高三复习 数列的综合问题

数列综合问题高中数学教案
知识点：数列的综合
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数列的综合方法，解决相关数学问题。

教学重点：数列的综合求解方法。

教学难点：在实际问题中运用数列的综合方法解决问题。

教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师向学生介绍本节课的学习内容，引导学生了解数列的综合概念。

并通过一个简单的例子引出数列综合问题。

二、讲解与实践（15分钟）
1. 讲解数列的综合方法，说明综合的含义及求解步骤。

2. 通过几个示例讲解综合求解数列问题的步骤，引导学生掌握方法。

3. 学生进行练习，巩固数列综合的求解方法。

三、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些实际问题，让学生尝试用数列综合方法解决问题。

2. 学生结合实际问题进行讨论，分享不同解题思路。

四、作业布置（5分钟）
布置练习题作业，相关综合数列问题的练习。

五、课堂小结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调数列综合方法的重要性，并提醒学生作业要认真完成。

教学反思：本节课通过讲解数列的综合方法，让学生了解了数列的综合应用，实际问题中的数列综合求解方法。

通过多种实例的讲解和练习，学生对数列综合方法有了更深入的理解和掌握。

在今后的教学过程中，可以结合更多实际问题，让学生更好地运用数列综合方法解决各种数学问题。

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。

[考情分析]预计2025年高考会从以下两个角度对数列的综合问题进行考查：(1)考查等差、等比数列的基本运算和数列求和的问题，可能与函数、方程、不等式等知识综合起来进行考查；(2)以新定义为载体，考查对新数列性质的理解及应用，以创新型题目的形式出现．考点一等差、等比数列的综合问题例1(2024·山东滨州模拟)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝2，b 2＝4，a n ＝2log 2b n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }中不在数列{b n }中的项按从小到大的顺序构成数列{c n }，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 100.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为b 2＝4，所以a 2＝2log 2b 2＝4，所以d ＝a 2－a 1＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .又a n ＝2log 2b n ，即2n ＝2log 2b n ，所以n ＝log 2b n ，所以b n ＝2n .(2)由(1)得b n ＝2n ＝2·2n －1＝a 2n －1，即b n 是数列{a n }中的第2n －1项．设数列{a n }的前n 项和为P n ，数列{b n }的前n 项和为Q n ，因为b 7＝a 26＝a 64，b 8＝a 27＝a 128，所以数列{c n }的前100项是由数列{a n }的前107项去掉数列{b n }的前7项后构成的，所以S 100＝P 107－Q 7＝107×（2＋214）2－2－281－2＝11302.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.1.(2022·浙江高考)已知等差数列{a n }的首项a 1＝－1，公差d >1.记{a n }的前n项和为S n (n ∈N *)．(1)若S 4－2a 2a 3＋6＝0，求S n ；(2)若对于每个n ∈N *，存在实数c n ，使a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，求d 的取值范围．解(1)因为S 4－2a 2a 3＋6＝0，a 1＝－1，所以－4＋6d －2(－1＋d )(－1＋2d )＋6＝0，所以d 2－3d ＝0，又d >1，所以d ＝3，所以a n ＝3n －4，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝3n 2－5n2.(2)因为a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，所以(a n ＋1＋4c n )2＝(a n ＋c n )(a n ＋2＋15c n )，(nd －1＋4c n )2＝(－1＋nd －d ＋c n )(－1＋nd ＋d ＋15c n )，c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0，由已知可得方程c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0的判别式大于等于0，所以Δ＝(14d －8nd ＋8)2－4d 2≥0，所以(16d －8nd ＋8)(12d －8nd ＋8)≥0对于任意的n ∈N *恒成立，所以[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]≥0对于任意的n ∈N *恒成立，当n ＝1时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]＝(d ＋1)(d ＋2)≥0，当n ＝2时，由(2d －2d －1)(4d －3d －2)≥0，可得d ≤2，当n ≥3时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]>(n －3)(2n －5)≥0，又d >1，所以1<d ≤2，即d 的取值范围为(1，2]．考点二通项与求和问题例2(2023·黑龙江哈九中模拟)在①S 3＝2a 3－15；②a 2＋6是a 1，a 3的等差中项；③2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，并解答．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n ＝b n －1b n ，求数列2n n 项和T n .注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，若选①：由S 3＝2a 3－15，得a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－15，所以a 3－a 2－a 1＝15，又由a 1＝3，可得3q 2－3q －18＝0，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选②：由a 2＋6是a 1，a 3的等差中项，可得a 1＋a 3＝2(a 2＋6)，又因为a 1＝3，可得3＋3q 2＝2(3q ＋6)，即q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选③：由2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)，当n ＝1时，2a 1＝6＝2S 1＝t 2－3，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)，所以2S n ＝3n ＋1－3，当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n ＋1－3－(3n －3)＝2·3n ，所以a n ＝3n (n ≥2)．经验证当n ＝1时，满足a n ＝3n ，所以a n ＝3n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n ＝3n ，所以b n －1b n ＝3n ，n ＝9n ，所以b 2n ＋1b 2n＝9n＋2，所以T n 2122 (2)n (91＋2)＋(92＋2)＋…＋(9n ＋2)＝91＋92＋…＋9n＋2n ＝9（1－9n ）1－9＋2n ＝9n ＋1＋16n －98.解决非等差、等比数列求和问题的两种思路思路一转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成思路二不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和2.(2024·广东深圳中学月考)若一个数列的奇数项为公差为正的等差数列，偶数项为公比为正的等比数列，且公差、公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表达式为a n ＝1＋n －12d ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，2qn －22，n ＝2k ，k ∈N *，若数列{a n }(n ∈N *)为“摇摆数列”且a 1＝1，a 1＋a 2＝a 3，a 2a 3＝20.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ∑ni ＝1i 2解(1)＋a 2＝a 3，2a 3＝202＝4，3＝52＝－5，3＝－4(舍去)，∴d ＝q ＝4，∴a n n －1，n ＝2k ＋1，k ∈N ，n ，n ＝2k ，k ∈N *.(2)b n ＝na n n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，·2n ，n ＝2k ，k ∈N *.先求奇数项的和：b n ＝2n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，S n ＝2×[12＋32＋…＋(2n －1)2]－n 2，引入W n ＝22＋42＋…＋(2n )2＝4(12＋22＋…＋n 2)，12(S n ＋n 2)＋W n ＝∑2ni ＝1i 2＝n （2n ＋1）（4n ＋1）3⇒S n＝2(∑2ni ＝1i 2－W n )－n 2＝2n （2n ＋1）（4n ＋1）3－4×n （n ＋1）（2n ＋1）6－n 2＝8n 3－3n 2－2n 3，再求偶数项的和：b n ＝n ·2n ，n ＝2k ，k ∈N *，S n ′＝2×22＋4×24＋…＋2n ×22n ，4S n ′＝2×24＋4×26＋…＋2(n －1)×22n ＋2n ×22n ＋2，两式相减，得－3S n ′＝2×22＋2×24＋2×26＋…＋2×22n －2n ×22n＋2＝8×（1－4n ）1－4－2n ×22n ＋2＝（1－3n ）×22n ＋3－83，∴S n ′＝（3n －1）22n ＋3＋89，∴T 2n ＝S n ＋S n ′＝8n 3－3n 2－2n3＋（3n －1）22n ＋3＋89.考点三数列与不等式的综合问题例3(2023·安徽十校联考)已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2(n ≥2且n ∈N *)，a 2＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)n 项和为T n ，求证：23≤T n <1.解(1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2，所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－2，两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－2，又a 2＝4，所以a 1＝2，a 2＝2a 1，所以a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明：因为2n（a n －1）（a n ＋1－1）＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，所以T n …1－12n ＋1－1<1，由n ≥1，得2n ＋1≥4，所以1－12n ＋1－1≥23，综上，2≤T n <1.1．数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．2．放缩法常见的放缩技巧(1)1k 2＜1k 2－1＝121k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k.(3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．(4)12n ＋1＜12n ＋1＜12n ，13n ＜13n －1≤12·3n －1.3.(2023·河南五市高三二模)已知数列{a n }满足a 1＝23，且2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，n∈N *.(1){a n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1a 2a 3…a n ，n ∈N *，S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n .证明：S n 解(1)由2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，得a n ＋1＝12－a n ，则11－a n ＋1－11－a n＝1，是首项为11－a 1＝3，公差d ＝1的等差数列，所以11－a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，整理得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，经检验，符合要求．(2)证明：由(1)得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，T n ＝a 1a 2…a n ＝2n ＋2，∴T 2n ＝4（n ＋2）2>4（n ＋2）（n ＋3）＝∴S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n －14＋…＋1n ＋2－即S n 考点四数列与函数的综合问题例4(2024·江苏辅仁中学阶段考试)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列前n 项和T n .解(1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 的图象在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.则a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.数列与函数综合问题的常见类型及注意事项常见类型类型一已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题类型二已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形注意事项注意点一数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或有限子集)，它的图象是一群孤立的点注意点二转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题注意点三利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化4.(2024·湖南湘潭一中阶段考试)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－2n π3＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sinn （n ＋1）π－2n π3.因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，所以n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sinS n ＝－m π＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－m π＝32；当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin2m π＝0.综上所述，sin S nn ＝3m －2（m ∈N *），＝3m －1（m ∈N *），3m （m∈N *）.课时作业1．(2023·新课标Ⅱ卷){a n }为等差数列，b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16.(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：当n >5时，T n >S n .解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，而b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，则b 1＝a 1－6，b 2＝2a 2＝2a 1＋2d ，b 3＝a 3－6＝a 1＋2d －6，4＝4a 1＋6d ＝32，3＝4a 1＋4d －12＝16，1＝5，＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋3，所以{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋3.(2)证法一：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，b n －1＋b n ＝2(n －1)－3＋4n ＋6＝6n ＋1，T n ＝13＋（6n ＋1）2·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝32(n ＋1)2＋72(n ＋1)－[4(n ＋1)＋6]＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .证法二：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝－1＋2（n －1）－32·n 2＋14＋4n ＋62·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，若n ≥3，则T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1)＝－1＋2n －32·n ＋12＋14＋4（n －1）＋62·n －12＝32n2＋52n －5，显然T 1＝b 1＝－1满足上式，因此当n 为奇数时，T n ＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .2．(2023·江苏徐州第七中学校考一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝12·3n ＋b (b 为常数)．(1)求b 的值和数列{a n }的通项公式；(2)记c m 为{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数，求数列{a m c m }的前n 项和T n .解(1)由题设S n ＝12·3n ＋b ，显然等比数列{a n }的公比不为1，设{a n }的公比为q ，则S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝a 11－q －a 1q n1－q ，∴b ＝a 11－q ＝－12且q ＝3，∴a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)令－3m ≤3n －1≤3m ，n ∈N *，解得0≤n －1≤m ，∴1≤n ≤m ＋1，数列{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数为m ＋1，则c m ＝m ＋1，∴a m c m ＝(m ＋1)×3m －1，∵T n ＝2×30＋3×31＋…＋(n ＋1)×3n －1，①3T n ＝2×31＋3×32＋…＋(n ＋1)×3n ，②两式相减，得－2T n ＝2×30＋31＋…＋3n－1－(n ＋1)×3n＝1＋1－3n1－3－(n ＋1)·3n ＝（－1－2n ）·3n ＋12，∴T n n －14.3．(2024·河南郑州外国语学校阶段考试)已知f (x )＝－4＋1x2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，且a 1＝1，a n ＞0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＋1a 2n ＝T na 2n ＋1＋16n 2－8n －3，确定b 1的值使得数列{b n }是等差数列．解(1)因为f (x )＝－4＋1x2，且点P n ，n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，所以1a n ＋1＝4＋1a 2n ，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n＝1＋4(n －1)＝4n －3，即a n ＝14n －3(n ∈N *)．(2)由(1)知T n ＋1a 2n ＝T n a 2n ＋1＋16n 2－8n －3，即为(4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n －3)(4n ＋1)，整理得T n ＋14n ＋1－T n 4n －3＝1，T 1为首项，1为公差的等差数列，则T n 4n －3＝T 1＋n －1，即T n ＝(4n －3)(T 1＋n －1)，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝4b 1＋8n －11，若{b n }是等差数列，则b 1适合上式，令n ＝1，得b 1＝4b 1－3，解得b 1＝1.4．(2023·黑龙江齐齐哈尔模拟)在①S n ＝32a n －3，其中S n 为数列{a n }的前n 项和；②a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1为数列{a n }中的项？若存在，求出m ；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解若选择条件①：(1)令n ＝1，则a 1＝321－3，所以a 1＝6，由于S n ＝32a n －3，则当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3，两式相减，得a n ＝32a n －32a n －1，则a n a n －1＝3，所以{a n }是首项为6，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝6×3n －1＝2×3n .(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则2×3m ＋2×3m ＋1＝2×3k ，所以4×3m ＝3k ，此等式左边为偶数，右边为奇数，所以不存在正整数m 满足题意．若选择条件②：(1)因为a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，所以a n ≠0，1a n ＋1－1a n＝1，是首项为1a 1＝1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n.(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则1m ＋1m ＋1＝1k，化简得m 2＋(1－2k )m －k ＝0，解得m ＝2k －1＋1＋4k 22，因为2k <1＋4k 2<2k ＋1，所以2k －12<m <2k ，m 无正整数解，故不存在正整数m 满足题意．5．已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ成立，求实数λ的取值范围．解(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，S n ＝n （9－n ）2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m 1－1281m ，的值随m 增加而减小，∴{T m }为递增数列，得4≤T m ＜8.又S n ＝n （9－n ）2＝－12(n 2－9n )－814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ，则10＜8＋λ，解得λ＞2.故实数λ的取值范围为(2，＋∞)．6．(2024·河北衡水调研)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ，2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．(1){a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.解(1)由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3an ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n －1，所以a n ＝11.(2)证明：由(1)可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－<7528.综上所述，1271S n <7528成立．。

浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思高考数列综合问题是近几年高考数学中的一个重要考点，通过解题策略的运用可以帮助考生更好地应对这类题目。

本文将浅谈高考数列综合问题的解题策略，并进行反思和总结。

一、高考数列综合问题的解题策略1. 确定数列的表达式在解决数列综合问题时，首先需要确定数列的表达式，即找出数列的通项公式。

通过观察数列的前几项，寻找数列的规律，并尝试找到递推公式或通项公式。

对于常见的等差数列、等比数列和斐波那契数列，可以直接利用已有的性质和公式进行求解。

而对于一些复杂的数列，可以通过列出递推关系式或使用递归思想进行求解。

2. 应用数列的性质和定理在解决数列综合问题时，可以利用数列的性质和定理来简化问题的求解过程。

例如，对于等差数列，可以应用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。

对于等比数列，可以利用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。

掌握这些数列的性质和定理，能够帮助考生更快地解答题目。

3. 运用数列思想和数学归纳法数列思想和数学归纳法在解决数列综合问题中起着关键作用。

通过观察数列的规律，推测出数列的通项公式，并通过数学归纳法来验证所推测的结论是否成立。

此外，还可以通过数列的特殊构造和等式的变换，运用数学归纳法来解决数列综合问题。

4. 利用图形化表示对于一些复杂的数列综合问题，可以通过图形化表示进行求解。

将数列的每一项用点表示在坐标系中，从而可以观察出数列的规律和特点。

通过图形化表示可以帮助考生更直观地理解问题，并以直观的方式解决问题。

二、解题策略的反思与总结在解题过程中，有时会遇到难题，但通过灵活运用不同的解题策略可以更好地应对。

然而，在实际解题中，我们还需注意以下几点：1. 理解题意，准确运用数列知识在解决高考数列综合问题时，首先要仔细阅读题目，明确问题所给条件和要求，确保理解题意。

其次，要准确运用数列的知识，利用已学过的公式和定理进行求解。

对于不太熟悉的数列类型，要通过多做习题和练习来加深理解，扩大解题思路。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

数列专题：数列与函数综合问题一．选择题（共30小题）1．已知函数f （x ）=x e1+x e （e 是自然对数的底数），设a n ={f(n)，n ≤2019f(14039−n )，n ＞2019，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4037的值是（ ） A ．2018B ．2019C ．40372D ．403922．已知函数f （x ）={x +12，x ≤122x −1，12＜x ＜1x −1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n +1＝f （a n ）（n ∈N +），则a 2019＝（ ）A ．73B ．43C ．56D ．133．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x −32）＝f （x ），f （﹣2）＝﹣3，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 2018）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．34．定义：F （x ，y ）＝y x （x ＞0，y ＞0），已知数列{a n }满足：a n =F(n ，2)F(2，n)（n ∈N *），若对任意正整数n ，都有a n ≥a k （k ∈N *）成立，则a k 的值为（ ） A ．12B ．2C ．98D ．895．对于数列{a n }，a 1＝4，a n +1＝f （a n ），n ＝1，2，…，则a 2020等于（ ）x 1 2 3 4 5 f （x ） 5 43 12A ．2B ．3C ．4D ．56．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （32−x ）＝f （x ），f （﹣2）＝﹣2，数列{a n }满足a 1＝﹣1，且S n n=2a n n+1（S n 为{a n }的前n 项和），则f （a 5）＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．27．已知{a n }满足a n +1＝a n +2n ，且a 1＝32，则a nn的最小值为（ ）A ．8√2−1B ．525C ．373D ．108．在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n ．若点（S n n，S n+1n+1）在直线y ＝2x ﹣1上，则a 9等于（ ）A ．1290B ．1280C ．1281D ．18219．已知函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数，且在R 上时单调递增函数，函数g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，则a 1+a 2+…+a 9＝（ ） A ．18B ．9C ．27D ．8110．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f （2﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝1，数列{a n }满足a 1＝﹣1，S n n=2a n n+1（n ∈N +），其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则f （a 5）+f （a 6）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．111．已知定义域为正整数集的函数f （x ）满足f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）+1，f （1）＝1，则数列{（﹣1）n f （n ）f （n +1）}（n ∈N *）的前99项和为（ ） A ．﹣19799B ．﹣19797C ．﹣19795D ．﹣1979312．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，当x ＜0时，f （x ）＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，f （x ）f （y ）＝f （x +y ）恒成立，若数列{a n }满足f （a n +1）f （11+a n）＝l （n ∈N *）且a 1＝f （0），则下列结论成立的是（ ）A ．f （a 2015）＞f （a 2018）B ．f （a 2018）＞f （a 2019）C ．f （a 2017）＞f （a 2018）D ．f （a 2015）＞f （a 2017）13．已知函数f(n)=n 2sin(2n−32π)，且a n ＝f （n ），则a 1+a 2+a 3+…+a 200＝（ ）A ．20100B ．20500C ．40100D ．1005014．已知函数f （x ）=4x2x−1，M ＝f （1n）+f （2n）+…+f （n n）（n ∈N *，且n 为奇数），则M 等于（ ） A ．2n ﹣1B ．n −12C ．2n +2D ．2n +1215．已知各项都为正数的等比数列{a n }，满足a 3＝2a 1+a 2，若存在两项a m ，a n ，使得√a m a n =4a 1，则1m+4n的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．13D ．116．已知数列{a n }中，a 1＝2，n •a n +1﹣（n +1）•a n ＝1，n ∈N *．若对于任意的n ∈N *，不等式a n+1n+1＜a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（3，+∞）B ．（﹣∞，3）C ．[3，+∞）D ．（﹣∞，3]17．已知F （x ）＝f （x +12）﹣1是R 上的奇函数，a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *），则数列{a n } 的通项公式为（ ） A ．a n ＝n ﹣1B ．a n ＝nC ．a n ＝n +1D ．a n ＝n 231．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （3﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝3，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n （a n +1﹣a n ）（n ∈N *），则f （a 36）+f （a 37）＝32．对于函数f （x ）和实数M ，若存在m ，n ∈N +，使f （m ）+f （m +1）+f （m +2）+…+f （m +n ）＝M 成立，则称（m ，n ）为函数f （x ）关于M 的一个“生长点”．若（1，2）为函数f （x ）＝cos （π2x +π3）关于M的一个“生长点”，则M ＝ ；若f （x ）＝2x +1，M ＝105，则函数f （x ）关于M 的“生长点”共有 个．33．如果函数f （x ）满足：对任意实数a ，b 都有f （a +b ）＝f （a ）f （b ），且f （1）＝1，则f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)=参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．已知函数f （x ）=x e1+x e （e 是自然对数的底数），设a n ={f(n)，n ≤2019f(14039−n )，n ＞2019，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4037的值是（ ） A ．2018B ．2019C ．40372D ．40392【解答】解：根据题意，函数f （x ）=x e 1+x e ，则f （1x ）=(1x )e1+(1x)e =11+x e ，且f （1）=11+1=12，则有f （x ）+f （1x）=x e 1+x e +11+x e=1， 又由a n ={f(n)，n ≤2019f(14039−n )，n ＞2019， 则S 4037＝f （1）+f （2）+……+f （2019）+f （12019）+f （12018）+……+f （12）＝f （1）+[f （2）+f （12）]+[f （3）+f （13）]+……+f （2019）+f （12019）=12+2018=40372； 故选：C ．2．已知函数f （x ）={x +12，x ≤122x −1，12＜x ＜1x −1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n +1＝f （a n ）（n ∈N +），则a 2019＝（ ）A ．73B ．43C ．56D ．13【解答】解：根据题意，函数f （x ）={x +12，x ≤122x −1，12＜x ＜1x −1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n +1＝f （a n ），则a 2＝a 1﹣1=43， a 3＝a 2﹣1=13， a 4＝a 3+12=56， a 5＝2a 4﹣1=23，a 6＝2a 5﹣1=13， a 7＝a 6+12=56，则数列{a n }满足a n +3＝a n ，（n ≥3），即数列{a n }从第三项开始，组成周期为3的数列， 则a 2019＝a 3+2016＝a 3=13， 故选：D ．3．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x −32）＝f （x ），f （﹣2）＝﹣3，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 2018）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．3【解答】解：根据题意，f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）， 又由f （x ）满足f （32−x ）＝f （x ），则f （32−x ）＝﹣f （﹣x ），则有f （3﹣x ）＝﹣f （32−x ）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为3的周期函数，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则d =a 7−a27−2=2，则a n ＝2n ﹣1， 则a 1＝1，a 3＝5，则f （a 1）＝f （1）＝f （﹣2）＝﹣3， f （a 2）＝f （3）＝f （0）＝0，f （a 3）＝f （5）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝3，则有f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）＝（﹣3）+0+（3）＝0， f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 2018）＝f （1）+f （3）+f （5）+f （7）+f （8）+f （9）+……+f （2016）+f （2017）+f （2018） ＝672×[f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）]+f （2017）+f （2018）＝﹣3； 故选：B ．4．定义：F （x ，y ）＝y x （x ＞0，y ＞0），已知数列{a n }满足：a n =F(n ，2)F(2，n)（n ∈N *），若对任意正整数n ，都有a n ≥a k （k ∈N *）成立，则a k 的值为（ ） A ．12B ．2C ．98D ．89【解答】解：∵F （x ，y ）＝y x （x ＞0，y ＞0），∴a n =F(n ，2)F(2，n)=2nn2∴a n+1a n=2n+1(n+1)22n n 2=2⋅n 2(n+1)2，∵2n 2﹣（n +1）2＝（n ﹣1）2﹣2，当n ≥3时，（n ﹣1）2﹣2＞0， ∴当n ≥3时a n +1＞a n ；当，n ＜3时，（n ﹣1）2﹣2＜O ，所以当n ＜3时a n +1＜a n ． ∴当n ＝3时a n 取到最小值为f （3）=89 故选：D ．5．对于数列{a n }，a 1＝4，a n +1＝f （a n ），n ＝1，2，…，则a 2020等于（ ）x 1 2 3 4 5 f （x ） 5 43 12A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：数列{a n }，a 1＝4，a n +1＝f （a n ），n ＝1，2…，其中f （x ）如表所示x 1 2 3 4 5 f （x ）54312则a 2＝f （4）＝1，a 3＝f （1）＝5，a 4＝f （5）＝2，a 5＝f （2）＝4，…，数列是周期数列，周期为4， ∴a 2020＝a 504×4+4＝a 4＝2． 故选：A ．6．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （32−x ）＝f （x ），f （﹣2）＝﹣2，数列{a n }满足a 1＝﹣1，且S n n=2a n n+1（S n 为{a n }的前n 项和），则f （a 5）＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．2【解答】解：∵函数f （x ）是奇函数 ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ） ∵f （32−x ）＝f （x ），∴f （32−x ）＝﹣f （﹣x ）∴f （3+x ）＝f [32−（−32−x ）]＝﹣f （32+x ）＝﹣f [32−（﹣x ）]＝﹣f （﹣x ）＝f （x ）∴f （x ）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n }满足a 1＝﹣1，且S n n=2a n n+1，∴a 1＝﹣1，且S n ＝2a n +n ， ∴a 5＝﹣31，∴f （a 5）＝f （﹣31）＝f （2）＝f （2）＝﹣f （﹣2）＝3 故选：C ．7．已知{a n }满足a n +1＝a n +2n ，且a 1＝32，则a n n的最小值为（ ）A ．8√2−1B ．525C ．373D ．10【解答】解：∵a 1＝32，a n +1﹣a n ＝2n ，∴n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+……+（a 2﹣a 1）+a 1 ＝2（n ﹣1）+2（n ﹣2）+……+2×1+32 ＝2×(n−1)(n−1+1)2+32＝n 2﹣n +32， 则a nn=n +32n +1． 令f （x ）＝x +32x+1，（x ≥1）． f ′（x ）＝1−32x 2=(x+4√2)(x−4)x 2． 可得：函数f （x ）在[1，4 √2）内单调递减；在（4√2，+∞）上单调递增． 又f （5）＝6+325=625=12+25，f （6）＝7+326=373=12+13． ∴n ＝6时，则a n n 取得最小值373．故选：C ．8．在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n ．若点（S n n，S n+1n+1）在直线y ＝2x ﹣1上，则a 9等于（ ）A ．1290B ．1280C ．1281D ．1821【解答】解：点（S n n，S n+1n+1）在直线y ＝2x ﹣1上，可得S n+1n+1−1＝2（S n n−1），又S 11−1=a 1−1=1，所以数列{S n n−1}是首项为1公比为2的等比数列，所以S n n−1＝2n ﹣1，得S n ＝n （1+2n ﹣1），当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝（n +1）2n ﹣2+1，故 a 9＝10×128+1＝1281． 故选：C ．9．已知函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数，且在R 上时单调递增函数，函数g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，则a 1+a 2+…+a 9＝（ ） A ．18B ．9C ．27D ．81【解答】解：根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ．10．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且满足f （2﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝1，数列{a n }满足a 1＝﹣1，S n n=2a n n+1（n ∈N +），其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则f （a 5）+f （a 6）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【解答】解：∵数列{a n }满足a 1＝﹣1，S n n=2a n n+1（n ∈N +），其中S n 是数列{a n }的前n 项和，∴S n ＝2a n +n ，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n +n ﹣2a n ﹣1﹣（n ﹣1）， 整理，得a n −1a n−1−1=2，∵a 1﹣1＝﹣2，∴{a n ﹣1}是首项为﹣2，公差为2的等比数列， ∴a n ﹣1＝﹣2×2n ﹣1，∴a n ＝1﹣2×2n ﹣1．∴a 5＝1﹣2×24＝﹣31，a 6=1−2×25=−63，∵f （2﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝1， ∴f （x ）关于直线x ＝1对称，又∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数 ∴函数f （x ）是一个周期函数，且T ＝4， ∴f （a 5）+f （a 6）＝f （﹣31）+f （﹣63）＝f （32﹣31）+f （64﹣63）＝f （1）+f （1）＝﹣f （﹣1）﹣f （﹣1）＝﹣1﹣1＝﹣2． 故选：A ．11．已知定义域为正整数集的函数f （x ）满足f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）+1，f （1）＝1，则数列{（﹣1）n f （n ）f （n +1）}（n ∈N *）的前99项和为（ ） A ．﹣19799B ．﹣19797C ．﹣19795D ．﹣19793【解答】解：令x ＝n ，y ＝1，可得f （n +1）＝f （n ）+f （1）+1， 则f （n +1）﹣f （n ）＝f （1）+1＝2，则数列{f （n ）}的首项为1，公差为2的等差数列， 从而f （n ）＝2n ﹣1，则（﹣1）n f （n ）f （n +1）＝（﹣1）n （4n 2﹣1）＝4（﹣1）n n 2﹣（﹣1）n ， 则{（﹣1）n f （n ）f （n +1）}（n ∈N *）的前99项和为 4（﹣12+22﹣32+42+…﹣972+982﹣992）﹣（﹣1）， ＝4[（1+2）+（3+4）+…+（97+98）﹣992]+1， ＝4[(1+98)×982−992]+1，＝4×99×（49﹣99）+1， ＝﹣19799， 故选：A ．12．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，当x ＜0时，f （x ）＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，f （x ）f （y ）＝f （x +y ）恒成立，若数列{a n }满足f （a n +1）f （11+a n）＝l （n ∈N *）且a 1＝f （0），则下列结论成立的是（ ）A ．f （a 2015）＞f （a 2018）B ．f （a 2018）＞f （a 2019）C ．f （a 2017）＞f （a 2018）D ．f （a 2015）＞f （a 2017）【解答】解：对任意的实数x ，y ∈R ，f （x ）f （y ）＝f （x +y ）恒成立， 取x ＝y ＝0，则f （0）f （0）＝f （0），解得f （0）＝0，或f （0）＝1． 取f （0）＝1．取y＝﹣x＜0，则f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x）=1f(−x)＜1，设x1＜x2，则f（x1﹣x2）＝f（x1）•f（﹣x2）=f(x1)f(x2)＞1，∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）在R上单调递减．∵数列{a n}满足f（a n+1）f（11+a n）＝l＝f（0）．∴a n+1+11+a n=0，∵a1＝f（0）＝1，∴a2=−12，a3＝﹣2，a4＝1，a5=−12，……．∴a n+3＝a n．∴a2015＝a3×671+2＝a2=−12，a2017＝a3×672+1＝a1＝1．a2018＝a3×672+2＝a2=−12，a2019＝a3×672+3＝a3＝﹣2．∴f（a2015）=f(−12)＞1，f（a2017）＝f（1）＜1．∴f（a2015）＞f（a2017）．而f（a2015）＝f（a2018），f（a2017）＜1＜f（a2018），f（a2018）＝f（−12）＜f（a2019）＝f（﹣2），因此只有：D正确．故选：D．13．已知函数f(n)=n2sin(2n−32π)，且a n＝f（n），则a1+a2+a3+…+a200＝（）A．20100B．20500C．40100D．10050【解答】解：可得f（2k）＝4k2sin（−32π）＝4k2，f（2k﹣1）＝（2k﹣1）2sin（−5π2）＝﹣（2k﹣1）2．k∈N*，∴且a n＝f（n）={n2，(n为偶数)−n2，(n为奇数)，∴a1+a2+a3+…+a200＝（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+…+（2002﹣1992）＝1+2+3+…+200＝20100．故选：A．14．已知函数f（x）=4x2x−1，M＝f（1n）+f（2n）+…+f（nn）（n∈N*，且n为奇数），则M等于（）A．2n﹣1B．n−12C．2n+2D．2n+12【解答】解：∵f （x ）=4x2x−1， ∴f （x ）+f （1﹣x ）=4x2x−1+4(1−x)2(1−x)−1 =4x 2x−1+4−4x 1−2x =4x 2x−1−4−4x 2x−1=4(2x−1)2x−1=4． ∴M ＝f （1n ）+f （2n ）+…+f （nn ）＝4×n−12+f （1）＝2n ﹣2+4＝2n +2． 故选：C ．15．已知各项都为正数的等比数列{a n }，满足a 3＝2a 1+a 2，若存在两项a m ，a n ，使得√a m a n =4a 1，则1m+4n的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．13D ．1【解答】解：各项都为正数且公比为q 的等比数列{a n }， ∵a 3＝2a 1+a 2，∴a 1⋅q 2=2a 1+a 1⋅q 即q 2＝2+q ，解得q ＝2或﹣1（舍去﹣1）． ∵存在两项a m ，a n ，使得√a m a n =4a 1， ∴得a 21•2m +n ﹣2＝16a 21，∴m +n ＝6． 则1m+4n=16（m +n ）（1m +4n）=16（1+4m n +n m +4）≥16（2√4m n ⋅n m +5）=32． 当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立． 则1m+4n的最小值为32．故选：B ．16．已知数列{a n }中，a 1＝2，n •a n +1﹣（n +1）•a n ＝1，n ∈N *．若对于任意的n ∈N *，不等式a n+1n+1＜a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（3，+∞）B ．（﹣∞，3）C ．[3，+∞）D ．（﹣∞，3]【解答】解：数列{a n }中，a 1＝2，n •a n +1﹣（n +1）•a n ＝1，n ∈N *． 可得a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，由a 22−a 11=1−12，a 33−a 22=12−13，a 44−a 33=13−14，…，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，上面各式相加可得， 得a n+1n+1−a 11=1−1n+1， 则a n+1n+1=3−1n+1＜3，由对于任意的n ∈N *，不等式a n+1n+1＜a 恒成立，可得a ≥3，即有a 的取值范围是[3，+∞）． 故选：C ．17．已知F （x ）＝f （x +12）﹣1是R 上的奇函数，a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *），则数列{a n } 的通项公式为（ ） A ．a n ＝n ﹣1B ．a n ＝nC ．a n ＝n +1D ．a n ＝n 2【解答】解：F （x ）＝f （x +12）﹣1在R 上为奇函数 故F （﹣x ）＝﹣F （x ），代入得：f （12−x ）+f （12+x ）＝2，（x ∈R ）当x ＝0时，f （12）＝1．令t =12−x ，则12+x ＝1﹣t ， 上式即为：f （t ）+f （1﹣t ）＝2． 当n 为偶数时：a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n ）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *）＝[f （0）+f （1）]+[f （1n）+f （n−1n）]+…+[f （12n−12）+f （12n+12）]+f （12）=2×n 2+1 ＝n +1． 当n 为奇数时：a n ＝f （0）+f （1n）+f （2n ）+…+f （n−1n）+f （1）（n ∈N *）＝[f （0）+f （1）]+[f （1n）+f （n−1n）]+…+[f （n−12n）+f （n+12n）]＝2×n+12＝n +1．综上所述，a n ＝n +1． 故选：C ．填空题31．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （3﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝3，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n （a n +1﹣a n ）（n ∈N *），则f （a 36）+f （a 37）＝ ﹣3【解答】解：∵函数f （x ）是奇函数，且满足f （3﹣x ）＝f （x ），f （﹣1）＝3， ∴f （x ）＝f （3﹣x ）＝﹣f （x ﹣3），即f （x +3）＝﹣f （x ），则f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ）， 即函数f （x ）是周期为6的周期函数，由数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n （a n +1﹣a n ） （n ∈N *）， 则a n ＝na n +1﹣na n ， 即（1+n ）a n ＝na n +1， 则a n+1a n =1+n n ， 则a 2a 1=21，a 3a 2=32，⋯a nan−1=nn−1，等式两边同时相乘得a n a 1=n ，即a n ＝na 1＝n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，则f （a 36）+f （a 37）＝f （36）+f （37）＝f （0）+f （1）， ∵f （x ）是奇函数，∴f （0）＝0， ∵f （﹣1）＝3，∴﹣f （1）＝3， 即f （1）＝﹣3，则f （a 36）+f （a 37）＝f （36）+f （37）＝f （0）+f （1）＝0﹣3＝﹣3， 故答案为：﹣3．32．对于函数f （x ）和实数M ，若存在m ，n ∈N +，使f （m ）+f （m +1）+f （m +2）+…+f （m +n ）＝M 成立，则称（m ，n ）为函数f （x ）关于M 的一个“生长点”．若（1，2）为函数f （x ）＝cos （π2x +π3）关于M的一个“生长点”，则M ＝ −12 ；若f （x ）＝2x +1，M ＝105，则函数f （x ）关于M 的“生长点”共有3 个．【解答】解：若（1，2）为函数f （x ）＝cos （π2x +π3）关于M 的一个“生长点”，则M ＝f （1）+f （2）+f （3）＝cos （π2+π3）+cos （π2×2+π3）+cos （π2×3+π3）＝﹣sin π3−cos π3+cos （−π6）=−√32−12+√32=−12，若f （x ）＝2x +1，M ＝105， 则f （m ）是公差为2的等差数列，则由f （m ）+f （m +1）+f （m +2）+…+f （m +n ）＝105 得（n +1）（2m +1）+(n+1)⋅n2×2=105 即（n +1）（2m +1）+n （n +1）＝105， 即（n +1）（2m +n +1）＝105，∵105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15，∴由{n +1=32m +n +1=35得{n =2m =16，此时“生长点”为（2，16），由{n +1=52m +n +1=21得{n =4m =8，此时“生长点”为（4，8）， 由{n +1=72m +n +1=15得{n =6m =4，此时“生长点”为（6，4）， 故函数f （x ）关于M 的“生长点”共有3个， 故答案为：−12，333．如果函数f （x ）满足：对任意实数a ，b 都有f （a +b ）＝f （a ）f （b ），且f （1）＝1，则f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)= 2017【解答】解：∵f （x ）满足对任意的实数a ，b 都有f （a +b ）＝f （a ）•f （b ），且f （1）＝2， ∴f （a +1）＝f （a ）•f （1）＝f （a ）， ∴f(a+1)f(a)=1，∴f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(4)f(3)+⋯+f(2018)f(2017)=1×2017＝2017．故答案为：2017．。

数列1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n n S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．1 2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N*++<∈．若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1226a a =-=，21,,n n n a a a ++为等差数列，则2020S =（ ） A ．2020142+ B ．2018142+C ．2020142-D ．2018142-4．已知数列{}n a 满足22131nn n a a --=-，()21235n n n a a n +++=+∈N ，则数列{}n a 的前40项和40S =（ ）A ．2131972+B ．2031972+C ．10998+D ．20998+5．在等差数列{}n a 中，1411,5a a =-=-.记12(1,2,)n n T a a a n ==，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、多选题6．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积12n n a a a T =，若 11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，则（ ）A ．01q <<B ．202020221a a ⋅>C ．2021T 是n T 的最大值D ．使1n T >的n的最大值是40407．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ） A．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论中正确的有（ ）A ．821a =B ．732S =C ．135212n n a a a a a -++++= D ．22212202120222021a a a a a +++= 9．设数列{}{},n n ab 的前n 项和分别为,n n S T 1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．20202020a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+ D ．1334n T n ≤-<10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．11．如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是如图乙所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形12OA A 是等腰三角形，且112233478 1OA A A A A A A A A ====⋅⋅⋅==，它可以形成近似的等角螺线，记1 OA ，2OA ，3OA ，…，8OA 的长度组成数列{}n a （*n ∈N ，18n ≤≤），且11n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前7项和为________．12．已知数列{}n a 满足11a =，()221212n n a a n n n +=-+++，现有如下四个结论：①{}n a 是单调递增数列；①*n N ∃∈，12n n a a +=；①10611a =；①数列{}(1)nn a -的前2n 项和为41(21)3n n n -++.其中所有正确结论的序号是______.13．已知n S 是各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且()2*21n n S a n -=∈N ，使不等式1231a a a +2234345121111142n n n n n a a a a a a a a a λ++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭成立，则实数λ的最大值是___________.14．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足下面条件，11a >，9910010a a ⋅->，99100101a a -<-.给出下列结论：①01q <<；①991010a a -<；①100T 的值是n T 中最大的；①1n T >成立最大的自然数n 等于198.其中正确的结论是__________. 15．在数列{}n a 中，()1*111,32n n n a a a n -+==-∈N ，记32(1)n n n n c a λ=-⨯-，若对任意的*1,n n c n c +∈>N 恒成立，则实数λ的取值范围为__________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为*1,4,n n n S S a n +=∈N ，且14a =.（1）证明：{}12n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）在①1n n n b a a +=-；①2log nn a b n=；①21n n n n a b a a ++=这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列{}n b 满足___________，求{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.17．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且11a =，32232a a =+．数列{}n b 满足()1122123n n n n a b a b a b b a +++⋅⋅⋅+=-+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列()111n n n n b b ++⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：13n S ≤．18．给出以下三个条件：①11a =，22121n n a a n +-=+，*n N ∈；①22n nS a n =+，*n N ∈；①数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n .请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n a nn nS b a +=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知()23f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43nn na b =⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围. .五、双空题20．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()()()*2113322,N n n n n S S S S n n ++-+-+=≥∈，且12a =，26a =，312a =，则n a =______；若1n nb a =，则数列{}n b 的前2021项和为______．。

数列高考复习 (附参考答案)———综合训练篇一、选择题：1． 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为 （ D ）A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16B ．32C ．64D ．273．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于 （ C ）A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++为（A ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215+或215-5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,336=S S 则=69S S（ B ） A. 2 B.73C. 83D.36．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )A.1(2,)2B.1(,2)2-- C.1(,1)2-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则acc a +的值为（ C ）A ．1594B ．1594±C ．1534 D ．1534±8． 已知数列{}n a 的通项,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确的是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（B ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．189．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以43为首项，31为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －2·a n ，且C n =11+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m恒成立，则m 的最大正整数为 （ B ）A ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 (6.5，7.5) .11． 数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n na nn ，则数列的前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－2 .12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.∴应填1，0.13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1的等差中项，a 1 = 2且对任意*N n ∈都有 3a n +1－a n = 0，则数列{b n }的通项公式 nn b 34= . 14． 设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1>=x xy 图像上的点（如图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上的点，且n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ ，…，均为等腰直解三角形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }的通项公式为 n x n 2=*)N n ∈ .三、解答题：15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++=时…………（4分）.1)1(1)1()1()1(266616318633S S qq a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=………………（8分）当,)(2,6,6,3,126612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）[解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分） 当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）当,221)1(2111212,1633636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入．已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n－1年销售收入an 与an－1(单位：万元)满足关系式：a n＝a n－1＋－100.(1)设今年为第1年，求第n年的销售收入an；(2)依上述预测，该企业前几年的销售收入总和Sn最大．【答案】（1）an＝500－－100(n－1)（2）前5年【解析】解：(1)由题意可知an －an－1＝－100(n≥2)，an－1－a n－2＝－100，…a 3－a2＝－100，a 2－a1＝－100，a1＝250＝.以上各式相加得，an＝500(＋＋…＋)－100(n－1)＝500·－100(n－1)＝500－－100(n－1)．(2)要求销售收入总和Sn的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和．∵an＝500－－100(n－1)，∴要使an≥0，即500－－100(n－1)≥0，也就是＋≤1.令bn＝＋，则bn －bn－1＝＋－－＝－，显然，当n≥3时，bn >bn－1，而b5<1，b6>1，∴a5>0，a6<0.∴该企业前5年的销售收入总和最大．2.设数列{an }的前n项和Sn满足＝3n－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.【答案】（1）an＝6n－5(n∈N*)（2）10【解析】解：(1)由＝3n－2，得Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2＝6－5＝1.所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝＝＝ (－)，故Tn＝ [(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝ (1－)．因此，使得(1－)< (n∈N*)成立的m必须满足≤，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.3.（14分）（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2an≤b n+1+1．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即an=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即an=，∴数列{an}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，an =，要证对于一切正整数n，2an≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2an≤b n+1+1，点评：本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．4.已知数列,,2,,…,则2在这个数列中的项数为()A．6B．7C．19D．11【答案】B【解析】设,,,,…形成的数列为{an },被开方数形成的数列为{bn},从形式上讲,每一项都有二次根号,被开方数为2,5,8,11…,易归纳出数列{bn }的一个通项公式为bn=3n-1,所以an=,2==,解得n=7,所以2是这个数列的第7项.5.已知数列，对任意的，当时，；当时，，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．【答案】39366（）【解析】由题意，，，由此可得，，故第10个2应该是，即第项．【考点】数列的通项公式与数列的项．6.一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．（1）求第2行和第3行的通项公式和；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列；（3）求关于（）的表达式．【答案】(1),；（2）证明见解析，；（3）．【解析】（1）根据定义，，因此，；（2）由于第行的数依赖于第的数，因此我们可用数学归纳法证明；（3）设第行的公差为，，而，从而，即，于是有，由此可求得数列是公差为1的等差数列，而，由等差数列通项公式得，从而有．试题解析：（1）．（4分）（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，则由（常数） 知第行的数也依次成等差数列，且其公差为.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列． （9分） （3）由于，所以， （11分） 所以， 由得， （13分） 于是，即， （15分）又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，，所以（）． （18分）【考点】（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的判定；（3）由递推公式求通项公式．7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f(x)＝x 2＋2x 的图象上，且在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2k n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）a n ＝2n ＋1（2）T n ＝·4n ＋2－【解析】(1)∵点P n (n ，S n )在函数f(x)＝x 2＋2x 的图象上，∴S n ＝n 2＋2n(n ∈N *)，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由f(x)＝x 2＋2x ，求导得f′(x)＝2x ＋2. ∵在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n ， ∴k n ＝2n ＋2，∴b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n ， ∴T n ＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n ，用错位相减法可求得T n ＝·4n ＋2－.8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则{a n }的通项公式为__________． 【答案】a n ＝【解析】由log 2(1＋S n )＝n ＋1，得S n ＝2n ＋1－1. n ＝1时，a 1＝S 1＝3.n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n . 当n ＝1时a 1＝3不符合上式，∴a n ＝9. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a n ＝S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2. (1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝，T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有T n ＞恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）2n （2）存在【解析】(1)由已知a n ＝S n －1＋2， ① 得a n ＋1＝S n ＋2. ②②－①，得a n ＋1－a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 1＝2，∴a 2＝a 1＋2＝4＝2a 1， ∴a n ＋1＝2a n (n ＝1,2,3，…)，∴数列{a n }是一个以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *. (2)b n ＝＝＝，∴T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＝＋＋…＋，T n ＋1＝b n ＋2＋b n ＋3＋…＋b 2(n ＋1)＝＋＋…＋＋＋. ∴T n ＋1－T n ＝＋－＝＝.∵n 是正整数，∴T n ＋1－T n ＞0，即T n ＋1＞T n .∴数列{T n }是一个单调递增数列．又T 1＝b 2＝，∴T n ≥T 1＝， 要使T n ＞恒成立，则＞，即k ＜6.又k 是正整数，故存在最大正整数k ＝5使T n ＞恒成立． 10. 若，则___________ ．【答案】【解析】由，可得，所以．【考点】代数式的处理11. 数列的首项为，为等差数列且 .若则，，则( )A ．0B ．3C ．8D ．11【答案】B 【解析】由为等差数列且，，则，所以，故，累加得，所以.【考点】1、等差数列的通项公式；2、累加法.12. 已知数列是等差数列，且，；又若是各项为正数的等比数列，且满足，其前项和为，. (1)分别求数列，的通项公式，； (2)设数列的前项和为，求的表达式，并求的最小值. 【答案】(1)，；(2)，.【解析】(1)首先设出公差和公比，根据已知条件及等比数列和等差数列的性质，列方程组解方程组，求得公差和公比，写出各自的通项公式；(2)因为取偶数和奇数时，数列的项数会有变化，所以对分取偶数和奇数两种情况进行讨论，根据等差数列和等比数列的前项和公式，求出的表达式，根据前后两项的变化确定的单调性，求得每种情况下的最小值，比较一下，取两个最小值中的较小者. 试题解析：(1)设数列的公差是，的公比为，由已知得，解得，所以； 2分又，解得或(舍去)，所以； .4分(2)当为偶数时，，当为奇数时. .10分当为偶数时，，所以先减后增，当时，，所以；当时，，所以；所以当为偶数时，最小值是. 12分当为奇数时，，所以先减后增，当时，，所以，当时，，所以，所以当为奇数时，最小值是.比较一下这两种情况下的的最小值，可知的最小值是. .14分【考点】1、等差数列与等比数列的前项和公式；2、数列与函数单调性的综合应用；3、数列与求函数最值的综合运用；4、数列的函数特性.13.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为,数列的前项和为,点均在函数的图像上.（1）求的解析式；（2）求数列的通项公式；（3）设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数.【答案】（1）（2）（3）10【解析】（1）利用导函数及待定系数法求解；（2）利用与的关系求通项公式，要注意对进行讨论；（3）数列求和的方法由数列的通项公式决定.常用的方法有：公式求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法等。

2023年高考数学-----数列性质的综合问题典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足1211n n a a n +−=−，且110a =，则n a 的最小值是（ ） A ．-15 B ．-14C ．-11D ．-6【答案】A【解析】∵1211n n a a n +−=−，∴当5n ≤时，10n n a a +−<，当5n >时，10n n a a +−>，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +−=−，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+−+−+−+−+−()()()()()109753115=+−+−+−+−+−=−，即n a 的最小值是15−.故选：A例2．（2022·福建三明·高三期中）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1201920201,1a a a >>，20192020101a a −<−，则下列结论正确的是（ ）A ．20192020S S >B ．2020T 是数列{}n T 中的最大值C ．2019202110a a −<D ．数列{}n T 无最大值【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q −=，由201920201a a >，则有2201920202019()1a a a q =>，必有0q >，又由20192020101a a −<−，即20192020(1)(1)0a a −−<，又11a >，则有20202019011a a <<⎧⎨>⎩或20202019101a a >⎧⎨<<⎩， 又当20202019101a a >⎧⎨<<⎩时，可得1q >，由11a >，则2018201911a a q=>与201901a <<矛盾 所以20202019011a a <<⎧⎨>⎩，则有01q <<，由此分析选项：对于A ，2020201920200S S a −=>，故20192020S S <，故A 错误；对于B ，等比数列{}n a 中，01q <<，10a >，所以数列{}n a 单调递减，又因为202020191a a <<，所以前n 项积为n T 中，2019T 是数列{}n T 中的最大项，故B 错误；对于C ，等比数列{}n a 中，则22019202120201a a a =<，则2019202110a a −<，故C 正确；对于D ，由B 的结论知2019T 是数列{}n T 中的最大项，故D 错误. 故选：C.例3．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列{}n a 的前n 项和21122n n S −=−，则数列22log 3nn a −⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭中的最大项为（ ）A ．14B ．516C ．38D ．12【答案】C【解析】当1n =时，11113222a S ==−=. 当2n ≥时，由已知得，21122n n S −=−，()211231112222n n n S −−−−=−=−， 则212323111223222n n n n n n S S a −−−−=−+=⨯=−−. 当1n =时，113322a −=⨯=，满足. 所以，2332n n a −⨯=.设22log 3nn n a b −=⋅，则232232232log 2log 332n n nn n na nb −−−⨯−=⋅=⋅=. 设数列{}n b 中的第()2k k ≥项最大，则应满足11k k k k b b b b +−≥⎧⎨≥⎩，即()()111121323212222132325222k k k kk k k k k k k k ++−−⎧+−−−≥=⎪⎪⎨−−−−⎪≥=⎪⎩，整理可得()()2232123225k k k k ⎧−≥−⎪⎨−≥−⎪⎩解得5722k ≤≤，又*N k ∈，所以3k =，33233328b ⨯−==， 又131213122b b ⨯−==−<. 所以，数列22log 3nn a −⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭中的最大项为338b =.故选：C.例4．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S na +=，若1n na S n nλ−≤−恒成立，则实数λ的最大值为（ ）A ．12 B ．1 C ．23D ．34【答案】C 【解析】因为22n n n n S na S n a ⇒+=+= 当1n =时，解得：11a = 当2n ≥时，1112n n S n a −−+−=，两式相减得：()1121121n n n n a a a a −−=+⇒+=+ 数列{}1n a +是首相为112a +=，公比为2得等比数列所以12n n a +=，所以21nn a =−易得122n n S n +=−−1n na S n nλ−≤−，即()122122n n n n n λ+−−++≤−()()221221n n n λ−−−≤−，即()()2221n n λ−−≤−所以()2221n n λ−≥−，即()2221n n g n λ≤−=−易知*N n ∈时，()11g = ，()223g =，()537g =，()14415g =，L 满足()()()()()1234g g g g g n ><<< ，所以()()min 223g n g ==所以23λ≤， 故选：C例5．（2022·山西运城·高三期中）已知数列{}n a 满足113,1n n a a a +=−=，若13n nb a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对于任意的*N n ∈都有43342n t S n t −≤−−<+，则实数t 的取值范围是（ ）A ．5,13⎡⎫−⎪⎢⎣⎭B ．5,13⎛⎤− ⎥⎝⎦C ．51,3⎡⎫−⎪⎢⎣⎭D ．51,3⎛⎤− ⎥⎝⎦【答案】D【解析】113,1n n a a a +=−=，可知{}n a 为等比数列，所以()1=3n n a −−，故113313n n n b a −⎛⎫−+ ⎪⎝⎭=+=，进而11331333144313nn nn n S ⎛⎫−− ⎪⎛⎫⎝⎭=+=−−+ ⎪⎝⎭+，所以93133443nn n S ⎛⎫−−=−−− ⎪⎝⎭，故3342n S n t −−<+，即93131443146172163n nt t <+⇒⎛⎫⎛⎫−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝−⎭>−，当n 为奇数时，则对任意的奇数n ，满足311631716nt ⎛>+⎫ ⎪⎝⎭−，由于()13nf n ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，当1n =时，()311617163ng n ⎛⎫⎝=−⎪⎭+有最大值1− ，所以1t >−,当n 为偶数时，满足311631716n t ⎛>−⎫ ⎪⎝⎭−，由于()13nf n ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，1716t ≥− ，综上可得1t >− ，同理731433443nn t S n t ⎛⎫−≤−−⇒≤−− ⎪⎝⎭，故当2n = 时，min 7312443n ⎡⎤⎛⎫−−=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，故53t ≤，综上：513t <≤，故选：D例6．（2022·山东聊城·高三期中）若函数()f x 使得数列()n a f n =，n *∈N 为递增数列，则称函数()f x 为“数列保增函数”．已知函数()e xf x ax =−为“数列保增函数”，则a 的取值范围为（ ）．A ．(],0a ∈−∞B ．()2,e e a ∈−∞−C ．(),e a ∈−∞ D．(e ∈−∞【答案】B【解析】由题意，对n *∀∈N ，(1)()0f n f n +−>， 即1[e (1)](e )(e 1)e 0n n n a n an a +−+−−=−−>， 即(e 1)e n a <−，对n *∀∈N 恒成立，由于e x y =在R 上单调递增，故1e e e n ≥=，故2min (e 1)e [(e 1)e ]e(e 1)e e n n a <−≤−=−=−. 即()2,e e a ∈−∞−.故选：B例7．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()3,+∞C ．[)3,+∞D ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由等比数列性质可知，51234533322a a a a a a a ==⇒=，因为112a <<，所以231(1,2)a q a =∈， 从而223533312212()124244a a a a a q q a q q ++=++=++ 不妨令2(1,2)t q =∈，则2211()44q tf t q t +==+， 由对勾函数性质可知，1()4tf t t =+在(1,2)上单调递减，故对于(1,2)t ∀∈，(2)()(1)f f t f <<，51()4f t <<， 从而2215144q q <+<，则35173242a a a <++<. 故35124a a a ++的取值范围为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.例8．（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+−−+≤⎧=∈⎨−+>⎩，则λ的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．51,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+−−+≤⎧=∈⎨−+>⎩， 则5410314(1)5(3)5λλλλ−−>⎧⎪−>⎨⎪−+≤−+⎩，解得715λ<<，故λ的取值范围是71,5⎛⎫⎪⎝⎭故选：D例9．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，1n n S a =−，13b =，当2n ≥时，123n n b −=−，若对于任意*n ∈N ，不等式()()0n n t S t T −−<恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,2C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由1n n S a =−①，可得111n n S a ++=−②，所以②－①得11n n n a a a ++=−+，即112n n a a +=.因为111a a =−，所以112a =，故{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，所以12n n a =，故112n n S =-. 当2n ≥时，211111123331323n n n T −−⎛⎫=−+ ⎪⎝=+⎭++，当1n =时，13=T 也符合1123nn T −=+，故1123n n T −=+. 显然n S 随着n 增大而增大，n T 随着n 增大而减小，且112n S ≤<，23n T <≤， 故要使得()()0n n t S t T −−<恒成立，则12t ≤≤. 故选：B。

（一）数列和函数综合1．已知数列{a n}中，，且当时，函数取得极值．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足：b1=2，，证明：是等差数列，并求数列{b n}的通项公式通项及前n 项和S n．2．已知：f n（x）=a1x+a2x2+…+a n x n，且数列{a n}成等差数列．（1）当n为正偶数时，f n（﹣1）=n，且a1=1，求数列{a n}的通项；（2）试比较与3的大小．3．已知f（x）在（﹣1，1）上有定义，，且满足x，y∈（﹣1，1）有．对数列{x n}有（1）证明：f（x）在（﹣1，1）上为奇函数．（2）求f（x n）的表达式．（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*且＜成立？若存在，求出m的最小值．（二）数列与不等式综合4．（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{ a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．5．如图：假设三角形数表中的第n行的第二个数为a n（n≥2，n∈N*）（1）归纳出a n+1与a n的关系式并求出a n的通项公式；（2）设a n b n=1求证：b2+b3+…+b n＜2．6．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a1≠a2，a m、a k、a h都是数列{a n}中满足a h﹣a k=a k﹣a m的任意项．（Ⅰ）证明：m+h=2k；（Ⅱ）证明：S m•S h≤S k2；（III）若也成等差数列，且a 1=2，求数列的前n项和．（三）数列和向量综合7．已知点集，其中=（2x﹣b，1），=（1，b+1），点列P n（a n，b n）在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{a n}的公差为1，n∈N*．（I）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，令S n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；试写出S n关于n的函数解析式；8．已知一列非零向量，n∈N*，满足：=（10，﹣5），，（n32 ）．，其中k是非零常数．（1）求数列{||}是的通项公式；（2）求向量与的夹角；（n≥2）；（3）当k=时，把，，…，，…中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，，…，，…，令，O为坐标原点，求点列{B n}的极限点B的坐标．（注：若点坐标为（t n，s n），且，，则称点B（t，s）为点列的极限点．）9．我们把一系列向量（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知向量列{}满足：，=（n≥2）．（1）证明数列{||}是等比数列；（2）设θn表示向量，间的夹角，若b n=2nθn﹣1，S n=b1+b2+…+b n，求S n；（3）设||•log2||，问数列{c n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．10．从原点出发的某质点M，按向量=（0，1）移动的概率为，按向量=（0，2）移动的概率为，设可达到点（0，n）的概率为P n，求：（1）求P1和P2的值．（2）求证：P n+2=P n+P n+1．（3）求P n的表达式．（四）数列和三角函数综合11．已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、B n（n，y n）（n∈N）顺次为一次函数图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、A n（x n，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A n、B n、A n+1构成一个顶角的顶点为B n的等腰三角形．（1）求数列{y n}2的通项公式，并证明{y n}3是等差数列；（2）证明x n+2﹣x n5为常数，并求出数列{x n}6的通项公式；（3）问上述等腰三角形A n8B n9A n+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．12．设数列{a n}是首项为0的递增数列，（n∈N），，x∈[a n，a n+1]满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根．（1）试写出y=f1（x），并求出a2；（2）求a n+1﹣a n，并求出{a n}的通项公式；（3）设S n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+（﹣1）n﹣1a n，求S n．13．（理）已知复数，其中A，B，C是△ABC的内角，若．（1）求证：；（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求的最大值．（五）数列和解析几何综合14．在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2）…，P n（x n，y n），…，（n∈N*），点P n在函数y=x2（x≥0）的图象上，以点P n为圆心的圆P n与x轴都相切，且圆P n与圆P n+1又彼此外切．若x1=1，且x n+1＜x n x1=1．（I）求数列{x n}的通项公式；（II）设圆P n的面积为S n，，求证：．15．已知点P n（a n，b n）满足，且．（1）求点P1坐标，并写出过点P0，P1的直线L的方程；（2）猜测点P n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；（3）求数列{a n}与{b n}的通项公式，并求的最小值（其中O为坐标原点，n∈N*）．16．如图，在直角坐标系xOy中，有一组底边长为a n的等腰直角三角形A n B n C n（n=1，2，3，…），底边B n C n依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B1的坐标为（0，b），b＞0．（1）若A1，A2，A2，…，A n在同一条直线上，求证：数列{a n}是等比数列；（2）若a1是正整数，A1，A2，A2，…，A n依次在函数y=x2的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于，求数列{a n}的通项公式．17．已知点P n（a n，b n）满足，且．（1）求点P1坐标，并写出过点P0，P1的直线L的方程；（2）猜测点P n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；（3）求数列{a n}与{b n}的通项公式（n∈N*）．答案与评分标准1．已知数列{a n}中，，且当时，函数取得极值．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足：b1=2，，证明：是等差数列，并求数列{b n}的通项公式通项及前n项和S n．考点：数列与函数的综合；等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式。

数列综合经典练习题（含详解答案）一、选择题1.已知等差数列{}n a 中79416,1,a a a +==则12a 的值是( ) A ．15B ．30C ．31D ．642.如果等差数列{}n a 中，，34515a a a ++=，那么127a a a +++=（ )A.14B.21C.28D.353.已知首项为正数的等差数列{}n a 满足:20052006200520060,.0a a a a +><.则使0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A. 4009B.4010C. 4011D.4012 4.在等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和,若34825a a a ++=,则9S = ( ) A.60 B.75 C.90 D.1055.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,且关于x 的方程21320a x a x a -+=有两个相等的实根,则93S S 的值为( ) A.27B.21C.14D.56.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则13141516a a a a +++=( ) A.12B.8C.20D.167.若数列{}n a 的首项112a =,且*1(1)(N )n n n a a a n +=+∈,则200300a a =( )A.32B.23 C.201301D.3012018.古时有如下问题:今有肖司差夫一丁八万六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.其大意为:官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,每个修筑堤坝的人每天分发到3升大米.在该问题中第三天共发了大米( ) A. 234升B.405升C. 639升D.894升9.一个有限项的等差数列，前4项的和为40,最后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为( ) A.12B.14C.16D.1810.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为( ) A.-3B.-5C.-6D.-911.在等比数列{}n a 中，已知151,20192019a a ==,则3a =( ) A.1B.3C.±1D.±312.设{}n a 是首项为1a ,公差为2-的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A.2B.-2C.1D.-113.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,103010,130S S ==,则40S =( ) A.-510B.400C.400或-510D.30或4014.已知数列{}n a 是等比数列，2511,8a a ==，则*12231...(N )n n a a a a a a n ++++∈的最小值为( ) A.83B.1C.2D.315.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1111,(N )3n n a S a n +==∈,则7a =( ) A. 74B. 534⨯C.634⨯D. 641+16.已知等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，则5a =( ) A ．2±B ．2C ．2-D ．417.已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则20192014a a = （ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．3或618.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a -=.若存在两项,m n a a14a =，则9n mmn +的最小值为( )A ．83 B ．114 C ．145 D ．17619.2+2的等比中项是（ ） A ．1 B ．2 C ．1± D ．2±20.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A.253 B. 503 C. 507D. 100721.若1既是2a 与2b 的等比中项,又是1a 与1b 的等差中项,则22a ba b++的值是（ ） A ．1或12B ．1或12-C ．1或13D ．1或13-22.如果等差数列{}n a 中34512a a a ++=，那么7S =( ) A.28 B.21 C.35D.14二、填空题23.在等比数列{}n a 中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 . 24.设数列{}n a 是递减的等比数列,且满足2712a a =,3694a a +=,则1232n a a a a ⋅⋅⋅的最大值为__________.25.已知等比数{}n a 中, 171,2727a a ==,求n a = 26.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,13n n a S +=,*N n ∈,则n a =_____________. 27.设数列{}n a 满足121,3a a ==,且112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥，则20a 的值为___________.28.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*2log (1)1(N )n S n n +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为___________.29.等比数列{}n a 的公比大于1，514215,6a a a a -=-=，则3a =_______. 三、解答题30.已知数列{}n a 是等差数列，且1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根. 1.求数列{}n a 的前n 项和n S ; 2.在1中，设n n S b n c =+，求证:当12c =-时，数列{}n b 是等差数列.31.已知等差数列{}n a 中，1242,16a a a =+=. 1.设2n an b =，求证:数列{}n b 是等比数列； 2.求{}n n a b +的前n 项和.32.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足443321,21S a S a =-=-. 1.求{}n a 的通项公式； 2.记161n n b S =+,求12...n b b b +++的最大值. 参考答案一、选择题1.答案：A 解析：2.答案：D 解析：3.答案：B解析：由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数, 则()()40101401020052006200520050S a a a a =+=+>,14011401120064011()401102a a S a +==<故n 的最大值为4010. 故选B 4.答案：B解析：因为等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和, 348153(4)325a a a a d a ++=+==,所以131225a d +=,所以512543a a d =+=,所以()9195925997523S a a a =+==⨯=.故选B. 5.答案：B解析：因为{}n a 为等比数列,所以23211,a aq q a a ==,故原方程可以化为220x q x q -+=.又该方程有两个相等的实数根,故440q q -=,解得0q =（舍）或34q =，所以9933116421114S q S q --===--,故选B. 6.答案：C解析：∵4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列,∴由4848,12S S S =-=,得128161216,20S S S S -=-=,即1314151620a a a a +++=.故选C.7.答案：D解析：由1(1)n n n a a a +=+,得11n n n n a a a a ++-=且0n a ≠,所以1111n n a a +-=,即1{}na 是以2为首项,1为公差的等差数列,所以11nn a =+,所以20030011201,301a a ==，从而200300301201a a =. 8.答案：C解析：根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ,它是首项164a =,公差为7的等差数列,则第二天派出的人数为2a ,且264771a =+=,第三天派出的人数为3a ,且3642778a =+⨯=.又每人每天分发到3升大米,则第三天共分发大米(647178)3639++⨯=(升)，故选C.9.答案：B解析：设等差数列共有n 项,记该数列为{}n a , 则123440a a a a +++=,12380n n n n a a a a ---+++=, 相加得14()120n a a +=,所以130n a a +=.1()152102n n n a a S n +===,解得14n =.故选B. 10.答案：D解析：由112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥,后式减前式知12,3m m a a +==.设等差数列{}n a 的公差为d,则1d =.∵0m S =,∴12m a a =-=-,则3n a n =-,(5)2n n n S -=,2(5)2n n n nS -=.设22(5)3(),0,'()5,022x x f x x f x x x x -=>=->, 则当1003x <<时, ()f x 单调递减,当103x >时, ()f x 单调递增, ∴()f x 的极小值点为103x =,在此处()f x 取得最小值. 又(3)9,(4)8f f =-=-,∴n nS 的最小值为-9,故选D. 11.答案：A解析：由等比数列的性质可得23151201912019a a a ==⨯=,解得31a =±.又2310a a q =>,所以31a =.故选A.解析：由题意得111212(1),,22n a a n S a S a =--==-,41412S a =-.∵124,,S S S 成等比数列,∴2111(22)(412)a a a -==-,解得11a =-.故选D.13.答案：B解析：设等比数列{}n a 公比为q,∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,∴10201030204030,,,S S S S S S S ---也成等比数列,∴21030202010()()S S S S S -=-，即2202010(130)(10)S S -=-,解得2040S =或2030S =-.∵10100S =>,10201030203,90S S q S S =+=-=,4030270S S -=,∴40400S =.故选B.14.答案：C解析：由已知得数列{}n a 的公比满足35218a q a ==,解得12q =,∴1312,2a a ==,∴数列1{}n n a a +是以2为首项,公比为231214a a a a =的等比数列.由于数列1{}n n a a +各项均为正,∴12231...n n a a a a a a ++++的最小值为122a a =.故选C.15.答案：B 解析：由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=≥,两式相减可得111,233n n n a a a n +=-≥,即14,2n n a a n +=≥.又113n n S a +=,所以2133a S ==,所以数列{}n a 是从第2项起的等比数列,公比为4.所以72572434a a -==⨯,故选B.16.答案：B 解析： 17.答案：B 解析： 18.答案：B 解析： 19.答案：C 解析： 20.答案：D 解析： 21.答案：D 解析：解析：二、填空题 23.答案：4解析：24.答案：64 解析：25.答案：43n n a -=或()43.n n a -=--解析： 26.答案：21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩解析：当1n =时,211333a S a ===. 当2n ≥时,∵13n n a S +=,∴13n n a S -=,两式相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-=,即14n n a a +=,当2n ≥时,{}n a 是以3为首项,4为公比的等比数列,得234n n a -=⨯.综上,21,134,2n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩. 27.答案：245解析：因为112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥,所以数列{}n na 为等差数列,首项为1,公差为2125a a -=.所以1(1)554n na n n =+-⨯=-,则204245,54205n n a a =-=-=. 28.答案：3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩解析：由2log (1)1n S n +=+,得112n n S ++=.当1n =时, 113a S ==;当2n ≥时,12n n n n a S S -=-=.则数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.29.答案：4 解析：三、解答题30.答案：1.解方程2650x x -+=得其两个根分别为1和5, ∵1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根,∴121,5a a ==,∴等差数列{}n a 的公差为4, ∴2(1)1422n n n S n n n -=⋅+⋅=-. 2.当12c =-时, 22212n n S n n b n n c n -===+-, ∴112(1)22,2n n b b n n b +-=+-==, ∴{}n b 是首项为2,公差为2的等差数列. 解析：31.答案：1.设等差数列{}n a 的公差为d .由2416a a +=可得11()(3)16a d a d +++=,即12416a d +=. 又12a =,可得3d =.故1(1)2(1)331n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 依题意, 312n n b -=,因为3231312282n n n n b b ++-===(常数),所以{}n b 是首项为4，公比为8的等比数列. 2.因为{}n a 的前n 项和为1()(31)22n n a a n n ++=, {}n b 的前n 项和为313324221421877n n -+-⋅=⋅--.所以{}n n a b +的前n 项和为32(31)142277n n n +++⋅-. 解析：32.答案：1.设等比数列{}n a 的公比为q , 由434S S a -=得43422a a a -=, 所以432a a =,所以2q =. 又因为3321S a =-,所以11112481a a a a ++=-,所以11a =.所以12n n a -=.2.由1知122112nn n S -==--,所以416()2821n n n b n S -===-+,所以12n n b b +-=-,所以{}n b 是首项为6,公差为-2的等差数列, 所以12346,4,2,0b b b b ====,当5n ≥时, 0n b <,所以当3n =或4n =时, 12...n b b b +++有最大值,且最大值为12. 解析：。