四川省古蔺县中学高三数学 5.2数列综合应用复习学案

2024届高三数学二轮专题复习教案——数列一、教学目标1.知识目标掌握数列的基本概念、性质和分类。

熟练运用数列的通项公式、求和公式。

能够解决数列的综合应用题。

2.能力目标提高学生分析问题和解决问题的能力。

培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

二、教学内容1.数列的基本概念数列的定义数列的项、项数、通项公式数列的分类2.数列的性质单调性周期性界限性3.数列的求和等差数列求和公式等比数列求和公式分段求和4.数列的综合应用数列与函数数列与方程数列与不等式三、教学重点与难点1.教学重点数列的基本概念和性质数列的求和数列的综合应用2.教学难点数列求和的技巧数列与函数、方程、不等式的综合应用四、教学过程1.导入新课通过讲解一道数列的典型例题，引导学生回顾数列的基本概念、性质和求和公式，为新课的学习做好铺垫。

2.数列的基本概念（1）数列的定义：按照一定规律排列的一列数叫做数列。

（2）数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项。

（3）数列的项数：数列中项的个数。

（4）数列的通项公式：表示数列中任意一项的公式。

（5）数列的分类：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

3.数列的性质（1）单调性：数列的项随序号增大而增大或减小。

（2）周期性：数列中某些项的值呈周期性变化。

（3）界限性：数列的项有最大值或最小值。

4.数列的求和（1）等差数列求和公式：S_n=n/2(a_1+a_n)（2）等比数列求和公式：S_n=a_1(1q^n)/(1q)（3）分段求和：根据数列的特点，将数列分为若干段，分别求和。

5.数列的综合应用（1）数列与函数：利用数列的通项公式研究函数的性质。

（2）数列与方程：利用数列的性质解决方程问题。

（3）数列与不等式：利用数列的性质解决不等式问题。

6.课堂练习（2）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2+n，求证数列{a_n}为单调递增数列。

（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2n+1，求证数列{a_n}为等差数列。

第六节数列的综合应用【核心考点·分类突破】考点一等差、等比数列的综合问题(规范答题)[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{a n}的公差为d,且d>1,令b n=2+,记S n,T n分别为数列{a n},{b n}的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{a n}的通项公式;(2)若{b n}为等差数列,且S99-T99=99,求d.审题导思破题点·柳暗花明(1)思路:根据等差数列的定义,灵活运用给定的条件,即可得到所求等差数列的通项公式;同时帮助学生理解题设条件,以顺利进入第(2)问的情境.(2)思路:所给题设条件“{b n}为等差数列”要求学生能够灵活转化为求解数列{a n}中公差与首项的关系,可以采用通性通法来解答.规范答题微敲点·水到渠成【解析】(1)因为3a2=3a1+a3,所以3d=a1+2d,解得a1=d,[1分]关键点根据已知条件,列方程求出首项a1和公差d的关系.所以S3=3a2=3(a1+d)=6d,又T3=b1+b2+b3=2+3+4=9,所以S3+T3=6d+9=21,即2d2-7d+3=0,解得d=3或d=12(舍去),[3分]所以a n=a1+(n-1)d=3n,所以的通项公式为a n=3n.[4分]阅卷现场(1)没有过程,只有a n=3n得1分;(2)结果正确时漏写a1=d不扣分;(3)d=12漏舍只得1分.(2)因为b n=2+,且为等差数列,所以2b2=b1+b3,即122=21+123,[6分]所以61+-11=61+2,所以12-3a1d+2d2=0,解得a1=d或a1=2d.[8分]传技巧取的前3项,利用等差中项2b2=b1+b3,得到首项a1和公差d之间的关系.解法一:①当a1=d时,a n=nd,所以b n=2+=2+B=r1,S99=99(r99)=99×50d,T99=99×51.因为S99-T99=99,所以99×50d-99×51=99,关键点利用S99-T99=99,列出关于d的方程,结果注意d>1.即50d2-d-51=0,解得d=5150或d=-1(舍去).[10分]②当a1=2d时,a n=(n+1)d,所以b n=2+=2+(r1)=,避易错讨论另一种情况,不可遗漏.S99=99(2r100)=99×51d,T99=99×50.因为S99-T99=99,所以99×51d-99×50=99,即51d2-d-50=0,解得d=-5051(舍去)或d=1(舍去).[11分]综上,d=5150.[12分]解法二:因为S99-T99=99,由等差数列的性质知,且99a50-99b50=99,即a50-b50=1,传技巧利用等差数列的性质,可以简化运算过程.列方程求出a50,注意由d>1可知a n>0.所以a50-255050=1,即a502-a50-2550=0,解得a50=51或a50=-50(舍去).[10分]①当a1=d时,a50=a1+49d=50d=51,解得d=5150.②当a1=2d时,a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,与d>1矛盾,应舍去.[11分]综上,d=5150.[12分]解法三:因为,都是等差数列,且a nb n=n(n+1),=B=1(+1).[8分]所以可设=1(+1)=B或敲黑板构造新数列要考虑全面,少写一组不得分.(i)当a n=1(n+1),b n=kn时,S99-T99=1(2+3+…+100)-k(1+2+…+99)=99,即50k2+k-51=0,解得k=-5150或k=1,因为d=k>1,所以均不合题意.[10分](ii)当a n=kn,b n=1(n+1)时,S99-T99=k(1+2+…+99)-1(2+3+…+100)=99,即50k2-k-51=0,解得k=5150或k=-1.因为d=k>1,所以k=5150,所以d=5150.[12分]拓思维高考命题强调“多思考,少运算”的理念,试题面向全体学生,为考生搭建展示数学能力的平台.本解法根据给出的条件,巧妙的构造新的数列,突破常规解法,灵活运用数列知识,解题方法“高人一招”,解题速度“快人一步”.【解题技法】等差、等比数列综合问题的求解策略1.基本方法:求解等差、等比数列组成的综合问题,首先要根据数列的特征设出基本量,然后根据题目特征使用通项公式、求和公式、数列的性质等建立方程(组),确定基本量;2.基本思路:注意按照顺序使用基本公式、等差中项、等比中项以及证明数列为等差、等比数列的方法确定解题思路.【对点训练】(2022·全国甲卷)记S n为数列{a n}的前n项和.已知2+n=2a n+1.(1)证明:{a n}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求S n的最小值.【解析】(1)由2+n=2a n+1,得2S n+n2=2a n n+n①,所以2S n+1+(n+1)2=2a n+1(n+1)+(n+1)②,②-①,得2a n+1+2n+1=2a n+1(n+1)-2a n n+1,化简得a n+1-a n=1,所以数列{a n}是公差为1的等差数列.(2)由(1)知数列{a n}的公差为1.由a4,a7,a9成等比数列,得72=a4a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,所以S n=-12n+(-1)2=2-252=12(n-252)2-6258,所以,当n=12或n=13时,(S n)min=-78.考点二数列与函数、向量的综合[例2](1)(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)=13x3+4x,记等差数列{a n}的前n项和为S n,若f(a1+2)=100,f(a2022+2)=-100,则S2022等于()A.-4044B.-2022C.2022D.4044【解析】选A.因为f(-x)=-13x3-4x=-f(x),所以f(x)是奇函数,因为f(a1+2)=100,f(a2022+2)=-100,所以f(a1+2)=-f(a2022+2),所以a1+2+a2022+2=0,所以a1+a2022=-4,所以S2022=2022(1+2022)2=-4044.(2)数列满足a1=1,a2=5,若m=1,r1+1,n=+r2,-2,m·n=0,则数列的通项公式为________.【解析】由已知m·n=0,得1×+r2-2r1+1=0,即r2-r1-r1-=2,则r1-是首项为a2-a1,公差为2的等差数列,则a n+1-a n=2-1+-1×2=2+1,于是a n=--1+-1--2+…+2-1+a1=2n+2-1+…+2×2+1=2+-1+…+2+1=n2+n-1.答案:a n=n2+n-1【解题技法】数列与函数、向量的综合问题的求解策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题;(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形;(3)涉及数列与三角函数有关的问题,常利用三角函数的周期性等特征,寻找规律后求解;(4)涉及数列与向量有关的综合问题,应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式求解.【对点训练】1.已知数列{a n}满足a n+2-a n+1=a n+1-a n,n∈N*,且a5=π2,若函数f(x)=sin2x+2cos22,记y n=f(a n),则数列{y n}的前9项和为()A.0B.-9C.9D.1【解析】选C.由题意知数列{a n}是等差数列.因为a5=π2,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π.f(x)=sin2x+2cos22,所以f(x)=sin2x+cos x+1,所以f(a1)+f(a9)=sin2a1+cos a1+1+sin2a9+cos a9+1=2.同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2.因为f(a5)=1,所以数列{y n}的前9项和为9.2.数列{a n}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为________.【解析】因为a4+λa10+a16=15,所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=151+9-2,因为d∈[1,2],所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=15-2.当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数,故当t=10时,实数λ有最大值,最大值为f(10)=-12.答案:-12考点三数列与不等式的综合【考情提示】数列不等式作为考查数列综合知识的载体,因其全面考查数列的性质、递推公式、求和等知识而成为高考命题的热点,重点考查不等式的证明、参数范围、最值等.角度1数列中的最值[例3]公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m,a n满足a m a n=1612,则1+4的最小值为()A.32B.53C.43D.1310【解析】选A.由等比数列的通项公式知a m=a1×2m-1,a n=a1×2n-1,由a m a n=1612,可得12×2m+n-2=1612,易知a1≠0,故2m+n-2=16,解得m+n=6,则1+4=16(m+n)·(1+4)=16(1+4++4)≥16(5+2)=32(当且仅当m=2,n=4时取等号).角度2数列中的不等式证明[例4](2023·宁德模拟)已知数列,满足b n=a n+n2,a1+b1=3,a2+b2=8,且数列是等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)n项和为S n,求证:12≤S n<1.【解析】(1)由b n=a n+n2得b1=a1+1,b2=a2+4,代入a1+b1=3,a2+b2=8得2a1+1=3,2a2+4=8,解得a1=1,a2=2.又因为数列为等差数列,故公差为d=a2-a1=1,因此a n=n,b n=n+n2.(2)由(1)可得b n=n+n2,所以1=1r2=1-1r1,所以S n=11+12+13+…+1=(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1-1r1)=1-1r1,又因为n∈N*,所以0<1r1≤12(n=1时等号成立),所以12≤1-1r1<1,即12≤S n<1.角度3数列中的不等式恒成立[例5]已知数列{a n}的通项公式为a n=5-n,其前n项和为S n,将数列{a n}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项,记{b n}的前n项和为T n.若存在m∈N*,使对任意n∈N*,S n≤T m+λ恒成立,则实数λ的取值范围是()A.[2,+∞)B.(3,+∞)C.[3,+∞)D.(2,+∞)【解析】选D.依题意得S n=(4+5-)2=(9-)2,根据二次函数的性质知,当n=4,5时,S n 取得最大值为10.另外,根据通项公式得数列{a n}的前4项为a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,观察易知抽掉第二项后,余下的三项可组成等比数列,所以数列{b n}中,b1=4,公比q=12,所以T n=4(1-12)1-12=8(1-12),所以4≤T n<8.因为存在m∈N*,对任意n∈N*,S n≤T m+λ恒成立,所以10<8+λ,所以λ>2.【解题技法】数列与不等式交汇问题的解题策略(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.(2)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.(3)数列中有关项或前n 项和的恒成立问题,常转化为数列的最值问题;求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.【对点训练】1.(2023·重庆模拟)设a >0,b >0,若3是3a 与9b 的等比中项,则1+2的最小值为()A .92B .3C .32+2D .4【解析】选A .因为3是3a 与9b 的等比中项,所以32=3a ·9b =3a +2b ,所以a +2b =2,所以1+2=12·(1+2)·(a +2b )=12(5+2+2)≥12·(5+2)=92,当且仅当a =b =23时取等号.2.数列{a n }满足a 1=14,a n +1=14-4,若不等式21+32+…+r2r1<n +λ对任何正整数n 恒成立,则实数λ的最小值为()A .74B .34C .78D .38【解析】选A .因为数列{a n }满足a 1=14,a n +1=14-4,所以反复代入计算可得a 2=26,a 3=38,a 4=410,a 5=512,…,由此可归纳出通项公式a n =2(r1),经验证,成立,所以r1=1+1(r2)=1+12(1-1r2),所以21+32+…+r2r1=n +1+12(1+12-1r2-1r3)=n +74-12(1r2+1r3).因为要求21+32+…+r2r1<n +λ对任何正整数n 恒成立,所以λ≥74.3.(2023·南京模拟)已知数列的前n 项和为S n ,a 1=2,(n -2)S n +1+2a n +1=nS n ,n ∈N *.(1)求数列的通项公式;(2)求证:112+122+…+12<716.【解析】(1)(n -2)S n +1+2a n +1=nS n ,则(n -2)S n +1+2(S n +1-S n )=nS n ,整理得到nS n +1=(n +2)S n ,故r1(r1)(r2)=(r1),,故(r1)=11×2=1,即S n=n(n+1).当n≥2时,a n=S n-S n-1=n(n+1)-n(n-1)=2n,验证当n=1时满足,故a n=2n,n∈N*.(2)12=142<142-1=12(12-1-12r1),故112+122+…+12<14+12(13-15+15-17+…+12-1-12r1)=14+12(13-12r1)<14+12×13=512<716.考点四数列在实际问题中的综合应用[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为B1B1=0.5,B1B1=k1,B1B1=k2,B1B1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【解析】选D.设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,依题意,有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2,且B1+B1+B1+B1B1+B1+B1+B1=0.725,所以0.5+33-0.34=0.725,故k3=0.9.(2)据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养5年后,鱼的质量预计为原来的t倍.下列选项中,与t值最接近的是()A.11B.13C.15D.17【解析】选B.设鱼原来的质量为a,饲养n年后鱼的质量为a n,q=200%=2,则a1=a(1+q),a2=a1(1+2)=a(1+q)(1+2),…,a5=a(1+2)×(1+1)×(1+12)×(1+122)×(1+123)=40532a≈12.7a,即5年后,鱼的质量预计为原来的13倍.【解题技法】数列在实际应用中的常见模型等差模型如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差等比模型如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比模型,这个固定的数就是公比递推数列模型如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑考查的是第n项a n与第(n+1)项a n+1(或者相邻三项等)之间的递推关系还是前n项和S n 与前(n+1)项和S n+1之间的递推关系【对点训练】1.(2023·武汉模拟)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献,他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》,该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为2,3,6,11,则该数列的第15项为()A.196B.197C.198D.199【解析】选C.设该数列为,则a1=2,a2=3,a3=6,a4=11.由二阶等差数列的定义可知,a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…所以数列r1-是以a2-a1=1为首项,公差d=2的等差数列,即a n+1-a n=2n-1,所以a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,a n+1-a n=2n-1.将所有上式累加可得a n+1=a1+n2=n2+2,所以a15=142+2=198,即该数列的第15项为198.2.(2023·深圳模拟)将一个顶角为120°的等腰三角形(含边界和内部)的底边三等分,挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形,得到与原三角形相似的两个全等三角形,再对余下的所有三角形重复这一操作.如果这个操作过程无限继续下去,最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线,如图所示.已知最初等腰三角形的面积为1,则经过4次操作之后所得图形的面积是()A.1681B.2081C.827D.1027【解析】选A.根据题意可知,每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的13,所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的23,由此可得,第n次操作之后所得图形的面积是,即经过4次操作之后所得图形的面积是=1681.。

四川省古蔺县中学高三数学复习学案：5.1等差数列与等比数列【知识特点】（1）数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容；（2）数列具有函数特征，又能构成独特的递推关系，故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系，因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇，考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力，呈现出综合性强、立意新的特点；（3）数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识，突出了“小、巧、活”的特点，也提供了知三求二的理论依据；（4）数列的规律性较强，学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。

【重点关注】（1）要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念，掌握各公式之间的联系和内在规律，掌握公式的灵活运用，甚至要灵活地回归定义，巧用性质，使运算更简捷；（2）要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题；（3）本章另一重点是由递推公式得出数列，以及数列的前n项和Sn与通项之间的关系。

体现了由特殊到一般的思维规律；（4）与数列有关的应用题也是高考考查的重点，特别是数列建模问题；（5）数列证明问题与数学归纳法的联系。

【地位和作用】数列是函数大家庭中的一员，其特殊性在于其定义域是正整数，它是按一定次序排列的一列数，数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，因此历年的高考中占有较大的比重，在选择、填空题中，突出“小、巧、活”的特点。

递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力，由给出的前若干项及an与an+1的关系式得到的数列叫递推数列，该关系式叫递推公式。

高考命题中数列善于占有重要一席，而运用递推式是解题的起点。

对于本章而言，从新课改近几年各省份的高考信息可以看出，高考命题呈现出以下几个特点：1、考查题型较为全面。

选择、填空、解答均有所考查，一般一小一大，分值占10%，其中解答题难度较大；2、重点考查等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式，注重在知识的交汇处命题，如数列与函数、方程、不等式等知识的综合应用。

第5讲数列的综合应用A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知{a n}为等比数列．下面结论中正确的是()．A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a21＋a23≥2a1a3＝2a22.答案 B2．满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是()．A．9 B．10 C．11 D．12解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，所以a n＋1＝2a n，a n＝2n－1，S n＝2n－1，则满足S n>1 025的最小n值是11.答案 C3．(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()．A．5年B．6年C．7年D．8年解析由已知可得第n年的产量a n＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令a n≥150⇒n≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案 C4．(2013·福州模拟)在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 设公差为d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－433a 1>0，所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值． 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·安庆模拟)设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． 解析 由x 2－x ＜2nx (n ∈N *)，得0＜x ＜2n ＋1，因此知a n ＝2n . ∴S 100＝100(2＋200)2＝10 100.答案 10 1006．(2013·南通模拟)已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数列，则a x ＋cy ＝________.解析 赋值法．如令a ，b ，c 分别为2,4,8，可求出x ＝a ＋b 2＝3，y ＝b ＋c2＝6，a x ＋c y ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)7．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13. (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝4a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝4a 2n －1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.8．(13分)(2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列． (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.(1)解 当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，③由①②③解得a 1＝1.(2)解 ∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列，∴a n 2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式，∴a n ＝3n －2n . (3)证明 由(2)得1a n＝13n －2n. 当n ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n >2，即3n －2n >2n ，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·济南质检)设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )．A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析 由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)， 则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n . 答案 A2．(2012·四川)设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )．A ．0B.116π2C.18π2D.1316π2解析 设g (x )＝2x ＋sin x ，由已知等式得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－π2＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－π2＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－π2＝0，则必有a 3－π2＝0，即a 3＝π2(否则若a 3－π2＞0，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4－π2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π2＞0，注意到g (x )是递增的奇函数，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π2＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－π2＞g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－π2＝－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－π2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－π2＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－π2＞0，同理g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－π2＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4－π2＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－π2＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－π2＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－π2＞0，这与“g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－π2＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－π2＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－π2＝0”相矛盾，因此a 3－π2＞0不可能；同理a 3－π2＜0也不可能)；又{a n }是公差为π8的等差数列，a 1＋2×π8＝π2，a 1＝π4，a 5＝3π4，f (a 3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－cos π2＝π，[f (a 3)]2－a 1a 5＝1316π2，选D. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99的值为________．解析 由y ′＝(n ＋1)x n (x ∈N *)，所以在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，故切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1，令y ＝0得x n ＝nn ＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg x 1＋lg x 2＋…＋lg x 99＝lg(x 1·x 2·…·x 99)＝lg 12×23×…×9999＋1＝lg 199＋1＝－2. 答案 －24．(2012·沈阳四校联考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，有如下运算和结论：①a 24＝38；②数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n4； ④若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝57.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)解析 依题意，将数列{a n }中的项依次按分母相同的项分成一组，第n 组中的数的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分母均是n ＋1，分子由1依次增大到n ，第n 组中的各数和等于1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n2.对于①，注意到21＝6(6＋1)2<24<7(7＋1)2＝28，因此数列{a n }中的第24项应是第7组中的第3个数，即a 24＝38，因此①正确． 对于②、③，设b n 为②、③中的数列的通项，则b n ＝ 1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n2，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n 项和等于12×n (n ＋1)2＝n 2＋n4，因此②不正确，③正确．对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于62＋64＝1012，因此满足条件的a k 应是第6组中的第5个数，即a k ＝57，因此④正确．综上所述，其中正确的结论有①③④. 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T nK n ，求证：c n ＋1>c n (n ∈N *)．(1)解 设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝14，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2， 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2.又a 1＝2，d ＝1，所以a 3＝4，即b 2＝4. 所以数列{b n }的首项为b 1＝2，公比q ＝b 2b 1＝2，所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明 因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ， ① 故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，②①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1， ∴K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n＝(n ＋3)(2n －1)2n ＋1.c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0，所以c n ＋1>c n (n ∈N *)．6．(13分)(2012·重庆)设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0. (1)求证：{a n }是首项为1的等比数列；(2)若a 2＞－1，求证：S n ≤n2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件． 证明 (1)由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1， 即a 2＝a 2a 1.因a 2≠0，故a 1＝1，得a 2a 1＝a 2，又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1， 两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )，即a n ＋2＝a 2a n ＋1，由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此a n ＋2a n ＋1＝a 2.综上，a n ＋1a n ＝a 2对所有n ∈N *成立．从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列．(2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n2(a 1＋a n )，等号成立．设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知，a 1＝1，a n ＝a n －12，所以要证的不等式化为：1＋a 2＋a 22＋…＋a n －12≤n 2(1＋a n －12)(n ≥3)， 即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2≤n ＋12(1＋a n 2)(n ≥2)， 当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r 2－1，(r ＝1,2，…，n －1)同为负； 当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r 2－1，(r ＝1,2，…，n －1)同为正；因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r 2－1)＞0，即a r 2＋a n －r 2＜1＋a n 2，(r＝1,2，…，n －1)．上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n 2)．由此得1＋a 2＋a 22＋…＋a n2＜n ＋12(1＋a n2)． 综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立.。

高三数学一轮 5.2 数列的综合应用精品复习学案【高考目标导航】一、数列求和1、考纲点击（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式；（2）掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

2、热点提示（1）以考查等差数列、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想；（2）对非等差数列、等比数列的求和，主要考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力；（3）数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题。

二、数列的综合应用1、考纲点击能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题；2、热点提示（1）数列的综合应用常以递推关系为背景,考查等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化、化归能力，如与函数、不等式、解析几何等交汇考查；（3）各种题型都有可能出现。

【考纲知识梳理】一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n 项和公式：（2）一些常见的数列的前n 项和： ○1(1)12342n n n ++++++=； ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=； ○32462(1)n n n ++++=+； ○4213521n n ++++-=；○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。

2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； 注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

人教A版必修5高三年级复习“数列的实际应用”教学设计三溪中学数学组林爱武一、内容和内容解析必修5第二章《数列》这章中通过资产折旧、购房贷款、出租车计费、校校通等问题注重了数列知识在解决实际问题中的应用，体现了数列的应用性。

高三第一轮复习时，本节的教学内容是继续深化应用数列知识建立数学模型解决实际生活中的问题。

以往数列的内容比较注重数列中各量之间关系的恒等变形。

本模块中，对数列内容的处理突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系。

数列是一种离散函数，它是一种重要数学模型。

日常生活中遇到的许多问题，如贷款、利率、折扣、人口的增长、放射性物质的衰变等都可以用等差数列和等比数列来刻画。

普通高中《数学课程标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度。

这体现了新《课标》在内容处理上的一个原则：删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。

基于这样的原则，数列教学中要改变传统的纸上演化题型，花样翻新地搞偏题、怪题的做法，注重应用，关注学生对数列模型的本质的理解，以及运用数列模型解决实际问题的能力。

二、目标和目标解析1、通过学生熟悉的数学实例和生活实例，进一步理解数列的有关定义、公式，掌握建立数学模型（数列模型）解决数列实际应用问题的一般步骤与方法。

2、经历大量实例的解决，培养学生的归纳、猜想和推理能力以及应用函数与方程、化归和转化等数学思想解决实际问题的能力。

3、在展示数学实际问题和解决具体问题的过程中,体会数列在解决实际生活问题中的作用，培养学生的创新意识，提高学生学习数学的兴趣，激发学生热爱生活,并能用数学的观点和方法看待生活中存在的问题，能解决问题。

三、教学问题诊断分析1、本节教学中涉及到的都是实际生活中的问题，实际问题的特点是语句冗长、数据多、变量多数量关系隐蔽，问题提供的信息大都是“生活化”而非“数学化”的。

四川省古蔺县中学高中数学必修一第二章复习导学案
一、教学目标
1.了解本章知识网络结构.
2. 进一步熟悉指数、对数的运算.
3.熟悉指数函数、对数函数的概念、图象、性质及其应用。

二、教学重难点
1. 突出本章重、难点内容
2. 通过例题分析突出函数思想及数形结合思想
三、课时学法指导
老师引导，学生整理为主
四、预习案
完成任务情况自评：学科组长评价： .
1.任务布置：
（1）复习第二章知识，梳理出知识框架
（2）通过知识框架掌握①函数的三要素②函数的基本性质③会画函数的图象及了解函数变换
2.存在问题:
五、探究案:
1.参考大聚焦37页梳理框架：
2.做大聚焦38页例题.
六、训练案：第二章自我检测
七、反思与小结：。

数列的综合应用一、知识回顾1. 数列的概念，等差、等比数列的基本概念；2. 等差、等比数列的通项、前n 项和公式；3. 等差、等比数列的重要性质；4. 与数列知识相关的应用题；5. 数列与函数等相联系的综合问题。

二、基本训练1. 数列{}n a 中，12,a =12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩ 是奇是偶 ，则5a =。

2. 等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1311,,a a a 恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于。

3. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，若2110,m mm a a a -+-+=2138m S -=，则m = 。

4. 设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，且10b =，数列{}n c 的前三项依次是1,1,2，且n n n c a b =+，则数列{}n c 的前10项和为。

5. 如果函数()f x 满足：对于任意的实数a b 、，都有()()()f a b f a f b +=，且(1)2f =，则(2)(5)(9)(14)(1274)(1)(3)(6)(10)(1225)f f f f f f f f f f +++++=。

三、例题分析例1设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.例2 如图，64个正数排成8行8列方阵．符号(18,18,*)ij a i j i j N ≤≤≤≤∈、表示位于第i 行第j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q ．若1112a =，241a =，3214a =，（1）求{}ij a 的通项公式；（2）记第k 行各项和为k A ，求1A 的值及数列{}k A 的通项公式；（3）若1k A <，求k 的值。

数列的综合应用一、教学目标：能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比数列，并能用相关知识解决相应的问题。

二、教学重点：数列的综合应用三、教学难点：数列与不等式的综合运用四、教学过程：（一）考点知识点梳理1．等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的．2．数列和函数、不等式的综合(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次和二次函数．(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．3．数列的应用题(1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论．(2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n－1的递推关系，或前n项和S n与S n－1之间的递推关系．辨析感悟1．等差数列与等比数列的综合问题(1)在等差数列{a n}中，首项a1公差d、前n项和S n、通项a n、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个．(√)(2)在等比数列{a n }中，首项a 1、公比q 、前n 项和S n 、通项a n 、项数n ，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个．(√)(3)一个细胞由1个分裂为2个，则经过5次分裂后的细胞总数为63.(×) 2．增长率与存贷款利息问题(4)某厂生产总值月平均增长率为q ，则年平均增长率为12q .(×) (5)采用单利计息与复利计息的利息都一样．(×) [感悟·提升]1．一个区别 “单利计息”与“复利计息”单利计息属于等差数列模型，复利计息属于等比数列模型．复利也就是通常说的“利滚利”．计算本利和的公式是本利和＝本金×(1＋利率)存期，如(5)．2．一个防范 数列的实际应用问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解，如(3)、(4)．（二）典例分析考点一 等差、等比数列的综合问题【例1】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解 (1)设{a n }的公差为d .由题意，得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝－2或0(舍去)． 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .规律方法 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【训练1】 (2014·昆明模拟)已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解 (1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)·(a 7＋1) 得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)·(a 1＋13)解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)，1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 考点二 数列在实际问题中的应用【例2】 (2012·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．解 (1)由题意，得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ， a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)，得a n ＝32a n －1－d＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2.整理，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，得a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000. 解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 000(3m －2m ＋1)3m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 000(3m －2m ＋1)3m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．规律方法 用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．【训练2】 “十一”期间，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )．A ．211－47 B ．212－57 C ．213－68D ．214－80解析 由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构造以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ，第n 个30分钟内出来的人数为b n ，则a n ＝4×2n －1，b n＝n ，则上午11时30分公园内的人数为S ＝2＋4(1－210)1－2－10(1＋10)2＝212－57.答案 B考点三 数列与函数、不等式的综合应用【例3】 (2013·安徽卷)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .审题路线 (1)求f ′(x )⇒由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0得a n 、a n ＋1、a n ＋2的关系式⇒可推出数列{a n }为等差数列⇒根据条件求公差d ⇒得出通项a n .(2)由(1)知b n ⇒分组求和⇒得出前n 项和S n .解 (1)由题设可得，对任意n ∈N *，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x .f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1. (2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2， 知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .规律方法 解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．【训练3】 (2014·浙江五校联考)已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求证：{S n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a n ＝S n ＋S n －1，所以S n －S n －1＝S n ＋S n －1，即S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，得S n ＝n ， 所以a n ＝S n ＋S n －1＝n ＋(n －1)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合，所以a n＝2n －1.(2)因为1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15 ＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.∴T n ＜12， 要使不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，只需2≤a 2－a 恒成立，解得a ≤－1或a ≥2， 故实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．考点四（创新突破5）——数列中的新定义问题【典例】 (2012·湖北卷)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数；①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( )． A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④突破1：采用特殊化思想，选定a n 是关键． 突破2：逐一验证．解析 利用特殊化思想，选a n ＝2n 判定．不妨令a n ＝2n.①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝4n .显然{f (2n)}是首项为4，公比为4的等比数列． ②因为f (x )＝2x，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28， 所以f (a 2)f (a 1)＝2422＝4≠f (a 3)f (a 2)＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n＝(2)n. 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n ＝n ln 2.显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列，故应选C.答案 C[反思感悟] (1)本题解题的关键是抓住新定义中“对任意给定的等比数列{a n }”这一条件将问题特殊化，即取特殊的等比数列a n ＝2n ，可将问题迎刃而解．(2)对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．【自主体验】1．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.解析 由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n (c 1＋c n )2，前2n 项和为S 2n ＝2n (c 1＋c 2n )2，所以S 2n S n ＝2n (c 1＋c 2n )2n (c 1＋c n )2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－d nd .因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n为非零常数，所以d ＝4.答案 42．(2014·肇庆二模)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( )．A ．130B ．325C ．676D ．1 300解析 设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N *)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252×13＝676.答案 C五：课堂练习，定时训练：（选作）1、已知在等比数列{a n }中，11=a 且2a 是1a 和13-a 的等差中项. （1）、求数列{a n }的通项公式；（2）、若数列{b n }满足n n a n b +-=12 ，求 {b n }的前n 项和S n 。

四川省古蔺县中学高三数学复习学案：2.6函数应用【高考目标导航】一、函数与方程1、考纲点击（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。

2、热点提示（1）函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容，在近年的高考中一定有所体现。

（2）本节内容多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，不排除与其他知识，在知识交汇处命题。

二、函数模型及其应用1、考纲点击（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

2、热点提示（1）函数的模型及其应用是考查重点。

（2）现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长、减少问题，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模型等问题是重点，也是难点，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。

（3）题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现，但以解答题为主。

【考纲知识梳理】一、函数与方程1、函数的零点（1）函数零点的定义对于函数()()y f x x D=∈，把使()0f x=成立的实数x叫做函数()()y f x x D=∈的零点。

（2）几个等价关系方程()0f x=有实数根⇔函数()()y f x x D=∈的图象与x轴有交点⇔函数()()y f x x D=∈有零点注：①函数的零点不是函数()()y f x x D=∈与x轴的交点，而是()()y f x x D=∈与x轴的交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数。

②并非任意函数都有零点，只有()0f x=有根的函数()()y f x x D=∈才有零点。

（3）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数()()y f x x D =∈在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <g ，那么函数()()y f x x D =∈在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈（a,b ），使得f(c)=0，这个c 也就是()0f x =的根注：在上面的条件下，（a,b ）内的零点至少有一个c ，还可能有其他根，个数不确定。

高二数学导学案学生：姚嘉豪教学目标：1、掌握等差数列和等比数列的通项公式2 . 会求等差数列和等比数列的前n 项和3．能将数列与其他的数学知识有机结合在一起教学重点：已知递推关系求数列的通项和前n 项和。

根据题设信息，研究数列的有关性质。

数学归纳法的综合应用。

以数列为背景知识综合不等式问题。

解析几何背景下的数列问题（点列问题）。

以等差和等比数列两种基本数列为载体，考察数列的通项、求和等问题。

教学难点：会解答与数列有关的综合题并掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

等差数列的简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：课题名称高中数学章节学习时间2012 年 7 月 23日第 课时课型 不等式复习 课时3主备人 姚老师 审核人1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 等比数列简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.（Ⅰ）等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n ≠==若 求).,(表示用Q P S Q P +[解析]选择公式""2bn an S n +=做比较好，但也可以考虑用性质完成.[解法一]设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴+=bQ aQ QP bP aP P Q bn an S n 222,①②①－②得：,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQP Q ≠++-=-[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P +++=-=-∴>++ 21, （Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数. 函数与数列例题例1 已知当x ＝5时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx 取得最小值，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )，a 2＝－7.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝a n2n ，求T n .例2、已知函数()21,,f x x x a b =+-是方程()0f x =的两根()a b >，()'fx 是()f x 的导数，设()()()11'1,1,2,3...n n n n f a a a a n f a +==-= （1）求,a b 的值 （2）证明：对任意的正整数n ，都有n a a > （3）记()ln1,2,3...n n n a b n a ba-==-，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

高三第一轮复习课--数列综合应用（一）【知识梳理】1、等差数列的通项公式n a _________________前n 项和公式n S ___________2、等比数列的通项公式n a _________________前n 项和公式n S ___________3、数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系_______________4、画出《数列》一章的知识框图(思维导图).（请提前准备）【例题精讲】一、等差、等比数列的综合应用 【例1】（2016高考全国卷Ⅰ文17）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，,.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和.【例2】（2014高考大纲卷文17）数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.【练一练】（2018高考全国卷Ⅰ文17）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．二、数列的前n 项和n S 与通项公式n a 的关系应用 【例3】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【小试牛刀】（2017全国卷Ⅲ文17）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.【例4】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且对任意正整数n ，满足1220n n a S ++-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【变式】数列{}n a 的前n 项和记为n S ,1111,20n n n a a S S ++=+⋅=（1）求证数列1{}nS 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式（备用练习）已知等差数列{}n a 前5项和为50，722a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，131n n b S +=+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足12112nn nc c ca b b b+++⋅⋅⋅⋅+=,n *∈N ，求122018c c c +++ 的值.【颗粒归仓】基本知识基本技能基本思想方法【课后作业】1、【2017高考全国卷Ⅰ文17】记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知232,6S S ==-． （1）求{}n a 的通项公式;（2）求n S ,并判断1n S +,n S ,2n S +是否成等差数列.2、n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0>n a ，3422+=+n n nS a a . （1）求{}n a 的通项公式：（2）设11+=n n n a a b ,求数列{}n b 的前n 项和.3、已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，4a ，8a 成等比，且n n a S 5-的最小值为20-．（1）求n a ； （2）设211n nb a S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．。

数列的综合应用导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．自主梳理1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论．2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n .(2)分期付款中的有关规定①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同；③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．自我检测 1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．442．(2011·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于 ( )A.23B.32C ．－16D ．－563．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( )A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝12(3n－1)B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝12(3n－1)C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝12(3n－1)－2nD ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝12(3n－1)－2n4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是 ( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟5．(2011·台州月考)已知数列{a n }的通项为a n ＝n n 2＋58，则数列{a n }的最大项为( )A ．第7项B ．第8项C ．第7项或第8项D ．不存在6．(2011·南京模拟)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n2n ＋1，则log b 5a 5＝________.探究点一 等差、等比数列的综合问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .变式迁移1 假设a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足0<a 1<2，a 3＝4.若b n ＝2a n (n ＝1,2,3,4)．给出以下命题：①数列{b n }是等比数列；②b 2>4；③b 4>32；④b 2b 4＝256.其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 探究点二 数列与方程、函数、不等式的综合问题例2 (2011·温州月考)已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N *，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .变式迁移2 已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．探究点三 数列在实际问题中的应用例3 (2011·福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？变式迁移3 假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)1．数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，用数列知识求解．2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法：(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·湖北)已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8的值为 ( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 22．(2011·漳州模拟)数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 ( )A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1 000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为 ( )A ．1 001B ．991C ．999D ．990 4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( )A ．6秒B ．7秒C ．8秒D ．9秒5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于 ( )6．(2011·丽水月考)若数列{a n }的通项公式a n ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y ＝________.7．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.8．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 ……………………………………三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·湘潭模拟)已知点(1，13)是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？10．(12分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造．乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元．甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业．据预测，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上．若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？11．(14分)(2011·广东执信中学模拟)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12. (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n )f n ＋f n，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．答案 自主梳理 1．(4)n ＝1或n ≥2 自我检测1．C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.919课堂活动区例 1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.变式迁移1 D [设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．]例2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．(3)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，又b 1＝3＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n2n ＋1， ∵S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立．即9n 2n ＋1<m －2 0012， 又∵9n 2n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1递增，且9n 2n ＋1<92.∴m －2 0012≥92， 即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8， 解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2n.(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n.①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]．例3 解 依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300 ＝11 500，第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300， 依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n －300.下面构造一等比数列． 设a n ＋1＋x a n ＋x＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x . ∴0.18x ＝－300.∴x ＝－5 0003，即a n ＋1－5 0003a n －5 0003＝1.18.∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 0003＝29 5003. ∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1，∴a 12－5 0003＝29 5003×1.1811，∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811≈62 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元． 纯收入有a 12－10 000(1＋25%)＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200，S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1. 由题意可知a n >0.85b n ，即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85. 当n ＝5时，a 5<0.85b 5， 当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 课后练习区1．C 2.B 3.B 4.B 5.D 6．3 7.21 8.1079．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.…………………………………………………(1分)a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227；又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，n ∈N *；………………………………(3分)∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1＝S n ＋S n －1(n >2)，……………………………………………………………………(4分)又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n ∈N *.……………………………………………………………………(6分)(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.……………………………………………(10分) 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009，∴满足T n >1 0002 009的最小正整数为112.…………………………………………………(12分)10．解 设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(4分)当n ≥5时，B n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫325－132－1＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫324(n －5)－400＝81n －594，…………………………………………………………(8分)∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)令x ＝n ，y ＝1，得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，……………………………………………………………(2分)∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝(12)n.………………………………………………………………………………(5分)(2)记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n，……………………………………………………………………(6分)∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n，12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1， 两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1，整理得S n ＝2－(12)n －1－n (12)n<2.…………………………………………………………(9分)(3)∵f (n )＝(12)n ，而b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n2.…………………………………………………………………(11分)当n ≤8时，b n >0； 当n ＝9时，b n ＝0； 当n >9时，b n <0，∴n＝8或9时，S n取到最大值．……………………………………………………(14分)。

〖知识特点〗1、集合是高中数学家的起始章节，主要是强调其工具性和应用性。

另外，由于Venn 图的利用，数形结合思想的应用也很广泛。

2、常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具，以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主，属容易题目。

3、集合与常用逻辑用语与其他知识的联系也非常密切，常以本章知识为工具考查函数、方程、三角、解析几何、立体几何中的知识点。

〖重点关注〗1、集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。

2、对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。

3、全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点，正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关键。

4、本章内容为补集思想、正难则反思想提供了理论依据，同时也应注意这两种思想的应用。

〖地位与作用〗“集合与常用逻辑用语”这一章主要是讲述集合的初步知识与常用逻辑用语知识两部分，集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容。

这部分内容主要包括集合的有关概念、集合的表示、集合的基本关系及集合的基本运算。

常用逻辑用语知识则是新增内容，这部分主要是介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命题及其相互关系，全称量词和存在量词及含有它们的命题以及充要条件等有关知识。

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要基础，一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用，因此在历年高考中都有考查集合问题的题目。

一是考查集合的有关概念，集合之间的关系，集合的运算等；二是考查集合的工具性，主要考查集合语言的应用，集合思想的应用。

逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，学习数学，需要全面理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。

四川省古蔺县中学高三数学复习学案：第二章函数、导数及其应用【章节知识网络】【单元综合测试】一、选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分）2、(2011·南昌模拟)若关于x的方程|a x-1|=2a(a＞0,a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )(A)(0，1)∪(1，+∞) (B)(0,1)(C)(1,+∞) (D)(0,12) 解析：注意题中条件a ＞0，去绝对值号后转化为两个方程各有一解，再根据指数函数性质求解.选D.∵a ＞0,∴2a ＞0, ∴a x -1=2a 或a x -1=-2a, 即a x =2a+1或a x =-2a+1,当a ＞1时，-2a+1＜0，只有a x =2a+1有一个实根不合题意. 当0＜a ＜12时，2a+1＞0且-2a+1＞0， 此时x=log a (2a+1)或x=log a (-2a+1),符合题意.3、（2011届·温州市高三八校联考（文））已知函数22(0)()()21(0)x x f x a R x ax x -⎧≤⎪=∈⎨-++>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．,()()a R f x f a ∃∈有最大值B ．,()(0)a R f x f ∃∈有最小值C ．,()a R f x ∀∈有唯一零点D ．,()a R f x ∀∈有极大值和极小值 答案：C 4、已知函数. 若，=1－a ，则（A ）（A ）（B ）（C ）（D ）的大小不能确定5、（2011届·江西莲塘一中高三月考 （文））若第一个函数()y f x =,它的反函数是第二个函数,又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线0x y +=对称,那么第三个函数的图象是( ) A. 1()y fx -=- B. 1()y fx -=-- C. ()y f x =-- D. ()y f x =-答案：C6、定义域为R 的函数，若关于的函数有5个不同的零点，则等于 （ D ）A ．B ． 16C ． 5D ． 157、（2011届·四川省通江中学高三月考）函数23)1()1(+-=x x y 的单调减区间是（ ）A )1,5(--和)1,1(-B )5,(--∞和),1(+∞C )1,5(-D )1,5(-- 答案：D8、如果f '(x)是二次函数，且f '(x)的图像开口向上，顶点坐标为(1, －)，那么曲线y ＝f(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（ B ）A ．(0, ]B ．[0, )∪[，）C ．[0,]∪[，）D ．[,]9、奇函数在处有极值，则的值为（ D ）A.0B. 3C.1 D.10、已知，则的最大值是（B ）A ．B ．C ．D ．11、给出下列四个结论：①；②命题“的否定是“”；③“若则”的逆命题为真；④集合，则“”是“”充要条件。

四川省古蔺县中学高三数学复习学案：集合〖知识特点〗1、集合是高中数学家的起始章节，主要是强调其工具性和应用性。

另外，由于Venn 图的利用，数形结合思想的应用也很广泛。

2、常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具，以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主，属容易题目。

3、集合与常用逻辑用语与其他知识的联系也非常密切，常以本章知识为工具考查函数、方程、三角、解析几何、立体几何中的知识点。

〖重点关注〗1、集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。

2、对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。

3、全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点，正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关键。

4、本章内容为补集思想、正难则反思想提供了理论依据，同时也应注意这两种思想的应用。

〖地位与作用〗“集合与常用逻辑用语”这一章主要是讲述集合的初步知识与常用逻辑用语知识两部分，集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容。

这部分内容主要包括集合的有关概念、集合的表示、集合的基本关系及集合的基本运算。

常用逻辑用语知识则是新增内容，这部分主要是介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命题及其相互关系，全称量词和存在量词及含有它们的命题以及充要条件等有关知识。

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要基础，一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用，因此在历年高考中都有考查集合问题的题目。

一是考查集合的有关概念，集合之间的关系，集合的运算等；二是考查集合的工具性，主要考查集合语言的应用，集合思想的应用。

逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，学习数学，需要全面理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。

四川省古蔺县中学高三数学复习学案：第一章集合与常用逻辑用语【章节知识网络】【章节强化训练】一、选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分）2、（2011届·湖南省长沙等四县市高三3月调研）设集合1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|1B x x =≤，则A B =（ ）A ．B ．C ． 1|12x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．3、(2011届·湖南省十二校高三联考)巳知集合，，则为( ) A. (1，2)B. (1)C. [2，)D. [1，)4、(2011届·湖南省十二校高三联考)下列判断错误的是( )A. a,b ，m 为实数，则“”是“a<6”的充分不必要条件 B 命题“”的否定是“”C. 若为假命题，则力，g 均为假命题D. 若，则5．已知集合R x x x y y B R x x x y y A ∈+==∈-+==,||1|{},,32|{2且}0≠x ,则B A =( )A. ]2,4[--B. ]2,4[-C. ),2[+∞D. ),4[+∞-6．(2011·江西省“八校”高三4月联考)设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，若{}0=⋂Q P ，则Q=P（ ）A ．{}3,0B ．{}3,0,1C ．{}3,0,2D ．{}3,0,1,27．(2011届·南昌市高三一模)设集合20{|(3106)0,0}xP x t t dt x =-+=>⎰，则集合P的非空子集个数是（ ） A ．2 B ．3C ．7D ．88.若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是 （A ） 11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 (B) {}23x x <<（C ） 122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ (D) 112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ 9.下列命题是真命题的为A ．若11x y =,则x y = B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,则x y = D ．若x y <,则 22x y <10．已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N= (A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5} 11．设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=A B ，则集合［u （A B ）中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个12． ”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共4个小题，第小题4分，共16分）13．（2011届·福州3月月考）命题“∃x ∈R ,e x>x ”的否定是 . 14.若{U n n=是小于9的正整数}，{A n U n=∈是奇数}，{B n U n=∈是3的倍数}，则()U AB =ð ． 15．(2011年·莆田市高三质检)已知向量,a b 是平面α内的一组基底，向量2c a b =+，对于平面α内异于,a b 的不共线向量,m n ，现给出下列命题：①当,m n 分别与,a b 对应共线．．时，满足2c m n =+的向量,m n 有无数组； ②当,m n 与,a b 均不共线．．时，满足2c m n =+的向量,m n 有无数组；③当,m n 分别与,a b 对应共线．．时，满足2c m n =+的向量,m n 不存在；④当m 与a 共线，但向量n 与向量b 不共线．．时，满足2c m n =+的向量,m n 有无数组。