y ρρθρθ=+∴==Q x y x 422=+∴1C ∴的直角坐标方程为:x y x 422=+ ……3分13,23),x t y x y ⎧=-⎪⎪∴=-⎨⎪=⎪⎩Q 2C ∴的普通方程为)3(3--=x y ……5分（Ⅱ）将x y x t y t x 4,23,21322=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=代入 得：)213(443)213(22t t t -=+-t t t 212932-=+-∴032=--∴t t3,12121-=⋅=+∴t t t t ……8分由t 的几何意义可得：32121===⋅⋅t t t t AQ AP ……10分23．（本小题满分10分）（Ⅰ）当1a =时：不等式为:25211x x x -++>-等价于：:11552222252112521125211x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧<--≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪-+-->--+++>--++>-⎩⎩⎩或或 ……3分解得：:11552222x x x <--≤≤>或或 所以：不等式的解集为:∞∞（-,+) ……5分（Ⅱ）设函数()2521f x x x =-++=1442156225442x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩设函数()1g x ax =-过定点（0，-1） ……7分画出f ……8分由数形结合得a 的范围是14[4,)5- ……10分。

2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学(一)第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A J X||X|：4, B J x|x(x—3) ：： 0?，则AU B =()A. (—1,0)B. (0,1)C. (-1,3)D. (1,3)1 + i2. 若复数z = ------- 为纯虚数，则实数a的值为( )1 +ai1A. 1B. 0C.D. -123. 中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外. ”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是=|| _ T，贝U 8771用算筹可表示为( )123 45 67 89I II HI mi mu T rr unnr 纵式_ =三=三丄丄A全横式中国古代的算筹数码A117TI B,I1 丄I • C&TUI D.TUIT_4. 如图所示的程序框图是为了求出满足2n-n228的最小偶数n，那么在L_l空白框中填入及最后输出的n值分别是( )A. n = n 1 和6B. n = n 2 和6C. n 二n 1 和8D. n = n 2 和8+ o try wX5.函数f (X) =1 X2的部分图象大致为( )XA.B. C.* * …6.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ）,其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A. 4.3B . 10 3 C. 2、3D . 83 37.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端， 丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种A. 24B. 36C. 48D. 608. .ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,若2bcosB 二 acosC ccosA , b =2 , ABC 面积的最大值是（）A. 1B...3 C. 2D. 49. 已知边长为2的等边三角形 ABC , D 为BC 的中点，以 AD 为折痕， 将 ABC 折成直二面角 B - AD -C ，则过A , B , C , D 四点的球的表面积为（ ）A. 3- B . 4- C. 5二 D. 6二n n10•将函数f （x ）二sin （2x ）的图象向右平移 a 个单位得到函数 g （x ）二cos （2x ）的图象，则a 的值可3 4以为（ ）八 5― 7二厂 9-41 ■: A.B.C.D.-121224242 211.已知焦点在x 轴上的双曲线 务-冷1的左右两个焦点分别为 F 1和F 2,其右支上存在一点 P 满足m m -1PR — PF ?，且 PF 1F 2的面积为3,则该双曲线的离心率为（）_o 2512.若直线 kx-y-k ，1=0 ( k R )和曲线 E : y = ax bx ( ab = 0)的图象交于 A(x 1, y 1), 3*1「1 z z俯视图A. 刍"c. 2D 32 2定直图 侧视图B（X2, y2）, C（X3,y3）（为：：：X2 :: X3）三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行，则过点（b, a）可作曲线E的（）条切线A. 0B. 1C. 2D. 3第U卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1>>0,13. 设实数x，y满足约束条件<4x—y兰0,则z=x+2y + 5的最大值为.x + y 兰5,14. 为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为15. 已知函数f （x）满足f（x 1） = 1 f（x），当f（1） = 2 时，f （2018） f （2019）的值为.1-f（x）16. 已知腰长为2的等腰直角. ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若|"PC |= 2，则（PA PB）『CPM"）的最小值是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列Ca n，的前n项和为S n,且& = n2 - n 1，正项等比数列：b n ?的前n项和为「，且b?二a?, b4 = a5. （1）求6 ［和的通项公式；（2）数列G f 中，C1 = a1，且C n = C n 1 -T n，求、C n』的通项C n .18. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环. 据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组［15,25），第2组［25,35），第3组［35,45），第4组［45,55），第5组［55,65），得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后3位);(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取 5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率； (3)若从所有参与调查的人 (人数很多)中任意选出3人，设其中关 注环境治理和保护问题的人数为随机变量 X ，求X 的分布列与数学 期望.19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA_平面ABCD , E , F 分别是线段AD , PB 的中点，PA =AB =1.(1) 证明：EF//平面DCP ;(2) 求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.x 2 y 220. 在平面直角坐标系中，椭圆 C :二 2 =1(a .b 0)的离心率a b 1 3为一，点M(1,)在椭圆C 上.2 2(1)求椭圆C 的方程；边形APBQ 面积的最大值.a21.已知函数 f(x)=x -4x 5( a R ).e(1)若f (x)为在R 上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围;(2)设 g(x) =e x f(x)，当 m 兰1 时，若 g(xj + g(X2)= 2g(m)(其中为 v m , x^> m ),求证：x-i x 2 :: 2m .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 : cos^ - 3，曲线 C 2:二 4cos 二(0).2 (1) 求G 与C 2交点的极坐标；(2)已知P(-2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过 (1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，求四2(2)设点Q在C2 上, OQ QP，求动点P的极坐标方程.23. 选修4-5 :不等式选讲3(1)当m - -2时，求不等式f (x)空3的解集；2 m的取值范围. x(2)对于(-：：,0)都有f(x) _x 恒成立，求实数x2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一)数学答案、选择题1-5:CDCDD6-10: BABCC 11 、12：BC二_二＞填空题1 3. 14138 15. 7 162三、解答题1 7. 解：(1)：2S n = n -n 1，•令n =1 ,a^1,an -S n _ S n 1 = 2(n -1), (n 一2),32 - 24 三1,n =1,2(n -1),n 一2.又•••数列为等比数列，b^ -a^2 , b4-a^8,.b4 2q =4，二q =2,b2••• b1 =1，二bn =2n\1 _2n(2)T n -2n-1,1-21 2 n _1 丄-C2-C1=2 1 , C3-C2=2 - 1，…，C n - C n J = 2 1以上各式相加得c n~'5 = 21 —) -(n -1),1-2G = a1 =1 ,•5-1 =2n- n-1,•C^2n -1.18.解：(1)由10 (0.010 0.015 a 0.030 0.010) =1 ,平均数为20 0.1 30 0.15 40 0.35 50 0.3 60 0.1设中位数为x，则10 0.010 10 0.015 (x-35) 0.035 得a = 0.035,= 41.5 岁；0.5 ,• x ： 42.1 岁.(2)第1,2组经检验a^1不能与a n( n _2)时合并,X 的所有可能取值为 0, 1,2,3 ,4•- X ~ B(3,),5 4 •- E(X) =3 —519.解：(1)取PC 中点M ，连接DM , MF ,设第2组中恰C 1C 2 3则P (小言行(3)从所有参与调查的人中任意选出41人，关注环境治理和保护问题的概率为P 二二,54 3• P(X =0) 0(114 1 4 2 1224 2 4 PUWJ =T25，吟7~(5)(1二) 4812534 3P(X =3)心(匚)5所以X 的分布列为：12 5••• M ，F 分别是PC ，PB 中点，二 ••• E 为DA 中点，ABCD 为矩形，• ••• MF / /DE , MF 二 DE ,•••四边形 1 MF CB ,21 DE CB ,2 DEFM 为平行四边形，MF //CB , DE//CB , ••• EF //DM ,••• EF 二平面 PDC ,DM 平面PDC•- EF//平面 PDC .(2)T PA _平面ABC ，且四边形 ABCD 是正方形，• AD , AB , AP 两两垂直，以 A 为原点, AP ,AB , AD 所在直线为x , y , z 轴，建立空间直角坐标系A - xyz ,1 1 1则 P(1,0,0) , D(0,0,1) , C(0,1,1) , E©。

东北三校2018届高三第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||3}A x x =<，{|B x y ==，则集合A B 为A ．[0,3)B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(3,1]-2．“a = 1”是“复数21(1)a a i -++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．以下有关线性回归分析的说法不正确．．．的是 A ．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(,)x yB ．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()niii y bx a =--∑最小的a ,b 的值C ．相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱D ．22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑越接近1，表明回归的效果越好4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为A ．14B ．34C ．38D ．11165．已知为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若，且a 4与a 7的等差中项为98， A ．35B ．33C ．31D ．296．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．1sin(2)4y x π=++D ．22sin y x =7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A．3+B．8+C．6+D．8+8．已知圆M 过定点(2,1)且圆心M 在抛物线24y x =上运动，若y 轴截圆M 所得的弦长为AB ，则弦长||AB 等于A ．4B ．3C ．2D ．与点M 位置有关的值9．当a > 0时，函数2()(2)xf x x ax e =-的图象大致是10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c ，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为A ．12B ．14CD11．已知函数321()(1)(3)23f x x b x a b x b =+---+-的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组0x ay x by -≥⎧⎨-≥⎩所确定的平面区域在224x y +=内的面积为A ．3π B ．2π C ．π D ．2π12．在底面半径为3，高为4+放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的模为（）A．B．C．D．22．已知集合，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）3．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．4．已知s，则=（）A．B．C．D．5．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（﹣2，4），则它的离心率为（）A．B．2 C．D．6．展开式中的常数项是（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣87．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）A．2 B．3 C．D．8．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．9．辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）A．148 B．37 C．333 D．010．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为（）A． B． C．D．11．已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是（）A．B．C．D．12．在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，AB=2，，，则BC=．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．15．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙教的学科是．16．已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12.00分）已知正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的分布列；（2）若公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．20．（12.00分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．21．（12.00分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，若对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点分别为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10.00分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|?|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求a的范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的模为（）A．B．C．D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵=，∴||=|1+i|=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数模的求法，是基础题．2．已知集合，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）【分析】求定义域得集合A，根据A∩B=A知A?B，由此求出a的取值范围．【解答】解：集合={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则A?B；∴实数a的取值范围是a≤﹣3．故选：A．【点评】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．3．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P （A）=，P（AB）==，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【解答】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）=，P（AB）==，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．已知s，则=（）A．B．C．D．【分析】直接由已知结合同角三角函数基本关系式求得．【解答】解：∵s，∴=cos[+（）]=﹣sin（）=﹣．故选：B．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．5．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（﹣2，4），则它的离心率为（）【分析】先求渐近线带入点的坐标，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±x，∴4=﹣?（﹣2），∴=2，a=2b，a2=4b2=4c2﹣4a2，e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查计算能力．6．展开式中的常数项是（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8【分析】写出二项式的通项，由x的指数为﹣2、0分别求得r值，再由多项式乘多项式得答案．【解答】解：的展开式的通项为=．取r﹣5=﹣2，得r=3，取r﹣5=0，得r=5．∴展开式中的常数项是﹣﹣2=﹣12．故选：B．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为x，根据体积公式建立关系，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD=1，BC=2，SB=x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=×（1+2）×2=3．该几何体为x，几何体的体积V==1，可得x=3．故选：B．【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，体积公式的运用，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．8．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据题意求出ω的值，写出f（x）的解析式，即可求出它的单调增区间．【解答】解：函数=2sin（ωｘ+）；由f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，∴T=2×=π，∴ω＝=2；∴f（x）=2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴函数f（x）的一个单调增区间为[﹣，]．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9．辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）A．148 B．37 C．333 D．0【分析】程序的运行功能是求m=8521，n=6105的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．【解答】解：由程序框图知：程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，∵8251=6105+2146；6105=2×2146+1813；2146=1813+333；1813=5×333+148；333=2×148+37，148=4×37+0∴此时m=37．∴输出m的值是37，故选：B．【点评】本题考查了辗转相除法的程序框图，掌握辗转相除法的操作流程是关键．10．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为（）A． B． C．D．【分析】设出球的半径，利用棱锥的侧面积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接半球的体积．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=r，四棱锥的侧面积为：4×=，解得r=，四棱锥的外接半球的体积为：V==，故选：D．【点评】本题考查四棱锥SABCD的侧面积以及球的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．11．已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是（）A．B．C．D．【分析】联立得：y2+4y﹣4b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，即可求出b的值【解答】解：联立得：y2+4y﹣4b=0．依题意应有△=16+16b＞0，解得b＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4b，∴x1+x2=﹣2（y1+y2）+4b=8+4b设圆心Q（x0，y0），则应有x0=（x1+x2）=4+2b，y0=（y1+y2）=﹣2．∵以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=2，又|AB|=?=?=4?，∴|AB|=2r，即4?=4，解得b=﹣．故选：C．【点评】本题主要考查圆的性质，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．12．在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．【分析】建立坐标系，设AN=a，用a表示出，得出关于a的函数，从而得出范围．【解答】解：以CA，CB为坐标轴建立坐标系如图所示：∵AB=2BC=4，∴∠BAC=30°，AC=2设AN=a，则N（2﹣，），M（2﹣，），∴=（2﹣）（2﹣）+=a2﹣5a+9．∵M，N在AB上，∴0≤a≤3．∴当a=0时，取得最大值9，当a=时，取得最小值．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，AB=2，，，则BC=1．【分析】根据题意，设BC=t，△ABC中，由余弦定理可得cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设BC=t，△ABC中，AB=2，，，则有cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得：t=﹣3或t=1，又由t＞0，则t=1，即BC=1；故答案为：1【点评】本题考查余弦定理的应用，注意利用余弦定理构造关于BC的方程．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率可得，的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙教的学科是C．【分析】分析判断每一名话，能推理出正确结果．【解答】解：由①得甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；由②得在哈尔滨工作的教师不教C学科，甲不教C；由③得在长春工作的教师教A学科；由④得乙不教B学科和A学科．综上，乙教C学科．故答案为：C．【点评】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是①③．（填出所有正确命题的序号）【分析】求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x0＜0，可判断③④．【解答】解：∵函数f（x）=xlnx+x2，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1+x，易得f′（x）=lnx+1+x在（0，+∞）递增，∴f′（）=＞0，∵x→０，f′（x）→﹣∞，∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；∵lnx0+1+x0=0∴f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x02＜0，即③正确，④不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力、转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12.00分）已知正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，然后求解通项公式．（2）化简通项公式利用裂项相消法求解数列的和即可．【解答】（本题满分12分）解：（1）令n=1，得，且a n＞0，解得a1=3．当n≥2时，，即，整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，所以数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，故a n=3+（n﹣1）×2=2n+1．（2）由（1）知：，∴T n=b1+b2+…+b n=．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12.00分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的分布列；（2）若公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？【分析】（1）由已知X的可能取值为100，200，300，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）当订购200台时，求出E（Y）=35000元；当订购250台时，求出E（Y）=37500元，由此求出11月每日应订购250台．【解答】（本题满分12分）解：（1）由已知X的可能取值为100，200，300，P（X=100）==0.2，P（X=200）==0.4，P（X=300）==0.4，∴X的分布列为：X100200300P0.20.40.4（2）由已知：①当订购200台时，E（Y）=[200×100﹣50×（200﹣100）]×0.2+200×200×0.8=35000（元）②当订购250台时，E（Y）=[200×100﹣50×（250﹣100）]×0.2+[200×200﹣50×（250﹣200）]×0.4+[200×250]×0.4=37500（元）综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布表、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．【分析】（1）法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥ADOP⊥平面ABCD，推导出MN⊥OE，MN⊥PE．△EFQ∽△EOP，从而PE=FQ．由此能证明PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O 点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能证明PE⊥平面MNF（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角B﹣MF﹣N的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=，OP=OE．因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．又EF=PE=OE，EQ=OE，所以，所以△EFQ∽△EOP，所以，所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q，所以PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面AC，，OP=OE．又因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=m，AD=n，则P（0，0，m），E（0，m，0），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（﹣）．所以=0，所以PE⊥MF，且MN∩MF=M，所以PE⊥平面MNF解：（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面AC，所以OP⊥平面AC，，OP=OE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=AD=m，则P（0，0，m），E（0，m，0），B（），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（0，﹣，0），=（﹣）．设平面BMF的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，0，2）．而平面NMF的一个法向量为==（0，m，﹣m）．所以cos＜＞===﹣．由图形得二面角B﹣MF﹣N的平面角是钝角，故二面角B﹣MF﹣N的余弦值为﹣．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12.00分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．【分析】（1）通过焦点坐标以及转化求解椭圆方程．（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），求出切线方程，联立直线与椭圆，消去y，整理利用判别式，以及弦长公式，求解由原点O到直线l的距离，表示△OAB面积，推出△OAB面积的最大值为1．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵F（0，1），∴b=1，又，∴．又a2﹣b2=c2，∴a=2，∴椭圆C的标准方程为．（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），则，即，联立直线与椭圆，消去y，整理得．由，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则：．则原点O到直线l的距离．故△OAB面积=，当且仅当，即取等号，故△OAB面积的最大值为1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（12.00分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，若对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点分别为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）依题意：对x∈（0，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可；（2）①得到，∴，从而证明结论；②得到a（x1﹣1）≥x﹣xlnx，（x≥x2），设G（x）=x﹣xlnx（x≥x2）G′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，根据函数的单调性求出G（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当b=0时：h（x）=kx，由f（x）≥h（x）≥g（x）知：e x≥kx≥lnx，依题意：对x∈（0，+∞）恒成立，设，当x∈（0，1）时m′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时m′（x）＞0，∴[m（x）]min=m（1）=e，设，当x∈（0，e）时n′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时n′（x）＜0，∴，故：实数k的取值范围是（2）由已知：f′（x）=e x，①：由得：由得：故∵x1＜0，∴，∴lnx2＞1，故：x2＞e；②由①知：，且x2＞e＞1由a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0得：a（x1﹣1）≥x﹣xlnx，（x≥x2）设G（x）=x﹣xlnx（x≥x2）G′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，∴G（x）在[x2，+∞）为减函数，∴[G（x）]max=G（x2）=x2﹣x2lnx2由a（x1﹣1）≥x2﹣x2lnx2，得：a（x1﹣1）≥x2（1﹣lnx2），∴a（x1﹣1）≥（x1﹣1）又x1＜0，∴a≤1．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10.00分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|?|AQ|的值．，y=ρsinθ即可求得曲线【分析】（1）把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合x=ρcosθC1的直角坐标方程，在中，直接消去参数t即可求得曲线C2的普通方程；（2）把曲线C2的参数方程代入x2+y2=4x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合t的几何意义求得|AP|?|AQ|的值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．由，消去参数t，可得．∴曲线C2：；（2）将代入x2+y2=4x，得t2﹣t﹣3=0，∵△=1+4×3=13＞0，∴方程有两个不等实根t1，t2分别对应点P，Q，∴|AP|?|AQ|=|t1|?|t2|=|t1?t2|=|﹣3|=3，即|AP|?|AQ|=3．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是掌握直线参数方程中参数t的几何意义，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求a的范围．【分析】（1）当a=1时，化简不等式，去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集；（2）化简函数为分段函数，画出函数的图象，然后求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（1）当a=1时：不等式为：|2x﹣5|+|2x+1|＞x﹣1，等价于：解得：，所以不等式的解集为：（﹣∞，+∞）；（2）设函数f（x）=|2x﹣5|+|2x+1|=，设函数g（x）=ax﹣1过定点A（0，﹣1），画出f（x），g（x）的图象，不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．不等式的解集为R，k AB==，由数形结合得a的范围是．【点评】本题考查不等式的解法，不等式恒成立，考查数形结合以及计算能力．。

东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三数学第一次模拟考试试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}*2,A x x x N =≤∈，{}2,B y y x x R ==∈，则A B =( )A.{}0x x ≥B.{}1x x ≥C.{}1,2D.{}0,1,22.已知复数z 满足()12i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1i -B.1i +C.1122i - D.1122i + 3.在下列向量中，可以把向量()3,1a =-表示出来的是( ) A.()10,0e =，()23,2e =B.()11,2e =-，()23,2e =C.()13,5e =，()26,10e =D.()13,5e =-，()23,5e =-4.在区间()0,3上任取一个实数x ，则22x <的概率是( ) A.23B.12C.13D.145.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( ) A.2B.1C.14D.186.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的4a =，则输入的,a b 不可能为( )A.4，8B.4，4C.12，16D.15，188.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是( )A.()f x 的一个周期为2πB.()f x 向左平移3π个单位长度后图象关于原点对称C.()f x 在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象关于56x π=-对称 9.函数()af x x x=+(其中a R ∈)的图象不可能是( )ABCD10.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( )A.43π11.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线2a x c=分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若6090AFB <<∠°°，则该双曲线离心率e 的取值范围是( )A.(B.⎫+∞⎪⎪⎝⎭C.)2D.⎝ 12.已知函数()()()21221221x x x x f x x --⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，()()1cos g x a x x R =-∈，若对任意的12,x x R ∈，都有()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围为( ) A.[]0,2B.RC.[]2,0-D.(][),20,-∞-+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为_____________. 14.若实数,x y 满足不等式组01030x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32y x +-的取值范围是_____________.15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。